Κεφάλαιο 2. Τα μαθηματικά της αριστοποίησης ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ. Τιμή μιας παραγώγου σ ένα σημείο. Παράγωγοι

Transcript

1 Κεφάλαιο ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Τα μαθηματικά της αριστοποίησης Πολλές οικονομικές θεωρίες ξεκινούν με την υπόθεση ότι ένα άτομο ή επιχείρηση επιδιώκουν να βρουν την άριστη τιμή μιας συνάρτησης Οι καταναλωτές επιδιώκουν τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας τους Οι επιχειρήσεις επιδιώκουν μεγιστοποίηση των κερδών τους Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται τα βασικά μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούμε γι αυτά τα θέματα Παράγωγοι Τιμή μιας παραγώγου σ ένα σημείο Η παράγωγος της συνάρτησης π = f(q) είναι το όριο του Δπ/Δq για κάθε μικρή μεταβολή στο q dπ = df f( q + h) f( q) = lim h 0 h Η τιμή αυτού του λόγου εξαρτάται από την τιμή του q 3 Η τιμή της παραγώγου στο σημείο q = q συμβολίζεται ως εξής dπ q = q Στο προηγούμενο παράδειγμα, dπ q =q > 0 dπ q =q 3 < 0 dπ q = q* 4 Συνθήκες πρώτης τάξης για ένα μέγιστο Για μια συνάρτηση με μια μεταβλητή, η επίτευξη της μέγιστης τιμής της σ ένα σημείο επιτυγχάνεται όταν η παράγωγος σ αυτό το σημείο είναι μηδέν df q = q* Συνθήκες δεύτερης τάξης Αυτό σημαίνει ότι, για να είναι το q* άριστο, dπ dπ > 0 for q < q * και < 0 for q > q * Επομένως στο q*, dπ/ πρέπει να είναι φθίνον 5 6

2 Δεύτερες παράγωγοι Η παράγωγος μιας παραγώγου καλείται δεύτερη παράγωγος Η δεύτερη παράγωγος συμβολίζεται ως d π d f or or f "( q) Συνθήκες δεύτερης τάξης Η συνθήκη δεύτερης τάξης για ένα (τοπικό) μέγιστο είναι d π q= q* = f "( q) q= q* < Κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων db. Αν το b είναι σταθερό, τότε d[ bf ( )]. An to b είναι σταθερό τότε = bf '( ) Κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων da 5. = a ln a για κάθε σταθερά a Μια ειδική περίπτωση αυτού του κανόνα είναι de / = e 3. Αν το b είναι σταθερό, τότε b = b b d ln 4. = 9 0 Κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων Έστω ότι f() και g() είναι δύο συναρτήσεις του και ότι f () και g () υπάρχουν Τότε d[ f ( ) + g( )] 6. = f '( ) + g'( ) Κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων f ( ) d ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) 8. g f g f g = [ g( )] δεδομένου ότι g( ) 0 d[ f ( ) g( )] 7. = f ( ) g'( ) + f '( ) g( )

