Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες

Transcript

1 Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα 3: Πιθανότητα σφάλματος στη φώραση σήματος Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών

2 Ο Βέλτιστος Φωρατής Σεραφείμ Καραμπογιάς Ο φωρατής σήματος, με τη βοήθεια ενός κανόνα απόφασης, βασιζόμενος στην παρατήρηση του διανύσματος, λαμβάνει μία απόφαση ως προς το μεταδιδόμενο σύμβολο, έτσι ώστε να μεγιστοποιείται η πιθανότητα σωστής απόφασης. Απουσία της λαμβανόμενης πληροφορίας, η καλύτερη απόφαση είναι να επιλέξουμε το σήμα που έχει τη μεγαλύτερη εκ των προτέρων a-pioi πιθανότητα P. Μετά τη λήψη της πληροφορίας οι a-pioi πληροφορίες P αντικαθίστανται από τις εκ των υστέρων a - poteioi πιθανότητες P σήμα στάλθηκε,,,, P Το κριτήριο απόφασης το οποίο βασίζεται στην επιλογή του σήματος που αντιστοιχεί στο μέγιστο του συνόλου των a-poteioi πιθανοτήτων ελαχιστοποιεί την πιθανότητα σφάλματος. Αυτό το κριτήριο απόφασης καλείται κριτήριο μέγιστης εκ των υστέρων πιθανότητας axiu a poteioi pobability AP

3 Οι a-poteioi πιθανότητες μπορούν να εκφραστούν ως επίσης ισχύει P P k P k k Παρατηρούμε ότι ο υπολογισμός των a-poteioi πιθανοτήτων P απαιτεί γνώση των a- pioi πιθανοτήτων P και των υποσυνθήκη PDF για =,,,. Αν τα σήματα είναι ισοπίθανα τότε η μεγιστοποίηση της πιθανότητας P οδηγεί στη μεγιστοποίηση της υπό συνθήκη πυκνότητας πιθανότητας. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-3

4 Η υπό συνθήκη PDF ή οποιαδήποτε μονότονη συνάρτηση αυτής καλείται πιθανοφάνειας likelihood utio συνάρτηση Το κριτήριο απόφασης που βασίζεται στη μεγιστοποίηση της πάνω σε όλα τα δυνατά σήματα καλείται κριτήριο μέγιστης πιθανοφάνειας axiu-likelihood L iteio Ένας φωρατής ο οποίος βασίζεται στο AP κριτήριο και ένας άλλος ο οποίος βασίζεται στο L κριτήριο παίρνουν τις ίδιες αποφάσεις όταν οι a-pioi πιθανότητες είναι όλες ίσες. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-4

5 Για ένα AWGN κανάλι είναι N k k exp,,,, N N N k Αν επιλέξουμε το φυσικό λογάριθμο του έχουμε l N N l k k N k N Η μεγιστοποίηση του l ως προς ισοδυναμεί με την εύρεση του σήματος το οποίο ελαχιστοποιεί την Ευκλείδεια απόσταση D N, k k k Οι ποσότητες D,, =,,,, καλούνται μετρικές απόστασης ditae eti. Για AWGN κανάλι, ο κανόνας απόφασης ο οποίος βασίζεται στο κριτήριο μέγιστης πιθανοφάνειας L, απλοποιείται στην εύρεση του σήματος το οποίο είναι το πλησιέστερο στο λαμβανόμενο διάνυσμα. Ο κανόνας αυτός απόφασης χαρακτηρίζεται ως φώραση ελάχιστης απόστασης iiu ditae detetio Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-

6 Μία άλλη ερμηνεία του βέλτιστου κανόνα απόφασης. Οι Ευκλείδειες αποστάσεις γράφονται και ως, N D Σεραφείμ Καραμπογιάς Αν αμεληθεί ο κοινός όρος που είναι κοινός σε όλες τις μετρικές έχουμε ένα σύνολο τροποποιημένων μετρικών αποστάσεων D,,,,, Το κριτήριο μέγιστης πιθανοφάνειας επιλέγει το σήμα t το οποίο μεγιστοποιεί την ή το l πάνω σε όλα τα δυνατά σήματα t, t,, t. Το κριτήριο είναι ισοδύναμο με την ελαχιστοποίηση της Ευκλείδειας απόστασης D,. Είναι επίσης ισοδύναμο με τη μεγιστοποίηση της τροποποιημένης μετρικής απόστασης. η οποίες αποτελούν τις μετρικές συσχέτισης. C, N N N,,,, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-6

7 Ο όρος αντιπροσωπεύει την προβολή του λαμβανόμενου διανύσματος πάνω σε κάθε ένα από τα δυνατά μεταδιδόμενα διανύσματα σήματος. Η τιμή κάθε μίας από αυτές τις προβολές είναι ένα μέτρο της συσχέτισης μεταξύ του λαμβανόμενου διανύσματος και του στου σήματος Για το λόγο αυτό τα C,, =,,, καλούνται μετρικές συσχέτισης για τη λήψη απόφασης του σήματος που μεταδόθηκε. Οι όροι =, =,,, μπορούν να θεωρηθούν ως όροι αντιστάθμισης σε περιπτώσεις συνόλου σημάτων με άνισες ενέργειες. Αν τα σήματα δεν είναι ισοπίθανα, ο βέλτιστος AP φωρατής βασίζει την απόφασή του στις πιθανότητες P, =,,,, η, ισοδύναμα, στις μετρικές a-poteioi πιθανότητας P P P, P Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-7

8 Παράδειγμα Σεραφείμ Καραμπογιάς Δυαδικά αντίποδα σήματα χρησιμοποιούνται για τη μετάδοση πληροφορίας μέσα από AWGN κανάλι. Οι a-pioi πιθανότητες των δύο συμβόλων bit είναι p = p = /. α Καθορίστε το βέλτιστο κανόνα απόφασης μέγιστης πιθανοφάνειας του φωρατή. β Βρείτε τη πιθανότητα σφάλματος συναρτήσει του λόγου b /N. Λύση Σύμφωνα με το κριτήριο μέγιστης πιθανοφάνειας axiu-likelihood L iteio επιλέγεται από τα Μ πιθανά μεταβιβαζόμενα σήματα αυτό το οποίο μεγιστοποιεί την. Για = το κριτήριο έχει τη μορφή. S S b e b b b S e e b e S Λογαριθμίζοντας την σχέση το κριτήριο μέγιστης πιθανοφάνειας είναι Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-8

9 Παράδειγμα Θεωρείστε την περίπτωση σημάτων δυαδικού PA κατά την οποία τα δύο δυνατά σημεία σήματος είναι = = b, όπου b είναι η ενέργεια ανά bit. Οι a-pioi πιθανότητες είναι P = p και P = p. Καθορίστε τις μετρικές για το βέλτιστο AP φωρατή εάν το μεταδιδόμενο σήμα διαβρώνεται από AWGN θόρυβο. Λύση Το λαμβανόμενο σήμα είναι b y Οι δύο υπό συνθήκη PDF του είναι b e b e Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-9

10 Οι δύο υπό συνθήκη PDF του είναι b e b e Οι μετρικές a-poteioi πιθανότητας, P P, =, είναι P p b, p e P p p b, e Ο κανόνας απόφασης εκφράζεται ως P P, S, S Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων7-3-

11 Αλλά P P, S, p b b exp p S λαμβάνοντας το λογάριθμο έχουμε ή ισοδύναμα b b 4 b p l S p Ο βέλτιστος φωρατής υπολογίζει το μέτρο συσχέτισης κατώφλι N 4l p p b S S p N p l l p 4 p S C, b και το συγκρίνει με το Παρατηρούμε αν p = /, το κατώφλι είναι ίσο με μηδέν και δεν απαιτείται γνώση του Ν στο φωρατή. Στην περίπτωση των άνισων a-pioi πιθανοτήτων, για τον υπολογισμό του κατωφλίου είναι αναγκαίο να γνωρίζουμε όχι μόνο τις τιμές των a-pioi πιθανοτήτων αλλά και την τιμή της φασματικής πυκνότητα ισχύος N. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-

12 Αν R είναι η περιοχή του Ν-διάστατου χώρου για την οποία αποφασίζουμε ότι μεταδόθηκε το σήμα t όταν λαμβάνεται το διάνυσμα =,,, N. Η υποσυνθήκη πιθανότητα εσφαλμένης απόφασης, δεδομένου ότι μεταδόθηκε το t, είναι όπου R είναι το συμπλήρωμα του R. P e R d Η μέση πιθανότητα σφάλματος είναι P e P e R d R d Σημειώνουμε ότι η πιθανότητα Pe ελαχιστοποιείται επιλέγοντας το, εάν η υποσυνθήκη πιθανότητα είναι μεγαλύτερη από k για όλα τα k. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-

13 Όμοια, στην περίπτωση χρήσης του AP κριτηρίου, εάν τα σήματα δεν είναι ισοπίθανα, η μέση πιθανότητα σφάλματος είναι P e P R d Το Pe ελαχιστοποιείται όταν τα σημεία που θα συμπεριληφθούν σε κάθε περιοχή R είναι αυτά για τα οποία το P υπερβαίνει όλες τις άλλες a-poteioi πιθανότητες. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-3

