ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΚΤΙΑ ΖΩΝΗ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΠΜΣ «ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ» ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΚΤΙΑ ΖΩΝΗ Σύνοψη Θεωρητικού Υποβάθρου (Μέρος B) Πρόχειρες Σημειώσεις Σελ. Κεφάλαιο 1. Ανεμογενής κυκλοφορία 2 Κεφάλαιο 2. Ρεύματα λόγω μακρών κυματισμών 7 Κεφάλαιο 3. Κυματογενής κυκλοφορία 10 Κεφάλαιο 4. Διασπορά ρύπων 20 Κεφάλαιο 5. Στερεομεταφορά, εξέλιξη ακτογραμμής 27 Σελίδα 1

2 Κεφάλαιο 1 Ανεμογενής κυκλοφορία * Background: wind set-up, επανάληψη θεωρίας Μόνιμες συνθήκες. Υπόθεση: σχεδόν οριζόντιες ταχύτητες υδροστατική κατανομή πιέσεων (δηλ. αβαθή ύδατα). Τυρβώδης ροή, προσέγγιση:, : μέσες ταχύτητες Συντελεστής τυρβώδους συνεκτικότητας (coefficient of eddy viscosity):, συνήθως =σταθ. ή εξαρτάται από χωρικές συντεταγμένες (Prandtl mixing length theory). Εξίσωση Συνέχειας Ολοκλήρωση κατά βάθος (~οριζόντιες ροές): U, V μέσες καθ ύψος τιμές, ζ ανύψωση ελεύθερης επιφάνειας Εξίσωση Ποσότητας Κίνησης [γιατί;] (1) Σελίδα 2

3 Ολοκλήρωση κατά z: [Πώς;] (2) Ομοίως: όροι που διατηρούνται για αριθμητική ευστάθεια παρ ό,τι μικροί ( ). Γενικές σχέσεις που μπορούν να περιλάβουν μέσω των, : Coriolis, τάσεις ακτινοβολίας,.. Επί Coriolis είναι,, γωνιακή ταχύτητα της Γης, γεωγραφικό πλάτος. [Πώς προκύπτουν οι τελευταίοι όροι των ολοκληρωμένων εξισώσεων ποσότητας κίνησης;] Οριακές συνθήκες Στερεά όρια: Κάθετη ταχύτητα=0 Εφαπτομενική 0 (=0) ρευστά ιδεατά πραγματικά Σελίδα 3

4 Ανοιχτά όρια: Ελεύθερη ακτινοβολία σήματος (3) όπου : μήκος ορίου. Ελεύθερη επιφάνεια: (4) όπου : ένταση ανέμου στα 10m πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας. Πυθμένας: (ομοιόμορφη τυρβώδης ροή) (5) (6) ή όπου : συντελεστής Manning όπου : συντελεστής Chézy [πώς; μονάδες!] Σελίδα 4

5 Εάν αμελείται η Coriolis (έκταση μέχρι μερικών χιλιομέτρων) τότε, στις εξισώσεις 0. * Σε πεδία όπου τα στερεά όρια εξαναγκάζουν σε σοβαρή αλλαγή του προφίλ της ταχύτητας, τότε η συνάρτηση των με τη μέση ταχύτητα δημιουργεί πρόβλημα, πχ. πίσω από barrier islands: Έδώ άνεμοι E W δημιουργούν πεδίο που πιθανότατα διαμορφώνει κατανομή ταχύτητας λόγω «περιορισμών» στην εγκάρσια διεύθυνση αντί για εδώ δίνεται δυνατότητα διαφυγής της ροής εγκάρσια για ικανοποίηση της αρχής διατήρησης της μάζας. Οπότε εφόσον, το λόγω των (5), (6), αντίθετο με την πραγματικότητα. Η επίπτωση μπορεί να είναι μικρή στο πεδίο ταχυτήτων αλλά μεγάλη στις υπερυψώσεις! Οι τελευταίες υποεκτιμώνται με το ως Σελίδα 5

6 άνω μοντέλο, που δίνει δυνατότητα εγκάρσιας διαφυγής. COASTAL FLOODING! Θεραπεία: υποθέτουμε εξ αρχής κατανομή κατά βάθος της ταχύτητας, π.χ., οπότε τροποποιούνται κατάλληλα οι εξισώσεις ποσότητας κινήσεως. Εξίσωση συνέχειας: ως έχει. [Πώς γίνονται οι εξισώσεις ποσότητας κίνησης; Θεωρήστε, στην επιφάνεια. Επίσης παραβολική κατανομή της ταχύτητας. Οι αλλαγές προκύπτουν από την καθ ύψος ολοκλήρωση της προεπιλεγείσας κατανομής ταχύτητας.] ΕΦΑΡΜΟΓΗ με κώδικα πεπερασμένων διαφορών. Σελίδα 6

