Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 2ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 2ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος"

Ἰοκάστη Τοκατλίδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Ποιες από τις επόμενες καμπύλες παριστάνουν ευθείες γραμμές; r ( ) 8,, ˆ ˆ r ˆ () i 7 j+ k r ( ) 8 4,+ 5,9 α) Επειδή: ( ) 8,, 8,0,0 +,, η συνάρτηση αυτή παριστάνει ευθεία που διέρχεται από το σημείο (8,0,0) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα <-,,> β) Θέτοντας s παίρνουμε: r ( s) siˆ 7sj ˆ+ skˆ s, 7, πρόκειται για εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο (0,0,0) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα <,-7,> γ) Η εξίσωση αυτή δεν παριστάνει ευθεία καθώς π.χ. τα σημεία P(8,,0) για 0, Q(4,7,9) για και R(-4,,7) για δεν είναι συνευθειακά. Ο λόγος είναι πως το διάνυσμα PQ 4 8,7,9 0 4,5,9 δεν μπορεί να γραφεί σαν πολλαπλάσιο του διανύσματος QR 4 4, 7, 7 9 8,5, 6. Σε ποιο από τα επίπεδα xy,yz,xz η προβολή της συνάρτησης cos,cos( ),sin παριστάνει κύκλο; α) Προβολή στο επίπεδο xy: cos,cos( ),0 Δηλαδή x cos, y cos( ) Για να βρούμε το είδος της καμπύλης μπορούμε να προσπαθήσουμε να εκφράσουμε το y συναρτήσει του x. Έτσι y cos( ) cos x η γραφική παράσταση είναι παραβολή β) Προβολή στο επίπεδο yz: 0,cos( ),sin Δηλαδή y cos( ), z sin Μπορούμε να εκφράσουμε το y συναρτήσει του z: y cos( ) sin z η γραφική παράσταση είναι και εδώ παραβολή γ) Προβολή στο επίπεδο xz: cos,0,sin Δηλαδή x cos, z sin Εφόσον x z + cos + sin, η γραφική παράσταση είναι κύκλος με ακτίνα

2 . Τι παριστάνουν οι καμπύλες r ( ) cos,sin και r ( ) sin,cos ; Σε τι διαφέρουν; Και οι δύο καμπύλες εκφράζουν ένα κύκλο με κέντρο την αρχή τον αξόνων και ακτίνα. Η διαφορά είναι πως η πρώτη καμπύλη διαγράφεται αριστερόστροφα καθώς το αυξάνει, ενώ η δεύτερη διαγράφεται δεξιόστροφα καθώς το αυξάνει. 4. Σχεδιάστε την καμπύλη: r () +, Βρίσκουμε ορισμένα σημεία της καμπύλης για συγκεκριμένες τιμές της παραμέτρου r ( ) 0, 6 r ( ) 0, 4 r ( ) 0, r (0) 0, 0 r (), 0 r (), 0 r (), Υπολογίστε τα όρια: i) lim, 4,, ii) lim ( e iˆ+ ln( + ) ˆj + 4kˆ ) i) lim, 4, lim,lim 4,lim 9,, ii) ( ˆ ˆ ˆ) lim e i + ln( + ) j+ 4k lim e,lim ln( + ),lim 4 e 6,ln 4, 4 6. Αν r(),,, r () e, e, e d r r d να υπολογίσετε το ( () ())

3 d d d d d d d ( e + e + e ) ( e ) + ( e ) + ( e ) d d d d e + e + e + e + e + e d r g () χρησιμοποιώντας την αλυσιδωτή παραγώγιση αν d i) r (),, g () e ii) r () e, e,4, g() d ( r() r() ) (,, e, e, e ) 7. Υπολογίστε την ( ) d r g () g '() r ' g () d i) g'( ) e r'( ), r'( g ( )) e, d r ( g ()) e e, e, e d ii) g'( ) 4 r'( ) e, e, (4+ 9) '( ( )),, 0 r g e e d r ( g ) e e e e d ( ) 4,,0 4,8,0 8. Έστω r ( ),,4. Υπολογίστε την παράγωγο του r () a () στο, αν α (),, και α '(), 4, d ( r () a ()) r '() a () + r () α '(),,4 a () +,,4 a '() d Έτσι d ( r () a ()),, 4 a () +,,4 a '() d 4,, 4,, + 4,,8, 4, Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: 8,6 + d