3 9. Κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων Αν = f() και = g(z) και αν και οι δύο f () και g () υπάρχουν, τότε: d dz = d = dz df dg dz Αυτό αποκαλείται αλυσωτός κανόνας. Ο αλυσωτός κανόνας μας δίνει τη δυνατότητα να εξετάζουμε το πως μια μεταβλητή (z) επηρεάζει μιαν άλλη μεταβλητή () μέσω της επίδρασης της σε μια ενδιάμεση μεταβλητή () 3 a de 0. Κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων Μερικά παραδείγματα του αλυσωτού κανόνα a de d( a) = = e d( a) a a = ae d[ln( a)] d[ln( a)] d( a). = = ln( a) a = aln( a) d( a). d[ln( )] d[ln( )] d( ) = = = d( ) a 4 Παράδειγμα μεγιστοποίησης του κέρδους Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Έστω ότι η σχέση μεταξύ κέρδους και προϊόντος είναι π =,000q -5q Οι συνθήκες πρώτης τάξης για μέγιστο είναι dπ/ =,000-0q q* 0 Αφού η δεύτερη παράγωγος είναι πάντοτε - 0, q 0 είναι ένα ολικό μέγιστο Οι περισσότεροι στόχοι των οικονομικών φορέων εξαρτώνται από πολλές μεταβλητές Υπάρχουν αντίστροφες σχέσεις Ηεξάρτησημιαςμεταβλητής() από μια σειρά άλλων μεταβλητών (,,, n ) συμβολίζεται ως = f( n,,..., ) 5 6 Μερικές παράγωγοι Μερικές παράγωγοι Ημερικήπαράγωγοςτου σε σχέση με το απεικονίζεται ως Ένας πιο τυπικός ορισμός της μερικής παραγώγου είναι or or f or f Όταν υπολογίζουμε τη μερική παράγωγο, όλα τα άλλα κρατούνται σταθερά,..., n f ( + h,,..., n ) f (,,..., n ) = lim h 0 h 7 8 3

4 Υπολογισμός μερικών παραγώγων Υπολογισμός μερικών παραγώγων. If = f (, ) = a = f = a + b = f = b + c + b + c, τότε κ 3. Αν = f (, ) = a ln + bln, τότε a b = f = και = f =. If = f (, ) = e = f = ae a + b a + b και, τότε = f = be a + b 9 0 Μερικές παράγωγοι Μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι είναι η μαθηματική έκφραση της υπόθεσης του ceteris paribus Δείχνουν πως οι μεταβολές σε μια μεταβλητή επηρεάζουν κάποιο αποτέλεσμα όταν η επίδρασητωνάλλωνμεταβλητώνδιατηρείται σταθερή Πρέπει να μας ενδιαφέρει πως μετρώνται οι μεταβλητές Αν q είναι η ποσότητα ζητούμενης βενζίνης (σε λίτρα) και p είναι η τιμή σε ευρώ ανά λίτρο, τότε q/ p μετρά τη μεταβολή στη ζήτηση (σε λίτραγιαέναέτος) για μια μεταβολή της τιμής κατά ένα ευρώ το λίτρο Ελαστικότητα Ελαστικότητα και μορφή συνάρτησης Η ελαστικότητα μετρά την ποσοστιαία μεταβολή μιας μεταβολής που προέρχεται από την ποσοστιαία μεταβολή μιας άλλης μεταβλητής Δεν εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης Η ελαστικότητα του ως προς είναι e, Δ = Δ Δ = Δ = 3 Έστω ότι = a + b + άλλοι όροι Σ αυτή την περίπτωση, e, = = b = b a + b + e, δεν είναι σταθερή Είναι σημαντικό να δούμε σε πιο σημείο πρέπει να υπολογιστεί η ελαστικότητα 4 4

5 Ελαστικότητα και μορφή συνάρτησης Ελαστικότητα και μορφή συνάρτησης Έστω ότι = a b Σ α υτή την περίπτωση, b e, = = ab = b b a 5 Έστω ότι ln = ln a + b ln Στην περίπτωση αυτή, e, ln = = b ln Οι ελαστικότητες μπορούν να υπολογιστούν μέσω λογαριθμικής διαφόρισης 6 Δεύτερης τάξης μερικές παράγωγοι Το θεώρημα του Young Η μερική παράγωγος μιας μερικής παραγώγου λέγεται δεύτερη μερική παράγωγος Κάτω από γενικές συνθήκες, η σειράμετην οποίαγίνεταιημερικήπαραγώγισηγια δεύτερες παραγώγους δεν έχει σημασία ( / i ) f = j j i = f ij f ij = f ji 7 8 Χρήση μερικών παραγώγων Ολικό διαφορικό Οι δεύτερες μερικές παράγωγοι παίζουν σημαντικό ρόλο στην οικονομική θεωρία Η δεύτερη μερική παράγωγος f ii Δείχνειπωςηοριακήεπίδρασητου i επί της ( / i ) αλλάζει καθώς η τιμή του i αυξάνει Μια τιμή της f ii < 0 δείχνει φθίνουσα οριακή επίδραση Έστω ότι = f(,,, n ) Αν όλα τα μεταβάλλονται κατά μια μικρή ποσότητα, η ολική επίδραση στο είναι d = d = f + f f n n n n

