Nebesna mehankarija Ozvezdja 20 Seznam ozvezdij 22 Nebesna krogla 25 Merjenje kotov na nebu 30 Sezonske karte 34 Prvi koraki 46

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Nebesna mehankarija Ozvezdja 20 Seznam ozvezdij 22 Nebesna krogla 25 Merjenje kotov na nebu 30 Sezonske karte 34 Prvi koraki 46"

Transcript

1

2 Kazalo O daljnogledih in vsem, kar sodi zraven Daljnogled 2 Stojalo 8 Skrb za optiko 11 Ve;ni boj z vlago 15 Nebesna mehankarija Ozvezdja 20 Seznam ozvezdij 22 Nebesna krogla 25 Merjenje kotov na nebu 30 Sezonske karte 34 Prvi koraki 46 Ta ;udovita, oddaljena sonca Zvezde 54 Dvozvezdja 59 Spremenljivke 64 Barve zvezd 67 Hertzsprung-Russellov diagram in /ivljenje zvezd 72 Najbli/je zvezde 92 Kako dale; so zvezde 94 Nezvezdniki Zvezdne kopice 102 Planetarne meglice 105 Meglice 106 Galaksije 110 Na[a Galaksija 114 {e nekaj zanimivosti Katalogi in seznami nezvezdnih teles 138 Modeli vesolja 140 Kako dale; lahko vidimo 147 Zadnji napotki Priprave na opazovanje 152 Iskanje nebesnih teles 159 O zvezdnih kartah, fotografijah in simbolih 161 IV

3 Ozvezdja Andromeda (Andromeda) 164 Berenikini kodri (Coma Berenices) 173 Bik (Taurus) 180 :a[a (Crater) 194 Delfin (Delphinus) in?rebi;ek (Equuleus) 195 Devica (Virgo) 196 Dletce (Caelum) in Ura (Horologium) 205 Dvoj;ka (Gemini) 206 Eridan (Eridanus) 210 Golob (Columba) 212 Herkul (Hercules) 213 Ju/na krona (Corona Australis) 220 Ju/na riba (Piscis Austrinus) in?erjav (Grus) 221 Ka;a (Serpens) 223 Ka;enosec (Ophiuchus) 233 Kasiopeja (Cassiopeia) 246 Kefej (Cepheus) 254 Kentaver (Centaurus) 259 Kipar (Sculptor) in Feniks (Phoenix) 262 Kit (Cetus) 265 Kompas (Pyxis) 272 Kozorog (Capricornus) 273 Krma (Puppis) 275 Krokar (Corvus) 285 Ku[;arica (Lacerta) 286 Labod (Cygnus) 288 Lev (Leo) 304 Lira (Lyra) 313 Lisi;ka (Vulpecula) 318 Lovska psa (Canes Venatici) 322 Mali lev (Leo Minor) 332 Mali medved (Ursa Minor) 333 Mali pes (Canis Minor) 336 Mikroskop (Microscopium) 337 Orel (Aquila) 338 Orion (Orion) 344 Oven (Aries) 357 Pe; (Fornax) 358 Pegaz (Pegasus) 359 Perzej (Perseus) 364 Pu[;ica (Sagitta) 373 Rak (Cancer) 376 Ribi (Pisces) 380 Ris (Lynx) 384 Samorog (Monoceros) 385 Sekstant (Sextans) 394 Severna krona (Corona Borealis) 396 Strelec (Sagittarius) 398 {;it (Scutum) 414 {korpijon (Scorpius) 417 Tehtnica (Libra) 426 Trikotnik (Triangulum) 428 Veliki medved (Ursa Major) 432 Veliki pes (Canis Major) 442 Vodna ka;a (Hydra) 448 Vodnar (Aquarius) 457 Volar (Bootes) 462 Volk (Lupus) in Kotomer (Norma) 465 Voznik (Auriga) 466 Zajec (Lepus) 472 Zmaj (Draco) 476 Zra;na ;rpalka (Antlia) in Jadro (Vela) 480?irafa (Camelopardalis) 481 V

4 {e nekaj zanimivosti MODELI VESOLJA Ste se kdaj vpra[ali, zakaj nimajo v nobenem planetariju na svetu razstavljenega modela vesolja Modela, na katerem bi si lahko ogledali na[e Oson;je, njegovo lego v Galaksiji, Lokalno jato, druge jate in nadjate skratka, vse danes znano vesolje. Odgovor je zelo preprost. Tak[en model je nemogo;e izdelati. {e ve;. Nemogo;e si ga je sploh predstavljati, tudi ;e imamo [e tako bujno domi[ljijo. Ko nepredstavljivo velike razdalje skr;imo na tak[ne, ki si jih je mogo;e zamisliti pa postanejo prej predstavljive oddaljenosti nepredstavljivo majhne. Za za;etek naredimo najmanj[i mo/en model Oson;ja, v katerem bodo planeti [e vidni, in poglejmo, kaj se zgodi s preostalim vesoljem. Merkur, ki je najmanj[i med planeti (njegov premer je 4880 kilometrov), pomanj- [ajmo na velikost zrnca mivke s premerom pol milimetra. Tako dobimo model v merilu 1>10 10 (ena proti 10 milijard). Da dobimo pravi model, moramo za enak faktor pomanj[ati ne samo vse velikosti, temve; tudi oddaljenosti. Pri tem modelu je Zemlja majhna kroglica s premerom 1,3 milimetra. Luna, ki je nekoliko manj[a od Merkurja, je od Zemlje oddaljena 3,8 centimetra. Sonce se skr;i v Model Jupitra v merilu 1>10 kroglo s premerom 14 centimetrov in je metrov od Zemlje. Takoj je jasno, da takega modela Oson;ja ne moremo postaviti v sobo, niti v ve;ji planetarij ne. Pa smo od Sonca pri[li [ele do Zemlje. Pri tem modelu je Jupiter velik kot frnikola (premer 1,4 centimetra) in od Sonca oddaljen 78 metrov. Saturn je nekoliko manj[i in le/i 143 metrov od Sonca. In da bi na pravo oddaljenost postavili Neptun, ki je najbolj oddaljen planet Oson;ja, moramo pe[a;iti kar 450 metrov od Sonca in tam postaviti kroglico v velikosti zrna graha (premer 5 milimetrov). Tak[en model lahko v naravi na kak[nem ve;jem travniku tudi zares naredimo. In ko se od Neptuna ozremo nazaj proti Soncu, bomo za;udeno ugotovili, kako prazno je v resnici na- [e Oson;je in kako nenavadna sila je gravitacija. Skoraj pol kilometra od nas le/i 14-centimetrska krogla, ki s svojo gravitacijo sili Neptun, da kro/i okoli nje. Vse, ki smo si ogledali prehod Merkurja ;ez Son;evo ploskvico 7. maja 2003 ali prehod Venere 8. junija 2008, so obhajali podobni ob;utki. A to je primerno merilo in lahko si predstavljamo celotno na[e Oson;je. Ko pa se ozremo po najbli/ji zvezdi, hitro ugotovimo, da v ta model ne moremo Pomanj[ajmo Zemljo za krat in dobili bomo kroglico s premerom 12,7 milimetra. :e za enak faktor pomanj[amo [e Luno in njeno orbito okoli Zemlje, dobimo 3,5 milimetra veliko kroglico na robu sosednje strani. 140

