Χαξαθηήξεο δηαηξεηόηεηαο ΜΚΓ ΔΚΠ Αλάιπζε αξηζκνύ ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ

Transcript

1 Χαξαθηήξεο δηαηξεηόηεηαο ΜΚΓ ΔΚΠ Αλάιπζε αξηζκνύ ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ Πνιιαπιάζηα ελόο θπζηθνύ αξηζκνύ α είλαη νη αξηζκνί πνπ πξνθύπηνπλ από ηνλ πνιιαπιαζηαζκό ηνπ α κε όινπο ηνπο θπζηθνύο αξηζκνύο. Πνιιαπιάζηα ηνπ α είλαη: 0, α, α, α, Κάζε θπζηθόο αξηζκόο δηαηξεί ηα πνιιαπιάζηά ηνπ. Αλ έλαο θπζηθόο αξηζκόο β δηαηξείηαη από ηνλ θπζηθό αξηζκό α, ηόηε ν β είλαη πνιιαπιάζην ηνπ α. Αλ έλαο θπζηθόο αξηζκόο δηαηξεί έλαλ άιιν, ηόηε ζα δηαηξεί θαη ηα πνιιαπιάζηά ηνπ. Τν κηθξόηεξν από ηα θνηλά πνιιαπιάζηα δύν ή πεξηζζόηεξσλ αξηζκώλ πνπ δελ είλαη κεδέλ ην νλνκάδνπκε Διάρηζην Κνηλό Πνιιαπιάζην (ΔΚΠ) ησλ αξηζκώλ απηώλ. Γηαηξέηεο ελόο θπζηθνύ αξηζκνύ α ιέγνληαη όινη νη αξηζκνί πνπ ηνλ δηαηξνύλ. Κάζε αξηζκόο α έρεη δηαηξέηεο ηνπ αξηζκνύο θαη α. Έλαο αξηζκόο πνπ έρεη δηαηξέηεο κόλν ηνλ εαπηό ηνπ θαη ην ιέγεηαη πξώηνο αξηζκόο, δηαθνξεηηθά ιέγεηαη ζύλζεηνο. Δύν θπζηθνί αξηζκνί α θαη β κπνξεί λα έρνπλ θνηλνύο δηαηξέηεο. Ο κεγαιύηεξνο από απηνύο νλνκάδεηαη Μέγηζηνο Κνηλόο Γηαηξέηεο(ΜΚΔ) ησλ α θαη β θαη ζπκβνιίδεηαη ΜΚΓ(α, β). Δύν αξηζκνί α θαη β ιέγνληαη πξώηνη κεηαμύ ηνπο αλ είλαη ΜΚΓ(α, β) =. Κξηηήξηα Γηαηξεηόηεηαο Κξηηήξηα Γηαηξεηόηεηαο κε,, 4, 5, 9, 0 ή 5 ιέγνληαη νη θαλόλεο κε ηνπο νπνίνπο κπνξνύκε λα ζπκπεξαίλνπκε, ρσξίο λα θάλνπκε ηε δηαίξεζε, αλ έλαο θπζηθόο αξηζκόο δηαηξείηαη κε ηνπο αξηζκνύο απηνύο. Έλαο θπζηθόο αξηζκόο δηαηξείηαη κε 0 αλ ην ηειεπηαίν ηνπ ςεθίν είλαη ην 0. Έλαο θπζηθόο αξηζκόο δηαηξείηαη κε ην, αλ ην ηειεπηαίν ςεθίν είλαη 0,, 4, 6, 8. Έλαο θπζηθόο αξηζκόο δηαηξείηαη κε ην 5, αλ ην ηειεπηαίν ςεθίν είλαη 0 ή 5. Έλαο θπζηθόο αξηζκόο δηαηξείηαη κε ην ή ην 9, αλ ην άζξνηζκα ησλ ςεθίσλ ηνπ δηαηξείηαη κε ην ή ην 9 αληίζηνηρα. Έλαο θπζηθόο αξηζκόο δηαηξείηαη ζπγρξόλσο κε ην 4 ή θαη ην 5, αλ ηα δύν ηειεπηαία ςεθία ηνπ είλαη κεδέλ.

