Προχωρθμζνα Θζματα Συςτθμάτων Ελζγχου

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΤ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Σ.Σ. Σμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Τπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΣΕ Π.Μ.. «Νέες Σεχνολογίες στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές» Προχωρθμζνα Θζματα Συςτθμάτων Ελζγχου Εκτίμθςθ ςτοχαςτικών μεγεκών Δ. Καλλιγερόπουλοσ, Ομοτ. Κακθγθτισ Τμιματοσ Μθχανικϊν Αυτοματιςμοφ Τ.Ε.

2 Περιεχόμενα ενότθτασ Μεγζκθ και ςχζςεισ μεγεκϊν Συνεχι και διακριτά μεγζκθ Εκτίμθςθ μεγεκϊν 2

3 Μεγζκθ Τα Μεγζκθ είναι ποςοτικά μζτρα και χωρίηονται ςε ςυνεχι και διακριτά. Διακριτά είναι τα βότςαλα ςυνεχισ είναι θ κάλαςςα. Ζνα ςυνεχζσ μζγεκοσ x ζχει τθν ιδιότθτα μεταξφ δφο οποιωνδιποτε τιμϊν του x 1 και x 2 να υπάρχει πάντα μια ενδιάμεςθ τιμι x 0. Οι φυςικοί αρικμοί n = 1,2,3, είναι διακριτοί, ενϊ οι πραγματικοί αρικμοί είναι ςυνεχείσ, m = 1,333. 3

4 Σχζςεισ μεγεκών Οι ςχζςεισ πρόςκεςθ και πολλαπλαςιαςμόσ των φυςικϊν αρικμϊν δθμιουργοφν πάλι φυςικοφσ αρικμοφσ 1,2,. Θ αντίςτροφθ ςχζςθ τθσ αφαίρεςισ τουσ δθμιουργεί το ςφνολο των ακζραιων αρικμϊν 0, ±1, ±2,. Θ διαίρεςι τουσ δθμιουργεί το ςφνολο των ρθτϊν αρικμϊν, π.χ. 1, 2,. 2 3 Θ ςχζςθ του τετραγωνιςμοφ φυςικϊν αρικμϊν δθμιουργεί πάλι φυςικοφσ αρικμοφσ, π.χ. 2 2 = 4, ενϊ θ αντίςτροφθ ςχζςθ τθσ ρίηασ δθμιουργεί τουσ άρρθτουσ ι πραγματικοφσ αρικμοφσ, π.χ. 2 = Θ ςχζςθ τθσ ρίηασ επί των αρνθτικϊν ακζραιων αρικμϊν δθμιουργεί τουσ φανταςτικοφσ αρικμοφσ, π.χ. 4 = 2j, ενϊ θ επζκταςι τουσ ςτο διςδιάςτατο επίπεδο δθμιουργεί τουσ μιγαδικοφσ αρικμοφσ, π.χ j.

5 Η γζνεςθ των αρικμών 5

6 Χρονικά μεταβαλλόμενα μεγζκθ Ο χρόνοσ t είναι ςυνεχζσ μζγεκοσ. Διακριτόσ μπορεί να κεωρθκεί μόνο προςεγγιςτικά, με τθ μζκοδο τθσ διάκριςθσ: t k = k Δt, k = 0,1,, N. Συνεχισ είναι μια χρονικι ςυνάρτθςθ, δθλαδι μια ςυνάρτθςθ του ςυνεχοφσ χρόνου t, π.χ. x t = ημωt. Διακριτι είναι μια ςυνάρτθςθ του διακριτοφ χρόνου: x k = *x k + = *x 0, x 1,, x N +. 6

7 Χρονικά μεταβαλλόμενα μεγζκθ Μια ςυνεχισ ςυνάρτθςθ x t του χρόνου t γίνεται διακριτι ςυνάρτθςθ x k για διακριτό χρόνο t k. Αντίςτροφα μια διακριτι ςυνάρτθςθ x k τείνει ςτθ ςυνεχι ςυνάρτθςθ x t όταν Δt 0. Συνεχισ χρονικι ςυνάρτθςθ ςυνεχοφσ χρόνου t Διακριτι χρονικι ςυνάρτθςθ διακριτοφ χρόνου t k 7

