Enhancing the Teaching and Learning of Early Statistical Reasoning in European Schools

Transcript

1 Enhancing the Teaching and Learning of Early Statistical Reasoning in European Schools SOCRATES-COMENIUS Action Project CP CY-COMENIUS-C21 Διδακτικό Σενάριο 4 Συγγραφική Ομάδα: Cyprus College

2 COPYRIGHT Copyright 2006 EarlyStatistics Consortium consisting of: Cyprus College (CC), Cyprus Sor Trondelag University College (HiST), Trondheim, Norway University of Thessaly (UTH), Volos, Greece Aristotle University of Thessaloniki (AUTH), Thessaloniki, Greece Universidad de Cádiz, Departamento de Didáctica (UCA), Cádiz, Spain This document may not be copied, reproduced, or modified in whole or in part for any purpose without written permission from the EarlyStatistics Consortium. In addition to such written permission to copy, reproduce, or modify this document in whole or part, an acknowledgement of the authors of the document and all applicable portions of the copyright notice must be clearly referenced. All rights reserved. This document may change without notice.

3 ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Περιγραφή Σε όλες σχεδόν τις εφαρμογές της στατιστικής, το πρώτο βήμα είναι η επιλογή ενός τυχαίου δείγματος του πληθυσμού. Η επιλογή του δείγματος με τυχαίο τρόπο είναι εξαιρετικά σημαντική, έτσι ώστε αυτό να είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού από τον οποίο προέρχεται. Σε αντίθετη περίπτωση, οποιαδήποτε συμπεράσματα και γενικεύσεις που στηρίζονται στο δείγμα δεν ισχύουν για τον ευρύτερο πληθυσμό. Μια άλλη σημαντική πτυχή της δειγματοληψίας είναι το μέγεθος του δείγματος. Τα μεγάλου μεγέθους δείγματα τείνουν να είναι πιο ακριβή, δεδομένου ότι οι εκτιμήσεις δείγματος προσεγγίζουν τις αντίστοιχες πληθυσμιακές παραμέτρους καθώς αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος. Διδακτικοί Στόχοι Οι μαθητές στο τέλος του μαθήματος: (1) Να επεξηγούν πώς το μέγεθος του δείγματος επηρεάζει το βαθμό ακρίβειας των δειγματοληπτικών ερευνών (2) Να αναγνωρίζουν ότι αυτό που επηρεάζει το βαθμό ακρίβειας των δειγματοληπτικών ερευνών είναι το μέγεθος του δείγματος και όχι το μέγεθος του πληθυσμού (4) Να αναγνωρίζουν ότι το μέγεθος του δείγματος που απαιτείται ανά περίπτωση εξαρτάται από διάφορους παράγοντες συμπεριλαμβανομένων της μεθοδολογίας διεξαγωγής της έρευνας, του επιθυμητού βαθμού ακριβείας, των χαρακτηριστικών του πληθυσμού (π.χ. μεταβλητότητα των τιμών), αλλά και του διαθέσιμου προϋπολογισμού. Ηλικία Μαθητών Μαθητές Γυμνασίου, Μαθητές Λυκείου Διάρκεια Μαθήματος Δύο διδακτικές ώρες Πορεία Διδασκαλίας Αρχικά δίνεται στους μαθητές φύλλο εργασίας που περιέχει διάφορες δραστηριότητες σχετικά με το μέγεθος δείγματος. Ακολουθεί συζήτηση με ολόκληρη την τάξη, στη διάρκεια της οποίας οι δραστηριότητες στο φύλλο εργασίας χρησιμοποιούνται από τον εκπαιδευτικό ως αφορμή για θιγούν κάποια βασικά ζητήματα σχετικά με το ρόλο του μεγέθους δείγματος στις δειγματοληπτικές έρευνες: - Γενικεύσεις βασισμένες σε μικρά δείγματα δεν είναι ακριβείς και πρέπει να αποφεύγονται (Δραστηριότητες 1-3). - Ένα δείγμα μεγάλου μεγέθους είναι πιθανότερο να παρουσιάσει μεγαλύτερη σταθερότητα από ένα μικρού μεγέθους δείγμα, και άρα να έχει χαρακτηριστικά παρόμοια με αυτά του πληθυσμού από τον οποίο προήλθε (Δραστηριότητα 4) - Το μέγεθος του δείγματος είναι λιγότερο σημαντικό από τη μέθοδο συγκέντρωσης των δεδομένων του δείγματος. Εάν το δείγμα δεν επιλεχθεί με στατιστικά κατάλληλο τρόπο, θα δώσει αναξιόπιστα αποτελέσματα ανεξάρτητα από το μέγεθός του (Δραστηριότητες 5-6). Ιούνιος 2008 S4-Greek Σελ. 3

4 Κατά τη διάρκεια της συζήτησης, εξετάζονται επίσης και άλλα θέματα σχετικά με τη δειγματοληψία: - Το βέλτιστο μέγεθος δείγματος που επιλέγεται είναι συχνά ένας συμβιβασμός μεταξύ αυτού που είναι στατιστικά επιθυμητό και αυτού που είναι εφικτό στην πράξη - Ο βαθμός ακριβείας μιας δειγματοληπτικής έρευνας εξαρτάται όχι από το μέγεθος του πληθυσμού, αλλά από το μέγεθος του δείγματος (π.χ. κατά τη διεξαγωγή δημοσκοπήσεων, μπορούμε να έχουμε αξιόπιστες εκτιμήσεις για έναν τεράστιο πληθυσμό στηριζόμενοι σε αντιπροσωπευτικό δείγμα μόνο 1000 ατόμων) Δραστηριότητα 1 Κάθε χρόνο στη Νέα Ζηλανδία γεννιούνται γύρω στα 7 παιδιά με ελλιπές κάποιο άκρο του σώματός τους. Πέρυσι, τα παιδιά που γεννήθηκαν με αυτήν την ανωμαλία κατανέμονταν γεωγραφικά όπως φαίνεται στον ακόλουθο χάρτη της Νέας Ζηλανδίας: Τι νομίζετε; (Στη Νέα Ζηλανδία, είναι γνωστό ότι το ένα τρίτο του πληθυσμού ζει στην βορειότερη περιοχή της χώρας και το ένα έκτο του πληθυσμού σε κάθε μια από τις άλλες περιοχές.) Δραστηριότητα 2 Κατά μέσον όρο, 600 άνθρωποι χάνουν την ζωή τους κάθε χρόνο σε μια πόλη λόγω τροχαίων ατυχημάτων. Κάποιος κάτοικος της πόλης αυτής παρατήρησε τα εξής: Φεβρουάριος Αριθμός θανάτων 1 η εβδομάδα: 3 2 η εβδομάδα: 12 3 η εβδομάδα: 21 4 η εβδομάδα: 14 Μάρτιος 5 η εβδομάδα: 2 Υποθέστε ότι καμία από τις παραπάνω εβδομάδες δεν συμπεριλάμβανε κάποια μεγάλη γιορτή. Οι τίτλοι των εφημερίδων υποστήριξαν ότι η 3 η εβδομάδα ήταν μια «καταστροφική» εβδομάδα και η Αστυνομία ανέφερε ότι η ταχύτητα ήταν ο κύριος παράγοντας στον οποίο οφειλόταν η αύξηση των θανατηφόρων εβδομάδων. Η επόμενη εβδομάδα περιγράφηκε στις εφημερίδες ως περαιτέρω ένδειξη ότι ο τρόπος οδήγησης στην πόλη παρουσίαζε επιδείνωση. Στο τέλος της 5 ης εβδομάδας, η Αστυνομία δέχτηκε συγχαρητήρια για το χαμηλό ποσοστό θανάτων - οι πρόσθετες περίπολοι είχαν πετύχει το στόχο τους. Σχολιάστε τα δημοσιεύματα τον τύπο. Συμφωνείτε μαζί τους; Γιατί ναι ή γιατί όχι; Ιούνιος 2008 S4-Greek Σελ. 4

5 Δραστηριότητα 3 Κάποιος ψυχολόγος διεξάγει έρευνα για να διακριβώσει με ποιο από δύο παιχνίδια προτιμούν τα νήπια να παίζουν. Από τα πρώτα πέντε νήπια που μελέτησε, τα τέσσερα έδειξαν προτίμηση για το πρώτο από τα δύο παιχνίδια. Ο ψυχολόγος κατέληξε στο συμπέρασμα ότι τα περισσότερα νήπια θα δείξουν προτίμηση για αυτό το παιχνίδι. Συμφωνείτε με το συμπέρασμα στο οποίο κατέληξε ο ψυχολόγος; Δραστηριότητα 4 Η Γεωργία θα ρίξει ένα νόμισμα 50 φορές και θα καταγράψει το ποσοστό των κορόνων που θα φέρει. Η φίλη της Φωτεινή θα ρίξει ένα νόμισμα 10 φορές και επίσης θα καταγράψει το ποσοστό κορόνων που θα φέρει. Ποιο από τα δυο κορίτσια είναι πιθανότερο να φέρει κορώνες 80% ή περισσότερο των φορών; Γιατί; Δραστηριότητα 5 Διεξήχθησαν δύο έρευνες που στόχο είχαν να διακριβώσουν το ποσοστό των σχολείων της Κύπρου που ανακυκλώνουν. Η πρώτη έρευνα χρησιμοποίησε δείγμα μεγάλου μεγέθους και τη μέθοδο του αυτοεπιλεγόμενου δείγματος με την αποστολή ερωτηματολογίων σε όλους τους διευθυντές των σχολείων πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης της Κύπρου. Περίπου οι μισοί από τους διευθυντές συμπλήρωσαν και επέστρεψαν τα ερωτηματολόγια και 91% από αυτούς δήλωσαν ότι στο σχολείο τους γινόταν ανακύκλωση. Η δεύτερη έρευνα χρησιμοποίησε μέτριου μεγέθους δείγμα και τη μέθοδο της τυχαίας δειγματοληψίας (τα ονόματα όλων των σχολείων καταχωρήθηκαν σε ηλεκτρονικό υπολογιστή και το δείγμα επιλέγηκε με τυχαίο τρόπο). Τριάντα επτά τοις εκατό των σχολείων που συμμετείχαν δήλωσαν ότι ανακύκλωναν. Αξιολογήστε τις δύο στατιστικές μελέτες. Ποια από τις δύο θεωρείτε ως πιο έγκυρη; Δραστηριότητα 4 Η Γεωργία θα ρίξει ένα νόμισμα 50 φορές και θα καταγράψει το ποσοστό των κορόνων που θα φέρει. Η φίλη της Φωτεινή θα ρίξει ένα νόμισμα 10 φορές και επίσης θα καταγράψει το ποσοστό κορόνων που θα φέρει. Ποιο από τα δυο κορίτσια είναι πιθανότερο να φέρει κορώνες 80% ή περισσότερο των φορών; Γιατί; Δραστηριότητα 5 Διεξήχθησαν δύο έρευνες που στόχο είχαν να διακριβώσουν το ποσοστό των σχολείων της Κύπρου που ανακυκλώνουν. Η πρώτη έρευνα χρησιμοποίησε δείγμα μεγάλου μεγέθους και τη μέθοδο του αυτοεπιλεγόμενου δείγματος με την αποστολή ερωτηματολογίων σε όλους τους διευθυντές των σχολείων πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης της Κύπρου. Περίπου οι μισοί από τους διευθυντές συμπλήρωσαν και επέστρεψαν τα ερωτηματολόγια και 91% από αυτούς δήλωσαν ότι στο σχολείο τους γινόταν ανακύκλωση. Η δεύτερη έρευνα χρησιμοποίησε μέτριου μεγέθους δείγμα και τη μέθοδο της τυχαίας δειγματοληψίας (τα ονόματα όλων των σχολείων καταχωρήθηκαν σε ηλεκτρονικό υπολογιστή και το δείγμα επιλέγηκε με τυχαίο τρόπο). Τριάντα επτά τοις εκατό των σχολείων που συμμετείχαν δήλωσαν ότι ανακύκλωναν. Αξιολογήστε τις δύο στατιστικές μελέτες. Ποια από τις δύο θεωρείτε ως πιο έγκυρη; Ιούνιος 2008 S4-Greek Σελ. 5

