Estimating Step Change Point in g Control Chart in Healthcare

Transcript

1 تخمین نقطه تغییر پله ای در نمودار کنترل g در حوزه بهداشت و درمان 3 امیر حسین امیری آزاده رفیعی طباطبایی 2 فاطمه سوگندی عضو هیئت علمی گروه مهندسی صنایع دانشگاه شاهد تهران ایران amr@shahed.ac.r دانشجوی کارشناسی ارشد گروه مهندسی صنایع دانشگاه پیام نور تهران ایران a.tabatabaee@yahoo.com دانشجوی کارشناسی ارشد گروه مهندسی صنایع دانشگاه شاهد f.sogand@shahed.ac.r چكیده یکی از اهداف اصلی کنترل فرآیند آماری کشف زمان دقیق وقوع تغییر در فرآیندها تحت عنوان نقطه تغییر است. از سوی دیگر با توجه به رابطه مهندسی کیفیت و اپیدمیولوژی بیمارستانی تخمین نقطه تغییر در فرآیندهای بهداشت و درمان از اهمیت بسزایی برخوردار است. از اینرو در این پژوهش ضمن ارائه نمودار کنترل g برای مراقبتهای درمانی به تخمین نقطه تغییر پله ای با استفاده پرداخته شده است. به منظور ارزیابی عملکرد روش پیشنهادی از شبیه سازی مونت کارلو بر اساس از برآورد حداکثر درست نمایی معیارهای صحت و دقت استفاده شده است. همچنین تعداد اعضای مجموعه اطمینان و احتمال پوشش آنها برای مجموعه اطمینان تخمین زننده براساس لگاریتم تابع درست نمایی ارائه شده است. نتایج حاصل از شبیه سازی حاکی از آن است که تخمین زننده پیشنهادی تحت شیفت پله ای از عملکرد رضایت بخشی تحت انواع شیفت ها برخوردار است. کلمات کلیدی کنترل فرآیند آماری نمودار کنترل g تخمین نقطه تغییر پله ای برآورد کننده حداکثر درست نمایی حوزه بهداشت و درمان Estmatng Step Change Pont n g Control Chart n Healthcare Amrhossen Amr, Azade Rafe Tabatabaee, Fatemeh Sogand Industral Engneerng Department, Shahed Unversty, Tehran, Iran M.Sc. student, Industral Engneerng Department, Tehran Payame Noor Unversty, Tehran, Iran ABSTRACT M.Sc. student, Industral Engneerng Department, Shahed Unversty, Tehran, Iran One of the man goals of Statstcal Process Control (SPC) s estmatng real tme of the change nown as change pont n process. On the other hand, change pont estmaton s mportant n healthcare wth consderng relatonshp between qualty engneerng and hosptal epdemology. Therefore, n ths paper, a g control chart s descrbed and a step change pont estmator usng Maxmum Lelhood Estmaton (MLE) s proposed n healthcare. Mont Carlo smulaton s used to evaluate performance of the proposed estmator based on accuracy and precson measures. In addton, cardnalty and coverage probablty of confdence set are presented for the proposed estmator based on the logarthm of the lelhood functon. Results of smulaton show that proposed change pont estmator performs satsfactory under all types of shfts. KEYWORDS Statstcal process control, g control chart, Step change pont, Maxmum Lelhood Estmaton (MLE), Healthcare. امیر حسین امیری ایران- تهران- بزرگراه خلیج فارس- روبروی حرم امام )ره(-دانشگاه شاهد تلفن: نمابر:

