Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines

Transcript

1 Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα

2 3. Εισαγωγή στη πολυωνυμική παρεμβολή Έστω ότι από μετρήσεις ή/και υπολογισμούς δίδονται οι τιμές < < < i < < f με i =,,...,. και οι αντίστοιχες διακριτές τιμές ( ) i Σημειώνεται ότι ενώ τα + ζευγάρια τιμών ( ) αναλυτική μορφή της συνάρτησης f ( ) είναι άγνωστη. f = f είναι γνωστά η i i i Ο σκοπός της αριθμητικής πολυωνυμικής παρεμβολής είναι η εύρεση συνάρτησης g f f f. g( ) έτσι ώστε ( ) ( ) = και που θα προσεγγίζει την άγνωστη ( ) i i i Για + ζευγάρια τιμών η συνάρτηση ( ) βαθμού της μορφής ( ) P ( ) f ( ) = f με i =,,...,. i i i g επιλέγεται να είναι ένα πολυώνυμο P = a + a + + a+ a και επομένως θα πρέπει Επομένως θα πρέπει να ισχύουν οι εξής σχέσεις:

3 ( ) ( ) P = a + a + + a + a = f P = a + a + + a + a = f ( ) P = a + a + + a + a = f i i i i i ( ) P = a + a + + a + a = f ή a f a f = a i i i i fi a f Επομένως, οι συντελεστές του πολυώνυμου P ( ) παραπάνω συστήματος που είναι στη μορφή Xa = f. Αποδεικνύεται ότι: det X ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) προκύπτουν από τη λύση του = = ( ) i< i 3

4 Επομένως, ο πίνακας X είναι αντιστρέψιμος και η λύση του συστήματος είναι P!! μοναδική όπως και το πολυώνυμο παρεμβολής ( ) Έχοντας την αναλυτική μορφή του πολυωνύμου P ( ) η τιμή της συνάρτησης f ( ) [, ]. υπολογίζεται προσεγγιστικά Είναι γνωστό ότι για μεγάλο αριθμό δεδομένων, κάτι που είναι συνηθισμένο, η επίλυση του συστήματος Xa = f είναι αριθμητικά επίπονη λόγω του δείκτη κατάστασης του πίνακα X. Αναζητούμε τεχνικές που να εξάγουν το πολυώνυμο παρεμβολής P ( ) P ( ) f έτσι ώστε i = i χωρίς να είναι αναγκαία η επίλυση γραμμικού συστήματος (π.χ. παρεμβολές Newto και Lagrage). 4

5 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Newto Το ζητούμενο πολυώνυμο παρεμβολής P ( ) γράφεται στη μορφή ( ) = + ( ) + ( )( ) + + ( )( ) ( ) P b b b b Οι άγνωστοι συντελεστές b i, i =,,...,, προκύπτουν ως εξής: = : P ( ) = b = f = : P ( ) = b + b( ) = f = : ( ) ( ) ( )( ) i P = b + b + b = f = : ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) P = b + b + b + + b = f i i i i i i i i i i = : ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) P = b + b + b + + b = f 5

6 Σχετικά εύκολα αποδεικνύεται ότι b = f b b f f = + f = + + f ( )( ) ( )( ) ( )( ) f b f f f = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 6

7 Παράδειγμα: Δίδονται τα δεδομένα f = f ( ) =, f = f ( ) =, f f ( ) βρεθεί με τη μέθοδο Newto το πολυώνυμο παρεμβολής ης τάξης ( ) = = 4 και να P = a + a+ a. b = = f b f f = + = + = 4 b = + + = + ( ) + = ( )( ) ( )( ) ( )( ) Επομένως: P( ) = b + b( ) + b( )( ) = + ( ) + ( )( ) P ( ) = + + 7

8 3.. Παρεμβολή Lagrage Το ζητούμενο πολυώνυμο παρεμβολής P ( ) ( ) ( ) P = L f, όπου L i i i= i ( ) ( ) ( i )( i+ ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) γράφεται στη μορφή ( ) i ( ) = = i i i i i+ i i = Όταν i ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) i i i i i+ i = η ποσότητα Li( ) = Li( i) = =. i i i i i+ i Όταν i η ποσότητα τότε το θα είναι ίσο με ένα από τα, < < < < < και επομένως L ( ) =. i i+ i 8

