ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018

Transcript

1 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ A2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1

2 Τι είναι ένα δικτύωμα Είναι ένα σύστημα λεπτών, αβαρών, ευθύγραμμων στερεών ράβδων που συνδέονται μεταξύ τους με ελεύθερα στρεπτές αρθρώσεις και σχηματίζουν ένα στερεό σχηματισμό. Οι αρθρώσεις του δικτυώματος ονομάζονται κόμβοι και οι στερεοι φορείς ράβδοι. Διακρίνονται σε απλά και σύνθετα ανάλογα με τον τρόπο συναρμολόγησης όπως και σε χωρικά και επίπεδα ανάλογα με το αναπτύσσονται στις δύο ή στις τρείς διαστάσεις. Ένα δικτύωμα μπορεί να είναι είτε ισοστατικό είτε υπερστατικό ή υποστατικό. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 2

3 Σκοποί ενότητας Να είναι σε θέση ο φοιτητής να μπορεί να ελέγχει την ισοστατικότητα και την στερεότητα ενός δικτυώματος. Να μπορεί να επιλύσει ένα δικτύωμα. Να μπορεί να χαρακτηρίσει τις τάσεις που φέρει η κάθε ράβδος μια δικτυωτής κατασκευής. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 3

4 Περιεχόμενα ενότητας Βασικές αρχές δικτυώματος Δικτυώματα στην καθημερινή ζωή Στοιχεία δικτυώματος Παραδοχές Κριτήρια στερεότητας-ισοστατικότητας Επίλυση δικτυωμάτων με μέθοδο κόμβων Επίλυση δικτυωμάτων με μέθοδο Ritter Δοκός Gerber A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 4

5 Στοιχεία δικτυωμάτων Οι άξονες των ράβδων και οι εξωτερικές δυνάμεις στο ίδιο επίπεδο (π.χ. δικτύωμα γέφυρας) Οι ράβδοι δεν φορτίζονται εγκάρσια. Το φορτίο μεταφέρεται στους κόμβους. Τα βάρη των ράβδων εφαρμόζονται και αυτά στους κόμβους με ισοκατανομή. Οι κόμβοι είναι ισοδύναμοι με ελεύθερα στρεπτές αρθρώσεις. Δηλαδή δεν μεταφέρουν ροπή, αλλά μόνο δύναμη. Με την εφαρμογή δύναμης F σε κάποιο κόμβο, εμφανίζονται αντιδράσεις στα σημεία στήριξης και εσωτερικές δυνάμεις, αξονικές, στις ράβδους, που ονομάζονται τάσεις. Ο καθορισμός των τάσεων αποτελεί την «ανάλυση» του δικτυώματος. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 5

6 Δικτυώματα στην καθημερινή ζωή A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 6

7 Επίλυση δικτυώματος 1) Απόδειξη ισοστατικότητας φορέα. 2) Εκτίμηση στερεότητας σχηματισμού φορέα. 3) Σχεδιασμός διαγράμματος ελευθέρου σώματος (Δ.Ε.Σ.). 4) Υπολογισμός αντιδράσεων. 5) Υπολογισμός δυνάμεων (τάσεων) στις ράβδους. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 7

8 Κριτήρια ισοστατικότητας (1/2) Σε ένα γεωμετρικό ορισμένο δικτύωμα ο αριθμός των κόμβων (joints), j, συνδέεται με τον αριθμό των ράβδων (members), m, με μία μαθηματική σχέση. Ας ξεκινήσουμε με ένα τρίγωνο (το πιο απλό δικτύωμα, βλ. Σχήμα). Σε αυτή την περίπτωση 3 ράβδοι συνδέονται με 3 κόμβους. Αν προσθέσουμε δύο ακόμη ράβδους τότε χρειαζόμαστε ένα επιπλέον κόμβο. Με άλλα λόγια πέρα από το απλό τρίγωνο, κάθε ένας από τους υπολοίπους j-3 κόμβους συνδέεται με 2 ράβδους. Άρα είναι προφανές ότι η ζητούμενη μαθηματική σχέση για ισοστατικό δικτύωμα είναι: m 3 2( j 3) 2 j 3 () 1 A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 8

