ΡΕΥΣΤΑ ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

Transcript

1 ΡΕΥΣΤΑ ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

2

3 ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

4 ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ

5 ΡΕΥΣΤΑ 3-1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.Τί ονομάζουμε ρευστά; Οι φυσικοί και οι μηχανικοί αποδίδουν το χαρακτηρισμό «ρευστά» στα υγρά και τα αέρια σώματα, τα οποία - αντίθετα με τα στερεά - δεν έχουν δικό τους σχήμα αλλά παίρνουν το σχήμα του δοχείου που τα περιέχει..σε ποιές κατηγορίες διακρίνουμε τα ρευστά; Η διάκριση των ρευστών σε υγρά και αέρια βασίζεται στη σταθερό- τητα του όγκου τους (για ορισμένη θερμοκρασία). Τα υγρά είναι πρακτικά ασυμπίεστα, έχουν δηλαδή σταθερό όγκο, ανεξάρτητο από την πίεση. Αντί- θετα τα αέρια είναι συμπιεστά. Αυτό σημαίνει ότι ο όγκος τους εξαρτάται από την πίεσή τους. 3- ΥΓΡΑ ΣΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ 3.Πώς ορίζεται η πίεση; Πίεση, p: Ορίζεται ως το πηλίκο του μέτρου της δύναμης df που ασκείται κάθετα σε μια επιφάνεια εμβαδού dα προς το εμβαδόν αυτό. p=df/da Η πίεση στο SI μετριέται σε Pascal (Pa). 1Pa=1N/m. Τεχνική μονάδα: η 1atm=1, Pa Aν η δύναμη που ασκείται σε μια επιφάνεια σχηματίζει γωνία θ με την κάθετο στην επιφάνεια, τότε για τον υπολογισμό της πίεσης χρησιμοποιούμε την κάθετη συνιστώσα της δύναμης και έχουμε: p=dfκ/da =df συνθ/da 4.Πού οφείλεται η πίεση στα διάφορα σημεία ενός υγρού; ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

6 Η πίεση στα διάφορα σημεία του χώρου που καταλαμβάνει κάποιο υγρό και στα τοιχώματα του δοχείου μέσα στο οποίο περιέχεται οφείλεται ή στο βάρος του υγρού ή σε εξωτερικό αίτιο. Ως εξωτερικό αίτιο μπορούμε να θεωρήσουμε την πίεση που κάποιο έμβολο ασκεί σε μια περιοχή του υγρού η την ατμοσφαιρική. Η πίεση που μετράει το μανόμετρο στο δοχείο του σχήματος 3.1 οφείλεται και στο βάρος του υγρού που περιέχεται στο δοχείο αλλά και στη δράση του εμβόλου.αν είναι στην ατμόλσφαιρα P= F A + Pατμ + Pυδρ 5.Τί ονομάζεται υδροστατική πίεση; Η πίεση που οφείλεται στο βάρος του υγρού ονομάζεται υδροστατική πίεση. όπου g= επιτάχυνση της βαρύτητας ΠΡΟΣΟΧΗ:Η υδροστατική πίεση έχει νόημα μόνο εφόσον το υγρό βρίσκεται μέσα σε πεδίο βαρύτητας.η σχέση που δίνει την υδροστατική πίεση σε κάποιο σημείο Γ του χώρου που κατα λαμβάνει ένα υγρό σε ισορροπία είναι h =το βάθος του σημείου Γ (η απόσταση από την ανώτερη επιφάνεια του υγρού) και p=η πυκνότητα του υγρού. Pυδρ Γ=p g h (Θεμελιώδης νόμος της υδροστατικής) 6.Τί λέει η Αρχή του Pascal (Πασκάλ) ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

7 Όταν ένα υγρό βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας, σε όλη του την έκταση επικρατεί η ίδια πίεση. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι η πίεση που δημιουργεί ένα εξωτερικό αίτιο σε κάποιο σημείο του υγρού μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα σημεία του. (αρχή του Pascal) Για παράδειγμα, Α) στο δοχείο του σχήματος, τα μανόμετρα δείχνουν όλα την ίδια πίεση όταν το δοχείο βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας. Αν αυξηθεί η δύναμη που ασκείται στο έμβολο κατά ΔF θα αυξηθεί και η πίεση σε όλα τα μανόμετρα κατά Δ F/ Α (A εμβαδόν του εμβόλου). Β)άν τώρα το δοχείο βρίσκεται εντός του πεδίου βαρύτητας, η πίεση που δείχνουν τα μανόμετρα είναι διαφορετική στο κάθε ένα από αυτά ανάλογα με το βάθος στο οποίο βρίσκεται. Αν πάλι αυξηθεί η δύναμη που ασκείται στο έμβολο κατά ΔF θα αυξηθεί και η πίεση σε όλα τα μανόμετρα κατά Δ F/ Α=atm. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

8 Σημείωση : Αν κάποιο υγρό ισορροπεί σε ανοιχτό δοχείο, στην ελεύθερη επιφάνειά του ασκείται η ατμοσφαιρική πίεση. Έτσι η πίεση σε βάθος h θα είναι p Γ =patm+p g h, ακριβώς επειδή λόγω της αρχής του Pascal η ατμοσφαιρική πίεση μεταφέρεται σε όλα τα σημεία του υγρού. Εφαρμογη1 Το υδραυλικό πιεστήριο: Επειδή οι πιέσεις στα δύο έμβολα μεταφέρονται οι ίδιες σύμφωνα με την αρχή του Pascal, ισχύει ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

9 p1=p F1/A1 = F/A F= F1 A/A1 Αρα: Οι δυνάμεις είναι ανάλογες με τα εμβαδά. Δηλαδή στο μεγαλύτερο εμβαδόν μεταφέρεται και μεγαλύτερη δύναμη. Επειδή τα υγρά είναι ασυμπίεστα οι μεταβολές των όγκων των υγρών στις δύο στήλες είναι ίσες: ΔV1= ΔV A1 y1= A y Αρα: Τα ύψη είναι αντιστρόφως ανάλογα των εμβαδών διατομής Επίσης Τα έργα των δύο δυνάμεων είναι ίσα διότι: WF1=F1 y1=p1 A1 y1=p1 ΔV1 WF=F y=p A y=p V Από αρχή Pascal P1=P και ΔV1=ΔV άρα WF1= WF Εφαρμογη Άλλες εφαρμογές που χρησιμοποιούν την αρχή του Pascal είναι ο υδραυλικός ανελκυστήρας, η οδοντιατρική πολυθρόνα, ο υδραυλικός γρύλλος και το σύστημα φρεναρίσματος ενός αυτοκινήτου, που περιγράφεται στη συνέχεια (βλ. διπλανό σχήμα). Όταν ο οδηγός πιέζει το πεντάλ, η πίεση στον κύριο κύλινδρο αυξάνεται. Αυτή η αύξηση της πίεσης μεταφέρεται στο υγρό των φρένων σύμφωνα με την αρχή του Pascal, ωθώντας ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

10 τελικά τα τακάκια στους δίσκους που είναι συνδεδεμένοι στους τροχούς του αυτοκινήτου, με αποτέλεσμα την επιβράδυνση του οχήματος. 3-3 ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ 7.Tί συμβαίνει στα πραγματικά ρευστά; Κατά την κίνηση των ρευστών αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής μεταξύ των μορίων τους (εσωτερική τριβή) αλλά και μεταξύ των μορίων τους και των τοιχωμάτων του σωλήνα μέσα στον οποίο πραγματοποιείται η κίνηση (δυνάμεις συναφείας). Αν οι δυνάμεις που προαναφέραμε υπερβούν κάποιο όριο το ρευστό δημιουργεί κατά τη ροή του δίνες και η ροή λέγεται τυρβώδης ή στροβιλώδης. Η μελέτη μιας τέτοιας κίνησης είναι πολύπλοκη. 8.Ποιό ρευστό λέγεται ιδανικό; Είναι το ρευστό που θεωρείται ασυμπίεστο και δεν παρουσιάζει εσωτερικές τριβές (μεταξύ των μορίων του) και τριβές με τα τοιχώματα του δοχείου. 9.Ποιά ρευστά λέγονται ασυμπίεστα; Θεωρούνται τα ρευστά που έχουν σταθερό όγκο και σταθερή πυκνότητα ανεξάρτητα από την εξωτερική πίεση που τους ασκείται. Τα υγρά θεωρούνται ασυμπίεστα, τα αέρια όχι. 10.Ποιά ροή λέγεται στρωτή; Η ροή που δε παρουσιάζει στροβίλους. Τα γειτονικά στρώματα του υγρού ρέουν απαλά μεταξύ τους. Στη στρωτή ροή η ταχύτητα των μορίων του υγρού σε ένα σημείο του χώρου παραμένει σταθερή. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

11 11.Τί ονομάζεται ρευματική γραμμή (ή γραμμή ροής) : Είναι η τροχιά ενός σωματίου του υγρού σε κίνηση. Σε κάθε σημείο μιας ρευματικής γραμμής είναι 1. Τί ονομάζεται Φλέβα ή σωλήνας ροής ή ρευματικός σωλήνα; Είναι το σύνολο των ρευματικών γραμμών που περνάνε μέσα από μια φανταστική στοιχειώδη επιφάνεια. Όπως φαίνεται από τον ορισμό της το ρευστό που κυλάει σε κάποια φλέβα δεν αναμιγνύεται με το περιεχόμενο άλλης φλέβας του σωλήνα. ΠΡΟΣΟΧΗ: Ως σωλήνες θεωρούμε κάθε μορφής τοιχώματα που περιορίζουν το κινούμενο ρευστό. Για παράδειγμα σωλήνες μπορούν να θεωρηθούν η κοίτη και τα πλευρικά τοιχώματα στη ροή των ποταμών ή οι κοιλάδες στην κίνηση των ανέμων. 13.Τί γνωρίζετε για την παροχή ρευστού; Από μια διατομή του σωλήνα ή της φλέβας σε χρόνο Δt περνάει ένας όγκος υγρού ΔV. Το πηλίκο Π= ΔV Δt ονομάζεται παροχή του σωλήνα ή της φλέβας και μετριέται σε m 3 / s. Αν η διατομή του σωλήνα είναι Α και το υγρό στο χρονικό διάστημα Δt έχει μετατοπιστεί κατά Δx, μπορούμε να γράψουμε ΔV=Α Δχ Ετσι Π= Α Δχ Δt = Α u όπου u= η ταχύτητα του υγρού στη θέση αυτή ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

12 Αρα Π=Α u Η παροχή σωλήνα ή φλέβας σε κάποια θέση είναι ίση με το γινόμενο του εμβαδού της διατομής επί την ταχύτητα του ρευστού στη θέση αυτή. 3-4 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΥΛΗΣ ΚΑΙ Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ 14.Τί γνωρίζετε και πώς αποδεικνύεται η εξίσωση συνέχειας στα ρευστά; Θεωρούμε ένα ασυμπίεστο ρευστό που ρέει μέσα σ' ένα σωλήνα μεταβλητής διατομής. Υποθέτουμε ότι η ροή είναι στρωτή. Επειδή το ρευστό θεωρείται ασυμπίεστο θα πρέπει η μάζα Δm1 που περνάει από μία διατομή Α1 του σωλήνα σε χρόνο Δt να είναι ίση με τη μάζα Δm που περνάει στο ίδιο χρονικό διάστημα από μία άλλη διατομή του σωλήνα Α. Είναι δηλαδή Δm1=Δm ρδv1=ρδv A1Δx1=AΔx A1υ1Δt=ΑυΔt Α1υ1=Αυ όπου ΔV1 και ΔV οι στοιχειώδεις όγκοι που καταλαμβάνουν μέσα στο σωλήνα οι μάζες Δm1 και Δm αντίστοιχα ενώ u1 και u οι ταχύτητες του ρευστού στις διατομές Α1 και Α αντίστοιχα. Τελικά Α1υ1=Αυ Η εξίσωση αυτή ονομάζεται εξίσωση της συνέχειας και είναι άμεση συνέπεια της αρχής διατήρησης της ύλης. και διατυπώνεται ως εξής: Κατά μήκος μιας φλέβας ή ενός σωλήνα η παροχή διατηρείται σταθερή. Π1=Π (Υπενθυμίζεται ότι το ρευστό θεωρείται ασυμπίεστο. Αυτό σημαίνει ότι η πυκνότητά του είναι ίδια σε όλη την έκτασή του) ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

13 15.Τί συμπεράσματα προκύπτουν από την εξίσωση συνέχειας για τις ταχύτητες του ρευστού κατά μήκος της φλέβας; Από τη σχέση Α1υ1=Αυ φαίνεται ότι κατά μήκος ενός σωλήνα που δεν έχει σταθερή διατομή, η ταχύτητα του υγρού δεν είναι παντού ίδια. Σε σημεία όπου ο σωλήνας στενεύει η ταχύτητα ροής είναι πιο μεγάλη. Κατά μήκος ενός ποταμού με σταθερό πλάτος πολλές φορές το βάθος ποικίλει. Όπου το ποτάμι έχει μικρό βάθος έχει και μικρή εγκάρσια διατομή. Επειδή η παροχή είναι σταθερή, στις περιοχές όπου το ποτάμι είναι ρηχό το νερό κυλάει γρηγορότερα. Παραστατικά μπορούμε να πούμε ότι εκεί που οι ρευματικές γραμμές πυκνώνουν η ταχύτητα ροής είναι πιο μεγάλη. 16. Τί γνωρίζετε και πώς αποδεικνύεται η Εξίσωση Bernoulli; Κατά μήκος μιας ρευματικής γραμμής το άθροισμα της πίεσης p, της κινητικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου (½ρυ ) και της δυναμικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου (ρgy) διατηρείται σταθερό. P1+½ρυ1 + ρgy1= P+½ρυ + ρgy (p) η στατική πίεση, (½ρυ) η δυναμική πίεση και (ρgh) η υψομετρική πίεση. Είναι συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας. Η εξίσωση του Bernoulli συσχετίζει την πίεση, την ταχύτητα ροής και το ύψος κατά μήκος μιας ρευματικής γραμμής. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

14 Απόδειξη: Αν γράψουμε το ΘΜΚΕ για μια στοιχειώδη μάζα, Δm, όγκου ΔV που μετακινείται μέσα στο ρευστό και δέχεται τη συνισταμένη δύναμη F=F1 F που οφείλεται στη διαφορά πίεσης p1 p και την ωθεί προς τα πάνω και τη δύναμη του βάρους, Δm g. Το συνολικό έργο ισούται με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας: WF+Wβ =ΔΚ ΔWF/dV + ΔWΒ/ΔV = ΔK/ΔV (F1ΔΧ1 FΔΧ) ΔV - Δm g Δy ΔV = 1 Δm (u u 1 ) ΔV F1ΔΧ1 AΔx1 - FΔχ - pδv g (y y1) ΑΔχ ΔV = 1 pδv (u u 1 ) ΔV P1-P-pgy-pgy1= 1 pu - 1 pu 1 ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

15 P1+½ρυ1 + ρgy1= P+½ρυ + ρgy ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν ο σωλήνας είναι οριζόντιος η εξίσωση του Bernoulli παίρνει τη μορφή P 1 +½ρυ 1 = P +½ρυ =ΣΤΑΘΕΡΌ Έτσι όπου οι ρευματικές γραμμές πυκνώνουν και η ταχύτητα αυξάνεται, η πίεση μειώνεται.(h1>h) ΠΡΟΣΟΧΗ: Α)ισχύει και για ακίνητα υγρά Β) ισχύει και για αέρια Γ)το ρευστό που εξέρχεται στον αέρα έχει Ρatm Δ)Κατά την εφαρμογή της εξίσωσης Bernoulli, όταν έχουμε εμπόδιο που κινείται μέσα σε ακίνητο ρευστό (π.χ. αεροπλάνο), η ταχύτητα που υπεισέρχεται στον τύπο είναι η σχετική ταχύτητα του ρευστού ως προς το εμπόδιο. Δηλαδή, την εξίσωση του Bernoulli την γράφει ο παρατηρητής που βρίσκεται πάνω στο εμπόδιο. 17. Τί γνωρίζετε και πώς αποδεικνύεται το θεώρημα του Torricelli; Δίνει την ταχύτητα εκροής υγρού από οπή που βρίσκεται σε βάθος h κάτω από την επιφάνεια του ρευστού με δεδομένα ότι το υγρό στην επιφάνεια του δοχείου είναι σχεδόν ακίνητο ( (υε=0,όταν το εμβαδό της Ε πολύ μεγαλύτερο του εμβαδούτης Κ)) και τόσο η επιφάνεια, Ε όσο και το σημείο εκροής, Κ βρίσκονται υπό την ίδια ατμοσφαιρική πίεση,pε=pκ=patm Αν γράψουμε το νόμο του Bernoulli κατά μήκος μιας ρευματικής γραμμής από το Ε έως το Κ με στάθμη δυναμικής ενέργειας, UK=0 τότε έχουμε: PE + ρgh =PK + p u υ K = gh Ετσι η ταχύτητα εκροής υγρού από στόμιο που βρίσκεται σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνειά του είναι ίση με την ταχύτητα που θα είχε το υγρό αν έπεφτε ελεύθερα από ύψος h. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

16 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: «Ροόμετρο Venturi με ανοιχτές στήλες» 1ον Eξίσωση της συνέχειας : Α1 υ1 = Α υ υ = Α1 υ1/ Α ον Οι πιέσεις στα σημεία Α και Β είναι: Ρ1 = Ρat + ρ g h1 και Ρ = Ρat + ρ g h, με h = h1 h. 3ον Εξίσωση του Bernoulli από σημεία Α στο σημείο Β: Ρ1 + 1/ ρ υ1² = Ρ + 1/ ρ υ² Ρατμ + ρ g h1 + 1/ ρ υ1² = Ρατμ + ρ g h + 1/ ρ υ² ρ g (h1 h) = 1/ ρ (υ² υ1²) 18.Τί γνωρίζετε για το ιξώδες ενός ρευστού; Στα πραγματικά ρευστά, όταν ένα τμήμα του ρευστού κινείται ως προς ένα άλλο τμήμα του, εμφανίζονται δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνησή του. Οι δυνάμεις αυτές της εσωτερικής τριβής ονομάζονται ιξώδες του ρευστού. 19.Τί συμβαίνει όταν μια πλάκα κινείται πάνω σε ένα ρευστό; Δύο πλάκες εμβαδού Α τοποθετούνται οριζόντια και παράλληλα και ανάμεσά τους βάζουμε μέλι σε πάχος L. Η κάτω πλάκα είναι σταθερή. Ο πειραματιστής ασκεί τη δύναμη F1 παράλληλα στην πάνω πλάκα ώστε αυτή να μετακινείται με σταθερή ταχύτητα, V, (βλέπε σχήμα). Το ανώτατο στρώμα που εφάπτεται στην πλάκα κινείται με την ταχύτητα V που έχει η ίδια η πλάκα, ενώ το κατώτατο στρώμα παραμένει ακίνητο. Οι διαμοριακές δυνάμεις συνοχής που αναπτύσσονται ανάμεσα στα επιμέρους στρώματα του ρευστού εκδηλώνονται ως δυνάμεις τριβής ανάμεσά τους. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

17 Οι διαμοριακές δυνάμεις συνάφειας αναγκάζουν τα ακρότατα στρώματα, το κάτω και το επάνω, να παραμένουν προσκολλημένα στην ακίνητη και στην κινούμενη πλάκα αντίστοιχα. Τα ενδιάμεσα στρώμα γλιστρούν το ένα ως προς το άλλο με τις αντίστοιχες τριβές τους, με αποτέλεσμα στο ρευστό να αναπτύσσεται ένα προφίλ ταχυτήτων με τιμή ταχύτητα που αυξάνεται βαθμιδωτά ως προς τον άξονα y. Ταυτόχρονα ασκείται στην πλάκα αντίθετη δύναμη F από το πάνω μέρος του ρευστού που εφάπτεται σ αυτήν. Επειδή η πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα είναι F1 = F. Tο πάνω στρώμα του μελιού δέχεται από την πλάκα τη δύναμη F3 δηλαδή την αντίδραση της F και άρα, F3 = F. Όμως αν δεχθούμε ότι το στρώμα του μελιού κινείται και αυτό με την ίδια σταθερή ταχύτητα, πρέπει να δέχεται από ένα άλλο στρώμα που βρίσκεται από κάτω του την αντίθετη δύναμη F4. Άρα F4 = F3. H δύναμη της εσωτερικής τριβής είναι η F4. Μετρώντας ο πειραματιστής της δύναμη F1 καταλήγει στο συμπέρασμα ότι F1=F=F3=F4= F= η A υ L 0. Τί γνωρίζετε για τον συντελεστή ιξώδους; Όπου η είναι ο συντελεστής ιξώδους και μετριέται στο SI, σε Ν s/m ή Ρa s. Στην πράξη μετριέται σε poise. 1 poise=0,1n s/m. Χαρακτηρίζει το κάθε ρευστό αλλά εξαρτάται και από τη θερμοκρασία. Το ιξώδες των υγρών μειώνεται όταν η θερμοκρασία αυξάνεται. Αντιθέτως των αερίων αυξάνεται με την άνοδο της θερμοκρασίας. 1.Τί είναι τα Νευτώνεια υγρά: Τα υγρά που υπακούουν στη γραμμική σχέση μεταξύ δύναμης F και ταχύτητας, υ, δηλαδή στην εξίσωση, F=η A υ/l. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

18 .Τί ισχύει για τις ταχύτητες ενός ρευστού σε σωλήνα; 3. Ποια είναι η ιδιαιτερότητα του αίματος σε σχέση με τη ροή του; Το αίμα είναι ένα αιώρημα στερεών σωματιδίων μέσα σε υγρό. Καθώς αυξάνει η ταχύτητα ροής, για να μην αυξηθούν υπέρμετρα οι εσωτερικές τριβές, τα σωματίδια παραμορφώνονται και προσανατολίζονται με τέτοιο τρόπο ώστε να διευκολύνουν τη ροή. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

19 ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

20 P A =0 h Α B P B =p g h ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΟΧΕΙΟ ΧΩΡΙΣ ΕΜΒΟΛΑ F1,A1 PA= F1+F+F3 A1+A+A3 +Patm+m1g A1 F,A h PB= F1+F+F3 A1+A+A3 +pgh+patm+m1g A1 PA+pgh=PB F3,A3 ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΟΧΕΙΟ ΜΕ ΕΜΒΟΛΑ ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

21 M m PA=Patm+ (m+m)g A h PB=PA+pgh PΓ=Patm PΔ=PB=Patm+pgh PA=PE=Patm+pgh ΑΝΟΙΚΤΟ ΔΟΧΕΙΟ ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

22 Έτσι, στο ανοιχτό δοχείο του διπλανού σχήματος η εξωτερική πίεση του εμβόλου δεν μεταδίδεται. Το έμβολο λειτουργεί απλά ως τμήμα του πλευρικού τοιχώματος του δοχείου και η εξωτερική δύναμη F1 εξισορροπεί τη δύναμη που ασκεί το υγρό στο έμβολο. Όμως η ατμοσφαιρική πίεση μέσω της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού μεταφέρεται σε όλα τα σημεία του υγρού με αποτέλεσμα η πίεση στα σημεία Α και Β να είναι: ΑΝΟΙΚΤΟ ΔΟΧΕΙΟ ΜΕ ΕΜΒΟΛΟ P A =Pατμ +pgh A P B =Pατμ+pgh B h1 PB=PA+p 1 gh 1 h PΓ=PA+p 1 gh 1 +pgh ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΟΧΕΙΟ ΜΕ ΕΜΒΟΛΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΥΓΡΑ ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

23 PA=0 h1 PB=PA+p 1 gh 1 h PΓ=PA+p 1 gh 1 +p gh ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΟΧΕΙΟ ΧΩΡΙΣ ΕΜΒΟΛΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΥΓΡΑ ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

24 F Οι δυναμεις στα πλευρικά τοιχωματα Είναι κάθετες σε αυτά και αναλογες με το βάθος F=Ρ ΔΑ=pghΔΑ ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

25 Δύναμη στον οριζόντιο πυθμενα Fi=PΔΑ=pgh ΔΑi Wi=m i g= pgδvi (γ) Fα>m α g Fβ<m β g Fγ=m γ g H1 PA=PB Ρatm+p 1 gh 1 = Ρatm+p gh A H B p 1 gh 1 = p gh ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