9 Επομένως ( ) L = για i i = και ( ) L = για i. P ( ) = L ( ) f = L ( ) f + L ( ) f + + L ( ) f + + L ( ) f i i i i i= Με βάση τα παραπάνω ισχύει ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P = L f + L f + + L f + + L f = f i i P = L f + L f + + L f + + L f = f i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P = L f + L f + + L f + + L f = f i i i i i i i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P = L f + L f + + L f + + L f = f i i i Επομένως το προκύπτον πολυώνυμο P ( ) ικανοποιεί τις σχέσεις που ( ) P = f. i i 9

10 Παράδειγμα: Δίδονται τα δεδομένα f = f ( ) =, f = f ( ) =, f f ( ) = = 4 και να βρεθεί με τη μέθοδο Lagrage το πολυώνυμο παρεμβολής ης τάξης P = L f + L f + L f. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) L ( ) = = = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) L ( ) = = = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) L ( ) = = = ( ) P f f f ( ) = ( )( ) ( ) + ( ) ( ) P = + +

11 Έστω Παράδειγμα: Επιλέξτε αυθαίρετα µία συνάρτηση ( ) i, f( i). Στη συνέχεια, µε βάση τα επιλεγμένα ζευγάρια τιμών, βρείτε το πολυώνυμο παρεμβολής, 3 ης τάξης, εφαρμόζοντας παρεμβολή α) Lagrage και β) Newto. f 3 ( ) f και τέσσερα { } = + και τα αντίστοιχα ζεύγη τιμών {, 5 },{,7 },{ 5,9 },{ 9,46} α) Παρεμβολή Lagrage P( ) = f( ) L ( ) + f( ) L ( ) + f( ) L ( ) + f( ) L ( ) L L ( ) = ( ) = 3 3 ( )( )( 3) ( )( )( ) 3 ( )( )( 3) ( )( )( ) 3 P f ( ) = ( ) 3,, L ( ) = L ( ) = 3. ( )( )( 3) ( )( )( ) 3 ( )( )( ) ( )( )( ) β) Παρεμβολή Newto: Θα δώσει ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα.

12 Γραφική παράσταση της f( ) με τα σημεία παρεμβολής και του πολυωνύμου P( ) που 3 προέκυψε με τις παρεμβολές Lagrage και Newto. Σημειώνεται ότι στη περίπτωση αυτή λόγω της μοναδικότητας του πολυωνύμου παρεμβολής f ( ) P( ). 3

13 3.3 Μέθοδος κυβικών splies Αρχικά η μέθοδος περιγράφεται για την ειδική περίπτωση των 4 ( = 3) σημείων και στη συνέχεια γενικεύεται για + σημεία. Έστω τα δεδομένα: (,f ),(,f ),(,f ),( 3,f 3) Σε κάθε διάστημα, +, = 3,,, βρίσκουμε ένα πολυώνυμο παρεμβολής 3ης τάξης: S = a + b + c+ d, =,, (συνολικά άγνωστοι) έτσι ώστε να ισχύουν τα εξής: ( ) 3 Συνθήκη Α: S ( ) = f, S ( ) = f = S ( ), S ( ) = f = S ( ), ( ) Συνθήκη Β: S ( ) = S ( ), S ( ) = S ( ) Συνθήκη Γ: S ( ) = S ( ), S ( ) = S ( ) Θέτουμε αυθαίρετα (για να κλείσουμε το σύστημα): S ( ) =, S ( ) = 3 S = f 3 3 3