14 t ut A o t α Διαμορφωτής Κανάλι t zt o t Σεραφείμ Καραμπογιάς Η διαμόρφωση και η αποδιαμόρφωση στη μετάδοση σήματος. Η διαμόρφωση χρησιμοποιεί το σήμα πληροφορίας t για να μεταβάλλει το πλάτος ενός ημιτονοειδούς φέροντος A oπ t + φ. Το διαμορφωμένο σήμα είναι Χαμηλοπερατό Φίλτρο β Σύγχρονη ή σύμφωνη αποδιαμόρφωση u t A to t Το λαμβανόμενο σήμα απουσία θορύβου μέσω ιδανικού καναλιού είναι t u t A to t Ο πολλαπλασιασμός του t με ένα τοπικά παραγόμενο ημιτονοειδές σήμα δίνει to t A to t o t A to A to4 t Το σήμα αυτό διέρχεται μέσα από ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο με εύρος-ζώνης W. Η έξοδος του φίλτρου είναι yl t A t o t Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων y l

15 Μελέτη της διαμόρφωσης και αποδιαμόρφωσης στο πεδίο συχνότητας A W Το φάσμα του μηνύματος για ένα αυθαίρετο t W W U A A W W W W Το φάσμα U του διαμορφωμένου σήματος Z απόκριση φίλτρου διέλευσης χαμηλ. συχν. W W W W W W Το φάσμα Ζ του σήματος στην είσοδο του φίλτρου Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-

16 Δομή αποδιαμορφωτή-φωρατή για τους διάφορους τύπους ψηφιακής διαμόρφωσης Η αποδιαμόρφωση ενός μονοδιάστατου ζωνοπερατού ψηφιακού PA σήματος μπορεί να επιτευχθεί μέσω συσχέτισης ή μέσω χρήσης προσαρμοσμένων φίλτρων. Η παρουσία φέροντος εισάγει μία πρόσθετη επιπλοκή κατά την αποδιαμόρφωση. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-6

17 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Αποδιαμόρφωση και φώραση σημάτων διαμορφωμένων κατά πλάτος φέροντος Το μεταδιδόμενο PA σήμα σε ένα διάστημα σηματοδοσίας έχει τη μορφή t t t g A t u, o Το λαμβανόμενο σήμα είναι t t t t g A t, o όπου t είναι ζωνοπερατή διαδικασία θορύβου η οποία αναπαρίσταται ως i o t t t t t Η συσχέτιση του λαμβανόμενου σήματος t με τη συνάρτηση βάσης o t t g t g A dt t t dt t t g A dt t t o g g δίνει όπου είναι η συνιστώσα του προσθετικού θορύβου στην έξοδο του συσχετιστή.

18 Ανάκτηση Φάσης-Φέροντος Στην πιο πάνω ανάλυση υποθέσαμε ότι η συνάρτηση ψt είναι τέλεια συγχρονισμένη με τη συνιστώσα σήματος του t τόσο χρονικά όσο και κατά τη φάση του φέροντος για το PA. Λαμβανόμενο σήμα t t t t t dt Δειγματολήπτης Προς φωρατή o t t g Γεννήτρια παλμών σήματος Ρολόι Συγχρονισμός συμβόλου k Ταλαντωτής Ιδανική αποδιαμόρφωση ζωνοπερατού ψηφιακού PA σήματος. Η αποδιαμόρφωση του ζωνοπερατού PA σήματος, όπως περιγράφεται στο παραπάνω σχήμα είναι ιδανική, αλλά όχι εφικτή. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-8

19 Στην πράξη όμως, αυτές οι ιδανικές συνθήκες δεν ισχύουν. Πρώτα από όλα, η καθυστέρηση διάδοσης, που συναντάται στη μετάδοση ενός σήματος μέσα από ένα κανάλι, έχει ως αποτέλεσμα τη μετατόπιση φάσης του φέροντος στο λαμβανόμενο σήμα το οποίο έχει τη μορφή t A g to t t, t Δεύτερον, ο ταλαντωτής, ο οποίος δημιουργεί το φέρον σήμα oπ t στο δέκτη, δεν είναι ενγένει κλειδωμένος σε φάση με τον ταλαντωτή που χρησιμοποιείται στον πομπό. Στην πράξη οι ταλαντωτές συνήθως ολισθαίνουν σε συχνότητα και φάση με αποτέλεσμα η συνάρτηση βάσης να είναι t g to t ˆ g Η συσχέτιση του λαμβανόμενου σήματος t με τη συνάρτηση βάσης δίνει t t dt A g o t ˆ Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-9

20 Λαμβανόμενο σήμα t t dt Δειγματολήπτης Φωρατής Δεδομένα εξόδου PLL o t ˆ g t Γεννήτρια παλμών σήματος Ρολόι Αποδιαμόρφωση ζωνοπερατού ψηφιακού ASK PA σήματος με τη χρήση ζωνοπερατής συσχέτισης Λαμβανόμενο σήμα t Ζωνοπερατό προσαρμοσμένο φίλτρο Δειγματολήπτης Φωρατής Δεδομένα εξόδου PLL o t ˆ Ρολόι Αποδιαμόρφωση ζωνοπερατού ψηφιακού ASK PA σήματος με τη χρήση ζωνοπερατού προσαρμοσμένου φιλτραρίσματος. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-

21 Βέλτιστος φωρατής Στην περίπτωση ιδανικής χωρίς απόκλιση εκτίμησης φάσης του φέροντος έχουμε φ = φ, και η είσοδος στον φωρατή είναι το άθροισμα σήματος και θορύβου που δίδεται από την g t t dt A Όπως και στην περίπτωση PA βασικής ζώνης, για ισοπίθανα σύμβολα, ο βέλτιστος φωρατής βασίζει την απόφασή του στις μετρικές απόστασης D ή, ισοδύναμα, στις μετρικές συσχέτισης C,,,,...,,,,,..., Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-

22 Αποδιαμόρφωση και Φώραση Σημάτων Διαμορφωμένων κατά Φάση-Φέροντος Το λαμβανόμενο ζωνοπερατό σήμα στην έξοδο του AWGN καναλιού στο διάστημα σηματοδοσίας t, μπορεί να εκφραστεί ως t u [ A t t g t t]o t [ A g t t]i t όπου t είναι ζωνοπερατός προσθετικός Gauia θόρυβος και A, A είναι οι συνιστώσες του σήματος που φέρει την πληροφορία και οι οποίες συσχετίζονται με την μεταδιδόμενη φάση φέροντος σύμφωνα με τις A o και A i,,..., Το λαμβανόμενο σήμα συσχετίζεται με τις t g to t g και t g g ti t Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-

23 Οι έξοδοι των δύο συσχετιστών παρέχουν τις δύο διαβρωμένες με θόρυβο συνιστώσες του σήματος όπου g t t g o dt και, i οι ορθογώνιες συνιστώσες του θορύβου t και t έχουν μηδενική μέση τιμή [ ] = [ ] = και [ ] = και διακύμανση g t t g g t g t g dt d dt N g g t dt N Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-3

24 Ο βέλτιστος φωρατής προβάλλει το λαμβανόμενο διάνυσμα σε κάθε ένα από τα δυνατά μεταδιδόμενα διανύσματα σήματος { } και επιλέγει το διάνυσμα που αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη προβολή, δηλαδή, υπολογίζει τα μέτρα συσχέτισης C,,,,..., και επιλέγει το διάνυσμα σήματος που δίνει τη μεγαλύτερη συσχέτιση. Επειδή όλα τα σήματα σύμβολα έχουν την ίδια ενέργεια, μία ισοδύναμη μετρική φώρασης για ψηφιακή διαμόρφωση κατά φάση είναι ο υπολογισμός της φάσης του λαμβανόμενου διανύσματος =, ta και η επιλογή εκείνου του σήματος από το σύνολο { } του οποίου η φάση είναι πλησιέστερη στο Θ. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-4

25 Εκτίμηση της Φάσης Φέροντος Δεδομένου ότι σε οποιοδήποτε σύστημα διαμόρφωσης φέροντος οι ταλαντωτές που χρησιμοποιούνται στον πομπό και στο δέκτη δεν είναι ενγένει κλειδωμένοι σε φάση στο δέκτη το λαμβανόμενο σήμα έχει τη μορφή t A g to t A g ti t t όπου είναι η απόκλιση φάσης του φέροντος. Αυτή η απόκλιση φάσης πρέπει να υπολογιστεί στο δέκτη με τη βοήθεια ενός PLL και να χρησιμοποιηθεί στην αποδιαμόρφωση του λαμβανόμενου σήματος. Επομένως το λαμβανόμενο σήμα πρέπει να συσχετισθεί με τις ορθογώνιες συναρτήσεις βάσης όπου t g to t ˆ g είναι η εκτίμηση της φάσης του λαμβανόμενου σήματος. ˆ και t g ti t g ˆ Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-

26 Λαμβανόμενο σήμα PLL Ολίσθηση φάσης 9 ο dt t o t t i t dt ˆ ˆ Προς φωρατή Προς φωρατή Αποδιαμόρφωση σημάτων PSK για ορθογώνιο παλμό g t. Εάν η ψηφιακή πληροφορία διαβιβάζεται με χρήση διαμόρφωσης φέροντος -φάσεων, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα PLL για την εκτίμηση της απόκλισης φάσης του φέροντος. Για Μ =, το PLL τετραγωνισμού ή ο βρόχος Cota είναι άμεσα εφαρμόσιμοι. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-6