2 - مقدمه در میان ابزار هفت گانه کنترل فرآیند آماری نمودار کنترل ابزار قدرتمندی است که برای شناسایی انحرافات تصادفی از انحرافات با دلیل استفاده می شود. شناسایی انحرافات با دلیل با استفاده از هشدارهای حاصل از نمودارهای کنترلی صورت می گیرد. اما عموما هشدارهای نمودارهای کنترلی زمان واقعی تغییر فرآیندها را با تأخیر نشان می دهند. بنابراین برآورد زمان دقیق این تغییرات باعث صرفه جویی در زمان و هزینه در فرآیندهای صنعتی می شود. از سوی دیگر با رشد و توسعه جوامع بشری توجه به حفظ سالمت بشر بیش از پیش جلوه میکند بگونه ای که می توان گفت بهداشت و درمان جزء اولویت های کشورهای پیشرفته و در حال توسعه دنیا محسوب می شود. از اینرو بکارگیری علوم مختلف در این حوزه امری است که توجه بسیاری از محققین و متخصصین را به خود جلب نموده است. در این راستا با بررسی اجمالی رابطه بین مهندسی کیفیت و بحث اپیدمیولوژی بیمارستانی می توان به شباهتهای بسیاری در مفاهیم اصطالحات و روش های بکار رفته در آنها پی برد. برای مثال در حوزه بهداشت و درمان مشخصه های کیفی متفاوتی وجود دارند که الزم است مورد پایش و کنترل قرار گیرند. البته پایش هر مشخصه کیفی نیازمند نمودار کنترل خاصی است. نمودارهای کنترل می توانند در گستره بسیار وسیعی از تخصص های بهداشت و درمان مانند بیهوشی و مراقبت های ویژه مراقبت های اولیه داروهای اضطراری رادیولوژی داروهای مربوط به بیماری های داخلی جراحی قلب آسم پرستاری شیمی درمانی اورولوژی و سالمت روانی به کار گرفته شوند. در هر یک از این فرآیندهای درمانی بررسی علل ایجاد چنین انحرافاتی و انجام اقدامات اصالحی امری ضروری برای حفظ سالمت بشری است. بنابراین تخمین زمان تغییر در آنها از اهمیت بسزایی برخوردار است. تخمین نقطه تغییر در نمودارهای حوزه بهداشت و درمان یک موضوع نسبتا نوپا است که اخیرا توسط عصاره و همکاران [] مورد بررسی قرار گرفته است. هر چند که خأل تحقیقاتی در این زمینه توسط محققان زیادی مطرح شده است که از آن جمله می توان به گریگ و فارول [2] اشاره کرد. آنها از روش های بیزی برای تخمین نقطه تغییر استفاده کردند. در ارتباط بین حوزه بهداشت و درمان و کیفیت برای اولین بار کامینسکی و همکاران ]3[ مفهوم "تعداد یا زمان بین رخدادها" در حوزه بهداشت و درمان را مطرح کرد. بعد از آن بنیان ]4[ ]5[ طی دو مقاله مروری به بررسی انواع نمودار های کنترل وصفی و متغیر در حوزه مراقبت های بهداشتی برای پایش مشخصه های کیفی درمانی پرداخت. بعد از آن نیز بنیان ]6[ به بررسی عملکرد نمودارهای مبتنی بر توزیع هندسی در حوزه بهداشت و درمان پرداخت. هم چنین بنیان ]7[ کاربرد نمودارهای کنترل در فرآیندهای درمانی را مورد بررسی قرار داد. آزاده ]8[ با بررسی عملکرد نمودار مجموع مشاهدات و میانگین مشاهدات به ارائه یک نمودار کنترل مقاوم مبتنی بر توزیع دو جمله ای منفی پرداخته و عملکرد آن را با نمودارهای بررسی شده در ]6[ مقایسه نمود. دو کوهکی و همکاران ]9[ مثال هایی از کاربرد نمودار های کنترل برای پایش مشخصه های درمانی را بر اساس مقاالت موجود در این حوزه دسته بندی کردند. هم چنین در این رابطه وودال ][ کاربرد نمودارهای کنترل در حوزه بهداشت و درمان و برخی از مشکالت موجود در نحوه استفاده از این نمودارها را مطرح کرد. تر و همکاران ][ در سال 27 مشخصه های کیفی گوناگونی که در قسمت های مختلف یک بیمارستان یا یک محیط درمانی به منظور پایش عملکرد بخش های مختلف یا پایش وضعیت بیماران مورد استفاده قرار می گیرد را دسته بندی و مرور کردند. مراتب از آنجایی که در محیط های سالمت معموال داده های وصفی به بیشتر ازمحیط های صنعتی و تجاری یافت می شود. در ادبیات موضوع بکارگیری نمودارهای نسبت و تعداد عدم انطباقها و هم چنین تعداد نقصها در واحد بازرسی و واحد محصول به نسبت قابل توجهی بیشتر از