14 Ορίζουμε τις ποσότητες y = S ( ), y = S ( ) = S ( ), y = S ( ) = S ( ), y = S ( ) και h =, h =, h = 3, f = f f, f = f f, f = f3 f Αφού τα πολυώνυμα S ( ) είναι 3 ης τάξης οι δεύτερες παράγωγοί τους S ( ) ης τάξης και επιλέγουμε να τα γράψουμε στη μορφή: S y y 3 3 θα είναι πολυώνυμα 3 ( ) = +, S ( ) = y + y, S ( ) = y + y h h h h 3 h h Με τη συγκεκριμένη επιλογή ικανοποιείται αυτόματα η συνθήκη Γ. y 3 y 3 S = + + c + d, =,,. 6h 6h + Ολοκληρώνουμε δύο φορές: ( ) ( + ) ( ) Βρίσκουμε τους άγνωστους συντελεστές c και d ικανοποιώντας τη συνθήκη Α. 4

15 y y S c d ( ) ( ) 3 ( ) 3 = + + +, S ( ) = f ( ) 6h 6h y y S c d S = f 3 3 ( ) = ( ) + ( ) + +, S ( ) = f ( ) 6h 6h y y S c d S = f 3 3 ( ) = ( ) + ( ) + +, S ( ) = f ( ) 3 6h 6h S = f 3 3 Αντικαθιστούμε τους συντελεστές c και d και προκύπτει: y 3 y 3 f yh f yh S = h 6h h 6 h 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y f yh f yh S 6h 6h h 6 h ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) y y f yh f yh S 3 3 6h 6h h 6 h 6 ( ) ( ) 3 3 ( ) = + + ( ) + ( ) 5

16 Η συνθήκη Β δεν έχει ακόμη εφαρμοστεί. Επομένως παραγωγίζουμε τα ( ) ( ) ( ) S,S,S : y y f h S y y ( ) ( ) ( ) = + + ( ) h h h 6 y y f h S y y ( ) = ( ) + ( ) + ( ) h h h 6 y y f h S y y ( ) ( ) 3 ( ) = + + ( ) 3 3 h h h 6 Εφαρμόζεται η συνθήκη Β, δηλαδή S ( ) = S ( ), S ( ) S ( ) Προκύπτουν τα y και f 6 h ( h + h) y + hy = = : f h f f hy + h+ h y = 6 h h ( ) y τα οποία αντικαθιστούμε στις εκφράσεις για τα ( ) ( ) ( ) S,S,S. 6

17 Παράδειγμα: Να εφαρμοστεί η μέθοδος των κυβικών splies, στον παρακάτω πίνακα.5 f '.5 : δεδομένων ώστε να εκτιμηθούν οι τιμές των f ( ) και ( ) i f ( ) i Οι όροι h είναι: h = =., h = =., h = 3 =. Οι όροι Δf είναι: f = f f =.3365, f = f f =.96, f = f3 f =.48 f f ( h + h) h y h h Τριδιαγώνιο σύστημα ( y = y 3 = ): 6 h ( h h ) y + f f h h.4. y = y.488 = y = 5.39 και y =

18 Τα πολυώνυμα τα οποία αντιστοιχούν στα τρία υποδιαστήματα είναι: 3 ( ) = + + S ( ) = + S ( ) = + + S Για τον υπολογισμό της τιμής στο.5 αντιστοιχεί στο διάστημα [.,.3]. Τότε S (.5) =.36 και ( ) = επιλεγούμε το πολυώνυμο S ( ) S.5 =.984., το οποίο 8

19 Γραφική απεικόνιση των πολυωνύμων παρεμβολής με κυβικές Splies. 9

20 Γενίκευση: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα ( ) ένα πολυώνυμο παρεμβολής 3 ης τάξης ( ) Συνθήκη Α: ( ) S f Συνθήκη Β: S ( ) S ( ) Συνθήκη Γ: S ( ) S ( ),f με =,,,...,. Για κάθε διάστημα, + βρίσκουμε S, =,..., έτσι ώστε να ισχύουν τα παρακάτω: = =,,..., =, S ( ) f S( ) =, =,..., =, =,..., Ορίζουμε τις ποσότητες y S ( ) =, ( ) S f = =, =,..., ; h = +, f = f + f, =,..., Αφού τα πολυώνυμα S ( ) είναι 3 ης τάξης οι δεύτερες παράγωγοί τους S ( ) ης τάξης και επιλέγουμε να τα γράψουμε στη μορφή θα είναι πολυώνυμα