6 Συνθήκες πρώτης τάξης για μέγιστο (ή ελάχιστο) Ηεύρεσητουμεγίστου Μια αναγκαία συνθήκη για μέγιστο (ή ελάχιστο) της συνάρτησης f(,,, n ) είναι ότι d για κάθε συνδυασμό μικρών μεταβολών στα Ο μόνος τρόπος για να ισχύει αυτό είναι όταν f = f =... = f n Το σημείο στο οποίο ισχύει αυτή η σχέση Έστω ότι είναι συνάρτηση των και = - ( -) -( -) + 0 = Οι συνθήκες πρώτης τάξης συνεπάγονται = = Λέγεται κρίσιμο σημείο 3 3 ή * * = = Όριο παραγωγικών δυνατοτήτων Πεπλεγμένες συναρτήσεις Ας πάρουμε τη συνάρτηση: + = 5 η οποία μπορεί να γραφεί ως f(,) = + -5 Αφού f = 4 και f =, το κόστος ευκαιρίας μεταξύ και είναι d f = f 4 = = Συχνά δεν είναι δυνατό να λύσουμε πεπλεγμένες συναρτήσεις της μορφής g(,)=0 και να τις κάνουμε συναρτήσεις της μορφής = f() Οι μαθηματικοί έχουν συναγάγει τις αναγκαίες συνθήκες για την επίλυση τους Σε πολλές οικονομικές εφαρμογές οι συνθήκες αυτές είναι οι ίδιες με εκείνες της δεύτερης τάξης για ένα μέγιστο (ή ελάχιστο) αναφέρεταιστοπωςηάριστητιμήμιας συγκεκριμένης συνάρτησης μεταβάλλεται όταν μεταβάλλεται μια παράμετρος της συνάρτησης Αςτοδούμεμεέναπαράδειγμα Έστω ότι το είναι συνάρτηση του = - + a Για διάφορες τιμές του a, ησυνάρτησηαυτή αντιπροσωπεύει μια οικογένεια ανεστραμμένων παραβολών Αν το a πάρει μια τιμή, τότε το γίνεται συνάρτηση μόνο του και μπορεί να υπολογιστεί η τιμή του που μεγιστοποιεί το

7 Άριστες τιμές του και για εναλλακτικές τιμές του a Τιμή του a Τιμή του * Τιμή του * / /4 3 3/ 9/ / 5/ * a Καθώς το a αυξάνει, Η μέγιστη τιμή του (*) αυξάνεται Ησχέσημεταξύ a και τετραγωνική Έστω ότι ενδιαφερόμαστε για το πως το * αλλάζει καθώς αλλάζει το a Υπάρχουν δύο τρόποι να το κάνουμε Να υπολογίσουμε άμεσα την κλίση του Κρατούμε το σταθερόστηνάριστητιμήτουκαι υπολογίζουμε άμεσα το / a Γιαναυπολογίσουμετηνκλίσημιαςσυνάρτησης, πρέπει να τη λύσουμε για την άριστη τιμή του για κάθε τιμή του a d/ = - + a * = a/ Αντικαθιστώντας, έχουμε * = -(*) + a(*) = -(a/) + a(a/) * = -a /4 + a / = a / Άρα, d*/da = a/4 = a/ = * / a = Θέτοντας το = * Αλλά, μπορούμε να κάνουμε το ίδιο πολύ πιο σύντομα με τη χρήση του θεωρήματος της περιβάλλουσας Γιαμικρέςαλλαγέςστοa, το d*/da μπορεί να υπολογιστεί κρατώντας το στο * και υπολογίζοντας άμεσα το / a από το / a = * = a/ Αυτό είναι το ίδιο αποτέλεσμα που βρήκαμε νωρίτερα 4 4 7