27 Για Μ >, το λαμβανόμενο σήμα μπορεί πρώτα να υψωθεί στη Μ-στη δύναμη. Λαμβανόμενο σήμα Διάταξη ύψωσης στη Μ-στη δύναμη Ζωνοπερατό φίλτρο συντονισμένο στην o t Φίλτρο βρόχου i t ˆ Διαιρέτης συχνότητας Μ i VCO φάσης 9 ο αποδιαμόρφωση t ˆ o ˆ t Ολίσθηση Προς Εκτίμηση φάσης φέροντος -αδικών σημάτων PSK Αν το λαμβανόμενο σήμα t έχει τη μορφή t t t g to t t και περάσουμε το t μέσα από μία διάταξη ύψωσης στη Μ-στη δύναμη, το σήμα εξόδου θα περιέχει αρμονικές του φέροντος. Η αρμονική την οποία επιθυμούμε να επιλέξουμε για την οδήγηση του PLL είναι η oπ t + φ. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-7

28 Διαφορικά Σύμφωνο PSK Dieetially Coheet PSK Η επίδοση της ιδανικής διαμόρφωσης/αποδιαμόρφωσης σύμφωνης-φάσης επιτυγχάνεται σε μεγάλο βαθμό σε τηλεπικοινωνιακά συστήματα τα οποία μεταδίδουν και ένα σήμα φέροντος ταυτόχρονα με το σήμα πληροφορίας. Όταν δεν μεταδίδεται ξεχωριστό σήμα-φέροντος, ο δέκτης πρέπει να εκτιμήσει τη φάση του φέροντος από το λαμβανόμενο σήμα. Η φάση στην έξοδο του εκτιμητή PLL έχει ασάφειες σε πολλαπλάσια του π/μ. Το διαφορικό σύμφωνο PSK DPSK παρακάμπτει τη ανάγκη σύμφωνου σήματος αναφοράς στο δέκτη. Η διαφορική κωδικοποίηση, η οποία γίνεται στον πομπό, επιτρέπει την αποκωδικοποίηση των δεδομένων στο φωρατή ακόμη και απουσία ασαφειών φάσης. Στη διαφορική κωδικοποίηση, η πληροφορία που διαβιβάζεται στο διάστημα ενός συμβόλου αποτυπώνεται στη διαφορά φάσης του συμβόλου αυτού με το προηγούμενό του. Τα διαμορφωμένα κατά φάση σήματα, τα οποία προκύπτουν από αυτήν τη διαδικασία κωδικοποίησης, καλούνται διαφορικά κωδικοποιημένα σήματα. Η κωδικοποίηση εκτελείται μ' ένα σχετικά απλό λογικό κύκλωμα που προηγείται του διαμορφωτή. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-8

29 Η αποδιαμόρφωση και φώραση του διαφορικά κωδικοποιημένου διαμορφωμένου κατά φάση σήματος μπορεί να επιτευχθεί όπως περιγράφηκε στην προηγούμενη ενότητα, χρησιμοποιώντας δηλαδή την έξοδο ενός PLL για την αποδιαμόρφωση. Η φάση του λαμβανόμενου σήματος στο φωρατή, Θ = ta - /, απεικονίζεται σε μία από τις δυνατές φάσεις του σήματος {θ }, η οποία είναι πλησιέστερη προς την Θ. Ένας απλός συγκριτής ο οποίος ακολουθεί το φωρατή, συγκρίνει τις φάσεις του σήματος σε δύο διαδοχικά διαστήματα για να εξάγει τη μεταδιδόμενη πληροφορία. Συνεπώς, οι ασάφειες φάσης π/ καθίστανται αβλαβείς για την ανάκτηση πληροφορίας. Ένα, διαφορικά κωδικοποιημένο, διαμορφωμένο κατά φάση σήμα επιτρέπει επίσης έναν άλλο τύπο αποδιαμόρφωσης, που δεν απαιτεί τον υπολογισμό της φάσης του φέροντος. Αντ' αυτού, η φάση του λαμβανόμενου σήματος σε οποιοδήποτε διάστημα σηματοδοσίας συγκρίνεται με τη φάση του λαμβανόμενου σήματος στο προηγούμενο διάστημα σηματοδοσίας. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-9

30 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Αποδιαμορφώνουμε το διαφορικά κωδικοποιημένο σήμα πολλαπλασιάζοντας το t επί o π t και i π t και ολοκληρώνοντας τα δύο γινόμενα πάνω στο διάστημα. Η έξοδος του αποδιαμορφωτή για το k-στο διάστημα σηματοδοσίας είναι k j k e k όπου θ k είναι η φάση του μεταδιδόμενου σήματος στο k-στο διάστημα σηματοδοσίας, φ είναι η φάση του φέροντος και k = k + j k είναι το διάνυσμα θορύβου. Όμοια, το λαμβανόμενο διάνυσμα σήματος στην έξοδο του αποδιαμορφωτή στο προηγούμενο διάστημα σηματοδοσίας είναι k j k e k Η μεταβλητή απόφασης για τον ανιχνευτή φάσης είναι η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο αυτών μιγαδικών αριθμών. Ισοδύναμα, μπορούμε να προβάλλουμε το k πάνω στο k- και να χρησιμοποιήσουμε τη φάση του μιγαδικού αποτελέσματος, δηλαδή, * * * k k k j k j j k k e e e k k k k

31 k k e j k k e j k * k e j k * k k * k το οποίο απουσία θορύβου, δίδει τη διαφορά φάσης θ k - θ k-. Επομένως, η αναμενόμενη τιμή του k k- είναι ανεξάρτητη της φάσης του φέροντος. H διαφορικά κωδικοποιημένη PSK σηματοδοσία, για την οποία χρησιμοποιείται η αποδιαμόρφωση και φώραση που περιγράφηκε πιο πάνω καλείται διαφορικό PSK DPSK. Προσαρμοσμένο φίλτρο ΒΒ Δειγματολήπτης Λαμβανόμενο σήμα t Ταλαντωτής o t Καθυστέρηση κατά Τ Συγκριτής φάσης Απόφαση εξόδου i t Προσαρμοσμένο φίλτρο ΒΒ Δειγματολήπτης Διάγραμμα βαθμίδων αποδιαμορφωτή DPSK. Εάν ο παλμός g t είναι ορθογώνιος, τα προσαρμοσμένα φίλτρα μπορούν να αντικατασταθούν με ολοκληρωτές, και καλούνται φίλτρα ολοκλήρωσης-και-μηδενισμού itegate ad dup ilte. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-3

32 Αποδιαμόρφωση και φώραση σημάτων QA Σεραφείμ Καραμπογιάς Ας υποθέσουμε ότι κατά τη μετάδοση ενός σήματος QA μέσα από ένα κανάλι η φάση του φέροντος υφίσταται μία μετατόπιση φ. Επιπρόσθετα, το μεταδιδόμενο σήμα διαβρώνεται από προσθετικό Gauia θόρυβο. Επομένως, το t εκφράζεται ως t t A g to t A g ti t t g g to t Μία εκτίμηση της φάσης του φέροντος φ είναι διαθέσιμη στον αποδιαμορφωτή. Τότε, το λαμβανόμενο σήμα μπορεί να συσχετισθεί με τις δύο συναρτήσεις βάσης ˆ και t g g ti και οι έξοδοι των συσχετιστών δειγματοληπτούνται και οδηγούνται στο φωρατή. A o ˆ A i ˆ i ˆ Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων t o ˆ A Σημειώνεται ότι g i ˆ A g o ˆ i ˆ o ˆ g g g ˆ

33 A o ˆ A t dt g g to t ˆ i ˆ Δειγματολήπτης Σεραφείμ Καραμπογιάς i ˆ o ˆ g g Λαμβανόμενο σήμα t Αποδιαμόρφωση και φώραση QA σημάτων. o ˆ t PLL i ˆ t A Ολίσθηση φάσης 9 ο t g dt g t g ti t i ˆ A ˆ Ρολόι Δειγματολήπτης o ˆ Υπολογισμός μέτρων απόστασης D Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων i ˆ Φωρατής o ˆ g g

34 και οι έξοδοι των συσχετιστών δειγματοληπτούνται και οδηγούνται στο φωρατή είναι A o ˆ A i ˆ i ˆ Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα της ατελούς εκτίμησης φάσης είναι διπλό. o ˆ A g i ˆ A Πρώτον, το πλάτος των επιθυμητών συνιστωσών σήματος στα και ελαττώνεται κατά ένα παράγοντα oφ φ με αποτέλεσμα, το SNR να ελαττώνεται κατά ένα παράγοντα o φ φ Δεύτερον, υπάρχει μία διαρροή μεταξύ των ορθογώνιων συνιστωσών σήματος στο επιθυμητό σήμα. Αυτή η διαρροή σήματος, η οποία είναι ανάλογη με τον παράγοντα iφ φ, προκαλεί σημαντική υποβάθμιση της επίδοσης του συστήματος εκτός εάν η διαφορά φ φ είναι πολύ μικρή. Τα σχόλια αυτά δείχνουν πόσο σημαντική είναι η ακριβής εκτίμηση της φάσης του φέροντος στην αποδιαμόρφωση QA σημάτων. g o ˆ i ˆ o ˆ g g Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

35 Ο βέλτιστος φωρατής υπολογίζει τα μέτρα απόστασης D, και επιλέγει το σήμα το οποίο αντιστοιχεί στη μικρότερη τιμή του D,. Εάν χρησιμοποιηθεί μετρική συσχέτισης αντί μετρικής απόστασης, δεν θα πρέπει να αγνοηθεί το γεγονός ότι οι μετρικές συσχέτισης πρέπει να χρησιμοποιήσουν διόρθωση απόκλισης δεδομένου ότι τα QA σήματα δεν έχουν ίση ενέργεια. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-3