21 S y y ( ) + = + +, =,..., h h Με τη συγκεκριμένη επιλογή ικανοποιείται αυτόματα η συνθήκη Γ. Ολοκληρώνουμε δύο φορές και βρίσκουμε ( ) y 3 y + 3 S ( ) = ( + ) + ( ) + c+ d 6h 6h S = f Εφαρμόζοντας τη συνθήκη Α δηλαδή S( ) = f και ( ) f h c y y h 6 S = f βρίσκουμε = ( + ) και d = ( y + y + ) f f h h 6

22 Αντικαθιστούμε τους συντελεστές c και d : y y f y h f yh S 6h 6h h 6 h ( ) ( ) 3 + ( ) + = ( ) + ( + ) Επομένως η μορφή των S ( ) που έχουν προκύψει έως τώρα ικανοποιεί τις συνθήκες Α και Γ. Βρίσκουμε τις ποσότητες y που παραμένουν ακόμα άγνωστες έτσι ώστε να ικανοποιείται και η συνθήκη Β. Παραγωγίζουμε μία φορά και έχουμε y y f h S y y h h h 6 + ( ) ( ) = + + ( ) + ( + ) Για να εφαρμόσουμε τη συνθήκη Β γράφουμε και την αντίστοιχη έκφραση y y f h S y y ( ) ( ) ( ) = + + ( ) h h h 6

23 Εξισώνουμε τις δύο εκφράσεις και μετά από κάποια επεξεργασία έχουμε το σύστημα f h f h yh + y y = yh + y y ( + ) ( ) h 3 h 3 που το ξαναγράφουμε στη μορφή τριδιαγωνίου συστήματος f f h y h h y hy = h h ( ) Για να κλείσει το σύστημα θέτουμε S ( ) S ( ) = =. Από την επίλυση του συστήματος προκύπτουν τα y, =,..., τα οποία αντικαθίστανται στις εκφράσεις S ( ), =,..., και προκύπτουν τα ζητούμενα πολυώνυμα παρεμβολής 3 ου βαθμού. 3

24 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα ( ) όπου m( ) m,f με i,,..., i m i =. Ορίζουμε τις διαφορές d = f P ( ) i i m i P = a + a a το ζητούμενο πολυώνυμο παρεμβολής που προκύπτει ελαχιστοποιώντας την ποσότητα ( ) m ( ) ( ) i i m i i i m i S = d = f P = f a a... a i= i= i= Αυτό επιτυγχάνεται θέτοντας τις παραγώγους του S ως προς τους συντελεστές a m ίσες με το μηδέν και επιλύοντας το προκύπτον γραμμικό σύστημα. S m m = ( fi a a i... ami )( ) = ( ) a i= S = m ( f i a a i... ami )( i) = ( ) a i= S a + a a = f i m i i i= i= m a a i... ami i fii i= i= = m m = ( fi a a i... ami )( i ) = ( ) = a m i= a a... a f m m m i m i i i i i= i= 4

25 Το σύστημα των m + εξισώσεων ξαναγράφεται στη μορφή 3 m + i + i + i i m = i i= i= i= i= i= a a a a a f 3 m+ a i + i a+ i a i am = i fi i= i= i= i= i= 3 4 m+ i a + i a+ i a i am = i fi i= i= i= i= i=... m m+ m+ m m i a + i a+ i a i am = i fi i= i= i= i= i= Η μέθοδος συνήθως εφαρμόζεται για m <<. 5

26 Επίσης εναλλακτικά το σύστημα γράφεται στη μορφή Aa = F ή m i i... i a fi i= i= i= i= 3 m+ i i i... i a f i i i= i= i= i= i= = m m+ m+ m i i i... i am m i fi i= i= i= i= i= Αποδεικνύεται ότι η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών A είναι διάφορη του μηδενός και επομένως η λύση του συστήματος είναι μοναδική. 6

