ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ) A. Εύρεση Πεδίου Τιµών Συναρτήσεων ίνεται η συνάρτηση h, h ( ) = 4+, [ 1,4] Να βρεθεί το πεδίο τιµών της συνάρτησης. Η λογική για την εύρεση του πεδίου τιµών αφορά τον προσδιορισµό των τιµών y R όπου η εξίσωση µε άγνωστο y = 4+,(1) έχει λύση στο διάστηµα [ 1,4]. Η εξίσωση (1) + y =. Η εξίσωση έχει λύση στο R όταν η διακρίνουσα 4,() είναι θετική. Άρα θα πρέπει,(16 8( y)) y 1. Η εξίσωση () έχει ± ( y 1) λύσεις 1, =. Επειδή όµως ± ( y 1) [ 1,4] 1 4. Λύνοντας τις δύο ανισώσεις y 9 ή y 19.Άρα το πεδίο τιµών είναι [1,19]. Σηµείωση: Η εύρεση του πεδίου τιµών γίνεται και µε βάση την µονοτονία. Παράδειγµα Να βρεθεί το πεδίου τιµών της συνάρτησης f( ) = Το πεδίο ορισµού είναι [, + ]. Το πεδίο τιµών µπορεί να δοθεί ως εξής: R( f) = { y R: D( f) µε y= } =... = +y = { y R: [, + ) µε =, y } = [, + ) Παράδειγµα (Μόνοι σας!!!!) Να βρεθεί το πεδίο τιµών της συνάρτησης Απάντηση: D f = (, ] [, + ). f( ) =

2 B. Όριο Συναρτήσεων Στην συνέχεια παρατίθενται τα παρακάτω όρια τα οποία θα πρέπει να γνωρίζουµε: ηµ 1.lim = 1 εφ.lim = 1 1. lim (1 + ) = e + e 1 4.lim( ) = 1 ln 1.lim( ) = 1 1 (1 + ) 1 = a 6.lim aa, * R, 1 Β1. Όριο όταν το τείνει σε πραγµατικό αριθµό. Όρια Πολυωνυµικών συναρτήσεων Όρια Ρητών Συναρτήσεων Όρια που εµπλέκουν τριγωνοµετρικές συναρτήσεις, λογαριθµικές και εκθετικές. + 4 ίνεται η συνάρτηση h, h ( ) = Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης όταν το τείνει στο 1. Μετά τις απαραίτητες παραγοντοποιήσεις (σχήµα Horner, χρήση ταυτοτήτων κ.λ.π.) ( 1)( ) έχουµε ότι h ( ) = = µε D f = (,1) (1,) (, + ). Άρα θα ( 1) ( ) ( 1) 1 έχουµε ότι lim f( ) = lim = ( 1)

3 Παράδειγµα ίνεται η συνάρτηση f( ) = όταν το τείνει στο Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης Για την λύση ασκήσεων που περιέχουν ρίζες εργαζόµαστε αρκετές φορές χρησιµοποιώντας την συζυγή παράσταση. Άρα στην συγκεκριµένη περίπτωση θα πρέπει να πολλαπλασιάσουµε µε + +, Κάνοντας τις ανάλογες πράξεις έχουµε ότι lim f( ) = lim =... = 1/. ( )( + + ) 1 1 Παράδειγµα (Μόνοι σας) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: lim f( ) = lim =... = 1/ ( )( + + ) lim =... = δεν υπάρχει 64 ( 9) lim =... = συν συν lim =... = συν συν lim =... = 8 Β. Όριο όταν το τείνει στο άπειρο. Όριο της lim ( a ) = { + Όριο Πολυωνυµικής Συνάρτησης 1 1 +, αν a >,αν a < lim ( a α + a) = ± lim a ± Όριο Ρητής Συνάρτησης ± a α + a a a 1 1 lim = lim = lim ± m m b... m + + b11+ b ± bm b ± m m

4 Να βρεθεί το όριο της f( ) = ( ) a ( a+ ) + όταν +. Στην πρώτη περίπτωση εξετάζουµε εάν a, τότε lim + ( a ) ( a ) = lim = ( a+ ) + + ( a+ ) Στην δεύτερη περίπτωση εάν α= τότε περίπτωση όπου α=- θα έχουµε ότι lim { + +, αν α (-,-) (,+ ), αν α (-,) + + lim = =.. Τέλος στην Τρίτη Όριο της Συνάρτησης κ f ( ) Θα πρέπει να υπολογίσουµε το εξής όριο lim ( ) lim (... ) lim k f = a + + α + a = κ a κ κ 1 1 ± ± ± Παράδειγµα Να βρεθεί το όριο της lim Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι το D f = (, 1) ( 1, + ). Άρα συνεχίζοντας να δουλεύουµε όπως παραπάνω θα πρέπει: lim = lim + 1 (1 1 = + ) < 4

5 Παράδειγµα (Μόνοι σας) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: lim ( + + 1) =... = lim ( 1 )... lim (1 1 + )... e = = lim ( + + ) =... = = = lim =... = = = + lim ( )... ± C. Συνέχεια Συναρτήσεων ίνεται η συνάρτηση, () = { l k l, < f = (l+ 1) + k, >. Να βρεθούν οι τιµές των l,k ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της. Παράδειγµα Να µελετήσετε ως προς την συνέχεια την συνάρτηση 1, > ln( + 1) + < f() = { ln( ), Για κάθε χ> η f είναι συνεχής γιατί οι συναρτήσεις ln( + 1), 1 είναι συνεχής άρα και το πηλίκο τους είναι συνεχής συνάρτηση. Επίσης (,) η f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων ln +,. Για χ= έχουµε ότι lim f( ) = lim (ln( + )) = ln και

6 ln 1 e 1 lim f( ) = lim = lim ln = ln( + 1) ln ln( + 1) ln e 1 1 lim ln = ln ln ln( + 1) ( + 1) 1 Άρα η συνάρτηση µας είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της. Παράδειγµα (Μόνοι σας!!!!) Να µελετήσετε ως προς την συνέχεια την συνάρτηση +, < f() = { a+ 1, = + 1, > 6