26 Το υδραυλικό πιεστήριο: Επειδή οι πιέσεις στα δύο έμβολα μεταφέρονται οι ίδιες σύμφωνα με την αρχή του Pascal, ισχύει p1=p F1/A1 = F/A F= F1 A/A1 Αρα: Οι δυνάμεις είναι ανάλογες με τα εμβαδά. Δηλαδή στο μεγαλύτερο εμβαδόν μεταφέρεται και μεγαλύτερη δύναμη. Επειδή τα υγρά είναι ασυμπίεστα οι μεταβολές των όγκων των υγρών στις δύο στήλες είναι ίσες: ΔV1= ΔV A1 y1= A y Αρα: Τα ύψη είναι αντιστρόφως ανάλογα των εμβαδών διατομής Επίσης Τα έργα των δύο δυνάμεων είναι ίσα διότι: WF1=F1 y1=p1 A1 y1=p1 ΔV1 WF=F y=p A y=p V Από αρχή Pascal P1=P και ΔV1=ΔV άρα WF1= WF ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

27 T F U=σταθερή L T=F= η A υ L Α1υ1=Αυ P1+½ρυ1 + ρgy1= P+½ρυ + ρgy ΕΦΑΡΜΟΓΗ: «Ροόμετρο Venturi με ανοιχτές στήλες» Ρ1 + 1/ ρ υ1² = Ρ + 1/ ρ υ² Ρατμ + ρ g h1 + 1/ ρ υ1² = Ρατμ + ρ g h + 1/ ρ υ² ρ g (h1 h) = 1/ ρ (υ² υ1²) 1ον Eξίσωση της συνέχειας : Α1 υ1 = Α υ υ = Α1 υ1/ Α ον Οι πιέσεις στα σημεία Α και Β είναι: Ρ1 = Ρat + ρ g h1 και Ρ = Ρat + ρ g h, με h = h1 h. 3ον Εξίσωση του Bernoulli από σημεία Α στο σημείο Β: ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

28 h h1 F1=(Patm+pgh1)A F=(Patm+pgh)A Fολική=F-F1=pg(h-h1)=Ανωση «Ροόμετρο Venturi με κλειστή στήλη» 1ον Eξίσωση της συνέχειας : Α1 υ1 = Α υ υ = Α1 υ1/ Α ον Εξίσωση του Bernoulli από σημεία Α στο σημείο Β: h Ρ1 + 1/ ρ υ1² = Ρ + 1/ ρ υ² h1 Δ Ε h 3ον PΔ = PΕ PΔ = ρν g h1 + P1 PΕ = ρν g h + ρhg g h + P ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

29 1ον Εξίσωση του Bernoulli από σημεία Γ στο σημείο Ζ: Ρ Γ + 1/ ρ υ Γ ² = Ρ =Ρatm (uz=0) ον Ρatm=PΑ=ΡΔ=ΡΓ+pgh Ψεκαστήρι νερού Τί γνωρίζετε και πώς αποδεικνύεται το θεώρημα του Torricelli; Δίνει την ταχύτητα εκροής υγρού από οπή που βρίσκεται σε βάθος h κάτω από την επιφάνεια του ρευστού με δεδομένα ότι το υγρό στην επιφάνεια του δοχείου είναι σχεδόν ακίνητο ( (υε=0,όταν το εμβαδό της Ε πολύ μεγαλύτερο του εμβαδούτης Κ)) και τόσο η επιφάνεια, Ε όσο και το σημείο εκροής, Κ βρίσκονται υπό την ίδια ατμοσφαιρική πίεση,pε=pκ=patm Αν γράψουμε το νόμο του Bernoulli κατά μήκος μιας ρευματικής γραμμής από το Ε έως το Κ με στάθμη δυναμικής ενέργειας, UK=0 τότε έχουμε: PE + ρgh =PK + p u υk= gh Ετσι η ταχύτητα εκροής υγρού από στόμιο που βρίσκεται σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνειά του είναι ίση με την ταχύτητα που θα είχε το υγρό αν έπεφτε ελεύθερα από ύψος h. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

30 1 ον υ Α = gy ον Ρ Β +pg(h+y)+1/pu B =P A +1/pu A 3 ον u A =u B Αρα ΡΒ+pg(h+y)=PA=Ρatm Για να υπάρχει ροή πρέπει Ρ Β >0 υ Γ = gh tκαθ= (H h) g χ= υ Γ tκαθ ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

31 Α1υ1=Αυ P1+½ρυ1 + ρgh= P+½ρυ P1=P=Patm Αρα υ> υ1 και Α< Α1 Δυναμική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του ρευστού : du dv =pgh Kινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του ρευστού : dk dv =1 pu Έργο δύναμης περιρέοντος ρευστού ανά μονάδα όγκου:w=p1-p dwαντλίας+dwπερ.ρευστου = 1 dm(u B -u A )+dmg(h B -h A ) αντλια Β dm=pdv=pπdt Αρα Α ha hb Pαντλιας= dw dt =1 p(u B -u A )Π+p g(h B -h A )Π+(P B -P A )Π ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

32 ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

33 Ερώτηση1. Τα δύξ αμξιυςά ρκέλη ςξσ δξυείξσ ςξσ παοακάςχ ρυήμαςξπ γεμίζξμςαι με σγοό πσκμόςηςαπ ο, μέυοι ςα ρημεία Α και Β αμςίρςξιυα, εμώ η βαλβίδα είμαι κλειρςή. Τξ δενιό ρκέλξπ ςξσ δξυείξσ είμαι κεκλιμέμξ με γχμία κλίρηπ τ, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα. Αμ p 0 η αςμξρταιοική πίερη α) η πίερη ρςξ κάςχ μέοξπ ςηπ βαλβίδαπ είμαι p0 gl. β) ξι πιέρειπ ρςξ πάμχ και ρςξ κάςχ μέοξπ ςηπ βαλβίδαπ είμαι ίρεπ. γ) η πίερη ρςξ πάμχ μέοξπ ςηπ βαλβίδαπ είμαι gh. Απάμτηση Σχρςή είμαι η ποόςαρη α. Η πίερη ρςξ πάμχ μέοξπ ςηπ βαλβίδαπ είμαι P0 gh και δεμ είμαι ίρη με ςημ πίερη ρςξ κάςχ μέοξπ ςηπ βαλβίδαπ γιαςί ςα σγοά δεμ επικξιμχμξύμ λόγχ ςηπ κλειρςήπ βαλβίδαπ. Η πίερη ςξσ σγοξύ ρςξ κάςχ μέοξπ ςηπ βαλβίδαπ είμαι ίρη με ςη πίερη ρςη βάρη ςξσ δενιξύ ρχλήμα ςξσ δξυείξσ και επξμέμχπ έυει ςη ςιμή p0 gh p0 gl.

34 ΘΔΜΑ Γ Άσκηση Έμα δχμάςιξ έυει διαρςάρειπ 4m x 5m x 3m (μήκξπ x πλάςξπ x ύφξπ) και πεοιέυει αέοα πσκμόςηςαπ ο=1,kg/m 3. Αμ η επιςάυσμρη ςηπ βαούςηςαπ είμαι g=9,81m/sec μα βοεθξύμ: α) η μάζα και ςξ βάοξπ ςξσ αέοα ςξσ δχμαςίξσ και β) η δύμαμη πξσ αρκεί η αςμόρταιοα πάμχ ρςξ δάπεδξ. γ) Γιαςί ςξ δάπεδξ δεμ καςαοοέει; Λύρη α) Ο όγκξπ ςξσ δχμαςίξσ είμαι V=4m x 5m x 3m=60 m 3. Η μάζα ςξσ πεοιευόμεμξσ αέοα είμαι και ςξ βάοξπ ςξσ Kg m 3 m V 1, x 60m 7 Kg 3 m w mg 7 Kg 9,81 706,3 N sec β) Από ςξμ ξοιρμό ςηπ πίερηπ F p έυξσμε: A 5 N F pa 10 0 m ή m F 6 10 N γ) Η δύμαμη ασςή είμαι πεοίπξσ 00 ςόμξι, αοκεςά μεγάλη για μα καςαοοεύρει ςξ δάπεδξ. Ασςό όμχπ δεμ ρσμβαίμει γιαςί ρςημ κάςχ πλεσοά ςξσ παςώμαςξπ, η αςμξρταιοική πίερη αρκεί μία ίρξσ μέςοξσ δύμαμη με τξοά ποξπ ςα πάμχ.

35 Άσκηση 3. Σςξ διπλαμό ρυήμα ταίμεςαι η ρυημαςική παοάρςαρη ςξσ ρσρςήμαςξπ πέδηρηπ εμόπ ξυήμαςξπ. Τξ έμβξλξ ςξσ κύοιξσ κσλίμδοξσ έυει διαςξμή εμβαδξύ Α 1 = cm εμώ ςξ έμβξλξ ςξσ κσλίμδοξσ ςχμ τοέμχμ Α =6,5 cm. O δίρκξπ ρςξμ ξπξίξ εταομόζεςαι η δύμαμη από ςα ςακάκια παοξσριάζει με ςα ςακάκια ρσμςελερςή ςοιβήπ ξλίρθηρηπ μ=0,5. Αμ ξ ξδηγόπ παςήρει ςξ πεμςάλ ςξσ τοέμξσ με δύμαμη μέςοξσ F 1 =40 Ν, μα βοεθξύμ: α) η ποόρθεςη πίερη πξσ ποξκαλείςαι ρςξ σγοό ςξσ κύοιξσ κσλίμδοξσ. β) ςξ μέςοξ ςηπ δύμαμηπ πξσ αρκείςαι ρςξ μεγάλξ έμβξλξ. γ) ςξ μέςοξ ςηπ εταομξζόμεμηπ δύμαμηπ ςοιβήπ ρςξ δίρκξ ςξσ ςοξυξύ. Λύρη α) Η ποόρθεςη πίερη πξσ ποξκαλείςαι ρςξ σγοό ςξσ κύοιξσ κσλίμδοξσ είμαι p F 40 N Pa 4 A1 10 m β) Η πίερη ασςή ρύμτχμα με ςημ αουή ςξσ Pascal διαδίδεςαι και ρςξ έμβξλξ ςξσ κσλίμδοξσ ςχμ τοέμχμ με απξςέλερμα ασςό μα δέυεςαι δύμαμη 5 N 4 F pa 10 6,510 m 130 N. m γ) Δπξμέμχπ η ςοιβή πξσ θα αρκηθεί ρςξ δίρκξ από ςξ ςακάκι είμαι F 0,5130 N 65 N..

36 Άσκηση 4. Σςξ διπλαμό ρυήμα ταίμξμςαι δύξ ρσγκξιμχμξύμςα δξυεία πξσ πεοιέυξσμ μεοό και κλείμξμςαι με έμβξλα εμβαδώμ Α 1 =4 cm και Α =40 cm πξσ ιρξοοξπξύμ ρςξ ίδιξ ύφξπ. Τξ αοιρςεοό έμβξλξ έυει βάοξπ W 1 =10 Ν. α) Πξιξ είμαι ςξ βάοξπ ςξσ δενιξύ εμβόλξσ; β) Αρκώμςαπ καςάλληλη δύμαμη μέςοξσ F α μεςακιμξύμε καςά Δx 1 =0 cm ποξπ ςα κάςχ ςξ αοιρςεοό έμβξλξ και ςξ ακιμηςξπξιξύμε ρςη μέα θέρη. Πόρη είμαι ςώοα η σφξμεςοική διατξοά ςχμ δύξ εμβόλχμ; γ) Πόρξ είμαι ςξ μέςοξ ςηπ δύμαμηπ F α ; δ) Να βοείςε ςα μέςοα ςχμ δσμάμεχμ πξσ δέυξμςαι ςα δύξ έμβξλα ρςη μέα θέρη ςξσπ από ςξ μεοό. Δίμξμςαι p αςμ =10 5 Pa, η πσκμόςηςα ςξσ μεοξύ ο=10 3 Kg/m 3 και η επιςάυσμρη ςηπ βαούςηςαπ g=10 m/s. Λύρη α) Αμ ρσμβξλίρξσμε p 1 και p ςιπ πιέρειπ ακοιβώπ κάςχ από ςα δύξ έμβξλα, από ςη ρσμθήκη ιρξοοξπίαπ για ςξ κάθε έμβξλξ έυξσμε: W p W F 0 W p p p p p (1) W p W F 0 W p p p p p () Οι πιέρειπ όμχπ p 1 και p είμαι ίρεπ γιαςί ςα ρημεία πξσ αματέοξμςαι βοίρκξμςαι ρςξ ίδιξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ εμόπ σγοξύ πξσ ιρξοοξπεί (βλέπε ρυήμα εκτώμηρηπ). Δνιρώμξμςαπ επξμέμχπ ςα ποώςα μέλη ςχμ ρυέρεχμ (1) και () σπξλξγίζξσμε ςξ βάοξπ W ςξσ δενιξύ εμβόλξσ. W1 W W1 40cm cm p p W W W 100N β) Έρςχ Δx η μεςαςόπιρη ςξσ δενιξύ εμβόλξσ ποξπ ςα πάμχ. Δνιρώμξσμε ςξσπ όγκξσπ ςξσ μεοξύ πξσ μεςακιμήθηκαμ από ςξ αοιρςεοό ρςξ δενιό δξυείξ για μα σπξλξγίρξσμε ςημ αμύφχρη ςξσ δενιξύ εμβόλξσ.

37 A1x1 4 cm 0 cm A 40 cm V V A x A x x x x cm Δπξμέμχπ η σφξμεςοική διατξοά ςχμ δύξ εμβόλχμ είμαι h x1 x cm. γ) Σςη μέα θέρη ςχμ εμβόλχμ η ρσμθήκη ιρξοοξπίαπ για ςξ αοιρςεοό έμβξλξ γοάτεςαι F W p F W F 0 F W p p p p p (3) Η πίερη κάςχ από ςξ δενιό έμβξλξ δεμ άλλανε, αλλά παοέμειμε p. Οι πιέρειπ p 1 και p όμχπ ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη F W W p p g x x p p g x x Kg m F 1g x1 x F 410 m m 3 m sec F 0,88 N δ) Από ςη ρυέρη (3) μπξοξύμε ςώοα μα σπξλξγίρξσμε ςημ πίερη 0,88 10 p 10 p 1, m 410 m m m Άοα, ςξ μεοό αρκεί ρςξ αοιρςεοό έμβξλξ δύμαμη μέςοξσ 4 4 F1 p 11 1, m 50,88 N m Με ςη βξήθεια ςηπ ρυέρηπ () βοίρκξσμε ςξ μέςοξ ςηπ δύμαμηπ πξσ αρκείςαι ρςξ δενιό έμβξλξ. 5 4 F p W p 100 N m 500 N m

38 Ερώτηση 5 Σςξ ρυήμα ταίμεςαι έμα κλειρςό δξυείξ πξσ είμαι ρυεδόμ γεμάςξ με μεοό. Με p ξ ρσμβξλίζξσμε ςημ πίερη πξσ επικοαςεί ρςξμ αςμξρταιοικό αέοα εκςόπ δξυείξσ κξμςά ρςημ ξπή και με p ςημ πίερη πξσ επικοαςεί ρςξμ παγιδεσμέμξ αέοα μέρα ρςξ δξυείξ. Σςξ πλεσοικό ςξίυχμα ςξσ δξυείξσ και ρε βάθξπ h από ςημ ελεύθεοη επιτάμεια ςξσ μεοξύ αμξίγξσμε μία μικοή ξπή, απ όπξσ αουίζει μα ςοέυει μεοό. Δεδξμέμξσ όςι δεμ ειρέουεςαι αέοαπ από ςημ ξπή ρςξ δξυείξ, ςξ μεοό θα ςοέυει από ςημ ξπή μέυοιπ όςξσ α) ρσμβεί y y1. β) ρσμβεί p0 p gh, όπξσ ο η πσκμόςηςα ςξσ μεοξύ. γ) ξι πιέρειπ p και p 0 γίμξσμ ίρεπ. Να επιλένεςε ςη ρχρςή ποόςαρη και μα δικαιξλξγήρεςε ςημ επιλξγή ραπ. Λύρη Σχρςή είμαι η ποόςαρη β. Η πίερη ςξσ μεοξύ αοιρςεοά ςηπ ξπήπ είμαι p gh, εμώ δενιά ςηπ είμαι p 0. Ατξύ ςα οεσρςά οέξσμ από μεγαλύςεοη ποξπ μικοόςεοη πίερη και ςξ μεοό ενέουεςαι από ςημ ξπή ιρυύει p gh p 0 (1). Καθώπ ςξ μεοό βγαίμει από ςη ξπή, ςξ h μειώμεςαι, ξ όγκξπ ςξσ παγιδεσμέμξσ αέοα ασνάμεςαι με ρσμέπεια μα μειώμεςαι η πίερη P. Έςρι έυξσμε μείχρη ςηπ σδοξρςαςικήπ πίερηπ gh και μείχρη ςηπ πίερηπ p, με απξςέλερμα ςξ ποώςξ μέλξπ ςηπ ρυέρηπ (1) μα μειώμεςαι. Όςαμ ενιρχθξύμ ςα δύξ μέλη ςηπ ρυέρηπ (1) η οξή ςξσ μεοξύ θα ρςαμαςήρει.

39 Ερώτηση 6 Ο ρξύπεομαμ ςηπ διπλαμήπ εικόμαπ θα μπξοξύρε μα οξστήνει ςη πξοςξκαλάδα ςξσ από έμα δξυείξ με καςακόοστξ καλαμάκι ξρξδήπξςε μεγάλξσ μήκξσπ; α) Ναι, γιαςί ξ ρξύπεομαμ μπξοεί μα οξστήνει με απεοιόοιρςη δύμαμη. β) Ναι, γιαςί ςξ ίδιξ μπξοεί μα κάμει και κάθε κξιμόπ άμθοχπξπ. γ) Όυι, γιαςί η αςμξρταιοική πίερη έυει ξοιρμέμη πεπεοαρμέμη ςιμή με απξςέλερμα μα αμσφώμει ςξ σγοό μέυοι έμα ξοιρμέμξ ύφξπ. Να επιλένεςε ςη ρχρςή ποόςαρη και μα δικαιξλξγήρεςε ςημ επιλξγή ραπ. Λύρη Σχρςή είμαι η ποόςαρη γ. Ο ρξύπεομαμ ποέπει μα οξστήνει αουικά όλξμ ςξμ αέοα πξσ βοίρκεςαι μέρα ρςξ καλαμάκι. Έςρι, η επιτάμεια ςξσ σγοξύ μέρα ρςξ καλαμάκι έυει μηδεμική πίερη και ένχ από ασςό ίρη με ςημ αςμξρταιοική. Η δημιξσογξύμεμη διατξοά πίερηπ ρποώυμει ςημ πξοςξκαλάδα πξσ βοίρκεςαι μέρα ρςξ καλαμάκι ποξπ ςα πάμχ και δημιξσογείςαι ρςήλη ύφξσπ h, μέυοι μα ενιρχθξύμ ξι δύξ πιέρειπ. Ασςό θα ρσμβεί όςαμ P gh P h. g Ασςό είμαι ςξ μέγιρςξ ύφξπ πξσ μπξοεί μα έυει η ρςήλη ςηπ πξοςξκαλάδαπ μέρα ρςξ καλαμάκι, δηλαδή ςξ μέγιρςξ ύφξπ ςηπ ρςήληπ δεμ εναοςάςαι από ςιπ ικαμόςηςεπ ςξσ ρξύπεομαμ αλλά από ςημ ςιμή ςηπ αςμξρταιοικήπ πίερηπ.

40 Άσκηση 7 Σςξ διπλαμό δξυείξ ρυήμαςξπ U οίυμξσμε σδοάογσοξ όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα (α). Οι διαςξμέπ ςχμ δύξ ρκελώμ ςξσ δξυείξσ έυξσμ εμβαδά Α 1 = 10 cm και Α = 5 cm (αοιρςεοό και δενιό αμςίρςξιυα). Σςη ρσμέυεια οίυμξσμε 100 g μεοξύ ρςξ δενιό ρκέλξπ ςξσ ρχλήμα όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα. Τα δύξ σγοά δεμ αμαμειγμύξμςαι. Α) Να σπξλξγιρςεί ςξ ύφξπ ςηπ ρςήληπ ςξσ μεοξύ πξσ δημιξσογήθηκε. Β) Να σπξλξγιρςεί η αμύφχρη h, ςηπ ελεύθεοηπ επιτάμειαπ ςξσ σδοαογύοξσ ρςξ αοιρςεοό ρκέλξπ ςξσ ρχλήμα. Δίμξμςαι: η πσκμόςηςα ςξσ σδοαογύοξσ ο 1 =13,6 g/cm 3 και η πσκμόςηςα ςξσ μεοξύ ο =1 g/cm 3. Λύρη Α) Για ςιπ ποάνειπ ρσμτέοει μα μείμξσμ ςα μεγέθη με ςιπ μξμάδεπ πξσ δίμξμςαι ρςημ εκτώμηρη (ςξ παλιό ρύρςημα C.G.S). Για ςη μάζα ςξσ μεοξύ ύφξσπ h ρςξ δενιό ρκέλξπ ςξσ ρχλήμα έυξσμε m 100gr m V m h h h h 0cm. g 1 5cm 3 cm Β) Ο όγκξπ ςξσ σδοαογύοξσ πξσ έτσγε από ςξ δενιό ρκέλξπ είμαι ίρξπ με ασςόμ πξσ ποξρςέθηκε ρςξ αοιρςεοό. Αμ ξ σδοάογσοξπ ρςξ δενιό ρκέλξπ ςξσ ρχλήμα καςέβηκε καςά x και ρςξ αοιρςεοό αμέβηκε καςά h ιρυύει: Vx Vh x A1h x h (1) Οι ρσμξλικέπ πιέρειπ ρςα δύξ ρκέλη ςξσ ρχλήμα και ρςξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ πξσ διέουεςαι από ςη βάρη ςηπ ρςήληπ ςξσ μεοξύ είμαι ίρεπ και επξμέμχπ ιρυύει p0 gh p0 g g h x cm h 13h h h h 0cm 3 g 1 313,6 cm 3 0 h cm 0, 49 cm. 40,8

41 Άσκηση 8 Η τλέβα ςξσ μεοξύ μιαπ βούρηπ γίμεςαι ρςεμόςεοη καθώπ ςξ μεοό πέτςει. Η ακςίμα ςηπ διαςξμήπ ςηπ τλέβαπ ρςη θέρη 1, όςαμ ενέουεςαι από ςη βούρη είμαι r 1 = cm και γίμεςαι r = 1 cm ρε απόρςαρη h πιξ κάςχ (θέρη ). Τξ μεοό ρςη θέρη 1 έυει ςαυύςηςα σ 1 = 1 m/s. Να σπξλξγίρεςε α) ςημ παοξυή ςηπ βούρηπ. β) ςημ ςαυύςηςα ςξσ μεοξύ ρςη θέρη. γ) ςημ απόρςαρη h. δ) ςξ υοόμξ πξσ υοειάζεςαι για μα γεμίρει μια δεναμεμή υχοηςικόςηςαπ 4 m 3. Να θεχοήρεςε ςξ μεοό ιδαμικό οεσρςό. Δίμεςαι g=10m/s Λύρη α) Η παοξυή ςηπ βούρηπ είμαι: 1m 11 r m ή s 3 4 m 410 s β) Από ςημ ενίρχρη ςηπ ρσμέυειαπ ποξκύπςει όςι μεςανύ ςχμ θέρεχμ 1 και έυξσμε ρςαθεοή παοξυή: m 1 11 r1 1 r s m Άοα η ςαυύςηςα ςξσ μεοξύ ρςη θέρη είμαι 4. s γ) Δταομόζξσμε ςημ αουή διαςήοηρηπ ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ για μια ρςξιυειώδη μάζα Δm πξσ κιμείςαι από ςη θέρη 1 ρςη θέρη, έυξσμε: 1 1 m 1 mgh m 1 10h h 0,75m

