HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Transcript

1 Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10

2 Τρεις ισοδύναμες μορφές: () = = = = Σειρές Fourier j( 2π ) t Τ.. x () t FS a jω0t xt () = ae = ae xt ( ) = a + 2 Re[ a cos( ω t+ θκ )] 0 0 = 1 xt () = a + 2 [ B cos( ω t) C sin( ω t)] = 1

3 Σειρές Fourier 2π j 0t j ( ) t xt () ae ω Τ = = ae = = 1 j 2π t 0 1 jω t ( Τ ) 0 = () = () a x t e dt x t e dt Εξίσωση σύνθεσης (synthesis equation) Εξίσωση ανάλυσης (analysis equation) a 0 a 1 = x() t dt { } Συντελεστές Fourier τάξης DC component (μέση τιμή του σήματος)

4 Τετραγωνικός περιοδικός παλμός =4 1 =8 1 =16 1

5 Σειρές Fourier: Σύγκλιση Οι Σειρές Fourier μπορούν να αναπαραστήσουν μια πολύ μεγάλη κλάση περιοδικών σημάτων Προσέγγιση (approximation) περιοδικού σήματος x(t) με πεπερασμένες σειρές Fourier N j 0t xn() t = ae ω = N Η προσέγγιση αυτή χαρακτηρίζεται από το σφάλμα: N = N j 0 e () = () () = () ω N t xt xn t xt ae Η ακρίβεια της προσέγγισης ποσοτικοποιείται από την ενέργεια του τετραγωνικού σφάλματος σε μια περίοδο Τ: 2 E () N = en t dt Οι συντελεστές α που ελαχιστοποιούν το κριτήριο αυτό είναι: 1 jω0t a = x() t e dt t

6 Σειρές Fourier: Σύγκλιση Άρα όταν υπάρχει η αναπαράσταση ενός περιοδικού σήματος x(t) σε σειρές Fourier Η βέλτιστη προσέγγιση για την αποκομμένη σειρά 1 jω επιτυγχάνεται για: 0t a = x() t e dt lim N EN = 0 Ερώτηση: Πότε ένα περιοδικό σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί με σειρές Fourier? Το ολοκλήρωμα μπορεί να αποκλίνει για κάποιο Αό Ακόμη και αν όλα τα α είναι πεπερασμένα, η (άπειρη) σειρά μπορεί να μη συγκλίνει στο x(t) Ευτυχώς για τη μεγάλη πλειονότητα των περιοδικών σημάτων συνεχούς χρόνου οι σειρές Fourier δεν παρουσιάζουν προβλήματα σύγκλισης

7 Σειρές Fourier: Σύγκλιση Όλα τα συνεχή περιοδικά σήματα μπορούν να αναπαρασταθούν με σειρές Fourier Συνθήκη: Τα σήματα που έχουν πεπερασμένη ενέργεια σε μια περίοδο) μπορούν να αναπαρασταθούν με σειρές Fourier: 2 xt () dt< Για τα σήματα αυτά, οι συντελεστές α είναι πεπερασμένοι και το 2 όριο limn EN = lim N x() t xn() t dt = 0 το οποίο δεν σημαίνει κατ ανάγκη ότι το σήμα x(t) και η αναπαράστασή του σε σειρές Fourier είναι ίσα για κάθε t, αλλά ότι η διαφορά τους έχει μηδενική ενέργεια.

8 Σύγκλιση: Οι συνθήκες Dirichlet Εναλλακτικό Ε ό σύνολο συνθηκών που εξασφαλίζουν την ισότητα xt () = xn (), t N t εκτός από μεμονωμένες τιμές του t στις οποίες το x(t) είναι ασυνεχές Συνθήκη 1: Το σήμα x(t) πρέπει να είναι απολύτως ολοκληρώσιμο σε μια περίοδο: 1 j ω0 t x () t dt < a = x () t e dt < 1 x () t =,0 < t 1 t Συνθήκη 2:Σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικό διάστημα (ισοδύναμα σε κάθε περίοδο) υπάρχει πεπερασμένος αριθμός ελάχιστων και μέγιστων 2 π x() t = sin( ),0< t 1 t