27 Απόδειξη μοναδικής λύσης για σύστημα εξισώσεων: ( A ) det = = = + = i i i i i i i i i= i= i= i= i= i= i= i= i i i i ( i i ) = + = + = + = i= i= i= i= i= i= i= ( ) = i Για περισσότερες από εξισώσεις απαιτείται η μελέτη του γενικού προβλήματος ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης του λεγόμενου Γραμμικού Προβλήματος Ελαχίστων Τετραγώνων [Ακριβής και Δουγαλής, Κεφ.5, Παράγραφος 5.3]. 7

28 Επίσης, με βάση την θεωρία εύρεσης ελαχίστου μεγίστου συναρτήσεων πολλών μεταβλητών αποδεικνύεται ότι θέτοντας της πρώτες παραγώγους S / a i = ελαχιστοποιείται η συνάρτηση S. Απαιτείται ο υπολογισμός του εσσιανού πίνακα με στοιχεία τις μερικές παραγώγους S, i, =,...,. a i a S Εύκολα προκύπτει ότι = A i όπου A a i a i τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα A. Επομένως, ο εσσιανός πίνακας είναι πραγματικός και συμμετρικός. Στη συνέχεια αποδεικνύεται ότι όλες οι ιδιοτιμές του εσσιανού πίνακα είναι θετικές και επομένως, ο εσσιανός πίνακας είναι θετικά ορισμένος. Άρα, σύμφωνα με σχετικό θεώρημα αφού ο εσσιανός πίνακας είναι θετικά ορισμένος, πράγματι θέτοντας S / a i = ελαχιστοποιείται η συνάρτηση S. 8

29 3 Παράδειγμα: Με βάση τη συνάρτηση f( ) = επιλέξτε δέκα ζευγάρια σημείων ( i, f( i) ) και εφαρμόστε παρεμβολή µε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων μηδενικής, πρώτης και δεύτερης τάξης. Επιλέγονται τα εξής ζεύγη τιμών: {-, -4}, {, -5}, {.5, }, {.3,.66}, {3., 38.5}, {4.5, 34.5}, {5.8, 37.5}, {6., 38.4}, {7.9, 85.45}, {8.4,.33} 9

30 α) Πολυώνυμο μηδενικού βαθμού: P( ) = a, a fi i= =, P( ) = y Γραφική παράσταση του πολυωνύμου ου βαθμού (μπλε γραμμή) με ελάχιστα τετράγωνα. 3

31 β) Πολυώνυμο πρώτου βαθμού: P( ) = a + a a + a = f i i i= i= i + i = i i i= i= i= a a f y P ( ) = Γραφική παράσταση του πολυωνύμου ου βαθμού (μπλε γραμμή) με ελάχιστα τετράγωνα. 3

32 γ) Πολυώνυμο δεύτερου βαθμού: P( ) = a + a+ a a + a i + a i = fi i= i= i= 3 a i + a i + a i = f i i i= i= i= i= 3 4 a i + a i + a i = i fi i= i= i= i= a a a = a a a = a a + 9.5a = a = a = a = ( ) = P 3

33 y Γραφική παράσταση του πολυωνύμου ου βαθμού (μπλε γραμμή) με ελάχιστα τετράγωνα. 33

34 Παράδειγμα: Να εφαρμοσθεί η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων στον πίνακα δεδομένων: i f ( ) i Επιλέγοντας πολυώνυμο ου βαθμού προκύπτει το σύστημα + i + i = i i= i= i= a a a f 3 i + i + i = i i i= i= i= i= a a a f 3 4 i + i + i = i i i= i= i= i= a a a f Επιλύεται το σύστημα και προκύπτουν οι συντελεστές a, a, a. Το πολυώνυμο παρεμβολής είναι P ( ) =

35 Επιλέγοντας πολυώνυμο 3 ου βαθμού προκύπτει το σύστημα 3 + i + i + i 3 = i i= i= i= i= a a a a f 3 4 a i + i a+ i a + i a3 = i fi i= i= i= i= i= i a + i a+ i a + i a3 = i fi i= i= i= i= i= i a + i a+ i a + i a3 = i fi i= i= i= i= i= Η συνάρτηση παρεμβολής είναι ( ) 3 P3 =

