Tretja vaja iz matematike 1

Transcript

1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Zveze med obema zapisoma: Tabela: π x 0 sin x 0 cos x x = r cos ϕ r = x + y y = r sin ϕ π 4 tgx 0 π π ϕ = arctg y x π π 4 5π π Operacije s polarnim zapisom: z = z cos ϕ + i sin ϕ), w = w cos ψ + i sin ψ) z w = z w cos ϕ + ψ) + i sin ϕ + ψ)) z = z cos ϕ + i sin ϕ) z n = z n cos nϕ + i sin nϕ) DeMoivreova formula. Zapiši naslednja kompleksna števila v polarni obliki! a z = + i Vidimo: x =, y = ; od koder izračunamo: r = + = in ϕ = arctg = arctg = π 4. Polarna oblika: z = cos π 4 + i sin π 4 ) = e i π 4.

2 b z = i Vidimo: x =, y = ; od koder izračunamo: r = 4 = in ϕ = arctg = arctg = π + π = 4π. Opomba: Kotu smo prišteli π, ker število leži v tretjem kvadrantu. Pri tem upoštevamo, da je funkcija tg periodična s periodo π. Polarna oblika: z = cos 4π + i sin 4π) = ei 4π. c z = + i Vidimo: x =, y = ; od koder izračunamo: r = 4 = in ϕ = arctg = arctg ) = π 4. Polarna oblika: z = cos π 4 + i sin π 4 ) = ei π 4.. Izračunaj vrednost izraza +i) 7 s pomočjo DeMoivreove formule! Najprej zapišimo število z = + i v polarno obliko. Vidimo: x =, y = ; od koder izračunamo: r = + 9 = in ϕ = arctg = arctg ) = π. Polarna oblika: z = cos π + i sin π). Sedaj uporabimo DeMoivreovo formulo in dobimo: + i) 7 = ) cos 7 7 π ) + i sin 7 π )) = 8 7 cos 4π ) 4π + i sin = 45 cos π + i sin π ) Na zadnjem koraku smo upoštevali, da sta funkciji sin in cos periodični s periodo π.. Reši naslednje ciklometrične enačbe! a z = Najprej zapišemo levo in desno stran enačbe v polarni obliki. Velja: z = z cos ϕ + i sin ϕ) oz. z = z cos ϕ + i sin ϕ) in = cos 0 + i sin 0). Torej dobimo enačbo z cos ϕ + i sin ϕ) = cos 0 + i sin 0). Dve kompleksni števili sta enaki, ko imata enak radij in enak kot. Zato rešimo enačbi: z = in cos ϕ = cos 0. Prva ima rešitev

3 b z = i z =, druga pa ϕ = 0 + kπ, k Z, torej ϕ k = kπ, k = 0,,. Tako dobimo tri kote: ϕ 0 = 0, ϕ = π in ϕ = 4π. Ti nam dajo tri rešitve po formuli w k = z cos ϕ k + i sin ϕ k ), k = 0,, : w 0 = cos 0 + i sin 0) =, w = cos π + i sin π ) w = cos 4π + i sin 4π ) = + i, = i. Rešitve enačbe ležijo na krožnici z radijem in so enakomerno razporejene. Najprej zapišemo levo in desno stran enačbe v polarni obliki. Velja: z = z cos ϕ + i sin ϕ) oz. z = z cos ϕ + i sin ϕ) in i = cos π + i sin π ). Torej dobimo enačbo z cos ϕ + i sin ϕ) = cos π + i sin π ). Dve kompleksni števili sta enaki, ko imata enak radij in enak kot. Zato rešimo enačbi: z = in cos ϕ = cos π. Prva ima rešitev z =, druga pa ϕ = π + kπ, k Z, torej ϕ k = π + kπ, k = 0,,. Tako dobimo tri kote: ϕ 0 = π, ϕ = 5π in ϕ = π. Ti nam dajo tri rešitve po formuli w k = z cos ϕ k + i sin ϕ k ), k = 0,, : w 0 = cos π + i sin π ) = + i, w = cos 5π + i sin 5π ) = + i, w = cos π + i sin π ) = i. Rešitve enačbe ležijo na krožnici z radijem in so enakomerno razporejene. c z 4 = 8 + 8i Najprej zapišemo levo in desno stran enačbe v polarni obliki. Velja: z = z cos ϕ + i sin ϕ) oz. z 4 = z 4 cos 4ϕ + i sin 4ϕ)