5 Modeli vesolja Med navideznim prehodom Venere prek Son- ;eve ploskvice se je veliko opazovalcev za;udeno spra[evalo, ali je Venera res tako majhna v primerjavi s Soncem. V resnici pa je [e manj[a, saj tak model ni pravi. Sonce je namre; mnogo dlje od nas kot Venera. Da bi dobili pravo razmerje med njunima velikostma, bi morali Sonce pove;ati za 3,6-krat. zajeti ni;esar, kar le/i zunaj Oson;ja. V tem merilu (1>10 10 ) je najbli/ja zvezda Alfa Kentavra, ki je nekoliko ve;ja od na[ega Sonca, oddaljena kar 4000 kilometrov. Zdaj smo [ele lahko za;udeni! Obmo;je Galaksije, v katerem prebivamo, je [e bolj prazno od na[ega Oson;ja. In resnici na ljubo, tudi drugod po Galaksiji ni veliko druga;e. Pri modelu, kjer komaj vidimo najmanj[i planet, so zvezde nepredstavljivo dale;. Na[a Galaksija na primer bi bila v tem modelu velika kar 100 milijonov kilometrov, od nas do njenega sredi[- ;a pa bi bilo pribli/no 27 milijonov kilometrov. Malokdo lahko trdi, da si predstavlja tako velike razdalje. Te/avo re[imo s tem, da izdelamo ve; modelov v razli;nih merilih, od katerih je vsak primeren za prikaz dolo;enega dela vesolja. Da bi naredili model na[e Galaksije, ki si ga lahko predstavljamo, moramo pove;ati merilo. Zamislimo si, da je na[a Galaksija velika en kilometer. To je razdalja, ki jo prehodimo v pribli/no 10 minutah in si jo enostavno predstavljamo, saj jo zajamemo s pogledom. Tako smo pri[li do merila 1> Da dobimo pravi model, moramo za enak faktor pomanj[ati tako oddaljenosti kot velikosti. Neptunova tirnica je v tem primeru velika le stotinko milimetra, velikost Sonca pa se meri v nanometrih! In kje lahko zdaj pri;akujemo prve zvezde Alfa Kentavra je 4,3 centimetra od Sonca. Druge zvezde so raztro[ene naokoli v vseh smereh. Najsvetlej[a zvezda neba, Sirij, je 8,5 centimetra od Sonca. Do Vege je 25 centimetrov, do Regula 76 centimetrov, do Severnice pa 4 metre. Zvezde Orionovega pasu so oddaljene od 8 do 13 metrov. Od svetlej[ih zvezd no;nega neba sta najdlje od nas Delta in Eta Velikega psa. V na[em modelu je prva 17 metrov, druga pa 30 metrov od Sonca. Vidimo, da so svetlej[e zvezde tudi razmeroma blizu nas, ;eprav to ni pravilo. Do sredi[;a Galaksije je 270 metrov, sredi[;na odebelitev pa v premeru meri okoli 150 metrov. Disk na[e Galaksije je v tem modelu v povpre;ju debel 20 metrov, v ob- Sonce (mo;no pove;ano) orbita Plutona do Proksime Kentavra je 40 metrov V tipi;ni galaksiji, kot je Rimska cesta, so zvezde zelo dale; narazen v primerjavi z njihovimi velikostmi. Na sliki smo orbito Plutona pomanj[ali kar za krat. Svetloba, ki prihaja iz sredi[;a, pripada Soncu, ki je v tem merilu veliko le 0,0014 milimetra. In celo v tem primeru je najbli/ja zvezda, Proksima Kentavra, 40 metrov stran! 141

6 {e nekaj zanimivosti mo;ju, kjer prebivamo mi, pa je njegova debelina le 5 metrov! Okoli Galaksije se [iri halo. Njegov gostej[i del, v katerem najdemo ve;ino kroglastih kopic, je v tem modelu krogla s premerom 2 kilometra, posamezne kroglaste kopice pa najdemo vse do 2 kilometra od sredi[;a (to je v krogli s premerom 4 kilometre). V notranjem delu haloja je pribli/no 150 kroglastih kopic, ki si jih lahko predstavljamo kot sijo;e krogle, velike okoli enega metra. Najlep[a in med opazovalci s severne Zemljine poloble najbolj priljubljena je M 13 v Herkulu. V na- [em modelu le/i 240 metrov od Sonca, in ima premer 1,4 metra. Ker je dvignjena visoko nad ekvatorialno ravnino Galaksije, jo tudi v modelu najdemo 200 metrov nad tlemi. (Ker si te/- je predstavljamo vi[ine kot razdalje po tleh, si pri modelu pomagajte z znanimi vi[inami okoli[kih hi[, stolpnic ali bli/njih hribov.) Ne smemo pa pozabiti, da so v tem merilu tudi najve;je zvezde mikroskopsko majhne. :e bi se lahko dvignili nad model, bi videli ;udovito, svetlo spiralno galaksijo s pre;ko. Seveda pa to, kar vidimo, niso diski posameznih zvezd, temve; le njihova svetloba. Razdalje med zvezdami so namre; veliko, veliko ve;je od njihovih velikosti. Recimo, da si Galaksijo v tem merilu [e lahko predstavljamo, zaplete pa se, ko se ozremo po najbli/ji ve;ji galaksiji M 31 v ozvezdju Andromede. Najdemo jo kar 28 kilometrov stran! Na[ model v merilu 1>10 18 nas je pustil na cedilu in znova moramo vse pomanj[ati. Zamislimo si, da je premer na[e Galaksije vsega 12 centimetrov, natanko toliko, kot je premer CD diska. Celo razmerje med velikostjo in debelino je kar pravo. Tako smo pri- [li do merila 1> :e ho;emo iz CD-ja narediti pravi model Galaksije, moramo v sredi[;u prilepiti kroglico velikosti 1,5 centimetra, ki predstavlja sredi[;no odebelitev. Misel, da bi v tem modelu videli posamezne zvezde, je brezupna. Pomanj[ana za faktor so ta telesa vstopila v kraljestvo podatomskih delcev! Pri tej velikosti lahko v Galaksiji lo;imo le sredi[;ni del in spiralne krake, ki se vijejo okoli. Od Sonca do sredi[;a Galaksije je le 2,8 centimetra. Kroglast halo galakti;nih kopic je podoben nekaj sto raztresenim zrncem mivke v krogli s premerom 24 centimetrov. Prej omenjena kroglasta kopica M 13 v Herkulu je v tem modelu velika vsega desetinko milimetra in le/i le 2 centimetra nad diskom. Model na[e Galaksije, narejen iz CD-ja. Vidimo lahko le razporeditev svetlobe po galaksiji in ne posameznih zvezd, ki so v tem merilu /e v podatomskem svetu. Najprej sestavimo Lokalno jato. Andromedina galaksija, ki v premeru meri 24 centimetrov, je 2,5 metra oddaljena od na[e Galaksije. Spiralna galaksija M 33 v Trikotniku le/i v isti smeri in je le nekoliko dlje. Pribli/no 50 pritlikavih galaksij, ki si jih lahko predstavljamo kot kosme vate, je raztro[enih vsenaokoli. V tem merilu bi bila ve;ina zbrana v krogli s premerom 3 metre, posamezne ;lanice pa najdemo tudi do 8 metrov stran. Toda, pozor! Nekaj najbli/- 142

7 Modeli vesolja jih drugih jat najdemo le 10 do 12 metrov stran. To pa je razdalja, ki je primerljiva z velikostjo na[e Lokalne jate! Kot smo videli, so razdalje med zvezdami neprimerljivo ve;je od njihovih velikosti. :e je Sonce povsem povpre;na zvezda in je v modelu, kjer je na[a Galaksija velika 12 centimetrov, deset tiso;krat manj[e od atoma, mora biti tak[en model na[e Galaksije videti zelo prazen. V nasprotju s tem so razdalje med galaksijami in med jatami galaksij bolj primerljive z njihovimi velikostmi. Zdaj lahko bolje razumemo, zakaj so tr;enja med zvezdami v na[i Galaksiji izjemno redka, med galaksijami pa pogostej[a. Druge jate so raztro[ene naokoli v vseh smereh. Njihove velikosti so razli;ne od manj[ih skupin, kot je na[a, do resni;no velikanskih jat, v katerih je zdru/enih na stotine in celo tiso;e galaksij. Za zgled si oglejmo lego in velikost ene ve;- jih in bli/njih jat, Jate v Devici, v kateri je kar :e bi lahko vesolje pogledali od dale;, bi videli, da jate galaksij (posamezna jata je na tej ra;unalni[ki sliki predstavljena s piko) niso naklju;no raztro[ene po prostoru, temve; sestavljajo spu/vasti gobi podoben vzorec [irijo se kot stene okoli velikanskih, prazih prostorov. To znano fotografijo jate v Devici lahko imamo tudi za model te jate v merilu 1> Vidimo lahko, da so razdalje med galaksijami v jati primerljive z velikostjo posameznih galaksij. Povpre;na oddaljenost med njimi je pribli/no deset galakti;nih premerov. V nasprotju s tem so zvezde v Son;evi sose[;ini med seboj oddaljene kar za 100 milijonov povpre;nih zvezdnih premerov. okoli 2000 ;lanic! V tem modelu je jata velika 7 metrov, od nas pa je oddaljena okoli 60 metrov. Jate in nadjate pa niso naklju;no raztro[ene po vesolju, kot so mislili nekdaj. Od leta 1989 je znano, zahvaljujo; [tevilnim velikim pregledom neba in kartiranju tiso;ev galaksij, da te skupine, ;e jih pogledamo od dale;, sestavljajo vzorec, podoben spu/vasti gobi jate in nadjate galaksij se [irijo kot stene okoli velikanskih praznih prostorov. V na[em modelu so te votline velike okoli 100 metrov. Pa primerjajte to z velikostjo velike Jate v Devici, ki meri le 7 metrov! Kozmologi ocenjujejo, da je dana[nja velikost vesolja okoli 93 milijard svetlobnih let. V na- [em modelu je to krogla s premerom 93 kilometrov. Si jo lahko predstavljate Da bi lahko prikazali danes znano vesolje od na[ega Oson;ja naprej, smo morali zgraditi tri razli;ne modele. A pri tem smo se v na[em razmi[ljanju preprosto izognili pomembne- 143

8 {e nekaj zanimivosti mu dejstvu. Zgradili smo model vesolja, ki je mirujo; in zato nespremenljiv. Pomanj[ali smo le prostor, ne pa tudi ;etrte dimenzije ;asa. Pravo vesolje pa je seveda dinami;no. Lune kro/ijo okoli planetov, planeti okoli sonc, zvezde kro/ijo okoli sredi[; galaksij... Zvezde se rojevajo in umirajo, prihaja do eksplozij supernov. Vse galaksije v jatah se gibljejo okoli skupnega te/i[;a. In poleg vsega tega se celotno vesolje [iri. Galaksije be/ijo druga od druge in, ;e pogledamo iz katerekoli galaksije, se nam zdi, kot da vse druge be/ijo pro; ;im bolj so oddaljene, tem hitreje se odmikajo, kot bi bile pritrjene na neviden, napihujo; se balon. In kot ka/ejo najnovej[i opazovalni podatki, se [irjenje vesolja celo pospe[uje! MODELI V :ASU Moderna kozmologija je dobila temelje [ele v 20. stoletju, ko je Albert Einstein objavil splo[- no teorijo relativnosti, ko je Edwin Hubble odkril [irjenje vesolja in ko sta se razvili jedrska fizika ter fizika delcev. {ele v zadnjih letih pa smo dobili tudi bistvene opazovalne podatke, ki so podlaga dana[nje slike nastanka in razvoja vesolja. Na[e raz[irjajo;e se vesolje se je razletelo iz izredno gostega in vro;ega stanja ob prapoku. To je bila gosta, vro;a in neprozorna me[anica snovi in sevanja, ki je napolnjevala ves prostor. A mlado vesolje se je hitro [irilo in red;ilo in je v nekem trenutku postalo prozorno za sevanje, ki se je razbe/alo po prostoru. Daljni odmev tega pomembnega trenutka vidimo v prasevanju (tudi mikrovalovno sevanje ozadja), ki obliva ves prostor, in sta ga leta 1965 odkrila Arno Penzias in Robert Wilson. To je elektromagnetno valovanje v obmo;ju mikrovalov, ki prihaja iz vseh smeri neba in se natanko ujema s sevanjem telesa, ki bi imelo temperaturo nekaj manj kot 270 stopinj Celzija. V prasevanju vidimo svetlobo, ki je nastala vsega let po prapoku. Pomembno pa je zato, ker daje nekatere klju;ne kozmolo[ke informacije. Ohranilo je namre; vzorec oziroma razporeditev nehomogenosti v mladem vesolju, iz katerih so se kasneje izoblikovale galaksije in jate. To je obenem tudi meja, do katere lahko astronomi vidijo v mlado vesolje! S satelitom COBE so v za;etku devetdesetih let 20. stoletja kozmologi pri[li do karte prasevanja in odkrili majhne, a pomembne razlike v temperaturi v razli;nih smereh. COBE je sicer lahko zelo natan;no meril majhne razlike v sevanju, toda njegova lo;ljivost je bila slaba. Kozmologe pa je mu;ilo vpra[anje, kaj se skriva v finej[i prostorski porazdelitvi prasevanja, saj je iz nje mogo;e sklepati na obliko prostor;asa in na razmere v mladem vesolju. Za;etne nehomogenosti, ki so nastale ob rojstvu vesolja, bi se namre; morale videti tudi v prasevanju. Zato je NASA sredi leta 2001 izstrelila satelit WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe). Prvi rezultati tega vesoljskega observatorija so bili objavljeni v za;etku leta WMAP je veliko natan;neje kot COBE meril prostorska odstopanja v temperaturi prasevanja in kozmologi so njegove rezultate strnili v nekaj bistvenih podatkov o vesolju> Vesolje je staro 13,8 milijarde let. Napaka te meritve je manj[a od odstotka. Vesolje sestavlja 4,6 odstotka navadne snovi, 22,8 odstotka temne snovi in 72,6 odstotka temne energije. Inflacijski model napihovanja zelo mladega vesolja z veliko gotovostjo dr/i. Prasevanje se je po prostoru razletelo let po prapoku. Prve zvezde naj bi v vesolju nastale 200 milijonov let po prapoku. Vesolje se bo pospe[eno [irilo v nedogled. 144

9 Modeli vesolja Zgodovina vesolja 145

10 {e nekaj zanimivosti Zdaj pa si oglejmo, kak[no bi bilo videti dinami;no vesolje, ;e bi tudi trajanje dogodkov skr- ;ili za enak faktor kakor dimenzije to je za faktor 10 22! :e predpostavimo, da se je na[e vesolje pred 13,8 milijarde let razletelo v prapoku in ;e le trepnemo z o;esom, smo zamudili tako reko; vse! :e celotno zgodovino vesolja skr;imo za faktor 10 22, smo iz 13,8 milijarde let dobili le [tiri stotiso;inke (0,00004) sekunde! Celotna zgodovina vesolja od prapoka do dana[njega stanja zdrvi mimo nas v del;ku sekunde. :e se nam prostor zdi neverjetno prazen, se zdi ;as, skr;en v enakem merilu, neverjetno hiter. In kot smo se pri modelu vesolja morali zate;i k razli;nim merilom, se moramo enako odlo;iti tudi pri ;asu. Spremenimo merilo na[ega modela razvoja vesolja in si zamislimo, da smo vse trajanje skr- ;ili za faktor 1, Vsa zgodovina vesolja se je tedaj odigrala v enem letu. Veliko pomembnih stvari se je zgodilo prav ob prapoku 1. januarja. O prvih treh minutah (pravega) vesolja so bile napisane debele knjige. V na[em modelu se je vse skupaj odigralo v zanemarljivo kratkem ;asu. Kmalu po velikem poku se je model vesolja /e ohladil in gromozansko raz[iril v skoraj enakomerno morje vodika in helija ter postal prozoren za svoje lastno sevanje. Tak[nega ga vidimo, ko gledamo mikrovalovno sevanje ozadja. {e vedno je 1. januar, preteklo je 15 minut. Vesolje se je [e naprej [irilo in postajalo vse hladnej[e in vse bolj redko. 5. januarja je nastala prva generacija zvezd. Najmasivnej[e od njih so v svojih jedrih za;ele pridelovati te/je elemente in jih /e po treh urah razsejale v prostor med silnimi eksplozijami supernov. Ti elementi so se pome[ali med vodik in helij in postali sestavni del novih generacij zvezd. Prve galaksije ali vsaj zametki, iz katerih so prve galaksije nastale, so nastali konec januarja. Kmalu je bil ves prostor preplavljen z njimi in nastale so spu/vi podobne strukture, ki smo jih omenili prej. Njihovo [irjenje je krojila temna snov. :e bi se zna[li v vesolju konec julija, ne bi opazili [e ni; doma;ega. A na mestu, kjer bo kasneje nastalo na[e Oson;je, bi sredi plinskih in pra[nih oblakov videli veliko in masivno rde- ;o orjakinjo v zadnjih fazah svojega /ivljenja. Avgusta je eksplodirala kot supernova in dodobra preme[ala okoli[ko meglico ter jo obogatila s te/jimi elementi. V za;etku septembra je v najgostej[em delu meglice za;elo nastajati na[e Oson;je.?e 3. septembra je v njenem sredi[;u zasijala pravkar rojena zvezda na[e Sonce. 7. septembra so okoli njega /e kro/ili protoplaneti in ;istili preostali drobir na svojih tirnicah in v okolici. To je tudi dan, ko lahko re;emo, da se je rodila na[a Zemlja. Do 23. septembra se je /e toliko ohladila, da je na njenem povr[ju lahko bila teko;a voda. Konec septembra je v oceanih nastalo prvo /ivljenje preproste bakterije, ki ne potrebujejo kisika. 10. oktobra kon;no naletimo na nekaj znanega modro-zelene alge. Veliki plazilci mezozoika so za;eli po Zemlji laziti 23. decembra in so 30. decembra opoldan izumrli. 31. decembra ob 22. uri se razvijejo prvi ;love;njaki. Vsa pisana zgodovina od Babilona do danes je trajala le zadnjih 14 sekund. Pred 0,9 sekunde je Galileo prvi; pogledal v nebo s teleskopom in prav toliko je v tem modelu stara moderna astronomija! Ko tako pogledamo na ;as, moramo priznati, da smo v razmeroma kratkem obdobju raziskovanja vesolja dosegli zelo veliko. In natanko ob polno;i je iz[la ta ;udovita knjiga, ki jo pravkar prebirate, in /e v naslednji sekundi je bila razprodana! 146