36 Αποδιαμόρφωση και Φώραση Σημάτων FSK Ας υποθέσουμε ότι τα FSK σήματα μεταδίδονται μέσω καναλιού προσθετικού λευκού Gauia θορύβου. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι κάθε σήμα καθυστερεί κατά τη μετάδοση μέσα από το κανάλι. Συνεπώς, το φιλτραρισμένο λαμβανόμενο -στο =,,, σήμα στην είσοδο του αποδιαμορφωτή μπορεί να εκφρασθεί ως t t t o t όπου φ δηλώνει την ολίσθηση φάσης του -στου σήματος εξαιτίας της καθυστέρησης διάδοσης και t = toπ t t iπ t αντιπροσωπεύει τον προσθετικό ζωνοπερατό θόρυβο. 3 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

37 Η αποδιαμόρφωση και φώραση των -αδικών FSK σημάτων μπορεί να επιτευχθεί με δύο τρόπους. Μία τεχνική είναι να εκτιμήσουμε τις ολισθήσεις φάσης φ και να εκτελέσουμε αποδιαμόρφωση και φώραση σύμφωνης-φάσης phae-oheet deodulatioad detetio. Η άλλη τεχνική είναι να αγνοηθούν οι φάσεις στην αποδιαμόρφωση και φώραση των FSK σημάτων. Η μέθοδος αυτή καλείται ασύμφωνη αποδιαμόρφωση και φώραση ooheet deodulatio ad detetio. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

38 Φωρατής Σεραφείμ Καραμπογιάς Κατά την αποδιαμόρφωση σύμφωνης-φάσης, το λαμβανόμενο σήμα t συσχετίζεται με κάθε ένα από τα δυνατά σήματα oπ t + πδ t + φ, =,,,, όπου φ είναι οι εκτιμήσεις της φάσης φέροντος. PLL o dt t ˆ Δειγματοληψία t = Λαμβανόμενο σήμα t PLL o dt t t ˆ Δειγματοληψία t = Απόφαση εξόδου dt Δειγματοληψία t = PLL o t t ˆ Αποδιαμόρφωση σύμφωνης-φάσης -αδικών FSK σημάτων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

39 Είναι ενδιαφέρον να σημειώσουμε ότι εάν φ φ, =,,, - ατελείς εκτιμήσεις φάσης, η συχνοτική απόσταση που απαιτείται για τη διατήρηση της ορθογωνιότητας στον αποδιαμορφωτή, είναι Δ =/, η οποία είναι διπλάσια της ελάχιστης απόστασης για ορθογωνιότητα όταν φ = φ. Η απαίτηση της εκτίμησης των Μ φάσεων καθιστά τη σύμφωνη αποδιαμόρφωση των FSK σημάτων εξαιρετικά πολύπλοκη και μη πρακτική, ιδιαίτερα όταν ο αριθμός των συμβόλων είναι μεγάλος. Επομένως, δεν θα ασχοληθούμε με τη σύμφωνη αποδιαμόρφωση FSK σημάτων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

40 Φωρατής Λαμβανόμενο σήμα t o t i t o[ t i[ t ] ] dt dt dt dt Δειγματοληψία t = Δειγματοληψία t = Δειγματοληψία t = Δειγματοληψία t = Σεραφείμ Καραμπογιάς Απόφαση εξόδου o i t t dt dt Δειγματοληψία t = Δειγματοληψία t = Αποδιαμόρφωση -αδικών FSK σημάτων για ασύμφωνη φώραση. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-4

41 Λαμβανόμενο σήμα t i o k k t t dt dt Δειγματοληψία t = Δειγματοληψία t = k k k i k k o o k k i k k o k k o i k k i k όπου k και k δηλώνουν τις συνιστώσες του Gauia θορύβου στις δειγματοληπτημένες εξόδους του αποδιαμορφωτή. Παρατηρούμε ότι για k =, οι δειγματοληπτημένες τιμές στο φωρατή είναι k o k ενώ για k, οι δειγματοληπτημένες τιμές στο φωρατή είναι όταν Δ = / k k k k k k i k k Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-4

42 Η συνδυασμένη PDF των και δεδομένου του φ είναι, e o i και για k έχουμε k k, k e k k Δεδομένων των Μ τιμών των τυχαίων μεταβλητών { k, k, k =,,,}, ο βέλτιστος φωρατής επιλέγει το σύμβολο το οποίο αντιστοιχεί στο μέγιστο από τις a-poteioi πιθανότητες P μεταδόθηκε P,,,..., όπου το είναι ένα -διάστατο διάνυσμα με στοιχεία { k, k }, k =,,,. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-4

43 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Βέλτιστος Φωρατής για Δυαδικό FSK Στο δυαδικό ορθογώνιο FSK BFSK, οι δύο a-poteioi πιθανότητες είναι P P P P P P ο βέλτιστος κανόνας απόφασης μπορεί να εκφρασθεί ως ή ισοδύναμα, P P όπου είναι το τετραδιάστατο διάνυσμα =,,,. P P Ο λόγος πιθανοφάνειας, δηλώνεται ως Λ και είναι ίσος με

44 Αποδεικνύεται ότι βέλτιστος κανόνας απόφασης αποκτά τη μορφή I I P P όπου I x είναι η τροποποιημένη συνάρτηση Beel μηδενικής τάξης. Η συνάρτηση αυτή είναι μία μονότονα αύξουσα συνάρτηση. H I x έχει το ακόλουθο ανάπτυγμα σε δυναμοσειρά I x k k k x k! I x Γραφική παράσταση της I x. x Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

45 Επομένως, ο βέλτιστος φωρατής υπολογίζει τις δύο περιβάλλουσες και τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης Beel I I για να βρει το λόγο πιθανοφάνειας. Στη συνέχεια ο λόγος πιθανοφάνειας συγκρίνεται με το κατώφλι P P για να καθορισθεί ποιο σύμβολο μεταδόθηκε. Παρατηρούμε ότι ο υπολογισμός αυτός απαιτεί γνώση της διακύμανσης θορύβου σ και της ενέργειας του συμβόλου Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-4

46 Εάν τα δύο σήματα είναι ισοπίθανα τότε είναι δυνατή μία σημαντική απλοποίηση της υλοποίησης του βέλτιστου φωρατή. Στην περίπτωση αυτή, το κατώφλι είναι ίσο με μονάδα και δεδομένης της μονοτονίας της συνάρτησης Beel, ο κανόνας απόφασης του βέλτιστου φωρατή απλοποιείται στον Επομένως, ο βέλτιστος φωρατής βασίζει την απόφασή του στις δύο περιβάλλουσες και γι' αυτό καλείται φωρατής περιβάλλουσας evelope deteto. Παρατηρούμε ότι ο υπολογισμός των περιβαλλουσών των λαμβανόμενων δειγμάτων στην έξοδο του αποδιαμορφωτή καθιστά τις φάσεις φέροντος φ αδιάφορες σχετικά με το ποιο σήμα μεταδόθηκε. Ισοδύναμα, η απόφαση μπορεί να βασισθεί στον υπολογισμό των τετραγώνων των περιβαλλουσών και, περίπτωση κατά την οποία ο φωρατής καλείται φωρατής νόμου-τετραγώνων quae-law deteto. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

47 o t i t dt Δειγματοληψία t = Λαμβανόμενο σήμα t o[ t ] dt Δειγματοληψία t = Απόφαση i[ t ] dt Δειγματοληψία t = dt Δειγματοληψία t = Ασύμφωνη αποδιαμόρφωση και φώραση νόμου τετραγώνου για δυαδικά FSK σήματα. Η γενίκευση του βέλτιστου αποδιαμορφωτή και φωρατή για την περίπτωση -αδικών ορθογώνιων FSK σημάτων είναι εύκολη. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

48 Πιθανότητα Σφάλματος στη Δυαδική Διαμόρφωση Ας θεωρήσουμε δυαδικά PA σήματα βασικής ζώνης, όπου οι δύο κυματομορφές σήματος είναι η t = g t και t = g t. όπου g t είναι ένας οποιοσδήποτε παλμός ο οποίος είναι μη μηδενικός στο διάστημα t και έχει ενέργεια ίση με b. Τα δύο δυνατά σημεία σήματος είναι = = b, τα σήματα αυτά καλούνται αντίποδα. b b Σημεία σήματος για αντίποδα σύμβολα Οι a-pioi πιθανότητες είναι P = p και P = p. Ας υποθέσουμε ότι μεταδόθηκε το t. Το λαμβανόμενο σήμα είναι b όπου = y είναι μία μηδενικής μέσης τιμής Gauia τυχαία διαδικασία με διακύμανση N Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

49 Οι δύο υπό συνθήκη PDF του είναι b N e N N e b N b b d b Υποσυνθήκη PDF των δύο λαμβανομένων σημάτων, όταν τα δύο σήματα είναι ισοπίθανα Δεδομένου ότι μεταδόθηκε το t η πιθανότητα σφάλματος είναι να λάβουμε <, δηλαδή, b N P e d N e d Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

50 P e N e b N d με αλλαγή μεταβλητής x b N έχουμε P e b N e x dx ή λόγω της συμμετρίας της συνάρτησης P e N b e x dx Με τη βοήθεια της συνάρτησης Q έχουμε P e Q b N Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-

51 Η μέση πιθανότητα σφάλματος είναι P b p P e p P e p Q b N Παρατηρούμε ότι η πιθανότητα σφάλματος εξαρτάται μόνο από το λόγο b /N και όχι από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των σημάτων και του θορύβου. Ο λόγος b /N είναι επίσης και το SNR εξόδου του αποδιαμορφωτή προσαρμοσμένου φίλτρου ή τύπου συσχέτισης. Ο λόγος b /N συνήθως καλείται λόγος σήματος-προς-θόρυβο SNR ή SNR/bit. Η απόσταση των δύο σημείων σήματος είναι d = b. Η μέση πιθανότητα σφάλματος εκφράζεται με τη βοήθεια της απόστασης ως P b Q d N Αποδεικνύεται ότι η σχέση αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της πιθανότητας σφάλματος οποιουδήποτε δυαδικού συστήματος το οποίο χρησιμοποιεί δύο ισοπίθανα σήματα. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-

52 Παράδειγμα Σεραφείμ Καραμπογιάς Ένα σύστημα δυαδικού PA χρησιμοποιεί ορθογώνιους παλμούς διάρκειας και πλατών ± A για τη μετάδοση ψηφιακής πληροφορίας σε ρυθμό R b = bp. Εάν η φασματική πυκνότητα ισχύος του προσθετικού Gauia θορύβου είναι Ν /, όπου N = W/Hz, καθορίστε την τιμή του Α που απαιτείται για να επιτύχουμε πιθανότητα σφάλματος P b = 6. Λύση Δεδομένου ότι ο ρυθμός μετάδοσης είναι R b = bit/e η χρονική διάρκεια του bit είναι b = - e. Η μέση πιθανότητα σφάλματος για δυαδικό PA σύστημα είναι P b Q N b όπου η ενέργεια bit είναι. b A b b 4, 7 N 4,7 b N Για P e = -6 έχουμε,8 επομένως A b,8 A 6, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-

53 Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδικά Ορθογώνια Σήματα, t d, t Σημεία σήματος για ορθογώνια σύμβολα. Ας υποθέσουμε ότι μεταδόθηκε το. Το λαμβανόμενο διάνυσμα είναι Οι μετρικές συσχέτισης είναι b, C, C, Η πιθανότητα σφάλματος είναι η πιθανότητα να έχουμε C, C,. Επομένως P e P C, C, P b Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-3

54 Τα και είναι μηδενικής μέσης τιμής στατιστικά ανεξάρτητες Gauia τυχαίες μεταβλητές, η κάθε μία με διακύμανση Ν /, Η τυχαία μεταβλητή = είναι Gauia με μέση τιμή μηδέν και διακύμανση Ν. Συνεπώς P b N b e x N dx N e b x dx Όμοια αποδεικνύεται ότι αν μεταδοθεί το,, τότε δεδομένης της συμμετρίας, λαμβάνουμε την ίδια πιθανότητα σφάλματος. Η μέση πιθανότητα σφάλματος για δυαδικά ορθογώνια σήματα είναι P b Q b N Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-4

55 P Πιθανότητα σφάλματος bit Η μέση πιθανότητα σφάλματος για δυαδικά αντίποδα σήματα είναι P b Q Η μέση πιθανότητα σφάλματος για δυαδικά ορθογώνια σήματα είναι P b Q b Παρατηρούμε ότι τα ορθογώνια σήματα απαιτούν διπλάσια ενέργεια για να επιτύχουν την ίδια πιθανότητα σφάλματος με τα αντίποδα σήματα. Επειδή log = 3dB, λέμε ότι τα ορθογώνια σήματα είναι υποδεέστερα κατά 3 db των αντίποδων σημάτων. Η διαφορά των 3dB οφείλεται στην απόσταση μεταξύ των δύο σημείων σήματος, το τετράγωνο της οποίας είναι d = b για τα ορθογώνια σήματα ενώ d = 4 b για τα αντίποδα σήματα. N b N 3 4 Δυαδικά αντίποδα σήματα Σεραφείμ Καραμπογιάς Δυαδικά ορθογώνια σήματα 3dB SNR/bit, db Πιθανότητα σφάλματος για δυαδικά ισοπίθανα σήματα Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-

56 Πρόβλημα Ένα ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα βασικής ζώνης, χρησιμοποιεί τα σήματα t t A A t t για τη μετάδοση δύο ισοπίθανων μηνυμάτων. Θεωρούμε ότι το τηλεπικοινωνιακό πρόβλημα που μελετούμε είναι ένα πρόβλημα μίας μόνον ευκαιρίας, δηλαδή, τα μηνύματα μεταδίδονται μία μόνο φορά και μετά δεν ακολουθεί καμία μετάδοση. Το κανάλι δεν εισάγει εξασθένηση και ο θόρυβος είναι AWGN με φασματική πυκνότητα ισχύος N /.. Βρείτε ένα κατάλληλο σύνολο ορθοκανονικών συναρτήσεων βάσης για την αναπαράσταση των σημάτων. Η διάσταση του σήματος είναι. Μία ορθογώνια βάση για το χώρο σήματος αποτελείται από τα σήματα t,, t αλλιώς t,, t αλλιώς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-6

57 . Με ένα διάγραμμα βαθμίδων, δώστε τις ακριβείς προδιαγραφές του βέλτιστου δέκτη που χρησιμοποιεί προσαρμοσμένα φίλτρα. Τοποθετείστε προσεκτικά τους τίτλους των βαθμίδων του διαγράμματος. Ο βέλτιστος δέκτης είναι αυτός του σχήματος Λαμβανόμενο σήμα t t t Δειγματοληψία t = Δειγματοληψία t = Προς φωρατή 3. Βρείτε την πιθανότητα σφάλματος του βέλτιστου δέκτη. Υποθέτοντας ότι μεταδόθηκε το σήμα t, το διάνυσμα λήψης στην έξοδο του δειγματολήπτη είναι A, Όπου και είναι μηδενικής μέσης τιμής Gauia τυχαίες διαδικασίας με διακύμανση N /. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-7

58 Η πιθανότητα σφάλματος Pe είναι P A e P P A A / x e N dx x N A / N e d Q A N Επειδή οι τυχαίες μεταβλητές και είναι μηδενικής μέσης τιμής στατιστικά ανεξάρτητες Gauia τυχαίες μεταβλητές, η κάθε μία με διακύμανση Ν /, Η τυχαία μεταβλητή = είναι επίσης Gauia τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή μηδέν και διακύμανση Ν. Όμοια βρίσκεται και P A e Q N Έτσι έχουμε για τη μέση πιθανότητα σφάλματος A e Pe Q P e P N Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-8

59 Παράδειγμα Σεραφείμ Καραμπογιάς Σε ένα κανάλι προσθετικού λευκού θορύβου με φασματική πυκνότητα ισχύος N /, μεταδίδονται δύο ισοπίθανα μηνύματα χρησιμοποιώντας τα σήματα t, t A, t t t, αλλιώς, αλλιώς Καθορίστε τη δομή του βέλτιστου δέκτη και βρείτε την πιθανότητα σφάλματος.. Τα δύο ισοπίθανα σήματα έχουν την ίδια ενέργεια και έτσι ο βέλτιστος δέκτης είναι δυνατό να βασίζεται στον κανόνα απόφασης At S t t dt t S t dt ή t t dt t. Αν μεταδόθηκε το σήμα t, τότε t = t + t και ο κανόνας απόφασης γίνεται S S t t t t dt t t t dt t t t dt t t dt y t S S όπου y t t t dt είναι τυχαία διαδικασία. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-9

60 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Y d d και διακύμανση Η τυχαία διαδικασία θορύβου έχει μέση τιμή. dt t t t y dt t t t Y d d N d d 3 A N A N N d A d 6 3 N A A N Y τελικά Επομένως η συνάρτηση πυκνότητας της τυχαίας διαδικασίας είναι 6 6 N A x Y e N A x dt t t t

61 Η είσοδος στο συγκριτή η οποία οφείλεται στο σήμα t είναι y t t t dt At At A dt A 6 Η πιθανότητα σφάλματος Pe δίνεται από A P y P e 6 A N / 6 A 6 exp x A N / 6 dx Q A 6N Όμοια βρίσκεται και P e Q 6N και επειδή τα δύο σήματα είναι ισοπίθανα, η μέση πιθανότητα σφάλματος δίνεται από A P e Pe Pe Q A 6N Q N Όπου είναι η ενέργεια του μεταβιβαζόμενου σήματος. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-6

62 Πιθανότητα σφάλματος για -αδικό PA Τα -αδικά PA σήματα βασικής ζώνης αναπαρίστανται γεωμετρικά με Μ μονοδιάστατα διανύσματα με τιμές A,,,..., g όπου g είναι η ενέργεια του βασικού παλμού σήματος g t. Οι τιμές πλάτους των σημάτων, για την περίπτωση ίσων αποστάσεων μεταξύ διαδοχικών g πλατών και συμμετρικών ως προς την αρχή των αξόνων, μπορούν να εκφρασθούν ως όπου η απόσταση μεταξύ διαδοχικών σημείων σήματος είναι διαφορετικές ενέργειες Για ισοπίθανα σήματα, η μέση ενέργεια είναι a A g g A,,,..., g A,,,, g A A g τα σήματα PA έχουν g g 3 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-6

63 Ισοδύναμα, μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τα σήματα αυτά σύμφωνα με τη μέση τους ισχύ, η οποία είναι P a a 3 Η μέση πιθανότητα σφάλματος για το -αδικό PA μπορεί να καθορισθεί από τον κανόνα απόφασης που μεγιστοποιεί τα μέτρα συσχέτισης εάν τα σήματα δεν είναι ισοπίθανα. P, P Ισοδύναμα, ο φωρατής συγκρίνει την έξοδο του αποδιαμορφωτή μ' ένα σύνολο Μ κατωφλίων, τα οποία τοποθετούνται στα μέσα των διαδοχικών σταθμών πλάτους. g i i i i3 i4 i i i i i3 i 4 Τοποθέτηση των κατωφλίων τ στα μέσα διαδοχικών σταθμών πλάτους. Επομένως, η απόφαση λαμβάνεται ευνοϊκά για τη στάθμη πλάτους, η οποία βρίσκεται πλησιέστερα στο. Εάν μεταδοθεί το -στο σήμα, η έξοδος του αποδιαμορφωτή θα είναι g A Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