4 8,6 + d 8 d, 6 + d 4 8, ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8, ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8, ,6, Δείξτε ότι στη σπείρα του Bernoulli, η οποία δίνεται από τη συνάρτηση r ( ) ecos(4 ), esin(4 ), διαθέτει την ιδιότητα ότι η γωνία ψ που σχηματίζεται από το διάνυσμα θέσης και το εφαπτόμενο διάνυσμα είναι σταθερή. Στη συνέχεια υπολογίστε την γωνία ψ σε μοίρες. r'( ) e cos(4 ) 4e sin(4 ), e sin(4 ) + 4e cos(4 ) Έτσι r( ) r'( ) e cos(4 ), e sin(4 ) e cos(4 ) 4e sin(4 ), e sin(4 ) + 4e cos(4 ) e cos(4 ) e cos(4 ) 4e sin(4 ) + e sin(4 ) e sin(4 ) + 4e cos(4 ) e cos (4 ) 4e sin(4 )cos(4 ) + e sin (4 ) + 4e sin(4 )cos(4 ) ( ) e cos (4 ) + e sin (4 ) e cos (4 ) + sin (4 ) e Επίσης r ( ) e cos (4 ) + e sin (4 ) e e

5 και r'( ) e cos(4 ) 4e sin(4 ) + e sin(4 ) + 4e cos(4 ) e cos (4 ) 8e cos(4 )sin(4 ) + 6e sin (4 ) + e sin (4 ) + 8e sin(4 )cos(4 ) + 6e cos (4 ) e + e + e + e e cos (4 ) 6 sin (4 ) sin (4 ) 6 cos (4 ) ( co ) s (4 ) + sin (4 ) + 6e ( sin (4 ) + cos (4 ) ) e + 6e 7e Τελικά r () r'() e cosψ r () r'() e 7e 7 η γωνία ψ είναι σταθερή.. Να υπολογισθεί το μήκος των ακόλουθων καμπυλών: ir ) ( ), 4, 6+, 0 ii) r ( ),ln,, 4 L r '( ) d i) r'( ), 4, 6 r'( ) [ ] L 6d 6 d 6 6 ii) r'( ),, r'( ) ( + ) d d L d d d + ln + ln ln ln 4. Να υπολογιστεί το διάνυσμα της ταχύτητας ενός σώματος που κινείται προς τα δεξιά πάνω στην υπερβολή y με σταθερό μέτρο ταχύτητας ίσο με 5cm/s, τη στιγμή που βρίσκεται x στο σημείο (,/).

6 Το διάνυσμα της ταχύτητας είναι εφαπτόμενο στην καμπύλη στο σημείο (,/) και δείχνει προς την κατεύθυνση της κίνησης y'( x) x Η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο (,/) έχει κλίση: y '() 4 Έτσι ένα διάνυσμα παράλληλο στην εφαπτομένη θα είναι το <,-/4> το διάνυσμα της ταχύτητας θα είναι ένα θετικό πολλαπλάσιο αυτού, δηλ. για κάποιο k>0 θα είναι v() k, 4 Δίνεται όμως ότι 7 v() 5 k k + ( k) 5 k + 5 k k 7 v (),, Αν r ( ) cos( π),sin( π), και στη συνέχεια η τιμή του για dr v ˆT ds v Όμως v( ) r'( ) πsin( π), π cos( π), v() r'() π sin ( π) + π cos( π) + π + να υπολογισθεί το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα T ˆ( )