11 ANDROMEDA (ANDROMEDA) α PERZEJ KASIOPEJA 51 ϕ PERZEJ γ 752 τ χ υ ω ξ β ν M32 μ M110 M31 ϑ ρ σ ψ κ λ ι 7662 ο KUπ ARICA TRIKOTNIK π RIBI δ ε α β 6 η ζ PEGAZ Andromeda je veliko in pomembno jesensko OZVEZDJE KULMINIRA ozvezdje severnega neba. Razteza se od Pegaza v smeri proti Kapeli (Alfa Voznika). Najsvetlej[e zvezde so Alfa ali Sirah, oran/norde- septembra oktobra novembra v za;etku v za;etku v za;etku ;a Beta ali Mirah in zlatorumena Gama (vse ob 2. uri ob polno;i ob 22. uri 2m1) ter rumenooran/na Delta (3m3). Alfe na nebu prav gotovo ne moremo zgre[iti. Zvezda predstavlja severovzhodno ogli[;e Pegazovega asterizma Veliki kvadrat. V starej[ih zvezdnih atlasih in celo v nekaterih sodobnih tabelah jo bomo na[li pod imenom Delta Pegaza, saj so zvezdo [ele kasneje priklju;ili k Andromedi kot Alfo. Je 55. najsvetlej[a zvezda na na[em nebu, oddaljena 97 svetlobnih let, njen izsev pa je pribli/no 100-krat ve;ji od Son;evega. Beta ali Mirah je 57. najsvetlej[a zvezda na na[em nebu, rde;a orjakinja, 200 svetlobnih let oddaljena od nas. Njen izsev je 410-krat ve;ji od izseva na[ega Sonca. Je dvojna zvezda. Spremljevalka 14. magnitude je 30 lo;nih sekund (p. p. 234 ) oddaljena od Bete in je pritlikava zvezda, katere izsev je kar 800-krat manj[i od Son;evega. Zvezdi sta gravitacijsko vezani in predstavljata pravo dvozvezdje. Spremljevalke v daljnogledu ne vidimo. 164

12 Andromeda Gama je 61. najsvetlej[a zvezda na na[em nebu. Je ;udovita dvojna zvezda, ena najlep[ih, kar jih lahko vidimo v manj[ih teleskopih. Svetlej[a zvezda (2m3) je zlatorumene barve (nekateri opazovalci so jo opisali kot rahlo oran/no), [ibkej[a (5m0) pa je zelenomodra. Barvni kontrast je izrazit in ga [e poudarimo, ;e okular pomaknemo nekoliko izven gori[;a, da sliki zvezd nista ostri, temve; rahlo razmazani. Zvezdi sta navidezno razmaknjeni 9 lo;nih sekund (p. p. 63 ), njuna medsebojna lega pa se zadnjih 200 let ni prav veliko spremenila. Para v daljnogledu ne lo;imo. Gama Andromede je v resnici ;etverozvezdje, saj je vsaka od obeh zvezd tudi sama dvojna. To zanimivo ve;zvezdje je od nas oddaljeno 356 svetlobnih let, skupni izsev zvezd pa preka[a Son;evega za kar 1250-krat. Slavna Andromedina galaksija M 31 (3m4\178 x63 ) je zagotovo najlep[i objekt v ozvezdju. Je najsvetlej[a in najbli/ja od vseh velikih galaksij in edina druga galaksija, ki jo lahko brez te/av vidimo s prostim o;esom. Le/i pribli/no stopinjo zahodno od zvezde Ni, v jasni, brezmese;ni no;i pa je videti kot majhen, podolgovat obla;ek ne/ne svetlobe. Galaksija je videti podolgovata zato, ker jo vidimo skoraj z roba. Le za 15 stopinj je nagnjena na ekvatorialno ravnino. Le z /alostjo v srcih si lahko predstavljamo, kak[en ;udovit nebesni objekt bi bila, ;e bi jo lahko videli v vsej njeni velikosti, torej v smeri njene vrtilne osi. Bila bi skoraj okrogla, njeni spiralni rokavi pa bi se ovijali okrog svetlega, gostej[ega jedra. In na na[em nebu bi bila seveda veliko ve;ja in svetlej[a. Ob odli;nih opazovalnih razmerah se bo v daljnogledu galaksija raztegnila v pribli/no 4 stopinje dolgo ovalno liso svetlobe z dobro vidno svetlej[o sredi[;no zgostitvijo pogled, ki zagotovo razo;ara marsikaterega opazovalca na za;etku kariere, ki galaksijo vidi prvi;. Vzrok za to je v njeni razvpitosti. Ko beremo o Andromedini galaksiji, so zraven vedno pridevniki kot najsvetlej[a, najve;ja, najbli/ja, ;udovita, spektakularna... Kljub temu da je najbli/ja, je [e vedno zelo, zelo dale;, predale;, da bi lahko z daljnogledom videli kaj ve;! Na robu galaksije ne moremo lo;iti posameznih zvezd, pa ;e je teleskop [e tako velik in opazovalne razmere [e tako idealne. V ve;jih amaterskih teleskopih je vidnih nekaj temnih prog plinov in prahu, nekaj najsvetlej[ih kroglastih kopic in morda ena ali dve svetli plinski meglici. Vse drugo, kar krasi slike Andromedine galaksije, pa se poka/e le na fotografijah, posnetih z dolgimi ;asi osvetlitve. Pri gledanju»v /ivo«nas Andromedina galaksija o;ara le, ;e vemo, kaj gledamo! Ko galaksijo ob;udujemo na no;nem nebu, ne gledamo le najbolj oddaljenega objekta v vesolju, ki ga [e vidimo s prostim o;esom, temve; gledamo tudi naj- V daljnogledu je Andromedina galaksija videti kot nekaj stopinj velik megli;ast oval s svetlim jedrom. Zagotovo se boste strinjali, da ni; kaj zanimivo. A meglena lisa je lahko [e kako zanimiva, ;e vemo, kaj gledamo! 165