64 Η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου είναι P P g N g e x N dx e g x N dx Q N g Αν λάβουμε υπόψη την P a a 3 g g 3 P a Η πιθανότητα σφάλματος μπορεί να εκφρασθεί συναρτήσει της μέσης μεταδιδόμενης ισχύος ως P Q 6P a N όπου au = P au Τ είναι η μέση ενέργεια συμβόλου. P 6a N Q Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

65 P Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου Σεραφείμ Καραμπογιάς P Q 6P N Επειδή = k b με k = log, η πιθανότητα σφάλματος μπορεί να εκφρασθεί ως a 3 6 P Q log N ba όπου baυ = P baυ b είναι η μέση ενέργεια ανά bit και baυ / N είναι το μέσο SNR/bit SNR/bit, db Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου για σήματα PA Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-6

66 H είσοδος του φωρατή είναι Ζωνοπερατά PA σήματα t t dt A to t g g όπου η Gauia τυχαία μεταβλητή έχει μέση τιμή [] = και διακύμανση σ = N /. dt t t dt A g Η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου είναι P P g Q N g Για τη μέση μεταδιδόμενη ενέργεια aυ έχουμε a P a έτσι η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου γράφεται ως g 6 P g a g 6 P Q 6P a N Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

67 Πιθανότητα Σφάλματος PSK με Αποδιαμόρφωση Σύμφωνης-Φάσης Αν η φάση του μεταδιδόμενου σήματος u t είναι το διάνυσμα αναπαράστασης του μεταδιδόμενου σήματος είναι και το διάνυσμα του λαμβανόμενου σήματος έχει συνιστώσες,,, Επειδή οι και είναι συνδυασμένα Gauia τυχαίες μεταβλητές προκύπτει ότι οι και είναι συνδυασμένα Gauia τυχαίες μεταβλητές με [ ] =, [ ] = και σ = σ = N / = σ. Η συνδυασμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας joit PDF είναι v, e ta Η μετρική φάσης η οποία χρησιμοποιείται από το φωρατή είναι θ = ta - /. Η συνδυασμένη PDF των τυχαίων μεταβλητών V και Θ λαμβάνεται με την αλλαγή των μεταβλητών από, σε Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

68 , V, e o Η PDF της τυχαίας μεταβλητής Θ είναι V,, e d i e o όπου έχουμε ορίσει το SNR συμβόλου ως ρ = /Ν. d ρ = ρ = 4 ρ = ρ = Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Θ θ για ρ =,,4,. 3,4 ad 3, 4 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-68

69 Όταν μεταδίδεται το u t, λαμβάνουμε λανθασμένη απόφαση εάν η φάση, εξαιτίας του θορύβου, λάβει τιμές εκτός του διαστήματος π/ Θ π/ P d Για δυαδική διαμόρφωση κατά φάση, τα δύο σήματα u t και u t είναι αντίποδα η πιθανότητα σφάλματος είναι P Q Όταν Μ = 4 έχουμε ουσιαστικά δύο δυαδικά διαμορφωμένα κατά φάση σήματα σε δύο ορθογώνια φέροντα. Η πιθανότητα σωστής απόφασης P για το σύμβολο των -bit, λόγω της στατιστικής ανεξαρτησίας του θορύβου στις δύο ορθογώνιες φέρουσες, είναι P P Η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου για Μ = 4 είναι b N Q b N P4 P b Q N Q b N Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

70 P Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου Για Μ > 4, η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου P υπολογίζεται με αριθμητική ολοκλήρωση της P d Στο Σχήμα είναι οι γραφικές παραστάσεις της πιθανότητας σφάλματος συναρτήσει του SNR/bit για Μ =, 4, 8, 6 και 3. Τα γραφήματα δείχνουν καθαρά το τίμημα σε SNR/bit καθώς το Μ αυξάνει πέραν του Μ = 4. Για παράδειγμα, όταν P = -, η διαφορά επίδοσης μεταξύ του Μ = 4 και Μ = 8 είναι περίπου 4 db, και η διαφορά μεταξύ του Μ = 8 και Μ = 6 είναι περίπου db. Για μεγάλες τιμές του, ο διπλασιασμός του αριθμού των φάσεων απαιτεί επιπρόσθετα 6 db/bit για την επίτευξη της ίδιας επίδοσης. 3 4 Σεραφείμ Καραμπογιάς Σεραφείμ Καραμπογιάς 8 SNR/bit, db 6 4 Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου P για σήματα PSK Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-7

71 Μία προσέγγιση της πιθανότητας σφάλματος για μεγάλες τιμές του Μ και του SNR μπορεί να επιτευχθεί δίνοντας μια πρώτη προσέγγιση της Θ θ. Για /N >> και Θ π/, η Θ θ προσεγγίζεται καλά ως o e i και η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου P είναι P d o e i d P u i Q b k i e i u du όπου = k και ρ = /Ν = k b /Ν = k ρ b. Εάν χρησιμοποιείται κώδικας Gay, η ισοδύναμη πιθανότητα σφάλματος bit στην Μ-αδική διαμόρφωση κατά φάση, προσεγγίζεται πολύ καλά ως P b k P Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-7

72 P Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου Σεραφείμ Καραμπογιάς Πιθανότητα σφάλματος για το DPSK Η πιθανότητα σφάλματος δυαδικού DPSK είναι P e 3 4 Δυαδικό PSK P b Q b N Δυαδικό DPSK P b e SNR/bit, db N b Πιθανότητα σφάλματος δυαδικού PSK και DPSK Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-7

73 Πιθανότητα σφάλματος για το QA Σύνολα σημάτων QA = 4 σημείων. Σεραφείμ Καραμπογιάς A d A A 3A d A A A A A Αστερισμός σήματος 4-σημείων αντιστοιχεί σε διαμόρφωση κατά φάση. Αστερισμός σήματος 4-σημείων αντιστοιχεί σε σήμα QA δύο πλατών, τεσσάρων φάσεων. P a 4 4 A A P a 4 3A A A η επίδοση ως προς το ρυθμό σφαλμάτων των δύο συνόλων σήματος είναι ίδια. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει κάποιο πλεονέκτημα του συνόλου σημάτων QA των δύο σταθμών πλάτους σε σχέση μ' αυτό των τεσσάρων φάσεων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

74 Σύνολα σημάτων QA = 8 σημείων. 3,,, 3,, C,C C 3 3,,, 3,,,,,,, 3,,,, Τέσσερις QA αστερισμοί σήματος των 8 σημείων με ελάχιστη απόσταση ίση με Α Θεωρώντας Τα Το Επομένως, Αυτός τρίτο δύοοπρώτα σύνολο αστερισμός τοότι τέταρτο όλα σύνολα απαιτεί τα σήματος σύνολο σημεία τουμέση Σχήματος απαιτεί σήματος είναι μεταδιδόμενη γνωστός προσεγγιστικά είναι περιέχουν ισοπίθανα, ωςισχύ σημεία ο -db καλύτερος P aυ η μέση = λιγότερο σήματος 3,4A μεταδιδόμενη QA ισχύ ενώαστερισμός οποία από το τα ισχύς τέταρτο ανήκουν δύοείναι πρώτα 8-σημείων σύνολο σ' και ένα επειδή απαιτεί τη μικρότερη ισχύ για δεδομένη ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σημείων. ορθογώνιο P,6-dB πλέγμα και έχουν P aυ = 3A a aυ =,36A λιγότερο. ισχύ από το τρίτο για να. επιτύχει την ίδια πιθανότητα σφάλματος. A P A A a a όπου a, a είναι οι συντεταγμένες των σημείων σήματος κανονικοποιημένες ως προς A. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

75 Τα δύο πρώτα σύνολα του Σχήματος περιέχουν σημεία σήματος τα οποία ανήκουν σ' ένα ορθογώνιο πλέγμα και έχουν P aυ = 3A. Το τρίτο σύνολο απαιτεί μέση μεταδιδόμενη ισχύ P aυ = 3,4A P aυ =,36A. ενώ το τέταρτο σύνολο Επομένως, το τέταρτο σύνολο απαιτεί προσεγγιστικά -db λιγότερο ισχύ από τα δύο πρώτα και,6-db λιγότερο ισχύ από το τρίτο για να επιτύχει την ίδια πιθανότητα σφάλματος. Αυτός ο αστερισμός σήματος είναι γνωστός ως ο καλύτερος QA αστερισμός 8-σημείων επειδή απαιτεί τη μικρότερη ισχύ για δεδομένη ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σημείων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-3-7

76 Σύνολα σημάτων QA = 6 σημείων. Κυκλικός QA αστερισμός σήματος των 6-σημείων. Τα σημεία σήματος σε κάποιο δεδομένο πλάτος είναι ολισθημένα σε φάση κατά π/4 σχετικά με τα σημεία σε γειτονικά πλάτη. Αυτός ο 6-QA αστερισμός είναι μία γενίκευση του βέλτιστου 8-QA αστερισμού. Όμως, ο κυκλικός 6-QA αστερισμός δεν είναι ο βέλτιστος QA αστερισμός 6-σημείων για μετάδοση μέσα από AWGN κανάλι. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

77 Ορθογώνιοι QA αστερισμοί Σεραφείμ Καραμπογιάς Τετραγωνικός αστερισμός σήματος Μ = 6 QA. Τα σήματα των ορθογώνιων QA αστερισμών έχουν το ξεχωριστό πλεονέκτημα να δημιουργούνται εύκολα ως δύο PA σήματα τα οποία αποτυπώνονται σε ορθογώνιες φέρουσες. Επιπρόσθετα, αποδιαμορφώνονται εύκολα. Αν και για 6 δεν είναι οι βέλτιστοι -αδικοί QA αστερισμοί, η μέση μεταδιδόμενη ισχύς η οποία απαιτείται για δεδομένη ελάχιστη απόσταση είναι ελάχιστα μεγαλύτερη από αυτήν που απαιτείται από το βέλτιστο -αδικό QA αστερισμό. Για τους λόγους αυτούς, οι ορθογώνιοι -αδικοί QA αστερισμοί είναι οι πλέον χρησιμοποιούμενοι στην πράξη. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

78 Τα QA σήματα με ορθογώνιους αστερισμούς των = k σημείων, όπου το k είναι άρτιος, ισοδυναμούν με δύο PA σήματα σε ορθογώνιες φέρουσες ο αστερισμός των οποίων αποτελείται από = k/ σημεία. Επειδή τα σήματα στις ορθογώνιες συνιστώσες διαχωρίζονται πλήρως με τη σύμφωνη φώραση όταν φ = φ, η πιθανότητα σφάλματος για το QA καθορίζεται εύκολα από την πιθανότητα σφάλματος για το PA. Η πιθανότητα σωστής oet απόφασης για το -αδικό QA σύστημα είναι P P όπου P είναι η πιθανότητα σφάλματος ενός -αδικού PA συστήματος με μέση ισχύ το μισό αυτής του ισοδύναμου QA συστήματος, δηλαδή, P Q 6a N P Q 3 a N πιθανότητα σφάλματος -αδικού PA όπου aυ /N είναι το μέσο SNR/σύμβολο. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

79 P Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου Σεραφείμ Καραμπογιάς η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου του -αδικού QA είναι P P Η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου φράσσεται αυστηρά εκ των άνω ως QA P Q 4Q 4Q 3 k ba N 3 3 a N για οποιοδήποτε k, όπου baυ /N είναι το μέσο SNR/bit SNR/bit, db Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου για συστήματα τετραγωνικού QA Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων

80 Σύγκριση Μ-QA με -PSK Σεραφείμ Καραμπογιάς Η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου στη Μ-αδική PSK Η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου στη Μ-αδική QA P QA 4Q 3 P PSK Q i Επειδή η πιθανότητα σφάλματος καθορίζεται κυρίως από το όρισμα της συνάρτησης Q, μπορούμε απλά να συγκρίνουμε τα ορίσματα της συνάρτησης Q στις δύο εκφράσεις πιθανότητας σφάλματος. 3 i Για παράδειγμα, όταν = 4 έχουμε R =, δηλαδή, το 4-PSK και το 4-QA επιτυγχάνουν επίδοση για το ίδιο SNR/σύμβολο. R συγκρίσιμη Από την άλλη πλευρά, όταν Μ > 4 βρίσκουμε R >, έτσι ώστε το Μ-αδικό QA έχει καλύτερη επίδοση από ότι το -αδικό PSK Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-8 Πλεονέκτημα του -QA σε σύγκριση με το Μ-PSK log R,6 4, 7, 9,9

81 Πιθανότητα σφάλματος για -αδικά ορθογώνια σήματα Για ορθογώνια σήματα ίσης ενέργειας, ο βέλτιστος φωρατής επιλέγει το σήμα το οποίο εμφανίζει τη μεγαλύτερη διασυσχέτιση μεταξύ του λαμβανόμενου διανύσματος και καθενός από τα Μ δυνατά διανύσματα σήματος, δηλαδή C,,,..., k Ας υποθέσουμε ότι μεταδόθηκε το σήμα. Τότε, το λαμβανόμενο διάνυσμα σήματος είναι k k...,,, 3, και οι έξοδοι της συστοιχίας των Μ συσχετιστών είναι C C C Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-8

82 Η PDF της εξόδου του πρώτου συσχετιστή = + είναι x N e x N x x e N,,3,..., Η PDF των υπολοίπων εξόδων των συσχετιστών είναι Η πιθανότητα σωστής απόφασης, δηλαδή, η πιθανότητα το να είναι μεγαλύτερο από κάθε μία εκ των υπολοίπων εξόδων των συσχετιστών, 3,, Μ είναι P P N,,, d 3 Επειδή τα είναι στατιστικά ανεξάρτητα, η συνδυασμένη πιθανότητα παραγοντοποιείται σ' ένα γινόμενο περιθώριων πιθανοτήτων της μορφής P x dx,,3,..., N x e dx Q N Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-8

83 Η πιθανότητα σωστής απόφασης είναι P Q N d και η πιθανότητα σφάλματος ενός συμβόλου των k-bit είναι Τελικά P P P Q x x N e dx Η ίδια έκφραση για την πιθανότητα σφάλματος λαμβάνεται εάν μεταδοθεί οποιοδήποτε από τα άλλα Μ σήματα. Επειδή όλα τα σήματα είναι ισοπίθανα, η έκφραση για το P είναι και η μέση πιθανότητα σφάλματος συμβόλου. Η έκφραση αυτή μπορεί να υπολογισθεί αριθμητικά. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-83

84 P =P b = Πιθανότητα σφάλματος bit 3 4 Σεραφείμ Καραμπογιάς Πιθανότητα σφάλματος bit στη σύμφωνη φώραση ορθογωνίων σημάτων SNR/bit, db Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-84

85 Ένα φράγμα ένωσης uio boud της πιθανότητας σφάλματος. Καθώς k, ή ισοδύναμα, καθώς, η πιθανότητα σφάλματος προσεγγίζει εκθετικά το μηδέν, υπό την προϋπόθεση ότι b /N είναι μεγαλύτερο του l, δηλαδή, Το απλό άνω-φράγμα για την πιθανότητα σφάλματος της Εξίσωσης Ι υπονοεί ότι εφόσον SNR >,4dB, μπορούμε να επιτύχουμε αυθαίρετα μικρό P. P P N l k b e e b N k kb N k b e l,39 e N l Χρησιμοποιώντας πιο εξειδικευμένες τεχνικές οριοθέτησης, αποδεικνύεται ότι το άνω-φράγμα της Εξίσωσης Ι είναι αρκετά αυστηρό για b /N < 4l. N,4dB Εάν b /N > 4l, ένα αυστηρότερο άνω-φράγμα για το P είναι το Το,6 db είναι το ελάχιστο απαιτούμενο SNR/bit για να επιτύχουμε αυθαίρετα μικρή πιθανότητα σφάλματος στο όριο καθώς k,. Αυτό το ελάχιστο SNR/bit,6 db καλείται όριο Shao για ένα κανάλι προσθετικού λευκού Gauia θορύβου. b N l,693 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-8,6dB I II

86 Πιθανότητα σφάλματος για -αδικά διορθογώνια σήματα Ένα σύνολο = k διορθογώνιων σημάτων κατασκευάζεται από / ορθογώνια σήματα συμπεριλαμβάνοντας τα αντίποδά τους σήματα. Έτσι επιτυγχάνεται μια ελάττωση της πολυπλοκότητας του αποδιαμορφωτή των διορθογώνιων σημάτων ως προς αυτόν των ορθογώνιων σημάτων, αφού ο πρώτος υλοποιείται με Μ/ συσχετιστές ή προσαρμοσμένα φίλτρα ενώ ο δεύτερος απαιτεί Μ συσχετιστές ή προσαρμοσμένα φίλτρα. Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα σφάλματος για το βέλτιστο φωρατή, ας υποθέσουμε ότι μεταδόθηκε το σήμα t με αντίστοιχη γεωμετρική αναπαράσταση το διάνυσμα,,,, Το λαμβανόμενο διάνυσμα σήματος είναι...,,, 3, όπου είναι μηδενικής μέσης τιμής, στατιστικά ανεξάρτητες και όμοια κατανεμημένες Gauia τυχαίες μεταβλητές με διακύμανση σ = N /. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-86

87 Ο βέλτιστος φωρατής αποφασίζει υπέρ του σήματος που αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη σε μέτρο τιμή των συσχετίσεων C k k k,,,..., Το πρόσημο του μεγαλύτερου αυτού όρου χρησιμοποιείται για να αποφασισθεί αν μεταδόθηκε το t ή το t. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-87

88 Σύμφωνα μ' αυτόν τον κανόνα απόφασης, η πιθανότητα σωστής απόφασης είναι ίση με την πιθανότητα το = + > και το να είναι μεγαλύτερο των =, για =, 3,, /. P N e x N dx N N e x dx η πιθανότητα σωστής απόφασης είναι όπου N P e N N N e x dx και με αλλαγή μεταβλητής υ = d N έχουμε N x P N N η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου είναι P = P. e dx e d Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-88

89 P = Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου Σεραφείμ Καραμπογιάς Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου για διορθογώνια σήματα. 6 Μ = Όριο χωρητικότητας καναλιού -,6dB SNR/bit, db Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-89

90 Πιθανότητα σφάλματος σύμφωνης φώρασης FSK σημάτων Υποθέτουμε ότι τα Μ σήματα είναι a-pioi ισοπίθανα και ότι μεταδόθηκε το σήμα t στο χρονικό διάστημα t. Τα μέτρα απόφασης που θα χρησιμοποιήσει ο φωρατής είναι οι Μ περιβάλλουσες o i,,,,,,3,,,,3,, Οι συνιστώσες προσθετικού θορύβου και είναι στατιστικά ανεξάρτητες Gauia τυχαίες μεταβλητές μηδενικής μέσης τιμής με την ίδια διακύμανση σ = N /. Οι PDF των τυχαίων μεταβλητών στην είσοδο του φωρατή είναι,, e e I,3,, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-9