9 Κριτήρια ισοστατικότητας (2/2) Το δικτύωμα που δεν συνδέεται με το έδαφος ονομάζεται ελεύθερο δικτύωμα. Όταν προσθέσουμε και τις στηρίξεις (αντιδράσεις), R, του εδάφους τότε έχουμε το δικτυωτό φορέα τον οποίο μελετάμε. Επειδή η ισοστατική στήριξη ενός ελεύθερου σώματος απαιτεί 3 τουλάχιστον εξωτερικά στηρίγματα, R, τότε σε αυτή την περίπτωση το κριτήριο ισοστατικότητας θα είναι: (1) Ισοστατικός φορέας m R 2 j (2) Άρα κατά αναλογία έχουμε τις εξής καταστάσεις: Υπερστατικός φορέας m R 2 j (ΝΒ αριθμός ράβδων μεγαλύτερος από αυτό που απαιτείται για καθορισμό σχήματος) Υποστατικός φορέας m R 2 j (ΝΒ αριθμός ράβδων μικρότερος από αυτό που απαιτείται για καθορισμό σχήματος= μηχανισμός) (3) (4) A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 9

10 Παραδείγματα/ στατικότητα & σταθερότητα (1/4) Αριθμός ράβδων (members), m=11 Αριθμός κόμβων (joints), j=7 Αριθμός αντιδράσεων (reactions), R=3 Άρα: m 2 j R 11 2(7) 3 0 ( 5) Συμπέρασμα: H ως άνω κατασκευή είναι ισοστατική αλλά και σταθερή. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 10

11 Παραδείγματα/ στατικότητα & σταθερότητα (2/4) Αριθμός ράβδων (members), m=9 Αριθμός κόμβων (joints), j=6 Αριθμός αντιδράσεων (reactions), R=3 Άρα: m 2 j R 9 2(6) 3 0 ( 6) Συμπέρασμα: H ως άνω κατασκευή εκ πρώτης όψεως φαίνεται ισοστατική αλλά και σταθερή. Για να σιγουρευτούμε πρέπει να ισχύει ότι κάθε τμήμα της επίσης θα είναι ισοστατικό και σταθερό (χρησιμοποιώντας πάντα τις ίδιες αντιδράσεις του εδάφους. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 11

12 Παραδείγματα/ στατικότητα & σταθερότητα (3/4) Αριθμός ράβδων (members), m=4 Αριθμός κόμβων (joints), j=4 Αριθμός αντιδράσεων (reactions), R=3 m 2 j R 4 2(4) 3 1, Υποστατικό Αριθμός ράβδων (members), m=6 Αριθμός κόμβων (joints), j=4 Αριθμός αντιδράσεων (reactions), R=3 m 2 j R 6 2(4) 3 1, Υπερστατικό Συμπέρασμα: Όπως προκύπτει το δεξί μέρος είναι ένας ασταθής «μηχανισμός» και όχι σταθερό δικτύωμα. Το αριστερό μέρος έχει πιο πολλές ράβδους απ ότι χρειάζεται. Με άλλα λόγια η κατασκευή αυτή θεωρείται ασταθής και υπερστατική (απροσδιόριστη). A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 12

13 Παραδείγματα/ στατικότητα & σταθερότητα (4/4) Αριθμός ράβδων (members), m=5 Αριθμός κόμβων (joints), j=4 Αριθμός αντιδράσεων (reactions), R=3 m 2 j R 5 2(4) 3 0 Αριθμός ράβδων (members), m=5 Αριθμός κόμβων (joints), j=4 Αριθμός αντιδράσεων (reactions), R=3 m 2 j R 5 2(4) 3 0 Συμπέρασμα: Με «τριγωνοποίηση» στο δεξί μέρος προκύπτει σταθερό και ισοστατικό δικτύωμα. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 13

