Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
|
|
- Ατρεύς Κούνδουρος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva matrika P, da je B P 1 AP Vsaka matrika je podobna sama sebi Če je matrika A podobna matriki B, je tudi B podobna matriki A Res: Iz B P 1 AP sledi A PBP 1 Če je matrika A podobna matriki B in matrika B podobna matriki C, je tudi A podobna C Res: Če je B P 1 AP in C Q 1 BQ, je C Q 1 P 1 APQ (QP) 1 A(QP) Če je B P 1 AP, za vsak m N velja B m P 1 AP P 1 AP P 1 AP P 1 A m P 1 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Dana je matrika A R n n Želimo hitro izračunati A m za velik m N Če je A diagonalna matrika, je izračun enostaven: λ 1 λ 2 A diag(λ 1,λ 2,,λ n ), λ n λ m 1 A m λ2 m diag(λ 1 m,λ 2 m,,λ n m ) λn m 2 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik Matrika A je diagonalizabilna, če je podobna kakšni diagonalni matriki Matrika A [ 2 3 je diagonalizabilna 3 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) 4 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo)
2 Če je A diagonalizabilna matrika, velja D P 1 AP Za vsako naravno število m velja D m P 1 A m P in od tod A m PD m P 1 Izračunaj A 7 za matriko A [ 2 3 Dokaži, da matrika A [ ni diagonalizabilna Kot smo že prej videli, [ je matrika A diagonalizabilna, [ tj P 1 AP D za P in D Sledi [ [ [ A 7 PD 7 P ( 2) [ [ [ [ [ [ Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Poglejmo si lastnost diagonalizabilnosti podrobneje Naj torej velja P 1 AP D diag(λ 1,,λ n ) Označimo z e k (,,1,,) T R n 1 matriko stolpec, ki ima v k-ti vrstici število 1, vsa ostala števila pa so enaka Torej je De k λ 1 λ 2 λ n 1 λ k λ k e k Iz AP PD sledi APe k PDe k Pλ k e k λ k Pe k Če označimo k-ti stolpec matrike P s p k, velja p k Pe k in Ap k λ k p k Ker je matrika P obrnljiva, so stolpci p 1,, p n linearno neodvisni 7 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) 6 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) in lastni vektorji Število λ je lastna vrednost matrike A R n n, če obstaja kakšen neničeln vektor (stolpec) x R n 1, da je Ax λx Vektor x imenujemo lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti λ Lastni vektor ni enolično določen Če je x lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti λ, je tudi kx lastni vektor k isti lastni vrednosti za poljuben k R \ {} Res: A(kx) kax kλx λ(kx) Kot bomo kasneje videli, je možno, da k neki lastni vrednosti obstaja več linearno neodvisnih lastnih vektorjev 8 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo)
3 Matrično enačbo Ax λx lahko zapišemo v obliki Ax λix oz v obliki homogenega sistema linearnih enačb (A λi)x Gornji homogen sistem ima netrivialno rešitev, če je determinanta tega sistema enaka, tj det(a λi) Matrika A λi a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n a n1 a n2 a nn λ Karatkeristični polinom matrike A R n n je polinom stopnje n z realnimi koeficienti, njegove ničle pa so lastne vrednosti matrike A Polinom det(a λi) ima n ničel, ki pa niso nujno realna števila [ cosϕ sinϕ Določi vse lastne vrednosti matrike A sinϕ cosϕ se imenuje karakteristična matrika matrike A, njena determinanta det(a λ I) pa karakteristični polinom matrike A 9 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) 1 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Določi [ vse lastne