6 Δραστηριότητα 6 Από κάποια εταιρεία μάρκετινγκ που ασχολείται με έρευνες αγοράς ζητήθηκε να διεξάγει έρευνα για να υπολογίσει το ποσό που οι έφηβοι στις ΗΠΑ (ηλικίας χρόνων) ξοδεύουν σε ηχογραφημένη μουσική (CDς, DVDs κ.λ.π.). Η εταιρεία επέλεξε τυχαία 80 εμπορικά κέντρα από όλη τη χώρα. Ένας στατιστικός απογραφέας στάθηκε σε κεντρική θέση του κάθε εμπορικού κέντρου και προσέγγιζε τους περαστικούς που έμοιαζαν να είναι στην κατάλληλη ηλικία. Συμπληρώθηκαν συνολικά ερωτηματολόγια από εφήβους. Βάσει αυτής της έρευνας, η εταιρεία κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο μέσος έφηβος των ΗΠΑ ξοδεύει περίπου $155 κάθε χρόνο σε ηχογραφημένη μουσική. Οι παρακάτω δηλώσεις αφορούν την συγκεκριμένη έρευνα. Επιλέξτε τις δηλώσεις με τις οποίες συμφωνείτε. α) Ο μέσος όρος έχει υπολογιστεί με βάση τις εκτιμήσεις των εφήβων σχετικά με το ποσό που ξοδεύουν και επομένως μπορεί να διαφέρει αρκετά σε σχέση με το τι πραγματικά ξοδεύουν οι έφηβοι σε ηχογραφημένη μουσική. β) Για να είναι ο μέσος όρος αντιπροσωπευτικός των εφήβων όλης της χώρας, η έρευνα θα έπρεπε να είχε διεξαχθεί σε περισσότερα από 80 εμπορικά κέντρα. γ) Το δείγμα των εφήβων είναι πάρα πολύ μικρό για να επιτρέψει την εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με τους έφηβους ολόκληρης της χώρας. δ) Έπρεπε να είχαν ρωτήσει εφήβους που έβγαιναν από δισκοπωλεία. ε) Ο μέσος όρος που έχει υπολογιστεί μπορεί να απέχει πολύ από το μέσο όρο του ποσού που ξοδεύουν όλοι οι έφηβοι της χώρας, δεδομένου ότι οι έφηβοι που συμμετείχαν στην έρευνα δεν επιλέχτηκαν τυχαία. ζ) Ο μέσος όρος που έχει υπολογιστεί μπορεί να απέχει πολύ από το μέσο όρο του ποσού που ξοδεύουν όλοι οι έφηβοι της χώρας, δεδομένου ότι επιλέχθηκαν μόνο έφηβοι που βρίσκονταν σε εμπορικά κέντρα. η) Ο υπολογισμός του μέσου όρου δεν είναι σε αυτήν την περίπτωση ενδεδειγμένος δεδομένου ότι υπάρχει μεγάλη διακύμανση στα ποσά που ξοδεύουν οι έφηβοι. θ) Δεν συμφωνώ με οποιαδήποτε από τις παραπάνω δηλώσεις. Ιούνιος 2008 S4-Greek Σελ. 6