2 Αζθήζεηο. Σπκπιήξσζε ηα παξαθάησ θελά α) Έλα θνηλό πνιιαπιάζην ησλ αξηζκώλ 5 θαη 8 είλαη ν αξηζκόο... θαη ην ΔΚΠ(5, 8) =... β) Αλ ην ΔΚΠ(α, β) = β, ν β είλαη... ηνπ α. γ) Πξώηνη ιέγνληαη νη αξηζκνί πνπ... θαη ζύλζεηνη ιέγνληαη νη αξηζκνί πνπ... δ) Γύν αξηζκνί νλνκάδνληαη πξώηνη κεηαμύ ηνπο όηαλ... α) Έλα θνηλό πνιιαπιάζην ησλ αξηζκώλ 5 θαη 8 είλαη ν αξηζκόο 40 θαη ην ΕΚΠ (5,8) = 40. β) Αλ ην ΕΚΠ (α,β) = β, ν β είλαη πνιιαπιάζην ηνπ α. γ) Πξώηνη ιέγνληαη νη αξηζκνί πνπ δηαηξνύληαη κόλν κε ηνλ εαπηό ηνπο θαη ην έλα θαη ζύλζεηνη ιέγνληαη νη αξηζκνί πνπ δελ είλαη πξώηνη. δ) Δύν αξηζκνί νλνκάδνληαη πξώηνη κεηαμύ ηνπο όηαλ ν ΜΚΓ ηνπο είλαη ην.. Να ζπκπιεξώζεηε ην θελό κε ην θαηάιιειν ςεθίν ώζηε, ν αξηζκόο πνπ ζα ζρεκαηηζηεί λα δηαηξείηε κε ην 9: α) 6 4 β) 95 4 γ 60 α) Γλσξίδνπκε όηη έλαο αξηζκόο δηαηξείηαη κε ην 9, όηαλ ην άζξνηζκα ησλ ςεθίσλ ηνπ δηαηξείηαη κε ην 9. Επεηδή 6 +4 = 0, θαη από ην 0 έσο ην 0 ν κόλνο αξηζκόο πνπ δηαηξείηαη κε ην 9 είλαη ην 8 = 0 +8, ην δεηνύκελν ςεθίν είλαη ην 8, νπόηε ν αξηζκόο είλαη ν 684. β) Είλαη = 8. Επεηδή ην ςεθίν πνπ ιείπεη είλαη αξηζκόο από ην 0 έσο ην 9, ην ζπλνιηθό άζξνηζκα ησλ ςεθίσλ ηνπ αξηζκνύ ζα είλαη από 8 έσο θαη 7. Έλαο αξηζκόο όκσο δηαηξείηαη κε ην 9 όηαλ ην άζξνηζκα ησλ ςεθίσλ ηνπ δηαηξείηαη κε ην 9, νπόηε ην ςεθίν πνπ ιείπεη ζα είλαη ην 0 ή ην 9 θαη ν αξηζκόο είλαη ν 9504 ή ν γ) Είλαη = 7. Επεηδή ην ςεθίν πνπ ιείπεη είλαη αξηζκόο από ην 0 έσο ην 9, ην ζπλνιηθό άζξνηζκα ησλ ςεθίσλ ηνπ αξηζκνύ ζα είλαη από 7 έσο θαη 6. Από ηνπο αξηζκνύο απηνύο όκσο ν κόλνο πνπ δηαηξείηαη κε ην 9 είλαη ην 9, άξα ην ςεθίν πνπ ιείπεη είλαη ην θαη ν αξηζκόο είλαη ν 60.. Τνπνζεηήζηε έλα «x» ζηελ αληίζηνηρε ζέζε. α) ΔΚΠ (, 5) β) ΔΚΠ (, 6) γ) ΔΚΠ (5, 0) δ) ΔΚΠ (,, 5) ε) ΔΚΠ (, 6, 9) ζη) ΔΚΠ (8,, 5) α) Επεηδή νη αξηζκνί θαη 5 είλαη πξώηνη κεηαμύ ηνπο, είλαη:,5 5 5.