8 μας λέει ότι η μεταβολή στην άριστη τιμή μιας συνάρτησης σε σχέση με μια παράμετρο της συνάρτησης μπορεί να βρεθεί με τη μερική παραγώγιση της, με δεδομένο ότι όλα τα (ή ορισμένα ) έχουν την άριστη τιμή τους d * = { = * ( a)} da a Το θεώρημα μπορεί να επεκταθεί και για την περίπτωση όπου το είναι συνάρτηση πολλών μεταβλητών = f(, n,a) Η εύρεση μιας άριστης τιμής του θα σήμαινε την επίλυση n πρώτης τάξης εξισώσεων / i (i =,,n) Οι άριστες τιμές των μπορούν να γραφούν ως συνάρτηση του a * = *(a) * = *(a)... n *= n *(a) Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στην αρχική συνάρτηση έχουμε την άριστη τομή του (*) * = f [ *(a), *(a),, n *(a),a] Διαφορίζοντας έχουμε d da * = da da n n + da a Λόγω των συνθηκών πρώτης τάξης, όλοι οι όροι εκτός από το / a είναιίσοιμεμηδέν, αν τα έχουν τις άριστες τιμές τους Άρα, d * = { = * ( a)} da a Μεγιστοποίηση υπό περιορισμούς Τι θα συμβεί αν όλες οι τιμές των δεν είναι εφικτές; Οι τιμές του ίσως πρέπει να είναι όλες θετικές Οι επιλογές του καταναλωτή περιορίζονται από την αγοραστική του δύναμη Μια μέθοδος που χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων μεγιστοποίησης υπό περιορισμό είναι η μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange

9 H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange Έστω ότι θέλουμε να βρούμε τις τιμές των,,, n που μεγιστοποιούν τη συνάρτηση = f(,,, n ) υπό τον περιορισμό που επιτρέπει μόνο ορισμένες τιμές στα g(,,, n ) H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange ξεκινά με τη δημιουργία της εξίσωσης L = f(,,, n ) + λg(,,, n ) όπου το λ είναι μια επιπλέον μεταβλητή που λέγεται πολλαπλασιαστής του Lagrange Όταν ισχύει ο περιορισμός, L = f επειδή g(,,, n ) H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι L/ = f + λg L/ = f + λg.. L/ n = f n + λg n L/ λ = g(,,, n ) H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange Οι συνθήκες πρώτης τάξης μπορεί να λυθούν για,,, n και λ Η λύση έχει δύο ιδιότητες: τα υπακούουν στον περιορισμό αυτά τα θα κάνουν την τιμή του L (και άρα του f) όσοτοδυνατόμεγαλύτερη 5 5 H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange Ο πολλαπλασιαστής του Lagrange (λ) μια σημαντική οικονομική ερμηνεία Οι συνθήκες πρώτης τάξης συνεπάγονται f /-g = f /-g = = f n /-g n = λ Οι αριθμητές μετρούν το οριακό όφελος που μια επιπλέον μονάδα του i αποφέρει στη συνάρτηση f Οι παρονομαστές αντανακλούν το επιπλέον βάρος στονπεριορισμόαπότηχρήσηεπιπλέον i H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange Στις άριστες επιλογές των, ο λόγος του οριακού οφέλους από την αύξηση του i προς το οριακό κόστος της αύξησης του i πρέπει να είναι ο ίδιος για όλα τα λ είναι ο κοινός λόγος κόστους-οφέλους για όλα τα οριακό όφελος του i λ = οριακό κόστος του i