36 Παρεμβολή ελαχίστων τετραγώνων με πολυώνυμο ου (αριστερά) και 3 ου (δεξιά) βαθμού. 36

37 Εφαρμογή της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων σε διαστάσεις: Παράδειγμα: Δίδεται ο πίνακας δεδομένων: y Ζητείται το πολυώνυμο παρεμβολής y= a+ a + a με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Ελαχιστοποιείται η ποσότητα ( ) S= d = f a a a i i i i i= i= 37

38 Πρέπει να επιλυθεί το γραμμικό σύστημα: S = S = S a a a = Μετά τη εύρεση των παραγώγων το σύστημα ξαναγράφεται στη μορφή i i yi i= i= i= a i i i i a = y i i i= i= i= i= a i i i i iyi i= i= i= i= a a = a 54 Επιλύεται το σύστημα και προκύπτουν οι άγνωστοι συντελεστές: a = 7, a 85 =, a =

39 85 7 y(, ) = Παρεμβολή ελαχίστων τετραγώνων με πολυώνυμο ου βαθμού σε δύο διαστάσεις. 39

40 Παράδειγμα: Παρεμβολή ελαχίστων τετραγώνων με εκθετικές συναρτήσεις βάσεις Με βάση τον παρακάτω πίνακα δεδομένων βρείτε με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων f = c + ce τους συντελεστές της συνάρτησης παρεμβολής ( ) i 3 5 y 4 4 i ( i i ) 5 5 ( y i i c ce )( ) i= c i= S= y c ce S = = 5 S = i i ( y i c ce )( e ) = c i= 5 i ( ) ( i ) 5 5 c + e c = y i= i= i i i ( e ) c + ( e ) c = ( ye i ) i= i= i= 5c c = c c = c c = 3.5 =.33 Γενίκευση: ( ) m m = (αποδεικνύεται ότι η επιλογή των = f ce c είναι μοναδική). 4

41 Παράδειγμα: Τυπικά αποτελέσματα αριθμητικής παρεμβολής της συνάρτησης διάστημα [, 4]. 3 + f( ) = si 3 + e στο Newto ad Lagrage Cubic splies Least square methods 4

42 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα Εφαρμόζεται η μεθοδολογία των ελαχίστων τετραγώνων όπου οι συναρτήσεις βάσης είναι ορθογώνια πολυώνυμα (όχι μονώνυμα) και ΔΕΝ απαιτείται επίλυση αλγεβρικού συστήματος. Έστω ότι προσεγγίζεται µία συνάρτηση f( ) [ ab, ] μορφής: m ( ) Φ ( ) f c = µε ένα γραμμικό συνδυασμό της όπου οι συναρτήσεις βάσεις Φ ( ) είναι ορθογώνια πολυώνυμα στο [, ] b w( ) Φ ( ) Φ k( ) d =, k a b και ( ) ( ) ( ) ab, δηλαδή w Φ Φ k d = dk, = k a 4

43 Legedre P ( ): ορθογώνια στο διάστημα [,] με συνάρτηση βαρύτητας w( ) =. P ( ) =, P ( ) ( ) ( ) P P d m =, m =, P ( ) ( 3 ) =, P ( ) = P ( ) P ( ) και ( ) ( ) P P d m =, = m + Laguerre L ( ): ορθογώνια στο διάστημα [, ) με συνάρτηση βαρύτητας w( ) e L ( ) =, ( ) L ( ) ( ) e L Lm d =, m =. = +, L ( ) = +, L ( ) = ( ) L ( ) ( ) L ( ) 4 και ( ) ( ) ( ) Γ + e L Lm d =, = m! Σημείωση: οι συναρτήσεις Gamma με ακέραιες τιμές ορίζονται ως εξής: Γ ( ) t + = t e dt =! 43