نمودارهای نوع هندسی می باشند. اما در برخی فرآیندهای صنعتی بویژه فرآیندهای با کیفیت باال و یا فرآیندهایی که تمامی محصوالت تا یافتن محصول نامنطبق مورد بازرسی قرار می گیرند بکارگیری نمودارهای کنترل یاد شده احتمال زنگ خطرهای اشتباهی را باال می برد. همچنین در بسیاری از فرآیندهای حوزه بهداشت و درمان شاخص هایی چون تعداد روزها و یا عملیات های بین دو پیشامد ناگوار همانند عفونت حاصل از جراحی ساختاری مشابه فرآیندهای باکیفیت باال در صنعت را دارا می باشند. از اینرو کارایی نمودارهای مجموع تعداد پیشامدهای ناگوار بیمارستانی متخصصین فرآیندها را مجاب به استفاده از نمودارهای کنترل g می نماید. علی رغم کاربرد این نمودارها در پایش فرآیندهای حوزه بهداشت و درمان مطالعه ای در زمینه برآورد نقطه تغییر این نمودارها صورت نپذیرفته است. از اینرو در این پژوهش عملکرد برآوردکننده حداکثر درستنمایی به عنوان یکی از پرکاربردترین روشهای برآورد در تخمین نقطه تغییر پله ای در نمودار g مورد ارزیابی قرار خواهد گرفت. ساختار ادامه مقاله به این صورت است: در بخش 3 ضمن استفاده از نمودارهای کنترل g به ارائه روش پیشنهادی پرداخته شده است. در بخش 4 از شبیه سازی مونت کارلو برای ارزیابی عملکرد مدل پیشنهادی براساس معیارهای دقت و صحت استفاده شده است و معیارهای ارزیابی مجموعه اطمینان برای تخمین زننده پیشنهادی نیز ارائه شده است. نهایتا در قسمت پایانی مقاله نتیجه گیری و پیشنهادات برای تحقیقات آتی آورده شده است. 2- مدل پیشنهادی در این قسمت به تفصیل به ارائه مدل تخمین زننده پله ای در مشخصه های کیفی وصفی در بهداشت و درمان همچون تعداد جراحی های بین عفونت ها فاصله زمانی بین رخداد بیماری های 2

3 عفونی --2 روزهای بین واکنش انسولین و... خواهیم پرداخت. نمودار کنترل تعداد مشاهدات تا رسیدن به n امین شكست )g( در حالتی که مشاهدات مورد بررسی یک دنباله مستقل برنولی با احتمال شکست یکسان باشند آنگاه تعداد آزمایشهای برنولی تا رسیدن به یک شکست دارای توزیع هندسی است. عموما در تعریف توزیع هندسی از اصطالح موفقیت استفاده می شود. اما در این پژوهش بدون از دست دادن عمومیت مسئله و با توجه به این که پیشامدهای ناگواری چون عفونت یا دیگر وقایع نامطلوب مورد توجه متخصصین قرار می گیرد بجای استفاده از احتمال موفقیت از عبارت احتمال شکست استفاده خواهیم نمود. به طور مثال با در نظر گرفتن یک عفونت فعلی احتمال آن که عفونت بعدی در X امین مشاهده از عفونت نمونه فعلی اتفاق بیفتد از رابطه زیر تبعیت می کند: xa P( X x) p( p), x a, a,... )( بطوریکه p نشان دهنده احتمال شکست )وقوع عفونت( در هر آزمایش )در هر روز( می باشد. همچنین پارامتر a همواره معلوم و برابر مینیمم مقدار ممکن تعداد آزمایشات تا رسیدن به مقدار مطلوب است که در این مثال معادل حداقل روزهای سپری شده تا وقوع عفونت بعدی است. با توجه به اینکه کاربرد نمودار کنترل g مسائل کلی تری از حوزه بهداشت و درمان را نیز در بر می گیرد پس یادآور می شویم که مثال بیان شده فوق حالت خاصی از فرآیند قابل کنترل توسط نمودار g می باشد. برای طراحی نمودار کنترل g داریم: X: تعداد مشاهدات تا رسیدن به اولین شکست n: تعداد موفقیت ها )تعداد شکست ها یا همان وقایع نامطلوب( p: احتمال شکست )احتمال وقوع یک اتفاق ناگوار مثل عفونت( L: ضریب فاصله حدود کنترل از خط مرکز بر اساس انحراف معیار فرآیند از طرفی آماره تحت پایش توسط نمودار عبارت از g n می باشد. با توجه به اینکه جمع T X