8 Χρονικά μεταβαλλόμενα μεγζκθ Μια ςυνεχισ ςυνάρτθςθ x t του χρόνου t γίνεται διακριτι ςυνάρτθςθ x k για διακριτό χρόνο t k. Αντίςτροφα μια διακριτι ςυνάρτθςθ x k τείνει ςτθ ςυνεχι ςυνάρτθςθ x t όταν Δt 0. Συνεχισ χρονικι ςυνάρτθςθ ςυνεχοφσ χρόνου t Διακριτι χρονικι ςυνάρτθςθ διακριτοφ χρόνου t k 8

9 Χρονικά μεταβαλλόμενα μεγζκθ Θ διακριτι ςυνάρτθςθ του χρόνου x k μπορεί να μετατραπεί ςε ςκαλωτι ςυνεχι ςυνάρτθςθ x t του χρόνου t. Διακριτι χρονικι ςυνάρτθςθ διακριτοφ χρόνου t k Σκαλωτι ςυνεχισ χρονικι ςυνάρτθςθ ςυνεχοφσ χρόνου t 9

10 Σχζςεισ διακριτών και ςυνεχών ςυναρτιςεων Η ςχζςθ τθσ διαφοράσ και θ αναςτροφι τθσ Διαφορά ςτθν χρονικι διακριτι ςυνάρτθςθ x k = *x 0, x 1,, x N +, για k = 0,1,, N ορίηεται θ ςχζςθ: Δx k = x k+1 x k Διαφορικό ςτθν αντίςτοιχθ ςυνεχι χρονικι ςυνάρτθςθ x t, για t (0, T) ορίηεται το όριο τθσ διαφοράσ: dx = lim Δt 0 Δx k 10

11 Σχζςεισ διακριτών και ςυνεχών ςυναρτιςεων Η ςχζςθ τθσ διαφοράσ και θ αναςτροφι τθσ Αντίςτροφθ διαφορά y k τθσ διακριτισ ςυνάρτθςθσ x k ορίηεται θ ςχζςθ y k = Δ 1 x k ϊςτε να ιςχφει: x k = Δy k = y k+1 y k Τι είναι θ αντίςτροφθ διαφορά; 11

12 Σχζςεισ διακριτών και ςυνεχών ςυναρτιςεων Η ςχζςθ τθσ διαφοράσ και θ αναςτροφι τθσ Αντίςτροφθ διαφορά y k τθσ διακριτισ ςυνάρτθςθσ x k ορίηεται θ ςχζςθ y k = Δ 1 x k ϊςτε να ιςχφει: x k = Δy k = y k+1 y k Από τισ ςχζςεισ: x 0 = y 1 y 0 x 1 = y 2 y 1 x k 1 = y k y k 1 Προςκζτοντασ προκφπτει: y k = Δ 1 x k = y 0 + k 1 x k k=0 Άρα: Αντίςτροφθ διαφορά είναι το ολικό άκροιςμα. 12

13 Σχζςεισ διακριτών και ςυνεχών ςυναρτιςεων Η ςχζςθ τθσ χρονικισ μεταβολισ και θ αναςτροφι τθσ Μεταβολι τθσ διακριτισ ςυνάρτθςθσ x k ορίηεται θ ςχζςθ: Δx k Δt = x k+1 x k Δt = υ k Παράγωγοσ τθσ ςυνεχοφσ χρονικισ ςυνάρτθςθσ x t, ορίηεται το όριο τθσ μεταβολισ: dx dt = lim Δx k Δt 0 Δt = υ(t) 13

14 Σχζςεισ διακριτών και ςυνεχών ςυναρτιςεων Η ςχζςθ τθσ χρονικισ μεταβολισ και θ αναςτροφι τθσ Αντίςτροφθ μεταβολι z k τθσ διακριτισ ςυνάρτθςθσ x k ορίηεται θ ςχζςθ z k = Δ 1 υ k ϊςτε να ιςχφει: υ k = Δz k = Δx k Δt Τι είναι θ αντίςτροφθ μεταβολι; άρα z k = x k Δt 14