7 Κεφάλαιο 2 Ρεύματα λόγω μακρών κυματισμών Προσοχή στην ονοματολογία wave induced currents : Tidal currents Currents due to radiation stresses Drift due to second order effects.. συνήθως λαμβάνονται μέσω εμπειροαναλυτικών σχέσεων Εδώ δεν υπάρχει steady state με την κλασσική έννοια. Συνήθως θέτουμε άνω όριο στη μεταβολή της κινητικής ενέργειας της ροής. Ανοιχτό όριο με εφαρμογή ανύψωσης (λόγω παλίρροιας π.χ.) Χρειάζεται να ισχύουν οι προϋποθέσεις μακρών κυμάτων: μήκος κύματος, (για irrotational flow), οι οποίες σε παλίρροια ικανοποιούνται. Ουσιαστικά, το συνολικό βάθος καλύπτεται από το οριακό στρώμα πυθμένα! [Zoom out ΜΟΝΟ το κύμα και φαντασθείτε βραχείς κυματισμούς & το οριακό τους στρώμα. Κρατήστε αυτή την εικόνα για ένα από τους κυματογενείς μηχανισμούς ρεύματος.] Εξίσωση Συνέχειας όπως πριν: (7) Σελίδα 7

8 Εξίσωση Ποσότητας Κίνησης: (8), εάν πρόκειται για Coriolis effect ομοίως (διαφορά από ανεμογενή: απουσιάζει όρος ) Radiation condition στο ανοικτό όριο όπου εισέρχεται η υπερύψωση,, εξ ανακλάσεως Τότε η εξίσωση συνέχειας γίνεται: [γιατί;] Λάβετε υπόψη ότι και το ανακλώμενο κύμα είναι μακρύ Αντίστοιχη της (3), αλλά εκφρασμένη ως προς το. ΕΦΑΡΜΟΓΗ σε κώδικα πεπερασμένων διαφορών. Χωρίς επίδραση ανέμου, δίδεται διακύμανση στάθμης στο όριο. Ρητό σχήμα, έκκεντρος υπολογιστικός κάνναβος. Ταχύτητες στα όρια των διαφορικών όγκων, λοιπά μεγέθη στο κέντρο. Χρονικός όρος με εμπρόσθιες διαφορές, λοιποί όροι με κεντρικές διαφορές. BACKGROUND Τα μακρά κύματα ΔΕΝ είναι πάντα γραμμικά. Σελίδα 8

9 (α) Γραμμικά (β) Μη γραμμικά, για την πιο απλούστερη μη γραμμικότητα, (β1),, ή, (στην πράξη ) (β2), (β3) Boussinesq equations Μορφή κύματος: Cnoidal Για ειδικές οριακές συνθήκες: solitary wave Σελίδα 9

10 Κεφάλαιο 3 Κυματογενής κυκλοφορία Στις γενικές σχέσεις τα, αντικαθίστανται από την επίδραση των τάσεων ακτινοβολίας: Εξίσωση συνέχειας (9) Εξίσωση ποσότητας κίνησης (10) Στις πιο πάνω σχέσεις δεν έχει ληφθεί η επίδραση ανέμου, ούτε η ανύψωση της στάθμης λόγω μακρών κυματισμών. Αυτό μπορεί να γίνει για όλους τους επιθυμητούς συνδυασμούς τών μέχρι τώρα 3 ανεξάρτητων επιδράσεων. Η εν λόγω κυκλοφορία προκαλείται από short waves και το στις σχέσεις αφορά την υπερύψωση της μέσης στάθμης των κυματισμών (wave set-up) ως προς το still water level. Οι τάσεις ακτινοβολίας προκύπτουν από τη μεταβολή της ορμής των κυματισμών που ξεκινά από το όριο των βαθειών νερών και συνεχίζεται προς την ακτή. Η τάση ακτινοβολίας είναι η στο βάθος ολοκληρωμένη και μέση ως προς την κυματική περίοδο ορμή (τανυστής): Σελίδα 10

11 (11) όπου, Άρα μεταβολή των τάσεων έχουμε όταν αλλάζουν τα χαρακτηριστικά των κυμάτων. Στους άξονες μ-ν είναι. Σε γενικές περιπτώσεις (ύπαρξη διάθλασης, περίθλασης, κλπ.) μπορούν να χρησιμοποιούνται οι σχέσεις του Copeland. Το μέχρι τη γραμμή θραύσεως είναι αρνητικό, κατόπιν αυξάνει. [Γιατί;]- διότι υπάρχει μικρή αύξηση των τάσεων μέχρι τη γραμμή θραύσης και μετά μεγάλη μείωση [διερεύνηση]. Η Coriolis επίσης μπορεί να προστεθεί, αλλά συνήθως το πεδίο μελέτης είναι μικρότερο από αυτό που θα δικαιολογούσε Coriolis. [Γιατί; Σκεφτείτε και τη μορφολογία της ακτής] Τι είναι τα, ; Όπως πριν ολοκληρωμένες στο βάθος ποσότητες. Εδώ όμως (surf zone) η μεταβολή της ορμής με το βάθος είναι σημαντική, σε αντίθεση με κυκλοφορία πχ. λόγω παλίρροιας. Γι αυτό 3-D models έχουν αναπτυχθεί κατά την τελευταία 5ετία. Εκτός από αυτές τις (μέσες) ταχύτητες συνυπάρχουν και οι τροχιακές ταχύτητες (κύματος) και οι τυρβώδεις. Συνήθως οι τάσεις υπολογίζονται ξεχωριστά σε υπορουτίνα. Ύψος κύματος εντός ζώνης θραύσης μέσω κάποιας προσέγγισης, πχ.,, ή. Όμως check for plunging breakers, i.e., Σελίδα 11

12 , spilling breakers είναι ο.κ.,. Οι πρώτοι χάνουν τη μορφή τους και το εξαρτάται από αναγέννηση κυματισμών & διαθέσιμο πλάτος ζώνης θραύσης. Παράδειγμα (Ch. Koutitas) με αποτελέσματα, ώστε να πεισθούμε ότι ο εν λόγω μηχανισμός δημιουργίας πρωτογενών κυματογενών ρευμάτων είναι ο πιο σημαντικός ως προς τη διάβρωση/απόθεση στις ακτές. Τύρβη λόγω ανάμειξης σε κλίμακα μικρότερη του κανάβου. Η επιρροή της μπορεί να είναι σημαντική, Smagorinsky model 63. Σελίδα 12

13 /// αποθέσεις \\\ διαβρώσεις [Σε τι βοηθάει το wave-induced current field] Σελίδα 13

14 Τραχύτητα πυθμένα Συνήθως υπάρχουν αμμοκυμάτια που επηρεάζουν το σχηματισμό του οριακού στρώματος και την ένταση της τύρβης εκεί. Το ύψος τους εκτιμάται από: όπου (, με significant wave height) 240 > > 10 (ημι-εύρος στον πυθμένα, 1 ης τάξης θεωρία), μέση διάμετρος κόκκων άμμου. Μήκος κύματος αμμοκυματίων (απόσταση): όπου παράμετρος Shields για επίπεδο πυθμένα με τραχύτητα : Για, ή τα αμμοκυμάτια εξαφανίζονται. Τραχύτητα: με Σελίδα 14

15 Διατμητικές τάσεις στον πυθμένα Με ποια ταχύτητα τις υπολογίζουμε; Με τη συνδυασμένη ταχύτητα: όπου, αυτές που ψάχνουμε, δηλ. μέσες ως προς το βάθος ταχύτητες του κυματογενούς ρεύματος, και, οι τροχιακές ταχύτητες λόγω κύματος (στον πυθμένα). Ο «συνολικός» συντελεστής τριβής (λόγω ρεύματος & κύματος): με Προσοχή! Εδώ συνολικές ταχύτητες ρεύματος και κύματος, όχι κατά x-y. Συνήθως η έκφραση του εφαρμόζεται κατά x & y. όπου ρεύμα, από σχέση (15) για αμμοκυμάτια μέση ως προς περίοδο μέση τιμή ως προς περίοδο Σελίδα 15

16 Συντελεστής τυρβώδους συνεκτικότητας (Eddy viscosity coefficient) vs. Συντελεστής τυρβώδους διάχυσης (Eddy diffusion coefficient) vs. Molecular diffusion coefficient vs.... [Ξεκαθάρισμα συντελεστών με ονοματολογία και αγγλική ορολογία και μονάδες!] Στις σχέσεις μας εμπεριέχεται μόνο το. [γιατί;] Επανάληψη βασικών σχέσεων υδροδυναμικής. Στη ζώνη θραύσης υπάρχει μεγάλη ένταση τύρβης (και άρα διάχυσης/δευτερογενούς διασποράς) και έτσι η πρέπει να αυξηθεί για να περιλάβει αυτές τις «εξωτερικές» επιδράσεις. Συνήθως λαμβάνουμε: όπου η απώλεια ενέργειας λόγω θραύσης των κυματισμών. Για τυχαίους κυματισμούς: με, περίοδος κορυφής φάσματος μέγιστο ύψος κύματος, σε τυχαίους κυματισμούς μπορεί να Σελίδα 16