10 H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange Αν χαλαρώσουμε λίγο τον περιορισμό, δεν ενδιαφέρει ποιο αλλάζει Ο πολλαπλασιαστής του Lagrange δίνει ένα μέτρο του πως η χαλάρωση του περιορισμού επηρεάζει την τιμή του λ δίνει τη σκιώδη τιμή του περιορισμού H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange Μια ψηλή τιμή του λ δείχνει ότι το μπορεί να αυξηθεί σημαντικά με τη χαλάρωση του περιορισμού Κάθε έχει ένα ψηλό λόγο κόστους-οφέλους Μιαχαμηλήτιμήτουλ δείχνει ότι δεν υπάρχουν πολλά οφέλη από τη χαλάρωση του περιορισμού λ=0 σημαίνει ότι ο περιορισμός δεν ισχύει Δυαδικότητα Κάθε πρόβλημα μεγιστοποίησης υπό περιορισμό συνδέεται με ένα δυαδικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης υπό περιορισμό, που δίνει προσοχή στους περιορισμούς του αρχικού προβλήματος Δυαδικότητα Τα άτομα μεγιστοποιούν τη χρησιμότητα υπό έναν εισοδηματικό περιορισμό Δυαδικό πρόβλημα: τα άτομα ελαχιστοποιούν τη δαπάνη που απαιτείται για να επιτύχουν ένα συγκεκριμένο επίπεδο χρησιμότητας Οι επιχειρήσεις ελαχιστοποιούν το κόστος των εισροών για να παραγάγουν ένα συγκεκριμένο επίπεδο προϊόντος Δυαδικό πρόβλημα : οι επιχειρήσεις μεγιστοποιούν το προϊόν για ένα δεδομένο κόστος των συντελεστών παραγωγής Έστω ότι ένας αγρότης έχει μια ποσότητα πλεκτού (P) καιεπιθυμείναπεριφράξειτο μεγαλύτερο δυνατό σχήμα ορθογωνίου Έστω το μήκος της μιας πλευράς Έστω το μήκος της άλλης πλευράς πρόβλημα: επιλέξτε το και το έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το εμβαδόν (A = ) υπό τον περιορισμό ότι η περίμετρος είναι σταθερή στο P = + Η εξίσωση του Lagrange L = + λ(p --) Οι συνθήκες πρώτης τάξης για μέγιστο είναι L/ = - λ L/ = - λ L/ λ = P

11 Αφού / = / = λ, το πρέπει να είναι ίσο με το Το χωράφι πρέπει να είναι τετράγωνο και πρέπει να επιλεγούν έτσι ώστε ο λόγος οριακού οφέλους προς το οριακό κόστους για όλα να είναι ο ίδιος Αφού = και = λ, μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον περιορισμό για να δείξουμε ότι = = P/4 λ = P/8 Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή του Lagrange Αν ο αγρότης ήθελε να ξέρει πόσο επιπλέον χωράφι θα μπορούσε να περιφραχτεί με την προσθήκη ενός επιπλέον μέτρου πλεκτού, το λ μας λέει ότι μπορούμε να το βρούμε αν διαιρέσουμε την τωρινή περίμετρο (P) με 8 Άρα ο πολλαπλασιαστής του Lagrange μας δίνει πληροφορίες για την υπονοούμενη τιμή του περιορισμού 6 6 Δυαδικό πρόβλημα: επίλεξε το και το για να ελαχιστοποιήσεις το ποσό του πλεκτού που χρειάζεται για να γίνει η περίφραξη ελαχιστοποίησε P = + υπό τον περιορισμό A = Η εξίσωση του Lagrange: L D = + + λ D (A - ) Συνθήκες πρώτης τάξης: L D / = - λ D L D / = - λ D L D / λ D = A - Λύνοντας βρίσκουμε = = A / Ο πολλαπλασιαστής του Lagrange (λ D ) = A -/ Θεώρημα της περιβάλλουσας & Θεώρημα της περιβάλλουσας & Έστω ότι θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε τη συνάρτηση = f(,, n ;a) υπό τον περιορισμό g(,, n ;a) Ένας τρόπος επίλυσης είναι με τη μέθοδο του Lagrange και να βρούμε τις συνθήκες πρώτης τάξης 65 Εναλλακτικά, μπορούμε να δείξουμε ότι d*/da = L/ a( *,, n *;a) Ημεταβολήστημέγιστητιμήτου που προκύπτει όταν το a αλλάζει μπορεί να βρεθεί με μερική διαφόριση του L and και να βρούμε την τιμή της μερικής παραγώγου σ αυτό το σημείο 66

12 Περιορισμοί ανισοτήτων Σε μερικά οικονομικά προβλήματα οι περιορισμοί δεν ισχύουν επακριβώς Π.χ, έστ προς μεγιστοποίηση η = f(, ) υπό τον περιορισμό g(, ) 0, 0, και 0 Περιορισμοί ανισοτήτων Ένας τρόπος επίλυσης του προβλήματος είναι να εισαγάγουμε τρεις νέες μεταβλητές One wa (a, b, και c) που μετατρέπουν τις ανισότητες ισότητες Για να είμαστε σίγουροι ότι οι ανισότητες συνεχίζουν να ισχύουν, θα πάρουμε τα τετράγωνα αυτών των νέων μεταβλητών για να είμαστε βέβαιοι ότι οι τιμές τους είναι θετικές Περιορισμοί ανισοτήτων Περιορισμοί ανισοτήτων g(, ) - a ; - b ; και - c Κάθε λύση που υπακούει αυτούς τους τρεις περιορισμούς ισότητας θα υπακούουν επίσης και στους περιορισμούς ανισοτήτων Η εξίσωση του Lagrange L = f(, ) + λ [g(, ) - a ] + λ [ - b ] + λ 3 [ - c ] Συνθήκες πρώτης τάξης Περιορισμοί ανισοτήτων Περιορισμοί ανισοτήτων L/ = f + λ g + λ L/ = f + λ g + λ 3 L/ a = -aλ L/ b = -bλ L/ c = -cλ 3 L/ λ = g(, ) - a L/ λ = - b L/ λ 3 = - c Σύμφωνα με την τρίτη συνθήκη, είτε a=0 είτε λ Αν a, ο περιορισμόςg(, ) ισχύει Αν λ, τότε ο περιορισμός είναι ανενεργός 7 7

13 Περιορισμοί ανισοτήτων Αυτά τα αποτελέσματα είναι γνωστά ως συνθήκες Kuhn-Tucker Οι συνθήκες αυτές δείχνουν ότι οι λύσεις σε προβλήματα αριστοποίησης με περιορισμούς που είναι ανισότητες διαφέρουν από προβλήματα με περιορισμούς ισότητας κατά πολύ απλό τρόπο Άρα εργαζόμενοι με περιορισμούς ισότητας δεν θα κάνουμε λάθος Συνθήκες δεύτερης τάξης Συναρτήσεις μιας μεταβλητής Έστω ότι = f() Μια αναγκαία συνθήκη για μέγιστο είναι d/ = f () Για να έχουμε μέγιστο, το πρέπει να είναι φθίνον για μεταβολές γύρω από το σημείο αυτό Συνθήκες δεύτερης τάξης Συναρτήσεις μιας μεταβλητής Τοολικόδιαφορικόμετράτημεταβολήστο d = f () Για να έχουμε μέγιστο, το d πρέπει να φθίνει γιαμικρέςαυξήσειςτου Για να δούμε τη μεταβολή στο d, πρέπει να πάρουμε τη δεύτερη παράγωγο του Συνθήκες δεύτερης τάξης Συναρτήσεις μιας μεταβλητής d[ f '( ) ] f "( ) d = = = Αφού το d < 0 συνεπάγεται f () < 0 Το είναι θετικό, f () < 0 f "( ) Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f πρέπει να είναι κοίλη στο κρίσιμο σημείο Συνθήκες δεύτερης τάξης Συναρτήσεις μιας μεταβλητής Έστω ότι = f(, ) Οι συνθήκες πρώτης τάξης για μέγιστο είναι / = f / = f Για να είναι το σημείο μέγιστο, το πρέπει να φθίνει για μεταβολές γύρω από το σημείο. Συνθήκες δεύτερης τάξης Συναρτήσεις δύο μεταβλητων Η κλίση στη κατεύθυνση, η (f ) πρέπει να μειώνεται στο κρίσιμο σημείο Η κλίση στη κατεύθυνση, η (f ) πρέπει να μειώνεται στο κρίσιμο σημείο Για να είμαστε όμως βέβαιοι ότι το d μειώνεται για όλες τις μεταβολές γύρω από το κρίσιμο σημείο,πρέπει να δούμε ποις συνθήκες θα επιβληθούν στη σταυροειδή παράγωγο, (f = f )