42 Άσκηση 9 Έμαπ ρχλήμαπ πξσ μεςατέοει μεοό έυει ακςίμα r cm και διακλαδίζεςαι ρε δύξ μικοόςεοξσπ ρχλήμεπ ακςίμαπ r 1 r cm. Η παοξυή ρςξμ κεμςοικό ρχλήμα είμαι Π=1 m 3 /min. Έμαπ από ςξσπ δύξ μικοόςεοξσπ ρχλήμεπ καςαλήγει ρε μια μικοή δεναμεμή πξσ υχοάει 100kg μεοό. Να σπξλξγίρςε α) ςημ ςαυύςηςα οξήπ ρςξμ κεμςοικό ρχλήμα. β) ςημ παοξυή μεοξύ ρε έμαμ από ςξσπ δύξ μικοόςεοξσπ ρχλήμεπ. γ) ςημ ςαυύςηςα οξήπ ρςξσπ δύξ μικοόςεοξσπ ρχλήμεπ. δ) ςξ υοόμξ πξσ υοειάζεςαι για μα γεμίρει η μικοή δεναμεμή. Να θεχοήρεςε ςξ μεοό ιδαμικό οεσρςό. Δίμξμςαι η πσκμόςηςα ςξσ μεοξύ ο =1 g / cm 3 και 10. Λύρη α) Η ςαυύςηςα οξήπ ρςξμ κεμςοικό ρχλήμα βοίρκεςαι από ςη ρυέρη ςηπ παοξυήπ, είμαι: 3 1 m 100 A 60 s m / s r 10 m 4 β) Δπειδή ξι δύξ μικοόςεοξι ρχλήμεπ είμαι όμξιξι, ξι παοξυέπ ςξσπ είμαι ίρεπ, Π 1 =Π. Άοα η παοξυή μεοξύ ρςξσπ δύξ μικοόςεοξσπ ρχλήμεπ είμαι: 0, m / s. 60 γ) Η ςαυύςηςα οξήπ ρςξσπ δύξ μικοόςεοξσπ ρχλήμεπ r1 1 1 m / s. 1

43 Πρόβλημα 10 Η ξπή εκςόνεσρηπ ςξσ μεοξύ εμόπ μεοξπίρςξλξσ έυει εμβαδό Α =1mm² και ςξ εμβαδόμ ςξσ εμβόλξσ πξσ πιέζει ςξ μεοό Α 1 =70mm². Έμα παιδί κοαςάει ςξ μεοξπίρςξλξ ρε ύφξπ h=0,8 m από ςξ έδατξπ και πιέζει ςη ρκαμδάλη ςξσ. Η ρκαμδάλη ρςη ρσμέυεια πιέζει ςξ έμβξλξ ςηπ μικοήπ δεναμεμήπ απξθήκεσρηπ ςξσ μεοξύ με δύμαμη F=10Ν και ςξ μεοό ενέουεςαι με ςαυύςηςα σ. Να βοεθξύμ: α) η ρυέρη πξσ ρσμδέει ςημ ςαυύςηςα εκςόνεσρηπ ςξσ μεοξύ με ςημ ςαυύςηςα κίμηρηπ ςξσ εμβόλξσ. β) η ςαυύςηςα εκςόνεσρηπ σ ςξσ μεοξύ. γ) η ξοιζόμςια απόρςαρη πξσ τςάμει ςξ μεοό όςαμ πέτςει ρςξ έδατξπ. Να θεχοήρεςε όςι η οξή ςξσ μεοξύ έυει ςιπ ιδιόςηςεπ ςξσ ιδαμικξύ οεσρςξύ. Η πσκμόςηςα ςξσ μεοξύ είμαι ο=10³ kg/m³, g = 10 m/s². Θεχοείρςε , ,9 Λύρη α) Από ςημ ενίρχρη ςηπ ρσμέυειαπ βοίρκξσμε ρυέρη πξσ ρσμδέει ςημ ςαυύςηςα σ 1 πξσ κιμείςαι ςξ έμβξλξ με ςη ςαυύςηςα σ με ςημ ξπξία εκςξνεύεςαι ςξ μεοό β) Θα εταομόρξσμε ςξ θεώοημα μεςαβξλήπ ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ για μια ρςξιυειώδη μάζα μεοξύ καθώπ ασςή ποξχθείςαι από ςξ δξυείξ ρςημ ένξδξ. Σε υοξμική διάοκεια Δt, έρςχ όςι ςξ έμβξλξ μεςαςξπίζεςαι καςά x1 1 t. Η μάζα μεοξύ πξσ ποξχθήθηκε είμαι m V t ή m 1 1t t (1)

44 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση 11. Ένα ανοικτό κυλινδρικό δοχείο περιέχει νερό. Στην πλευρική επιφάνεια του δοχείου και σε βάθος h=0,45m από την ελεύθερη επιφάνεια, υπάρχει μια μικρή στρογγυλή τρύπα διαμέτρου δ=cm από την οποία εκρέει το νερό. Η επιφάνεια της οπής θεωρείται πολύ μικρότερη από την ελεύθερη επιφάνεια του δοχείου. Α. Να βρείτε: 1. την ταχύτητα εκροής.. την παροχή της οπής. Β. Στην ελεύθερη επιφάνεια του δοχείου προσαρμόζεται ένα έμβολο με αποτέλεσμα το νερό να εκρέει από την τρύπα με ταχύτητα υ 1=4m/s. Να βρείτε την πρόσθετη πίεση (υπερπίεση) που προκαλείται από το έμβολο στο νερό. Δίνονται ρ ν=1000kg/m 3, g=10m/s. Λύση Α1. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα υγρού μεταξύ των σημείων Α και Β. Θεωρούμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το σημείο Β. 1 1 p gh p Όταν το υγρό εκρέει από την τρύπα έχει ταχύτητα υ Β=υ και η πίεσή του γίνεται ίση με την ατμοσφαιρική, επομένως p A=p B=p atm. Επειδή το εμβαδόν της ελεύθερης επιφάνειας είναι συγκριτικά πολύ μεγαλύτερο από αυτό της οπής, μπορούμε να υποθέσουμε ότι υ Α=0. Έτσι η παραπάνω σχέση γίνεται 1 m m gh gh 10 0,45m 3 s s A. Η παροχή της φλέβας του υγρού είναι 3 3 0,0m m m L Þ 3 0,3 10 0,3 s s s

45 B. H πίεση στο σημείο Α είναι p και η ταχύτητα εκροής στο Β είναι υ 1. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για τη φλέβα υγρού που διέρχεται από τα σημεία Α και Β p gh 1 patm 1 p patm 1 gh 1 kg m kg m p ,45m 3 3 m s m s N p m

46 Άσκηση1. Η στέγη ενός μικρού σπιτιού αποτελείται από δύο επίπεδα κομμάτια εμβαδού 5 επί 4 τετραγωνικών μέτρων το καθένα τα οποία σχηματίζουν μεταξύ τους μικρή γωνία. Όταν φυσάει οριζόντιος άνεμος, λόγω της στένωσης των ρευματικών γραμμών πάνω από τη στέγη, έχουμε αύξηση της ταχύτητας του ανέμου κατά 0%. Η μέγιστη επιτρεπόμενη κάθετη στη στέγη δύναμη που μπορεί να αναπτυχθεί σε κάθε τμήμα της στέγης, χωρίς αυτή να αποκολληθεί, είναι F max=18.300n. Επίσης, δεχόμαστε ότι πολύ μακριά από το σπίτι, λόγω της ταχύτητας του ανέμου η πίεση είναι λίγο μικρότερη N της ατμοσφαιρικής και ίση με p p 00 m Α. Να βρείτε τη συνάρτηση που περιγράφει τη διαφορά πίεσης μεταξύ του κάτω και πάνω μέρους της στέγης σε συνάρτηση με την ταχύτητα του ανέμου. Β. Να γίνει γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος Α στην οποία να φαίνεται ένα ζεύγος τιμών. Γ. Να βρείτε τη μέγιστη οριζόντια ταχύτητα ανέμου για την οποία δεν έχουμε αναρπαγή της στέγης. Δίνoνται: ρ αέρα=1,3 kg/m 3, p 5 10 / m Λύση Α. Θεωρούμε ένα σημείο πολύ μακριά από τη στέγη ( ) όπου p p και το σημείο 1 που είναι λίγο πάνω από τη στέγη και εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli. 1 1 p 1 p 1, (1) Λόγω της στένωσης των ρευματικών γραμμών έχουμε 0% μεγαλύτερη ταχύτητα στο σημείο 1 επομένως υ 1=1,. Η σχέση (1) γράφεται p p p p 11, p p 0, Στο κάτω μέρος της στέγης δεν φυσά άνεμος, οπότε θεωρούμε ότι είναι p p Άρα, η δημιουργούμενη διαφορά πίεσης μεταξύ του κάτω και πάνω μέρους της στέγης είναι:

47 p p p (p 0,86 ) ή p p 00 0,86 SI () 1 1 p p p 00 0,86 (SI) σε Β. Η υπερπίεση 1 συνάρτηση με την ταχύτητα του ανέμου είναι συνάρτηση ου βαθμού και η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Γ. Στο εσωτερικό του σπιτιού (σημείο ), η πίεση είναι ίση με την ατμοσφαιρική και η πίεση στο σημείο 1 είναι μικρότερη της ατμοσφαιρικής. Επομένως, η διαφορά πίεσης (p -p 1) έχει ως συνέπεια την εμφάνιση κάθετης δύναμης στην επιφάνεια της στέγης που έχει μέτρο F p p A (3) 1 Για να μην έχουμε αναρπαγή της στέγης θα πρέπει F< F max ή F< N. Από την σχέση (3) παίρνουμε: 18300N N 18300N p p A p p p p 915 4m 5m m Για αυτή τη διαφορά πίεσης, από τη σχέση () προκύπτει ότι η ταχύτητα του ανέμου είναι N 715 m 715 m m 00 0, m 0,86 s 0,86 s s

48 Άσκηση 13. Η δεξαμενή του σχήματος έχει σχήμα κυλίνδρου με εμβαδό βάσης Α=8m και είναι γεμάτη με νερό ενώ η πάνω βάση της είναι ανοικτή επικοινωνώντας με την ατμόσφαιρα. Στην κάτω βάση υπάρχει κατακόρυφος σωλήνας ο οποίος συνδέεται μέσω των οριζόντιων σωληνώσεων ΒΒ 1 και ΓΓ 1 με βρύσες. Οι οριζόντιες σωληνώσεις απέχουν h 1=0,3m και h =1,5m αντίστοιχα από την κάτω βάση της δεξαμενής και έχουν διάμετρο cm. Α. Οι δύο βρύσες είναι κλειστές και η πίεση που επικρατεί στη βρύση Γ 1 είναι p Γ=1, Ν/m. Να βρείτε: i. τη χωρητικότητα της δεξαμενής ii. Την πίεση που επικρατεί στη βρύση Β 1. Β. Οι δύο βρύσες είναι ανοικτές. Να βρείτε: i. την ταχύτητα εκροής του νερού από τη βρύση Γ 1. ii. τον όγκο του νερού που φεύγει από τη βρύση Β 1 σε χρονικό διάστημα 1min. Θεωρείστε ότι στη διάρκεια του 1 min η στάθμη του νερού στη δεξαμενή δεν έχει μεταβληθεί. Δίνονται: g=10m/s, ρ ν=1000kg/m 3 και p ατμ=10 5 N/m. Λύση Αi. Oι βρύσες είναι κλειστές και το νερό δεν ρέει στις σωληνώσεις. Η πίεση στο σημείο Γ 1 είναι ίση με αυτή στο σημείο Γ. p p p p g(h h ) h h g atm atm N 5 N 1, h3 m m 1,5m h3 0,5m kg m m s Επομένως, η χωρητικότητα (όγκος) της δεξαμενής είναι V A h 8m 0,5m V 4m N kg m 5 N ii. p patm g(h 1 h 3) ,8m p 1, m m s m

49 Βi. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού, μεταξύ του σημείου Α που βρίσκεται στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού του δοχείου και του σημείου Γ p gh h p p A=p Γ1=p atm και υ Α=0, επομένως 1 m gh3 h 1 1 gh3 h 10 (0,5m 1,5)m s m 1 40 s ii. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού, μεταξύ του σημείου Α που βρίσκεται στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού του δοχείου και του σημείου B p gh h p 3 1 B1 B1 p A = p B1 = p atm και υ Α = 0, επομένως 1 m m gh3 h1 B1 B1 gh3 h1 10 (0,5m 0,3)m B1 4 s s H παροχή του νερού στη βρύση Β 1 είναι V t Επομένως, o όγκος του νερού που φεύγει από τη βρύση είναι V t A t 1 10 m m V t 4 60s V 4 10 m V 4L 4 4 s

50 Άσκηση 14. Το σύστημα των σωλήνων του σχήματος ονομάζεται βεντουρίμετρο και χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της ταχύτητας ροής ενός ρευστού σε ένα σωλήνα. Στον οριζόντιο σωλήνα του σχήματος ρέει φυσικό αέριο, η επιφάνεια Α 1 είναι διπλάσια της Α με Α 1=1cm. Στον υοειδή σωλήνα υπάρχει νερό και οι δύο στήλες έχουν διαφορά ύψους h=6,75 cm. Nα βρείτε Α. Τη διαφορά πίεσης μεταξύ των σημείων 1 και που βρίσκονται στις ελεύθερες επιφάνειες του νερού. Β. Την ταχύτητα του αερίου στο σημείο 1. Γ. Την παροχή του αερίου στον οριζόντιο σωλήνα. Δ. τον όγκο του αερίου που διέρχεται από μια διατομή του σωλήνα σε χρόνο 1min. Δίνονται: η επιτάχυνση βαρύτητας g=10m/s, η πυκνότητα του αερίου ρ a=0,5kg/m 3, η πυκνότητα του νερού ρ ν=1000kg/m 3. Λύση Α. Τα σημεία 1 και 3 βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και το νερό είναι σε ισορροπία, άρα p 1=p 3. Όμως από την υδροστατική p p gh p p gh 3 1 kg m p p gh ,75 10 m m s N p1p 675 m 1 3 Β. Οι πιέσεις που επικρατούν στις ελεύθερες επιφάνειες του νερού είναι ίδιες με αυτές που επικρατούν στις επιφάνειες Α 1, Α αντίστοιχα. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια οριζόντια φλέβα αερίου, μεταξύ των σημείων 1 και του οριζόντιου σωλήνα p1 p p1 p 1 1 p1 p 1, (1) Από την εξίσωση της συνέχειας για τα σημεία 1 και παίρνουμε

51 Α 1υ 1=Α υ ή Α υ 1=Α υ ή υ =υ 1 Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) παίρνουμε N p1 p m p1 p m kg 30,5 s m 3 Γ. Η παροχή του αερίου στο σωλήνα είναι m s m m s 3 Δ. H παροχή του αερίου στο σωλήνα V t Επομένως, o όγκος του αερίου που διέρχεται από το σωλήνα είναι 3 3 V t s V,160m V 160L

52 Άσκηση 15. Το δοχείο του σχήματος είναι ανοικτό, περιέχει νερό και ο καμπυλωτός σωλήνας (σίφωνας) είναι σταθερής διατομής. Για τις αποστάσεις του σχήματος ισχύουν h 1=0,3m, h =0,45m. Να βρείτε: Α. την ταχύτητα εκροής του νερού από το σημείο Γ. Β. την πίεση στο σημείο Β. Γ. το μέγιστο ύψος h 1 για το οποίο έχουμε ροή νερού μέσα από το σίφωνα αν το άκρο Γ βρίσκεται σε ύψος h =0,45m κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού του δοχείου. Δίνονται: p atm=10 5 N/m, g=10m/s και ρ ν=1.000kg/m 3. Λύση Α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α (ελεύθερη επιφάνεια) και Γ (σημείο εξόδου). Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού. 1 1 p p gh A A p A=p Γ=p atm και υ Α=0 οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται, 1 m m 0 gh gh 10 0,45m 3 s s Β. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α (ελεύθερη επιφάνεια) και B. 1 1 p p gh A A B B 1 p A=p atm και υ Α=0. Επειδή η διάμετρος του σωλήνα είναι σταθερή, σύμφωνα με την εξίσωση της συνέχειας, η ταχύτητα των μαζών του νερού θα είναι ίδια σε κάθε σημείο του σωλήνα, άρα υ Β=υ Γ, οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται: 1 1 p p gh p p gh atm B 1 B atm 1 (1)

53 Με αριθμητική αντικατάσταση στην (1) παίρνουμε: 5 N kg m 1 kg m N pb ,3m pb m m s m s m 3 3 Γ. Για την πίεση στο σημείο Β ισχύει p Β >0 Από τη σχέση (1) με μαθηματική επεξεργασία και αριθμητική αντικατάσταση παίρνουμε: 1 1 p B 0 ή patm gh 1 0 patm gh N 1 kg m p atm 3 m m s h 1 h1 h1 9,55m g kg m m s Το μέγιστο ύψος είναι 9,55m.

54 Άσκηση 16. Α. Η δεξαμενή του σχήματος περιέχει νερό και είναι ανοικτή στην ατμόσφαιρα. Το νερό διοχετεύεται μέσω του οριζόντιου σωλήνα μεταβλητής διατομής με Α 1=3Α =10cm στο σημείο εξόδου Γ. Ο κατακόρυφος σωλήνας Β είναι τοποθετημένος σε σημείο του οριζόντιου σωλήνα με εμβαδόν Α 1. Το ύψος της στήλης του νερού στη δεξαμενή είναι h=1,8m και θεωρούμε ότι κατά την εκροή του νερού από το Γ το ύψος h δεν μεταβάλλεται. Nα βρείτε: Α. την ταχύτητα εκροής από το σημείο Γ. Β. την πίεση p 1 στο εσωτερικό του σωλήνα με διατομή Α 1. Γ. το ύψος h 1 της στήλης του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα Β. Δίνονται: p atm=10 5 Ν/m, g=10m/s και ρ ν=1.000kg/m 3. Λύση Α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α και Γ. 1 1 A pa gh p Επειδή p A=p Γ=p atm και υ Α=0, η παραπάνω σχέση γίνεται 1 m m gh 10 1,8m 6 s s Β. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για την φλέβα νερού από το Α μέχρι το σημείο 1 που η πίεση είναι p A pa gh 1 p 1, (1) Έχουμε: p A=P atm και υ Α=0. Επίσης, από το νόμο της συνέχειας μεταξύ των διατομών Α 1 και Α παίρνουμε: Π 1=Π ή Α 1υ 1=Α υ Γ ή υ 1=m/s. H σχέση (1) γίνεται

55 1 5 N kg m 1 kg m p1 patm gh ,8m m m s m s N p m Γ. Για την πίεση στο σημείο 1 από την υδροστατική έχουμε: N N p 1 patm p1 patm gh 1 h1 m m h1 1,6m g kg m m s

56 Άσκηση 17. Το δοχείο του σχήματος περιέχει νερό και είναι κολλημένο σταθερά στο αμαξίδιο. Η στάθμη του νερού φτάνει μέχρι ύψος h=0,5m και σε απόσταση h 1=5cm από τη βάση του δοχείου υπάρχει οπή εμβαδού Α=40mm η οποία φράσσεται με πώμα. Τη χρονική στιγμή t=0 αφαιρούμε το πώμα και νερό εκρέει από την οπή. Να βρείτε τη χρονική στιγμή t=0: Α. την ταχύτητα εκροής. Β. τη μέση δύναμη που ασκεί μια στοιχειώδης εκρέουσα μάζα Δm του νερού στο δοχείο. Γ. την επιτάχυνση του συστήματος δοχείο -νερό- αμαξίδιο, αν η συνολική μάζα του είναι m=10kg. Δίνονται g=10m/s, ρ ν=1000kg/m 3. Λύση Α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα υγρού που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. Θεωρούμε επίπεδο αναφοράς αυτό που διέρχεται από το σημείο Β. 1 1 p gh h p 1 Όταν το υγρό εκρέει από την οπή έχει ταχύτητα υ Β=υ και η πίεσή του γίνεται ίση με την ατμοσφαιρική, επομένως p A=p B=p atm. Επειδή το εμβαδόν της ελεύθερης επιφάνειας είναι συγκριτικά πολύ μεγαλύτερο από αυτό της οπής, υ Α=0 και η παραπάνω σχέση γίνεται 1 m m gh h1 gh h1 10 0,45m 3 s s Β. Η ορμή μιας στοιχειώδους μάζας Δm που εξέρχεται από την οπή μεταβάλλεται κατά p m Εφαρμόζουμε το δεύτερο νόμο του Newton σε μια στοιχειώδη μάζα Δm του νερού.

57 p m V F A t t t kg 6 m 3 F m 3 F 0,36N m s Σύμφωνα με τον 3 ο νόμο του Newton και η στοιχειώδης μάζα ασκεί δύναμη στο ρευστό του δοχείου ίδιου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης, άρα F 0,36N. Γ. Η επιτάχυνση που αποκτά το σύστημα δοχείο με νερό-αμαξίδιο είναι F 0,36N m 0,036 M 10kg s

58 Άσκηση18. Ένα δοχείο περιέχει νερό, μέχρι ορισμένο ύψος. Από κάποια βρύση διατομής Α που βρίσκεται στον πυθμένα του δοχείου, στη θέση Β, χύνεται το νερό. Η επιφάνεια του δοχείου έχει εμβαδό διατομής Α 1 με Α 1 = 10Α. Σε κάποια χρονική στιγμή η ταχύτητα εκροής του νερού είναι υ = 10 m/s, ενώ την ίδια στιγμή η ταχύτητα πτώσης της ελεύθερης επιφάνειας του νερού έχει μέτρο υ 1. Να υπολογίσετε: h 1 Γ Α p ατ υ 1 Β υ Α. την ταχύτητα με την οποία κατέρχεται η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Β. το ύψος h 1 του νερού στο δοχείο κατά τη στιγμή αυτή. Γ. όταν η επιφάνεια του νερού στο δοχείο κατέβει κατά Δh = 3,75 m σε σχέση με την προηγούμενη στάθμη (h 1), ανοίγουμε μία δεύτερη βρύση που βρίσκεται στο ίδιο ύψος με την πρώτη, θέση Γ και έχει την ίδια διατομή. Να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει η ελεύθερη επιφάνεια στο δοχείο. Δίνεται g = 10 m/s. Λύση Α. Από την εξίσωση της συνέχειας έχουμε: m s Β. Εφαρμόζουμε του νόμου του Bernoulli για τα σημεία Α (επιφάνεια του νερού) και το σημείο Β (σημείο εκροής του νερού) έχουμε: 1 1 p1 1 gh1 p (1) αλλά p 1 = p = p ατ έτσι η (1) γίνεται: p 1 gh1 p 1 gh1 h1 h1 4,95m g Γ. Όταν η στάθμη έχει κατέβει κατά Δh θα έχουμε: h h h h 1,m 1 Από την εξίσωση συνέχειας έχουμε: () 1 1 Δh h h 1 Γ Α p ατ υ' 1 Β υ' p ατ

59 Εφαρμόζουμε του νόμου του Bernoulli για τα σημεία Α (επιφάνεια του νερού, p A = p ατ) και το σημείο Β (p Β = p ατ, σημείο εκροής του νερού) έχουμε: () p 1 gh p 1 gh 5 1 gh m gh s

60 Άσκηση 19. Οριζόντιος σωλήνας κυκλικής διατομής Α 1 έχει διάμετρο δ 1 = δ. Σε κάποιο σημείο ο σωλήνας χωρίζεται σε δύο άλλους οριζόντιους σωλήνες κυκλικών διατομών Α, Α 3 με διαμέτρους Α υ Α 1 Β υ 1 και αντίστοιχα. Το υγρό στο σωλήνα με υ 3 Α Α 3 Γ κυκλική διατομή Α εξέρχεται στην ατμόσφαιρα. Στο σωλήνα με κυκλική διατομή Α 1 το υγρό κινείται με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 5 m/s, ενώ στο σωλήνα με κυκλική διατομή Α το υγρό κινείται με ταχύτητα μέτρου υ = 5 m/s. Να υπολογιστεί Α. η πίεση στο σημείο Α. Β. το μέτρο της ταχύτητας 3. Γ. η πίεση στη θέση Γ. Το υγρό εξέρχεται στην ατμόσφαιρα ή ακόμη βρίσκεται μέσα σε σωλήνα; Δίνεται ο τύπος για το εμβαδόν κυκλικής διατομής, η ατμοσφαιρική πίεση p ατ = 10 5 N/m και η πυκνότητα του υγρού ρ = 10 3 kg/m 3. Θεωρούμε το υγρό ιδανικό, την ροή στρωτή και τις τριβές αμελητέες. Λύση Α. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για την ρευματική γραμμή ΑΒ με p B = p ατ και έχουμε: p 1 p p p ( 1 ) 1 kg m p (65 5) p 410 m m s m Β. Το υγρό που κινείται στο σύστημα των σωλήνων είναι ασυμπίεστο επομένως η παροχή σε αυτούς είναι σταθερή. Αν Π 1, Π και Π 3 οι παροχές στους αντίστοιχους σωλήνες, τότε ισχύει: A m s

61 Γ. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για την ρευματική γραμμή ΑΓ και έχουμε: p 1 p 3 p p ( 1 3 ) 1 kg m p (5 5) p 410 m m s m Επειδή στο σημείο Γ, p Γ > p ατμ το υγρό δεν έχει συναντήσει ακόμα την ατμόσφαιρα.