15 Σχζςεισ διακριτών και ςυνεχών ςυναρτιςεων Η ςχζςθ τθσ χρονικισ μεταβολισ και θ αναςτροφι τθσ Αντίςτροφθ μεταβολι z k τθσ διακριτισ ςυνάρτθςθσ x k ορίηεται θ ςχζςθ z k = Δ 1 υ k ϊςτε να ιςχφει: υ k = Δz k = Δx k Δt άρα z k = x k Δt Από τισ ςχζςεισ: υ 0 = z 1 z 0 υ 1 = z 2 z 1 υ k 1 = z k z k 1 Προςκζτοντασ τελικά προκφπτει: z k = Δ 1 υ k = z 0 + x k = x 0 + k 1 k=0 υ k Δt k 1 υ k k=0 15

16 Σχζςεισ διακριτών και ςυνεχών ςυναρτιςεων Η ςχζςθ τθσ χρονικισ μεταβολισ και θ αναςτροφι τθσ Στισ ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ θ αντίςτροφθ ςχζςθ τθσ παραγώγου dx dt = υ(t) είναι το ολοκλιρωμα που προκφπτει από το όριο: t x t = υ t dt 0 x(t) = x 0 + lim Δt 0 k 1 k=0 υ k Δt 16

17 Συνεχι και διακριτά ςυςτιματα Το ςφςτθμα εκφράηεται από μία ςχζςθ ειςόδου-εξόδου. u(t) u k Σφςτθμα y t y k Θ είςοδοσ u και θ ζξοδοσ y του ςυςτιματοσ μπορεί να είναι ςυνεχείσ u t, y(t) ι διακριτζσ u k, y k ςυναρτιςεισ του χρόνου. Οπότε θ μακθματικι του ςχζςθ κα είναι μια ςυνεχισ διαφορικι εξίςωςθ, π.χ. d 2 y dt 2 + a 1 dy dt + a 0y t ι μια διακριτι εξίςωςθ διαφοράσ, π.χ. = bu(t) y k+2 + a 1 y k+1 + a 0 y k = bu k 17

18 Οριςμζνα και τυχαία μεγζκθ Οριςμζνο είναι το μετριςιμο και το προβλζψιμο. Τυχαίο είναι το άγνωςτο και το απρόβλεπτο. Οριςμζνο λζγεται ζνα μζγεκοσ x όταν παίρνει οριςμζνεσ τιμζσ. Τυχαίο λζγεται ζνα μζγεκοσ ξ όταν οι τιμζσ που παίρνει δεν είναι μετριςιμεσ ι προκακοριςμζνεσ, αλλά κυμαίνονται τυχαία μζςα ςε οριςμζνα όρια. 18

19 Οριςμζνεσ και τυχαίεσ ςυναρτιςεισ Οριςμζνθ είναι μια χρονικι ςυνάρτθςθ x(t) όταν παίρνει κακοριςμζνεσ τιμζσ, π.χ. x t = ημωt. Τυχαία είναι μια ςυνάρτθςθ ξ(t) όταν οι τιμζσ που παίρνει είναι απροςδιόριςτεσ, κυμαίνονται δθλαδι τυχαία. 19

20 Εκτίμθςθ μεγεκών Μικτό ονομάηεται ζνα μζγεκοσ που περιζχει τόςο ζναν οριςμζνο όςο και ζναν τυχαίο παράγοντα, π.χ. x t = a + υ(t) όπου a άγνωςτοσ αλλά οριςμζνοσ ςυντελεςτισ και υ(t) τυχαίοσ κόρυβοσ με μθδενικό μζςον όρο. Εκτίμθςθ του μικτοφ μεγζκουσ x t είναι θ διαδικαςία υπολογιςμοφ του οριςμζνου ςυντελεςτι a που περιζχει, δθλαδι θ διαδικαςία απάλειψθσ του κορφβου υ(t). 20