X2... Xn متغیر تصادفی مستقل هندسی متغیر تصادفی ای با توزیع بینم منفی می شود پس می توان گفت که تابع توزیع احتمال آماره T بصورت زیر می باشد: در مطالعات مربوط به حوزه بهداشت و درمان = n بیشتر از بقیه حالت ها مورد توجه است که علت آن شرایط بحرانی حاصل از پیشامدهای ناگوار و اهمیت زمان در این مطالعات است. با توجه به اینکه نمودارهای مورد بررسی در این پژوهش نمودارهای مبتنی بر مدل شوهارت است پس خط مرکز و حدود کنترل نمودار g به صورت ذیل خواهد بود: - p n( p) UCL n a L 2, p p - p CL n, )4( a p - p n( p) LCL n a L 2. p p توجه شود که در فاز 2 پایش فرآیند مقدار p در رابطه )4( معلوم است. قابل ذکر است در صورتی که حد کنترل پایین مقدار منفی بگیرد حداقل مقدار قابل قبول برای T یعنی na را به عنوان حد کنترل پایین در نظر خواهیم گرفت. از طرفی فرض می شود,=,2, که نشان دهنده بازه های زمانی بین هر n اتفاق بیمارستانی می باشد و هم چنین تعداد روزهای هر دوره با T نشان داده می شود. آماره های T در نمودار g مورد پایش قرار گرفته و در صورتی که آماره مذکور خارج از محدوده تحت کنترل قرار گیرد نمودار g هشدار خارج از کنترل را اعالم خواهد نمود. در صورتی که آماره T باالتر از حد کنترل باالی نمودار قرار گیرد نشان می دهد که تعداد روزهای بین n امین اتفاق در دوره قبل و دوره جاری افزایش یافته و این می تواند به عنوان یک نتیجه مطلوب تلقی گردد و یا قرار گرفتن آماره در مکانی پایینتر از حد کنترل پایین نشان دهنده وضعیت بحرانی کاهش تعداد روزهای بین دو n اتفاق متوالی می باشد برآورد نقطه تغییر در نمودار کنترل g در این قسمت برآورد نقطه تغییر پله ای نمودار کنترل g مورد بررسی قرار می گیرد. در اشاره مجدد به اهمیت شناسایی نقطه تغییر در نمودارهای کنترل مورد استفاده در حوزه بهداشت و درمان می توان گفت تخمین نقطه تغییر در این نمودارها از آن جا حائز اهمیت است که تشخیص دقیق زمانی که تغییر در خروجی های بیمارستانی روی می دهد متخصصان حوزه بهداشت را قادر می سازد تا علل بالقوه انحرافات با دلیل را به صورت کارآمدتری جستجو کنند زیرا از یک بازه زمانی کوچکتر برای تشخیص این علل استفاده میشود. مثال در مثال مذکور بعد از شناسایی علل می توان با ایجاد سیستم های موثر مراقبت استقرار مقررات و مصوبه هائی بمنظور کاهش خطر ابتالء به عفونت های بیمارستانی فراهم آوردن و t - n( a -) - n tna P( T t) p (- p), n - )2( t na, na,... امید ریاضی و واریانس آماره T نیز بصورت زیر خواهد بود: - p E( T) n a, p n( p) Var T p 2 ( ) T. 2 )3(2 3

4 p ( p ) ln L(, p ) ( ) nln t p ln t, p j t j. a a p( p) )8( مداومت برنامه های آموزشی برای کارکنان بیمارستان و... نرخ وقوع عفونت های بیمارستانی را کاهش داد. اما در صورت عدم توجه به موارد مذکور با افزایش احتمال رخداد پیشامدهای نامطلوب مثل عفونت های بیمارستانی مواجه می شود. در این بخش از مقاله با توجه به برخی از عوامل مؤثر در تغییر احتمال وقوع پیشامد نامطلوب )عفونت( به برآورد نقطه تغییر در نمودار کنترل g خواهیم پرداخت. از این رو فرض می شود که بازه های زمانی بین هر n اتفاق بیمارستانی برای,=,2, از فرآیند تحت کنترل با احتمال معلوم p پیروی کرده تا جایی که در زمان نامعلوم )دالیل( غیر تصادفی نرخ وقوع از تغییر و در سطح بنا به دلیل باقی می p ماند تا جایی که نمودار در زمان هشدار حالت خارج از کنترل را اعالم کند. در این صورت برای یافتن نقطه تغییر p با استفاده از برآوردکننده