3 β) Επεηδή νη αξηζκνί θαη 6 είλαη πξώηνη κεηαμύ ηνπο, είλαη:, γ) Είλαη 0 5 θαη 5 5, νπόηε 5, δ) Επεηδή νη αξηζκνί, θαη 5 είλαη πξώηνη κεηαμύ ηνπο, είλαη:,,5 5 0 ε) Είλαη, 6 θαη 9 άξα,6,9 8. ζη) Είλαη 8, θαη 5 5, άξα 8,, Η εηαηξεία Α βγάδεη λέν κνληέιν απηνθηλήηνπ θάζε ρξόληα ελώ ε εηαηξεία Β θάζε ρξόληα θαη ε εηαηξεία Γ θάζε 5 ρξόληα. Αλ ην 00 έβγαιαλ θαη νη ηξεηο εηαηξείεο λέα κνληέια, πόηε ζα μαλαβγάινπλ θαη νη ηξεηο καδί λέν κνληέιν; Επεηδή ΕΚΠ(,, 5) = 0, ζα μαλαβγάινπλ θαη νη ηξείο καδί λέν κνληέιν κεηά από 0 ρξόληα, δειαδή ην Έλαο γπκλαζηήο παξαηήξεζε όηη όηαλ ηνπνζεηεί ηνπο καζεηέο ηεο Α γπκλαζίνπ αλά, αλά 5 θαη αλά 7 δελ πεξηζζεύεη θαλέλαο. Πόζνη είλαη νη καζεηέο ηεο Α γπκλαζίνπ ζην ζρνιείν απηό, αλ γλσξίδνπκε όηη ην πιήζνο ηνπο είλαη κεηαμύ 00 θαη 00; Επεηδή, αλ ηνπνζεηεζνύλ νη καζεηέο ηεο Α Γπκλαζίνπ αλά, αλά 5 ή αλά 7 δελ πεξηζζεύεη θαλέλαο, ην πιήζνο ηνπο είλαη αξηζκόο πνιιαπιάζηνο ηνπ ΕΚΠ (,5,7).,5, Επεηδή νη αξηζκνί,5 θαη 7 είλαη πξώηνη κεηαμύ ηνπο, ηζρύεη όηη: Επεηδή ην πιήζνο ησλ καζεηώλ είλαη κεηαμύ ηνπ 00 θαη ηνπ 00 θαη είλαη πνιιαπιάζην ηνπ 05, ηειηθά νη καζεηέο είλαη Ο Γηάλλεο πεγαίλεη ζηνλ θηλεκαηνγξάθν θάζε 0 εκέξεο θαη ν Νίθνο θάζε εκέξεο. Αλ ζπλαληήζεθαλ ζηηο 0 Μαξηίνπ ζηνλ θηλεκαηνγξάθν, πόηε ζα μαλαζπλαληεζνύλ; Σην δηάζηεκα κεηαμύ δύν ζπλαληήζεσλ ηνπο, πόζεο θνξέο έρεη πάεη ν θαζέλαο ηνπο ρσξηζηά ζηνλ θηλεκαηνγξάθν; Είλαη 0 5 θαη 0, Ο Γηάλλεο θαη ν Νίθνο ζα μαλαζπλαληεζνύλ κεηά από 60 εκέξεο. Από 0 Μαξηίνπ έσο 0 Απξηιίνπ είλαη εκέξεο θαη από Απξηιίνπ έσο 9 Μαΐνπ είλαη 9 εκέξεο, άξα ζα μαλαζπλαληεζνύλ ζηηο 9 Μαΐνπ. Επεηδή 60 : 0 = 6 θαη 60 : = 5, ν Γηάλλεο κεηαμύ ησλ δύν ζπλαληήζεσλ ζα έρεη πάεη 5 θνξέο θαη ν Νίθνο Τνπνζεηήζηε έλα «x» ζηελ αληίζηνηρε ζέζε. α) ΜΚΓ (5, 8) β) ΜΚΓ (6, 4) γ) ΜΚΓ (0, 5) δ) ΜΚΓ (0, 0, 60) ε) ΜΚΓ (,, 50) 7 8

4 α) Επεηδή νη αξηζκνί 5 θαη 8 είλαη πξώηνη κεηαμύ ηνπο, ηζρύεη όηη: ΜΚΔ(5,8) =. β) Επεηδή 4 6 θαη 4 γ) Επεηδή 0 5 θαη 5 5 6,4 8., είλαη, είλαη 0, δ) Επεηδή 0 5, 0 5 θαη ε) Επεηδή 5, θαη ,0,60 5 0, είλαη,,50, είλαη 4 8. Γύν αξηζκνί έρνπλ ΜΚΓ ην 4. Να δηθαηνινγήζεηε γηαηί έρνπλ θαη άιινπο θνηλνύο δηαηξέηεο δηαθνξεηηθνύο από ηε κνλάδα. Επεηδή νη δύν αξηζκνί έρνπλ ΜΚΔ ην 4, ζα είλαη πνιιαπιάζηα ηνπ 4. Γλσξίδνπκε όηη αλ έλαο αξηζκόο δηαηξεί έλαλ άιιν, ηόηε ζα δηαηξεί θαη ηα πνιιαπιάζηά ηνπ. Επεηδή νη αξηζκνί,, 4, 6, 8, είλαη δηαηξέηεο ηνπ 4, ζα δηαηξνύλ θαη ηνπο δύν αξηζκνύο. 