Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Transcript

1 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014

2 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a 3,... Kaj bi bila vsota neskončno členov tega zaporedja? Na primer, kaj je

3 Definicija Naj bo {a n } zaporedje realnih števil. Izraz a 1 + a 2 + a = imenujemo številska vrsta, ali na kratko vrsta, število a n pa imenujemo splošni člen vrste. a n

4 S pomočjo členov zaporedja {a n } definiramo novo zaporedje {s n } s členi ki jih imenujemo delne vsote. s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2,... s n =... n a i, i=1

5 Vrsta je konvergentna, če konvergira zaporedje njenih delnih vsot {s n }. Limito zaporedja delnih vsot imenujemo vsota vrste. Če vrsta ni konvergentna, potem pravimo, da je divergentna. a n

6 Dano imamo zaporedje realnih funkcij f 1, f 2, f 3,... Kaj bi bila neskončna vsota teh funkcij? Na primer, kaj je sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... Definicija Naj bo {f 1, f 2,...} števna množica realnih funkcij. Potem izraz imenujemo funkcijska vrsta. f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) +... = f n (x)

7 Za vsak x 0 R, ki je v definicijskem območju vseh funkcij f n, n N, je potem f 1 (x 0 ) + f 2 (x 0 ) + f 3 (x 0 ) +... = f n (x 0 ) številska vrsta. Če za nek x 0 številska vrsta konvergira, potem pravimo, da je funkcijska vrsta konvergentna za ta x 0, oziroma, da je x 0 v definicijskem območju funkcijske vrste. Če za nek x 0 številska vrsta divergira, potem pravimo, da je za ta x 0 funkcijska vrsta divergentna, x 0 ni v definicijskem območju funkcijske vrste. Množica vseh vrednosti x, za katere je funkcijska vrsta konvergentna, sestavlja definicijsko območje funkcijske vrste.

8 Primer Dane so funkcije f n (x) = (sin x) n. Zanima nas konvergenca funkcijske vrste f n (x) = (sin x) n = sin x + (sin x) 2 + (sin x) Če vpeljemo novo spremenljivko y = sin x, potem vidimo, da za vsako vrednost spremenljivke x dobimo geometrijsko vrsto y n = y + y 2 + y , ki konvergira, če je y < 1.

9 Torej mora biti sin x < 1, oziroma x π 2 + kπ, k Z. Funkcijska vrsta (sin x) n = sin x + (sin x) 2 + (sin x) konvergira za vsak x R, razen za x = π 2 + kπ, k Z.

10 Oglejmo si, kaj je z integriranjem in odvajanjem funkcijskih vrst. V ta namen najprej definirajmo pojem enakomerne konvergence funkcijske vrste. Definicija Funkcijska vrsta f (x) = f n (x) je na intervalu [a, b] enakomerno konvergentna, če za vsak ε > 0 obstaja tak n 0 N, da je za vsak n > n 0 in vsak x [a, b]. f n (x) + f n+1 (x) +... < ε

11 Opomba Če je f (x) = f n(x) enakomerno konvergentna vrsta na [a, b], potem za vsak t [a, b] številska vrsta f n(t) enako hitro konvergira. Ostanek vrste je majhen od istega n 0 dalje za vse t [a, b].

12 Primer Raziščimo, kaj je z enakomerno konvergenco funkcijskih vrst: n=0 x 2 (1 + x 2 ) n Funkcijska vrsta konvergira za vsak x R. Ni zvezna v točki x = 0, saj je njena vrednost v 0 enaka 0, za vse ostale vrednosti x pa 1 + x 2. Funkcija na intervalu [ 1, 1] ni enakomerno konvergentna.

13 (x n+1 x n ) n=0 Funkcijska vrsta konvergira na ( 1, 1], a na tem intervalu ni EK. Za vsak 1 > ε > 0 in za vsak m N lahko najdemo tak x 0 dovolj blizu 1, da ostanek vrste ne bo manjši od ε za vse x z intervala ( 1, 1] Ni zvezna v točki x = 1.

14 Izrek Naj bo f (x) = f n(x) funkcijska vrsta. Velja: Če so vse funkcije f n zvezne in je funkcijska vrsta enakomerno konvergentna, potem je f zvezna funkcija. Če je funkcijska vrsta enakomerno konvergentna, potem jo lahko členoma integriramo, torej je b a f (x)dx = b a f n (x)dx. Če so funkcije f n odvedljive in je vrsta enakomerno konvergentna, potem je f n(x) f (x) = f n(x).

15 Potenčna vrsta Definicija Potenčna vrsta je funkcijska vrsta oblike F (x) = a 0 +a 1 (x x 0 )+a 2 (x x 0 ) 2 +a 3 (x x 0 ) = pri čemer je x 0 R. a n (x x 0 ) n, n=0

16 Kaj je s konvergenco potenčne vrste? S pomočjo kvocientnega kriterija lahko določimo konvergenčno območje potenčnih vrst. Definicija Če za potenčno vrsto n=0 a n(x x 0 ) n a obstaja lim n, n a n+1 potem število R = lim a n n a n+1 imenujemo konvergenčni polmer potenčne vrste.

17 Izrek Naj bo a n (x x 0 ) n n=0 potenčna vrsta in R njen konvergenčni polmer. Potem potenčna vrsta za vsak x (x 0 R, x 0 + R) konvergira, za vsak x R \ [x 0 R, x 0 + R] divergira, za x = x 0 R in x = x 0 + R pa, odvisno od potenčne vrste, lahko konvergira ali divergira.