ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΡΓΟΥ-ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Transcript

1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΡΓΟΥ-ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Σώμα μάζας m βρίσκεται πάνω στη λεία τροχιά το σχήματος. Να βρεθούν: α) η ταχύτητα στο Α και, β) η κάθετη αντίδραση στο Α. R Θέτομε ως επίπεδο μηδενικής δναμικής ενέργειας το δάπεδο, άρα εκεί έχομε U=0. Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης μηχανικής ενέργειας (ΑΔΜΕ) έχομε ότι: (Ο είναι το αρχικό σημείο πο βρίσκεται το σώμα) E 0 mg και E m mgr αφού από ΑΔΜΕ Ε 0 =Ε Α ισχύει: m g = m g R mg m mgr g( R) () Για την κάθετη αντίδραση, Ν, στο σημείο Α έχομε ότι το άθροισμα Ν και βάρος, mg, θα ισούται με την κεντρομόλο δύναμη, άρα: m m N mg N mg () R R Σνδάζοντας τις σχέσεις () και () βρίσκομε ότι: N mg R 5mg

2 Σώμα κινείται από το Ο στο C ακολοθώντας τις 3 διαφορετικές χρωματιστές διαδρομές. Πόσο είναι το έργο το βάρος; Τι σμπέρασμα βγάζετε; Τι διαφοροποιείται αν αντί για βάρος έχομε μόνο τριβή; Γαλάζια διαδρομή: για να κινηθεί το σώμα Β κατακόρφα, και να πάει από το Ο στο Β το έργο το βάρος είναι W ΟΒ = αmg. Για να κινηθεί από το Β στο C το έργο το βάρος είναι W ΒC = 0. Επομένως, το έργο το βάρος είναι W = amg. O Κόκκινη διαδρομή: Για να κινηθεί το σώμα από Α το Ο στο Α το έργο το βάρος είναι W ΟΑ = 0, ενώ για να κινηθεί το σώμα κατακόρφα, και να πάει από το Α στο C το έργο το βάρος είναι W ΑC = αmg. Επομένως, το έργο το βάρος είναι W = amg. Το ίδιο αποτέλεσμα ισχύει και για την καφέ διαδρομή. Σμπέρασμα: το έργο το βάρος μεταξύ δύο σημείων είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή πο ακολοθούμε διότι το βάρος είναι δύναμη σντηρητική. y C(a,a) x Αν αντί για βάρος έχομε τριβή, Τα, τότε: W OB BC = - αt W O C = - α T W OC = - α Τα οπότε στην περίπτωση της τριβής το έργο μεταξύ δύο σημείων εξαρτάται από τη διαδρομή πο ακολοθούμε διότι η τριβή είναι δύναμη μη-σντηρητική

3 Μάζα, m, βρίσκεται στη λεία τσολήθρα όπως στο παρακάτω σχήμα. Να βρεθούν: α) οι ταχύτητες στα Β και C, β) το έργο το βάρος από το Α στο Β και από το Α στο C. Το σώμα ξεκινά από το σημείο Α σε ηρεμία. B B C C Η κίνηση προκαλείται μόνο από το βάρος το σώματος και την κάθετη αντίδραση. Η κάθετη αντίδραση δεν παράγει έργο, άρα η μηχανική ενέργεια διατηρείται, E = E B = E C. α) E m g, EB mgb mβ, EC mgc mc από τις παραπάνω σχέσεις πολογίζομε ταχύτητες στα Β και C. β) Εφαρμόζομε το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας: W B E (B) E () m Β W C E (C) E () m C Αρχικά το σώμα έχει ταχύτητα προς τα πάνω. Αν πάρχει τριβή πότε σταματά; Το σώμα κινείται με ταχύτητα προς τα πάνω και σταματά μετά από απόσταση x, στο σημείο Β. Τότε, για το έργο της τριβής ισχύει ότι: φ W T = T x ()

4 όπο T = μ Ν= μ mg cosφ. Παίρνοντας επίπεδο μηδενικής δναμικής ενέργειας το αρχικό σημείο εκκίνησης, έστω Α, έχομε ότι: E m () E B =m g (και ισχύει ότι sinφ = /x) (3) και η διατήρηση της ενέργειας γράφεται ως: Ε Α = Ε Β + W T (4) Από τις σχέσεις ()-(4) λαμβάνομε το επιθμητό αποτέλεσμα. Σώμα μάζας m βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε ύψος από το οριζόντιο επίπεδο, πάνω σε καμπύλο τμήμα, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Στη σνέχεια, το σώμα ολισθαίνει χωρίς τριβή μέχρι το σημείο Β, όπο και σναντά κεκλιμένο επίπεδο, κλίσης φ, με σντελεστή δναμικής φ τριβής ίσο με μ. Να βρείτε: B α) το έργο για τη μετακίνηση το σώματος από το Α στο Β. β) το μέγιστο ύψος στο οποίο φθάνει το σώμα πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο. γ) την ελάχιστη τιμή πο πρέπει να έχει ο σντελεστής στατικής τριβής μεταξύ σώματος και κεκλιμένο επιπέδο έτσι ώστε το σώμα να παραμείνει ακίνητο στο μέγιστο ύψος πο βρήκατε στο ερώτημα β). α) Η κίνηση από το Α στο Β είναι ολίσθηση χωρίς τριβή, άρα το έργο είναι 0. β) Από αρχή διατήρησης ενέργειας έχομε ότι: Α g και η ενέργεια στο Β είναι E B =mg () Β Έστω y το μέγιστο ύψος στο οποίο φθάνει το σώμα πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο και x το διάστημα πο διανύει το σώμα στο κεκλιμένο επίπεδο. Τότε, η αρχή διατήρησης ενέργειας δίνει: mgy = mg +Tx ()

5 όπο Τ=μmgσνφ, η τριβή και ισχύει επίσης ότι ημφ=y/x (3) Από τις σχέσεις ()-(3) έχομε ότι: y μσφφ γ) Για να παραμείνει το σώμα ακίνητο στο μέγιστο ύψος πο βρήκατε στο ερώτημα β) θα πρέπει: mgημφ μ mgσνφ εφφ s μ s, άρα η ελάχιστη τιμή πο πρέπει να έχει ο σντελεστής στατικής τριβής, μ s, μεταξύ σώματος και κεκλιμένο επιπέδο είναι εφφ.