44 Chebyshev T ( ): ορθογώνια στο διάστημα [,] με συνάρτηση βαρύτητας w( ) / T ( ) =, ( ) T =, T ( ) =, T ( ) = T ( ) T ( ) ( ) ( ) m T T d =, m m T T d π =, = m ( ) ( ) m T T d = π, = m= και ( ) ( ) Hermite H ( ): ορθογώνια στο διάστημα (, ) με συνάρτηση βαρύτητας ( ) H ( ) =, ( ) H ( ) ( ) e H H m d =, m =, H ( ) =, H ( ) = H ( ) ( ) H ( ) 4 και ( ) ( ) =. w = e. e H H m d = π!, = m 44

45 Ορίζεται τα υπόλοιπα r( ) f ( ) cφ ( ) m =, m = <<. Στη συνέχεια ελαχιστοποιείται η ποσότητα S = w( ) r ( ) d όπου ( ) συναρτήσεις βαρύτητας. Αναγκαίες συνθήκες για την ελαχιστοποίηση του S είναι b b m S = w( ) r ( ) d = w( ) f ( ) c Φ ( ) d = ck ck c a k a = b a w οι αντίστοιχες b = w( ) f ( ) c Φ ( ) d ( ) ( ) Φ ( ) Φk( ) a ck = m οι οποίες οδηγούν στο γραμμικό σύστημα b m = w f c d =, k m a = 45

46 b a m ( ) Φ ( ) Φ ( ) = ( ) Φ ( ) ( ) = k k a b w c d w f d, k m m ή b c w( ) Φ ( ) Φk( ) d = w( ) Φk( ) f ( ) d, k m = a a Το σύστημα είναι στη μορφή A b = b και επιλύεται για τους άγνωστους συντελεστές c. b Φ Φ k =, k a Εφαρμόζοντας τις σχέσεις ορθογωνιότητας w( ) ( ) ( ) d ανάγεται σε διαγώνιο πίνακα και οι συντελεστές προκύπτουν από τις σχέσεις, ο πίνακας A 46

47 c k b ( ) Φ ( ) ( ) w k f d b a = = w b ( ) k ( ) f ( ) d d Φ = k a w d a ( ) Φ ( ) Φ ( ) k k i k i i d k wφ ( ) f ( ), k m i= Παράδειγμα: Προσεγγίζεται με ορθογώνια πολυώνυμα Legedre στο διάστημα [,] η 3 + συνάρτηση f( ) = si 3 + e Έστω = + r( ) f ( ) c P ( ) c P( ) f( ) c P( ) c P( ) =, m= << ( ) ( ) ( ) ( ) όπου ( ) S = w f c P c P d w =. 47

48 Αναγκαίες συνθήκες για την ελαχιστοποίηση του S είναι S c S = = c r ( ) d f ( ) cp( ) cp( ) d S = = = c c c = c f ( ) cp( ) cp( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) c P c P P d f P d = f c P c P P d= ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) c = f ( ) d wf i ( i) c P P d c P P d f P d i= 48

49 r ( ) d f ( ) cp( ) cp( ) d S = = = c c c = c f ( ) cp( ) cp( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) = f c P c P P d= ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) c P c P P d f P d ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) c P P d c P P d f P d 3 = c w f( ) i= i i i Αριθμητικά αποτελέσματα παίρνουμε εφαρμόζοντας αριθμητική ολοκλήρωση Gauss- Legedre. 49

50 Αποτελέσματα αριθμητικής παρεμβολής με ορθογώνια πολυώνυμα Legedre 3 + με = 7 και m = 4 της συνάρτησης f( ) = si στο διάστημα [,] : 3 + e f c P c P c P c P c P 4 3 ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + 3 3( ) + 4 4( ) =

