ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

Transcript

1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο x = x o τότε έχουμε κάποιο συμπέρασμα για την παραγώγιση της f στο x = x o? Γενικά αν η f είναι συνεχής στο x = x o αυτό δεν σημαίνει κατ' ανάγκην ότι είναι και παραγωγίσιμη στη θέση αυτή. Το αντίστροφο ισχύει. Αν δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη στο x o, τότε είναι και συνεχής σ αυτό. (Θεώρημα σελ.217 του σχ. Βιβλίου) Ερώτηση 3 Αν μία συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στη θέση x = x o, τότε έχουμε κάποιο συμπέρασμα για την παραγωγισιμότητα της f? Αν η f δεν είναι συνεχής στη θέση x = x o, τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη στη θέση x = x o 1

2 Ερώτηση 4 Πότε χρησιμοποιούμε τον ορισμό για την εύρεση της παραγώγου μιας συνάρτησης στη θέση x = x o του πεδίου ορισμού της? Η παραγωγισιμότητα στη θέση x = x o, του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης f ελέγχεται με τον ορισμό, δηλαδή με το ή βασικά στις εξής περιπτώσεις: 1. Όταν το x o, είναι σημείο εκατέρωθεν του οποίου αλλάζει τύπο η συνάρτηση f, δηλαδή όταν ο τύπος της είναι: 2. Στους τύπους συναρτήσεων: στις οποίες το x o, είναι ρίζα του h( ή του g( αντίστοιχα. 3. Όταν δεν γνωρίζουμε ή αμφιβάλλουμε για την παραγωγισιμότητα της συνάρτησης f στη θέση x = x o 2

3 Ερώτηση 5 Ποια η διαφορά ανάμεσα στην παράγωγο σε ένα σημείο διάστημα? Η παράγωγος μιας συνάρτησης f σε ένα σημείο υπολογίζεται από το xo Df και στην παράγωγο συνάρτηση σε xo Df, αν υπάρχει, είναι ένας πραγματικός αριθμός και Ενώ, η παράγωγος συνάρτηση f είναι μια νέα συνάρτηση με δικό της τύπο f ( και πεδίο ορισμού D f D f Ερώτηση 6 Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο x o τότε μπορούμε να γράψουμε f ( x ) = ( f( x )) ή ( f g) ( x ) = ( f( x ) + g( x )) o o + o o o Λάθος. Γιατί τα f x ) και f x ) + g( x ) είναι πραγματικοί αριθμοί c και επομένως c = 0 ( o ( o o Ερώτηση 7 Αν η συνάρτηση f f + g, f g, f g, είναι παραγωγίσιμη στο x o, μπορούμε να πούμε το ίδιο για τις g f, g στο x o? Όχι. Γιατί μπορεί η μία ή καμία από τις f,g να μην είναι παραγωγίσιμη στο x o, π.χ. παραγωγίσιμη στο x o = 0ενώ μία μόνο είναι παραγωγίσιμη στο x o = 0, η g( = ηµ x h( = x ηµ x είναι 3

4 Ερώτηση 8 fog Ισχύει πάντα η σχέση ( ) x ) = f( g( x )) g( x ) ( o o o? Όχι. Πρέπει η g να είναι παραγωγίσιμη στο x o και η f παραγωγίσιμη στο g(x o ) Ερώτηση 9 Είναι δυνατόν η σύνθετη συνάρτηση gof να είναι παραγωγίσιμη στο x o, χωρίς να είναι παραγωγίσιμη η f στο x o ή η g στο f(x o )? Ναι. Στην περίπτωση αυτή για να βρούμε την gof ) ( x ) δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα ( o παραγώγισης της σύνθετης συνάρτησης, αλλά βρίσκουμε πρώτα τον τύπο της ( gof )( και μετά gof ) ( x ). 2 Για παράδειγμα αν f( = 3x, g( = x και ζητάμε την τιμή ( gof ) ( 0) ( o Ερώτηση 10 Αν είναι f ( = g( για κάθε x = ( a, και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο Δ, τότε θα είναι και η f παραγωγίσιμη στο Δ? Ναι, θα είναι και η f παραγωγίσιμη στο Δ. Προσοχή: Αν όμως είναι f( = g(, για κάθεx 1 με 1 = [ a, b] ή 1 = [ a, ή 1 = ( a, b] και είναι η g παραγωγίσιμη στο Δ 1, τότε η f θα είναι μεν παραγωγίσιμη (με την ίδια παράγωγο) στο αντίστοιχο διάστημα = ( a,, ενδέχεται όμως να είναι, ή και να μην είναι, παραγωγίσιμη στα ακραία σημεία του Δ 1 1 4

5 Αφού αν η f είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [a, b] δεν εξασφαλίζεται η παραγωγισιμότητα στα άκρα a και b, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Όπου η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [3,7], αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη στο 3 (όπου έχουμε γωνιακό σημείο) και δεν είναι παραγωγίσιμη στο 7 αφού δεν είναι συνεχής σε αυτό. Ερώτηση 11 Αν θέλουμε να παραγωγίσουμε την ισότητα f ( = g(, μπορούμε να γράφουμε f ( = g( f ( = g ( Όχι, διότι η ισοδυναμία δεν ισχύει κατά ανάγκη. Συγκεκριμένα ισχύει: 5

6 Ερώτηση 12 df Το σύμβολο πότε το χρησιμοποιούμε? dx df Για την παράγωγο μιας συνάρτησης f, συνήθως δεν χρησιμοποιείται το σύμβολο. Αλλά, αν θέλουμε με dx df σαφήνεια να ορίσουμε τη μεταβλητή ως προς την οποία παραγωγίζουμε θα χρησιμοποιούμε το σύμβολο dx Ερώτηση 13 Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της f x )? ( o Ο πραγματικός αριθμός f x ) είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ευθείας (ε) της C f στο σημείο A(x o, f(x o )) ( o Ερώτηση 14 Για να εφάπτεται η C f στον άξονα x x στο σημείο A(x o, 0), είναι αρκετό να ισχύει μόνο f ( xo ) = 0? Όχι. Πρέπει f ( xo ) = 0 και f ( x o ) = 0 Ερώτηση 15 Η εφαπτόμενη ευθεία της C f στο (x o, f(x o )) μπορεί να έχει και άλλο κοινό σημείο με την C f? Ναι 6

7 Ερώτηση 16 Για να είναι μια ευθεία (ε) κοινή εφαπτομένη των C f και C g, στο κοινό τους σημείο με τετμημένη στο x o στο οποίο f,g είναι παραγωγίσιμες, ποιές συνθήκες πρέπει να ισχύουν? Πρέπει f x ) = g( x ) και f x ) = g ( x ) ( o o ( o o Ερώτηση 17 Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g σε ένα διάστημα Δ και a, b. Για να είναι μία ευθεία (ε) κοινή εφαπτομένη των C f, C g στα διαφορετικά σημεία A(a, f(a)) και Β(b, g(), τι πρέπει να ισχύει? 1 ος Τρόπος: Πρέπει f ( a) = g ( και η εφαπτομένη της C f στο Α να διέρχεται από το Β. 2 ος Τρόπος: Πρέπει f ( a) = g ( και η εφαπτομένη της C g στο Β να διέρχεται από το Α. 3 ος Τρόπος: Πρέπει f ( a) = g ( και f ( a) af ( a) = g( bg (. Ερώτηση 18 Ποια ένδειξη σε μια συνάρτηση μας οδηγεί στο να εφαρμόσουμε θ. Rolle? Θα υπάρχει f ( ξ) = 0 ή f ( ξ) = 0 θα εφαρμόσουμε θ. Rolle στην f Αν f ( ξ) = 0 θα εφαρμόσουμε θ. Rolle στην f Αν f ( ξ) = 0 7

8 Ερώτηση 19 Σε ποιες περιπτώσεις για την επίλυση της εξίσωσης f( = 0 εφαρμόζουμε θ. Rolle? α) Η εξίσωση f( = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (a,. Αφού διαπιστώσουμε ότι δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε θ. Bolzano, τότε εφαρμόζουμε θ. Rolle για μία συνάρτηση Φ( για την οποία ισχύει β) Η εξίσωση f( = 0 δεν μπορεί να έχει δύο ρίζες στο (a, ή έχει μία το πολύ ρίζα στο (a,. γ) Η f( = 0 έχει μία μόνο ρίζα στο (a,. δ) Η f( = 0 έχει το πολύ ν-ρίζες ή δεν μπορεί να έχει πάνω από ν-ρίζες στο (a,. ε) Η f( = 0 έχει ακριβώς ν-ρίζες. ζ) Η f( = 0 έχει ν τουλάχιστον ρίζες. η) Η f( = 0 δεν έχει ρίζα στο (a,. Ερώτηση 20 Ισχύει πάντα το αντίστροφο του θ. Rolle? Όχι, είναι δυνατόν να υπάρχει ξ ( a, ώστε f ( ξ) = 0, χωρίς να ισχύουν οι προϋποθέσεις του θ. Rolle Ερώτηση 21 Η ορολογία Διακεκριμένες ρίζες τι σημαίνει? Διακεκριμένες ρίζες σημαίνει ότι οι ρίζες είναι άνισες μεταξύ τους ανά δύο 8

9 Ερώτηση 22 Ποια ένδειξη σε μια άσκηση μας οδηγεί να εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ.? Όταν υπάρχει, α) ο λόγος μεταβολής f( f( a) b a β) f ( ξ) > 0 ή f ( ξ) < 0 γ) αν μια σχέση περιέχει τις τιμές f x ), f ( x ),..., f ( ) με x, x,..., x ( a, ( 1 2 xk 1 2 k δ) αν ζητείται να δείξουμε μια διπλή ανισότητα όταν δίνεται ή μπορεί να γίνει της μορφής f ( f( a) κ λ b a Ερώτηση 23 Αν θέλουμε να δείξουμε ότι ισχύει το θ.rolle ή το Θ.Μ.Τ. σε διάστημα [α,β] για μία συνάρτηση f που δίνεται με πολλαπλό τύπο ή με απόλυτη τιμή, τι πρέπει να προσέξουμε? Μελετάμε τη συνέχεια στο [a,b]. Αν το σημείο αλλαγής τύπου ανήκει στο [a,b] τη συνέχεια τη μελετάμε με τον ορισμό. Μελετάμε την παραγωγισιμότητα στο (a,. Αν το σημείο αλλαγής τύπου ή το σημείο μηδενισμού του απολύτου ανήκει στο (a, την παραγωγισιμότητα τη μελετάμε με τον ορισμό. 9

10 Ερώτηση 24 Το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού, στη βιβλιογραφία αναφέρεται και με άλλους τίτλους? Το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού, το συναντούμε στη βιβλιογραφία και με τους τίτλους: Θεώρημα του Lagrange ή Θεώρημα των πεπερασμένων αυξήσεων ή Θεμελιώδες Θεώρημα του διαφορικού λογισμού Ερώτηση 25 Μπορούμε να βρούμε αν έχει ρίζα η εξίσωση f( = 0από το σύνολο τιμών της f? Ναι. Αν το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της fτότε η f( = 0από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών έχει μία τουλάχιστον ρίζα. Αν επιπλέον η f είναι και γνησίως μονότονη έχει ακριβώς μία ρίζα. Αν το 0 δεν ανήκει στο σύνολο τιμών τότε η f( = 0 είναι αδύνατη Ερώτηση 26 Πώς μπορούμε να εργασθούμε για να δείξουμε ότι η εξίσωση f( = 0είναι αδύνατη? α) Με το σύνολο τιμών όπως αναφέρεται στην απάντηση της ερώτησης 25 β) Με μονοτονία αποδεικνύουμε f( > 0 ή f( < 0 10

11 Ερώτηση 27 Για να ισχύει το θ. Fermat για την f είναι αναγκαίο το πεδίο ορισμού της f να είναι ένα διάστημα? Όχι. Μπορεί να είναι ένωση διαστημάτων ξένων μεταξύ τους. Αρκεί το σημείο x o, στο οποίο εφαρμόζεται το θεώρημα να είναι εσωτερικό ενός διαστήματος Ερώτηση 28 Ποια ένδειξη σε μια άσκηση μας οδηγεί να εφαρμόσουμε θ. Fermat? Όταν δίνεται ανισότητα και ζητάμε να δείξουμε ισότητα Ερώτηση 29 Στη μελέτη, ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, μιας συνάρτησης πολλαπλού τύπου, μας ενδιαφέρει η παράγωγος στα σημεία αλλαγής τύπου? Όχι. Μας ενδιαφέρει μόνο η συνέχεια Ερώτηση 30 Ποια ένδειξη σε μια άσκηση μας οδηγεί να βρούμε ακρότατα συνάρτησης? α) Αν ζητείται f( kή f( k, όπου το k θα είναι ελάχιστη τιμή ή μέγιστη αντίστοιχα β) Αν θέλουμε να δείξουμε f( g(, τότε θέτουμε h( = f( g( και βρίσκουμε ακρότατα της h ή εργαζόμαστε με προφανή ρίζα της h( = 0 και μονοτονία της h 11