4 in 8 + 8i = cos π + i sin π). r = =, ψ = arctg 8 = arctg ) = π ) Torej dobimo enačbo 8 z 4 cos 4ϕ + i sin 4ϕ) = cos π + i sin π ). Dve kompleksni števili sta enaki, ko imata enak radij in enak kot. Zato rešimo enačbi: z 4 = in cos 4ϕ = cos π. Prva ima rešitev z =, druga pa 4ϕ = π + kπ, k Z, torej ϕ k = π + kπ, k = 0,,,. Tako dobimo štiri kote: ϕ 0 = π, ϕ = π, ϕ = 7π in ϕ = 5π. Ti nam dajo štiri rešitve po formuli w k = z cos ϕ k + i sin ϕ k ), k = 0,,, : w 0 = cos π + i sin π ) = + i, w = cos π + i sin π ) = + i, w = cos 7π + i sin 7π ) = i, w = cos 5π + i sin 5π ) = i. Rešitve enačbe ležijo na krožnici z radijem in so enakomerno razporejene. 4. Reši naslednje enačbe! a z + z = + i Zapišemo z = x + iy in dobimo: x + y + x + iy = + i. Dve kompleksni števili sta enaki, ko imata enaki realni in imaginarni komponenti. Torej dobimo sistem dveh enačb: x + y + x = in y =. Ko drugo vstavimo v prvo, dobimo: x + + x = x + = x x + = 4 4x + x 4x = x = 4 Rešitev enačbe je torej število z = 4 + i. 4

5 b z z = 0i Zapišemo z = x + iy in dobimo: x + iy) x iy) = 0i x + y + 0xyi = 0i Dve kompleksni števili sta enaki, ko imata enaki realni in imaginarni komponenti. Torej dobimo sistem dveh enačb: y x = 0 in 0xy = 0. Iz prve enačbe dobimo y = x oz. y = ±x. To vstavimo v drugo enačbo in dobimo x =, torej x = ± in zato y = ±. x in y morata biti hkrati pozitivna oz. negativna, zato dobimo dve rešitvi enačbe: z = + i in z = i. 5. Reši sisteme enačb! a z =, z + = Vzamemo z = x + iy. Iz prve enačbe dobimo: Iz druge enačbe pa dobimo: x + iy = x ) + y = 9 x + iy + = x + ) + y = 9 Dobljeni enačbi odštejemo in dobimo enačbo x =, ki ima rešitev x =. Vstavimo to rešitev v enačbo y = 9 x + ) in dobimo y = 7, torej y 4, = ±. Rešitvi sistema sta kompleksni števili z = + i in z = i. b z =, z = i z z+ Vzamemo z = x + iy. Rešimo najprej drugo enačbo in dobimo: x + iy x iy = i x + ixy y x + y = i x y x + y + i xy x + y = i 5

6 Primerjava realnih komponent nam da x y = 0, oz. x = y, xy primerjava imaginarnih komponent pa =, od koder sledi x +y =, torej y = x. Iz druge enačbe pa dobimo: xy x z = z + x + y = x + ) + y x = x + x + x = x = Torej x = in y =, zato je edina rešitev sistema z = i. c zz + + i)z + i)z + 4 = 0, i)z + + i)z + 4 = 0 Vzamemo z = x + iy. Iz druge enačbe dobimo: i)x + iy) + + i)x iy) + 4 = 0 x + iy ix + y + x iy + ix + y + 4 = 0 x + y + 4 = 0 y = x Iz prve enačbe ob upoštevanju gornjega rezultata dobimo: x + iy)x iy) + + i)x + iy) + i)x iy) + 4 = 0 x + y + x + ix + ix y + x ix iy y + 4 = 0 x + 4x + y y + 4 = 0 x + 4x + x ) x ) + 4 = 0 x + 0x + = 0 x + )x + ) = 0 Sledi x = in x =, od koder dobimo y = 0 in y =. Rešitvi sistema sta dve: z = in z = + i.. Nariši podmnožice kompleksne ravnine! a Rz ) = 4 Vzamemo z = x + iy in dobimo: Rx iy) ) = 4 Rx ixy y ) = 4 x y = 4 x 4 y 4 =

7 Dobili smo enačbo hiperbole s polosema a = in b =. Slika : Slika Rz ) = 4. b 0 Iz) < Če vzamemo z = x + iy, dobimo enačbo 0 y <, to pa predstavlja pas med premicama y = 0 in y =, kjer druge premice ni zraven, prva pa je. Slika : Slika 0 Iz) <. c z i < Enačba z z 0 = r predstavlja krožnico s središčem v točki z 0 in radijem r. Gornji sistem neenačb tako predstavlja kolobar s središčem v točki + i, kjer je notranja krožnica z radijem r = zraven, zunanja z radijem r = pa ne. d {z C; π < arg z) < π, z > } 4 Prvi neenačbi zadoščajo vsa kompleksna števila z argumentom strogo med π in π, drugi pa vsa kompleksna števila, ki so za več 4 kot oddaljena od izhodišča. 7

8 Slika : Slika z i <. Slika 4: Slika π < arg z) < π, z >. 4 8