13 Andromeda dlje v preteklost (s prostim o;esom). Svetloba, ki ta trenutek prihaja v na[e oko, je galaksijo zapustila pred 2,93 milijona leti, torej v ;asu, ko so po Zemlji hodili prvi ;love;njaki! Andromedina galaksija se je pojavila na kartah veliko prej, kot so se pojavili prvi teleskopi. Poznamo jo vsaj od leta 964. Takrat jo v svoji knjigi Knjiga zvezd stalnic prvi; omenja perzijski astronom Abd-al-Rahman Al Sufi. Imenoval jo je Mali oblak. S teleskopom si je Mali oblak prvi ogledal Simon Marius leta 1611 ali Kmalu zatem Al Sufijeva karta Andromede in Rib z vrisanim Malim oblakom, ozna;enim s ;rko A. so se pojavile tudi prve hipoteze o tem, kaj naj bi meglica bila. Nekateri astronomi so menili, da je to meglica, sestavljena iz /are;ih plinov. Drugi so bili prepri;ani, da se iz meglice rojeva nova zvezda s planetnim sistemom in da so razmere v njej podobne kot takrat, ko se je rojevalo na[e Oson;je. Razdalje do meglice seveda niso poznali. {ele spektroskopske analize svetlobe so poru[ile vsa tak[na ugibanja. William Huggins je leta 1864 nedvoumno dokazal, da oddaja svetlobo Velike Andromedine meglice, kot so jo takrat imenovali, mno/ica posameznih zvezd. Veliki teleskopi s konca 19. in za;etka 20. stoletja in hitri razvoj astrofotografije so spektroskopske analize potrdili. Na fotografijah so se na robu Andromedine meglice lepo videle posamezne zvezde. Toda s tem nam skrivnostna meglica [e ni izdala vseh svojih skrivnosti. Astronomi so namre; [e vedno mislili, da je to sicer zelo oddaljen oblak zvezd, ki pa le/i v na[i Galaksiji. Leta 1917 so dokon;ali 2,5-metrski Hookerjev reflektor na observatoriju Mount Wilson v ZDA, ki je bil takrat najve;ji teleskop na svetu. Edwin Hubble ( ) je na fotografijah Andromedine meglice, posnetih s tem teleskopom, lahko prepoznal nekaj kefeid in iz znane zveze med periodo utripanja in absolutnim izsevom teh zvezd dolo;il njihovo oddaljenost in s tem oddaljenost Andromedine meglice. Rezultat prvih meritev je bil tako neverjeten, da Hubble kar nekaj dni ni pri[el k sebi. Znova in znova je preverjal meritve in ra;une in vedno znova je dobil enak rezultat Andromedina meglica je od nas oddaljena svetlobnih let! Hubble se je verjetno po;util tako kot skoraj sto let pred njim Bessel, ko je ugotovil, kako nepredstavljivo dale; so najbli/je zvezde. Rezultat je osupnil tudi vse astronome, ki so se leta 1924 zbrali v Washingtonu na rednem sre;anju Ameri[ke astronomske zveze, kjer je Hubble objavil svoje odkritje. Spoznanje, da Mali oblak oziroma Andromedina meglica ne le/i v na[i Galaksiji, temve; je v resnici prostrana galaksija, zdru/ba [tevilnih zvezd, podobna na[i Rimski cesti, je pomenilo konec ugibanj o pravi naravi meglice. Hkrati pa je bil to za;etek novega, [e bolj razburljivega poglavja v zgodovini astronomije, polnega ;udovitih odkritij. Kaj hitro se je namre; izkazalo, da je Andromedina galaksija, kakor so jo po novem imenovali, ena najbli/jih galaksij, da le/i tako reko; na na[em vesoljskem dvori[;u, da so druge galaksije [e veliko bolj oddaljene od nje. Vesolje je postalo [e bolj prostrano in [e bolj prazno. Danes vemo, da je bila Hubblova ocena za oddaljenost Andromedine galaksije veliko prenizka. Natan;nej[a merjenja kefeid s 5-metrskim teleskopm na Mount Palomarju in bolj[e 166

14 Andromeda ν M 32 M 110 M 31-Andromedina galaksija 32 μ 45 β 167

15 Andromeda poznavanje absorpcije svetlobe v medzvezdnih prostranstvih na[e Galaksije so pokazali, da je galaksija kar 2,2 milijona svetlobnih let oddaljena od nas. To [tevilko lahko najdemo v ve;ini astronomskih knjig 20. stoletja. A tudi ta ni ;isto pravilna. Najnovej[a vrednost, ki so jo dale analize merjenj astrometri;nega satelita Hipparcos v devetdesetih letih 20. stoletja, je 2,54 milijona svetlobnih let! Andromedina galaksija s svojima elipti;nima spremljevalkama M 32 (pod jedrom galaksije) in M 110 (ve;ja, rahlo ovalna lisa svetlobe nad galaksijo) 168

16 Andromeda Andromedina galaksija je ;lanica na[e Lokalne jate in je najve;ja v tej skupini galaksij, v katero sodijo tudi na[a Galaksija, spiralna M 33 v Trikotniku in [e cel kup manj[ih. S prvimi meritvami velikosti Andromedine galaksije so dobili za njen premer svetlobnih let. Novej[e ocene, dobljene na podlagi ob;utljivej[ih meritev, so pokazale, da je galaksija skoraj dvakrat ve;ja. Njen premer je malo manj[i od svetlobnih let in sodi med najve;je znane spiralne galaksije! Na[a Galaksija meri v premeru pribli/no svetlobnih let. Andromedina galaksija je povsem normalna galaksija. V sredi[;ni odebelitvi prevladujejo stare zvezde rde;e in rumene orjakinje, zelo malo je medzvezdnega plina in prahu. Podobno kot v na[i Galaksiji pa je v spiralnih rokavih veliko plinov in prahu, modrih, vro;ih, mladih orjakinj kot sta na[a Rigel ali Deneb, meglic kot je na[a Orionova meglica, planetarnih meglic in kroglastih ter razsutih kopic. Andromedina galaksija je zaradi svoje velikosti in svetlosti verjetno najve;krat fotografiran objekt no;nega neba. Primerna je tako za za;etnike kot za izku[ene astrofotografe. Andromedina galaksija ima vsaj 14 znanih satelitskih galaksij, ki so gravitacijsko vezane nanjo in tvorijo podjato v Lokalni jati. Najsvetlej[a med njimi je spiralna M 33 (str. 428). Vse druge so pritlikave elipti;e galaksije. Dve sta razmeroma svetli, le/ita v neposredni bli/ini mati;ne galaksije in sta vidni tudi v daljnogledu. M 32 (8 m 1\8 x6 ) najdemo pribli/no 22 lo;nih minut ju/- no od sredi[;a mati;ne galaksije. M 110 (8 m 5\17 x10 ) pa le/i pribli/no 35 lo;nih minut severozahodno od sredi[;a M 31, da jo opazimo, pa potrebujemo res odli;ne opazovalne razmere. Obe omenjeni satelitski galaksiji se vedno pojavljata na fotografijah Andromedine galaksije in sta najbolj znani med amaterji. Drugi dve svetlej[i spremljevalki (NGC 147 in NGC 185), ki v daljnogledu nista vidni, le/ita dale; pro; od mati;ne galaksije, /e v ozvezdju Kasiopeje, pribli/no sedem stopinj proti severu. :e so opazovalne razmere odli;ne, ju lahko vidimo z 10-centimetrskim teleskopom. Spremljevalke z oznakami Andromeda I, II, III... X pa so tako [ibke, da jih lahko posnamejo le z velikimi profesionalnimi teleskopi. {e posebej zanimiva je Andromeda VIII, ki pre/ivlja hude ;ase. Andromedina galaksija jo je namre; ujela v svoj gravitacijski prime/ in jo bo v naslednjih nekaj milijonih let raztrgala, njene zvezde pa se bodo razkropile po galaksiji. Pribli/no 5 stopinj ju/no in le nekoliko zahodno od Game le/i razsuta kopica NGC 752 (5m7\60 ). Ni je te/ko najti, saj sta s svetlo Gamo skupaj v zornem polju, za opazovanje pa si izberimo jasno in temno no; z odli;nimi opazovalnimi razmerami. Skupino najlep- [e opazujemo prav v daljnogledu z velikim zornim poljem, postavljenim na trdno stojalo, saj je njen navidezni premer kar 60 lo;nih minut. Kopico v daljnogledu povsem razdro- 169