91 Κάνοντας αλλαγή μεταβλητών από και στις πολικές και θ ως ta Η ορίζουσα του Jaobia πίνακα είναι o i J, d d d d d d d d det J, o i i o Οι συνδυασμένες PDF των τυχαίων μεταβλητών R και Θ στην είσοδο του φωρατή είναι R R, e,,, e N I N,,3,, Από τις συνδυασμένες PDF βρίσκονται οι περιθώριες PDF των τυχαίων μεταβλητών R και Θ. Δεδομένου ότι η τυχαία μεταβλητή Θ είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα [, π, ο παράγοντας /π εξαλείφεται και έτσι βρίσκουμε ότι η τυχαία μεταβλητή R ακολουθεί κατανομή Rie, ενώ κάθε μία από τις τυχαίες μεταβλητές R, =, 3,, ακολουθεί κατανομή Rayleigh. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-9

92 Η πιθανότητα σωστής απόφασης είναι P P R P R3,, R, R, R, R R 3, x R Επειδή οι τυχαίες μεταβλητές R, =, 3,, είναι στατιστικά i.i.d., η συνδυασμένη πιθανότητα δεσμευμένη στο R, παραγοντοποιείται σε ένα γινόμενο ταυτόσημων όρων. x dx όπου δεδομένου ότι έχουμε P P R R x R P R R x R d e e x x P e e x x x dx Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων7-9

93 P = Πιθανότητα σφάλματος bit Σεραφείμ Καραμπογιάς η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου P = P, είναι P e k b 4 Για δυαδικό FSK =, η εξίσωση απλοποιείται στη μορφή P e Παρατηρούμε ότι η επίδοση της ασύμφωνης FSK είναι κατά 3dB μειωμένη ως προς αυτήν του δυαδικού DPSK Μ = Όριο χωρητικότητας καναλιού -,6dB SNR/bit, db Πιθανότητα σφάλματος bit κατά την ασύμφωνη φώραση ορθογώνιων FSK σημάτων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων7-93

94 Σύγκριση των μεθόδων Διαμόρφωσης Σεραφείμ Καραμπογιάς Οι μέθοδοι ψηφιακής διαμόρφωσης που περιγράφηκαν στο κεφάλαιο αυτό μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, κάποιος μπορεί να τις συγκρίνει με βάση το απαιτούμενο SNR για την επίτευξη μίας συγκεκριμένης πιθανότητας σφάλματος. Όμως, μια τέτοια σύγκριση δεν έχει ουσιαστική έννοια εκτός εάν πραγματοποιείται βάσει κάποιου περιορισμού, όπως για παράδειγμα για καθορισμένο ρυθμό διαβίβασης δεδομένων R b. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-94

95 Υποθέστε ότι ο ρυθμός bit R b είναι καθορισμένος, και ας εξετάσουμε το εύρος-ζώνης καναλιού που απαιτείται για τη μετάδοση των διάφορων σημάτων. Εάν χρησιμοποιήσουμε -αδικό PA, όπου = k, το εύρος-ζώνης καναλιού που απαιτείται για τη μετάδοση του σήματος είναι απλά το εύρος-ζώνης του παλμού g t, το οποίο εξαρτάται από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του παλμού. Για τους σκοπούς της ενότητας αυτής, υποθέτουμε ότι το g t είναι ένας παλμός διάρκειας και ότι το εύρος-ζώνης του W είναι προσεγγιστικά /Τ, όπου Τ είναι η διάρκεια της περιόδου σηματοδοσίας. Σ' ένα διάστημα συμβόλου μπορούμε να μεταδώσουμε k bit πληροφορίας, και επομένως, = k/r b e. Συνεπώς, το εύρος-ζώνης που απαιτείται για τη μετάδοση του -αδικού PA σήματος είναι W R b / k R / log b Hz Το απαιτούμενο εύρος-ζώνης καναλιού για το ζωνοπερατό PA σήμα μονής πλευρικής ζώνης είναι ακριβώς το ίδιο με το εύρος-ζώνης του σήματος βασικής ζώνης. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-9

96 Στην περίπτωση του QA, το εύρος-ζώνης καναλιού είναι προσεγγιστικά W = /, αλλά επειδή η πληροφορία μεταφέρεται από δύο ορθογώνια φέροντα έχουμε Τ = k/r b, όπου k είναι ο αριθμός των bit πληροφορίας ανά φέρον. Επομένως, W R b / k Rb / log PA Rb /log QA Hz όπου ο αριθμός των συμβόλων του -αδικού QA, ο οποίος δηλώνεται ως QA, είναι ίσος με το τετράγωνο του αριθμού PA των PA συμβόλων. Στη -αδική διαμόρφωση κατά φάση, το εύρος-ζώνης καναλιού που απαιτείται για τη μετάδοση των σημάτων είναι W = /, όπου Τ = k/r b. Επομένως, W R b / k R /log b Hz Σημειώστε ότι τα PA, QA, και PSK σήματα έχουν το χαρακτηριστικό ότι, για καθορισμένο ρυθμό R b, το απαιτούμενο εύρος-ζώνης καναλιού μειώνεται καθώς ο αριθμός των συμβόλων Μ αυξάνει. Αυτό σημαίνει ότι αυξάνοντας το το σύστημα είναι πιο αποδοτικό στη χρήση του εύρους-ζώνης. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-96

97 P Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου P Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου P Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου Σεραφείμ Καραμπογιάς SNR/bit, db Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου για σήματα PA SNR/bit, db 6 4 Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου για σήματα PSK SNR/bit, db Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου για συστήματα QA P Q 6 log ba N P4 Q P Q N N b Q b N b P P Q P 3 a N Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-97

98 P =P b = Πιθανότητα σφάλματος bit P = Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου Σεραφείμ Καραμπογιάς Τα ορθογώνια σήματα έχουν εντελώς διαφορετικές απαιτήσεις σε εύρος-ζώνης. Για παράδειγμα, εάν χρησιμοποιήσουμε PP σήματα, το διάστημα συμβόλου, διάρκειας Τ, διαιρείται σε Μ υποδιαστήματα διάρκειας Τ/Μ και παλμοί εύρους Τ/Μ μεταδίδονται στα αντίστοιχα υποδιαστήματα. Συνεπώς, το εύρος-ζώνης που απαιτείται για να μεταδώσουμε τα PP σήματα είναι W k R R log Hz / b b SNR/bit, db Πιθανότητα σφάλματος bit στη σύμφωνη φώραση ορθογωνίων σημάτων 6 Μ = Όριο χωρητικότητας καναλιού -,6dB SNR/bit, db Πιθανότητα σφάλματος συμβόλου για διορθογώνια σήματα. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-98

99 Τα χαρακτηριστικά των PA, PSK και QA σχημάτων από τη μία πλευρά, και των ορθογώνιων, διορθογώνιων και iplex σχημάτων από την άλλη πλευρά, είναι εντελώς διαφορετικά και, επομένως, οι εφαρμογές τους είναι επίσης εντελώς διαφορετικές. Μία σύντομη και ουσιαστική σύγκριση μεταξύ αυτών των μεθόδων διαμόρφωσης βασίζεται στον κανονικοποιημένο ρυθμό δεδομένων R b /W bit ανά e ανά hetz εύρους-ζώνης έναντι του SNR/bit b /N που απαιτείται για την επίτευξη μιας δεδομένης πιθανότητας σφάλματος. Για το PA, QA, PSK και τα ορθογώνια σήματα έχουμε PA: QA: PSK : R b W R b W R b W log log log PA QA PSK R b log Μ Ορθογώνια : W Μ Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-99

100 R/W bit/e/hz Σεραφείμ Καραμπογιάς P Όριο Shao,6 3 4PASSB 4PSK,,3 6QA 8 PASSB QA 4PASSB 6 PSK Περιοχή περιορισμένου R b εύρους-ζώνης:. W SNR ανά bit, b b / N Περιοχή περιορισμένης ισχύος:. Rb W db,, 64 Ορθογώνια σήματα Σύμφωνη φώραση Σύγκριση διαφόρων μεθόδων διαμόρφωσης για πιθανότητα σφάλματος συμβόλου P = - Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-

101 ΑΣΤΕΡΙΣΜΟΙ QA ΣΗΜΑΤΩΝ Αριθμός σημείων αστερισμού Αύξηση μέσης ισχύος db συγκριτικά με Μ = 3 6,7, 3, 6, 9, O Πίνακας δίδει τον παράγοντα log Μ /3, ο οποίος αναπαριστά την αύξηση της μέσης ισχύος που απαιτείται για τη διατήρηση ενός δεδομένου επιπέδου επίδοσης σφάλματος του QA καθώς ο αριθμός των σημείων του ορθογώνιου αστερισμού αυξάνει. Όπως παρατηρούμε το QA και PA είναι προτιμότερο του PSK για αστερισμούς μεγάλου πλήθους σημείων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-

102 Τέλος Ενότητας

103 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους.

104 Σημειώματα

105 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση..

106 Σημείωμα Αναφοράς Copyight Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Σεραφείμ Καραμπογιάς. Σεραφείμ Καραμπογιάς. «Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες. Πιθανότητα σφάλματος στη φώραση σήματος». Έκδοση:.. Αθήνα. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

107 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Ceative Coo Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος π.χ. διαφημίσεις από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.