14 Συμβάσεις μεθόδου κόμβων Κάθε μέλος του δικτυώματος (ράβδος) δέχεται μόνο αξονικά φορτία. Αρχικά: θεωρούμε όλες τις άγνωστες εσωτερικές δυνάμεις θετικές. Όλες οι δυνάμεις αναλύονται στον κόμβο. Συνήθως δεν έχουμε πάνω από δύο άγνωστες δυνάμεις. Στο τέλος θα πρέπει να γνωρίζουμε την καταπόνιση κάθε δοκού και το πρόσημο της φόρτισης (εφελκυσμός ή θλίψη). A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 14

15 Παραδοχές A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 15

16 Μέθοδος των Κόμβων Πρόβλημα: Ζητούμε να βρούμε τις τάσεις (εφελκυστικές ή θλιπτικές) που εξασκούνται στις ράβδους του επιπέδου δικτυώματος ABCDE. Επίλυση 1. Φτιάχνουμε το ΔΕΣ για ολόκληρο το δικτύωμα. 2. Ελέγχουμε σταθερότητα/ ισοστατικότητα. Έχουμε m=7, j=5, R=3 οπότε 7-2(5)+3=0 3. Βρίσκουμε τις τιμές των αντιδράσεων μέσω της ισορροπίας δυνάμεων και ροπών: F 0 H H 2W 0 x A C F 0 V W 0 y A M 0 Wa H a 0 A Άρα V W, H H W A c C A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 16

17 Δράση-Αντίδραση σε Κόμβους/ Ράβδους (1/3) Κόμβος Α A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 17

18 Δράση-Αντίδραση σε Κόμβους/ Ράβδους (2/3) Κόμβος Ε Κόμβος C A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 18

19 Δράση-Αντίδραση σε Κόμβους/ Ράβδους (3/3) Τελικό Αποτέλεσμα Θλίψη Εφελκυσμός A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 19

20 Βήματα μεθόδου κόμβων (συνοπτικά) Βήμα 1ο Θέλουμε να βρούμε τις δυνάμεις που ασκούνται στις δοκούς του δικτυώματος. Θεωρούμε ότι κάθε δοκός φέρει μια άγνωστη δύναμη κατά τη διεύθυνσή της. Ο υπολογισμός των δυνάμεων των δοκών θα γίνει μέσω του υπολογισμού των δυνάμεων στους κόμβους. Βήμα 2ο Υπολογίζουμε τις εξωτερικές αντιδράσεις του δικτυώματος γράφοντας τις εξισώσεις ισορροπίας για ολόκληρο το δικτύωμα. Εφόσον το δικτύωμα είναι στερεό σώμα μπορούμε να γράψουμε εξισώσεις ισορροπίας για τον υπολογισμό αγνώστων αντιδράσεων. Βήμα 3ο Απομονώνουμε από το δικτύωμα τις δοκούς και τους κόμβους. Γράφουμε τις εξισώσεις ισορροπίας για κάθε κόμβο. Ξεκινάμε τη μέθοδο υπολογισμού από τον κόμβο στον οποίο συντρέχουν το πολύ δύο άγνωστες δυνάμεις, δηλαδή το πολύ δύο δοκοί. Τυπικά σχεδιάζουμε τις άγνωστες δυνάμεις στον κόμβο ώστε η φορά τους να είναι από τον κόμβο προς τη δοκό. Βήμα 4ο Τελειώνοντας με έναν κόμβο προχωρούμε στο γειτονικό στον οποίο και πάλι πρέπει να συντρέχουν το πολύ δύο άγνωστες δυνάμεις. Βήμα 5ο Έχοντας βρει τις δυνάμεις στους κόμβους μεταφέρουμε τις δυνάμεις των κόμβων στις δοκούς και καταγράφουμε τις τιμές κάθε καταπόνησης σε ένα πίνακα. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 20

21 Μέθοδος τομών RITTER A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 21