62 Πρόβλημα 0. Το δοχείο του σχήματος περιέχει δύο υγρά που δεν αναμιγνύονται. Το υγρό που είναι σε επαφή με τον πυθμένα του δοχείου είναι νερό πυκνότητας ρ 1=1000kg/m 3 και πάνω σε αυτό υπάρχει λάδι πυκνότητας ρ =800kg/m 3. Τα ύψη των υγρών είναι h 1=1,4m και h =0,5m αντίστοιχα. Το δοχείο είναι ανοικτό στην ατμόσφαιρα και στον πυθμένα του υπάρχει μία κλειστή κυκλική οπή μικρού εμβαδού συγκριτικά με το εμβαδόν βάσης του δοχείου. Ανοίγουμε την οπή. Να βρείτε: Α. την πίεση στη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού-νερού. Β. την ταχύτητα εκροής από το σημείο Γ της οπής. Γ. την παροχή της οπής αν η διάμετρός της είναι δ=cm. Δ. τη διάμετρο της υδάτινης στήλης σε απόσταση h 3=1,4m κάτω από το σημείο εκροής Γ. Δίνονται: g=10m/s και p atm=10 5 N/m. Λύση Α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα λαδιού μεταξύ των σημείων A και B. Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το σημείο Β. 1 1 A pa gh B p B, (1) Επειδή η οπή εκροής έχει μικρό εμβαδόν σε σχέση με την ελεύθερη επιφάνεια του λαδιού στο δοχείο, η ταχύτητα του λαδιού στα σημεία Α και Β είναι μηδενική. Επίσης p A=p atm. H σχέση (1) γίνεται N kg m N p p gh ,5m p m m s m 5 B atm 3 B Β. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού, μεταξύ των σημείων B και Γ. Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το σημείο Γ. 1 1 p gh p B B 1 Eπειδή υ Β=0 και p Γ=p atm έχουμε

63 1 pb gh 1 p atm pb gh 1 patm 5 N kg m 5 N 1, ,4m 10 3 m m s m m 6 kg 1000 s m 3 Γ. Η παροχή του νερού από την τρύπα είναι 10 m 3 m 3 m 6 0, s s Δ. Τo νερό εξέρχεται κατακόρυφα από την τρύπα και λόγω της βαρύτητας η ταχύτητα των μαζών αυξάνεται. Η παροχή διατηρείται σταθερή. Σύμφωνα με την εξίσωση της συνέχειας, η αύξηση της ταχύτητας ροής προκαλεί μείωση της διατομής της υδάτινης στήλης. Εφαρμόζουμε την διατήρηση της μηχανικής ενέργειας για μια στοιχειώδη μάζα μεταξύ των σημείων Γ και Δ. 1 1 m mgh 3 m gh 3 m m m ,4m 8 s s s Από την εξίσωση της συνέχειας μεταξύ των σημείων Γ και Δ η παίρνουμε: 3 4 m s 4 m 8 s 310 m

64 Πρόβλημα 1. Το δοχείο του σχήματος είναι ανοικτό και περιέχει ιδανικό υγρό. Σε αποστάσεις y 1=0,m και y =0,8m από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού και στην ίδια κατακόρυφο ανοίγουμε δύο μικρές οπές εμβαδού Α=0,1cm η κάθε μια. Το υγρό αρχίζει να χύνεται ταυτόχρονα και από τις δύο οπές. Α. Να βρείτε: 1. τις ταχύτητες εκροής από τις δύο οπές.. τη θέση του σημείου συνάντησης των δύο φλεβών νερού θεωρώντας ότι το δοχείο είναι αρκετά ψηλά σε σχέση με το έδαφος. Β. Πάνω από το δοχείο βρίσκεται μια βρύση από την οποία χύνεται το ίδιο υγρό με τέτοια ροή ώστε, παρόλο που το υγρό εκρέει από τις οπές, η στάθμη του στο δοχείο να παραμένει σταθερή. Να βρείτε την παροχή του υγρού από τη βρύση. Δίνεται g=10m/s. Λύση Α1. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα υγρού στα σημεία Α και Β βρίσκουμε: m m 1 gy ,m 1 s s. (Θεώρημα Torricelli). Ομοίως, για τα σημεία Α και Γ βρίσκουμε m m gy 10 0,8m 4 s s A. Θεωρούμε ορθογώνιο σύστημα αξόνων με αρχή το σημείο Γ (κάτω οπή) και τα θετικά στον κατακόρυφο άξονα προς τα κάτω. Οι φλέβες νερού συναντιούνται στο σημείο Δ το οποίο βρίσκεται σε οριζόντια απόσταση x και κατακόρυφη απόσταση y από το σημείο Γ. Η κίνηση κάθε φλέβας είναι οριζόντια βολή (ευθύγραμμη ομαλή στον άξονα x και ελεύθερη πτώση στον άξονα y). Έστω τη χρονική στιγμή t=0 το υγρό εκρέει ταυτόχρονα και από τις δύο οπές. Oι φλέβες θα συναντηθούν στο Δ, όταν θα έχουν την ίδια οριζόντια μετατόπιση, x.

65 x 1t 1 t t 1 4t t1 t, (1) Δηλαδή το νερό της οπής 1 θέλει διπλάσιο χρόνο για να φθάσει στο Δ από ότι το νερό της οπής. Για τις κατακόρυφες μετατοπίσεις έχουμε: 1 Για την φλέβα 1 : y3y gt 1, () Για την φλέβα : 1 y gt, (3) Συνδυάζοντας τις (1),(),(3) παίρνουμε 1 1 m m y3 gt gt 0,6m 5 t 0 t t 0,s s s m 1 m Άρα x t 4 0,s x 0,8m, y 10 0, s y 0,m s s Β. Για να παραμένει η στάθμη του υγρού στο δοχείο σταθερή, θα πρέπει η παροχή του υγρού από τη βρύση να είναι ίση με αυτήν λόγω της εκροής από τις οπές του δοχείου. m m m L 0,1 10 m ,06 s s s s

66 Πρόβλημα. Στο σωλήνα του σχήματος (ροόμετρο Ventouri) κινείται νερό. Οι διατομές του σωλήνα στα σημεία Α, Β είναι Α 1, Α με Α 1 = 4Α και η διαφορά στάθμης στους δύο κατακόρυφους ανοικτούς σωλήνες στα αντίστοιχα σημεία είναι h = 1 cm (βλέπε σχήμα). Να υπολογιστεί Α h h 1 h Β Α 1 Α υ 1 υ Α. η διαφορά πίεσης μεταξύ των σημείων που βρίσκονται στις βάσεις των δύο κατακόρυφων στηλών Α και Β. Β. το μέτρο της ταχύτητας 1 του υγρού στο σωλήνα διατομής Α 1. Γ. ο όγκος του νερού που περνά από τον σωλήνα σε t = h αν για την διατομή ισχύει Α 1 = 00 cm. Δίνεται g = 10 m/s και ρ = 10 3 kg/m 3. Λύση Α. Από την υδροστατική, στις βάσεις των δύο κατακόρυφων στηλών Α και Β, για τις πιέσεις p A και p B αντίστοιχα ισχύει: p p gh και pb p gh A 1 Οπότε kg m N p p g(h h ) p p gh ,1m p p 100 m s m 3 A B 1 A B 3 A B Β. Έστω υ 1 και υ τα μέτρα των ταχυτήτων στα σημεία Α και Β του σωλήνα και p Α και p Β οι αντίστοιχες πιέσεις. Με εφαρμογή του νόμου του Bernoulli για τη ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία Α και Β έχουμε: p 1 p p p ( 1 ) (1) Από το νόμο της συνέχειας έχουμε: () Άρα από (1) και () έχουμε:

67 N 100 (p p ) p p (16 ) 0, m 1 A B m A B 1 m kg s 3 Γ. Η παροχή δίνεται από τη σχέση: V m V 11 t V 10 m 0, 4 700s V 57, 6 m t s 3

68 Πρόβλημα 3. Εντός κλειστού δοχείου μεγάλης διατομής υπάρχει νερό πυκνότητας ρ = 1000 kg/m 3 μέχρι ύψους h = 5 m. Πάνω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού υπάρχει αέρας με πίεση p = N/m. Στο κάτω άκρο του δοχείου υπάρχει μικρή οπή κατάλληλα διαμορφωμένη ώστε το νερό να εκτοξεύεται κατακόρυφα, όπως στο σχήμα. Να υπολογιστεί: Α. το ύψος της φλέβας του νερού που εκτοξεύεται από τη μικρή οπή. h p Β. το μέτρο της ταχύτητας της φλέβας στο ισοϋψές σημείο με την επιφάνεια του νερού μέσα στο δοχείο. Γ. η μεταβολή της πίεσης που πρέπει να υποστεί στο αέριο ώστε να διπλασιάσουμε το μέγιστο ύψος του πίδακα. Δ. το ελάχιστο ύψος μιας όμοιας ανοιχτής δεξαμενής, ώστε η φλέβα να φτάσει στο ίδιο μέγιστο ύψος με αυτό της ερώτησης α, αν αντί για αέριο υπό πίεση είχαμε ανοικτή την πάνω επιφάνεια και συμπληρώναμε με λάδι πυκνότητας ρ λ = 800 kg/m 3. Δίνεται g = 10 m/s και η ατμοσφαιρική πίεση p ατ = 10 5 N/m. Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό και η ροή είναι μόνιμη και στρωτή. Λύση Α. Επειδή η διατομή του δοχείου είναι πολύ μεγάλη σε σχέση με τη διατομή της οπής, το ύψος της στάθμης του υγρού θεωρείται σταθερό. Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από τη βάση της δεξαμενής. h Α p Β Γ H Με εφαρμογή του νόμου του Bernoulli για τη ρευματική φλέβα που διέρχεται από τα σημεία Α και Β έχουμε: 1 1 p ρgh ρυ pb ρgh ρυ (1) Αλλά υ Α = 0, (θεωρούμε ότι η επιφάνεια μέσα στο δοχείο είναι αρκετά μεγάλη ώστε να κατεβαίνει πολύ αργά), p A = p και υ Β = 0 (βρισκόμαστε στο μέγιστο ύψος). Έτσι η σχέση (1) γίνεται:

69 5 N 5 N p p B p ρgh p m m B ρgh H h H 5m ρg 3 kg m m s H 5m. Β. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για τη ρευματική φλέβα που διέρχεται από τα σημεία Α και Γ. 5 N 5 N ( (p p p ρgh p ρgh ρυ υ ) ) m m υ 0 ρ 3 kg 10 s 3 m Γ. Το νέο μέγιστο ύψος θα είναι: Η 1 = Η = 50 m. Έστω Δ το σημείο στο μέγιστο ύψος. Εφαρμόζω την εξίσωση του Bernoulli για τα σημεία Α και Δ. N p ρgh p ρgh p p ρg(h h) p 5,510 m 5 1 ατ 1 Έτσι η μεταβολή της πίεσης είναι: 5 N pa pa pa pa,5 10. m Δ. Για να πετύχουμε το ίδιο μέγιστο ύψος στην φλέβα θα πρέπει στο σημείο της νοητής επιφάνειας μεταξύ των δύο υγρών να έχουμε την ίδια πίεση με πριν (p A = N/m ). Η υδροστατική πίεση που θα έχει το λάδι ύψους h 1 δίνεται από την σχέση: pλ ρλgh1 h 1 Α p Β H Άρα για την πίεση στο σημείο Α θα ισχύει: h p p p p p ρ gh p h h 5m A ατ A λ ατμ λ 1 ατ 1 1 ρg λ Έτσι η δεξαμενή θα πρέπει να έχει τουλάχιστον ύψος: hολ h1 h hολ 30m

70 Πρόβλημα 4 Δεξαμενή μεγάλης διατομής με κατακόρυφα τοιχώματα είναι τοποθετημένη στο έδαφος και περιέχει νερό μέχρι ύψους Η = m. Α. Να υπολογιστεί σε ποια απόσταση h από τον πυθμένα της δεξαμενής πρέπει να ανοίξουμε μικρή οπή, ώστε η φλέβα του νερού να συναντήσει το έδαφος σε οριζόντια α- πόσταση S = 1, m, από το τοίχωμα της δεξαμενής. Β. Να δειχθεί ότι η μέγιστη απόσταση S είναι ίση με το ύψος Η του νερού στη δεξαμενή. Γ. Να βρεθεί για ποια τιμή του h η απόσταση S γίνεται μέγιστη. Λύση Η ταχύτητα του νερού που εκτοξεύεται από την οπή που έχει ανοιχθεί σε απόσταση h από τη βάση της δεξαμενής σύμφωνα με το θεώρημα του Torricelli είναι: υ gy υ g(h h) (1) Η κίνηση κάθε μορίου της φλέβας του νερού είναι σύνθετη: H p ατ h υ 1 υ h 1 Οριζόντιος άξονας: S Ευθύγραμμη ομαλή με ταχύτητα υ, οπότε είναι S = υt () Κατακόρυφος άξονας: 1 h Ελεύθερη πτώση οπότε είναι : h gt t (3). g Από () και (3) έχουμε: (1) h h S υt S υ t S υ S g(h h) 4h 4hH S 0 g g (4). Με αντικατάσταση των Η και S στην (4) παίρνουμε: 4h 8h 1, 44 0 h h 0,36 0 (5) Η σχέση (5) είναι εξίσωση β βαθμού με Δ =,56 και έχει λύσεις h 1 = 1,8 m και h = 0, m. Άρα υπάρχουν δύο θέσεις της οπής, που είναι συμμετρικές ως προς το μέσο της δεξαμενής, για τις οποίες έχουμε το ίδιο S.

71 Β. Από την εξίσωση (4) προκύπτει ότι για να έχει λύση πρέπει: S 0 S 0 H S άρα S max = Η = m. Γ. Με αντικατάσταση στην σχέση (4) της μέγιστης τιμής του S παίρνουμε: 4h 8h 4 0 h h 1 0 (h 1) 0 h 1m Άρα, η οπή πρέπει να ανοιχθεί στο μέσο του ύψους της δεξαμενής h = 1 m και η οριζόντια απόσταση που συναντά το έδαφος η φλέβα του νερού είναι S = Η = m.

72 Πρόβλημα 5 Στο σχήμα φαίνεται η αρχή λειτουργίας ενός ψεκαστήρα που στο δοχείο του υπάρχει υγρό ψεκασμού πυκνότητας ρ υγ = 10 3 kg/m 3. Για να λειτουργεί ο ψεκαστήρας πρέπει το υγρό ψεκασμού να ανέρχεται από το δοχείο στον κατακόρυφο σωλήνα ως το χείλος αυτού, σημείο Β. Α. Να βρείτε με ποια ταχύτητα πρέπει να εξέρχεται ο αέρας από το ακροφύσιο του ψεκαστήρα αν το τμήμα του σωλήνα που βρίσκεται έξω από το υγρό έχει ύψος h 1 = 10 cm. Β. Όταν ο αέρας εξέρχεται από το ακροφύσιο με ταχύτητα μέτρου υ = 4 m/s, πόσο μπορεί να είναι το μέγιστο ύψος h του σωλήνα που βρίσκεται έξω από το υγρό; Γ. Το συνολικό μήκος του σωλήνα είναι Η = 16,05 cm, και τον σταθεροποιούμε σε θέση που να σχηματίζεται στήλη υγρού ύψους h 3= 11,05 cm όταν ψεκάζουμε με την κατάλληλη ταχύτητα. Ψεκάζουμε με σταθερό ρυθμό 40 ψεκ./min. Μετά από πόσο χρόνο θα σταματήσει να λειτουργεί ο ψεκαστήρας; Δίνεται ότι ο μέσος όγκος των δημιουργούμενων σταγονιδίων είναι 60 nl (nano L) και κάθε ψεκασμός "παρασύρει" 000 σταγονίδια. Δίνονται πυκνότητα αέρα ρ α = 1,5 kg/m 3, εμβαδόν της βάσης του δοχείου Α = 4 cm και g = 10 m/s. Λύση Α. Έστω υ 1 η ταχύτητα που εξέρχεται ο αέρας από το ακροφύσιο του ψεκαστήρα, θέση (1). Αν p 1 η πίεση που επικρατεί στη θέση (1), τότε η πίεση του αέρα στη θέση (), που θεωρούμε ότι βρίσκεται μακριά από τη διάταξη, είναι ίση με την ατμοσφαιρική πίεση p ατ, και η ταχύτητα του αέρα και των σταγονιδίων είναι υ = 0. Με εφαρμογή της εξίσωσης του Bernoulli για τις θέσεις (1) και () έχουμε: 1 1 p1 ραυ1 p ραυ (1) αλλά p = p ατ και υ = 0 οπότε η (1) γίνεται: 1 p1 ραυ1 pατ () Στην επιφάνεια του υγρού του δοχείου ψεκασμού επικρατεί η ατμοσφαιρική πίεση. Επομένως στο σωλήνα που ανέρχεται το υγρό ψεκασμού η πίεση στη βάση του είναι: pατμ p1 ρυγgh1 (3).

73 3 kg m ρ 3 υγgh ,1m 1 m Η () λόγω (3) δίνει: υ m s 1 υ1 υ1 40 ρ kg α 1,5 s m 3 Β. Εφαρμόζουμε ανάλογη διαδικασία και λύνουμε ως προς το ύψος. Αφού φυσάμε με μεγαλύτερη ταχύτητα το μέγιστο ύψος h του σωλήνα που βρίσκεται έξω από το υγρό μπορεί να είναι μεγαλύτερο από πριν, όπως στο σχήμα. Θα προκύψει: kg m 1, ρυ α m s ραυ ρgh h h ρg 3 kg m m s h 0,1105m h 11,05cm Γ. Ο όγκος του νερού που θα πρέπει να βγει από το δοχείο ώστε αυτό να μην λειτουργεί 4 είναι: V Ah A(H h ) V 410 m 510 m 6 3 V m V 10ml Ο όγκος υγρού που αφαιρείται με κάθε ψεκασμό είναι: 9 V1 σταγόνες όγκος σταγόνας L V L V ml Συνεπώς οι ψεκασμοί είναι: V 10mL N N 1000 ψεκασμοί 3 V 1010 ml 1

74 Άρα σε κάθε 1 min έχουμε 40 ψεκασμούς Τελικά x = 5 min. x 1000

75 Πρόβλημα 6 Ανοικτή δεξαμενή νερού έχει στον πυθμένα βρύσες πανομοιότυπες που η κάθε μία έχει εμβαδό διατομής Α = cm. Η δεξαμενή τροφοδοτείται από σωλήνα από τον οποίο τρέχει νερό στην ελεύθερη επιφάνεια της με σταθερή παροχή Π = 0,8 L/s. h 1 Α p ατ Α. Να υπολογίσετε σε ποιο ύψος η στάθμη του νερού παραμένει σταθερή στη δεξαμενή όταν έχουμε ανοιχτή μία βρύση. Γ Β p ατ υ 1 Β. Να βρείτε την κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του νερού στην έξοδο. Γ. Αν θέλουμε να ποτίσουμε τον κήπο μας με το παραπάνω σύστημα, πόσες βρύσες μπορούμε να ανοίξουμε ταυτόχρονα, δεδομένου ότι ικανοποιητική παροχή έχουμε όταν η στάθμη στη δεξαμενή δεν πέφτει κάτω από h = 0, m. Δίνεται g = 10 m/s και η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3. Θεωρήστε τη ροή στρωτή, το νερό ιδανικό ρευστό και την ταχύτητα με την οποία πέφτει το νερό από τον σωλήνα στη δεξαμενή είναι περίπου μηδέν. Λύση Α. Μετατρέπουμε τα μεγέθη σε μονάδες του S.I. Π = 0,8 L/s = m 3 /s = m 3 /s και Α = cm = 10 4 m. Έστω h 1 το ύψος του νερού όταν έχουμε ισορροπία στις παροχές, δηλαδή το ύψος h 1 είναι αυτό που πρέπει να έχει το νερό στη δεξαμενή ώστε η παροχή νερού από το σωλήνα να είναι ίση με την παροχή εκροής του νερού από τη βρύση. Συνεπώς θα ισχύει: 1 1 (1) Εφαρμόζουμε το νόμο του Bernoulli για τα σημεία Α (επιφάνεια του νερού) και το σημείο Β (σημείο εκροής του νερού) έχουμε: 1 1 p1 1 gh1 p () αλλά p 1 = p = p ατμ έτσι η () γίνεται: 1 p gh1 p 1 1 gh1 (3). Από τις (1) και (3) προκύπτει:

76 3 4 m (810 ) gh1 h s 1 h 1 m h1 0,8 m. g 4 m (10 m ) 10 s m m Β. Από την σχέση (3) προκύπτει ότι (3) 1 100,8 1 4 s s Η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου είναι: kg m 1 J ρυυ V V m s V m Γ. Από την σχέση (3) μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα εκροής για το ελάχιστο ύψος στο δοχείο. m gh. s Αφού η στάθμη σταθεροποιηθεί στο ύψος h θα ισχύει: 3 4 m 810 s βρύσες. m 4 10 m s

77 Πρόβλημα 7 Η δεξαμενή του σχήματος περιέχει νερό και φέρει ένα έμβολο ώστε να καλύπτει ολόκληρη την επιφάνεια του νερού. Το νερό διοχετεύεται μέσω του οριζόντιου σωλήνα μεταβλητής διατομής με Α 1=3Α =1cm στο σημείο εξόδου Γ από όπου εκρέει πέφτοντας στο δοχείο εμβαδού βάσης Α=0,88m. Ο κατακόρυφος σωλήνας Β είναι τοποθετημένος σε σημείο του οριζόντιου σωλήνα με εμβαδόν Α 1. Το ύψος της στήλης του νερού στη δεξαμενή είναι h=1,8m και θεωρούμε ότι κατά την εκροή του νερού από το Γ το ύψος h δεν μεταβάλλεται. Τη χρονική στιγμή t=0 πιέζουμε προς τα κάτω το έμβολο με αποτέλεσμα το νερό να εκρέει από το σημείο Γ με ταχύτητα 9m/s. Να βρείτε: Α. την πίεση p εμβ μεταξύ εμβόλου και της επιφάνειας του νερού στη δεξαμενή. Β. το ύψος h 1 της στήλης του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα Β. Γ. την αύξηση του ύψους y του νερού στο δοχείο μετά από χρόνο 1 min. Δίνονται: p atm=10 5 Ν/m, g=10m/s και ρ ν=1.000kg/m 3. Λύση Α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α και Γ. 1 1 p gh p A Επειδή p Γ=p atm και υ Α=0, η παραπάνω σχέση γίνεται 5 atm kg m N kg m p p gh ,8m m s m m s N p m Β. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για την φλέβα νερού από το Α μέχρι το σημείο 1 που η πίεση είναι p A p gh 1 p 1, (1), υ Α=0 Από το νόμο της συνέχειας παίρνουμε Π 1=Π ή Α 1υ 1=Α υ Γ ή υ 1=3m/s.

78 H σχέση (1) γίνεται 1 5 N kg m 1 kg m p1 p gh 1 1, ,8m m m s m s N p m H πίεση στο σημείο 1 είναι N N p 1 patm p1 patm gh 1 Þ h1 m m 4 h1 3,6m g kg m m s Γ. H παροχή του νερού στο σωλήνα V t Επομένως, o όγκος του νερού που φεύγει από το σωλήνα είναι V t 4 3 V t A 11t 1 10 cm 3 60s V 0,16m 3 V 0,16m V y y y 0,75m A 0,88m m s

79 Ερώτηση 8. Τα δύξ δξυεία ςξσ ρυήμαςξπ έυξσμ ςξ ίδιξ εμβαδό βάρηπ, πεοιέυξσμ μεοό και ρε βάθξπ h σπάουει ςούπα εμβαδξύ πξλύ μικοόςεοξσ από ασςό ςηπ ελεύθεοηπ επιτάμειαπ. Τξ μεοό μεςά ςημ ένξδό ςξσ από ςημ ςούπα κάθε δξυείξσ τθάμει Α. ρε μεγαλύςεοξ ύφξπ ρςξ δξυείξ Α Β. ρε μεγαλύςεοξ ύφξπ ρςξ δξυείξ Β. Γ. ρςξ ίδιξ ύφξπ. Να διαλένειπ ςη ρχρςή απάμςηρη και μα ςη δικαιξλξγήρειπ. Λύρη Σχρςή είμαι η ποόςαρη Γ. Δταομόζξσμε ρςξ δξυείξ Β ςξ θεώοημα ςξσ Bernoulli για μια τλέβα ςξσ σγοξύ ρςα ρημεία Α (ρημείξ ςηπ ελεύθεοηπ επιτάμειαπ) και Β πξσ είμαι ςξ σφηλόςεοξ ρημείξ. Θεχοξύμε επίπεδξ αματξοάπ για ςη δσμαμική εμέογεια ςξσ οεσρςξύ, ςξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ πξσ διέουεςαι από ςξ Α. 1 1 A p B pb gy Σςξ Α έυξσμε p A = p atm και σ Α = 0. Σςξ Β έυξσμε p Β = p atm και σ Β = 0. Δπξμέμχπ η παοαπάμχ ρυέρη γίμεςαι 0 p 0 p gy y 0 atm atm Σςξ ίδιξ ρσμπέοαρμα καςαλήγξσμε εταομόζξμςαπ ςημ ενίρχρη Bernoulli ρςξ δξυείξ Α. Τξ παοαπάμχ ρσμπέοαρμα είμαι συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας.

80 Άσκηση 9 Σςξμ ξοιζόμςιξ ρχλήμα ςξσ ρυήμαςξπ οέει αέοαπ και ξ σξειδήπ ρχλήμαπ υοηριμξπξιείςαι για ςη μέςοηρη ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ αέοα. Σςξ ρημείξ Β σπάουει αμακξπή ςξσ οεύμαςξπ ςξσ αέοα (ρημείξ αμακξπήπ) ξπόςε η ςαυύςηςα ςξσ αέοα ρςξ ρημείξ Β είμαι μηδεμική. Τξ σγοό ρςξμ σξειδή ρχλήμα είμαι μεοό και η σφξμεςοική διατξοά ρςα δύξ ρκέλη ςξσ ρχλήμα είμαι h = 10cm. Α. Να βοεθεί η πίερη ρςξ ρημείξ αμακξπήπ Β ρε ρσμάοςηρη με ςημ ςαυύςηςα ςξσ αέοα. Β. Να σπξλξγιρςεί η ςαυύςηςα ςξσ αέοα ρςξμ ξοιζόμςιξ ρχλήμα. Δίμξμςαι: πσκμόςηςα αέοα ο α = 1,5 kg/m 3, πσκμόςηςα μεοξύ ο μ = 1000 kg/m 3, p atm = 10 5 N/m και g = 10m/s. Λύρη Δταομόζξσμε ςξ θεώοημα ςξσ Bernoulli για μια ξοιζόμςια τλέβα ςξσ αέοα πξσ διέουεςαι από ςιπ θέρειπ A και B. Σςξ Α, p A = p atm και ρςξ Β σ Β = 0 άοα 1 1 p p A A B B 1 5 N pb A patm pb 0,65A 10 m, (1) Β. Η πίερη ρςξ Β είμαι ίρη με ασςή ρςξ Γ καθώπ ρςξ αοιρςεοό ρκέλξπ πεοιέυεςαι αέοαπ. Όμχπ η πίερη ρςξ ρημείξ Γ είμαι ίρη με ασςή ςξσ ρημείξσ Δ καθώπ ςα δύξ ρημεία βοίρκξμςαι ρςξ ίδιξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ ρε έμα ακίμηςξ οεσρςό. Σσμδσάζξμςαπ ςιπ (1),() παίομξσμε p p p gh, () B atm kg ,1m 1 3 gh m A gh A m A 40 kg 1,5 s m 3 Συόλιξ: Η παοαπάμχ μέθξδξπ υοηριμξπξιείςαι για ςη μέςοηρη ςηπ ςαυύςηςαπ ςχμ αεοξπλάμχμ με ςξμ ρχλήμα Pitot μα ςξπξθεςείςαι ρςξ τςεοό ςξσ αεοξπλάμξσ.

81 Άσκηση 30 Μια αμςλία μεοξύ βοίρκεςαι ρςξμ πσθμέμα εμόπ πηγαδιξύ πξσ έυει βάθξπ h = 5m. H διαςξμή ςξσ ρχλήμα είμαι ρςαθεοή και ίρη με Α = 10cm. Τξ μεοό ενέουεςαι από ςημ άκοη Γ ςξσ ρχλήμα με ςαυύςηςα σ Γ = 10m/s. Να βοεθξύμ: Α. η ςαυύςηςα ςξσ μεοξύ μόλιπ ασςό ενέουεςαι από ςημ αμςλία (θέρη Β) Β. Η διατξοά πίερηπ μεςανύ ςχμ Β και Γ. Γ. ξ οσθμόπ παοαγχγήπ έογξσ λόγχ ςηπ διατξοάπ πίερηπ μεςανύ ςχμ Β και Γ. Δ. ξ οσθμόπ παοαγχγήπ έογξσ (ιρυύπ) ςηπ αμςλίαπ. Τξ μεοό μα θεχοηθεί ιδαμικό οεσρςό. Δίμξμςαι: ο μ = 1000kg/m 3, g = 10m/s. Λύρη Α. Ο ρχλήμαπ έυει ρςαθεοή διαςξμή, επξμέμχπ ατξύ η παοξυή είμαι ίδια ρε όλξ ςξ μήκξπ ςξσ ρχλήμα (μόμξπ ρσμέυειαπ) η ςαυύςηςα ρε κάθε ρημείξ ςξσ ρχλήμα θα είμαι η ίδια, άοα σ Β = σ Γ = 10m/s. Β. Δταομόζξσμε ςξ θεώοημα ςξσ Bernoulli για μια τλέβα μεοξύ μεςανύ ςχμ ρημείχμ Β και Γ. 1 1 B pb p gh, ( B ) kg m N pb p gh m p p 510 m s m 4 3 B Γ. Ο οσθμόπ παοαγχγήπ έογξσ πξσ ξτείλεςαι ρςη διατξοά πίερηπ μεςανύ ςχμ Β και Γ. dw pb p dv dw kg m 4 m gh A m1010 m 10 3 dt dt dt m s s dw 500W dt Συόλιξ: Ο παοαπάμχ είμαι και ξ οσθμόπ αύνηρηπ ςηπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ςχμ μαζώμ. Δ. Ο οσθμόπ παοαγχγήπ έογξσ (ιρυύπ) ςηπ αμςλίαπ είμαι: P dw dt Τξ έογξ ςηπ αμςλίαπ ςξ βοίρκξσμε με εταομξγή ςξσ θεχοήμαςξπ έογξσ- εμέογειαπ καςά ςη μεςακίμηρη μικοήπ μάζαπ μεοξύ από ςξ ςημ αμςλία μέυοι ςημ ένξδξ ςξσ ρχλήμα. Με W w δηλώμξσμε ςξ έογξ ςξσ βάοξσπ.

82 1 1 m 0 W Ww m 0 W m gh 1 W m m gh Άοα, η ιρυύπ P ςηπ αμςλίαπ ή ξ οσθμόπ παοαγχγήπ έογξσ είμαι: dw 1 dm 1 P gh gh A dt dt 1 m m kg 4 m P m m 10 P 1000W 3 s s m s

83 Άσκηση 31 Μια μέοα με άπμξια, έμα Boeing 737 πεςάει ξοιζόμςια πάμχ από ςημ Αθήμα ρε ρςαθεοό ύφξπ. Τα πςεούγιά ςξσ έυξσμ ρσμξλικό εμβαδό Α = 70m ςξ καθέμα. Η ςαυύςηςα ςξσ αέοα ρςξ πάμχ ςμήμα ςχμ πςεοσγίχμ, λόγχ ςηπ ρςέμχρηπ ςχμ οεσμαςικώμ γοαμμώμ, είμαι σ Α = 756km/h, εμώ ρςξ κάςχ ςμήμα λόγχ ςηπ αοαίχρήπ ςξσπ είμαι σ Β = 684km/h. Να βοεθξύμ: Α. η διατξοά πιέρεχμ μεςανύ ςξσ κάςχ και πάμχ ςμήμαςξπ ςχμ πςεοσγίχμ ςξσ αεοξπλάμξσ. Β. Η αεοξδύμαμη πξσ αρκείςαι ρςξ αεοξπλάμξ. Γ. Τξ βάοξπ ςξσ Boeing 737 για ςη ρσγκεκοιμέμη πςήρη, αμ η γχμία μεςανύ αεοξδύμαμηπ και δσμαμικήπ άμχρηπ είμαι τ = 0 ξ. Δίμoμςαι: ο αέοα = 1,5kg/m 3, p atm = 10 5 N/m, ρσμ0 ξ = 0,94 Λύρη A. Δταομόζξσμε ςημ ενίρχρη ςξσ Βernoulli μεςανύ ςχμ ρημείχμ, Α και, Β όπξσ θεχοείςαι έμα ρημείξ ςηπ οεσμαςικήπ γοαμμήπ πξσ βοίρκεςαι πξλύ μακοιά από ςξ αεοξπλάμξ με = σ αεο p p p p A A A A p p p p B B B B Η αταίοερη καςά μέλη ςχμ δύξ ρυέρεχμ δίμει: 1 N p p 5000 m B. Η ποξκαλξύμεμη αεοξδύμαμη, F, είμαι κάθεςη ρςα πςεούγια και έυει μέςοξ F p p A όπξσ Α είμαι ςξ ρσμξλικό εμβαδόμ ςχμ δύξ πςεοσγίχμ ςξσ αεοξπλάμξσ. N F pa pb A m F N m A B

84 Γ. Η καςακόοστη ρσμιρςώρα F α απξςελεί ςημ δσμαμική άμχρη και ενιρξοοξπεί ςξ βάοξπ ςξσ αεοξπλάμξσ, ατξύ ασςό πεςά ξοιζόμςια. w F F N 0,94 ή w

85 Άσκηση 3 Μια λεπςή πλάκα εμβαδξύ Α=5cm ςξπξθεςείςαι πάμω ρε ρςαθεοή ξοιζόμςια επιτάμεια. Μεςανύ ςηπ πλάκαπ και ςηπ επιτάμειαπ παοεμβάλλεςαι ρςοώμα γλσκεοίμηπ πάυξσπ με ρσμςελερςή ινώδξσπ n γ = Νs/m. Αρκξύμε ξοιζόμςια δύμαμη F=0mN και παοαςηοξύμε όςι η πλάκα μεςά από λίγξ μεςαςξπίζεςαι με ρςαθεοή ςαυύςηςα σ=10cm/s. Να βοείςε: Α. ςξ πάυξπ ςξσ οεσρςξύ πξσ παοεμβάλλεςαι μεςανύ ςηπ πλάκαπ και ςηπ επιτάμειαπ. Β. Τημ ιρυύ ςηπ δύμαμηπ η ξπξία αρκείςαι για μα σπεομικηθξύμ ξι ςοιβέπ. Γ. Αταιοξύμε ςξ οεσρςό και ςξπξθεςξύμε μεοό ίδιξσ πάυξσπ με ρσμςελερςή ινώδξσπ n μ =10-3 Νs/m. Αρκξύμε ρςημ πλάκα ςημ ίδια ξοιζόμςια δύμαμη και ασςή μεςά από λίγξ μεςαςξπίζεςαι πάλι με ρςαθεοή ςαυύςηςα σ 1. Να βοείςε ςξ μέςοξ ςηπ σ 1 Λύρη Α. Ατξύ η πλάκα μεςαςξπίζεςαι με ρςαθεοή ςαυύςηςα, η δύμαμη F έυει μέςοξ ίρξ με ςξ μέςοξ ςηπ ςοιβήπ ξλίρθηρηπ. Δπξμέμωπ 3 Ns m m na ,1 A F T n m s s 0, 01m 3 F 010 N Β. Γ. W Fx m t t s F 3 P P F 010 N0,1 P m W 3 A1 F 010 N0,01m m 1 1 n A 3 Ns 4 m s F n 80 m s Τξ απξςέλερμα είμαι αμαμεμόμεμξ. Ο ρσμςελερςήπ ινώδξσπ ςξσ μεοξύ είμαι 800 τξοέπ μικοόςεοξ από ασςόμ ςηπ γλσκεοίμηπ. Δπξμέμωπ για ςημ ίδια άρκηρη δύμαμηπ, η πλάκα θα απξκςήρει ςαυύςηςα 800 τξοέπ μεγαλύςεοη.

86 Ερώτηση 33 Σςη διπλαμή διάςανη, η πλάκα Π είμαι ακλόμηςη, εμώ η Π 1 μπξοεί μα κιμείςαι μέρχ μιαπ αρκξύμεμηπ ρε ασςήμ ενχςεοικήπ ξοιζόμςιαπ δύμαμηπ F η ξπξία ξτείλεςαι ρςξ βάοξπ w ςξσ ρώμαςξπ Σ. Μεςανύ ςχμ πλακώμ σπάουει έμα παυύοεσρςξ σγοό. Παοαςηοξύμε όςι μεςά από λίγξ, η Π 1 κιμείςαι ποξπ ςα δενιά με ρςαθεοή ςαυύςηςα σ. Α. Η εμέογεια πξσ ποξρτέοεςαι από ςημ δύμαμη F αταιοεί μηυαμική εμέογεια από ςημ πλάκα Π 1 με ρσμέπεια ςημ αύνηρη ςηπ θεομξκοαρίαπ ςξσ οεσρςξύ. Β. Η μείχρη ςηπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ςξσ ρώμαςξπ Σ έυει χπ ρσμέπεια ςη μείχρη ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ ςηπ πλάκαπ Π 1. Γ. Η εμέογεια πξσ ποξρτέοεςαι από ςημ δύμαμη F αμαπληοώμει ςημ εμέογεια πξσ υάμεςαι λόγχ ςξσ ινώδξσπ ςξσ οεσρςξύ. Να διαλένειπ ςη ρχρςή απάμςηρη και μα ςη δικαιξλξγήρειπ. Λύρη Σχρςή είμαι η απάμςηρη Γ. Όςαμ ςξ ρώμα Σ καςέουεςαι με ρςαθεοή ςαυύςηςα, η μείχρη ςηπ δσμαμικήπ ςξσ εμέογειαπ μεςατέοεςαι μέρχ ςηπ ενχςεοικήπ δύμαμηπ F ρςημ πλάκα και μέρχ ςξσ έογξσ ςηπ ςοιβήπ (ινώδεπ ςξσ σγοξύ) μεςαςοέπεςαι όλη ρε θεομόςηςα. Η μηυαμική εμέογεια ςηπ πλάκαπ Π 1 όμχπ διαςηοείςαι ρςαθεοή, ατξύ η πλάκα μεςακιμείςαι με ρςαθεοή ςαυύςηςα. Έςρι, η μείχρη ςηπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ςξσ ρώμαςξπ Σ, μέρχ ςξσ έογξσ ςηπ δύμαμηπ F αμαπληοώμει ςημ εμέογεια πξσ υάμεςαι ρε θεομόςηςα λόγχ ςχμ ςοιβώμ μεςανύ πλάκαπ και οεσρςξύ.

87 Ερώτηση 34. Οι καςακόοστξι ρχλήμεπ ςξσ ρυήμαςξπ είμαι ίδιξι και αμξικςξί ρςξ πάμχ ςμήμα ςξσπ. Σςξμ ξοιζόμςιξ ρχλήμα οέει με τξοά ποξπ ςα δενιά έμα ποαγμαςικό σγοό με ρςαθεοή ςαυύςηςα. Τα ύφη ρςξσπ καςακόοστξσπ ρχλήμεπ είμαι ρχρςά ρυεδιαρμέμα ρςξ ρυήμα Να διαλένειπ ςη ρχρςή απάμςηρη και μα ςη δικαιξλξγήρειπ. Λύρη Σχρςό είμαι ςξ διάγοαμμα (ii). Σε έμα ποαγμαςικό οεσρςό αμαπςύρρξμςαι δσμάμειπ ςοιβήπ. Για μα διαςηοηθεί καςά μήκξπ ςξσ ξοιζόμςιξσ ρχλήμα ρςαθεοή η ςαυύςηςά ςξσπ, ποέπει μα αρκηθξύμ ρςιπ ρςξιυειώδειπ μάζεπ ςξσπ δσμάμειπ (από ςξ πεοιβάλλξμ οεσρςό) πξσ ςξ έογξ ςξσπ θα αμαπληοώμει ςημ απώλεια ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ. Τξ έογξ ςηπ ρσμιρςαμέμηπ ςχμ δσμάμεχμ πξσ αρκξύμςαι ρςξ ςμήμα ςξσ οεσρςξύ πξσ πεοιβάλλεςαι μεςανύ δύξ διαςξμώμ είμαι θεςικό, W=(p αου -p ςελ ) ΔV. Δπειδή W>0 είμαι και p αου -p ςελ >0, δηλαδή ρςημ καςεύθσμρη οξήπ ςξσ σγοξύ η πίερη μειώμεςαι. Σςη βάρη ςχμ ρχλήμχμ η πίερη είμαι ίρη με p=p αςμ +οgh. Άοα, ρςημ καςεύθσμρη οξήπ ςα h μειώμξμςαι. Ασςό ρσμβαίμει μόμξ ρςξ ρυήμα (ii).

88 Ερώτηση1. Τα δύξ αμξιυςά ρκέλη ςξσ δξυείξσ ςξσ παοακάςχ ρυήμαςξπ γεμίζξμςαι με σγοό πσκμόςηςαπ ο, μέυοι ςα ρημεία Α και Β αμςίρςξιυα, εμώ η βαλβίδα είμαι κλειρςή. Τξ δενιό ρκέλξπ ςξσ δξυείξσ είμαι κεκλιμέμξ με γχμία κλίρηπ τ, όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα. Αμ p 0 η αςμξρταιοική πίερη α) η πίερη ρςξ κάςχ μέοξπ ςηπ βαλβίδαπ είμαι p0 gl. β) ξι πιέρειπ ρςξ πάμχ και ρςξ κάςχ μέοξπ ςηπ βαλβίδαπ είμαι ίρεπ. γ) η πίερη ρςξ πάμχ μέοξπ ςηπ βαλβίδαπ είμαι gh. Απάμτηση Σχρςή είμαι η ποόςαρη α. Η πίερη ρςξ πάμχ μέοξπ ςηπ βαλβίδαπ είμαι P0 gh και δεμ είμαι ίρη με ςημ πίερη ρςξ κάςχ μέοξπ ςηπ βαλβίδαπ γιαςί ςα σγοά δεμ επικξιμχμξύμ λόγχ ςηπ κλειρςήπ βαλβίδαπ. Η πίερη ςξσ σγοξύ ρςξ κάςχ μέοξπ ςηπ βαλβίδαπ είμαι ίρη με ςη πίερη ρςη βάρη ςξσ δενιξύ ρχλήμα ςξσ δξυείξσ και επξμέμχπ έυει ςη ςιμή p0 gh p0 gl.

89 ΘΔΜΑ Γ Άσκηση Έμα δχμάςιξ έυει διαρςάρειπ 4m x 5m x 3m (μήκξπ x πλάςξπ x ύφξπ) και πεοιέυει αέοα πσκμόςηςαπ ο=1,kg/m 3. Αμ η επιςάυσμρη ςηπ βαούςηςαπ είμαι g=9,81m/sec μα βοεθξύμ: α) η μάζα και ςξ βάοξπ ςξσ αέοα ςξσ δχμαςίξσ και β) η δύμαμη πξσ αρκεί η αςμόρταιοα πάμχ ρςξ δάπεδξ. γ) Γιαςί ςξ δάπεδξ δεμ καςαοοέει; Λύρη α) Ο όγκξπ ςξσ δχμαςίξσ είμαι V=4m x 5m x 3m=60 m 3. Η μάζα ςξσ πεοιευόμεμξσ αέοα είμαι και ςξ βάοξπ ςξσ Kg m 3 m V 1, x 60m 7 Kg 3 m w mg 7 Kg 9,81 706,3 N sec β) Από ςξμ ξοιρμό ςηπ πίερηπ F p έυξσμε: A 5 N F pa 10 0 m ή m F 6 10 N γ) Η δύμαμη ασςή είμαι πεοίπξσ 00 ςόμξι, αοκεςά μεγάλη για μα καςαοοεύρει ςξ δάπεδξ. Ασςό όμχπ δεμ ρσμβαίμει γιαςί ρςημ κάςχ πλεσοά ςξσ παςώμαςξπ, η αςμξρταιοική πίερη αρκεί μία ίρξσ μέςοξσ δύμαμη με τξοά ποξπ ςα πάμχ.

90 Άσκηση 3. Σςξ διπλαμό ρυήμα ταίμεςαι η ρυημαςική παοάρςαρη ςξσ ρσρςήμαςξπ πέδηρηπ εμόπ ξυήμαςξπ. Τξ έμβξλξ ςξσ κύοιξσ κσλίμδοξσ έυει διαςξμή εμβαδξύ Α 1 = cm εμώ ςξ έμβξλξ ςξσ κσλίμδοξσ ςχμ τοέμχμ Α =6,5 cm. O δίρκξπ ρςξμ ξπξίξ εταομόζεςαι η δύμαμη από ςα ςακάκια παοξσριάζει με ςα ςακάκια ρσμςελερςή ςοιβήπ ξλίρθηρηπ μ=0,5. Αμ ξ ξδηγόπ παςήρει ςξ πεμςάλ ςξσ τοέμξσ με δύμαμη μέςοξσ F 1 =40 Ν, μα βοεθξύμ: α) η ποόρθεςη πίερη πξσ ποξκαλείςαι ρςξ σγοό ςξσ κύοιξσ κσλίμδοξσ. β) ςξ μέςοξ ςηπ δύμαμηπ πξσ αρκείςαι ρςξ μεγάλξ έμβξλξ. γ) ςξ μέςοξ ςηπ εταομξζόμεμηπ δύμαμηπ ςοιβήπ ρςξ δίρκξ ςξσ ςοξυξύ. Λύρη α) Η ποόρθεςη πίερη πξσ ποξκαλείςαι ρςξ σγοό ςξσ κύοιξσ κσλίμδοξσ είμαι p F 40 N Pa 4 A1 10 m β) Η πίερη ασςή ρύμτχμα με ςημ αουή ςξσ Pascal διαδίδεςαι και ρςξ έμβξλξ ςξσ κσλίμδοξσ ςχμ τοέμχμ με απξςέλερμα ασςό μα δέυεςαι δύμαμη 5 N 4 F pa 10 6,510 m 130 N. m γ) Δπξμέμχπ η ςοιβή πξσ θα αρκηθεί ρςξ δίρκξ από ςξ ςακάκι είμαι F 0,5130 N 65 N..

