PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

Transcript

1 PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0 a) n a AB { 0 } i ko A : j 0 Naišie aameasku jednadžbu aca ako je njegoa ekoska jednadžba a) { } { } { } b) { } { 00 } { } a) b) Zaišie ekosku jednadžbu aca ako je njegoa aameaska jednadžba a) b) a) { } { } { } b) { } { } { } Naišie jednadžbu aca u aameaskom i kanonskom obliku ako se na da a) olai ko ( ) i aalelan je ekou i j j b) olai ko ( ) i aalelan je ekou i j k j c) olai ko ( 0) i aalelan je acu j d) olai ko ( ) i aalelan je acu 7 j

2 PRAVAC iješeni adaci od 8 e) olai ko ishodiše i aalelan je acu 0 j 0 Odedie sjeciše aca s a) -osi b) -osi a) a 0 : 0 sjeciše ( 7 0) b) a 0 : sjeciše Odedie sjeciše aca s a) -aninom b) -aninom c) -aninom a) a 0 : 0 sjeciše ( 7 70) b) a 0 : 0 sjeciše ( 707) c) a 0 : sjeciše 7 Pokažie da se aci: i sijeku i nađie njihoo sjeciše { } { } { 0 } 0 L Paci se sijeku je je ( ) 0 Odedimo sjeciše S : S i S 0 S ( ) 8 Pokažie da se aci: i sijeku i nađie 0 njihoo sjeciše S 7 Posukom kao u ehodnom adaku se nađe

3 PRAVAC iješeni adaci od 8 7 Pokažie da su aci i mimosmjeni { } { } { } i ) aci se ne sijeku je je ( ) 7 L 0 0 ) aci nisu aalelni je nije aalelan s a o nači da su aci mimosmjeni 0 Pokažie da su aci i mimosmjeni ao u ehodnom adaku Da li su sljedeći aci aalelni? Ako jesu koliko su udaljeni? a) i 7 { } ( 7) { } i j k L 00 0 { } { } d d b) i 8 ( ) { } ( ) { 8} i nisu aalelni ekoi a ni aci nisu aalelni i ( 8 87) usoedan s acem ko očke i 88 Pokažie da je aac koji olai ko očke ( ) aac koji olai ko očke ( ) i ( 8 87) ima eko smjea { } a aac koji olai ko očke ( ) i ( 8 8) ima eko smjea { 8} aci su aalelni Pokažie da je aac koji olai ko očke ( 0 ) i ( ) ( ) i ( ) aac koji i ko očke ( ) i a aac koji olai ko očke ( 0 aci su okomii okomi na aac ko očke 0 ( ) ima eko smjea { } ) i ( ) ima eko smjea { }

4 PRAVAC iješeni adaci od 8 Isiaje da li očke A B i C iadaju isom acu ako je a) A ( 7) B ( 0) C ( 0 ) b) A ( 0 ) B ( ) C ( ) Jedan od načina ješaanja adaka je da se odedi aameaska jednadžba aca ko dije očke i da se ojei da li eća očka leži na om acu Dugi način je da se iskoisi sojso ekoskog umnoška: ekoski umnožak kolineanih ekoa je jednak 0 i j k a) AB AC L { 00 0 a očke A B C ne leže na isom acu b) slično očke A B C ne leže na isom acu Pojeie da se adi o je { } } i jedžbama isog aca ( 0) { } ( ) { } Ako su ekoi smjea aaca aalelni i ako jedna očka jednog leži na dugom acu onda se adi o jednadžbi isog aca ) i ) očka leži na acu ( ) je se njene koodinae mogu dobii i aameaske jednadžbe aca a : adi se o jednadžbi isog aca olika je udaljenos očke C od aca ako je a) C ( )? i j k 0 C 0 L { } { 0} C 00 0 d( C ) b) C ( )? kao u ehodnom imjeu i j k C 0 L 0 d C { } ( C ) 0 0