22 Έννοιες και βασικές παραδοχές Χρησιμοποιείται είτε για τον υπολογισμό των τάσεων των ράβδων ενός σύνθετου δικτυώματος, είτε για την ταχύτερη εύρεση της δύναμης μιας ράβδου. Συνίσταται στην πραγματοποίηση μίας ή και περισσότερων τομών, καθεμιά από τις οποίες τέμνει το μικρότερο δυνατό αριθμό ράβδων (max 3 ράβδοι με άγνωστες εσωτερικές τάσεις). Η τομή χωρίζει το δικτύωμα σε δύο ανεξάρτητα τμήματα τα οποία ισορροπούν. Θεωρώντας τις άγνωστες εσωτερικές τάσεις σαν εξωτερικές και χρησιμοποιώντας συνθήκες ισορροπίας τις υπολογίζουμε. Και σε αυτήν την περίπτωση δεχόμαστε αρχικά εφελκυστικές, δηλ. θετικές όλες τις άγνωστες τάσεις. Η τομή Ritter δεν διέρχεται ποτέ από κόμβο. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 22

23 Βήματα μεθόδου τομών RITTER Βήμα 1ο Κάνουμε μια τομή σε (το πολύ) τρεις διαδοχικές δοκούς. Βήμα 2ο Χωρίζουμε το δικτύωμα σε δύο, ένα δεξιά και ένα αριστερά της τομής. Βήμα 3ο Στο σημείο της τομής αντικαθιστούμε κάθε μια από τις δοκούς που τέμνονται με μια άγνωστη δύναμη. Κατά σύμβαση σχεδιάζουμε τις δυνάμεις με φορά από τον κόμβο προς τη δοκό. Βήμα 4ο Μελετάμε το δικτύωμα ώς προς την ισοστατικότητα και την στερεότητα και γράφουμε τις εξισώσεις ισορροπίας για τον υπολογισμό αγνώστων δυνάμεων. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 23

24 Mέθοδος Τομών- Ritter Δικτύωμα πρό τομών ΔΕΣ αριστερής και δεξιάς τομής ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΝ ΣP x = 0 : P 2 - H B = 0 => H B =200N ΣΜ Α = 0: -P P 2 (2,5 tan60 ) + V B 10 = 0 => V B = 386,6N ΣΜ Β = 0: -V Α 10 + P P 2 (2,5 tan60 ) = 0 => V Α = 213,4N A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 24

25 Υπολογισμός δυνάμεων- Ritter (1/2) 1) Υπολογισμός της S 5 (κόμβος Ι)- αριστερή πλευρά Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη ισορροπίας ΣΜ=0 ώστε να τέμνονται οι άλλες δύο ράβδοι και να μη δίνουν ροπές όπου λ 1 είναι η κάθετη απόσταση της S 5 από τον κόμβο Ι. Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε 2) Υπολογισμός της S 2 (κόμβος ΙΙ)- δεξιά πλευρά II 0 : P2 h S2 2 VB 5 0 (1) όπου λ 2 είναι η απόσταση της S 2 από τον κόμβο ΙΙ. Επίσης είναι Ισχύει: 0 : V 5 S 0 (1) I A 5 1 o 1 tan m (2) S N (εφελκ.) 8.7 o 2 sin m (2) h m (3) Από τις σχέσεις (1), (2) και (3) έχουμε: S N (θλιπτ.) A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 25

26 Υπολογισμός δυνάμεων- Ritter (2/2) 3) Υπολογισμός της S 6 Λαμβάνουμε συνθήκη ισορροπίας ΣP y = 0 για το πιο απλό τμήμα του δικτυώματος. (στην περίπτωσή μας το αριστερό ). P 0 : V S S sin S sin 60 S N (εφελκ.) y A o Με όμοιο τρόπο, αν φέρουμε τις κατάλληλες τομές, μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις τάσεις της ράβδου. Παρατηρούμε πως και με τις δύο μεθόδους, καταλήγουμε στα ίδια αποτελέσματα. A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 26

27 Τέλος Ενότητας A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 27