Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-2. Ισοστατικότητα

Transcript

1 Εισαγωγικές Έννοιες

2 Ισοστατικότητα Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-2 Ισοστατικός (ή στατικά ορισμένος) λέγεται ο φορέας που ο προσδιορισμός της εντατικής του κατάστασης είναι δυνατός βάσει μόνο των εξισώσεων ισορροπίας στερεού σώματος. Υπερστατικός (ή στατικάαόριστος) λέγεται ο φορέας που για τον προσδιορισμό της εντατικής του κατάστασης δεν αρκούν οι εξισώσεις ισορροπίας. Για την ανάλυση των υπερστατικών φορέων απαιτείται, επιπρόσθετα, η χρήση εξισώσεων που αφορούν τη γεωμετρία του παραμορφωμένου φορέα. Στο πλαίσιο του μαθήματος αυτού θα θεωρηθούν μόνο επίπεδοι υπερστατικοί φορείς.

3 Τύποι Ισοστατικής Στήριξης Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-3 Υπάρχουν 3 θεμελιώδεις τρόποι ισοστατικής στήριξης ενός σχηματισμού: Αμφιέρειστη στήριξη Πάκτωση Τριαρθρωτή στήριξη Οι 3 αρθρώσεις δεν πρέπει να είναι συνευθειακές

4 Στερεότητα Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-4 Στερεός (ή γεωμετρικά ευσταθής) λέγεται ο φορέας που στηρίζεται κατά τέτοιον τρόπο ώστε, για κάθε δυνατή φόρτιση, να αποτρέπεται η κίνησή του ή τμήματός του ως απόλυτα στερεό σώμα. Σε αντίθετη περίπτωση, ο φορέας λέγεται μηχανισμός (ή γεωμετρικά ασταθής). Ικανή και αναγκαία συνθήκη για τη στερεότητα ενός φορέα είναι η ικανοποίηση των εξισώσεων ισορροπίας για όλα τα επιμέρους τμήματα που συνιστούν το φορέα. Ο αριθμός και η σχέση των αντιδράσεων (ή των δυνάμεων που αναπτύσσονται στις συνδέσεις των επιμέρους τμημάτων ενός σύνθετου φορέα) καθορίζουν τη στερεότητα (ισορροπία) ή μη του φορέα.

5 Στερεότητα ( ) Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-5 Θεμελιώδεις περιπτώσεις μηχανισμών: Αν ο αριθμός των αντιδράσεων R είναι μικρότερος από τον αριθμό των εξισώσεων ισορροπίας (=3) τότε ο φορέας είναι μηχανισμός. R<3 μηχανισμός Αφού 3 εξισώσεις ισορροπίας πρέπει να ικανοποιούνται ώστε ένα επίπεδο στερεό σώμα να ισορροπεί, οι στηρίξεις πρέπει να επιβάλλουν τουλάχιστον 3 δεσμεύσεις για να έχουμε ένα γεωμετρικά ευσταθή φορέα. Άρα, αν οι στηρίξεις παρέχουν λιγότερες από 3 δεσμεύσεις, τότε μια ή περισσότερες από τις 3 εξισώσεις ισορροπίας δεν ικανοποιείται και επομένως, ο φορέας δεν ισορροπεί.

6 Στερεότητα ( ) Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-6 Αν οι αντιδράσεις συνιστούν ένα σύστημα παραλλήλων δυνάμεων, τότε (έστω κι αν R 3 ) οφορέαςείναι μηχανισμός. Αν οι αντιδράσεις συνιστούν ένα σύστημα συντρεχουσών δυνάμεων, τότε (έστω κι αν R 3 ) οφορέαςείναι μηχανισμός.

7 Στατική Αοριστία Φορέων Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-7 Ο βαθμός στατικής αοριστίας (υπερστατικότητας) ενός φορέα μπορεί να προσδιοριστεί από το άθροισμα της εξωτερικής και εσωτερικής του υπερστατικότητας. Εξωτερική υπερστατικότητα Σχετίζεται με τον τρόπο στήριξης του φορέα στο έδαφος, δηλαδή με τις αντιδράσεις που αναπτύσσονται στις στηρίξεις του. Όταν ο αριθμός των αντιδράσεων στήριξης του φορέα R ισούται με τον αριθμό των εξισώσεων ισορροπίας (=3), τότε ο φορέας είναι εξωτερικά ισοστατικός. R=3 εξωτερικά ισοστατικός Δηλαδή, αν ικανοποιούνται οι 3 εξισώσεις ισορροπίας, οι τιμές των αντιδράσεων είναι μονοσήμαντα ορισμένες, και λέμε ότι ο φορέας είναι εξωτερικά ισοστατικός. R=3

8 Στατική Αοριστία Φορέων ( ) Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-8 Όταν ο αριθμός των αντιδράσεων στήριξης του φορέα R είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των εξισώσεων ισορροπίας (=3), τότε ο φορέας είναι εξωτερικά υπερστατικός. R>3 εξωτερικά υπερστατικός Δηλαδή, αν οι στηρίξεις παρέχουν περισσότερες από 3 αντιδράσεις, τότε οι τιμές των αντιδράσεων δεν ορίζονται μονοσήμαντα (αφού ο αριθμός των αγνώστων ξεπερνά τον αριθμό των εξισώσεων) και λέμε ότι ο φορέας είναι εξωτερικά υπερστατικός με βαθμό στατικής αοριστίας ΒΣΑ = R-3 R=4>3 R=5>3

9 Στατική Αοριστία Φορέων ( ) Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-9 Εσωτερική υπερστατικότητα Σχετίζεται με τη μορφή του φορέα αγνοώντας τον τρόπο στήριξής του. Θεμελιώδεις τύποι εσωτερικά ισοστατικών φορέων αποτελούν: Tο ανοικτό σύστημα ραβδωτών στοιχείων (που δε σχηματίζουν κλειστές διαδρομές - βρόχους) Ητριαρθρωτήσύνδεσητμημάτων του φορέα Η τριγωνική διάταξη αρθρωτών ράβδων δικτυώματος

10 Στατική Αοριστία Φορέων ( ) Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη):Δ02-10 Όταν ένας φορέας αποτελείται από ένα ή περισσότερα κλειστά συστήματα ραβδωτών στοιχείων (βρόχοι) είναι δυνατό να είναι εσωτερικά υπερστατικός. Η εύρεση της εσωτερικής υπερστατικότητας του φορέα συνίσταται στην κατάλληλη αποκοπή του βρόχου ώστε να προκύψει σχηματισμός χωρίς κλειστή διαδρομή. Με βάση τον αριθμό των αγνώστων εντατικών μεγεθών που σχετίζονται με τη θεωρούμενη τομή και το διαθέσιμο αριθμό των (επιπλέον) εξισώσεων ισορροπίας (=3), μπορεί να προσδιοριστεί η εσωτερική υπερστατικότητα του φορέα. Από τομή 2-3 προκύπτει σχηματισμός χωρίς κλειστή διαδρομή. Η τομήαυτή σχετίζεται με 6 άγνωστα εντατικά μεγέθη. Δεδομένου ότι οι διαθέσιμες εξισώσεις ισορροπίας για το αποκοπτόμενο τμήμα είναι 3, η εσωτερική υπερστατικότητα του φορέα προκύπτει ως 6-3 = 3.

11 Στατική Αοριστία Φορέων ( ) Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη):Δ02-11 Ένας βρόχος (χωρίς εσωτερικές ελευθερώσεις) είναι εσωτερικά υπερστατικός με ΒΣΑ=3 Ολική υπερστατικότητα Οβαθμόςστατικήςαοριστίας(ολική υπερστατικότητα) ενός φορέα μπορεί να προσδιοριστεί από το άθροισμα της εξωτερικής και εσωτερικής του υπερστατικότητας: ολική υπερστατικότητα = εξωτερική υπερστατικότητα + εσωτερική υπερστατικότητα

12 Σύνθετοι Φορείς Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη):Δ02-12 Οι σύνθετοι φορείς αποτελούνται από πολλούς στερεούς σχηματισμούς (τμήματα) οι οποίοι συνδέονται με τέτοιον τρόπο (π.χ. με εσωτερική άρθρωση) ώστε να επιφέρουν στο φορέα κάποιες εσωτερικές ελευθερώσεις. Αντίθετα με τους απλούς φορείς, οι αντιδράσεις στους σύνθετους φορείς δεν μπορούν να υπολογιστούν (μόνο) από τις 3 εξισώσεις ισορροπίας που διατυπώνονται για ολόκληρο το φορέα. Πρέπει, επιπρόσθετα, να γίνει χρήση της πληροφορίας που παρέχουν οι εσωτερικές ελευθερώσεις.

13 Σύνθετοι Φορείς (...) Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη):Δ02-13 Σε τέτοιες περιπτώσεις ακολουθούμε μίαν από τις εξής ισοδύναμες μεθόδους επίλυσης: 1. Καταστρώνονται οι 3 εξισώσεις ισορροπίας θεωρώντας ολόκληρο το φορέα. Οι επιπρόσθετες ανεξάρτητες εξισώσεις ισορροπίας που χρειάζονται προκύπτουν από τις συνθήκες που επιβάλλουν οι συνδέσεις και γράφονται για κάποιο(α) συνιστών(τα) τμήμα(τα) του φορέα, μετά από διάσπασή του στους επιμέρους στερεούς σχηματισμούς. 2. Αφού διασπάσουμε τον αρχικό φορέα στα επιμέρους συνιστώντα τμήματα, γράφουμε τις (3) εξισώσεις ισορροπίας για κάθε στερεό σώμα.

14 Παράδειγμα Π2-1 Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη):Δ02-14 Υπολογισμός των αντιδράσεων της δοκού. Ισοστατικός ή υπερστατικός φορέας; Με βάση την 1η μέθοδοεπίλυσηςέχουμε: 3 εξισώσεις ισορροπίας για ολόκληρο το φορέα: ΣF x = 0, ΣF y = 0, ΣΜ Ε = εξίσωση συνθήκης (που αφορά την εσωτερική άρθρωση) η οποία γράφεται για ένα από τα δύο αποκοπτόμενα τμήματα ΣΜ c ABC = 0 ή ΣΜ c CDE =0 ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II

15 Σύνθετοι Φορείς (...) Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη):Δ02-15 Στερεότητα σύνθετων φορέων Αναγκαία (αλλά όχι κατανάγκην ικανή) συνθήκη για τη στερεότητα ενός σύνθετου φορέα με C εσωτερικές ελευθερώσεις είναι ο αριθμός των αντιδράσεων R να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με το άθροισμα του αριθμού των εξισώσεων ισορροπίας (=3) και του αριθμού των εξισώσεων συνθήκης C. Άρα, R < 3+C μηχανισμός Η εξέταση της στερεότητας σύνθετου φορέα μπορεί να γίνει με θεώρηση του τρόπου μόρφωσης του φορέα με βάση τα συνιστώντα τμήματά του. Δηλαδή, αναζητείται αρχικά θεμελιώδες στερεό τμήμα, που στηρίζεται με έναν από τους 3 θεμελιώδεις τρόπους ισοστατικής στήριξης, πάνω στο οποίο θα δομηθούνδιαδοχικάταυπόλοιπαεπιμέρουςτμήματατου φορέα. Ο σύνθετος φορέας είναι στερεός (και ισοστατικός) όταν και μόνο όταν καθένα από τα συνιστώντα τμήματα του είναι στερεό (και ισοστατικό).

16 Σύνθετοι Φορείς (...) Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη):Δ02-16 Στατική αοριστία σύνθετων φορέων Δύο μέθοδοι για εύρεση της ολικής υπερστατικότητας: Θεωρώντας ολόκληρο το φορέα + εξισώσεις συνθήκης Γιασύνθετουςφορείςπουταεπιμέρους(στερεά) τμήματά τους συνδέονται κατά τέτοιο τρόπο ώστε να εισάγονται C εσωτερικές ελευθερώσεις, μπορούν να γραφτούν C επιπρόσθετες εξισώσεις συνθήκης. Άρα, γράφονται 3 εξισώσεις ισορροπίας για ολόκληρο το φορέα συν C εξισώσεις συνθήκης για επιμέρους τμήματά του. Τα κριτήρια για την ισοστατικότητα είναι τα εξής: R = 3+C R > 3+C ισοστατικός φορέας υπερστατικός φορέας με ΒΣΑ = R -(3+C)

17 Σύνθετοι Φορείς (...) Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη):Δ02-17 Θεωρώντας κάθε τμήμα ξεχωριστά Αφού διασπάσουμε τον αρχικό φορέα στα επιμέρους συνιστώντα τμήματα, γράφουμε τις (3) εξισώσεις ισορροπίας για κάθε στερεό σώμα. Η διαφορά του συνολικού αριθμού των εξισώσεων ισορροπίας από το συνολικό αριθμό των αγνώστων αντιδράσεων δίνει τον ολικό βαθμό υπερστατικότητας.