17 Rayleigh: ληφθεί,, : βάθος ποσοστό θραυόμενων κυμάτων, με παραδοχή κατανομής όπου το μέσο τετραγωνικό ύψος κύματος. Όσο αυτό πλησιάζει το τόσο αυξάνει το. Εναλλακτικά η απώλεια μπορεί να υπολογισθεί από: όπου και. * Οριακές συνθήκες: όρια γένεσης (εισόδου) κυμάτων όρια απορροφητικά (sponge layers): συνθήκη ακτινοβολίας Sommerfeld. Η αριθμητική τους διατύπωση εξαρτάται από το εκάστοτε εφαρμοζόμενο σχήμα. Δευτερογενή ρεύματα Λόγω διατήρησης μάζας αναπτύσσεται undertow: Σελίδα 17

18 Θα πρέπει στη συνολική ταχύτητα να περιλαμβάνεται η εν λόγω δευτερογενής. Στον πυθμένα, 1D: όπου η υπολογίζεται από επίλυση των γενικών εξισώσεων (9), (10). για κάθετη πρόσπτωση όπου ταχύτητα φάσης : group velocity at breaker line στη θραύση μεταξύ δύο σημείων Στην προγηγούμενη σχέση του Leonteyev (1999) έχουν περιληφθεί και οι μηχανισμοί: Undertow: επιστροφή ρεύματος κοντά σε στερεό όριο λόγω διατήρησης μάζας Ροής στο οριακό στρώμα πυθμένα: δες παρατήρηση σε μακρείς κυματισμούς, σελ. 7, με μέγιστη τιμή, πυθμενική τροχιακή ταχύτητα. Σελίδα 18

19 Από σχέση (24), προκύπτει ότι η φορά της είναι προς την ακτή για περιοχές εκτός ζώνης θραύσης ενώ το αντίθετο εντός αυτής. [Δικαιολογήστε!] Τα πιο πάνω αφορούν την περιοχή κοντά στον πυθμένα, άρα χρησιμοποιούνται για ορισμό των της σχέσης (16), ουσιαστικά, ( 0 για πλάγια πρόσπτωση κυματισμών). Σε όλο το ύψος της στήλης νερού υπάρχει και η ταχύτητα λόγω ασυμμετρίας κύματος (2 nd order drift) η οποία συμμετέχει στο undertow και λαμβάνεται υπόψη από μοντέλα ανώτερης τάξης. Ιδιαίτερα πολύπλοκη εικόνα, αρκούμεθα στην πιο πάνω προσέγγιση για τις ταχύτητες κοντά στον πυθμένα. Σελίδα 19

20 Κεφάλαιο 4 Διασπορά ρύπων Επανάληψη βασικών αρχών (Προσοχή στην ονοματολογία) διασπορά = μεταγωγή (Μ) + διάχυση (Δ) HD field μοριακή(στρωτή ροή)+ τυρβώδης(τυρβώδης ροή) Τυρβώδης ροή: Συντελεστής τυρβώδους διάχυσης (Eddy diffusion coefficient) (m 2 /sec) αντίστοιχος του συντελεστή τυρβώδους συνεκτικότητας σε μεταφορά ορμής χωρίς ρύπο. Ο καθ ύψος μέσος λέγεται και συντελεστής διασποράς. Προσέγγιση Boussinesq: 2διάστατο πεδίο (far field) είτε καθ όλο το βάθος είτε σε στρώση σταθερού πάχους. Σχετική ένταση(μ)/(δ) Péclet no. (27) ( από HD π.χ. πλευρά κελιού κανάβου Για (Μ) κυριαρχεί Ρύποι: συντηρητικοί & μη (Προσοχή σε ενδεχόμενη καθίζηση π.χ. κροκίδωση αργιλικών, κλπ.) Σελίδα 20

21 Ζητούμενο: η συγκέντρωση σε 2D πεδίο, μονάδες ppm, mg/l, Η αρχή διατήρησης της μάζας (του ρυπαντή) οδηγεί (σε 2D-HD) στη σχέση: υδροδυναμικό πεδίο και με καθ ύψος ολοκλήρωση και χρήση μέσων τιμών: όπου έχει υποτεθεί σταθ. ως προς και, με μέση καθ ύψος συγκέντρωση, ενώ είναι συντελεστής «κατανάλωσης» σε μη συντηρητικούς ρύπους και συντελεστής διασποράς ή η μέση καθ ύψος τιμή του. Προσοχή! Με την σχέση (28) μπορούμε να εξετάσουμε και ανομοιόμορφο πεδίο ως προς την καθ ύψος συγκέντρωση (εφ όσον έχουμε διατηρήσει τον ), ενώ με τη δεύτερη μόνο ομοιόμορφο (far field). Κοντινό-μακρινό πεδίο καθορίζονται από τα χαρακτηριστικά έγχυσης του ρύπου, όχι από το γενικό HD πεδίο (ambient). Για την πλήρη 3D κατάσταση (near field) η σχέση (28) περιέχει στο αριστερό σκέλος όρο. [Πώς εξαφανίζεται ο όρος κατά την ολοκλήρωση; Σκεφθείτε Β.C s.] Σελίδα 21