vrednosti in lastne vektorje matrike 2 3 A Karakteristični polinom matrike A je det(a λi) 2 λ 3 λ ( 2 λ)(1 λ) in ima ničli λ 1 2, λ 2 1 Lastne vektorje k lastnima vrednostima λ 1 in λ 2 določimo tako, da poiščemo vse rešitve homogenega sistema za λ λ 1 in λ λ 2 (A λi)x, 11 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Za λ λ 1 2 imamo homogeni sistem (A λ 1 I)x, kjer je x (x 1,x 2 ) T neznani vektor Ta sistem lahko v popolnosti popišemo z razširjeno matriko [ 2 ( 2) 3 [A λ 1 I ( 2) [ [ 3 3 Od tod sledi, da je x 2 Ker je x 1 poljuben, so vsi lastni vektorji, ki pripadajo lastni vrednosti λ 1, oblike x (x 1,) T x 1 (1,) T, kjer je x 1 R Ker nas pri lastnih vektorjih običajno zanimajo le linearno neodvisni lastni vektorji, izmed vseh vektojev izberemo le tistega, ki ga najenostavneje zapišemo V našem primeru je to vektor (1,) T 12 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo)
4 Poglejmo si metodo še enkrat Ker je sistem (A λ 1 I)x homogen, desnih strani ni potrebno pisati Gornji račun za λ 1 2 zato na kratko zapišemo kot A λ 1 I [ 2 ( 2) 3 ( 2) [ 3 3 [ Ta matrični sistem ima rang 1, izrazljiva neznanka pa je v drugem stolpcu Sledi x 2, x 1 pa je (prost) parameter Torej x (x 1,) T, kjer je x 1 R poljuben Vsi lastni vektorji k λ 1 2 so torej oblike x 1 (1,) T Za λ 2 1 naredimo podobno Ker gre ponovno za homogeni sistem, desnih strani ne pišemo Skratka [ [ [ A λ 2 I 1 Tudi ta sistem ima rang 1, izrazljiva neznanka pa je v prvem stolpcu Sledi x 1 x 2 Rešitev je torej oblike x (x 2,x 2 ) T, kjer je x 2 R poljuben Vsi lastni vektorji k λ 2 1 so torej oblike x 2 (1,1) T 13 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) 14 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Izrek Matrika A R n n je diagonalizabilna natanko tedaj, ko ima n linearno neodvisnih lastnih vektorjev Če je matrika A diagonalizabilna, velja D P 1 AP Obrnljiva matrika P je sestavljena iz linearno neodvisnih vektorjev p k Pe k, ki imajo lastnost Ap k λ k p k Torej so p k lastni vektorji k lastnim vrednostim λ k Za dokaz v drugo smer pa vzemimo, da so p 1,, p n linearno neodvisni lastni vekorji Matrika, sestavljena iz stolpcev p 1,, p n, je obrnljiva Iz zveze Ap k λ k p k izpeljemo APe k DPe k za D diag(λ 1,,λ n ) Ker APe k DPe k velja za vsak k (tj k-ta stolpca se ujemata), je AP DP oz P 1 AP D 15 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonaliziraj matriko A [ 2 3 Videli smo že, da ima matrika lastni vrednosti λ 1 2 in λ 2 1 ter pripadajoča (linearno neodvisna) lastna vektorja p 1 (1,) T in p 2 (1,1) T Če zapišemo P [p 1 p 2 [ 1 1 bo diagonalizirana matrika enaka [ D P 1 λ1 AP λ 2, [ 2 Opozorilo lahko naštejemo tudi v drugem vrstnem redu Pomembno je le, da v matriko D in matriko P zložimo lastne vrednosti in pripadajoče lastne vektorje v enakem vrstnem redu 16 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo)
