Μαθηµατικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου 2001

Transcript

1 Μαθηµατικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου Ζήτηµα ο A.. ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z, z. Να αποδείξετε ότι: z z z z. Μονάδες 7,5 Α.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ισχύει: α. z z z β. z z γ. z - z δ. z z ε. i z z Μονάδες 5 Β.. Αν: z 4i και z - i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθµούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα. Στήλη Α Στήλη Β. z z α. 4. z β.. 4. z γ. 5 z δ i z ε. στ. 5 ζ. Μονάδες 7,5 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

2 Β.. Αν για το µιγαδικό αριθµό z ισχύει z, να δείξετε ότι: z z Μονάδες 5 Απάντηση: Α. Θεωρία παράγραφος. σχολικού βιβλίου. Α.α. Σωστό β. Λάθος γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό Β.. ζ. γ. α 4. δ 5. β Β. z άρα z Ζήτηµα ο Έστω f µια πραγµατική συνάρτηση µε τύπο: α, f() - - e, > α. Αν η f είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι α /9. Μονάδες 9 β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f στο σηµείο Α(4, f(4)). Μονάδες 7 γ. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες και. Μονάδες 9 Απάντηση: α. Αφού f συνεχής είναι: lim f() lim f() f() 9α Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

3 lim f() Έτσι: 9α -. Άρα α -/9 lim f() lim (α (- e ) lim ( - ) ) 9α e lim β. Για > µε f παραγωγίσιµη ως πηλίκο παραγωγίσιµων συναρτήσεων ( e ) ( - ) - (- e )( ) e ( ) ( e ) e f () - ( - ) ( - ) - e e e e 4e - (4 ) e - ( - ) ( - ) ( - ) Έτσι: f (4) (4 ) και αφού: e f(4) 4 4- e e η εξίσωση της εφ/νης είναι: y ( e) -( - 4) y - - e 5 γ. Επειδή για [,] είναι: Έχουµε: E - 9 f () 9 d < τ.µονάδες. 9 7 Παρατήρηση Επειδή στην εκφώνηση του θέµατος δεν διευκρινίζεται αν στο ερώτηµα γ η τιµή του α πρέπει να ληφθεί ως -/9, παρατηρούµε ότι: (i) αν το α ληφθεί ως -/9 τότε η τιµή του εµβαδού είναι: 7 E τ.µονάδες. 7 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

4 (ii) αν όµως δεν υπονοείται κάτι τέτοιο τότε η λύση θα έχει ως εξής: αν α τότε f() οπότε : E a d 7a τ.µονάδες. αν α < τότε f() <, οπότε: 7a E a d τ.µονάδες. Ζήτηµα ο Για µια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιµη στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών R, ισχύει ότι: f () β f () γ f() 6 για κάθε R, όπου β, γ πραγµατικοί αριθµοί µε β < γ. α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα. β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Μονάδες Μονάδες 8 γ. Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδική ρίζα της εξίσωσης f() στο ανοικτό διάστηµα (,). Μονάδες 7 Απάντηση: α) Αφού f παραγωγίσιµη στο R, παραγωγίζουµε την δοσµένη σχέση και έχουµε: f () f ' ' () β f () f () γ f () 4 6, R ' ηλαδή: ' f () [ f () β f () γ] 4 6, R () f () β f () γ > για κάθε R αφού: α > και 4β - γ 4(β - γ) < και > για κάθε R αφού: 6-6 < και α > Οπότε από την σχέση () παίρνουµε: f'() > για κάθε R Εποµένως δεν υπάρχουν ακρότατα. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4

5 β) Επειδή είναι f'() > για κάθε R, προκύπτει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. γ) Είναι: f () β f () γ f () 6, R Θεωρούµε τη συνάρτηση: g() 6, [,] Η g είναι συνεχής στο [,] και g() - < g() 4 > Άρα, από Θ.Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον (,): g( ) () Για η δοσµένη σχέση γράφεται: οπότε από την σχέση () είναι: f ( ) β f ( ) γ f ( ) g( ) f ( ) [ f ( ) β f ( ) γ] () f ( ) β f ( ) γ > Γιατί: β 4γ (β γ) γ < Αυτό συµβαίνει γιατί: β < γ οπότε γ >, άρα -γ < Άρα: (β - γ) - γ < Εποµένως, από την σχέση () προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,): f( ) κι επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,), προκύπτει ότι η λύση είναι µοναδική στο (,). Ζήτηµα 4ο Έστω µια πραγµατική συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών R, για την οποία ισχύoυν οι σχέσεις: i) f(), για κάθε R ii) f() - t f (t) dt, για κάθε R. Έστω ακόµη g η συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο: για κάθε R. g() f() - Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5

6 α. Να δείξετε ότι ισχύει: f () - f () (όπου f'() είναι η παράγωγος της συνάρτησης f). β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή. γ. Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι: δ. Να βρείτε το όριο ( f() ηµ ) f() Μονάδες Μονάδες 4 Μονάδες 4 lim Μονάδες 7 Απάντηση: α) Θέτουµε t u και διαφορίζουµε ως προς t. Έτσι έχουµε d( t) du ή dt du Ακόµα για t έχουµε u και t έχουµε u. Άρα: f ( ) tf ( t) dt tf ( t) dt uf ( u) du Επειδή η f είναι συνεχής στο R, προκύπτει ότι η συνάρτηση uf ( u) du είναι παραγωγίσιµη στο R. Άρα: f' () - f () β) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο R µε: ( ) a f ( ) g ( ) f ( ) για κάθε R. Εποµένως η g() σταθερή. γ) (α' τρόπος) f ( ) f ( ) f ( ) Επειδή η συνάρτηση g είναι σταθερή δηλαδή g() c για κάθε R, θα είναι για : g() c. Ακόµα: g () f () f () Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 6

7 οπότε: f () c Από την (ii) για έχουµε f(). Εποµένως: c. Άρα: g() και λόγω της: g( ) f ( ) προκύπτει: f ( ) f ( ) f ( ). γ) (β' τρόπος) Από f () - f() και επειδή f() για κάθε R είναι: Άρα: Έτσι: Οπότε: Άρα: δ) Εποµένως: f ( ) f ( ) ή f ( ) ( ) c, c R f ( ) f ( ) uf ( u) du f () c. c f ( ) f ( ) f ( ) ηµ ηµ ηµ, R Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 7

8 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 8 Έχουµε: ηµ ηµ οπότε: R, ηµ ή R, ηµ lim οπότε: lim lim Σύµφωνα λοιπόν µε το κριτήριο παρεµβολής προκύπτει ότι: lim ηµ