22 Οριακές συνθήκες Στερεά όρια: (ή μη διαπερατά από τη ροή, π.χ. ελεύθερη επιφάνεια) Ανοιχτά όρια: Εξέρχεται ρύπος αλλά δεν ξαναγυρίζει ( =σταθ.) [φυσική έννοια;] (Εγκάρσια στο όριο η συγκέντρωση φθίνει προς τα έξω- με τρόπο που δεν επηρεάζεται από το χρόνο σε μη μόνιμες συνθήκες, άρα δεν δημιουργείται δυναμικό για να ξαναφέρει ρύπο στο υπολογιστικό πεδίο μας) Source/sink: ανάλογα με την περίπτωση που εξετάζουμε. Αριθμητική επίλυση Η 2DH (H: horizontal) σχέση μπορεί να θεωρηθεί ως «άθροιση» 2 παραγόντων: Υδροδυναμικού πεδίου (HD): υπερβολική pde Διάχυσης: παραβολική pde Η δεύτερη δεν παρουσιάζει προβλήματα είτε σε ρητό ή πεπλεγμένο σχήμα. Ξαναθυμηθούμε explicit/implicit σχήμα: Explicit: κριτήριο Courant για ευστάθεια λύσης (HD) Diffusion part Σελίδα 22

23 Χάνουμε σε υπολογιστικό φόρτο. Implicit: όχι προβλήματα ευστάθειας (αριθμητικής) αλλά λιγότερη πληροφορία -εξαρτάται από επιλογή. Υπάρχουν επίσης και τα μικτά αριθμητικά σχήματα. Παραβολικό τμήμα: με κεντρικές διαφορές ΟΚ (ρητό ή πεπλεγμένο σχήμα) Υπερβολικό τμήμα: πρόβλημα για Δεν επαρκεί η επίδραση των diffusion terms να εξομαλύνει τη λύση. Ποικίλα σχήματα (εμπρόσθιες διαφορές, Lax., Leap frog, Fromm, etc.) [Ξαναδείτε τα] Για συνδυασμό των 2 τμημάτων, που μας ενδιαφέρει, λιγότερα προβλήματα - π.χ. απλό ρητό σχήμα με εμπρόσθιες διαφορές στον, κεντρικές διαφορές στα - αλλά υπάρχουν προβλήματα, όπως είπαμε, για μεγάλα. Πεπλεγμένα σχήματα large CP time Για μείωση φόρτου ADI method: από χρόνο σε με ρητό σχήμα στον άξονα και πεπλεγμένο στον, μετά από σε με πεπλεγμένο στον και ρητό στον, κ.ο.κ. Άλλες τεχνικές F.E., Nested grids, tracer techniques (Lagrangian frame) δες συνέχεια. Σελίδα 23

24 Tracer (ιχνηθέτης) technique Διατύπωση σχέσεων κατά Lagrange. Αξίζει η εφαρμογή του σε ισχυρά HD πεδία, όπως είπαμε. Κεντρικό ζήτημα: πώς θα εκφρασθεί η μέσω της κίνησης των μορίων (αντίστοιχο με την προσέγγιση κατά Boussinesq σε συντεταγμένες Euler). Diffusion only Η αρχική συγκέντρωση σε σημείο x 0 (δ-function) μετατρέπεται σε Gaussian η οποία με το χρόνο χαμηλώνει (πλακουτσαίνει), όπως μας λέει και η διαίσθησή μας. Το πόσο γρήγορα γίνεται αυτή η εξέλιξη της κανονικής κατανομής στο χρόνο εξαρτάται λογικά- από την κινητικότητα των μορίων του ρύπου, άρα από το, και εκφράζεται μέσω της διασποράς (variance) της κατανομής προσοχή στην ορολογία, άλλη διασπορά αυτή. Σχηματικά σε ένα δεδομένο σημείο: Ισχύει:, σε μονοδιάστατο πρόβλημα. Η μεταβολή της συγκέντρωσης προϋποθέτει κίνηση των μορίων του ρύπου έχουμε υποθέσει HD 0. Η κίνηση αυτή έχει στοχαστικό χαρακτήρα (Brown). Στον άξονα, εάν επιτρέψουμε στο χρόνο την τυχαία κίνηση μορίων (υλικών σημείων), που να ξεκινάνε όλα από την ίδια αφετηρία -πολλά όμως «σημεία»- μετά από χρόνο η θέση τους πάνω στον άξονα θα εκφράζεται με κανονική κατανομή (random excursions theory & κεντρικό οριακό θεώρημα) με variance: Σελίδα 24

