HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Transcript

1 Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10

2 Σειρές Fourier: Προσέγγιση Οι Σειρές Fourier μπορούν να αναπαραστήσουν μια πολύ μεγάλη κλάση περιοδικών σημάτων Προσέγγιση (approximation) περιοδικού σήματος x(t) με πεπερασμένες σειρές Fourier N j 0t xn() t = ae ω = N Η προσέγγιση αυτή χαρακτηρίζεται από το σφάλμα: N = N j 0 e () = () () = () ω N t xt xn t xt ae Η ακρίβεια της προσέγγισης ποσοτικοποιείται από την ενέργεια του τετραγωνικού σφάλματος σε μια περίοδο Τ: E () N = en t dt Οι συντελεστές α που ελαχιστοποιούν το κριτήριο αυτό είναι: 1 jω0t a = x() t e dt t

3 Σειρές Fourier

4 Σειρές Fourier: Σύγκλιση Άρα όταν υπάρχει η αναπαράσταση ενός περιοδικού σήματος x(t) σε σειρές Fourier Η βέλτιστη προσέγγιση για την αποκομμένη σειρά επιτυγχάνεται 1 jω0t για a x() t e dt και μάλιστα: lim E = 0 N = N Ερώτηση: Πότε ένα περιοδικό σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί με σειρές Fourier? Το ολοκλήρωμα λή μπορεί να αποκλίνει για κάποιο Ακόμη και αν όλα τα α είναι πεπερασμένα, η (άπειρη) σειρά μπορεί να μη συγκλίνει στο x(t) Ευτυχώς για τη μεγάλη πλειονότητα των περιοδικών σημάτων συνεχούς χρόνου οι σειρές Fourier δεν παρουσιάζουν προβλήματα σύγκλισης

5 Σειρές Fourier: Σύγκλιση Συνθήκη: Όλα τα συνεχή περιοδικά σήματα μπορούν να αναπαρασταθούν με σειρές Fourier Τι συμβαίνει για ασυνεχή σήματα (πχ τετραγωνικός παλμός)? Συνθήκη: Τα σήματα που έχουν πεπερασμένη ενέργεια σε μια περίοδο) μπορούν να αναπαρασταθούν με σειρές Fourier: xt () dt< Για τα σήματα αυτά, οι συντελεστές α είναι πεπερασμένοι και limn EN = lim N x() t xn() t dt = 0 το οποίο δεν σημαίνει κατ ανάγκη ότι το σήμα x(t) και η αναπαράστασή του σε σειρές Fourier είναι ίσα για κάθε t, αλλά ότι η διαφορά τους έχει μηδενική ενέργεια.

6 Σύγκλιση: Οι συνθήκες Dirichlet Εναλλακτικό Ε όσύνολο συνθηκών που εξασφαλίζουν την ισότητα xt () = x εκτός από μεμονωμένες τιμές του t στις N (), t N t οποίες το x(t) είναι ασυνεχές Συνθήκη 1: Το σήμα x(t) πρέπει να είναι απολύτως ολοκληρώσιμο σε μια περίοδο: 1 jω0t x() t dt < a = x () t e dt < 1 x() t =,0 t 1 t < Συνθήκη :Σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικό διάστημα (ισοδύναμα σε κάθε περίοδο) υπάρχει πεπερασμένος αριθμός ελάχιστων και μέγιστων π x() t = sin( ),0< t 1 t

7 Σύγκλιση: Οι συνθήκες Dirichlet Συνθήκη Σ 3: Σε κάθε περίοδο, υπάρχει πεπερασμένος αριθμός ασυνεχειών και επίσης αυτές οι ασυνέχειες είναι πεπερασμένου πλάτους Σχεδόν όλα τα σήματα που συναντούμε στην πράξη ικανοποιούν αυτές τις συνθήκες. Άρα στο όριο: Για συνεχή σήματα οι σειρές Fourier = x(t) Για ασυνεχή σήματα οι σειρές Fourier = μέση τιμή στα σημεία 1 ασυνέχειας, δηλ. αν έχουμε ασυνέχεια στο [ ( + ) ( t x t + x t )] Από την άποψη των ΓΧΑ συστημάτων το σήμα x(t) και η αναπαράστασή του με σειρές Fourier είναι πανομοιότυπα

8 Το φαινόμενο Gibbs Κυμάτωση (ripples) κοντά στο σημείο ασυνέχειας Υπέρβαση (overshoot) με σταθερό πλάτος (1.09) στοθετικόόριο όριο της ασυνέχειας, αντίστοιχο undershoot στο αρνητικό όριο Όταν Ν άπειρο, η ενέργεια των κυματώσεων 0

9 Ιδιότητες Σειρών Fourier FS.. Συμβολισμός: xt () a Γραμμικότητα: x(t), y(t) με περίοδο Τ x () t a, y() t b αx() t + β y() t αa + βb Χρονική αντιστροφή (ime reversal): xt () a x ( t ) a j 0t jmω0t m m= a = a a = a ω x( t) = a e = a e = Άρτια σήματα: Περιττά: Χρονική ήμετατόπιση η( (ime Shifting): Μετατόπιση φάσης στο πεδίο της συχνότητας

10 Ιδιότητες Σειρών Fourier Συζυγής συμμετρία (Conjugate Symmetry): xt () a x() t a * * a * = a Πραγματικά σήματα: * Άρτια πραγματικά σήματα: a = a = a πραγματικοί και άρτιοι συντελεστές Περιττά πραγματικά σήματα: φανταστικοί και περιττοί συντελεστές Χρονική κλιμάκωση (time scaling): x(t) περιοδικό με περίοδο Τ x(β) περιοδικό με περίοδο Τ/β j 0 x( βt) = ae βω = t Ίδιοι συντελεστές, θεμελιώδης συχνότητα βω 0 Πολλαπλασιασμός (multiplication) xt () a xt () yt () h = ab l l Διακριτή συνέλιξη yt () b l=

11 Ιδιότητες Σειρών Fourier Θεώρημα Parseval για σήματα συνεχούς χρόνου: 1 xt () dt= a = Μέση ισχύς ενός περιοδικού σήματος σε μια περίοδο = άθροισμα της ισχύος των αρμονικών συνιστωσών του Περιοδική συνέλιξη (Periodic convolution) Συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου Πολλαπλασιασμός στο πεδίο της συχνότητας και αντίστροφα

12 Παράδειγμα H Συνάρτηση δειγματοληψίας (sampling function) / / j ω t j ω t a = x() t e dt = δ () t e dt =, / / yt () = xt ( /) Χρονική μετατόπιση: Τ jω 0 jπ x() t a x( t /) e a = e a = ( 1) a

13 Παράδειγμα Τετραγωνικός παλμός xt () ω 0 ω 10 1,0 < t < 1 = 1,1 < t < =? a 0 =? a = x t e dt = e dt e dt j 0t j t j t () ω [ π π ] j t 1 1 j t 1 j j j e π + e π [ e π 1 e π + e π ] 0 1 = + = + = jπ jπ jπ j 1 1 = j π j j π, = ν + [e ] [ e 1] π jπ = π = 0, = ν

14 Φάσμα συχνοτήτων Παράδειγμα Τετραγωνικός παλμός a /π a j, = ν + 1 = π = 0, = ν = a a a /3π /5π

15 a Εναλλακτικά: 1, 0 Παράδειγμα Τετραγωνικός παλμός = = π 1 sin( i ( 1), = 0 1, 0 1 =, = x( t) a = π sin( π / ), 0 ππ 1 zt () = xt ( ) 1 1, = 0 1, = 0 j 1 j, = ν + 1 xt b = π e sin( π /) = = ν + zt c = π, 0 π π 0, = ν 0, = νν ( 0) ( ) b j /, 1 ( )