17 Andromeda 0.5 Jugozahodni spiralni rokavi Andromedine galaksije. Na sliki so dobro vidne proge za svetlobo nepredirnih oblakov plinov in prahu, najsvetlej[a lisa pa je velik zvezdni oblak, ki je tako svetel, da je v NGC katalogu dobil celo svojo oznako NGC 206. Oblak je viden tudi v amaterskih teleskopih in sicer z 20-centimetrskim objektivom, a le kot ne/na zgostitev v jugozahodnem delu galaksije. Najsvetlej[e zvezdice v njem sijejo s 16. magnitudo, v resnici pa so to same mlade, vro;e in svetle nadorjakinje, kot sta na[a Rigel in Deneb, ki so [e vedno ovite v meglico snovi, iz katere so se rodile. Samo za primerjavo povejmo, da bi na[e Sonce s te oddaljenosti sijalo kot zvezdica 29,5. magnitude in bi ga teoreti;no lahko videli le z vesoljskim teleskopom Hubble. 170

18 Andromeda γ 55 τ NGC Vodnica do razsute kopice NGC 752 je svetla Gama. bimo, koliko posameznih zvezdic pa bomo videli, je odvisno predvsem od opazovalnih razmer. :e so te povpre;ne, vidimo pribli/no 25 zvezd, v izjemnih opazovalnih razmerah in s kopico v kulminaciji (ta je skoraj v zenitu), ko daljnogled se/e vse do 11. magnitude, pa bo kopica veliko bogatej[a (od 90 do 110 zvezdic). NGC 752 pa ima za opazovalce [e eno dobro lastnost. Je zelo barvita. Najsvetlej[i jugozahodni par z oznako 56 tvorita razmeroma svetli, izrazito oran/ni zvezdi s sijema 5 m 8 in 6 m 1, razmaknjeni kar 3,3 lo;ne minute (p. p. 297 ). Naslednja najsvetlej[a zvezda je rumena, kar nekaj svetlej[ih ;lanic pa je oran/nih. Res je, da v teleskopu vidimo ve; zvezd, a vtis kopice se zaradi majhnega zornega polja povsem izgubi! Kot smo omenili, je ve;ina zvezd zbranih na obmo;ju s premerom 60 lo;nih minut, posamezne ;lanice pa najdemo tudi dlje, vse do oddaljenosti 70 lo;nih minut od sredi[;a. Ker je kopica pribli/no 1500 svetlobnih let oddaljena od nas, je resni;ni premer gostej[ega dela 26 svetlobnih let, najbolj oddaljene ;lanice pa le/ijo kar 30 svetlobnih let od sredi[;a. 171

19 Andromeda Za konec pa [e nekaj za tiste, ki imate radi izzive. Planetarna meglica NGC 7662 (8 m 3\32 x28 ) je v daljnogledu vidna, a le kot zvezdica 8. magnitude. Vodnici do nje sta razmeroma svetli zvezdi Kapa in Jota, ki sijeta s ;etrto magnitudo. :e Joto pomaknemo na severovzhodni rob zornega polja, bomo na sredini videli [tiri zvezde 6. magnitude, od katerih imajo tri oznake 9, 10 in 13. Planetarka le/i manj kot pol stopinje jugozahodno od zvezde 13, za natan;nej[e lociranje pa nam je v pomo; narobe obrnjen sr;ek, ki ga sestavljajo zvezde 8. in 9. magnitude. ψ λ κ ι 13 NGC Planetarna meglica NGC 7662 se v daljnogledu prav po ni;emer ne lo;i od okoli[kih zvezd. Zakaj bi se potem sploh mu;ili in iskali tak[no zvezdi podobno piko Odgovor je preprost. Z daljnogledom z velikim zornim poljem je iskanje [ibkih objektov veliko preprostej[e kot s povpre;nim amaterskim teleskopom. Ko se nau;imo poti od svetlih zvezd do nekega [ibkega objekta, bomo znanje s pridom uporabili takrat, ko bomo imeli ve;ji teleskop. 172

23 h. Andromeda M 110 M31. λ 7686. Lacerta M 52. Cassiopeia ε IC1848. Alderamin. Cepheus. β γ. Polaris. Ursa Minor +75 M 82 M 81 +60 M 101.

23 h. Andromeda M 110 M31. λ 7686. Lacerta M 52. Cassiopeia ε IC1848. Alderamin. Cepheus. β γ. Polaris. Ursa Minor +75 M 82 M 81 +60 M 101. m m 0 h 9 h 8 h 6 h 70 67 M IC 756 Aquila Altair 66 665 7 6709 Sagitta 09 Serpens Caput M 5 h Delphinus Coathanger Hercules Equuleus M 7 Albireo M 57 68 Corona Borealis Gemma 687 Vega M M 5 Vulpecula Cirrus

Διαβάστε περισσότερα

23 h. Andromeda M 110. Lacerta M 52. δ Cassiopeia ε. Alderamin. Cepheus. Polaris. Ursa Minor +75 M 82 M M 101. Ursa Maior M 51.

23 h. Andromeda M 110. Lacerta M 52. δ Cassiopeia ε. Alderamin. Cepheus. Polaris. Ursa Minor +75 M 82 M M 101. Ursa Maior M 51. Beginners Star Atlas by Ed Vazhorov, www.eproject.ru boundaries figures Ecliptic Planetary Diffuse Galaxies Open Globular Double or multiple stars Variable stars Stars 0 m m m 3 m 4 m 5 m 6 m 0 h 9 h 8

Διαβάστε περισσότερα

Prepared by Tom McDonough.

Prepared by Tom McDonough. Prepared by Tom McDonough http://astrotulsa.com/pub/messier/ Log Sheet Legend Seq Marathon observing sequence Cht Chart number on which object appears PMC Chart number from The Year Round Messier Marathon

Διαβάστε περισσότερα

A.L. Double Star Observing List Page 1 of 7

A.L. Double Star Observing List Page 1 of 7 Page 1 of 7 Eta Cassiopeia η Cassiopeiae 00h 49.1m +57 49' Cassiopeia 1 3.4, 7.5 1980: 12.0" 2000: 12.9" 2020: 13.5" 65 Pisces 00h 49.9m +27 43' Pisces 4 6.3, 6.3 4.4" 297 Psi 1 Pisces ϕ 1 Piscium Zeta

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

Site-ul AstroInfo &

Site-ul AstroInfo   & Site-ul AstroInfo www.astro-info.ro & prezintă 2011 Hotea Sorin Toate drepturile rezervate. HărŃile pot fi folosite sau transmise doar cu precizarea sursei şi a autorului. Altfel se încalcă legea privind

Διαβάστε περισσότερα

Site-ul AstroInfo &

Site-ul AstroInfo   & Site-ul AstroInfo www.astro-info.ro & prezintă 200 Hotea Sorin Toate drepturile rezervate. HărŃile pot fi folosite sau transmise doar cu precizarea sursei şi a autorului. Altfel se încalcă legea privind

Διαβάστε περισσότερα

SFA Star Chart 2 - Equatorial Region

SFA Star Chart 2 - Equatorial Region 5 h SFA Star Chart 1 - Northern Region ANDROMEDA - Daughter of Cepheus and Cassiopeia ANTLIA - Air Pumpe APUS - Bird of Paradise AQUILA - Eagle AQUARIUS - Water Carrier ARA - Altar ARIES - Ram AURIGA -

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

Taki s 8.5 Magnitude Star Atlas

Taki s 8.5 Magnitude Star Atlas 1 Taki s 8.5 tar Atlas Toshimi Taki evision -: January 7, 2006 15 tars Deep ky Objects Common tars Multiple tars Variable tars Galaxies Bright Nebulae Dark Nebulae Planetary Nebulae upernova emnant Open

Διαβάστε περισσότερα

Site-ul AstroInfo &

Site-ul AstroInfo   & Site-ul AstroInfo www.astro-info.ro & prezintă 20 Hotea Sorin Toate drepturile rezervate. HărŃile pot fi folosite sau transmise doar cu precizarea sursei şi a autorului. Altfel se încalcă legea privind

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

GALAKSIJE OPAZOVANJE GALAKSIJ, izračuni, posledice

GALAKSIJE OPAZOVANJE GALAKSIJ, izračuni, posledice Moderna fizika - seminarska naloga GALAKSIJE OPAZOVANJE GALAKSIJ, izračuni, posledice Domžale, dne 20. 2. 2004 Marjan Grilj, 3.l. fizika vsš, FMF Vsebina: (1) Osnove: (a) opazovanje (b) določanje oddaljenosti