9. Βξείηε ηνπο δηαηξέηεο ησλ αξηζκώλ: 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Πνηνη από ηνπο αξηζκνύο απηνύο είλαη πξώηνη; Πνηνη είλαη ζύλζεηνη; Επεηδή 0 = 5 = 0, δηαηξέηεο ηνπ 0 είλαη νη αξηζκνί:,, 5, 0. Επεηδή =, δηαηξέηεο ηνπ είλαη νη αξηζκνί:,. Επεηδή = = 6 = 4, δηαηξέηεο ηνπ είλαη νη αξηζκνί:,,, 4, 6,. Επεηδή =, δηαηξέηεο ηνπ είλαη νη αξηζκνί,. Επεηδή 4 = 4 = 7, δηαηξέηεο ηνπ 4 είλαη νη αξηζκνί,, 7, 4. Επεηδή 5 = 5 = 5, δηαηξέηεο ηνπ 5 είλαη νη αξηζκνί,, 5, 5. Επεηδή 6 = 6 = 8 = 4 4, δηαηξέηεο ηνπ 6 είλαη νη αξηζκνί,, 4, 8, 6. Επεηδή 7 = 7, δηαηξέηεο ηνπ 7 είλαη νη αξηζκνί, 7. Επεηδή 8 = 8 = 9 = 6, δηαηξέηεο ηνπ 8 είλαη νη αξηζκνί,,, 6, 9, 8. Επεηδή 9 = 9, δηαηξέηεο ηνπ 9 είλαη νη αξηζκνί, 9. Επεηδή 0 = 0 = 0 = 4 5, δηαηξέηεο ηνπ 0 είλαη νη αξηζκνί,, 4, 5, 0, 0. Οη αξηζκνί,, 7, 9 δηαηξνύληαη κόλν κε ηνλ εαπηό ηνπο θαη κε ηε κνλάδα νπόηε είλαη πξώηνη. Όινη νη άιινη είλαη ζύλζεηνη. 0. Τν δηπιάζην ελόο πξώηνπ αξηζκνύ είλαη πξώηνο αξηζκόο ή ζύλζεηνο θαη γηαηί; Έζησ α ν πξώηνο αξηζκόο. Τόηε ν α ζα δηαηξείηαη κόλν κε ηνλ εαπηό ηνπ θαη κε ηε κνλάδα. Τν δηπιάζην ηνπ α είλαη ην α πνπ δηαηξείηαη κε ηνπο, α,, νπόηε δελ είλαη πξώηνο θαη είλαη ζύλζεηνο αξηζκόο.. Να βξείηε όινπο ηνπο δηαηξέηεο ησλ παξαθάησ αξηζκώλ: α) 8 β) 8 γ) 95 δ) 05 ε) 4 ζη) 45 δ) ε) 999

5 α) Επεηδή , δηαηξέηεο ηνπ 8 είλαη νη αξηζκνί, 8,, 4, 4, 7. β) Επεηδή 8 8 4, δηαηξέηεο ηνπ 8 είλαη νη αξηζκνί, 8,, 4. γ) Επεηδή , δηαηξέηεο ηνπ 95 είλαη νη αξηζκνί, 95, 5, 9. δ) Επεηδή , δηαηξέηεο ηνπ 05 είλαη νη αξηζκνί, 05,, 5, 5,, 7, 5. ε) Επεηδή , δηαηξέηεο ηνπ 4 είλαη νη αξηζκνί, 4,, 6, 4,. 5 ζη) Επεηδή , δηαηξέηεο ηνπ 45 είλαη νη αξηζκνί, 45, 5, 69, 5,. 4 δ) Επεηδή 7, είλαη νπόηε δηαηξέηεο ηνπ είλαη νη αξηζκνί,,, 66, 4, 08, 7, 76, 8, 54,,, 4, 88, 6, 77,, 56, 8, 44. ε) Είλαη.999 4, είλαη , νπόηε δηαηξέηεο ηνπ.999 είλαη νη αξηζκνί,.999,,.,, 9, 4, 9.. Να αλαιπζνύλ νη παξαθάησ αξηζκνί ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ: α) 78 β) 48 γ).0 δ).44 α) β) γ) δ)