25 διακριτοποίηση Άρα η «ταχύτητα» μπορεί να εκφρασθεί: και εάν επιτρέψουμε την τυχαιότητα στο, στο ομοιόμορφο πιθανοτικά διάστημα, τότε ευρίσκεται ότι οπότε: Άρα στην εφαρμογή μπορεί να έχουμε τα εξής βήματα: 1. Επίλυση του HD field (άνεμος, παλίρροια,...) 2. Επιλογή 3. σύμφωνα με τιμή 4. Πολλά σημεία (εκατοντάδες) ολοκλήρωση κίνησης, Lagrangian, νέες συντεταγμένες, κ.ο.κ. 5. Προσθέτουμε ντετερμινιστική συνιστώσα (HD field) με στοχαστική (diffusion) για κάθε : HD Brownian Οι τιμές μπορούν να ληφθούν από Monte Carlo simulation: Παραγωγή τυχαίων αριθμών (ομοιόμορφης πιθανότητας), εισαγωγή στη γνωστή κατανομή ταχυτήτων (normal). [Refresh your background στις πιθανότητες!] Σελίδα 25

26 6. Λαμβάνουμε υπόψη source/sink, στη βασική σχέση. Προσοχή! Στιγμιαία συνεχής εισαγωγή ρύπου. [Πότε μπορούμε να έχουμε μόνιμες (στο χρόνο) συνθήκες; Δείτε το.] Σελίδα 26

27 Κεφάλαιο 5 Στερεομεταφορά, εξέλιξη ακτογραμμής 5.1 Γενική περίπτωση Φορτίο πυθμένα, + σε αιώρηση, (m 3 /m sec) λόγω διακυμάνσεων της κατακόρυφης ταχύτητας εκ της τύρβης, που συναρτάται με την διατμητική τάση πυθμένα η οποία την προκαλεί. Για ήπια κλίση πυθμένα: ενσωματώνει τυρβώδη διάχυση δεν ενσωματώνει τυρβώδη διάχυση source/sink : στάθμη πυθμένα (αμελητέα) : λόγος όγκου εν αιωρήσει φερτών/ολικό όγκο Η (31) είναι ουσιαστικά εξίσωση διατήρησης μάζας. παροχή σε βάρος (αντί σε όγκο) πορώδες ειδικό βάρος π.χ t * /m 3 Σελίδα 27

28 Φορτίο πυθμένα Κίνηση σε ζώνη (2 3) από πυθμένα Κρίσιμη τάση για έναρξη κίνησης, από διάγραμμα Shields. για όπου : διαφορά ειδικού βάρους : συντελεστής κινηματικής συνεκτικότητας με, ρεύμα, συντελεστής Chézy, κύμα, συντελεστής τριβής πυθμένα για κύματα Κύμα ασύμμετρο μεγαλύτερη διάρκεια η κοιλία αλλά μικρότερη ταχύτητα [γιατί;] ολοκλήρωμα Ω κοιλ. < Ω κορ. άρα γενικά προς κατεύθυνση κυματισμού (Ω κορ. ) έχουμε net transport of sediment. DuBoys:, παράμετρος Σελίδα 28

29 Kalinske Frijlink: transport stirring : σχετική διαφορά πυκνότητας, ύψος κυματιδίων, χωρίς κυματίδια ύ ύ έ (32Α), Chézy σε Peter Meyer (& Müller, τροποποιημένη): skin, όχι drag friction Σελίδα 29

30 μέση τιμή ως προς : διαθέσιμο για μεταφορά (τμήμα της ) Προσέγγιση διαγράμματος Shields, van Rijn (1984): Για συνύρπαξη κύματος με (ανεξάρτητο) ρεύμα δες εργασίες Da Silva et al. (2006), Kobayashi et al. (2007), κλπ. Σελίδα 30

31 Φορτίο σε αιώρηση Εξαρτάται από λόγο, όπου : fall velocity, ( συντελεστής τυρβώδους διάχυσης φερτών, συντελεστής τυρβώδους συνεκτικότητας κατά την κατακόρυφο) με 1< <2 συνήθως, και σταθερά von Karmán. Ξανά: advection + diffusion molecular (laminar flow) «eddy (turbulent) : pollutants : sediments :momentum μόνο HD: eddy viscosity coefficient Το εξαρτάται από, κινηματική συνεκτικότητα,,. (π.χ. εφόσον ) Όπως και στους ρύπους έχουμε σχέση: Σελίδα 31

32 όπου : συγκέντρωση. Οι όροι ασήμαντοι ως προς (όπως και στις υδροδυναμικές ροές vs ) αλλά μπορεί να κρατηθούν για αριθμητική ευστάθεια. : ζώνη φορτίου πυθμένα απλοποιημένες σχέσεις. Για γενικές δες παρακάτω. Bijker: οριακή τιμή όπου μέση ταχύτητα φορτίου πυθμένα. Οριακές συνθήκες Ελεύθερη επιφάνεια: [τι σημαίνει;] Γενικά έχουμε:, Θεωρούμε ρεύματος, οπότε: μέσες ως προς περίοδο ταχύτητες άρα ταχύτητες, Συνήθως, όπου ο συντελεστής τυρβώδους διάχυσης φερτών κατά την κατακόρυφο, : ταχύτητα πτώσεως, από σχέση Bijker (36) ή από: Σελίδα 32

33 O μπορεί να εκτιμηθεί από τα χαρακτηριστικά του θραυόμενου κυματισμού και του ρεύματος: όπου η συνολική διατμητική τάση στον πυθμένα (σελ. 22) η απώλεια ενέργειας λόγω θραύσης των κυματισμών, : περίοδος κορυφής φάσματος : μέγιστο δυνατό ύψος κύματος (σελ. 16) : ποσοστό θραυόμενων κυματισμών, για παραδοχή κατανομής Rayleigh: : μέσο τετραγωνικό ύψος κύματος (σχέση 22) Στη σχέση (38) ο α όρος του δεξιού σκέλους αναφέρεται στην τύρβη πυθμένα ενώ ο β στη θραύση των κυμάτων. Στερεά όρια (παράπλευρα): [τι σημαίνει;] Σελίδα 33

34 Ανοιχτά όρια: [τι σημαίνει;] Closure:, αμελητέο για <0.1. Για κατάσταση ισορροπίας (μόνιμες συνθήκες) και ομοιόμορφη ροή η (34) γίνεται: ~ ~ Ενεργειακή αντιμετώπιση κατά Bagnold & Leonteyev: o δεύτερος απλοποίησε τις γενικές σχέσεις κάτω από παραδοχές γραμμικών κυματισμών και μικρής κλίσης πυθμένα: Συνολική παροχή: (φορτίο πυθμένα πιο ουσιώδες) όπου η γωνία εσωτερικής τριβής ιζήματος ( : «πρωτογενείς» wave-induced mass transport velocities από σχέσεις (10) με τάσεις ακτινοβολίας. Υποτίθεται ότι : «δευτερογενείς» ταχύτητες Leonteyev, σχέση (25). Σελίδα 34

35 ταχύτητας στον πυθμένα, από σχέση (18),, (σχέση (32Α)) εύρος., απώλεια ενέργειας λόγω θραύσης, Μορφολογικές μεταβολές πυθμένα Γενική θεώρηση i Ομοιόμορφη ροή + ισορροπία στα φερτά: απλά μοντέλα για αρχικό στάδιο μελέτης. ii Ομοιόμορφη ροή + εξέλιξη μορφής: επίδραση αλλαγών στο HD πεδίο. iii Μη ομοιόμορφη ροή + εξέλιξη μορφής: σύνθετα μοντέλα. Εξίσωση συνέχειας, όπως εξ. (31): όπου πορώδες (άμμου 0.4) Τα από σχέσεις (40). Για βραχυχρόνιες μεταβολές (μερικών κυματικών επεισοδίων) :. Για μακροχρόνιες μεταβολές: Σελίδα 35

36 5.2 Μεταφορά ιζημάτων κατά μήκος της ακτής, Συνολικά φερτά (πυθμένα & αιώρησης) Wave energy flux κατά μήκος ακτής όπου : refraction coefficient at breaking point Παρόμοιες εκφράσεις, π.χ. κλπ. από CERC. Απλή περίπτωση: ευθειογενής ακτή, επίπεδος πυθμένας, κύματα υπό γωνία (στα ανοιχτά). Τότε: όπου απώλειες λόγω θραύσης, κλπ.: δες σχέσεις (21), (23), (26)., δες και σελ. 11. Κανονικά (+excursion στις σχέσεις με χρόνο). wave setup Σελίδα 36

37 [Είναι σωστοί οι άξονες για τη σχέση (44);] Κυματογενές ρεύμα κατά μήκος της ακτής: Οι σχέσεις (10) (ορμής) για άξονες όπως του παραπάνω σχήματος γίνονται (με υπόθεση μόνιμων συνθηκών και ομοιομορφίας κατά ) : όπου : σχέσεις (11). [Είναι ο.κ.; Γιατί;] : ανύψωση μέσης στάθμης. : σχέση (19). : σχέση (20). Στερεομεταφορά Συνολική στερεοπαροχή στη ζώνη θραύσης: Σελίδα 37

38 [Προσοχή, έχει γίνει παράλληλη μετακίνηση του άξονα y.] από σχέσεις (40) Τα προηγούμενα συνιστούν εναλλακτική πορεία από τη «χονδροειδή» εξίσωση (42) ή (43) ή άλλες παρόμοιες. 5.3 Μορφολογία ακτογραμμής Εκτίμηση μεταβολής της λαμβάνοντας υπόψη τόσο την κατά μήκος όσο και την εγκάρσια στερεομεταφορά. Απλό μοντέλο: ακτή ευθεία, ισοβαθείς παράλληλες ευθείες, κλπ. Σε μονοδιάστατη μορφή, η συνολική στερεοπαροχή γράφεται: [Προσοχή στη διαφορά στο όριο ολοκλήρωσης από προηγούμενη έκφραση (46): είναι πλάτος ζώνης πέραν της οποίας δεν παρατηρείται σημαντική κίνηση φερτών.] Εάν ορίσουμε: τότε one-line model: [Πώς προκύπτει από την (41); Hint! Η πλήρης έκφραση της (49) περιλαμβάνει όρο στην αγκύλη που αμελείται.] Σελίδα 38

39 Επίσης για, όμως διατηρούμε τον (εγκάρσιο) όρο, ιδίως για τις βραχυχρόνιες μεταβολές της ακτής. Η (49) πρέπει να συμπληρωθεί με τη δυναμική σχέση τής, π.χ. (42), ή από πιο ακριβή προσέγγιση μέσω των σχέσεων (40) και ολοκλήρωσης της, σχέση (47). Εάν η μεταβάλλεται κατά μήκος της ακτής, τότε: ενώ: προηγούμενο κελί συνάρτηση του y συνάρτηση των y, t Ουσιαστικά η χρονική εξέλιξη της ακτογραμμής τροποποιεί τη γωνία πρόσπτωσης των κυματισμών και άρα το κυματογενές ρεύμα κατά μήκος της ακτής και την αντίστοιχη στερεομεταφορά. Τελικά; Εάν δεχθούμε (στερεομεταφορά συνολικά στη ζώνη θραύσης) τότε οι (49), (51) επιλύονται αριθμητικά για τις ακόλουθες οριακές συνθήκες: Σελίδα 39

40 Ανάντη και κατάντη uniform και ακτή δεν μεταβάλλεται. Πρόβολοι με μήκος πάνω από : εκεί, αλλιώς στη θέση αυτή. Χρειάζονται επίσης οι αρχικές συνθήκες και. Η διαδοχική πορεία επίλυσης των σχέσεων (51) οδηγεί τελικά σε έκφραση αντίστοιχη των (42), (43), κλπ. με αντικατάσταση της γωνίας από την. [Πότε ; Δείτε χρονική κλίμακα εξέλιξης φαινομένου.] Σε βραχυχρόνιες προβλέψεις (για διάρκεια κάτω του έτους για παράδειγμα) λαμβάνεται υπόψη και ο τελευταίος όρος της (49). Αυτός μπορεί να υπολογισθεί από τη σχέση (52): όπου : παράμετρος Ursell= που δείχνει πόσο μη γραμμικά είναι τα κύματα, όπου : βάθος «κοντά στην ακτογραμμή» με : ταχύτητα καθίζησης [Βρείτε έκφρασή της] (κοντά στην ακτογραμμή) όπου : κλίση πυθμένα ενώ [Κάνετε αριθμητικά παραδείγματα για αίσθηση των μεγεθών,. Αυτά είναι χρονοσειρές αφού και τα είναι.] Σελίδα 40

41 Από την (52) έχουμε ότι για απόθεση. συντελείται διάβρωση, άλλως Στην (52) ο είναι εμπειρικός συντελεστής (Sunamura) με: όπου και : χρόνος, : περίοδος κύματος, : ύψος κύματος στα βαθειά. Έτσι ξαναθυμόμαστε ότι η (52), άρα και η (49), δίνει και χρονική εξέλιξη. Συνήθως χωρίζουμε τα κύματα σε λίγα εύρη και για κάθε κατεύθυνση εκτιμούμε ένα «μέσο» ύψος κύματος σύμφωνα με τη σχέση: όπου : συχνότητες των ζωνών με κεντροβαρικές τιμές, π.χ.. Το το εκτιμούμε εκ των προτέρων. Επαλληλία αποτελεσμάτων μεταβολής ακτογραμμής για όλες τις (κύριες) διευθύνσεις ανέμων. Σελίδα 41

42 SEDTR ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Στερεομεταφορά: σχέσεις (33) & σχέσεις (35) Εναλλακτικά: Ενεργειακή θεώρηση (σχ. 40) Μεταβολή βάθους: (41) ΑΣΚΗΣΗ: Γενική στερεομεταφορά & Μεταβολή βάθους Διαμόρφωση κώδικα σε FORTRAN. Σελίδα 42