Γράφοι. Δομζσ Δεδομζνων Διάλεξθ 9

Transcript

1 Γράφοι Δομζσ Δεδομζνων Διάλεξθ 9

2 Περιεχόμενα Γράφοι Γενικζσ ζννοιεσ, οριςμόσ, κτλ Παραδείγματα Γράφων Αποκικευςθ Γράφων Βαςικοί Οριςμοί Γράφοι και Δζντρα Διάςχιςθ Γράφων Περιοδεφων Πωλθτισ

3 Γράφοι Οριςμόσ: ο γράφοσ είναι μια μθ γραμμικι δομι δεδομζνων ςτθν οποία δε μπορεί να οριςτεί ςχζςθ διάταξθσ. Αποτελείται από ζνα ςφνολο κορυφϊν ι κόμβων και ζνα ςφνολο ακμϊν ι γραμμϊν που ενϊνουν όλουσ ι μερικοφσ κόμβουσ. Είναι ποιο γενικι ζννοια ςε ςφγκριςθ με τισ δομζσ δεδομζνων που παρουςιαςτικαν Ζνασ γράφοσ είναι ζνα διατεταγμζνο ηεφγοσ G=(V,E) όπου V={v1,v2,,vn} με n>0 είναι το ςφνολο των κόμβων και E={(x,y), με x,y να ανικουν ςτο ςφνολο V}, Ε >= 0.

4 Γράφοι Ζνασ γράφοσ καλείται κατευκυνόμενοσ ι μθ κατευκυνόμενοσ αν οι ακμζσ του είναι ι δεν είναι προςανατολιςμζνεσ προσ μια κατεφκυνςθ, αντίςτοιχα. Θ κατεφκυνςθ μιασ ακμισ ορίηεται με ζνα βζλοσ. Ηυγιςμζνοσ γράφοσ καλείται ο γράφοσ του οποίου κάκε ακμι χαρακτθρίηεται από ζναν αρικμό που αποκαλείται βάροσ.

5 Παραδείγματα Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ

6 Αποκικευςθ γράφων Δφο τρόποι: Με τον πίνακα γειτνίαςθσ ι πίνακα διπλανϊν κορυφϊν Με τθ λίςτα γειτνίαςθσ ι λίςτα διπλανϊν κορυφϊν Για ζνα μθ ηυγιςμζνο γράφο με n κόμβουσ ο πίνακασ γειτνίαςθσ Α=(aij) με i,j= 1,2,,n ςχθματίηεται ζτςι ϊςτε aij = 1 αν υπάρχει ακμι από τον κόμβο vi ςτον κόμβο vj διαφορετικά aij = 0 Θ λίςτα γειτνίαςθσαποτελείται από n λίςτεσ. Στθν i- οςτι λίςτα καταγράφονται οι κόμβοι προσ τουσ οποίουσ υπάρχει ακμι από τον κόμβο vi

7 Αποκικευςθ γράφων Πίνακασ γειτνίαςθσ ςε μθ ηυγιςμζνο γράφο: δυαδικόσ, bit για κάκε κόμβο Πίνακασ γειτνίαςθσ: ςυμμετρικόσ οπότε αποκθκεφεται ο μιςόσ Ο μεγαλφτεροσ αρικμόσ ακμϊν ςε μθ κετευκυνόμενο γράφο με Ν κορυφζσ είναι Ν(Ν-1)/2 ενϊ ςε κατευκυνόμενο είναι Ν(Ν-1) Πλιρθσ γράφοσ: ζαν ζχει το μζγιςτο πλικοσ ακμϊν

8 Παραδείγματα Α Πίνακασ Γειτνίαςθσ? Β Γ Δ Α Πίνακασ Γειτνίαςθσ? Β Γ Δ

9 Βαςικοί Οριςμοί Υπογράφοσ ενόσ γράφου G είναι ζνασ γράφοσ του οποίου οι κόμβοι και οι ακμζσ υπάρχουν ςτον G. Ζνα ςφνολο κόμβων ενόσ γράφου λζγεται διαδρομι εάν υπάρχουν ακμζσ που ενϊνουν τουσ κόμβουσ αυτοφσ Μικοσ διαδρομισ είναι ο αρικμόσ των κόμβων Απλι διαδρομι λζγεται όταν όλοι οι κόμβοι είναι διαφορετικοί