Διαβάστε περισσότερα

Magnitud Límite Estelar

Magnitud Límite Estelar Magnitud Límite Estelar Áreas de MALE Zona Estrellas Zona Estrellas Dra - Dra - Dra - Dra 6 Cvn - UMa - Uma Per - Per - Per Aur - Aur - Aur 3 3 UMa - UMa - UMa 8 And - And - ϕ And 4 Gem - Gem - Gem 9 Dra

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

kg 2 Naredimo miselni poskus.

kg 2 Naredimo miselni poskus. 41 3.1 3.2 3.3 F F Kako je angleški fizik Newton odkril gravitacijski zakon, pripoveduje tale anekdota. Nekega dne je ob popoldanskem čaju počival v senci jablane. Ko je zapihal vetrič, je z drevesa padlo

Διαβάστε περισσότερα

Messier Marathon List

Messier Marathon List Messier Marathon List 1. M77 spiral galaxy in Cetus 4. M31 The Andromeda Galaxy spiral galaxy in Andromeda M32 Satellite galaxy of M31 elliptical galaxy in Andromeda M110 Satellite galaxy of M31 elliptical

Διαβάστε περισσότερα

Kazalo Charles Messier Katalog objektov globokega neba Opis izbranih objektov Messierjev maraton M+ maraton

Kazalo Charles Messier Katalog objektov globokega neba Opis izbranih objektov Messierjev maraton M+ maraton Astronomsko društvo Vega Messierjev katalog Predstavitev za astronomsko skupino UNI3 Gregor Vertačnik Vodice, november 2012 Kazalo Charles Messier Katalog objektov globokega neba Opis izbranih objektov

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu. Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.

Διαβάστε περισσότερα

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH

Διαβάστε περισσότερα

Name Constellation Αστερισµός Con. Triangulum Galaxy. Triangulum Τρίγωνον TRI 01 33.9 +30 39 5,7 68.7 m 60. Andromeda Galaxy

Name Constellation Αστερισµός Con. Triangulum Galaxy. Triangulum Τρίγωνον TRI 01 33.9 +30 39 5,7 68.7 m 60. Andromeda Galaxy 1 M 77 1068 Spiral GALXY 60000. Cetus Κήτος CET 02 42.7-00 01 8,9 7.3 m 83 2 M 74 628 Spiral GALXY 35000. Pisces Ιχθείς PSC 01 36.7 +15 47 9,4 10 m 60 3 M 33 598 Spiral GALXY 2590 Triangulum Triangulum

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR - 4. LETNIK. Veliki pok. Avtor: Daša Rozmus. Mentor: dr. Anže Slosar in prof. dr. Tomaž Zwitter. Ljubljana, Marec 2011

SEMINAR - 4. LETNIK. Veliki pok. Avtor: Daša Rozmus. Mentor: dr. Anže Slosar in prof. dr. Tomaž Zwitter. Ljubljana, Marec 2011 SEMINAR - 4. LETNIK Veliki pok Avtor: Daša Rozmus Mentor: dr. Anže Slosar in prof. dr. Tomaž Zwitter Ljubljana, Marec 2011 Povzetek Že stoletja pred našim štetjem so se ljudje spraševali kaj nas obdaja,

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Splošno o interpolaciji

Splošno o interpolaciji Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo

Διαβάστε περισσότερα

8. Diskretni LTI sistemi

8. Diskretni LTI sistemi 8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z

Διαβάστε περισσότερα

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:

Διαβάστε περισσότερα

KAJ SO TO SPREMENLJIVKE?

KAJ SO TO SPREMENLJIVKE? SPREMENLJIVKE 1 2 USTVARJALC I: Polona Kuhar Petra Prijatelj Milena Dimc KAJ SO TO SPREMENLJIVKE? Spremenljivke so malo drugačne zvezde. To je tako, kot bi gledali dve žarnici enakega sijaja, toda v različni

Διαβάστε περισσότερα

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,

Διαβάστε περισσότερα

ASTRONOMI V KMICI dvanajstič

ASTRONOMI V KMICI dvanajstič ASTRONOMI V KMICI dvanajstič Astronomi v Kmici, dvanajstič kmi a Kazalo KMICA V GALILEJEVEM LETU... 2 MEDNARODNO LETO ASTRONOMIJE 2009 V SLOVENIJI... 2 ROJSTVO ZVEZD... 2 POVPREČNA TEMPERATURA PLANETOV...

Διαβάστε περισσότερα

V meandru Eridana. Novice> Nove ocene o [tevilu planetov v na[i Galaksiji> vsaj 100 milijard jih je! ozvezdja Zajec za binokle

V meandru Eridana. Novice> Nove ocene o [tevilu planetov v na[i Galaksiji> vsaj 100 milijard jih je! ozvezdja Zajec za binokle Novice> Nove ocene o [tevilu planetov v na[i Galaksiji> vsaj 100 milijard jih je! januar 2013 [tevilka 1 cena 5,70 EUR V meandru Eridana ozvezdja Zajec za binokle intervju Laserski kazalniki kraljica znanosti

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike uvod

Osnove elektrotehnike uvod Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.

Διαβάστε περισσότερα

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva

Διαβάστε περισσότερα

THE MAG-7 STAR ATLAS PROJECT

THE MAG-7 STAR ATLAS PROJECT Free Mag 7 Star Charts - Article http://www.cludynights.cm/item.php?item_id= Seite vn 4 8.07 Sea Thur Hme / Free Mag 7 Star Charts by Andrew Jhnsn 04/4/0 Email Authr Vice yur pinin abut this tpic in the

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Hipparcos, Gaia in Hubble

Hipparcos, Gaia in Hubble , in Tekavec Jernej Vidmar Blaž Univerza v Ljubljani Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo 20. april 2012 Tekavec Jernej Vidmar Blaž, in Astrometrija Tekavec Jernej Vidmar Blaž, in Astrometrija Veja astronomije

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka vaj iz astronomije

Zbirka vaj iz astronomije Zbirka vaj iz astronomije Andreja Gomboc Fakulteta za naravoslovje, Univerza v Novi Gorici Morebitne napake prosim sporočite na: andreja.gomboc@ung.si 1 Nebesne koordinate 1. Katere zvezde so nadobzornice

Διαβάστε περισσότερα

PROCESIRANJE SIGNALOV

PROCESIRANJE SIGNALOV Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.

Διαβάστε περισσότερα

ZEMLJOMOR ALI GEOCID ARGUMENTI ZA IN PROTI. Zakaj bi želeli razbiti Zemljo? Vi, vi nori, bedasti, manijak! ZAKAJ?

ZEMLJOMOR ALI GEOCID ARGUMENTI ZA IN PROTI. Zakaj bi želeli razbiti Zemljo? Vi, vi nori, bedasti, manijak! ZAKAJ? 1 Andrej Ivanuša, december 2010 ZEMLJOMOR ALI GEOCID Odločili ste se, da izvršite zemljomor ali, če rečemo s tujko, geocid. Torej, odločili ste se, da razstrelite Zemljo. Da jo razstavite na prafaktorje,

Διαβάστε περισσότερα

RAZISKOVALNO ASTRO NOMSKI KROŽE K internetna stran:

RAZISKOVALNO ASTRO NOMSKI KROŽE K internetna stran: ISSN 1580-3562 LETNIK VII, APRIL 2006 internetna stran: www.astromaister.sc-rm.net e-mail: AstroMaister@sc-rm.net RAZISKOVALNO ASTRO NOMSKI KROŽE K internetna stran: www.rak.sc-rm.net e-mail: Rak@sc-rm.net

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

I. del: Dinamika prozornega vesolja Vsebino občasno dopolnim! Če nimate radi matematike, preberite prvih 16 strani in zaključek.