6 Δμάζθεζε. Να βξείηε ηνπο θνηλνύο δηαηξέηεο θαη ηνλ ΜΚΔ ησλ αξηζκώλ: α) 6 θαη 9 β) θαη Να βξείηε ην ΕΚΠ θαη ην ΜΚΔ ησλ αξηζκώλ 6 θαη Να γξάςεηε από ηνπο αξηζκνύο 45, 08, 75, 40, 706, απηνύο πνπ δηαηξνύληαη: α) κε ην β) κε ην 5 γ) κε ην δ) κε ην Τνπνζεηήζηε ζηα θελά ηα θαηάιιεια ςεθία ζηνπο παξαθάησ αξηζκνύο. α) 7 ώζηε λα δηαηξείηαη κε ην. β) ώζηε λα δηαηξείηαη κε ην 5 θαη ην 9. γ) 4 ώζηε λα δηαηξείηαη κε ην θαη ην Να βξείηε ην ΜΚΔ ησλ παξαθάησ αξηζκώλ: α) 4 θαη 6 β) 6 θαη 40 γ) 9 θαη δ),, Να βξείηε ην ΕΚΠ ησλ παξαθάησ αξηζκώλ: α) θαη 0 β), 6, 0 γ) 6, δ) 8, 0 9. Να αλαιύζεηε ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ ηνπο αξηζκνύο 08 θαη Πνην ςεθίν πξέπεη λα ηνπνζεηεζεί ζηε ζέζε ηνπ α ζηνλ αα, ώζηε ν αξηζκόο πνπ ζα πξνθύςεη λα είλαη δηαηξεηόο; α) κε ην β) κε ην 9. Έλαο αξηζκόο δηαηξείηαη κε ην. Αλ αιιάμνπκε ηε ζέζε ησλ ςεθίσλ ηνπ, ν αξηζκόο πνπ ζα πξνθύςεη ζα δηαηξείηαη κε ην ;. Τν γηλόκελν δύν πξώησλ αξηζκώλ είλαη πξώηνο ή ζύλζεηνο; Δηθαηνινγείζηε ηελ απάληεζε ζαο θαη δώζηε έλα θαηάιιειν παξάδεηγκα.. Τξία ιεσθνξεία κε αθεηεξία ηελ ίδηα πιαηεία εθηεινύλ ηε ζπγθνηλσλία ζε δηαθνξεηηθά ζεκεία ηεο πόιεο. Τν πξώην εθηειεί κία δηαδξνκή ζε 8min, ην δεύηεξν ζε 4min θαη ην ηξίην ζε 6min. Αλ ζηηο αθξηβώο μεθηλήζνπλ καδί, ύζηεξα από πόζν ρξόλν ζα μεθηλήζνπλ θαη πάιη καδί θαη πόζεο δηαδξνκέο ζα έρεη θάλεη ην θαζέλα ζηνλ ελδηάκεζν ρξόλν; 4. Πόζεο ην πνιύ νκνηόκνξθεο αλζνδέζκεο κπνξνύκε λα ζρεκαηίζνπκε από 48 ηξηαληάθπιια, 80 γαξύθαιια θαη ηνπιίπεο; Πόζα άλζε από θάζε είδνο ζα πεξηιακβάλεη θάζε αλζνδέζκε; 5. Έλαο βνζθόο κεηξώληαο ηα πξόβαηά ηνπ ηα έβξηζθε πάληα θάπνπ αλάκεζα ζηα 8 θαη 7. Τα κεηξνύζε ζε νθηάδεο, δεθάδεο ή δσδεθάδεο ρσξίο λα ηνπ πεξηζζεύεη θαλέλα θάζε θνξά. Πόζα πξόβαηα είρε ν βνζθόο; 6. Δύν πινία αλαρσξνύλ ηαπηόρξνλα από έλα ιηκάλη πξνο δηαθνξεηηθέο θαηεπζύλζεηο θαη όηαλ επηζηξέθνπλ μαλαθεύγνπλ ακέζσο. Τν ηαμίδη ηνπ ελόο δηαξθεί 4 εκέξεο θαη ηνπ άιινπ 6 εκέξεο. Μεηά από πόζεο εκέξεο ζα ζπκβεί ηα δύν πινία λα αλαρσξνύλ από ην ίδην ιηκάλη ηαπηόρξνλα; Σηέιηνο Μηραήινγινπ