91 Άσκηση 4. Σςξ διπλαμό ρυήμα ταίμξμςαι δύξ ρσγκξιμχμξύμςα δξυεία πξσ πεοιέυξσμ μεοό και κλείμξμςαι με έμβξλα εμβαδώμ Α 1 =4 cm και Α =40 cm πξσ ιρξοοξπξύμ ρςξ ίδιξ ύφξπ. Τξ αοιρςεοό έμβξλξ έυει βάοξπ W 1 =10 Ν. α) Πξιξ είμαι ςξ βάοξπ ςξσ δενιξύ εμβόλξσ; β) Αρκώμςαπ καςάλληλη δύμαμη μέςοξσ F α μεςακιμξύμε καςά Δx 1 =0 cm ποξπ ςα κάςχ ςξ αοιρςεοό έμβξλξ και ςξ ακιμηςξπξιξύμε ρςη μέα θέρη. Πόρη είμαι ςώοα η σφξμεςοική διατξοά ςχμ δύξ εμβόλχμ; γ) Πόρξ είμαι ςξ μέςοξ ςηπ δύμαμηπ F α ; δ) Να βοείςε ςα μέςοα ςχμ δσμάμεχμ πξσ δέυξμςαι ςα δύξ έμβξλα ρςη μέα θέρη ςξσπ από ςξ μεοό. Δίμξμςαι p αςμ =10 5 Pa, η πσκμόςηςα ςξσ μεοξύ ο=10 3 Kg/m 3 και η επιςάυσμρη ςηπ βαούςηςαπ g=10 m/s. Λύρη α) Αμ ρσμβξλίρξσμε p 1 και p ςιπ πιέρειπ ακοιβώπ κάςχ από ςα δύξ έμβξλα, από ςη ρσμθήκη ιρξοοξπίαπ για ςξ κάθε έμβξλξ έυξσμε: W p W F 0 W p p p p p (1) W p W F 0 W p p p p p () Οι πιέρειπ όμχπ p 1 και p είμαι ίρεπ γιαςί ςα ρημεία πξσ αματέοξμςαι βοίρκξμςαι ρςξ ίδιξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ εμόπ σγοξύ πξσ ιρξοοξπεί (βλέπε ρυήμα εκτώμηρηπ). Δνιρώμξμςαπ επξμέμχπ ςα ποώςα μέλη ςχμ ρυέρεχμ (1) και () σπξλξγίζξσμε ςξ βάοξπ W ςξσ δενιξύ εμβόλξσ. W1 W W1 40cm cm p p W W W 100N β) Έρςχ Δx η μεςαςόπιρη ςξσ δενιξύ εμβόλξσ ποξπ ςα πάμχ. Δνιρώμξσμε ςξσπ όγκξσπ ςξσ μεοξύ πξσ μεςακιμήθηκαμ από ςξ αοιρςεοό ρςξ δενιό δξυείξ για μα σπξλξγίρξσμε ςημ αμύφχρη ςξσ δενιξύ εμβόλξσ.

92 A1x1 4 cm 0 cm A 40 cm V V A x A x x x x cm Δπξμέμχπ η σφξμεςοική διατξοά ςχμ δύξ εμβόλχμ είμαι h x1 x cm. γ) Σςη μέα θέρη ςχμ εμβόλχμ η ρσμθήκη ιρξοοξπίαπ για ςξ αοιρςεοό έμβξλξ γοάτεςαι F W p F W F 0 F W p p p p p (3) Η πίερη κάςχ από ςξ δενιό έμβξλξ δεμ άλλανε, αλλά παοέμειμε p. Οι πιέρειπ p 1 και p όμχπ ρσμδέξμςαι με ςη ρυέρη F W W p p g x x p p g x x Kg m F 1g x1 x F 410 m m 3 m sec F 0,88 N δ) Από ςη ρυέρη (3) μπξοξύμε ςώοα μα σπξλξγίρξσμε ςημ πίερη 0,88 10 p 10 p 1, m 410 m m m Άοα, ςξ μεοό αρκεί ρςξ αοιρςεοό έμβξλξ δύμαμη μέςοξσ 4 4 F1 p 11 1, m 50,88 N m Με ςη βξήθεια ςηπ ρυέρηπ () βοίρκξσμε ςξ μέςοξ ςηπ δύμαμηπ πξσ αρκείςαι ρςξ δενιό έμβξλξ. 5 4 F p W p 100 N m 500 N m

93 Ερώτηση 5 Σςξ ρυήμα ταίμεςαι έμα κλειρςό δξυείξ πξσ είμαι ρυεδόμ γεμάςξ με μεοό. Με p ξ ρσμβξλίζξσμε ςημ πίερη πξσ επικοαςεί ρςξμ αςμξρταιοικό αέοα εκςόπ δξυείξσ κξμςά ρςημ ξπή και με p ςημ πίερη πξσ επικοαςεί ρςξμ παγιδεσμέμξ αέοα μέρα ρςξ δξυείξ. Σςξ πλεσοικό ςξίυχμα ςξσ δξυείξσ και ρε βάθξπ h από ςημ ελεύθεοη επιτάμεια ςξσ μεοξύ αμξίγξσμε μία μικοή ξπή, απ όπξσ αουίζει μα ςοέυει μεοό. Δεδξμέμξσ όςι δεμ ειρέουεςαι αέοαπ από ςημ ξπή ρςξ δξυείξ, ςξ μεοό θα ςοέυει από ςημ ξπή μέυοιπ όςξσ α) ρσμβεί y y1. β) ρσμβεί p0 p gh, όπξσ ο η πσκμόςηςα ςξσ μεοξύ. γ) ξι πιέρειπ p και p 0 γίμξσμ ίρεπ. Να επιλένεςε ςη ρχρςή ποόςαρη και μα δικαιξλξγήρεςε ςημ επιλξγή ραπ. Λύρη Σχρςή είμαι η ποόςαρη β. Η πίερη ςξσ μεοξύ αοιρςεοά ςηπ ξπήπ είμαι p gh, εμώ δενιά ςηπ είμαι p 0. Ατξύ ςα οεσρςά οέξσμ από μεγαλύςεοη ποξπ μικοόςεοη πίερη και ςξ μεοό ενέουεςαι από ςημ ξπή ιρυύει p gh p 0 (1). Καθώπ ςξ μεοό βγαίμει από ςη ξπή, ςξ h μειώμεςαι, ξ όγκξπ ςξσ παγιδεσμέμξσ αέοα ασνάμεςαι με ρσμέπεια μα μειώμεςαι η πίερη P. Έςρι έυξσμε μείχρη ςηπ σδοξρςαςικήπ πίερηπ gh και μείχρη ςηπ πίερηπ p, με απξςέλερμα ςξ ποώςξ μέλξπ ςηπ ρυέρηπ (1) μα μειώμεςαι. Όςαμ ενιρχθξύμ ςα δύξ μέλη ςηπ ρυέρηπ (1) η οξή ςξσ μεοξύ θα ρςαμαςήρει.

94 Ερώτηση 6 Ο ρξύπεομαμ ςηπ διπλαμήπ εικόμαπ θα μπξοξύρε μα οξστήνει ςη πξοςξκαλάδα ςξσ από έμα δξυείξ με καςακόοστξ καλαμάκι ξρξδήπξςε μεγάλξσ μήκξσπ; α) Ναι, γιαςί ξ ρξύπεομαμ μπξοεί μα οξστήνει με απεοιόοιρςη δύμαμη. β) Ναι, γιαςί ςξ ίδιξ μπξοεί μα κάμει και κάθε κξιμόπ άμθοχπξπ. γ) Όυι, γιαςί η αςμξρταιοική πίερη έυει ξοιρμέμη πεπεοαρμέμη ςιμή με απξςέλερμα μα αμσφώμει ςξ σγοό μέυοι έμα ξοιρμέμξ ύφξπ. Να επιλένεςε ςη ρχρςή ποόςαρη και μα δικαιξλξγήρεςε ςημ επιλξγή ραπ. Λύρη Σχρςή είμαι η ποόςαρη γ. Ο ρξύπεομαμ ποέπει μα οξστήνει αουικά όλξμ ςξμ αέοα πξσ βοίρκεςαι μέρα ρςξ καλαμάκι. Έςρι, η επιτάμεια ςξσ σγοξύ μέρα ρςξ καλαμάκι έυει μηδεμική πίερη και ένχ από ασςό ίρη με ςημ αςμξρταιοική. Η δημιξσογξύμεμη διατξοά πίερηπ ρποώυμει ςημ πξοςξκαλάδα πξσ βοίρκεςαι μέρα ρςξ καλαμάκι ποξπ ςα πάμχ και δημιξσογείςαι ρςήλη ύφξσπ h, μέυοι μα ενιρχθξύμ ξι δύξ πιέρειπ. Ασςό θα ρσμβεί όςαμ P gh P h. g Ασςό είμαι ςξ μέγιρςξ ύφξπ πξσ μπξοεί μα έυει η ρςήλη ςηπ πξοςξκαλάδαπ μέρα ρςξ καλαμάκι, δηλαδή ςξ μέγιρςξ ύφξπ ςηπ ρςήληπ δεμ εναοςάςαι από ςιπ ικαμόςηςεπ ςξσ ρξύπεομαμ αλλά από ςημ ςιμή ςηπ αςμξρταιοικήπ πίερηπ.

95 Άσκηση 7 Σςξ διπλαμό δξυείξ ρυήμαςξπ U οίυμξσμε σδοάογσοξ όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα (α). Οι διαςξμέπ ςχμ δύξ ρκελώμ ςξσ δξυείξσ έυξσμ εμβαδά Α 1 = 10 cm και Α = 5 cm (αοιρςεοό και δενιό αμςίρςξιυα). Σςη ρσμέυεια οίυμξσμε 100 g μεοξύ ρςξ δενιό ρκέλξπ ςξσ ρχλήμα όπχπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα. Τα δύξ σγοά δεμ αμαμειγμύξμςαι. Α) Να σπξλξγιρςεί ςξ ύφξπ ςηπ ρςήληπ ςξσ μεοξύ πξσ δημιξσογήθηκε. Β) Να σπξλξγιρςεί η αμύφχρη h, ςηπ ελεύθεοηπ επιτάμειαπ ςξσ σδοαογύοξσ ρςξ αοιρςεοό ρκέλξπ ςξσ ρχλήμα. Δίμξμςαι: η πσκμόςηςα ςξσ σδοαογύοξσ ο 1 =13,6 g/cm 3 και η πσκμόςηςα ςξσ μεοξύ ο =1 g/cm 3. Λύρη Α) Για ςιπ ποάνειπ ρσμτέοει μα μείμξσμ ςα μεγέθη με ςιπ μξμάδεπ πξσ δίμξμςαι ρςημ εκτώμηρη (ςξ παλιό ρύρςημα C.G.S). Για ςη μάζα ςξσ μεοξύ ύφξσπ h ρςξ δενιό ρκέλξπ ςξσ ρχλήμα έυξσμε m 100gr m V m h h h h 0cm. g 1 5cm 3 cm Β) Ο όγκξπ ςξσ σδοαογύοξσ πξσ έτσγε από ςξ δενιό ρκέλξπ είμαι ίρξπ με ασςόμ πξσ ποξρςέθηκε ρςξ αοιρςεοό. Αμ ξ σδοάογσοξπ ρςξ δενιό ρκέλξπ ςξσ ρχλήμα καςέβηκε καςά x και ρςξ αοιρςεοό αμέβηκε καςά h ιρυύει: Vx Vh x A1h x h (1) Οι ρσμξλικέπ πιέρειπ ρςα δύξ ρκέλη ςξσ ρχλήμα και ρςξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ πξσ διέουεςαι από ςη βάρη ςηπ ρςήληπ ςξσ μεοξύ είμαι ίρεπ και επξμέμχπ ιρυύει p0 gh p0 g g h x cm h 13h h h h 0cm 3 g 1 313,6 cm 3 0 h cm 0, 49 cm. 40,8

96 Άσκηση 8 Η τλέβα ςξσ μεοξύ μιαπ βούρηπ γίμεςαι ρςεμόςεοη καθώπ ςξ μεοό πέτςει. Η ακςίμα ςηπ διαςξμήπ ςηπ τλέβαπ ρςη θέρη 1, όςαμ ενέουεςαι από ςη βούρη είμαι r 1 = cm και γίμεςαι r = 1 cm ρε απόρςαρη h πιξ κάςχ (θέρη ). Τξ μεοό ρςη θέρη 1 έυει ςαυύςηςα σ 1 = 1 m/s. Να σπξλξγίρεςε α) ςημ παοξυή ςηπ βούρηπ. β) ςημ ςαυύςηςα ςξσ μεοξύ ρςη θέρη. γ) ςημ απόρςαρη h. δ) ςξ υοόμξ πξσ υοειάζεςαι για μα γεμίρει μια δεναμεμή υχοηςικόςηςαπ 4 m 3. Να θεχοήρεςε ςξ μεοό ιδαμικό οεσρςό. Δίμεςαι g=10m/s Λύρη α) Η παοξυή ςηπ βούρηπ είμαι: 1m 11 r m ή s 3 4 m 410 s β) Από ςημ ενίρχρη ςηπ ρσμέυειαπ ποξκύπςει όςι μεςανύ ςχμ θέρεχμ 1 και έυξσμε ρςαθεοή παοξυή: m 1 11 r1 1 r s m Άοα η ςαυύςηςα ςξσ μεοξύ ρςη θέρη είμαι 4. s γ) Δταομόζξσμε ςημ αουή διαςήοηρηπ ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ για μια ρςξιυειώδη μάζα Δm πξσ κιμείςαι από ςη θέρη 1 ρςη θέρη, έυξσμε: 1 1 m 1 mgh m 1 10h h 0,75m

97 Άσκηση 9 Έμαπ ρχλήμαπ πξσ μεςατέοει μεοό έυει ακςίμα r cm και διακλαδίζεςαι ρε δύξ μικοόςεοξσπ ρχλήμεπ ακςίμαπ r 1 r cm. Η παοξυή ρςξμ κεμςοικό ρχλήμα είμαι Π=1 m 3 /min. Έμαπ από ςξσπ δύξ μικοόςεοξσπ ρχλήμεπ καςαλήγει ρε μια μικοή δεναμεμή πξσ υχοάει 100kg μεοό. Να σπξλξγίρςε α) ςημ ςαυύςηςα οξήπ ρςξμ κεμςοικό ρχλήμα. β) ςημ παοξυή μεοξύ ρε έμαμ από ςξσπ δύξ μικοόςεοξσπ ρχλήμεπ. γ) ςημ ςαυύςηςα οξήπ ρςξσπ δύξ μικοόςεοξσπ ρχλήμεπ. δ) ςξ υοόμξ πξσ υοειάζεςαι για μα γεμίρει η μικοή δεναμεμή. Να θεχοήρεςε ςξ μεοό ιδαμικό οεσρςό. Δίμξμςαι η πσκμόςηςα ςξσ μεοξύ ο =1 g / cm 3 και 10. Λύρη α) Η ςαυύςηςα οξήπ ρςξμ κεμςοικό ρχλήμα βοίρκεςαι από ςη ρυέρη ςηπ παοξυήπ, είμαι: 3 1 m 100 A 60 s m / s r 10 m 4 β) Δπειδή ξι δύξ μικοόςεοξι ρχλήμεπ είμαι όμξιξι, ξι παοξυέπ ςξσπ είμαι ίρεπ, Π 1 =Π. Άοα η παοξυή μεοξύ ρςξσπ δύξ μικοόςεοξσπ ρχλήμεπ είμαι: 0, m / s. 60 γ) Η ςαυύςηςα οξήπ ρςξσπ δύξ μικοόςεοξσπ ρχλήμεπ r1 1 1 m / s. 1

98 Πρόβλημα 10 Η ξπή εκςόνεσρηπ ςξσ μεοξύ εμόπ μεοξπίρςξλξσ έυει εμβαδό Α =1mm² και ςξ εμβαδόμ ςξσ εμβόλξσ πξσ πιέζει ςξ μεοό Α 1 =70mm². Έμα παιδί κοαςάει ςξ μεοξπίρςξλξ ρε ύφξπ h=0,8 m από ςξ έδατξπ και πιέζει ςη ρκαμδάλη ςξσ. Η ρκαμδάλη ρςη ρσμέυεια πιέζει ςξ έμβξλξ ςηπ μικοήπ δεναμεμήπ απξθήκεσρηπ ςξσ μεοξύ με δύμαμη F=10Ν και ςξ μεοό ενέουεςαι με ςαυύςηςα σ. Να βοεθξύμ: α) η ρυέρη πξσ ρσμδέει ςημ ςαυύςηςα εκςόνεσρηπ ςξσ μεοξύ με ςημ ςαυύςηςα κίμηρηπ ςξσ εμβόλξσ. β) η ςαυύςηςα εκςόνεσρηπ σ ςξσ μεοξύ. γ) η ξοιζόμςια απόρςαρη πξσ τςάμει ςξ μεοό όςαμ πέτςει ρςξ έδατξπ. Να θεχοήρεςε όςι η οξή ςξσ μεοξύ έυει ςιπ ιδιόςηςεπ ςξσ ιδαμικξύ οεσρςξύ. Η πσκμόςηςα ςξσ μεοξύ είμαι ο=10³ kg/m³, g = 10 m/s². Θεχοείρςε , ,9 Λύρη α) Από ςημ ενίρχρη ςηπ ρσμέυειαπ βοίρκξσμε ρυέρη πξσ ρσμδέει ςημ ςαυύςηςα σ 1 πξσ κιμείςαι ςξ έμβξλξ με ςη ςαυύςηςα σ με ςημ ξπξία εκςξνεύεςαι ςξ μεοό β) Θα εταομόρξσμε ςξ θεώοημα μεςαβξλήπ ςηπ κιμηςικήπ εμέογειαπ για μια ρςξιυειώδη μάζα μεοξύ καθώπ ασςή ποξχθείςαι από ςξ δξυείξ ρςημ ένξδξ. Σε υοξμική διάοκεια Δt, έρςχ όςι ςξ έμβξλξ μεςαςξπίζεςαι καςά x1 1 t. Η μάζα μεοξύ πξσ ποξχθήθηκε είμαι m V t ή m 1 1t t (1)

99 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση 11. Ένα ανοικτό κυλινδρικό δοχείο περιέχει νερό. Στην πλευρική επιφάνεια του δοχείου και σε βάθος h=0,45m από την ελεύθερη επιφάνεια, υπάρχει μια μικρή στρογγυλή τρύπα διαμέτρου δ=cm από την οποία εκρέει το νερό. Η επιφάνεια της οπής θεωρείται πολύ μικρότερη από την ελεύθερη επιφάνεια του δοχείου. Α. Να βρείτε: 1. την ταχύτητα εκροής.. την παροχή της οπής. Β. Στην ελεύθερη επιφάνεια του δοχείου προσαρμόζεται ένα έμβολο με αποτέλεσμα το νερό να εκρέει από την τρύπα με ταχύτητα υ 1=4m/s. Να βρείτε την πρόσθετη πίεση (υπερπίεση) που προκαλείται από το έμβολο στο νερό. Δίνονται ρ ν=1000kg/m 3, g=10m/s. Λύση Α1. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα υγρού μεταξύ των σημείων Α και Β. Θεωρούμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το σημείο Β. 1 1 p gh p Όταν το υγρό εκρέει από την τρύπα έχει ταχύτητα υ Β=υ και η πίεσή του γίνεται ίση με την ατμοσφαιρική, επομένως p A=p B=p atm. Επειδή το εμβαδόν της ελεύθερης επιφάνειας είναι συγκριτικά πολύ μεγαλύτερο από αυτό της οπής, μπορούμε να υποθέσουμε ότι υ Α=0. Έτσι η παραπάνω σχέση γίνεται 1 m m gh gh 10 0,45m 3 s s A. Η παροχή της φλέβας του υγρού είναι 3 3 0,0m m m L Þ 3 0,3 10 0,3 s s s

100 B. H πίεση στο σημείο Α είναι p και η ταχύτητα εκροής στο Β είναι υ 1. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για τη φλέβα υγρού που διέρχεται από τα σημεία Α και Β p gh 1 patm 1 p patm 1 gh 1 kg m kg m p ,45m 3 3 m s m s N p m

101 Άσκηση1. Η στέγη ενός μικρού σπιτιού αποτελείται από δύο επίπεδα κομμάτια εμβαδού 5 επί 4 τετραγωνικών μέτρων το καθένα τα οποία σχηματίζουν μεταξύ τους μικρή γωνία. Όταν φυσάει οριζόντιος άνεμος, λόγω της στένωσης των ρευματικών γραμμών πάνω από τη στέγη, έχουμε αύξηση της ταχύτητας του ανέμου κατά 0%. Η μέγιστη επιτρεπόμενη κάθετη στη στέγη δύναμη που μπορεί να αναπτυχθεί σε κάθε τμήμα της στέγης, χωρίς αυτή να αποκολληθεί, είναι F max=18.300n. Επίσης, δεχόμαστε ότι πολύ μακριά από το σπίτι, λόγω της ταχύτητας του ανέμου η πίεση είναι λίγο μικρότερη N της ατμοσφαιρικής και ίση με p p 00 m Α. Να βρείτε τη συνάρτηση που περιγράφει τη διαφορά πίεσης μεταξύ του κάτω και πάνω μέρους της στέγης σε συνάρτηση με την ταχύτητα του ανέμου. Β. Να γίνει γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος Α στην οποία να φαίνεται ένα ζεύγος τιμών. Γ. Να βρείτε τη μέγιστη οριζόντια ταχύτητα ανέμου για την οποία δεν έχουμε αναρπαγή της στέγης. Δίνoνται: ρ αέρα=1,3 kg/m 3, p 5 10 / m Λύση Α. Θεωρούμε ένα σημείο πολύ μακριά από τη στέγη ( ) όπου p p και το σημείο 1 που είναι λίγο πάνω από τη στέγη και εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli. 1 1 p 1 p 1, (1) Λόγω της στένωσης των ρευματικών γραμμών έχουμε 0% μεγαλύτερη ταχύτητα στο σημείο 1 επομένως υ 1=1,. Η σχέση (1) γράφεται p p p p 11, p p 0, Στο κάτω μέρος της στέγης δεν φυσά άνεμος, οπότε θεωρούμε ότι είναι p p Άρα, η δημιουργούμενη διαφορά πίεσης μεταξύ του κάτω και πάνω μέρους της στέγης είναι:

102 p p p (p 0,86 ) ή p p 00 0,86 SI () 1 1 p p p 00 0,86 (SI) σε Β. Η υπερπίεση 1 συνάρτηση με την ταχύτητα του ανέμου είναι συνάρτηση ου βαθμού και η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Γ. Στο εσωτερικό του σπιτιού (σημείο ), η πίεση είναι ίση με την ατμοσφαιρική και η πίεση στο σημείο 1 είναι μικρότερη της ατμοσφαιρικής. Επομένως, η διαφορά πίεσης (p -p 1) έχει ως συνέπεια την εμφάνιση κάθετης δύναμης στην επιφάνεια της στέγης που έχει μέτρο F p p A (3) 1 Για να μην έχουμε αναρπαγή της στέγης θα πρέπει F< F max ή F< N. Από την σχέση (3) παίρνουμε: 18300N N 18300N p p A p p p p 915 4m 5m m Για αυτή τη διαφορά πίεσης, από τη σχέση () προκύπτει ότι η ταχύτητα του ανέμου είναι N 715 m 715 m m 00 0, m 0,86 s 0,86 s s

103 Άσκηση 13. Η δεξαμενή του σχήματος έχει σχήμα κυλίνδρου με εμβαδό βάσης Α=8m και είναι γεμάτη με νερό ενώ η πάνω βάση της είναι ανοικτή επικοινωνώντας με την ατμόσφαιρα. Στην κάτω βάση υπάρχει κατακόρυφος σωλήνας ο οποίος συνδέεται μέσω των οριζόντιων σωληνώσεων ΒΒ 1 και ΓΓ 1 με βρύσες. Οι οριζόντιες σωληνώσεις απέχουν h 1=0,3m και h =1,5m αντίστοιχα από την κάτω βάση της δεξαμενής και έχουν διάμετρο cm. Α. Οι δύο βρύσες είναι κλειστές και η πίεση που επικρατεί στη βρύση Γ 1 είναι p Γ=1, Ν/m. Να βρείτε: i. τη χωρητικότητα της δεξαμενής ii. Την πίεση που επικρατεί στη βρύση Β 1. Β. Οι δύο βρύσες είναι ανοικτές. Να βρείτε: i. την ταχύτητα εκροής του νερού από τη βρύση Γ 1. ii. τον όγκο του νερού που φεύγει από τη βρύση Β 1 σε χρονικό διάστημα 1min. Θεωρείστε ότι στη διάρκεια του 1 min η στάθμη του νερού στη δεξαμενή δεν έχει μεταβληθεί. Δίνονται: g=10m/s, ρ ν=1000kg/m 3 και p ατμ=10 5 N/m. Λύση Αi. Oι βρύσες είναι κλειστές και το νερό δεν ρέει στις σωληνώσεις. Η πίεση στο σημείο Γ 1 είναι ίση με αυτή στο σημείο Γ. p p p p g(h h ) h h g atm atm N 5 N 1, h3 m m 1,5m h3 0,5m kg m m s Επομένως, η χωρητικότητα (όγκος) της δεξαμενής είναι V A h 8m 0,5m V 4m N kg m 5 N ii. p patm g(h 1 h 3) ,8m p 1, m m s m