I. del: Dinamika prozornega vesolja Vsebino občasno dopolnim! Če nimate radi matematike, preberite prvih 16 strani in zaključek. I. del: Dinamika prozornega vesolja Vsebino občasno dopolnim! Če nimate radi matematike, preberite prvih 16 strani in zaključek. Dinamika vesolja krivulje velikosti vesolja v odvisnosti od časa, glede

Διαβάστε περισσότερα

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORJI. Operacije z vektorji

VEKTORJI. Operacije z vektorji VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

MLADINSKI ASTRONOMSKI RAZISKOVALNI TABOR MEDVEDJE BRDO Urednik: Igor Grom

MLADINSKI ASTRONOMSKI RAZISKOVALNI TABOR MEDVEDJE BRDO Urednik: Igor Grom MLADINSKI ASTRONOMSKI RAZISKOVALNI TABOR MEDVEDJE BRDO 2000 (poročilo) Urednik: Igor Grom Astronomsko društvo Javornik, Ljubljana, 2001 1 Kazalo 1 Uvod 6 2 Opazovanje nočnega neba 7 2.1 Zvezdne kopice.....................................

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Najprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki:

Najprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki: NALOGA: Po cesi vozi ovornjak z hirosjo 8 km/h. Tovornjak je dolg 8 m, širok 2 m in visok 4 m in ima maso 4 on. S srani začne pihai veer z hirosjo 5 km/h. Ob nekem času voznik zaspi in ne upravlja več

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

Telo samo po sebi ne spremeni svoje lege ali oblike. To je lahko le posledica drugega telesa, ki nanj učinkuje.

Telo samo po sebi ne spremeni svoje lege ali oblike. To je lahko le posledica drugega telesa, ki nanj učinkuje. 2. Dinamika 2.1 Sila III. PREDNJE 2. Dinamika (sila) Grška beseda (dynamos) - sila Gibanje teles pod vplivom zunanjih sil 2.1 Sila Telo samo po sebi ne spremeni svoje lege ali oblike. To je lahko le posledica

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

MIKROSKOP IN MIKROSKOPIRANJE

MIKROSKOP IN MIKROSKOPIRANJE Gimnazija Murska Sobota POROČILO K LABORATORIJSKI VAJI MIKROSKOP IN MIKROSKOPIRANJE Sandra Gorčan, 4.c prof. Edita Vučak Murska Sobota,8.10.2003 UVOD: Mikroskop je naprava, ki služi za gledanje mikroskopsko

Διαβάστε περισσότερα

Theoretical Examination

Theoretical Examination Page 1 of 7 (T1) 1. NALOGA Drži ali ne drži Označi, ali so naslednje trditve pravilne ali napačne. Na listu za odgovore označi pravilen odgovor (TRUE, če je trditev pravilna, in FALSE, če je trditev napačna).

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

kmi a Astronomi v Kmici, petnajstič ASTRONOMI V KMICI petnajstič

kmi a Astronomi v Kmici, petnajstič ASTRONOMI V KMICI petnajstič ASTRONOMI V KMICI petnajstič 1 Kazalo ASTRONOMI V KMICI PETNAJSTIČ... 3 HERMAN POTOČNIK NOORDUNG - ZNANOST ALI KULTURA... 4 VIŠINA SONCA NAD OBZORJEM... 6 GALAKSIJE... 8 POVRŠINSKA HITROST PLANETOV...

Διαβάστε περισσότερα

1. Trikotniki hitrosti

1. Trikotniki hitrosti . Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca

Διαβάστε περισσότερα

Zgodba vaše hiše

Zgodba vaše hiše 1022 1040 Zgodba vaše hiše B-panel strani 8-11 Osnovni enobarvni 3020 3021 3023 paneli 3040 3041 Zasteklitve C-panel strani 12-22 S-panel strani 28-35 1012 1010 1013 2090 2091 1022 1023 1021 1020 1040

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil. Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih

Διαβάστε περισσότερα

Slika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici.

Slika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici. 4. poglavje: Sile 5. Cestna svetilka visi na sredi 10 m dolge žice, ki je napeta čez cesto. Zaradi teže svetilke (30 N) se žica za toliko povesi, da pride sredina za 30 cm niže kot oba konca. Kako močno

Διαβάστε περισσότερα

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,

Διαβάστε περισσότερα

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek.

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek. DN#3 (januar 2018) 3A Teme, ki jih preverja domača naloga: Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

kmi a Astronomi v Kmici, trinajstič ASTRONOMI V KMICI trinajstič

kmi a Astronomi v Kmici, trinajstič ASTRONOMI V KMICI trinajstič ASTRONOMI V KMICI trinajstič 1 ASTRONOMIJA PO SVETOVNEM LETU ASTRONOMIJE... 2 MATEMATIČNO MODELIRANJE GIBANJA SATELITOV... 2 KAKO SO V VESOLJU NASTALI KEMIJSKI ELEMENTI?... 2 VIŠINA GORA NA LUNI... 2 PROJEKT

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

T : g r i l l b a r t a s o s Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α. Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ

T : g r i l l b a r t a s o s Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α. Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α g r i l l b a r t a s o s Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 1 : 0 π μ Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ T ortiyas Σ ο υ

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Vaje: Električni tokovi

Vaje: Električni tokovi Barbara Rovšek, Bojan Golli, Ana Gostinčar Blagotinšek Vaje: Električni tokovi 1 Merjenje toka in napetosti Naloga: Izmerite tok, ki teče skozi žarnico, ter napetost na žarnici Za izvedbo vaje potrebujete

Διαβάστε περισσότερα

MLADINSKI ASTRONOMSKI TABOR

MLADINSKI ASTRONOMSKI TABOR Marko Pust Aram Karalič MLADINSKI ASTRONOMSKI TABOR Zveza za tehnično kulturo Slovenije Ljubljana 2001 2 Kazalo I Nekaj astronomskih projektov 15 1 Vaje za ogrevanje 19 1.1 Spoznavanje ozvezdij..............................

Διαβάστε περισσότερα

Libracija Lune. Alexander Jerman, Domen Mlakar, Milan Grkovski, Gabriela Hladnik

Libracija Lune. Alexander Jerman, Domen Mlakar, Milan Grkovski, Gabriela Hladnik Libracija Lune Alexander Jerman, Domen Mlakar, Milan Grkovski, Gabriela Hladnik 8. september 006 Gibanje Lune 1. Libracija Pojem libracija prihaja iz latinskega glagola libro -are "uravnotežiti, nihati"(tudi

Διαβάστε περισσότερα

PRILOGA za spletno stran k mojemu ČLANKU TEST ZNANJA O ASTRONOMIJI IN SILAH ZA REVIJO FIZIKA V ŠOLI 2/2011, december 2011

PRILOGA za spletno stran k mojemu ČLANKU TEST ZNANJA O ASTRONOMIJI IN SILAH ZA REVIJO FIZIKA V ŠOLI 2/2011, december 2011 PRILOGA za spletno stran k mojemu ČLANKU TEST ZNANJA O ASTRONOMIJI IN SILAH ZA REVIJO FIZIKA V ŠOLI /0, december 0 Test V prispevek sem uvrstil test, ki preverja znanje astronomije in osnovno znanje o

Διαβάστε περισσότερα

MERJENJE Z MIKROSKOPOM

MERJENJE Z MIKROSKOPOM 1. laboratorijska vaja MERJENJE Z MIKROSKOPOM Uvod Mikroskop Mikroskop (iz grških besed mikrós majhno in skopeîn gledati, videti) je posebna optična naprava, ki je sestavljena iz sistema leč, za opazovanje

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.

Διαβάστε περισσότερα

Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik

Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Orientacija. Aleš Glavnik in Bojan Rotovnik

5.2. Orientacija. Aleš Glavnik in Bojan Rotovnik Orietacija Aleš Glavik i Boja Rotovik 52 Izvleček: Pred stav lje e so iz bra e te me iz orie ti ra ja v a ra vi, ki jih mo ra poz a ti vsak vod ik PZS, da lah ko var o vo di ude le `e ce a tu ri Pred stav

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Fazni diagram binarne tekočine

Fazni diagram binarne tekočine Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,

Διαβάστε περισσότερα

Prve astronomske opazovalne naprave

Prve astronomske opazovalne naprave Človeka je narava obdarila z zelo sposobno napravo oziroma inštrumentom. To so oči. Z njimi vidimo in tako zaznavamo večino informacij (90%) okoli sebe, lahko spoznavamo Vesolje in Zemljo. Svetlobni žarki

Διαβάστε περισσότερα