21 Διακριτι εκτίμθςθ Ζςτω μία ςειρά διακριτϊν μετριςεων: *x 0, x 1,, x N + του μικτοφ μεγζκουσ x. Ζςτω a ο άγνωςτοσ οριςμζνοσ ςυντελεςτισ του μεγζκουσ αυτοφ, που αναηθτοφμε. Ορίηουμε ωσ ςτιγμιαίο ςφάλμα κατά τθ χρονικι ςτιγμι k τθ διαφορά: e k = x k a και ωσ ςυνάρτθςθ ςφάλματοσ, ςε ζνα διάςτθμα (0, Ν), τθν τετραγωνικι ςχζςθ: N E N = e k 2 k=0 N = (x k a) 2 k=0 21

22 Διακριτι εκτίμθςθ Θεωροφμε το α ςτακερό και υπολογίηουμε, με βάςθ τισ Ν μετριςεισ, ωσ α Ν τθν καλφτερθ εκτίμθςθ του α, δθλαδι εκείνθ που ελαχιςτοποιεί τθ ςυνάρτθςθ ςφάλματοσ E N : Είναι: άρα min a E N α Ν : E N a = 0 E N a = 2 N k=0 x k a N = 0 α Ν = 1 Ν k=0 x k 22

23 Διακριτι εκτίμθςθ Επαγωγικοί αλγόρικμοι τθσ εκτιμώμενθσ παραμζτρου Διακζςιμεσ μετριςεισ: x N Εκτίμθςθ τθσ νζασ παραμζτρου a: α Ν+1 = α Ν + Κ Ν+1 e N+1 Εκτιμώμενο ςφάλμα: Εκτίμθςθ του νζου ςυντελεςτι K: e Ν+1 = x Ν+1 a N K N+1 = K N (1 + K N ) 1 Αρχικζσ ςυνκικεσ: α 0 = 0, Κ 0 = 1 ε π.χ. Κ 0 =

24 Διακριτι εκτίμθςθ Επαγωγικοί αλγόρικμοι τθσ εκτιμώμενθσ παραμζτρου a x N μετριςεισ a εκτιμώμενθ παράμετροσ a N αλγορικμικι προςζγγιςθ τθσ εκτιμώμενθσ παραμζτρου 24

25 Διακριτι εκτίμθςθ Παράδειγμα Δίνεται ςειρά διακριτϊν μετριςεων *x 0, x 1,, x Ν + μιασ άγνωςτθσ παραμζτρου a, που προιλκαν από τθ ςχζςθ x k = a + υ k για k = 1,, N, όπου υ k διακριτόσ κόρυβοσ με διαςπορά s, δθλαδι υ k = s n k, όπου n k κανονικόσ κόρυβοσ με διαςπορά s και μθδενικι μζςθ τιμι. Ηθτείται θ διακριτι εκτίμθςθ τθσ άγνωςτθσ παραμζτρου a. 25

26 Διακριτι εκτίμθςθ Παράδειγμα Λφςθ Στο ψθφιακό πρόγραμμα MatLab, M-File Editor εξομοιϊκθκαν οι ψθφιακοί αλγόρικμοι για τθ διακριτι εκτίμθςθ τθσ κρυφισ ςτακερισ παραμζτρου (α = 3), που μετρικθκε με διακριτό κόρυβο υ k, διαςποράσ s = 0.3 και με αρχικζσ ςυνκικεσ a 0 = 0 και K 0 = Στο πρόγραμμα θ εκτιμϊμενθ παράμετροσ α ςυμβολίηεται με Α. Στον ψθφιακό παλμογράφο παρουςιάηεται θ διαταραγμζνθ μζτρθςθ x k και θ εκτιμϊμενθ παράμετροσ a k. 26