104 Βi. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού, μεταξύ του σημείου Α που βρίσκεται στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού του δοχείου και του σημείου Γ p gh h p p A=p Γ1=p atm και υ Α=0, επομένως 1 m gh3 h 1 1 gh3 h 10 (0,5m 1,5)m s m 1 40 s ii. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού, μεταξύ του σημείου Α που βρίσκεται στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού του δοχείου και του σημείου B p gh h p 3 1 B1 B1 p A = p B1 = p atm και υ Α = 0, επομένως 1 m m gh3 h1 B1 B1 gh3 h1 10 (0,5m 0,3)m B1 4 s s H παροχή του νερού στη βρύση Β 1 είναι V t Επομένως, o όγκος του νερού που φεύγει από τη βρύση είναι V t A t 1 10 m m V t 4 60s V 4 10 m V 4L 4 4 s

105 Άσκηση 14. Το σύστημα των σωλήνων του σχήματος ονομάζεται βεντουρίμετρο και χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της ταχύτητας ροής ενός ρευστού σε ένα σωλήνα. Στον οριζόντιο σωλήνα του σχήματος ρέει φυσικό αέριο, η επιφάνεια Α 1 είναι διπλάσια της Α με Α 1=1cm. Στον υοειδή σωλήνα υπάρχει νερό και οι δύο στήλες έχουν διαφορά ύψους h=6,75 cm. Nα βρείτε Α. Τη διαφορά πίεσης μεταξύ των σημείων 1 και που βρίσκονται στις ελεύθερες επιφάνειες του νερού. Β. Την ταχύτητα του αερίου στο σημείο 1. Γ. Την παροχή του αερίου στον οριζόντιο σωλήνα. Δ. τον όγκο του αερίου που διέρχεται από μια διατομή του σωλήνα σε χρόνο 1min. Δίνονται: η επιτάχυνση βαρύτητας g=10m/s, η πυκνότητα του αερίου ρ a=0,5kg/m 3, η πυκνότητα του νερού ρ ν=1000kg/m 3. Λύση Α. Τα σημεία 1 και 3 βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και το νερό είναι σε ισορροπία, άρα p 1=p 3. Όμως από την υδροστατική p p gh p p gh 3 1 kg m p p gh ,75 10 m m s N p1p 675 m 1 3 Β. Οι πιέσεις που επικρατούν στις ελεύθερες επιφάνειες του νερού είναι ίδιες με αυτές που επικρατούν στις επιφάνειες Α 1, Α αντίστοιχα. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια οριζόντια φλέβα αερίου, μεταξύ των σημείων 1 και του οριζόντιου σωλήνα p1 p p1 p 1 1 p1 p 1, (1) Από την εξίσωση της συνέχειας για τα σημεία 1 και παίρνουμε

106 Α 1υ 1=Α υ ή Α υ 1=Α υ ή υ =υ 1 Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) παίρνουμε N p1 p m p1 p m kg 30,5 s m 3 Γ. Η παροχή του αερίου στο σωλήνα είναι m s m m s 3 Δ. H παροχή του αερίου στο σωλήνα V t Επομένως, o όγκος του αερίου που διέρχεται από το σωλήνα είναι 3 3 V t s V,160m V 160L

107 Άσκηση 15. Το δοχείο του σχήματος είναι ανοικτό, περιέχει νερό και ο καμπυλωτός σωλήνας (σίφωνας) είναι σταθερής διατομής. Για τις αποστάσεις του σχήματος ισχύουν h 1=0,3m, h =0,45m. Να βρείτε: Α. την ταχύτητα εκροής του νερού από το σημείο Γ. Β. την πίεση στο σημείο Β. Γ. το μέγιστο ύψος h 1 για το οποίο έχουμε ροή νερού μέσα από το σίφωνα αν το άκρο Γ βρίσκεται σε ύψος h =0,45m κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού του δοχείου. Δίνονται: p atm=10 5 N/m, g=10m/s και ρ ν=1.000kg/m 3. Λύση Α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α (ελεύθερη επιφάνεια) και Γ (σημείο εξόδου). Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού. 1 1 p p gh A A p A=p Γ=p atm και υ Α=0 οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται, 1 m m 0 gh gh 10 0,45m 3 s s Β. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α (ελεύθερη επιφάνεια) και B. 1 1 p p gh A A B B 1 p A=p atm και υ Α=0. Επειδή η διάμετρος του σωλήνα είναι σταθερή, σύμφωνα με την εξίσωση της συνέχειας, η ταχύτητα των μαζών του νερού θα είναι ίδια σε κάθε σημείο του σωλήνα, άρα υ Β=υ Γ, οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται: 1 1 p p gh p p gh atm B 1 B atm 1 (1)

108 Με αριθμητική αντικατάσταση στην (1) παίρνουμε: 5 N kg m 1 kg m N pb ,3m pb m m s m s m 3 3 Γ. Για την πίεση στο σημείο Β ισχύει p Β >0 Από τη σχέση (1) με μαθηματική επεξεργασία και αριθμητική αντικατάσταση παίρνουμε: 1 1 p B 0 ή patm gh 1 0 patm gh N 1 kg m p atm 3 m m s h 1 h1 h1 9,55m g kg m m s Το μέγιστο ύψος είναι 9,55m.

109 Άσκηση 16. Α. Η δεξαμενή του σχήματος περιέχει νερό και είναι ανοικτή στην ατμόσφαιρα. Το νερό διοχετεύεται μέσω του οριζόντιου σωλήνα μεταβλητής διατομής με Α 1=3Α =10cm στο σημείο εξόδου Γ. Ο κατακόρυφος σωλήνας Β είναι τοποθετημένος σε σημείο του οριζόντιου σωλήνα με εμβαδόν Α 1. Το ύψος της στήλης του νερού στη δεξαμενή είναι h=1,8m και θεωρούμε ότι κατά την εκροή του νερού από το Γ το ύψος h δεν μεταβάλλεται. Nα βρείτε: Α. την ταχύτητα εκροής από το σημείο Γ. Β. την πίεση p 1 στο εσωτερικό του σωλήνα με διατομή Α 1. Γ. το ύψος h 1 της στήλης του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα Β. Δίνονται: p atm=10 5 Ν/m, g=10m/s και ρ ν=1.000kg/m 3. Λύση Α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α και Γ. 1 1 A pa gh p Επειδή p A=p Γ=p atm και υ Α=0, η παραπάνω σχέση γίνεται 1 m m gh 10 1,8m 6 s s Β. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για την φλέβα νερού από το Α μέχρι το σημείο 1 που η πίεση είναι p A pa gh 1 p 1, (1) Έχουμε: p A=P atm και υ Α=0. Επίσης, από το νόμο της συνέχειας μεταξύ των διατομών Α 1 και Α παίρνουμε: Π 1=Π ή Α 1υ 1=Α υ Γ ή υ 1=m/s. H σχέση (1) γίνεται

110 1 5 N kg m 1 kg m p1 patm gh ,8m m m s m s N p m Γ. Για την πίεση στο σημείο 1 από την υδροστατική έχουμε: N N p 1 patm p1 patm gh 1 h1 m m h1 1,6m g kg m m s

111 Άσκηση 17. Το δοχείο του σχήματος περιέχει νερό και είναι κολλημένο σταθερά στο αμαξίδιο. Η στάθμη του νερού φτάνει μέχρι ύψος h=0,5m και σε απόσταση h 1=5cm από τη βάση του δοχείου υπάρχει οπή εμβαδού Α=40mm η οποία φράσσεται με πώμα. Τη χρονική στιγμή t=0 αφαιρούμε το πώμα και νερό εκρέει από την οπή. Να βρείτε τη χρονική στιγμή t=0: Α. την ταχύτητα εκροής. Β. τη μέση δύναμη που ασκεί μια στοιχειώδης εκρέουσα μάζα Δm του νερού στο δοχείο. Γ. την επιτάχυνση του συστήματος δοχείο -νερό- αμαξίδιο, αν η συνολική μάζα του είναι m=10kg. Δίνονται g=10m/s, ρ ν=1000kg/m 3. Λύση Α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα υγρού που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. Θεωρούμε επίπεδο αναφοράς αυτό που διέρχεται από το σημείο Β. 1 1 p gh h p 1 Όταν το υγρό εκρέει από την οπή έχει ταχύτητα υ Β=υ και η πίεσή του γίνεται ίση με την ατμοσφαιρική, επομένως p A=p B=p atm. Επειδή το εμβαδόν της ελεύθερης επιφάνειας είναι συγκριτικά πολύ μεγαλύτερο από αυτό της οπής, υ Α=0 και η παραπάνω σχέση γίνεται 1 m m gh h1 gh h1 10 0,45m 3 s s Β. Η ορμή μιας στοιχειώδους μάζας Δm που εξέρχεται από την οπή μεταβάλλεται κατά p m Εφαρμόζουμε το δεύτερο νόμο του Newton σε μια στοιχειώδη μάζα Δm του νερού.

112 p m V F A t t t kg 6 m 3 F m 3 F 0,36N m s Σύμφωνα με τον 3 ο νόμο του Newton και η στοιχειώδης μάζα ασκεί δύναμη στο ρευστό του δοχείου ίδιου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης, άρα F 0,36N. Γ. Η επιτάχυνση που αποκτά το σύστημα δοχείο με νερό-αμαξίδιο είναι F 0,36N m 0,036 M 10kg s

113 Άσκηση18. Ένα δοχείο περιέχει νερό, μέχρι ορισμένο ύψος. Από κάποια βρύση διατομής Α που βρίσκεται στον πυθμένα του δοχείου, στη θέση Β, χύνεται το νερό. Η επιφάνεια του δοχείου έχει εμβαδό διατομής Α 1 με Α 1 = 10Α. Σε κάποια χρονική στιγμή η ταχύτητα εκροής του νερού είναι υ = 10 m/s, ενώ την ίδια στιγμή η ταχύτητα πτώσης της ελεύθερης επιφάνειας του νερού έχει μέτρο υ 1. Να υπολογίσετε: h 1 Γ Α p ατ υ 1 Β υ Α. την ταχύτητα με την οποία κατέρχεται η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Β. το ύψος h 1 του νερού στο δοχείο κατά τη στιγμή αυτή. Γ. όταν η επιφάνεια του νερού στο δοχείο κατέβει κατά Δh = 3,75 m σε σχέση με την προηγούμενη στάθμη (h 1), ανοίγουμε μία δεύτερη βρύση που βρίσκεται στο ίδιο ύψος με την πρώτη, θέση Γ και έχει την ίδια διατομή. Να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει η ελεύθερη επιφάνεια στο δοχείο. Δίνεται g = 10 m/s. Λύση Α. Από την εξίσωση της συνέχειας έχουμε: m s Β. Εφαρμόζουμε του νόμου του Bernoulli για τα σημεία Α (επιφάνεια του νερού) και το σημείο Β (σημείο εκροής του νερού) έχουμε: 1 1 p1 1 gh1 p (1) αλλά p 1 = p = p ατ έτσι η (1) γίνεται: p 1 gh1 p 1 gh1 h1 h1 4,95m g Γ. Όταν η στάθμη έχει κατέβει κατά Δh θα έχουμε: h h h h 1,m 1 Από την εξίσωση συνέχειας έχουμε: () 1 1 Δh h h 1 Γ Α p ατ υ' 1 Β υ' p ατ

114 Εφαρμόζουμε του νόμου του Bernoulli για τα σημεία Α (επιφάνεια του νερού, p A = p ατ) και το σημείο Β (p Β = p ατ, σημείο εκροής του νερού) έχουμε: () p 1 gh p 1 gh 5 1 gh m gh s

115 Άσκηση 19. Οριζόντιος σωλήνας κυκλικής διατομής Α 1 έχει διάμετρο δ 1 = δ. Σε κάποιο σημείο ο σωλήνας χωρίζεται σε δύο άλλους οριζόντιους σωλήνες κυκλικών διατομών Α, Α 3 με διαμέτρους Α υ Α 1 Β υ 1 και αντίστοιχα. Το υγρό στο σωλήνα με υ 3 Α Α 3 Γ κυκλική διατομή Α εξέρχεται στην ατμόσφαιρα. Στο σωλήνα με κυκλική διατομή Α 1 το υγρό κινείται με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 5 m/s, ενώ στο σωλήνα με κυκλική διατομή Α το υγρό κινείται με ταχύτητα μέτρου υ = 5 m/s. Να υπολογιστεί Α. η πίεση στο σημείο Α. Β. το μέτρο της ταχύτητας 3. Γ. η πίεση στη θέση Γ. Το υγρό εξέρχεται στην ατμόσφαιρα ή ακόμη βρίσκεται μέσα σε σωλήνα; Δίνεται ο τύπος για το εμβαδόν κυκλικής διατομής, η ατμοσφαιρική πίεση p ατ = 10 5 N/m και η πυκνότητα του υγρού ρ = 10 3 kg/m 3. Θεωρούμε το υγρό ιδανικό, την ροή στρωτή και τις τριβές αμελητέες. Λύση Α. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για την ρευματική γραμμή ΑΒ με p B = p ατ και έχουμε: p 1 p p p ( 1 ) 1 kg m p (65 5) p 410 m m s m Β. Το υγρό που κινείται στο σύστημα των σωλήνων είναι ασυμπίεστο επομένως η παροχή σε αυτούς είναι σταθερή. Αν Π 1, Π και Π 3 οι παροχές στους αντίστοιχους σωλήνες, τότε ισχύει: A m s

116 Γ. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για την ρευματική γραμμή ΑΓ και έχουμε: p 1 p 3 p p ( 1 3 ) 1 kg m p (5 5) p 410 m m s m Επειδή στο σημείο Γ, p Γ > p ατμ το υγρό δεν έχει συναντήσει ακόμα την ατμόσφαιρα.

117 Πρόβλημα 0. Το δοχείο του σχήματος περιέχει δύο υγρά που δεν αναμιγνύονται. Το υγρό που είναι σε επαφή με τον πυθμένα του δοχείου είναι νερό πυκνότητας ρ 1=1000kg/m 3 και πάνω σε αυτό υπάρχει λάδι πυκνότητας ρ =800kg/m 3. Τα ύψη των υγρών είναι h 1=1,4m και h =0,5m αντίστοιχα. Το δοχείο είναι ανοικτό στην ατμόσφαιρα και στον πυθμένα του υπάρχει μία κλειστή κυκλική οπή μικρού εμβαδού συγκριτικά με το εμβαδόν βάσης του δοχείου. Ανοίγουμε την οπή. Να βρείτε: Α. την πίεση στη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού-νερού. Β. την ταχύτητα εκροής από το σημείο Γ της οπής. Γ. την παροχή της οπής αν η διάμετρός της είναι δ=cm. Δ. τη διάμετρο της υδάτινης στήλης σε απόσταση h 3=1,4m κάτω από το σημείο εκροής Γ. Δίνονται: g=10m/s και p atm=10 5 N/m. Λύση Α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα λαδιού μεταξύ των σημείων A και B. Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το σημείο Β. 1 1 A pa gh B p B, (1) Επειδή η οπή εκροής έχει μικρό εμβαδόν σε σχέση με την ελεύθερη επιφάνεια του λαδιού στο δοχείο, η ταχύτητα του λαδιού στα σημεία Α και Β είναι μηδενική. Επίσης p A=p atm. H σχέση (1) γίνεται N kg m N p p gh ,5m p m m s m 5 B atm 3 B Β. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού, μεταξύ των σημείων B και Γ. Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το σημείο Γ. 1 1 p gh p B B 1 Eπειδή υ Β=0 και p Γ=p atm έχουμε

118 1 pb gh 1 p atm pb gh 1 patm 5 N kg m 5 N 1, ,4m 10 3 m m s m m 6 kg 1000 s m 3 Γ. Η παροχή του νερού από την τρύπα είναι 10 m 3 m 3 m 6 0, s s Δ. Τo νερό εξέρχεται κατακόρυφα από την τρύπα και λόγω της βαρύτητας η ταχύτητα των μαζών αυξάνεται. Η παροχή διατηρείται σταθερή. Σύμφωνα με την εξίσωση της συνέχειας, η αύξηση της ταχύτητας ροής προκαλεί μείωση της διατομής της υδάτινης στήλης. Εφαρμόζουμε την διατήρηση της μηχανικής ενέργειας για μια στοιχειώδη μάζα μεταξύ των σημείων Γ και Δ. 1 1 m mgh 3 m gh 3 m m m ,4m 8 s s s Από την εξίσωση της συνέχειας μεταξύ των σημείων Γ και Δ η παίρνουμε: 3 4 m s 4 m 8 s 310 m

119 Πρόβλημα 1. Το δοχείο του σχήματος είναι ανοικτό και περιέχει ιδανικό υγρό. Σε αποστάσεις y 1=0,m και y =0,8m από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού και στην ίδια κατακόρυφο ανοίγουμε δύο μικρές οπές εμβαδού Α=0,1cm η κάθε μια. Το υγρό αρχίζει να χύνεται ταυτόχρονα και από τις δύο οπές. Α. Να βρείτε: 1. τις ταχύτητες εκροής από τις δύο οπές.. τη θέση του σημείου συνάντησης των δύο φλεβών νερού θεωρώντας ότι το δοχείο είναι αρκετά ψηλά σε σχέση με το έδαφος. Β. Πάνω από το δοχείο βρίσκεται μια βρύση από την οποία χύνεται το ίδιο υγρό με τέτοια ροή ώστε, παρόλο που το υγρό εκρέει από τις οπές, η στάθμη του στο δοχείο να παραμένει σταθερή. Να βρείτε την παροχή του υγρού από τη βρύση. Δίνεται g=10m/s. Λύση Α1. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα υγρού στα σημεία Α και Β βρίσκουμε: m m 1 gy ,m 1 s s. (Θεώρημα Torricelli). Ομοίως, για τα σημεία Α και Γ βρίσκουμε m m gy 10 0,8m 4 s s A. Θεωρούμε ορθογώνιο σύστημα αξόνων με αρχή το σημείο Γ (κάτω οπή) και τα θετικά στον κατακόρυφο άξονα προς τα κάτω. Οι φλέβες νερού συναντιούνται στο σημείο Δ το οποίο βρίσκεται σε οριζόντια απόσταση x και κατακόρυφη απόσταση y από το σημείο Γ. Η κίνηση κάθε φλέβας είναι οριζόντια βολή (ευθύγραμμη ομαλή στον άξονα x και ελεύθερη πτώση στον άξονα y). Έστω τη χρονική στιγμή t=0 το υγρό εκρέει ταυτόχρονα και από τις δύο οπές. Oι φλέβες θα συναντηθούν στο Δ, όταν θα έχουν την ίδια οριζόντια μετατόπιση, x.

120 x 1t 1 t t 1 4t t1 t, (1) Δηλαδή το νερό της οπής 1 θέλει διπλάσιο χρόνο για να φθάσει στο Δ από ότι το νερό της οπής. Για τις κατακόρυφες μετατοπίσεις έχουμε: 1 Για την φλέβα 1 : y3y gt 1, () Για την φλέβα : 1 y gt, (3) Συνδυάζοντας τις (1),(),(3) παίρνουμε 1 1 m m y3 gt gt 0,6m 5 t 0 t t 0,s s s m 1 m Άρα x t 4 0,s x 0,8m, y 10 0, s y 0,m s s Β. Για να παραμένει η στάθμη του υγρού στο δοχείο σταθερή, θα πρέπει η παροχή του υγρού από τη βρύση να είναι ίση με αυτήν λόγω της εκροής από τις οπές του δοχείου. m m m L 0,1 10 m ,06 s s s s

121 Πρόβλημα. Στο σωλήνα του σχήματος (ροόμετρο Ventouri) κινείται νερό. Οι διατομές του σωλήνα στα σημεία Α, Β είναι Α 1, Α με Α 1 = 4Α και η διαφορά στάθμης στους δύο κατακόρυφους ανοικτούς σωλήνες στα αντίστοιχα σημεία είναι h = 1 cm (βλέπε σχήμα). Να υπολογιστεί Α h h 1 h Β Α 1 Α υ 1 υ Α. η διαφορά πίεσης μεταξύ των σημείων που βρίσκονται στις βάσεις των δύο κατακόρυφων στηλών Α και Β. Β. το μέτρο της ταχύτητας 1 του υγρού στο σωλήνα διατομής Α 1. Γ. ο όγκος του νερού που περνά από τον σωλήνα σε t = h αν για την διατομή ισχύει Α 1 = 00 cm. Δίνεται g = 10 m/s και ρ = 10 3 kg/m 3. Λύση Α. Από την υδροστατική, στις βάσεις των δύο κατακόρυφων στηλών Α και Β, για τις πιέσεις p A και p B αντίστοιχα ισχύει: p p gh και pb p gh A 1 Οπότε kg m N p p g(h h ) p p gh ,1m p p 100 m s m 3 A B 1 A B 3 A B Β. Έστω υ 1 και υ τα μέτρα των ταχυτήτων στα σημεία Α και Β του σωλήνα και p Α και p Β οι αντίστοιχες πιέσεις. Με εφαρμογή του νόμου του Bernoulli για τη ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία Α και Β έχουμε: p 1 p p p ( 1 ) (1) Από το νόμο της συνέχειας έχουμε: () Άρα από (1) και () έχουμε:

122 N 100 (p p ) p p (16 ) 0, m 1 A B m A B 1 m kg s 3 Γ. Η παροχή δίνεται από τη σχέση: V m V 11 t V 10 m 0, 4 700s V 57, 6 m t s 3

123 Πρόβλημα 3. Εντός κλειστού δοχείου μεγάλης διατομής υπάρχει νερό πυκνότητας ρ = 1000 kg/m 3 μέχρι ύψους h = 5 m. Πάνω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού υπάρχει αέρας με πίεση p = N/m. Στο κάτω άκρο του δοχείου υπάρχει μικρή οπή κατάλληλα διαμορφωμένη ώστε το νερό να εκτοξεύεται κατακόρυφα, όπως στο σχήμα. Να υπολογιστεί: Α. το ύψος της φλέβας του νερού που εκτοξεύεται από τη μικρή οπή. h p Β. το μέτρο της ταχύτητας της φλέβας στο ισοϋψές σημείο με την επιφάνεια του νερού μέσα στο δοχείο. Γ. η μεταβολή της πίεσης που πρέπει να υποστεί στο αέριο ώστε να διπλασιάσουμε το μέγιστο ύψος του πίδακα. Δ. το ελάχιστο ύψος μιας όμοιας ανοιχτής δεξαμενής, ώστε η φλέβα να φτάσει στο ίδιο μέγιστο ύψος με αυτό της ερώτησης α, αν αντί για αέριο υπό πίεση είχαμε ανοικτή την πάνω επιφάνεια και συμπληρώναμε με λάδι πυκνότητας ρ λ = 800 kg/m 3. Δίνεται g = 10 m/s και η ατμοσφαιρική πίεση p ατ = 10 5 N/m. Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό και η ροή είναι μόνιμη και στρωτή. Λύση Α. Επειδή η διατομή του δοχείου είναι πολύ μεγάλη σε σχέση με τη διατομή της οπής, το ύψος της στάθμης του υγρού θεωρείται σταθερό. Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από τη βάση της δεξαμενής. h Α p Β Γ H Με εφαρμογή του νόμου του Bernoulli για τη ρευματική φλέβα που διέρχεται από τα σημεία Α και Β έχουμε: 1 1 p ρgh ρυ pb ρgh ρυ (1) Αλλά υ Α = 0, (θεωρούμε ότι η επιφάνεια μέσα στο δοχείο είναι αρκετά μεγάλη ώστε να κατεβαίνει πολύ αργά), p A = p και υ Β = 0 (βρισκόμαστε στο μέγιστο ύψος). Έτσι η σχέση (1) γίνεται:

124 5 N 5 N p p B p ρgh p m m B ρgh H h H 5m ρg 3 kg m m s H 5m. Β. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για τη ρευματική φλέβα που διέρχεται από τα σημεία Α και Γ. 5 N 5 N ( (p p p ρgh p ρgh ρυ υ ) ) m m υ 0 ρ 3 kg 10 s 3 m Γ. Το νέο μέγιστο ύψος θα είναι: Η 1 = Η = 50 m. Έστω Δ το σημείο στο μέγιστο ύψος. Εφαρμόζω την εξίσωση του Bernoulli για τα σημεία Α και Δ. N p ρgh p ρgh p p ρg(h h) p 5,510 m 5 1 ατ 1 Έτσι η μεταβολή της πίεσης είναι: 5 N pa pa pa pa,5 10. m Δ. Για να πετύχουμε το ίδιο μέγιστο ύψος στην φλέβα θα πρέπει στο σημείο της νοητής επιφάνειας μεταξύ των δύο υγρών να έχουμε την ίδια πίεση με πριν (p A = N/m ). Η υδροστατική πίεση που θα έχει το λάδι ύψους h 1 δίνεται από την σχέση: pλ ρλgh1 h 1 Α p Β H Άρα για την πίεση στο σημείο Α θα ισχύει: h p p p p p ρ gh p h h 5m A ατ A λ ατμ λ 1 ατ 1 1 ρg λ Έτσι η δεξαμενή θα πρέπει να έχει τουλάχιστον ύψος: hολ h1 h hολ 30m

125 Πρόβλημα 4 Δεξαμενή μεγάλης διατομής με κατακόρυφα τοιχώματα είναι τοποθετημένη στο έδαφος και περιέχει νερό μέχρι ύψους Η = m. Α. Να υπολογιστεί σε ποια απόσταση h από τον πυθμένα της δεξαμενής πρέπει να ανοίξουμε μικρή οπή, ώστε η φλέβα του νερού να συναντήσει το έδαφος σε οριζόντια α- πόσταση S = 1, m, από το τοίχωμα της δεξαμενής. Β. Να δειχθεί ότι η μέγιστη απόσταση S είναι ίση με το ύψος Η του νερού στη δεξαμενή. Γ. Να βρεθεί για ποια τιμή του h η απόσταση S γίνεται μέγιστη. Λύση Η ταχύτητα του νερού που εκτοξεύεται από την οπή που έχει ανοιχθεί σε απόσταση h από τη βάση της δεξαμενής σύμφωνα με το θεώρημα του Torricelli είναι: υ gy υ g(h h) (1) Η κίνηση κάθε μορίου της φλέβας του νερού είναι σύνθετη: H p ατ h υ 1 υ h 1 Οριζόντιος άξονας: S Ευθύγραμμη ομαλή με ταχύτητα υ, οπότε είναι S = υt () Κατακόρυφος άξονας: 1 h Ελεύθερη πτώση οπότε είναι : h gt t (3). g Από () και (3) έχουμε: (1) h h S υt S υ t S υ S g(h h) 4h 4hH S 0 g g (4). Με αντικατάσταση των Η και S στην (4) παίρνουμε: 4h 8h 1, 44 0 h h 0,36 0 (5) Η σχέση (5) είναι εξίσωση β βαθμού με Δ =,56 και έχει λύσεις h 1 = 1,8 m και h = 0, m. Άρα υπάρχουν δύο θέσεις της οπής, που είναι συμμετρικές ως προς το μέσο της δεξαμενής, για τις οποίες έχουμε το ίδιο S.

