ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

Transcript

1 ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 08, 5 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών

2 Περιεχόμενα 1. Νόρμες πινάκων 2. Δείκτης κατάστασης πίνακα 3. Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και Αριθμοί μηχανής 4. Επιρροή του δείκτη κατάστασης στην απαλοιφή 1

3 Νόρμες πινάκων

4 Νόρμες πινάκων Ορισμός. Έστω μια νόρμα στον R n. Μια απεικόνιση : R n n Ax R A = sup 0 x R n x λέγεται φυσική νόρμα πινάκων παραγόμενη από τη νόρμα του R n. Από τον ορισμό προκύπτει η πολύ σημαντική ανισότητα x R n Ax A x Θα προσδιορίσουμε τώρα τις νόρμες πινάκων που παράγονται από τις νόρμες, 1 και 2 του R n. 2

5 Νόρμες πινάκων 1. Θεωρούμε στον R n τη νόρμα. Θα δείξουμε ότι για A R n n έχουμε n A = max a ij 1 i n Πράγματι, για x R n έχουμε, n Ax = max a ij x j 1 i n max 1 i n j=1 j=1 j=1 n n a ij x j max a ij x, 1 i n j=1 συνεπώς A max 1 i n n a ij j=1 3

6 Νόρμες πινάκων Ακόμα, αν ο δείκτης k είναι τέτοιος ώστε n j=1 a kj = max 1 i n n a ij, τότε για το y R n που ορίζεται ως a kj a y j = kj, αν a kj 0, 0, διαφορετικά, j=1 έχουμε προφανώς y = 1 και n Ay = max a ij y j 1 i n n a kj y j = j=1 j=1 n n a kj = max a ij y 1 i n j=1 j=1 4

7 Νόρμες πινάκων 2. Θεωρούμε στον R n τη νόρμα 1. Μπορούμε να δείξουμε ότι για A R n n έχουμε n A 1 = max a ij 1 j n 3. Θεωρούμε τώρα στον R n τη νόρμα 2. Ορίζουμε τη φασματική ακτίνα ρ(a) ενός πίνακα A ως το μέγιστο των απολύτων τιμών των ιδιοτιμών του πίνακα A. Μπορούμε να δείξουμε ότι για A R n n έχουμε A 2 = [ ρ(a T A) ] 1/2 i=1 5

8 Δείκτης κατάστασης πίνακα

9 Κατάσταση γραμμικών συστημάτων Μελετάμε την ευαισθησία της λύσης x του συστήματος Ax = b σε διαταραχές των δεδομένων A R n και b R n. Υποθέτουμε πάντα ότι ο πίνακας A αντιστρέφεται και ότι b Μεταβάλουμε το δεξί μέλος b σε b + b, όπου b R n. Αν x + x είναι η λύση του διαταραγμένου συστήματος A(x + x) = b + b τότε, A x = b ή, ισοδύναμα, x = A 1 b. Αν συμβολίσουμε με μια νόρμα στον R n, καθώς και την παραγόμενη από αυτή φυσική νόρμα πινάκων, έχουμε x A 1 b 6

10 Κατάσταση γραμμικών συστημάτων Από τη σχέση b = Ax έχουμε b A x οπότε x x A A 1 b b Η σχέση αυτή είναι μια εκτίμηση της σχετικής μεταβολής της λύσης του συστήματος την οποία επιφέρει η μεταβολή b του b. Ο αριθμός κ(a) = A A 1 είναι ένας συντελεστής ευαισθησίας που προσδιορίζει τη μέγιστη σχετική μεταβολή της λύσης, δεδομένης μιας διαταραχής b και ονομάζεται δείκτης κατάστασης του πίνακα A ως πτος τη νόρμα. Ο ορισμός του οφείλεται στον Alan Turing. Προσοχή: Ο δείκτης κατάστασης ορίζεται μόνο για αντιστρέψιμους πίνακες. 7