حداکثر درستنمایی خواهیم داشت: t ( ) (, ) a n n t L p p ( p) n t ( a ) n n t na p( p). )5( n na با بازنویسی رابطه )5( خواهیم داشت: n t p L(, p ) ( p) ( p ) n ( ) t ( a ) n p n ( p ) t t ( ) a n ( p ). n با گرفتن لگاریتم از دو طرف رابطه )6( خواهیم داشت: ln L(, p ) nln ( ) a p p t ( a ) n ln( p ) t ln n n p p t ( )ln ln( ) a ( p ) )6( )7( t ( a ) n ln. n در نهایت بعد از ساده سازی و انجام محاسبات که در پیوست الف به آنها اشاره شده است داریم: که در آن: با توجه به این که در رابطه )8( مقدار معلوم نبوده و باید تخمین زده شود می توان با گرفتن مشتق جزئی از رابطه مذکور نسبت به درستنمایی و برابر صفر قرار دادن آن ابتدا تخمین حداکثر pˆ (را محاسبه نموده و در رابطه )( قرار داد. ( بدین ترتیب برآورد حداکثر درستنمایی نقطه تغییر پله ای در نمودار g عبارت است از ای که عبارت سمت راست رابطه )8( را بیشینه a pˆ, ( p ) ˆ arg max ( ) n[ln a K p ˆ ( p, ) pˆ, ln t ] p pˆ, n t کند. )( بطوریکه: )( 3- شبیه سازی عددی به منظور ارزیابی عملکرد روش پیشنهادی از شبیه سازی مونت کارلو با حداقل تکرار در محیط نرم افزاری متلب استفاده شده است. پیشنهادی برای از اینرو ارزیابی عملکرد مدل تخمین زننده از شاخص های دقت و صحت استفاده شده است. همچنین در پایان برای تخمین زننده مجموعه اطمینان برآورد شده است. عملكرد برآورد کننده حداکثر درستنمایی در )9( -3- ارزیا یب نمودار g در این قسمت سعی بر آن است با انجام برخی مطالعات شبیه سازی عملکرد تخمین زننده پیشنهادی تحت شیفت پله ای را بررسی کنیم. ابتدا فرض می شود برای حالت کنترل فرآیند مقدار احتمال موفقیت در توزیع بینم منفی برابر.5= p است و زمان تغییر واقعی در سطح پارامتر مدنظر = انتخاب شده است. 4

5 جدول )(: امید ریاضی برآوردها در تخمین نقطه تغییر پله ای پس از دریافت هشدار حالت خارج از کنترل توسط نمودار g E() τ =, N =, p =. 5, > p n= n=2 n=3 E( ˆ ) se( ˆ ) E() E( ˆ ) se( ˆ ) E() E( ˆ ) se( ˆ ) جدول )2(: امید ریاضی برآوردها در تخمین نقطه تغییر پله ای پس از دریافت هشدار حالت خارج از کنترل توسط نمودار g E() τ =, N =, p =. 5, < p n= n=2 n=3 E( ˆ ) se( ˆ ) E() E( ˆ ) se( ˆ ) E() E( ˆ ) se( ˆ ) بدین ترتیب مشاهدات تا دوره زمانی ام از یک توزیع بینم منفی با تعداد ثابت و مشخصی از موفقیت ها )n( و.5= p تولید شده و برای 5 تا زمانی که نمودار کنترل هشدار خارج از کنترل را اعالم نماید مقدار پارامتر p در سطحی متفاوت از ثابت p خواهد ماند. شبیه سازی های عددی به ازای مقادیر مختلف احتمال موفقیت در هر آزمایش) p ( و سه مقدار متفاوت برای تعداد موفقیت ها شامل =n 2=n و 3=n صورت گرفته و کلیه معیارهای ارزیابی برآورد کننده به ازای هر یک از مقادیر p و n محاسبه شده اند. ضمنا مقدار ضریب حدود کنترل برای هر سطح از n بگونه ای تنظیم شده است که متوسط طول دنباله در حالت تحت کنترل برابر 37 باشد. found. Error! Reference source not های )( و )2( به ترتیب برای p p< و p p> در برگیرنده اطالعات مرتبط با متوسط مشاهدات تا رسیدن به هشدار خارج از کنترل یا E() امید ریاضی برآوردها یا E(τ) ˆ و خطای استاندارد یا se( ˆ ) برآوردها می باشد. در جداول مذکور ستون اول نشان دهنده مقادیر خارج از کنترل پارامتر احتمال موفقیت می باشد. ستونهای 2 الی به سه بخش و بر اساس مقدار n دسته بندی شده اند. در found. )(Error! Reference source not با توجه به عملکرد ضعیف نمودار g در شناسایی