9 Σύγκλιση: Οι συνθήκες Dirichlet Συνθήκη Σ 3: Σε κάθε περίοδο, υπάρχει πεπερασμένος αριθμός ασυνεχειών Σχεδόν όλα τα σήματα που συναντούμε στην πράξη ικανοποιούν αυτές τις συνθήκες. Άρα: Για συνεχή σήματα οι σειρές Fourier = x(t) Για ασυνεχή σήματα οι σειρές Fourier = μέση τιμή στα σημεία ασυνέχειας Από την άποψη των ΓΧΑ συστημάτων το σήμα x(t) και η αναπαράστασή του σε σειρές Fourier είναι πανομοιότυπα

10 Το φαινόμενο Gibbs Κυμάτωση (ripples) κοντά στο σημείο ασυνέχειας ας Υπέρβαση (overshoot) με σταθερό πλάτος (1.09) στο θετικό όριο της ασυνέχειας, αντίστοιχο undershoot στο αρνητικό όριο Όταν Ν άπειρο,, η ενέργεια των κυματώσεων 0

11 Ιδιότητες Σειρών Fourier Γραμμικότητα: x(t), y(t) με περίοδο Τ Χρονική αντιστροφή (ime reversal): x() t a x( t) a = = j ω 0t jm ω0 t m m= a = a a = a x( t) a e a e = Άρτια σήματα: Περιττά: Χρονική μετατόπιση (ime Shifting): Μετατόπιση φάσης στο πεδίο της Μετατόπιση φάσης στο πεδίο της συχνότητας

12 Ιδιότητες Σειρών Fourier Συζυγής συμμετρία (Conjugate Symmetry): x() t a x () t a * * a * = a Πραγματικά σήματα: * Άρτια πραγματικά σήματα: a = a = a-πραγματικοί και άρτιοι συντελεστές Περιττά πραγματικά σήματα: φανταστικοί και περιττοί συντελεστές Χρονική κλιμάκωση (time scaling): x(t) περιοδικό με περίοδο Τ x(β) περιοδικό με περίοδο Τ/β j 0 x( βt) = ae βω = t Ίδιοι συντελεστές, θεμελιώδης συχνότητα βω 0 Πολλαπλασιασμός (multiplication) xt () a x() t y() t h = ab Διακριτή συνέλιξη l l yt () b l=

13 Ιδιότητες Σειρών Fourier Θεώρημα Parseval για σήματα συνεχούς χρόνου: xt () dt= a = Μέση ισχύς ενός περιοδικού σήματος σε μια περίοδο = άθροισμα της ισχύος των αρμονικών συνιστωσών του Περιοδική συνέλιξη (Periodic convolution) Συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου Πολλαπλασιασμός στο πεδίο της συχνότητας και αντίστροφα

14 Παράδειγμα H Συνάρτηση δειγματοληψίας (sampling function) /2 /2 j ω t j ω t a = x() t e dt = δ () t e dt =, /2 /2 yt () = xt ( /2) Χρονική μετατόπιση: Τ jω 0 2 jπ x() t a x( t /2) e a = e a = ( 1) a

15 Παράδειγμα Τετραγωνικός παλμός 10 1,0 < t < 1 xt () = 1,1 < t < 2 ω = π 0 a 0 =? a = x t e dt = e dt e dt 2 0 j 0t j 0t j 0t () ω [ ω ω ] j 1 2 0t 1 j 1 0t j j 2 j e ω + e ω [ e π 1 e π + e π ] = + = + = 2jω 0 2jω 1 2jπ j 1 2, = = [2 jπ 1 j π j ] [ jπ ν e e e 1] π 2 jπ = π = 0, = 2ν

16 Φάσμα συχνοτήτων Παράδειγμα Τετραγωνικός παλμός a 2/π a 2 j, = 2 ν + 1 = π = 0, = 2ν = a a a 2/3π 2/5π

17 a Εναλλακτικά: 2 1, 0 Παράδειγμα Τετραγωνικός παλμός = = 2 π 1 sin( 1), = 0 1, =, = 2 x( t) a = π 2 sin( π / 2), 0 ππ 1 zt () = 2 xt ( ) 1 2 1, = 0 1, = 0 2 j 1 2 j, = 2 ν + /2 1 2 x( t ) b j = π 2e sin( π /2) =, = 2ν + 1 zt ( ) c = π 2, 0 π π 0, = 2ν 0, = 2 νν ( 0)