11 Κατάσταση γραμμικών συστημάτων Ο δείκτης κατάστασης κ(a) είναι πάντα μεγαλύτερος ή ίσος της μονάδας γιατί 1 = I = AA 1 A A 1 = κ(a). Η ανισότητα στην παραπάνω σχέση προκύπτει από το γεγονός ότι για πίνακες A, B R n n έχουμε AB = ABx sup 0 x R n x sup A Bx = A B 0 x R n x Λέμε ότι το σύστημα Ax = b έχει κακή κατάσταση αν κ(a) 1. Σε μια τέτοια περίπτωση, μικρή μεταβολή στο δεξί μέλος μπορεί να επιφέρει μεγάλη μεταβολή στη λύση. 8

12 Κατάσταση γραμμικών συστημάτων Ο δείκτης κατάστασης ορίζεται μόνο για αντιστρέψιμους πίνακες. Αν ο πίνακας A τείνει να γίνει μη αντιστρέψιμος, τότε ο δείκτης κατάστασής του τείνει στο με την έννοια ότι 1 κ(a) inf { } A B, B R n n μη αντιστρέψιμος A δηλαδή η ποσότητα 1/κ(A) μετρά την απόσταση του A από το σύνολο των μη αντιστρέψιμων πινάκων. Πράγματι, αν ο B είναι μη αντιστρέψιμος τότε υπάρχει 0 x R n τέτοιο ώστε Bx = 0. Γράφουμε x = A 1 Ax = A 1 (A B)x A 1 (A B) x δηλαδή 1 κ(a) A B A, από την οποία προκύπτει η σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε. 9

13 Κατάσταση γραμμικών συστημάτων Παράδειγμα. Ο δείκτης κατάστασης του πίνακα ( ) ως προς τη νόρμα είναι κ (A) = A A 1 = = εντυπωσιακά μεγάλος, γιατί A 1 = ( )

14 Κατάσταση γραμμικών συστημάτων Λήμμα. Έστω B R n n. Υποθέτουμε ότι υπάρχει θετική σταθερά c τέτοια ώστε x R n Bx c x. Τότε ο B είναι αντιστρέψιμος και B 1 1 c. Απόδειξη. Το γεγονός ότι ο B είναι σντιστρέψιμος προκύπτει αμέσως από την υπόθεσή μας, γιατί αν Bx = 0 προκύπτει x = 0. Τώρα, για y R n έχουμε c B 1 y BB 1 y = y, συνεπώς, B 1 = B 1 y sup 1 0 y R n y c y sup 0 y R n y = 1 c 11

15 Κατάσταση γραμμικών συστημάτων 2. Μεταβάλουμε τώρα τον πίνακα A σε A + A, ενω διατηρούμε το δεξί μέλος σταθερό. Αποδεικνύουμε πρώτα ότι αν A 1 A < 1, τότε ο πίνακας A + A είναι αντιστρέψιμος. Πράγματι, για y R n έχουμε (A + A)y Ay A y y A 1 A y y = 1 ( 1 A 1 A 1 A ) y, οπότε, σύμφωνα με το λήμμα, ο A + A είναι αντιστρέψιμος και ισχύει η εκτίμηση 12

16 Κατάσταση γραμμικών συστημάτων (A + A) 1 A 1 1 A 1 A Αν x + x είναι η λύση του συστήματος (A + A)(x + x) = b, έχουμε x = (A + A) 1 ( A)x, συνεπώς, χρησιμοποιώντας την εκτίμηση του (A + A) 1 που αποδείξαμε παραπάνω έχουμε x x κ(a) A 1 A 1 A A 13

17 Κατάσταση γραμμικών συστημάτων 3. Μεταβάλουμε τώρα τόσο τον πίνακα A όσο και το δεξί μέλος b. Υποθέτωντας ξανά ότι A 1 A < 1 είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι [ x x κ(a) A 1 A 1 A A + b ] b Εφαρμογή. Έστω ότι y 1, y 2, ϵ 1, ϵ 2 R n είναι τέτοια ώστε 2y 1 + 4y 2 = 10 + ϵ 1 y 1 + 3y 2 = 7 + ϵ 2 Τότε, y y 2 2 3( ϵ 1 + ϵ 2 ) max( y 1 1, y 2 2 ) 3.5 max( ϵ 1, ϵ 2 ) 14