18 Στατική Αοριστία Πλαισίων Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη):Δ02-18 Σχήμα a: Ισοστατικό και στερεό: 3 αντιδράσεις (μη παράλληλες και μη συντρέχουσες) και 3 εξισώσεις στατικής ισορροπίας (Ε.Σ.Ι.). Μετά τον προσδιορισμό των αντιδράσεων, οι εσωτερικές δυνάμεις τέμνουσα, αξονική και ροπή σε οποιαδήποτε τομή μπορούν να προσδιοριστούν. Σχήμα b: Βαθμός υπερστατικότητας = 2: Ενώ οι αντιδράσεις μπορούν να υπολογιστούν, οι εσωτερικές δυνάμεις δεν μπορούν να προσδιοριστούν, λόγω του ότι δεν μπορεί να απομονωθεί τμήμα τηςκατασκευήςωςελεύθεροσώμαμε3 άγνωστες δυνάμεις. 5 άγνωστοι και 3 Ε.Σ.Ι. Σχήμα c: Βαθμός υπερστατικότητας = 3: 6 άγνωστοι και 3 Ε.Σ.Ι.

19 Στατική Αοριστία Πλαισίων ( ) Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη):Δ02-19 Ένας βρόχος είναι πάντοτε εσωτερικά υπερστατικός με βαθμό υπερστατικότητας 3. Για να προσδιορίσουμε το βαθμό υπερστατικότητας αφαιρούμε δεσμεύσεις (εσωτερικές ή εξωτερικές) μέχρι να παραμείνει ένας στερεός ισοστατικός φορέας. Ο αριθμός των δεσμεύσεων που αφαιρέθηκαν ισούται με το βαθμό υπερστατικότητας.

20 Στατική Αοριστία Πλαισίων (...) Βαθμός υπερστατικότητας = 3 Σχήμα b: Αφαιρώντας τις 3 δεσμεύσεις στη στήριξη Β, παίρνουμε ένα στερεό ισοστατικό φορέα που στηρίζεται στην πάκτωση Α. Σχήμα c: Ισοδύναμα, αφαιρώντας 3 (εσωτερικές) δεσμεύσεις από το μέσο της δοκού, παίρνουμε δύο στερεούς προβόλους. Σχήμα d: Ισοδύναμα, αφαιρώντας τη δέσμευση ροπής από τη στήριξη Α (μετατρέπουμε την πάκτωση σε άρθρωση), και τις δεσμεύσεις ροπής και οριζόντιας μετακίνησης από τη στήριξη Β (μετατρέπουμε την πάκτωση σε κύλιση), παίρνουμε ένα στερεό ισοστατικό φορέα. Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη):Δ02-20

21 Στατική Αοριστία Πλαισίων (...) Βαθμός υπερστατικότητας = 9 Αφαιρώντας την άρθρωση στο σημείο C και μετατρέποντας την άρθρωση στο σημείο Β σε κύλιση (αφαιρώντας τη δέσμευση οριζόντιας μετακίνησης), παίρνουμε ένα φορέα εξωτερικά ισοστατικό. Κόβοντας τις δοκούς EF και ED και αφαιρώντας 6 (εσωτερικές) δεσμεύσεις, παίρνουμε ένα στερεό ισοστατικό φορέα. Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη):Δ02-21

22 Παράδειγμα Π2-2 Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη):Δ02-22 Να προσδιορίστε το βαθμό υπερστατικότητας των πλαισίων. (a) Στερεός & ισοστατικός (3 αντιδράσεις, 3 εξισώσεις ισορροπίας) (b) Υπερστατικός με βαθμό υπερστατικότητας 3 (6 αντιδράσεις, 3 εξισώσεις ισορροπίας) (c) Υπερστατικός με βαθμό υπερστατικότητας 1 (3 αντιδράσεις και μια άγνωστηδύναμηστο καλώδιο, 3 εξισώσεις ισορροπίας) (d) Υπερστατικός με βαθμό υπερστατικότητας 6 (εσωτερικά) (e) Στερεός & ισοστατικός (4 αντιδράσεις, 3 εξισώσεις ισορροπίας +1 εξίσωση συνθήκης στην εσωτερική άρθρωση) (f) Υπερστατικός με ΒΣΑ=4 (το πλαίσιο χωρίς τις εσ. αρθρώσεις έχει ΒΣΑ=12) (g) Υπερστατικός με ΒΣΑ=6 ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών II