17-Φεβ-2009 ΗΜΥ Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση

Transcript

1 ΗΜΥ Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση 1

2 Μαθηματικές ιδιότητες Αντιμεταθετική: a [ * b[ = b[ * a[ παρόλο που μαθηματικά ισχύει, δεν έχει φυσικό νόημα. Προσεταιριστική: ( a [ * b[ )* c[ = a[ *( b[ * c[ ) περιγράφει τη συμπεριφορά συστημάτων σε διαδοχική σύνδεση η κρουστική απόκρουση του απλοποιημένου συστήματος ισούται με τη συνέλιξη των κρουστικών αποκρίσεων των αρχικών συστημάτων σε διαδοχική σύνδεση. Επιμεριστική: a [ * b[ + a[ * c[ = a[ *( b[ + c[ ) περιγράφει τη συμπεριφορά συστημάτων σε παράλληλη σύνδεση η κρουστική απόκριση του απλοποιημένου συστήματος είναι ίσημετοάθροισματηςκρουστικήαπόκρισηςτωναρχικών συστημάτων σε παράλληλη σύνδεση. 2

3 Τυχαίο σήμα, y «Μεταφορά» μεταξύ εισόδου εξόδου: δεν είναι καθαρά μαθηματική ιδιότητα. Γραμμική αλλαγή της εισόδου έχει ως αποτέλεσμα την ίδια γραμμική αλλαγή στην έξοδο. Κεντρικό Οριακό Θεώρημα: συνέλιξη ενός σήματος με τον εαυτό του πολλές φορές έχει ως αποτέλεσμα Γκαουσιανό σήμα με πλάτος, W, Conv(y,y) 1 φορά W = W αρχ N συν όπου W αρχ : πλάτος αρχικού παλμού Ν συν : αριθμός συνελίξεων Conv(y,y) 4φορές 3

4 Κοινές κρουστικές αποκρίσεις (1) Συνάρτηση δέλτα: x [ n ] * δ [ n ] = x[ n ] Δηλ. η συνάρτηση δέλτα είναι η «ταυτότητα» για τη συνέλιξη η συνέλιξη οποιουδήποτε σήματος με τη συνάρτηση δέλτα είναι το αρχικό σήμα. Όλα τα σήματα περνούν αναλλοίωτα από το σύστημα. - Σημαντικό, π.χ. αποθήκευση δεδομένων, επικοινωνία, μετρήσεις. (2) Ενίσχυση / ελάττωση πλάτους: k>1 ενίσχυση, k<1 ελάττωση (3) Καθυστέρηση / προώθηση: x [ * kδ [ = kx[ x[ * δ [ n s] = x[ n s] Καθυστέρηση: s>0, μετακίνηση προς τα δεξιά, Προώθηση: s<0, μετακίνηση προς τα αριστερά. Π.χ. ραδιοηλεκτρικό σήμα που εκλύεται από διαστημικό όχημα και το σήμα που λαμβάνεται στη Γη, ηλεκτρικά σήματα σε κοντινά νευρωνικά κύτταρα, ηχώ (σημαντική: πρόσθεση σε ηχογράφηση πιο φυσικός ήχος, ραντάρ και σόναρ για εντοπισμό αεροσκαφών και υποβρυχίων, εύρεση πετρελαίου, τηλεφωνικά δίκτυα). 4

5 Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 5

6 Άλλες κρουστικές αποκρίσεις: Πράξεις λογισμού (calculus) (1) «Πρώτη διαφορά» (first difference): διακριτό ισοδύναμο της παραγώγου. - Συνέλιξη σήματος με την πρώτη διαφορά: το κάθε δείγμα ισούται με τη διαφορά μεταξύ συνεχόμενων δειγμάτων, δηλ. κλίση. - Όμως, απλό δε χρειάζεται συνέλιξη: y[ = x[ x[ n 1] (2) Τρεχούμενο άθροισμα: διακριτό ισοδύναμο του ολοκληρώματος αντίστροφο της πρώτης διαφοράς. Κάθε δείγμα της εξόδου ισούται με το άθροισμα όλων των δειγμάτων της εισόδου που βρίσκονται στα αριστερά του τρέχοντος δείγματος. Όμως: δεν υπάρχουν όρια - το άθροισμα επεκτείνεται στο άπειρο! - Δε χρειάζεται συνέλιξη: y[ = x[ + y[ n 1] 6

7 Figures από Scientist s and engineer s guide to DSP. 7

8 Άλλες κρουστικές αποκρίσεις: Φίλτρα (1) Χαμηλοπερατό Φίλτρο (ΧΦ): γενική μορφή αποτελείται από συνεχόμενα θετικά δείγματα, δηλ. κάθε δείγμα της εξόδου είναι σταθμισμένο άθροισμα πολλών συνεχόμενων δειγμάτων της εισόδου. Αυτό ισοδυναμεί με εξομάλυνση του σήματος αφαίρεση υψηλών συχνοτήτων. Μείωση θορύβου, διαχωρισμός σημάτων κλπ. Πιο στενό / πλατύ φίλτρο αλλαγή της συχνότητας κοπής. Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 8

9 x[ = 3sin[2π 2cos[6π 1, 11 n 17 f [ = y = conv( x, f ) 0, αλλού Φασματο- Φασματο- γράφημα x γράφημα y 9

10 (2) Υψηλοπερατό Φίλτρο (ΥΦ): κοινή στρατηγική δημιουργία ενός χαμηλοπερατού φίλτρου & μετατροπή του σε ο,τιδήποτε άλλο φίλτρο χρειαζόμαστε! Από το θεώρημα της επαλληλίας: φίλτρο με παλμό δέλτα πλην ΧΦ ΥΦ. Γιατί; Ο παλμός δέλτα αφήνει όλες τις συχνότητες να περάσουν, άρα σε συνδυασμό με το χαμηλοπερατό φίλτρο μόνο ψηλές συχνότητες περνούν! Οπαλμόςδέλτασυνήθως προστίθεται στο κέντρο συμμετρίας του χαμηλοπερατού φίλτρου ή στο δείγμα για n=0 για μησυμμετρικά ΧΦ. Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 10

11 x[ = 3sin[2π 2cos[6π 0.2, f [ = 1, 0, 11 n 13& 15 n 17 n = 14 αλλού y = conv( x, f ) Φασματογράφημα x Φασματογράφημα y 11

12 Άλλα Μηδενική φάση: συμμετρία στον άξονα y στο δείγμα n=0 Γραμμική φάση: συμμετρία στον άξονα y γύρω από οποιοδήποτε δείγμα εκτός του μηδέν Μη-γραμμική φάση: δεν έχει συμμετρία στον άξονα y Οι όροι αυτοί έχουν ρίζες στη συχνότητα όταν το φάσμα ενός σήματος είναι: Συμμετρικό γύρω από το μηδέν φάση = 0 Συμμετρικό γύρω από οποιοδήποτε άλλο δείγμα γραμμική φάση Μη-συμμετρικό μηγραμμική φάση Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 12

13 Συνέλιξη με συναρτήσεις δέλτα είναι πολύ αργή μεγάλος αριθμός προσθέσεων και πολλαπλασιασμών. - Πολλαπλασιασμός-συσσώρευση (Π-Σ, multiplyaccumulate) είναι βασική δομική μονάδα της ΨΕΣ. Ηταχύτητα ψηφιακών επεξεργαστών συχνά προσδιορίζεται ως ο χρόνος που χρειάζεται να εκτελεστεί μία διαδικασία Π-Σ. Τρόποι αντιμετώπισης: - διατήρηση του μεγέθους των σημάτων όσο πιο μικρή γίνεται και χρησιμοποίηση integers αντί floating points. Χρήσιμο για λίγες επαναλήψεις συνέλιξης. - χρησιμοποίηση επεξεργαστή εξειδικευμένου για ψηφιακή επεξεργασία. - συνέλιξη με άλλο αλγόριθμο συνέλιξη μέσω FFT. : αύξηση ταχύτητας, : αλγοριθμική πολυπλοκότητα 13

14 Συσχέτιση (correlation) Δείχνει τη δύναμη και κατεύθυνση της γραμμικής σχέσης μεταξύ δύο τυχαίων μεταβλητών, Χ καιυ C( Χ, Υ) c xy = cov( Χ, Υ) σ σ Χ 1 = n 1 Υ ( x i = Ε μ )( y σ x x [( Χ μ )( Υ μ )] σ y i σ Χ Χ μ ) 2 όπου μ x (μ y ): μέσος όρος Χ (Υ) και σ = ( μ ) 1 1 y σ N N i= 1 Υ x i Υ x 2 Συμμετρική, [-1,1] Αν Χ και Υ στατιστικά ανεξάρτητες CC(X,Y)=0. Όμως το αντίθετο δεν ισχύει πάντοτε! C(X,X)=1 14

15 Τι γίνεται αν Χ και Υ είναι εντελώς ίδια αλλά μετατοπισμένα στο χρόνο; συσχέτιση για τα σήματα μεταφερόμενα στο χρόνο κατά Ν δείγματα, ( X ( n Y ( n N )) CC XY = C ), + Αυτοσυσχέτιση: συσχέτιση μίας μεταβλητής με τον εαυτό της μεταφερόμενο στο χρόνο. CC=

16 π.χ. Χ=(0.5,0.2,1.8,3.2), Υ=(2.1,1.2,6,10.2) 2 [( ) ( ) ] = σ X = σ X [( ) ( ) ] = σ Y = σ Y 4 1 ( )( ) ( )( ) CC( X, Y ) = = 1 (4 1)1.372 * Για χρονική μετατόπιση n=1: Χ=[ ], Υ=[ ] CC(X,Y)=0.739 (προσοχή! Υπολογίζουμε το νέο μέσο όρο και διασπορά των μετατοπισμένων σημάτων) 16

17 Συσχέτιση και συνέλιξη Έχοντας ένα σήμα γνωστού σχήματος, ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος να δούμε πού (ή αν) αυτό το σήμα παρουσιάζεται σε ένα άλλο σήμα; Συσχέτιση, ΣΧ ΣΧ( a, b) = a[ * b[ «Μηχανή Συσχέτισης (ΜΣΧ)»: ίδια λειτουργία όπως ΜΣ, αλλά το γνωστό σήμα δεν είναι αντικατοπτρισμένο στον άξονα y. Αποτέλεσμα από ΜΣΧ: συσχέτιση (ή αυτοσυσχέτιση). Πλάτος σε κάθε δείγμα : ενδεικτικό της ομοιότητας μεταξύ του σήματος που εξετάζουμε και του γνωστού σήματος στο παρόν δείγμα. Η συσχέτιση θα έχει κορυφή στο δείγμα όπου βρίσκεται το γνωστό σήμα στο σήμα που εξετάζουμε. Δηλ. ητιμήτηςμεγιστοποιείται όταν το γνωστό σήμα είναι ευθυγραμμισμένο με τα ίδια χαρακτηριστικά στο σήμα που εξετάζουμε. Προσαρμοσμένο φίλτρο (matched filter) ΠΡΟΣΟΧΗ! Συσχέτιση και συνέλιξη είναι εντελώς διαφορετικά! 17

18 Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 18

19 Επόμενη διάλεξη: 8. Μετασχηματισμός Fourier 19