18 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και Αριθμοί μηχανής

19 Κανονική μορφή κινητής υποδιαστολής Κάθε μη μηδενικός πραγματικός αριθμός x γραμμένος σε αριθμητικό σύστημα με οποιαδήποτε βάση β, μπορεί να γραφεί στη μορφή κινητής υποδιαστολής x = ±(.d 1 d 2...) β e, όπου d i είναι ψηφία ως προς τη βάση β με d 1 0, και e κατάλληλος ακέραιος. Κάθε υπολογιστής προσεγγίζει έναν πραγματικό αριθμό από τους λεγόμενους αριθμούς μηχανής οι οποίοι αποτελούν ένα μικρό υποσύνολο των ρητών αριθμών γραμμένων σε μορφή κινητής υποδιαστολής. 15

20 Αριθμοί μηχανής Το σύνολο των αριθμών μηχανής χαρακτηρίζεται από τη βάση του αριθμητικού συστήματος β την ακρίβεια t, δηλαδή το πλήθος των ψηφίων των αριθμών το κάτω φράγμα L και το άνω φράγμα U του εκθέτη e του β Άρα, κάθε αριθμός μηχανής x 0 είναι της μορφής x = ±.d 1 d 2... d t β e με d i ψηφία ως προς τη βάση β με d 1 0 και e ακέραιος με L e U. Στους περισσότερους μοντέρνους υπολογιστές β = 2, t = 53, L = 1021, U =

21 Αριθμοί μηχανής Κάθε αριθμός x με απόλυτη τιμή μεταξύ.1 β L και.d 1 d 2 d t β U, με d i = β 1, i = 1,..., t προσεγγίζεται για να παρασταθεί από έναν κοντινό αριθμό μηχανής ο οποίος συμβολίζεται με fl(x). Είναι εύκολο να δούμε ότι το σχετικό σφάλμα αυτής της προσέγγισης είναι fl(x) x x u όπου u είναι το μοναδιαίο σφάλμα στρογγύλευσης και δίνεται από Έχουμε λοιπόν, u = { 1 2 β1 t για στρογγύλευση β 1 t για αποκοπή fl(x) = x(1 + ϵ) για κάποιο ϵ = ϵ(x), ϵ u. 17

22 Επιρροή του δείκτη κατάστασης στην απαλοιφή

23 Επιρροή του δείκτη κατάστασης στην απαλοιφή Στον υπολογιστή, το δεύτερο μέλος b του συστήματος Ax = b θα παρασταθεί από ένα διάνυσμα b τέτοιο ώστε b i = b i (1 + ϵ i ), ϵ i u, 1 i n. Συνεπώς b = b + b, b u b. Ανάλογα ο πίνακας A θα παρασταθεί από έναν πίνακα Ã τέτοιον ώστε Ã = A + A, A u A. Τώρα, η υπολογιστική λύση x, στην περίπτωση που οι αριθμητικές πράξεις της απαλοιφής γίνονται ακριβώς, είναι η ακριβής λύση του συστήματος (A + A) x = b + b. 18

24 Επιρροή του δείκτη κατάστασης στην απαλοιφή Αν υποθέσουμε ότι ισχύει η συνθήκη µ = uκ (A) < 1 έχουμε, από τα αποτελέσματα της προηγούμενης παραγράφου ότι A A 1 uκ (A) = µ < 1, και επομένως ή x x x κ (A) 1 µ x x x [ A A 2uκ (A) 1 µ + b ], b Θα έχουμε μεγάλο σχετικό σφάλμα αν uκ (A) 1. 19

25 Ερωτήσεις; 19