شیفت های افزایشی در p متأسفانه اجرای شبیه سازی برای مقدار.9=p به ازای 2=n و 3=n در زمانی معقول امکان پذیر نبوده و به همین برای سطر مربوط به این دو حالت بدون نتیجه می باشند. با این حال نتایج نشان می دهند صحت برآوردها تقریبا با فاصله گرفتن از مقدار تحت کنترل p بهبود مییابند. همچنین به ازای مقادیر.2= p.4= p و.3= p با افزایش مقدار n صحت برآوردها بهبود قابل توجهی می یابد اگرچه این روند برای مقادیر دیگر بدلیل نزدیکی بسیار زیاد برآوردها تقریبا متوقف شده و برآوردها برای مقادیر دیگر پارامتر مذکور در یک سطح می باشند. با توجه به جدول )( افزایش مقدار هر یک از دو پارامتر p و n موجب افزایش مقدار متوسط مشاهدات تا دریافت هشدار خارج از کنترل توسط نمودار می شود. همچنین جدول )2( نشان می دهد با کاهش p و فاصله گرفتن از مقدار تحت کنترل متوسط طول نمونه گیری تا بروز هشدار یا E() کاهش یافته و صحت برآوردها نیز بهبود می یابد. هم چنین می توان نتیجه گرفت که در در حالت افزایش این پارامتر علی رغم افزایش چشم گیر E() عملکرد برآوردکننده بسیار قابل قبول خواهد بود مقایسه عملكرد برآوردکننده پیشنهادی با روش پیشنهادی نورالسناء و همكاران ]2[ در اینجا عالوه بر استفاده از معیارهای ارزیابی تخمین زننده نقطه تغییر مدل پیشنهادی با مدل نورالسنا و همکاران ]2[ مقایسه شده است. در واقع آنها عملکرد برآوردکننده حداکثر درستنمایی را برای فرآیندهای با کیفیت باالی مبتنی بر توزیع هندسی بررسی نمودند. ازسوی دیگر با توجه به اینکه توزیع هندسی را می توان به عنوان حالت خاصی از توزیع بینم منفی در نظر گرفت پس در صورت =n در توزیع بینم منفی انتظار میرود عملکرد برآورد کننده پیشنهادی این پژوهش در برآورد نقطه تغییر پله ای در چنین فرآیندی حداقل برابر با نتایج حاصل از عملکرد پیشنهادی نورالسنا و همکاران ]2[ باشد. بدین ترتیب برای ارزیابی عملکرد این دو روش در برآورد نقطه تغییر شکل از نتایج حاصل از شبیه سازی های عددی بدست آمده است. E() و ) )E ˆ طبق روش آنها به ترتیب با E()_N و a hat_n و برای روش پیشنهادی به ترتیب با E() و a hat نشان داده شده اند. با توجه به روند نمودارهای شکل مذکور می توان نتیجه گرفت که عالوه بر عمومیت روش پیشنهادی نسبت به مدل آنها این تخمین زننده از عملکرد بهتری برخوردار است.

6 مجموعه اطمینان P * -4 شکل )(: مقایسه عملکرد برآوردکننده پیشنهادی و برآوردکننده ارائه شده توسط نورالسناء و همکاران [2] بعالوه پس از اتمام بار شبیه سازی مونت کارلو برای 5 Pˆ ( ˆ شعاع همسایگی مختلف دقت برآوردکننده Pr c یا c) در جداول )3( )4( و) 5 ( محاسبه شده است. منظور از دقت c احتمال این است که فاصله تخمین زننده از نقطه واقعی تغییر کوچکتر یا مساوی c باشد. برای مثال برای = c تعداد برآوردهایی که دقیقا برابر زمان واقعی تغییر باشند شمارش شده و بر تعداد کل شبیه سازی ها تقسیم جدول )3(: تخمین زننده تحت تغییرپله ای برای =n می شود Pr Pr Pr Pr Pr Pr جدول )4(: تخمین زننده تحت تغییرپله ای برای 2=n Pr Pr Pr Pr Pr Pr تخمین زننده تحت تغییر پله ای برای 3=n در این قسمت ضمن معرفی مجموعه اطمینان برای تخمین زننده پیشنهادی 3 و احتمال شاخص های تعداد اعضای مجموعه اطمینان 4 آنها مورد بررسی قرار گرفته است. بدین ترتیب که امید ریاضی پوشش تعداد عناصر مجموعه و نسبت دفعات پوشش در بار شبیه سازی مستقل مونت کارلو در جداول )6( و )7( برای مثال به ازای =n به عنوان مقادیر شاخص های مدنظر بکار خواهند رفت. در