Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) f(x) = 1 x. ii) f(x) = 2ln(x 2) 1 = (, 1] 1 x

Transcript

1 . Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A µάδας. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) () = ii) () = ln( ) iii) () = e + iv) () = ( ), i) Πρέπει 0. Άρα = (, ] Έστω τυχαία, µε < > > Άρα γνησίως φθίνουσα > ( ) > ( ) ii) Πρέπει > 0 >. Άρα = (, + ) Έστω τυχαία, µε < < Άρα γνησίως αύξουσα iii) ln( ) < ln( ) ln( ) < ln( ) ln( ) < ln( ) ( ) < ( ) Έστω τυχαία, µε < > > Άρα γνησίως φθίνουσα e e > e e > e + > e + ( ) > ( )

2 iv) Έστω τυχαία, µε < < 0 ( ) > ( ) ( ) > ( ) ( ) > ( ) Άρα γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (, ]

3 . Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι και για κάθε µια απ αυτές να βρείτε την αντίστροφή της. i) () = v) () = ln( ) ii) () = + vi) () = e + iii) () =( )( ) + vii) () = e e + iv) () = viii) () = i) Θεωρούµε την εξίσωση = () και τη λύνουµε ως προς. = + = = + () Βλέπουµε ότι για κάθε τιµή του R η εξίσωση έχει µοναδική λύση την + Άρα η συνάρτηση είναι και έχει σύνολο τιµών το R. Από την () έχουµε () = +. Ή, αν θέλετε, () = + µε πεδίο ορισµού το R (το σύνολο τιµών της ) ii) ος τρόπος Θεωρούµε την εξίσωση = () και τη λύνουµε ως προς. = + + = 0, ου βαθµού ως προς, µε = 4( ). Λύνουµε την ανίσωση > 0 < 0 >. Εποµένως υπάρχουν τιµές του (οι µεγαλύτερες του ), για τις οποίες η διακρίνουσα της εξίσωσης = () είναι θετική, οπότε η εξίσωση θα έχει δύο λύσεις ως προς. Άρα η συνάρτηση δεν είναι. ος τρόπος Για =, είναι ( ) = + = Για =, είναι ( ) = ( ) + = Παρατηρούµε ότι για έχουµε ( ) = ( ) Άρα η συνάρτηση δεν είναι.

4 4 iii) Για =, είναι ( ) = Για =, είναι ( ) = Παρατηρούµε ότι για έχουµε ( ) = ( ) Άρα η συνάρτηση δεν είναι. iv) Πρέπει 0. Άρα = (, ] Θεωρούµε την εξίσωση = () και τη λύνουµε ως προς. = για να έχουµε λύση πρέπει 0 τότε έχουµε = = () Αλλά 0 που ισχύει για κάθε 0 Άρα το σύνολο τιµών της συνάρτησης είναι το [0, + ) Βλέπουµε ότι για κάθε τιµή του 0 η εξίσωση = () έχει µοναδική λύση την. Άρα η συνάρτηση είναι. Από την () έχουµε Ή, αν θέλετε, () = () = µε πεδίο ορισµού το [0, + ) (το σύνολο τιµών της ) v) Πρέπει > 0 <. Άρα = (, ) Θεωρούµε την εξίσωση = () και τη λύνουµε ως προς. = ln( ) e = = e () Αλλά < e < e < 0 που ισχύει για κάθε R Άρα το σύνολο τιµών της συνάρτησης είναι το R. Βλέπουµε ότι για κάθε τιµή του R η εξίσωση = () έχει µοναδική λύση, την e. Άρα η συνάρτηση είναι. Από την () έχουµε () = e. Ή, αν θέλετε, () = e µε πεδίο ορισµού το R (το σύνολο τιµών της ) vi) Θεωρούµε την εξίσωση = () και τη λύνουµε ως προς. = e + = = ln( ) µε > 0 = ln( ) µε > () e Βλέπουµε ότι για κάθε τιµή του (, + ), η εξίσωση = () έχει µοναδική λύση την ln( ). Άρα η συνάρτηση είναι και έχει σύνολο τιµών το διάστηµα (, + ).

5 5 Από την () έχουµε () = ln( ) µε > Ή, αν θέλετε, () = ln( ) µε πεδίο ορισµού το (, + ) (το σύνολο τιµών της ) vii) Θεωρούµε την εξίσωση = () και τη λύνουµε ως προς. = e e + e + = e e e = ( ) e = ( + ) e = + µε 0 = ln + + µε > 0 = ln + µε ( + )( ) > 0 = ln + µε < < () Βλέπουµε ότι για κάθε τιµή του (, ), η εξίσωση = () έχει µοναδική λύση την ln +. Άρα η συνάρτηση είναι και έχει σύνολο τιµών το διάστηµα (, ). Από την () έχουµε Ή, αν θέλετε, () = ln (το σύνολο τιµών της ). () = ln + + µε < < µε πεδίο ορισµού το (, ) vii) ος τρόπος Θεωρούµε την εξίσωση = () και τη λύνουµε ως προς. = = ή = µε 0 = + ή = µε 0 Εποµένως υπάρχουν τιµές του (οι µεγαλύτερες του 0), για τις οποίες η εξίσωση = () θα έχει δύο λύσεις ως προς. Άρα η συνάρτηση δεν είναι. ος τρόπος Για = 0, είναι ( ) = (0) = 0 = Για =, είναι ( ) = () = = Παρατηρούµε ότι για έχουµε ( ) = ( )

6 6 Άρα η συνάρτηση δεν είναι.. ίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g, φ και ψ. g ψ φ Να βρείτε ποιες από τις συναρτήσεις, g, φ, ψ έχουν αντίστροφη και για καθεµία απ αυτές να χαράξετε τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της. Η οποιαδήποτε ευθεία παράλληλη στον άξονα τέµνει τις C, C ϕ, C ψ το πολύ σε ένα σηµείο. Άρα οι συναρτήσεις, φ, ψ είναι και εποµένως αντιστρέφονται. Οι γραφική παράσταση των συναρτήσεων, ϕ, ψ είναι συµµετρική των C, C ϕ, C ψ αντίστοιχα, ως προς τη διχοτόµο =. Για τη συνάρτηση g, υπάρχει ευθεία παράλληλη στον άξονα, που τέµνει τη C σε τουλάχιστον δύο σηµεία. g Άρα η συνάρτηση g δεν είναι και εποµένως δεν αντιστρέφεται.

7 7 4. Να δείξετε ότι : i) Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο. ii) Αν δύο συναρτήσεις, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστηµα, τότε η συνάρτηση + g είναι γνησίως αύξουσα στο. iii) Αν δύο συναρτήσεις, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστηµα και ισχύει () 0 και g() 0 για κάθε, τότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο. Ανάλογα συµπεράσµατα διατυπώνονται, αν οι, g είναι γνησίως φθίνουσες σε ένα διάστηµα. i) Έστω τυχαία, µε <. γνησίως αύξουσα στο ( ) < ( ) ( ) > ( ) ii) Έστω τυχαία, µε <. γνησίως αύξουσα στο ( ) < ( g γνησίως αύξουσα στο g( ) < g( ( )( ) > ( )( ) γν. φθίνουσα στο. ) () ) () () + () ( ) + g( ) < ( ) + g( ) ( + g)( ) < ( + g)( ) + g γνησίως αύξουσα στο. iii) Έστω τυχαία, µε <. γνησίως αύξουσα στο 0 ( ) < ( g γνησίως αύξουσα στο 0 g( ) < g( ) () ) () (). () ( ) g( ) < ( ) g( ) (g)( ) < (g)( ) g γνησίως αύξουσα στο.