14 Συνθήκες δεύτερης τάξης Συναρτήσεις δύο μεταβλητων Το οιλκό διαφορικό του είναι d = f + f Τοδιαφορικότηςπιοπάνωσυνάρτησηςείναι d = (f + f ) + (f + f ) d = f + f + f + f Σύμφωνα με θεώρημα του Young, f = f και d = f + f + f Συνθήκες δεύτερης τάξης Συναρτήσεις δύο μεταβλητων d = f + f + f Για να είναι η εξίσωση αυτή αδιαμφισβήτητα αρνητική για κάθε μεταβολή των, τα f και f πρέπει να είναι αρνητικά Αν, τότε d = f for d < 0, f < 0 Αν, τότε d = f για d < 0, f < Συνθήκες δεύτερης τάξης Συναρτήσεις δύο μεταβλητων d = f + f + f Αν ούτε το ούτε το είναι μηδέν, τότε το d θα είναι αδιαμφισβήτητα αρνητικό μόνο αν f f - f > 0 Οι δεύτερες παράγωγοι (f και f ) πρέπει να είναι επαρκώς αρνητικές ώστε να αντισταθμίζουν κάθε πιθανά περίεργα αποτελέσματα από τις σταυροειδείς παραγώγους (f = f ) Έστω ότι επιλέγουμε το και το για να μεγιστοποιηθεί η εξίσωση = f(, ) Υπό το γραμμικό περιορισμό c - b - b Η εξίσωση του Lagrange είναι L = f(, ) + λ(c - b - b ) 8 8 Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι f - λb f - λb c - b - b Για να έχουμε μέγιστο, πρέπει να πάρουμε το δεύτερο ολικό διαφορικό d = f + f + f Μόνο οι τιμές των και που ικανοποιούν τον περιορισμό μπορεί να θεωρηθούν αξιόπιστες εναλλακτικές τιμές για το κρίσιμο σημείο Έτσι, πρέπει να υπολογίσουμε το ολικό διαφορικό του περιορισμού -b - b = -(b /b ) Αυτές είναι οι επιτρεπτές σχετικές μεταβολές των και