27 x k μετριςεισ a = 3 A0=0 k0=10^6 s=0.3 a=zeros(1,101) A=zeros(1,101) x=zeros(1,101) A(1,1)=A0 x(1,1)=1 a=3 k(1,1)=k0 format long for i=1:100 u(i)=randn() x(i)=a+s*u(i) end for i=1:100 Α(i+1)=((1/(i+1))*(x(i+1)-A(i))+A(i)) end for i=1:100 k(i+1)=k(i)/(k(i)+1) end i=1:1:100 plot(i,x(i), b,i,a(i), g ) a k εκτιμώμενθ παράμετροσ 27

28 Συνεχισ εκτίμθςθ Ζςτω μια γνωςτι μζτρθςθ τθσ χρονικισ ςυνάρτθςθσ x(t), ενόσ μικτοφ μεγζκουσ x. Θ εκτιμϊμενθ τιμι τθν χρονικι ςτιγμι t είναι: x t = a. Το ςφάλμα είναι: e t = x t α Θ ςυνάρτθςθ ςφάλματοσ είναι: T Ε Τ = e 2 t dt 0 = (x t a) 2 dt T 0 28

29 Συνεχισ εκτίμθςθ Θεωροφμε α(τ) τθν καλφτερθ εκτίμθςθ του α, δθλαδι εκείνθ που ελαχιςτοποιεί τθ ςυνάρτθςθ ςφάλματοσ Ε Τ : Είναι min a E T a(t) E(T) a = 0 E(T) a T = 2 x t a dt 0 = 0 άρα α(τ) = 1 Τ x(t)dt T 0 29

30 Συνεχισ εκτίμθςθ Συνεχισ αλγόρικμοσ τθσ εκτιμώμενθσ παραμζτρου Διακζςιμεσ μετριςεισ: x Τ Εκτίμθςθ τθσ νζασ παραμζτρου a: da T dt = Κ T e T Εκτιμώμενο ςφάλμα: e (t) = x T a T Εκτίμθςθ του νζου ςυντελεςτι K: dk T dt = K T 2 Αρχικζσ ςυνκικεσ: α 0 = 0, Κ 0 = 1 ε π.χ. Κ 0 =

31 Συνεχισ εκτίμθςθ Αναλογικό διάγραμμα εκτίμθςθσ παραμζτρου x Τ e t = x T a T da T dt = Κ T e T dk T dt = K T 2 31

32 Συνεχισ εκτίμθςθ Συνεχισ αλγόρικμοσ τθσ εκτιμώμενθσ παραμζτρου x(t) μετριςεισ a a εκτιμώμενθ παράμετροσ a(t) ςυνεχισ προςζγγιςθ εκτιμώμενθσ παραμζτρου 32

33 Συνεχισ εκτίμθςθ Παράδειγμα Δίνεται ζνα διάςτθμα ςυνεχϊν μετριςεων x t, t (0, T) μιασ άγνωςτθσ παραμζτρου a, που προιλκαν από τθ ςχζςθ x(t) = a + υ(t) όπου υ(t) ςυνεχισ κόρυβοσ με διαςπορά s, δθλαδι υ(t) = s n(t), όπου n(t) κανονικόσ κόρυβοσ με διαςπορά s και μθδενικι μζςθ τιμι. Ηθτείται θ ςυνεχισ εκτίμθςθ τθσ άγνωςτθσ παραμζτρου a. 33

34 Συνεχισ εκτίμθςθ Παράδειγμα Λφςθ Θ εξομοίωςθ των διαφορικϊν εξιςϊςεων τθσ ςυνεχοφσ εκτίμθςθσ ζγινε ςτο ψθφιακό πρόγραμμα MatLab/Simulink, με κρυφι ςτακερι παράμετρο (α = 3), κόρυβο με διαςπορά s = 0.3 και με αρχικζσ ςυνκικεσ a 0 = 0 και K 0 = Στον ψθφιακό παλμογράφο παρουςιάηεται θ διαταραγμζνθ μζτρθςθ x(t) και θ εκτιμϊμενθ παράμετροσ a(t). 34

35 x t a Εξομοίωςθ Simulink a(t) x t μετριςεισ a = 3 a(t) εκτιμώμενθ παράμετροσ 35

36 Τζλοσ Ενότθτασ