5 PRAVAC iješeni adaci od 8 ) c)? kao u ehodnim imjeima ( C C d 0 } { d 7 Pojeie da su aci aalelni i nađie koliko su udaljeni a) i { } { } { } 0 L k j i 0 00 d b) i kao u ehodnom imjeu 8 d 8 Ako su adani aci: a) okažie da se sijeku u očki 7 P i P P P b) nađie od kojim kuem se sijeku cosϕ ϕ 8 8''' c) nađie jednadžbu aca koji je okomi na njih i olai njihoim sjecišem P Ako je eko smjea aženog aca onda je on okomi i na i na a se može odabai { } 707 L k j i ili { } 0 aženi aac je 7

6 PRAVAC iješeni adaci od 8 Ako su adani aci: i a) okažie da se sijeku u očki P( 0) b) nađie od kojim kuem se sijeku c) nađie jednadžbu aca koji je okomi na njih i olai njihoim sjecišem P 7 Slično kao u ehodnom imjeu b) cosϕ c) 7 0 Odedie ku među acima i 0 { } 0 { } cosϕ Nađie jednadžbu aca koji olai ko očku ( 0 ) P i od aim kuem siječe aac Jedan od načina ješaanja oog adaka je sljedeći: ( 0 ) { } Neka je Q ( ) duga očka aženog aca Onda je njego eko smjea { } PQ ) I eosake da se aci sijeku od aim kuem slijedi da su PQ i okomii j PQ 0 0 ) I eosake da se aci sijeku slijedi da su ekoi P i PQ komlanani j da je 0 P PQ 0 0 ( ) 0 0 ) ad usimo n a u jednadžbe susaa nalaimo i Q ) aženi aac ima eko smjea PQ { 0} i jdnadžbu Oaj adaak se može jednosanije iješii omoću jednadžbom anine Pogledaje kako je sličan adaak iješen na očeku ježbi! P i od aim kuem siječe aac Slično kao u ehodnom adaku Sami ojeie da dobieno ješenje adaooljaa adane eosake! Nađie jednadžbu aca koji olai ko očku

7 PRAVAC iješeni adaci 7 od 8 Odedie da li su aci aalelni mimosmjeni ili se sijeku Ako se sijeku nađie koodinae njihoog sjeciša a) ) ( ) { } ( 0 ) { } ekoi smjea nisu aalelni aci nisu aalelni ( ) L 0 a se aci ne sijeku ) { } aci su mimoilani! b) i ) ( 0 ) { } ( 0 ) { } ekoi smjea nisu aalelni aci nisu aalelni ( ) L 0 a se aci sijeku! ) { } c) ( 00 ) { } ( 0 ) { } ekoi smjea nisu aalelni aci su aalelni! d) kao u a) aci su mimoilani oje od sljedeće čeii jednadžbe odgoaaju aalelnim acima? Da li neke od jednadžbi odgoaaju isom acu? { } { } { 0} ( 0 ) { } ( ) { } ( ) { } ( ) { 0} ad usoedimo ekoe smjea nalaimo da je i Lako se ojei da očka leži na acu a aključujemo da a i čea jednadžba odgoaaju isom acu j No očka ne leži na acu Zaključujemo da duga i eća jednadžba ne odgoaaju isom acu nego aalelnim acima j

8 PRAVAC iješeni adaci 8 od 8 Odedie udaljenos aaca 0 i (da li su aalelni? mimosmjeni?) kao u a) aci su mimoilani Zadane su očke A ( 0 ) B ( ) C ( 0 ) Odedie očku D na acu ako da obujam eaeda ABCD bude jednak (jedinica a obujam) (Eleoić Aglić 8) ako je očka D na acu onda se može aisai: D( ) Nađemo ekoe AB { } AC { 0} { } AB ( AC AD) ( ) ( ) ( ) Obujam eaeda je jednak slijedi: AD i V AB AC AD i eosake da je obujam eaeda ABCD 7 Oa jednadžba s asolunom ijednosi se ješaa dalje oako a) a 0 : jednadžba glasi D D 7 7 ili b) a < 0 : jednadžba glasi 7 D D 8