5 Diagonaliziraj matriko A Najprej moramo izračunati karakteristični polinom det(a λ I) det(a λi) 2 λ λ λ 2 λ λ λ λ λ 4 4 (2 λ)(1 λ)( 3 λ) 8 4 ( 4)(1 λ) ( 4)(2 λ) 2( 3 λ) (2 λ)(1 λ)( 3 λ) + 6 6λ (1 λ)((2 λ)( 3 λ) + 6) (1 λ)(λ + λ 2 ) 17 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Karakteristični polinom det(a λi) (1 λ)λ(1 + λ) ima torej ničle λ 1 1, λ 2 in λ 3 1 Pri λ 1 1 imamo det(a λ 1 I) Rešitev tega sistema je x 2 in x 1 x 3, torej vsi vektorji oblike ( x 3,,x 3 ) x 3 (1,, 1) Pripadajoči lastni vektor k λ 1 1 je npr p 1 (1,, 1) Izrazljivi neznanki pripadata prvemu in drugemu stolpcu 18 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Pri λ 2 imamo det(a λ 2 I) Pri λ 3 1 imamo A λ 3 I 2 ( 1) ( 1) ( 1) Rešitev tega sistema je x 3 in x 1 x 2, torej vsi vektorji oblike (x 2,x 2,) x 2 (1,1,) Pripadajoči lastni vektor k λ 2 je npr p 2 (1,1,) Izrazljivi neznanki pripadata prvemu in tretjemu stolpcu Rešitev tega sistema je x 1 in x x 3, torej vsi vektorji oblike (, 1 2 x 3,x 3 ) 1 2 x 3(,1,2) Pripadajoči lastni vektor k λ 3 1 je npr p 3 (,1,2) Izrazljivi neznanki pripadata prvemu in drugemu stolpcu 19 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) 2 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo)
6 Videli smo, da ima matrika lastne vrednosti λ 1 1, λ 2 in λ 3 1 ter pripadajoče (linearno neodvisne) lastne vektorje p 1 (1,, 1) T, p 2 (1,1,) T in p 3 (,1,2) T Če zapišemo P [p 1 p 2 p bo diagonalizirana matrika enaka λ 1 D P 1 AP λ 2 λ 3, 1 1 Diagonaliziraj matriko A Najprej moramo izračunati karakteristični polinom det(a λ I) det(a λi) 1 λ λ λ λ λ 2 1 ( 1 λ)( 2 λ)(2 λ) 6 2 2( 2 λ) ( 3)( 1 λ) ( 2)(2 λ) ( 1 λ)( 2 λ)(2 λ) 3 3λ ( 1 λ)(( 2 λ)(2 λ) + 3) ( 1 λ)( 1 + λ 2 ) (λ + 1) 2 (λ 1) 21 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) 22 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Karakteristični polinom ima lastne vrednosti λ 1,2 1 in λ 3 1 Oglejemo si A λ 1,2 I Matrika homogenega sistema je A λ 1,2 I 1 ( 1) ( 1) ( 1) Rešitev tega sistema je x 1 x 3 in x 2 x 3, torej vsi vektorji oblike ( x 3, x 3,x 3 ) x 3 (1,1, 1) Opazimo, da imamo le enoparametrično družino rešitev, čeprav je bila λ 1 dvojna ničla polinoma Kot bomo kasneje videli, je že to zadostna ovira, da matrika ni diagonalizabilna Za vajo določimo še lastne vektorje, ki pripadajo lastni vrednosti λ Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Za λ 3 1 je matrika homogenega sistema enaka A λ 3 I Rešitev tega sistema je x 1 in x 2 x 3, torej vsi vektorji oblike (, x 3,x 3 ) x 3 (,1, 1) Sedaj lahko tudi na drug način utemeljimo, da matrika ni diagonalizabilna Kot je račun pokazal, smo dobili le dva linearno neodvisna lastna vektorja, in sicer (1, 1, 1) in (, 1, 1), za diagonalizabilnost pa bi potrebovali 3 24 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) 1 1
7 Izrek Različnim lastnim vrednostim pripadajo linearno neodvisni lastni vektorji Naj bodo λ 1,, λ m različne lastne vrednosti in x 1,, x m pripadajoči lastni vektorji matrike A Z indukcijo bomo pokazali, da je za vsak k vektor x k linearno neodvisen od x 1,, x k 1 Če je k 1, ni kaj dokazovati Vektor x 1 je neničeln in je linearno neodvisen V dokazu indukcijskega koraka pa za hip privzemimo, da je x k µ 1 x 1 + µ 2 x µ k 1 x k 1 (1) Če to enakost (matrično) pomnožimo z A, dobimo Če pa enakost (1) pomnožimo z λ k, dobimo λ k x k µ 1 λ k x 1 + µ 2 λ k x µ k 1 λ k x k 1 (3) Iz (2) in (3) sledi protislovna enakost µ 1 (λ 1 λ k )x 1 + µ 2 (λ 2 λ k )x µ k 1 (λ k 1 λ k )x k 1 Slednje pa ne drži, saj je µ i za neki i < k in λ i λ k, vektorji x 1,, x k 1 pa so pravzaprav linearno neodvisni Ax k µ 1 Ax 1 + µ 2 Ax µ k 1 Ax k 1 oziroma λ k x k µ 1 λ 1 x 1 + µ 2 λ 2 x µ k 1 λ k 1 x k 1 (2) 25 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) 26 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Posledica Matrika, ki ima same različne lastne vrednosti, je diagonalizabilna Če je λ ničla reda r karakterističnega polinoma det(a λi), pravimo, da ima lastna vrednost λ algebraično večkratnost r Če lahko k lastni vrednosti λ poiščemo m linearno neodvisnih lastnih vektorjev, pravimo, da ima λ geometrično večkratnost m Vedno je 1 m r in matrika je diagonalizabilna natanko tedaj, ko je algebarična večkratnost vsake lastne vrednosti enaka njeni geometrični večkratnosti 27 Matjaž Željko Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo)
matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραOsnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti 1 / 20
Problem lastnih vrednosti 1 / 20 2 / 20 1 Uvod 2 Potenčna metoda 3 Inverzna iteracija 4 QR iteracija 5 Metode za simetrične matrike Sturmovo zaporedje Jacobijeva iteracija 3 / 20 Uvod Naj bo A R n n. Paru
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2014 2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijska smer: Fizika in matematika SANDRA BOLTA
Διαβάστε περισσότερα11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti
11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti Dani sta kvadratni n n matriki A in B. Množico vseh matrik oblike A λb, kjer je λ C, imenujemo matrični šop in označimo z (A, B) ali A λb. Karakteristični polinom
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότεραNumerične metode 2 (finančna matematika)
Bor Plestenjak Numerične metode 2 (finančna matematika) delovna verzija verzija:. februar 203 Kazalo Nesimetrični problem lastnih vrednosti 5. Uvod............................................ 5.2 Schurova
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Skripta za vaje iz Matematike II (UNI + VSP) Ljubljana, determinante Determinanta det A je število, prirejeno
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Διαβάστε περισσότεραMetoda glavnih komponent
Metoda glavnih komponent Metoda glavnih kompnent je ena najpogosteje uporabljenih multivariatnih metod. Osnoval jo je Karl Pearson (1901). Največ zaslug za nadaljni razvoj pa ima Hotelling (1933). Osnovna
Διαβάστε περισσότεραOznake in osnovne definicije
Oznake in osnovne definicije B Plestenjak, JKozak: Numerične metode 2011-2012 1 / 53 Sistem n linearnih enačb z n neznankami a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότερα11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 7 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju.??? Ko sem
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II TEORIJA
Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko MTEMTIK. letnik VSŠ MTEMTIK II TEORIJ Maribor, 202 Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko
Διαβάστε περισσότεραPoglavje 2. Sistemi linearnih enačb
Poglavje 2 Sistemi linearnih enačb Najpogostejši problem, na katerega naletimo pri numeričnem računanju, je reševanje sistema linearnih enačb Tak sistem lahko dobimo direktno iz matematične formulacije
Διαβάστε περισσότεραTadeja Kraner Šumenjak MATEMATIKA. Maribor, 2010
Tadeja Kraner Šumenjak in Vilma Šuštar MATEMATIKA Maribor, 2010 2 CIP-kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor CIP številka Avtor Naslov publikacije/avtor, kraj, založnik ISBN Naslov
Διαβάστε περισσότερα22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni?
FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/06 1. Definicija enakosti množic (funkcij, kompleksnih števil, urejenih n teric)? 2. Definicija kartezičnega produkta množic A in B. Definicija množice R n. 3. Popolna
Διαβάστε περισσότεραMATRIČNI ZAPIS MODELA IN OSNOVE MATRIČNE OPERACIJE
Biometrija 1 Poglavje 1 MATRIČNI ZAPIS MODELA IN OSNOVE MATRIČNE OPERACIJE 11 Skalar Skalar je matrika reda 1 x 1 Skalarji so označeni z malimi ali velikimi navadnimi (neodebeljene) črkami kot npr y i
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistemov linearnih enačb
1 / 37 Reševanje sistemov linearnih enačb Meteorologija z geofiziko, I. stopnja http://ucilnica.fmf.uni-lj.si/ 2 / 37 Matrični zapis sistema linearnih enačb Sistem m linearnih enačb z n neznankami a 11
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραDragi polinom, kje so tvoje ničle?
1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραMatematično modeliranje. Simpleksna metoda.
Simpleksna metoda. Drago Bokal, Tanja Gologranc Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru Kanonična oblika linearnega programa. min c T x p. p.
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραKanonična oblika linearnega programa. Simpleksna metoda. Bazne rešitve kanoničnega linearnega programa.
Kanonična oblika linearnega programa.. Drago Bokal, Tanja Gologranc Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru min c T x p. p. Ax = b x 0 Kako dobimo
Διαβάστε περισσότεραKombinatorika. rekurzivnih enačb in rodovne funkcije. FMF Matematika Finančna matematika. Vladimir Batagelj. Ljubljana, april
FMF Matematika Finančna matematika Kombinatorika Reševanje rekurzivnih enačb in rodovne funkcije Vladimir Batagelj Math fun: Pascal triangle Ljubljana, april 2008 4. Dec 2012 različica: December 4, 2012
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότερα1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )
VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]
Διαβάστε περισσότεραJasna Prezelj DIFERENCIALNE ENAČBE. za finančno matematiko
Jasna Prezelj DIFERENCIALNE ENAČBE za finančno matematiko Ljubljana 211 naslov: DIFERENCIALNE ENAČBE ZA FINANČNO MATEMATIKO avtorske pravice: Jasna Prezelj izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba Jasna
Διαβάστε περισσότεραVerjetnost 2. Oktober Verjetnost 2 Šesto poglavje. Obratna pot do markovskih verig. Od diskretnega časa proti zveznemu. Stabilnost in eksplozije
Oktober 2010 Vsebina 1 2 3 Osnovne sestavine obratne poti Imejmo markovsko o z diskretnim časom Y s števno množico stanj S, z začetno porazdelitvijo π 0 in prehodno matriko Q, ki ima lastnost, da so vsi
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik BOJANA ZALAR Celje 2009 Izdala: Fakulteta za logistiko Univerze v Mariboru Naslov: Uporaba matematičnih metod
Διαβάστε περισσότεραAfina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραVerjetnost 2 Peto poglavje
e z e z November 2011 Vsebina e z 1 2 3 4 5 6 Šibka in krepka markovska e z Naj bo X = {X (t) t [0, )} družina slučajnih spremenljivk z zalogo vrednosti v neki množici stanj S, t.j. slučajni proces z.
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo
Διαβάστε περισσότεραMatematično modeliranje 3. poglavje Dinamično modeliranje: diferencialne enačbe, sistemi diferencialnih enačb
Matematično modeliranje 3. poglavje Dinamično modeliranje: diferencialne enačbe, sistemi diferencialnih enačb Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani 2017/2018 Za kaj rabimo diferencialne
Διαβάστε περισσότεραShefferjeva polinomska zaporedja
Shefferjeva polinomska zaporedja Marko Razpet Matematični kolokviji Ljubljana, 23. marca 2006 Page 1 of 63 Predstavljen bo osnovni koncept umbralnega računa, kakršnega sta razvila Gian-Carlo Rota in Steven
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότερα