ΓΙΑΙΡΔΣΔ ΦΤΙΚΟΤ ΑΡΙΘΜΟΤ Μ.Κ.Γ. ΦΤΙΚΏΝ ΑΡΙΘΜΏΝ

Transcript

1 ΓΙΑΙΡΔΣΔ ΦΤΙΚΟΤ ΑΡΙΘΜΟΤ Γηαηξέηεο ελόο θπζηθνύ αξηζκνύ α είλαη νη θπζηθνί αξηζκνί πνπ όηαλ δηαηξεζνύλ κε ην α δίλνπλ αθέξαην πειίθν θαη ππόινηπν 0. Οη παξάγνληεο ελόο αξηζκνύ είλαη θαη δηαηξέηεο ηνπ. Ππώηοι απιθμοί είλαη νη θπζηθή αξηζκνί πνπ έρνπλ δηαηξέηεο κόλν ην 1 θαη ηνλ εαπηό ηνπο (1.3,5,7,11,13,17,19,23,...) ύνθεηοι απιθμοί είλαη νη αξηζκνί πνπ δελ είλαη νη πξώηνη, δειαδή έρνπλ εθηόο από ην 1 θαη ηνλ εαπηό ηνπο θαη άιινπο δηαηξέηεο. ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ: Κάζε αξηζκόο έρεη δηαηξέηεο ην 1 θαη ηνλ εαπηό ηνπ. 1 α=α άξα ην 1 θαη ην α παξάγνληεο ηνπ α επνκέλωο ην 1 θαη ην α δηαηξέηεο ηνπ α.. Μ.Κ.Γ. ΦΤΙΚΏΝ ΑΡΙΘΜΏΝ Μ.Κ.Γ. ζεκαίλεη Μ=Μέγηζηνο (κεγαιύηεξνο) Κ=Κνηλόο(ίδηνο) Γ=δηαηξέηεο Ολνκάδνπκε Μ.Κ.Γ. δπν ή πεξηζζόηεξωλ θπζηθώλ αξηζκώλ ηνλ κεγαιύηεξν από ηνπο θνηλνύο δηαηξέηεο ηνπο. ΚΑΣΗΓΟΡΙΔ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΩΝ Α. Να βπεθούν οι διαιπέηερ ενόρ θςζικού απιθμού. ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να βξεζνύλ νη δηαηξέηεο ηνπ 18 θαη ηνπ 16. Λύζη Γξάθνπκε όια ηα γηλόκελα θπζηθώλ πνπ καο δίλνπλ απνηέιεζκα 18, = =16 2 9=18 2 8=16 3 6=18 4 4=16 6 3=18 8 2=16 (από απηό ην ζεκείν ηα γηλόκελα αξρίδνπλ λα επαλαιακβάλνληαη.) Γλωξίδνπκε όηη νη παξάγνληεο ελόο αξηζκνύ είλαη θαη δηαηξέηεο ηνπ, άξα 18= {1,2,3,6,9,18} 16 = {1,2,4,8,16} ΠΑΡΑΣΗΡΗΔΙ: 1. Οη δηαηξέηεο ελόο αξηζκνύ είλαη πεπεξαζκέλνη ην πιήζνο. 2. Οη δηαηξέηεο ελόο θπζηθνύ αξηζκνύ είλαη κηθξόηεξνη ή ην πνιύ ίζνη κε ηνλ αξηζκό. 3. Ο Μ.Κ.Γ είλαη πάληα κηθξόηεξνο ή ίζνο από ηνλ κηθξόηεξν ηωλ αξηζκώλ.

2 Β. Δύπεζη ηος Μέγιζηος Κοινού Γιαιπέηη δύο ή πεπιζζόηεπων απιθμών. Γηα λα βξνύκε ην Μ.Κ.Γ δύν ή πεξηζζνηέξωλ αξηζκώλ κπνξνύκε λα εθαξκόζνπκε ηξεηο δηαθνξεηηθνύο ηξόπνπο. 1 ορ ΣΡΟΠΟ Βήμα 1 ο : Βξίζθνπκε ηνπο δηαηξέηεο ηωλ αξηζκώλ. Βήμα 2 ο : Βξίζθνπκε ηνπο θνηλνύο δηαηξέηεο. Βήμα 3 ο : Από ηνπο θνηλνύο δηαηξέηεο επηιέγνπκε ην κεγαιύηεξν. Σα βήμαηα πος ακολοςθούμε για να βπούμε ηο Μ.Κ.Γ Βήμα 1 ο : Βξίζθνπκε ηνπο δηαηξέηεο ηωλ αξηζκώλ ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να βξεζεί ν Μ.Κ.Γ (12,30,36,) 1.12= =30 2.6= =30 3.4= =30 4.3=12 5.6=30 Γ12= (1,2,3,4,6,12) 6.5=30 Γ30=(1,2,3,5,6,10,15,30,) 1.36= = =36 4.9=36 6.6=36 Γ36=(1,2,3,4,6,9,12,18,36) Βξήθακε ηνπο δηαηξέηεο ηνπ 12, 30 θαη 36 Γ12=(1,2,3,4,6,12) Γ30=(1,2,3,5,6,10,15,30) Γ36=(1,2,3,4,6,9,,12,18,36) Βήμα 2 ο : Βξίζθνπκε ηνπο θνηλνύο δηαηξέηεο. Βήμα 3 ο : Από ηνπο θνηλνύο δηαηξέηεο επηιέγνπκε ην κεγαιύηεξν. Οη θνηλνί δηαηξέηεο είλαη: {1,2,3,6} Άξα ο Μ.Κ.Γ=6

3 2 ορ : ΣΡΟΠΟ ΒΗΜΑ 1 ο : Παίξλνπκε ην κηθξόηεξν από ηνπο αξηζκνύο θαη βξίζθνπκε ηνπο δηαηξέηεο ηνπ. ΒΗΜΑ 2 ο :Παίξλνπκε ηνλ ακέζωο κεγαιύηεξν θαη βιέπνπκε πνηνη από ηνπο αξηζκνύο πνπ βξήθακε είλαη δηαηξέηεο ηνπ. Όζνη δελ είλαη ηνπο δηαγξάθνπκε. ΒΗΜΑ 3 ο :Παίξλνπκε ηνλ ακέζωο κεγαιύηεξν θαη βξίζθνπκε πνίνη είλαη δηαηξέηεο ηνπ από ηνπο αξηζκνύο πνπ κείλαλε. ΒΗΜΑ 4 ο : Κάλνπκε ηελ ίδηα εξγαζία ώζπνπ λα ηειεηώζνπλ νη αξηζκνί. ΒΗΜΑ 5 ο :Από ηνπο αξηζκνύο πνπ έκεηλαλ Μ.Κ.Γ. είλαη ν ΜΔΓΑΛΤΣΔΡΟ. ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ: Σα βήκαηα πνπ αθνινπζνύκε γηα λα βξνύκε ην Μ.Κ.Γ ΒΗΜΑ 1ο: Παίξλνπκε ην κηθξόηεξν θαη βξίζθνπκε ηνπο δηαηξέηεο ηνπ. ΒΗΜΑ 2 ο : Παίξλνπκε ηνλ ακέζωο κεγαιύηεξν θαη βιέπνπκε πνηνη από ηνπο αξηζκνύο πνπ βξήθακε είλαη δηαηξέηεο ηνπ. Όζνη δελ είλαη ηνπο δηαγξάθνπκε. ΒΗΜΑ 3ο: Παίξλνπκε ηνλ ακέζωο κεγαιπηεξν θαη βξίζθνπκε πνηνί από ηνπο αξηζκνύο πνπ έκεηλαλ είλαη δηαηξέηεο ηνπ. ΣΔΛΔΤΣΑΙΟ ΒΗΜΑ: Μ.Κ.Γ είλαη ν κεγαιύηεξνο από ηνπο αξηζκνύο πνπ έκεηλαλ δειαδή ην 9. ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να βξεζεί ν Μ.Κ.Γ. (27, 36, 81 ) Ο κηθξόηεξνο είλαη ην 27. Γ 27= 1,3,9 Ο ακέζωο κεγαιύηεξνο είλαη ν 36. Γηαηξέηεο ηνπ είλαη ην 1,3,9. ( Σν 27 ην δηαγξάθνπκε ). Ο ακέζωο κεγαιύηεξνο είλαη ην 81. Γηαηξέηεο ηνπ είλαη ην 1,3,9. Άιινη αξηζκνί δελ έκεηλαλ θαη επόκελωο πάω ζην ηειεπηαίν βήκα. Μ.Κ.Γ είλαη ν κεγαιύηεξνο από ηνπο αξηζκνύο πνπ έκεηλαλ δειαδή ην 9. Μ.Κ.Γ (27,36,81,)=9 3 ορ : ΣΡΟΠΟ ΒΗΜΑ 1ο Γξάθνπκε ηνπο αξηζκνύο ηνλ έλαλ δίπια ζηνλ άιιν. Γξάθνληαο ηνλ πην κηθξό αξηζηεξά. ΒΗΜΑ 2ο: Γηαηξνύκε ηνπο αξηζκνύο κε ην κηθξόηεξν θαη γξάθνπκε ην ππόινηπν. Σνλ πην κηθξό δελ ην δηαηξνύκε. ΒΗΜΑ 3ο: Δπαλαιακβάλνπκε ηελ ίδηα δηαδηθαζία ζε θάζε γξακκή δηαηξώληαο ηνπο αξηζκνύο κε ην κηθξόηεξν. ΒΗΜΑ 4ο: Η δηαδηθαζία ζηακαηάεη όηαλ θαηαιήμνπκε ζε γξακκή πνπ έρεη όια 0 εθηόο από έλαλ αξηζκό. Ο Μ.Κ.Γ είλαη απηόο ν αξηζκόο. Σα βήκαηα πνπ αθνινπζνύκε γηα λα βξνύκε ην ΠΡΟΒΛΗΜΑ:

4 Μ.Κ.Γ (3 νο Σξόπνο) Να βξεζεί ν Μ.Κ.Γ ( 324,600,1056) ΒΗΜΑ 1ο: Γξάθνπκε ηνπο αξηζκνύο ηνλ έλαλ δίπια ζηνλ άιιν. Γξάθνληαο ηνλ πην κηθξό αξηζηεξά. ΒΗΜΑ 2ο: Γηαηξνύκε ηνπο αξηζκνύο κε ην κηθξόηεξν θαη γξάθνπκε ην ππόινηπν. Σνλ πην κηθξό δελ ην δηαηξνύκε , 276, 84 ΠΑΡΑΣΗΡΗH: Σα ππόινηπα ηωλ δηαηξέζεωλ είλαη 600:324 είλαη :324 είλαη 84 ΒΗΜΑ 3ο: Δπαλαιακβάλνπκε ηελ ίδηα δηαδηθαζία ζε θάζε γξακκή δηαηξώληαο ηνπο αξηζκνύο κε ην κηθξόηεξν. ΣΔΛΔΤΣΑΙΟ ΒΗΜΑ: Η δηαδηθαζία ζηακαηάεη όηαλ θαηαιήμνπκε ζε γξακκή πνπ έρεη όια 0 εθηόο από έλαλ αξηζκό. Ο Μ.Κ.Γ είλαη απηόο ν αξηζκόο Μ.Κ.Γ ( 324,600,1056)=12 Η δηαδηθαζία νιόθιεξε θαίλεηαη παξαθάηω Γηαηξνύκε κε Γηαηξνύκε κε Γηαηξνύκε κε Γηαηξνύκε κε Μ.Κ.Γ=12 4 ορ : ΣΡΟΠΟ ΒΗΜΑ 1ο Αλαιύνπκε θάζε αξηζκό ζε γηλόκελν πξώηωλ παξαγόληωλ ΒΗΜΑ 2ο: Δπηιέγνπκε ην γηλόκελν πνπ απνηειείηε από ηνπο θνηλνύο κόλν παξάγνληεο πνπ ν θαζέλαο έρεη ην κηθξόηεξν έθζεηε. Απηόο είλαη θαη ν Μ.Κ.Γ Σα βήκαηα πνπ αθνινπζνύκε γηα λα βξνύκε ην ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να βξεζεί ν Μ.Κ.Γ (360,2100,21168) Μ.Κ.Γ (4 νο Σξόπνο) ΒΗΜΑ 1ο: Αλαιύνπκε θάζε αξηζκό ζε γηλόκελν πξώηωλ παξαγόληωλ. ΒΗΜΑ 2ο:Δπηιέγνπκε ην γηλόκελν πνπ απνηειείηε από ηνπο θνηλνύο κόλν παξάγνληεο πνπ ν θαζέλαο έρεη ην κηθξόηεξν έθζεηε. Απηόο είλαη θαη ν Μ.Κ.Γ Μ.Κ.Γ= 2 3=12

5 Γ. ΑΛΛΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Έσοςμε 36 ίδια βιβλία, 30 ηεηπάδια και 12 ζηςλούρ. Πόζα ηο πολύ όμοια δέμαηα θα θηιάξοςμε και πόζα βιβλία, ηεηπάδια, ζηςλούρ, θα έσει ηο κάθε δέμα; Λύζη: Δάλ ν αξηζκόο ηωλ δεκάηωλ είλαη x. Σόηε ην x δηαηξεί αθξηβώο ηα 36 βηβιία, 30 ηεηξάδηα θαη ηνπο 12 ζηπινύο. Άξα είλαη δηαηξέηεο θαη ηνπ 36 θαη ηνπ 30 θαη ηνπ 12. Δπνκέλωο είλαη Κ.Γ (36,30,12) Οη θνηλνί δηαηξέηεο ηνπ 36,30,12 είλαη (1,2,3,6). εκείο ζέινπκε ηα πεξηζζόηεξα δέκαηα άξα ζέινπκε ην Μ.Κ.Γ (30,36,12,)=6 Δπνκέλωο x=6. Μπνξνύκε λα θηηάμνπκε 6 δέκαηα ην πνιύ. Κάζε δέκα πεξηέρεη 36:6=6 βηβιία 30:6=5 ηεηξάδηα 12:6=2 ζηπινύο ΑΚΗΔΙ ΓΙΑ ΛΤΗ Α. ΟΜΑΓΑ 1. Να βξεζνύλ νη δηαηξέηεο ηωλ αξηζκώλ 21, 48, 36, Να βξεζεί ν ΜΚΓ ηωλ αξηζκώλ α) 12,16 β)24,27 γ)18, 32,12 3. Να βξεζεί ν ΜΚΓ ηωλ αξηζκώλ α) 25, 15 β) 17, 11 γ) 81, Να βξεζεί ν ΜΚΓ ηωλ αξηζκώλ α) 26, 52, 91 β) 121, 242, Όκνηα α) Μ.Κ.Γ. ( 34, 44 ) β) Μ.Κ.Γ. ( 22, 68 ) γ) Μ.Κ.Γ.( 8, 18, 48 ) δ) Μ.Κ.Γ. ( 360, 900 ) 6. Αλ έρνπκε 64 άλδξεο, 52 γπλαίθεο θαη 120 παηδηά ζε πόζεο ην πνιύ νκνηόκνξθεο νκάδεο δει. ζε νκάδεο πνπ θάζε κία έρεη ίδην αξηζκό αλδξώλ, γπλαηθώλ θαη παηδηώλ, θαη πόζνπο άλδξεο, γπλαίθεο παηδηά έρεη θάζε νκάδα ; 7. Έλαο αλζνπώιεο έρεη 32 ηξηαληάθπιια, 56 γαξύθαιια θαη 72 καξγαξίηεο. Πόζεο ην πνιύ ίδηεο αλζνδέζκεο κπνξεί λα θηηάμεη κε όια απηά ηα ινπινύδηα θαη πόζα ινπινύδηα από ην θάζε είδνο ζα έρεη αλζνδέζκε ; 8. Πνηνί από ηνπο παξαθάηω αξηζκνύο είλαη πξώηνη θαη πνηνί ζύλζεηνη 1, 8, 5, 11, 20, 17, 18, 22, 7, 16, 23, 19, 12, 32, 45, 35, 33, 41. Β. ΟΜΑΓΑ 1. Να βξείηε ην Μ.Κ.Γ. ζηηο παξαθάηω πεξηπηώζεηο: Μ.Κ.Γ.( 36,84,120 ) Μ.Κ.Γ. ( 1020, 2040, 3600 ) Μ.Κ.Γ. (12400, 2600,33000) Μ.Κ.Γ. (240, 360, 120, 72 ) 2. Αλ ν Μ.Κ.Γ. (85,x,102) = 17 θαη ν θπζηθόο αξηζκόο x πεξηέρεηαη κεηαμύ ηωλ 34 θαη 68, λα βξεζεί ν x.

6 3. ε πόζεο ην πνιύ πηωρέο νηθνγέλεηεο κπνξνύλ λα κνηξαζηνύλ εμίζνπ δξρ. θαη 123 θηιά ηξόθηκα, αλ είλαη γλωζηό όηη ζα πεξηζζεύνπλ 800 δξρ. θαη 3 θηιά ηξόθηκα. Γ. ΟΜΑΓΑ 1. Αλ Μ.Κ.Γ. ( x, 2x, 36 ) = 12 θαη x 36, λα βξεζεί ν θπζηθόο αξηζκόο x. 2. Να βξεζεί ν ΜΚΓ ηωλ αξηζκώλ 24, 36, 84, θαη λα δηθαηνινγήζεηε όηη ν θαζέλαο από απηνύο είλαη πνιιαπιάζην ηνπ ΜΚΓ ηνπο. 3. Να βξείηε ην ΔΚΠ θαη ην ΜΚΓ ηωλ αξηζκώλ 16 θαη 40. Σνπο αξηζκνύο πνπ ζα βξείηε λα ηνπ πνιιαπιαζηάζεηε θαη ην εμαγόκελν λα ην ζπγθξίλεηε κε ην γηλόκελν 16 40