10 Βαςικοί Οριςμοί Αν ο πρϊτοσ και ο τελευταίοσ κόμβοσ μια απλισ διαδρομισ ςυμπίπτουν τότε θ διαδρομι αυτι αποκαλείται κφκλοσ Ζνασ γράφοσ που δεν περιζχει κφκλουσ λζγεται άκυκλοσ ι μθ κυκλικόσ Απόςταςθ μεταξφ δφο κόμβων είναι το μικοσ τθσ ςυντομότερθσ διαδρομισ που οδθγεί από τον ζναν κόμβο ςτον άλλο

11 Βαςικοί Οριςμοί Γράφοσ Euler καλείται ο γράφοσ όπου υπάρχει διαδρομι Euler, δθλ. διαδρομι που περνά από όλεσ τισ ακμζσ μια φορά. Γράφοσ Hamilton καλείται ο γράφοσ όπου υπάρχει διαδρομι Hamilton, δθλ. διαδρομι που περνά από όλεσ τουσ κόμβουσ μια φορά. Συνεκτικόσ καλείται ζνασ γράφοσ όταν υπάρχει μια διαδρομι για κάκε ηευγάρι κόμβων Βακμόσ ενόσ κόμβου είναι ςε ζναν μθ κατευκυνόμενο γράφο είναι ο αρικμόσ των ακμϊν που ξεκινοφν από αυτόν Σε κατευκυνόμενο γράφο: βακμόσ ειςόδου βακμόσ εξόδου

12 Παραδείγματα Α Α Β Γ Δ Β Γ Δ Α Α Β Γ Δ Β Γ Δ

13 Γράφοι και Δζντρα Τα δεντρα είναι μια ειδικι κατθγορία γράφων Ιςοδφναμοι Οριςμοί του δζντρου Δ (χρθςιμοποιϊντασ τουσ βαςικοφσ οριςμοφσ των γράφων): Το Δ είναι ςυνεκτικόσ και μθ κυκλικόσ γράφοσ Κάκε ηευγάρι κόμβων του Δ ςυνδζεται με ακριβϊσ μια διαδρομι Το Δ είναι ςυνεκτικόσ γράφοσ και ζχει n-1 ακμζσ Το Δ είναι μθ κυκλικόσ γράφοσ και ζχει n-1 ακμζσ Το Δ είναι ςυνεκτικόσ γράφοσ αλλά αν του αφαιρεκεί οποιαδιποτε ακμι παφει να είναι ςυνεκτικόσ

14 Διάςχιςθ γράφων Δοκζντοσ ενόσ μθ κετευκυνόμενου γράφου να γίνει επίςκεψθ όλων των κόμβων ξεκινϊντασ από ζναν από αυτοφσ. Διάςχιςθ κατά βάκοσ: Από τον τρζχων κόμβο πάμε ςε ζναν νζο κόμβο, γειτονικό Αν δεν υπάρχει νζοσ κόμβοσ επιςτρζφουμε προσ τα πίςω

15 Διάςχιςθ Κατά Βάκοσ - Αλγόρικμοσ Θα χρθςιμοποιιςουμε: Τον πίνακα γειτνίαςθσ A διάςταςθσ ΝxΝ Ζνα μονοδιάςτατο πίνακα mark όπου κα ςθμειϊνουμε τθν επίςκεψθ του αντίςτοιχου κόμβου (i-κόμβοσ, mark(i)=1). Αρχικά όλα τα ςτοιχεία του πίνακα mark είναι μθδζν. A, N, mark: κακολικζσ μεταβλθτζσ

16 Διάςχιςθ Κατά Βάκοσ - Αλγόρικμοσ Αλγόριθμοσ DFS Δεδομζνα //k // mark[k]=1 Εμφάνιςε k Για j από 1 μζχρι N Αν a(k,j) = 1 και mark(j) = 0 τότε DFS(j) Τζλοσ_αν Τζλοσ_επανάληψησ Τζλοσ DFS

17 Περιοδεφων Πωλθτισ Σε αυτό το πρόβλθμα υπάρχουν Ν πόλεισ και ηθτείται ο ςυντομότεροσ δρόμοσ που κα ακολουκιςεισ ζνασ περιοδεφων πωλθτισ ϊςτε να επιςκεφτεί όλεσ τισ πόλεισ μια φορά Άπλθςτοσ Αλγόρικμοσ (greedy)