تمامی جداول مقدار مرجع D به صورت عدد ثابت انتخاب شده است. به طور کلی مجموعه اطمینان برای این یک تخمین زننده براساس وکاکس[ 3 ] به صورت زیر تعریف می شود: باکس CS { :log ( ) log ( ˆ el t el ) D}, )2( ماکزیمم لگاریتم تابع درست نمایی به ازای که در آن log L ( ˆ e ) تمام نقاط بالقوه نقطه تغییر می باشد. جدول )6(: امید ریاضی تعداد اعضای مجموعه اطمینان برای شیفت پله ای D P ساده پس از دریافت هشدار حالت خارج از کنترل توسط نمودار g جدول )7(: احتمال پوشش مجموعه ها به ازای مقادیر مختلف D برای شیفت D پله ای ساده پس از دریافت هشدار حالت خارج از کنترل توسط نمودار g P می توان مشاهده نمود که به ازای یک مقدار ثابت از p با افزایش مقدار مرجع )D( و یا به عبارت دیگر با افزایش اختالف بین مقدار بیشینه لگاریتم تابع حداکثر درستنمایی و مقدار مورد نظر برای تهیه مجموعه اطمینان تعداد عناصر مجموعه افزایش می یابد. اگرچه این روند برای یک مقدار مشخص از D و با فاصله گرفتن از p به صورت عکس رخ می دهد. به بیان دیگر با افزایش یا کاهش مقدار p تعداد عناصر مجموعه اطمینان به ازای یک مقدار ثابت D کاهش می یابد و این به دلیل مقادیر تفاوت قابل توجه لگاریتم تابع حداکثر درستنمایی به ازای p های بزرگ نسبت به p های کوچکتر است. با این حال بررسی جداول مرتبط با احتمال مشاهدات a hat a hat_n E() E()_N جدول )5(: p Pr Pr Pr Pr Pr Pr

7 پوشش نقطه واقعی تغییر توسط مجموعه های اطمینان می توان بوضوح مشاهده نمود که به ازای یک مقدار مشخص از p و با افزایش مقدار مرجع احتمال در برگرفتن نقطه واقعی تغییر توسط مجموعه اطمینان افزایش می یابد. برای مثال در Error! Reference source not found. )7( به ازای.7= p وD=.5 احتمال در برگرفتن دوره زمانی توسط مجموعه برابر /78 و برای 2=D برابر /86 می باشد. found.! Errorزیر Reference source not نیز نشان دهنده رویه های متناظر با مقادیر شاخص های تعداد اعضای مجموعه اطمینان و احتمال پوشش آنها مجموعه های اطمینان و به ازای مقادیر مختلف p و D های کوچکتر یا مساوی با 3 می باشند. متوسط تعداد مجموعه اطمینان شکل )2(: رویه های متناظر با مقادیر شاخص های تعداد اعضا و احتمال پوشش مجموعه های اطمینان به ازای مقادیر مختلف p و D 4- نتیجه گیری و پیشنهادات برای مطالعات آتی تأخیر در شناسایی نقطه تغییر در فرآیندهای صنعتی باعث افزایش هزینه های تولیدی می شود اما تأخیر در شناسایی دالیل انحراف در مراقبت های بهداشتی منجر به فواجع انسانی می شود زیرا در صورت شیوع یک بیماری و گذشتن از یک مرز زمانی بر خالف فرآیند های صنعتی امکان توقف فرآیند برای شناسایی عوامل تاثیر گذار وجود ندارد لذا می توان با شناسایی به موقع عواملی که باعث تغییر در فرآیند شدهاند این مشکل را برطرف نمود و تخمین نقطه تغییر ما را در این مهم یاری می کند. بنابراین در این مقاله با استفاده از روش پرکاربرد برآورد کننده حداکثر درستنمایی به توسعه مدلی برای تخمین نقطه تغییر پله ای در نمودارهای کنترل g که کاربردهای بسیاری در حوزه بهداشت و درمان دارد پرداخته شد. به منظور ارزیابی عملکرد روش پیشنهادی از شبیه سازی مونت کارلو بر اساس معیارهای صحت و دقت استفاده شد. در ادامه تعداد اعضای مجموعه اطمینان و احتمال پوشش فلا) فلا) آنها برای مجموعه اطمینان تخمین زننده نیز ارائه شد. نتایج شبیه سازی نشان داد که تخمین زننده پیشنهادی تحت شیفت پله ای از عملکرد رضایت بخشی برخوردار است. برای پیشنهادات آتی می توان به برآورد نقطه