15 Επειδή οι συνθήκες πρώτης τάξης συνεπάγονται ότι f /f = b /b, μπορούμε με αντικατάσταση να βρούμε = -(f /f ) Αφού d = f + f + f μπορούμε να αντικαταστήσουμε το για να βρούμε d = f -f (f /f ) + f (f /f ) 85 Με συνδιασμούς και αναδιατάξεις βρίσκουμε d = f f -f f f + f f [ / f ] Άρα, για d < 0, τότε πρέπει να ισχύει f f -f f f + f f < 0 Η εξίσωση αυτή χαρακτηρίζει ένα σύνολο οιονεί κοίλων συναρτήσεων Δύο οποιαδήποτε σημεία μέσα στο σύνολο μπορόύν να συνδεθούν με μια γραμμή, η οποία είναι ολόκληρη εντός του συνόλου 86 Κοίλες και οιονεί-κοίλες συναρτήσεις Οι διαφορές μεταξύ κοίλων και οιονεί-κοίλων συναρτήσεων μπορούν να διευκρινιστούν με υη συνάρτηση = f(, ) = ( ) k όπυ τα παίρνουν μόνο θετικές τιμές και το k μπορεί να πάρει διάφορες θετικές τιμές Κοίλες και οιονεί-κοίλες συναρτήσεις Ανεξάρτητα από τις τιμές του k, η συνάρτηση αυτή είναι οιονεί-κοίλη Το αν η συνάρτηση είναι κοίλη εξαρτάται από τις τιμές του k Αν k < 0.5, η συνάρτηση είναι κοίλη Αν k > 0.5, η συνάρτηση είναι κυρτή Ομογενείς συναρτήσεις Ομογενείς συναρτήσεις Μια συνάρτηση f(,, n ) λέγεται ότι είναι ομογενής βαθμού k αν f(t,t, t n ) = t k f(,, n ) Αν μια συνάρτηση είναι ομογενής πρώτου βαθμού, ένας διπλασιασμός όλων των μεταβλητών διπλασιάζει την τιμή της συνάρτησης Αν μια συνάρτηση είναι ομογενής μηδενικού βαθμού, ένας διπλασιασμός όλων των μεταβλητών αφίνει την τιμή της συνάρτησης αμετάβλητη Αν μια συνάρτηση είναι ομογενής βαθμού k, οι μερικές παράγωγοι της συνάρτησης θα είναι ομογενείς βαθμού k

16 Το θεώρημα του Euler Αν διαφορίσουμε τον ορισμό για την ομογένεια σε σχέση με ένα συντελεστή αναλογικότητας t, έχουμε ότι kt k- f(,, n ) = f (t,,t n ) + + n f n (,, n ) Η σχέση αυτή λέγεται θεώρημα του Euler Το θεώρημα του Euler Το θεώρημα του Euler δείχνει ότι,για τις ομογενείς συναρτήσεις, υπάρχει μια σαφής σχέση μεταξύ των τιμών της συνάρτησης και των τιμών των μερικών της παραγώγων 9 9 Ομοθετικές συναρτήσεις Μια ομοθετική συνάρτηση είναι εκείνη που προέρχεταιαπότομονοτονικό μετασχηματισμό μιας ομογενούς συνάρτησης Οι συναρτήσεις αυτές δεν έχουν τις ιδιότητες των συναρτήσεων από τις οποίες προέρχονται Ομοθετικές συναρτήσεις Τόσο για τις ομογενείς όσο και οι ομοθετικές συναρτήσεις, οι σχέσεις μεταξύ μεταβλητών εξαρτώνται από το λόγο αυτών των μεταβλητών και όχι από τις απόλυτες τιμές τους Ομοθετικές συναρτήσεις Ομοθετικές συναρτήσεις Έστω ότι έχουμε τη συνάρτηση f(,) Ησχέσημεταξύ και είναι d/ = -f /f Αν υποθέσουμε ότι η f είναι ομογενής βαθμού k, οι μερικές της παράγωγοι θα είναι ομογενείς k- βαθμού 95 Ησχέσημεταξύ και είναι k d t f( t, t ) f( t, t ) = = k t f ( t, t) f ( t, t) Αν t = /, F' f, f, d = = F' f, f, 96 6

17 Ομοθετικές συναρτήσεις Η σχέση δεν μεταβάλλεται από το μονοτονικό μετασχηματισμό και παραμένει συνάρτηση μόνο του λόγου των προς 97 7