7 πsin( π), π cos( π), π π ˆT( ) sin( π), cos( π), π + π + π + π + Για θα είναι: π π π ˆT() sin( π), cos( π), 0,, π + π + π + π + π + 4. Να υπολογιστεί η καμπυλότητα της καμπύλης: r ( ), e, ˆ d T v a κ ds v Έχουμε διαδοχικά v( ) r'( ) 0, e, v() r'() 0+ e + e + a ( ) v'( ) 0, e,0 v a v a v a,v a v a,v a v a e 0 e, 0 0 0,0 e e 0 e,0,0 v a e e v( ) e + e κ e + ( ) / ( ) / 5. Υπολογίστε το μέτρο του διανύσματος επιτάχυνσης ενός σώματος το οποίο κινείται γύρω από ένα κύκλο ακτίνας cm με σταθερή ταχύτητα 4cm/s ος τρόπος Η επιτάχυνση στο σύστημα T,N δίνεται ως d ˆ a vt + kv Nˆ d Επειδή η ταχύτητα είναι σταθερή είναι: d v 0 d Επίσης ο κύκλος με ακτίνα ρ έχει καμπυλότητα /ρ δηλ. k Έτσι a 4 Nˆ 8Nˆ Δηλαδή υπάρχει μόνον κεντρομόλος επιτάχυνση και το μέτρο της είναι ίσο με 8 cm / s

8 ος τρόπος Μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κινητού παραγωγίζοντας την παραμετρική μορφή της συνάρτησης της καμπύλης. Όμως πρέπει να επιλέξουμε την κατάλληλη παραμετροποίηση της καμπύλης έτσι ώστε να δίνει το σωστό μέτρο ταχύτητας. Έτσι για παράδειγμα η παραμετροποίηση r ( ) cos, sin δεν είναι η κατάλληλη. Η σωστή παραμετροποίηση είναι η ακόλουθη: r ( ) cos( ), sin ( ) Έτσι έχουμε v( ) r'( ) 4sin( ), 4cos( ), η οποία δίνει το σωστό μέτρο: v( ) 4sin( ) + 4cos( ) 6 sin ( ) + cos ( ) 6 4 ( ) Στη συνέχεια υπολογίζουμε την επιτάχυνση: α ( ) r ''( ) 8 cos( ), 8sin( ) α ( ) 8 cos( ) + 8sin( ) 8 6. Υπολογίστε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή για κίνηση πάνω στην καμπύλη: r ( ),,4. Επίσης υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας στην ίδια χρονική στιγμή. v( ) r'( ),, 8 v(),, 8 a ( ) v'( ) 6,0,8 a() 6,0,8 4 v( ) v() Υπολογίστε την καμπυλότητα της r ( ) cos( ), 4sin( ),5 ˆ d T v a κ ds v Έχουμε διαδοχικά v( ) r'( ) sin( ),8cos( ),5 v( ) r'( ) 9sin ( ) + 64cos ( ) + 5 a ( ) v'( ) 9cos( ), 6sin( ),0

9 v a v a v a,v a v a,v a v a 8cos( ) 0 5 ( 6sin( )), 5 ( 9cos( )) ( sin( )) 0, ( sin( )) ( 6sin( )) 8cos( ) ( 9cos( )) 80sin( ), 45cos( ),48sin( )sin( ) + 7cos( )cos( ) ( ) v a 80 sin ( ) + 45 cos ( ) + 48sin( )sin( ) + 7cos( )cos( ) v( ) 9sin ( ) + 64cos ( ) + 5 κ ( ) / ( ) 80 sin ( ) 45 cos ( ) 48sin( )sin( ) 7cos( )cos( ) ( 9sin ( ) + 64cos ( ) + 5) /

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος a) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P (5,,3) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα iˆ+ 4ˆj kˆ