51 Ασκήσεις:. Έστω η συνάρτηση f ( ) = + 5. Με βάση τα σημεία =, = /3, = /3 και 3 S = S =. εφαρμόστε κυβικές splies και βρείτε τα πολυώνυμα Si ( ),,, i = με την υπόθεση ότι ( ) ( ) = και τις αντίστοιχες τιμές ( ) 3 f, i =,,,3 i. Μια εναλλακτική στρατηγική στη μέθοδο των κυβικών splies είναι να χρησιμοποιούνται στα πρώτα δύο υποδιαστήματα και στα δύο τελευταία υποδιαστήματα μόνο από ένα πολυώνυμο 3 ης τάξης. Με βάση αυτή τη προσέγγιση διατυπώστε την ελαφρά τροποποιημένη μαθηματική επεξεργασία ώστε να προκύψει το σύστημα των εξισώσεων για τον υπολογισμό των άγνωστων συντελεστών των πολυωνύμων 3 ης τάξης. 3. Έστω τα δεδομένα (, ),...,(, ) y ( ) = af ( ) + bg ( ) όπου f ( ) και ( ) y y. Διατυπώστε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για την εύρεση της συνάρτησης παρεμβολής g είναι γνωστές συναρτήσεις. 4. Ένα εικονικό πείραμα παράγει τα εξής τέσσερα ζεύγη δεδομένων y Να εκτιμηθεί η τιμή της y στο σημείο = με i) παρεμβολή Lagrage και ii) παρεμβολή κυβικών splies. 5

52 π π =,,. Με βάση τα σημεία π π =, =, = και τις αντίστοιχες τιμές f =, f =, f = εφαρμόστε παρεμβολή Lagrage και παρεμβολή κυβικών splies και βρείτε τα πολυώνυμα παρεμβολής. Σχολιάστε τα αποτελέσματά σας. 5. Έστω η συνάρτηση f ( ) si π π Λαμβάνοντας υπόψη ότι f = f = (επιπλέον δεδομένα) εφαρμόστε τη μέθοδο παρεμβολής κυβικών splies ελαφρώς τροποποιημένη και βρείτε τα πολυώνυμα παρεμβολής. Σχολιάστε τα αποτελέσματά σας ως προς τη σημαντικότητα των επιπλέον δεδομένων. Προτείνετε επιγραμματικά τρόπους βελτίωσης των παραπάνω αποτελεσμάτων Το ιξώδες του νερού µ ( Ns/m ) σε διάφορες θερμοκρασίες T ( o C) δίδεται στον παρακάτω πίνακα: T 5 3 µ Εφαρμόστε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και βρείτε ένα γραμμικό πολυώνυμο παρεμβολής της μορφής: µ ( T ) = at + b 7. Ο πληθυσμός μιας μικρής κοινότητας έχει αυξηθεί ραγδαία τα τελευταία χρόνια σύμφωνα με τα εξής δεδομένα: t 5 5 p Εφαρμόστε ένα εκθετικό μοντέλο παρεμβολής και εκτιμήστε τον πληθυσμό της κοινότητας μετά από 5 έτη ( t = 5). 5

53 8. Θεωρείστε το εξής πρόβλημα παρεμβολής: Έστω ότι,,..., είναι διακριτοί πραγματικοί αριθμοί και y, y,..., y τα αντίστοιχα δεδομένα. Η συνάρτηση παρεμβολής είναι f( ) = ce = έτσι ώστε ( ) f = y, i =,,...,. Στη συνέχεια με βάση τον πίνακα δεδομένων i i i 3 5 y 4 4 i βρείτε με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων τους συντελεστές της συνάρτησης παρεμβολής ( ) f = c + ce 9. Να βρεθούν με τη μέθοδο των κυβικών splies για τα δεδομένα 4 9 f ( ) οι τιμές παρεμβολής της f ( ) στα σημεία, 7 και 7. Σχολιάστε την ακρίβεια των αποτελεσμάτων.. Δίδεται ο πίνακας δεδομένων: y Βρείτε το πολυώνυμο παρεμβολής y= a+ a + a με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων 53

54 . Να βρεθεί με πολυωνυμική παρεμβολή η συνάρτηση που προσεγγίζει την y ( ) = + 5 στο διάστημα [, ] χρησιμοποιώντας σημεία παρεμβολής που απέχουν μεταξύ τους α) ίσες και β) όχι ίσες αποστάσεις. Στη δεύτερη περίπτωση να χρησιμοποιηθούν ως σημεία παρεμβολής οι ρίζες του πολυωνύμου Chebyshev. Επίσης, να εφαρμοστεί η μέθοδος των κυβικών splies. 54