تغییر روند خطی و غیر خطی و هم چنین مونونتونیک در نمودارهای g اشاره کرد. بعالوه بکارگیری تکنیک های دیگری چون شبکه های عصبی مصنوعی خوشه بندی و طبقه بندی در برآورد نقطه انواع تغییر در نمودارهای g می تواند توسعه هایی از این کار باشد.. 5- پیوست الف و در انجام محاسبات برای دستیابی به رابطه )8( در این مقاله جمله اول و دوم رابطه )7( را بصورت آنچه در روابط Error! Reference found. )3source not و )4( بیان شده است بسط می دهیم: p p n ln ln a n a ( p) ( p) p n ( )ln. ( p) a ln( p ) t ln( p ) t ln( p ) t. )- )2- با توجه به روابط )الف- 2 ( و )الف- ( t ( a ) n ln n و حذف جمالت ثابت p n ln p ln( p ) t رابطه )8( خواهد بود. 6- مراجع ] [ ] 2[ و لگاریتم تابع حداکثر درستنمایی به صورت Assareh, H., Smth, I. and Mengersen, K. Bayesan change pont detecton n montorng cardac surgery outcomes, Qualty Management n Healthcare, Vol. 2, No. 3, pp , 2. Grgg, O. and Farewell, V. An overvew of rs-adjusted charts, Journal of the Royal Statstcal Socety: Seres A (Statstcs n Socety), Vol. 67, No. 3, pp , 24. Kamnsy, F.C., Benneyan J.C. and Davs R.D. Statstcal control charts based on Geometrc dstrbuton, Journal of Qualty Technology, Vol. 24, No. 2, pp , 992. Benneyan, J.C. Statstcal qualty control methods n nfecton control and hosptal epdemology, Part 2: chart use, Statstcal ] 3[ [4] متوسط احتمال پوشش 7

8 Propertes and Research Issues, Statstcs for Hosptal Epdemology, Vol. 9, No. 4, pp , 998. Benneyan, J.C. Statstcal qualty control methods n nfecton control and hosptal epdemology, Part : Introducton and Basc Theory, Statstcs for Hosptal Epdemology, Vol. 9, No. 3, pp , 998. Benneyan, J.C. Number-between g-type statstcal qualty control charts for montorng adverse events, Health Care Management Scence, Vol. 4, No. 4, pp , 2. Benneyan, J.C., Lloyd, R.C. and Plse, P.E. Statstcal process control as a tool for research and healthcare mprovement, Qualty Safety n Health Care, Vol. 2, No. 6, pp , 23. آزاده ش. "کاربرد نمودارهای کنترل هندسی در حوزه بهداشت و درمان" رساله کارشناسی ارشد رشته آمار ریاضی دانشکده ریاضی دانشگاه علم و صنعت 378. دوکوهکی پ. فتاحی ا.ا. و ربانی مطلق ا." نمودارهای کنترل آماری در پایش فرآیندهای درمانی" هفتمین کنفرانس بین المللی مهندسی صنایع 4 و 5 مهر 389 اصفهان ایران Woodall, W.H. "The use of control charts n health-care and Publc-Health survellance, Journal of Qualty Technology, Vol. 38, No. 2, pp. 89-4, 26. Thor, J., Lundberg, J., As, J., Olsson, J., Carl, C., Harenstam, K.P. and Brommels, M. Applcaton of statstcal process control n healthcare mprovement: systematc revew, Qualty Safety n Health Care, Vol. 6, No. 5, pp , 27. Noorossana, R. and Shadman, A, Estmatng the change pont of a normal process mean wth a monotonc change, Qualty and Relablty Engneerng Internatonal, Vol. 25, No,, pp. 79-9, 29. Box, G. and Cox, D., An analyss of transformatons, Journal of the Royal Statstcal Socety B, Vol. 26, No. 2, pp ] 5[ ] 6[ ] 7[ ] 8[ ] 9[ ] [ ] [ ] 2[ ) 3( زیرنویسها (Maxmum lelhood Estmaton) MLE Confdence set Cardnalty Coverage