126 Β. Από την εξίσωση (4) προκύπτει ότι για να έχει λύση πρέπει: S 0 S 0 H S άρα S max = Η = m. Γ. Με αντικατάσταση στην σχέση (4) της μέγιστης τιμής του S παίρνουμε: 4h 8h 4 0 h h 1 0 (h 1) 0 h 1m Άρα, η οπή πρέπει να ανοιχθεί στο μέσο του ύψους της δεξαμενής h = 1 m και η οριζόντια απόσταση που συναντά το έδαφος η φλέβα του νερού είναι S = Η = m.

127 Πρόβλημα 5 Στο σχήμα φαίνεται η αρχή λειτουργίας ενός ψεκαστήρα που στο δοχείο του υπάρχει υγρό ψεκασμού πυκνότητας ρ υγ = 10 3 kg/m 3. Για να λειτουργεί ο ψεκαστήρας πρέπει το υγρό ψεκασμού να ανέρχεται από το δοχείο στον κατακόρυφο σωλήνα ως το χείλος αυτού, σημείο Β. Α. Να βρείτε με ποια ταχύτητα πρέπει να εξέρχεται ο αέρας από το ακροφύσιο του ψεκαστήρα αν το τμήμα του σωλήνα που βρίσκεται έξω από το υγρό έχει ύψος h 1 = 10 cm. Β. Όταν ο αέρας εξέρχεται από το ακροφύσιο με ταχύτητα μέτρου υ = 4 m/s, πόσο μπορεί να είναι το μέγιστο ύψος h του σωλήνα που βρίσκεται έξω από το υγρό; Γ. Το συνολικό μήκος του σωλήνα είναι Η = 16,05 cm, και τον σταθεροποιούμε σε θέση που να σχηματίζεται στήλη υγρού ύψους h 3= 11,05 cm όταν ψεκάζουμε με την κατάλληλη ταχύτητα. Ψεκάζουμε με σταθερό ρυθμό 40 ψεκ./min. Μετά από πόσο χρόνο θα σταματήσει να λειτουργεί ο ψεκαστήρας; Δίνεται ότι ο μέσος όγκος των δημιουργούμενων σταγονιδίων είναι 60 nl (nano L) και κάθε ψεκασμός "παρασύρει" 000 σταγονίδια. Δίνονται πυκνότητα αέρα ρ α = 1,5 kg/m 3, εμβαδόν της βάσης του δοχείου Α = 4 cm και g = 10 m/s. Λύση Α. Έστω υ 1 η ταχύτητα που εξέρχεται ο αέρας από το ακροφύσιο του ψεκαστήρα, θέση (1). Αν p 1 η πίεση που επικρατεί στη θέση (1), τότε η πίεση του αέρα στη θέση (), που θεωρούμε ότι βρίσκεται μακριά από τη διάταξη, είναι ίση με την ατμοσφαιρική πίεση p ατ, και η ταχύτητα του αέρα και των σταγονιδίων είναι υ = 0. Με εφαρμογή της εξίσωσης του Bernoulli για τις θέσεις (1) και () έχουμε: 1 1 p1 ραυ1 p ραυ (1) αλλά p = p ατ και υ = 0 οπότε η (1) γίνεται: 1 p1 ραυ1 pατ () Στην επιφάνεια του υγρού του δοχείου ψεκασμού επικρατεί η ατμοσφαιρική πίεση. Επομένως στο σωλήνα που ανέρχεται το υγρό ψεκασμού η πίεση στη βάση του είναι: pατμ p1 ρυγgh1 (3).

128 3 kg m ρ 3 υγgh ,1m 1 m Η () λόγω (3) δίνει: υ m s 1 υ1 υ1 40 ρ kg α 1,5 s m 3 Β. Εφαρμόζουμε ανάλογη διαδικασία και λύνουμε ως προς το ύψος. Αφού φυσάμε με μεγαλύτερη ταχύτητα το μέγιστο ύψος h του σωλήνα που βρίσκεται έξω από το υγρό μπορεί να είναι μεγαλύτερο από πριν, όπως στο σχήμα. Θα προκύψει: kg m 1, ρυ α m s ραυ ρgh h h ρg 3 kg m m s h 0,1105m h 11,05cm Γ. Ο όγκος του νερού που θα πρέπει να βγει από το δοχείο ώστε αυτό να μην λειτουργεί 4 είναι: V Ah A(H h ) V 410 m 510 m 6 3 V m V 10ml Ο όγκος υγρού που αφαιρείται με κάθε ψεκασμό είναι: 9 V1 σταγόνες όγκος σταγόνας L V L V ml Συνεπώς οι ψεκασμοί είναι: V 10mL N N 1000 ψεκασμοί 3 V 1010 ml 1

129 Άρα σε κάθε 1 min έχουμε 40 ψεκασμούς Τελικά x = 5 min. x 1000

130 Πρόβλημα 6 Ανοικτή δεξαμενή νερού έχει στον πυθμένα βρύσες πανομοιότυπες που η κάθε μία έχει εμβαδό διατομής Α = cm. Η δεξαμενή τροφοδοτείται από σωλήνα από τον οποίο τρέχει νερό στην ελεύθερη επιφάνεια της με σταθερή παροχή Π = 0,8 L/s. h 1 Α p ατ Α. Να υπολογίσετε σε ποιο ύψος η στάθμη του νερού παραμένει σταθερή στη δεξαμενή όταν έχουμε ανοιχτή μία βρύση. Γ Β p ατ υ 1 Β. Να βρείτε την κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του νερού στην έξοδο. Γ. Αν θέλουμε να ποτίσουμε τον κήπο μας με το παραπάνω σύστημα, πόσες βρύσες μπορούμε να ανοίξουμε ταυτόχρονα, δεδομένου ότι ικανοποιητική παροχή έχουμε όταν η στάθμη στη δεξαμενή δεν πέφτει κάτω από h = 0, m. Δίνεται g = 10 m/s και η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3. Θεωρήστε τη ροή στρωτή, το νερό ιδανικό ρευστό και την ταχύτητα με την οποία πέφτει το νερό από τον σωλήνα στη δεξαμενή είναι περίπου μηδέν. Λύση Α. Μετατρέπουμε τα μεγέθη σε μονάδες του S.I. Π = 0,8 L/s = m 3 /s = m 3 /s και Α = cm = 10 4 m. Έστω h 1 το ύψος του νερού όταν έχουμε ισορροπία στις παροχές, δηλαδή το ύψος h 1 είναι αυτό που πρέπει να έχει το νερό στη δεξαμενή ώστε η παροχή νερού από το σωλήνα να είναι ίση με την παροχή εκροής του νερού από τη βρύση. Συνεπώς θα ισχύει: 1 1 (1) Εφαρμόζουμε το νόμο του Bernoulli για τα σημεία Α (επιφάνεια του νερού) και το σημείο Β (σημείο εκροής του νερού) έχουμε: 1 1 p1 1 gh1 p () αλλά p 1 = p = p ατμ έτσι η () γίνεται: 1 p gh1 p 1 1 gh1 (3). Από τις (1) και (3) προκύπτει:

131 3 4 m (810 ) gh1 h s 1 h 1 m h1 0,8 m. g 4 m (10 m ) 10 s m m Β. Από την σχέση (3) προκύπτει ότι (3) 1 100,8 1 4 s s Η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου είναι: kg m 1 J ρυυ V V m s V m Γ. Από την σχέση (3) μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα εκροής για το ελάχιστο ύψος στο δοχείο. m gh. s Αφού η στάθμη σταθεροποιηθεί στο ύψος h θα ισχύει: 3 4 m 810 s βρύσες. m 4 10 m s

132 Πρόβλημα 7 Η δεξαμενή του σχήματος περιέχει νερό και φέρει ένα έμβολο ώστε να καλύπτει ολόκληρη την επιφάνεια του νερού. Το νερό διοχετεύεται μέσω του οριζόντιου σωλήνα μεταβλητής διατομής με Α 1=3Α =1cm στο σημείο εξόδου Γ από όπου εκρέει πέφτοντας στο δοχείο εμβαδού βάσης Α=0,88m. Ο κατακόρυφος σωλήνας Β είναι τοποθετημένος σε σημείο του οριζόντιου σωλήνα με εμβαδόν Α 1. Το ύψος της στήλης του νερού στη δεξαμενή είναι h=1,8m και θεωρούμε ότι κατά την εκροή του νερού από το Γ το ύψος h δεν μεταβάλλεται. Τη χρονική στιγμή t=0 πιέζουμε προς τα κάτω το έμβολο με αποτέλεσμα το νερό να εκρέει από το σημείο Γ με ταχύτητα 9m/s. Να βρείτε: Α. την πίεση p εμβ μεταξύ εμβόλου και της επιφάνειας του νερού στη δεξαμενή. Β. το ύψος h 1 της στήλης του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα Β. Γ. την αύξηση του ύψους y του νερού στο δοχείο μετά από χρόνο 1 min. Δίνονται: p atm=10 5 Ν/m, g=10m/s και ρ ν=1.000kg/m 3. Λύση Α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α και Γ. 1 1 p gh p A Επειδή p Γ=p atm και υ Α=0, η παραπάνω σχέση γίνεται 5 atm kg m N kg m p p gh ,8m m s m m s N p m Β. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για την φλέβα νερού από το Α μέχρι το σημείο 1 που η πίεση είναι p A p gh 1 p 1, (1), υ Α=0 Από το νόμο της συνέχειας παίρνουμε Π 1=Π ή Α 1υ 1=Α υ Γ ή υ 1=3m/s.

133 H σχέση (1) γίνεται 1 5 N kg m 1 kg m p1 p gh 1 1, ,8m m m s m s N p m H πίεση στο σημείο 1 είναι N N p 1 patm p1 patm gh 1 Þ h1 m m 4 h1 3,6m g kg m m s Γ. H παροχή του νερού στο σωλήνα V t Επομένως, o όγκος του νερού που φεύγει από το σωλήνα είναι V t 4 3 V t A 11t 1 10 cm 3 60s V 0,16m 3 V 0,16m V y y y 0,75m A 0,88m m s

134 Ερώτηση 8. Τα δύξ δξυεία ςξσ ρυήμαςξπ έυξσμ ςξ ίδιξ εμβαδό βάρηπ, πεοιέυξσμ μεοό και ρε βάθξπ h σπάουει ςούπα εμβαδξύ πξλύ μικοόςεοξσ από ασςό ςηπ ελεύθεοηπ επιτάμειαπ. Τξ μεοό μεςά ςημ ένξδό ςξσ από ςημ ςούπα κάθε δξυείξσ τθάμει Α. ρε μεγαλύςεοξ ύφξπ ρςξ δξυείξ Α Β. ρε μεγαλύςεοξ ύφξπ ρςξ δξυείξ Β. Γ. ρςξ ίδιξ ύφξπ. Να διαλένειπ ςη ρχρςή απάμςηρη και μα ςη δικαιξλξγήρειπ. Λύρη Σχρςή είμαι η ποόςαρη Γ. Δταομόζξσμε ρςξ δξυείξ Β ςξ θεώοημα ςξσ Bernoulli για μια τλέβα ςξσ σγοξύ ρςα ρημεία Α (ρημείξ ςηπ ελεύθεοηπ επιτάμειαπ) και Β πξσ είμαι ςξ σφηλόςεοξ ρημείξ. Θεχοξύμε επίπεδξ αματξοάπ για ςη δσμαμική εμέογεια ςξσ οεσρςξύ, ςξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ πξσ διέουεςαι από ςξ Α. 1 1 A p B pb gy Σςξ Α έυξσμε p A = p atm και σ Α = 0. Σςξ Β έυξσμε p Β = p atm και σ Β = 0. Δπξμέμχπ η παοαπάμχ ρυέρη γίμεςαι 0 p 0 p gy y 0 atm atm Σςξ ίδιξ ρσμπέοαρμα καςαλήγξσμε εταομόζξμςαπ ςημ ενίρχρη Bernoulli ρςξ δξυείξ Α. Τξ παοαπάμχ ρσμπέοαρμα είμαι συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας.

135 Άσκηση 9 Σςξμ ξοιζόμςιξ ρχλήμα ςξσ ρυήμαςξπ οέει αέοαπ και ξ σξειδήπ ρχλήμαπ υοηριμξπξιείςαι για ςη μέςοηρη ςηπ ςαυύςηςαπ ςξσ αέοα. Σςξ ρημείξ Β σπάουει αμακξπή ςξσ οεύμαςξπ ςξσ αέοα (ρημείξ αμακξπήπ) ξπόςε η ςαυύςηςα ςξσ αέοα ρςξ ρημείξ Β είμαι μηδεμική. Τξ σγοό ρςξμ σξειδή ρχλήμα είμαι μεοό και η σφξμεςοική διατξοά ρςα δύξ ρκέλη ςξσ ρχλήμα είμαι h = 10cm. Α. Να βοεθεί η πίερη ρςξ ρημείξ αμακξπήπ Β ρε ρσμάοςηρη με ςημ ςαυύςηςα ςξσ αέοα. Β. Να σπξλξγιρςεί η ςαυύςηςα ςξσ αέοα ρςξμ ξοιζόμςιξ ρχλήμα. Δίμξμςαι: πσκμόςηςα αέοα ο α = 1,5 kg/m 3, πσκμόςηςα μεοξύ ο μ = 1000 kg/m 3, p atm = 10 5 N/m και g = 10m/s. Λύρη Δταομόζξσμε ςξ θεώοημα ςξσ Bernoulli για μια ξοιζόμςια τλέβα ςξσ αέοα πξσ διέουεςαι από ςιπ θέρειπ A και B. Σςξ Α, p A = p atm και ρςξ Β σ Β = 0 άοα 1 1 p p A A B B 1 5 N pb A patm pb 0,65A 10 m, (1) Β. Η πίερη ρςξ Β είμαι ίρη με ασςή ρςξ Γ καθώπ ρςξ αοιρςεοό ρκέλξπ πεοιέυεςαι αέοαπ. Όμχπ η πίερη ρςξ ρημείξ Γ είμαι ίρη με ασςή ςξσ ρημείξσ Δ καθώπ ςα δύξ ρημεία βοίρκξμςαι ρςξ ίδιξ ξοιζόμςιξ επίπεδξ ρε έμα ακίμηςξ οεσρςό. Σσμδσάζξμςαπ ςιπ (1),() παίομξσμε p p p gh, () B atm kg ,1m 1 3 gh m A gh A m A 40 kg 1,5 s m 3 Συόλιξ: Η παοαπάμχ μέθξδξπ υοηριμξπξιείςαι για ςη μέςοηρη ςηπ ςαυύςηςαπ ςχμ αεοξπλάμχμ με ςξμ ρχλήμα Pitot μα ςξπξθεςείςαι ρςξ τςεοό ςξσ αεοξπλάμξσ.

136 Άσκηση 30 Μια αμςλία μεοξύ βοίρκεςαι ρςξμ πσθμέμα εμόπ πηγαδιξύ πξσ έυει βάθξπ h = 5m. H διαςξμή ςξσ ρχλήμα είμαι ρςαθεοή και ίρη με Α = 10cm. Τξ μεοό ενέουεςαι από ςημ άκοη Γ ςξσ ρχλήμα με ςαυύςηςα σ Γ = 10m/s. Να βοεθξύμ: Α. η ςαυύςηςα ςξσ μεοξύ μόλιπ ασςό ενέουεςαι από ςημ αμςλία (θέρη Β) Β. Η διατξοά πίερηπ μεςανύ ςχμ Β και Γ. Γ. ξ οσθμόπ παοαγχγήπ έογξσ λόγχ ςηπ διατξοάπ πίερηπ μεςανύ ςχμ Β και Γ. Δ. ξ οσθμόπ παοαγχγήπ έογξσ (ιρυύπ) ςηπ αμςλίαπ. Τξ μεοό μα θεχοηθεί ιδαμικό οεσρςό. Δίμξμςαι: ο μ = 1000kg/m 3, g = 10m/s. Λύρη Α. Ο ρχλήμαπ έυει ρςαθεοή διαςξμή, επξμέμχπ ατξύ η παοξυή είμαι ίδια ρε όλξ ςξ μήκξπ ςξσ ρχλήμα (μόμξπ ρσμέυειαπ) η ςαυύςηςα ρε κάθε ρημείξ ςξσ ρχλήμα θα είμαι η ίδια, άοα σ Β = σ Γ = 10m/s. Β. Δταομόζξσμε ςξ θεώοημα ςξσ Bernoulli για μια τλέβα μεοξύ μεςανύ ςχμ ρημείχμ Β και Γ. 1 1 B pb p gh, ( B ) kg m N pb p gh m p p 510 m s m 4 3 B Γ. Ο οσθμόπ παοαγχγήπ έογξσ πξσ ξτείλεςαι ρςη διατξοά πίερηπ μεςανύ ςχμ Β και Γ. dw pb p dv dw kg m 4 m gh A m1010 m 10 3 dt dt dt m s s dw 500W dt Συόλιξ: Ο παοαπάμχ είμαι και ξ οσθμόπ αύνηρηπ ςηπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ςχμ μαζώμ. Δ. Ο οσθμόπ παοαγχγήπ έογξσ (ιρυύπ) ςηπ αμςλίαπ είμαι: P dw dt Τξ έογξ ςηπ αμςλίαπ ςξ βοίρκξσμε με εταομξγή ςξσ θεχοήμαςξπ έογξσ- εμέογειαπ καςά ςη μεςακίμηρη μικοήπ μάζαπ μεοξύ από ςξ ςημ αμςλία μέυοι ςημ ένξδξ ςξσ ρχλήμα. Με W w δηλώμξσμε ςξ έογξ ςξσ βάοξσπ.

137 1 1 m 0 W Ww m 0 W m gh 1 W m m gh Άοα, η ιρυύπ P ςηπ αμςλίαπ ή ξ οσθμόπ παοαγχγήπ έογξσ είμαι: dw 1 dm 1 P gh gh A dt dt 1 m m kg 4 m P m m 10 P 1000W 3 s s m s

138 Άσκηση 31 Μια μέοα με άπμξια, έμα Boeing 737 πεςάει ξοιζόμςια πάμχ από ςημ Αθήμα ρε ρςαθεοό ύφξπ. Τα πςεούγιά ςξσ έυξσμ ρσμξλικό εμβαδό Α = 70m ςξ καθέμα. Η ςαυύςηςα ςξσ αέοα ρςξ πάμχ ςμήμα ςχμ πςεοσγίχμ, λόγχ ςηπ ρςέμχρηπ ςχμ οεσμαςικώμ γοαμμώμ, είμαι σ Α = 756km/h, εμώ ρςξ κάςχ ςμήμα λόγχ ςηπ αοαίχρήπ ςξσπ είμαι σ Β = 684km/h. Να βοεθξύμ: Α. η διατξοά πιέρεχμ μεςανύ ςξσ κάςχ και πάμχ ςμήμαςξπ ςχμ πςεοσγίχμ ςξσ αεοξπλάμξσ. Β. Η αεοξδύμαμη πξσ αρκείςαι ρςξ αεοξπλάμξ. Γ. Τξ βάοξπ ςξσ Boeing 737 για ςη ρσγκεκοιμέμη πςήρη, αμ η γχμία μεςανύ αεοξδύμαμηπ και δσμαμικήπ άμχρηπ είμαι τ = 0 ξ. Δίμoμςαι: ο αέοα = 1,5kg/m 3, p atm = 10 5 N/m, ρσμ0 ξ = 0,94 Λύρη A. Δταομόζξσμε ςημ ενίρχρη ςξσ Βernoulli μεςανύ ςχμ ρημείχμ, Α και, Β όπξσ θεχοείςαι έμα ρημείξ ςηπ οεσμαςικήπ γοαμμήπ πξσ βοίρκεςαι πξλύ μακοιά από ςξ αεοξπλάμξ με = σ αεο p p p p A A A A p p p p B B B B Η αταίοερη καςά μέλη ςχμ δύξ ρυέρεχμ δίμει: 1 N p p 5000 m B. Η ποξκαλξύμεμη αεοξδύμαμη, F, είμαι κάθεςη ρςα πςεούγια και έυει μέςοξ F p p A όπξσ Α είμαι ςξ ρσμξλικό εμβαδόμ ςχμ δύξ πςεοσγίχμ ςξσ αεοξπλάμξσ. N F pa pb A m F N m A B

139 Γ. Η καςακόοστη ρσμιρςώρα F α απξςελεί ςημ δσμαμική άμχρη και ενιρξοοξπεί ςξ βάοξπ ςξσ αεοξπλάμξσ, ατξύ ασςό πεςά ξοιζόμςια. w F F N 0,94 ή w

140 Άσκηση 3 Μια λεπςή πλάκα εμβαδξύ Α=5cm ςξπξθεςείςαι πάμω ρε ρςαθεοή ξοιζόμςια επιτάμεια. Μεςανύ ςηπ πλάκαπ και ςηπ επιτάμειαπ παοεμβάλλεςαι ρςοώμα γλσκεοίμηπ πάυξσπ με ρσμςελερςή ινώδξσπ n γ = Νs/m. Αρκξύμε ξοιζόμςια δύμαμη F=0mN και παοαςηοξύμε όςι η πλάκα μεςά από λίγξ μεςαςξπίζεςαι με ρςαθεοή ςαυύςηςα σ=10cm/s. Να βοείςε: Α. ςξ πάυξπ ςξσ οεσρςξύ πξσ παοεμβάλλεςαι μεςανύ ςηπ πλάκαπ και ςηπ επιτάμειαπ. Β. Τημ ιρυύ ςηπ δύμαμηπ η ξπξία αρκείςαι για μα σπεομικηθξύμ ξι ςοιβέπ. Γ. Αταιοξύμε ςξ οεσρςό και ςξπξθεςξύμε μεοό ίδιξσ πάυξσπ με ρσμςελερςή ινώδξσπ n μ =10-3 Νs/m. Αρκξύμε ρςημ πλάκα ςημ ίδια ξοιζόμςια δύμαμη και ασςή μεςά από λίγξ μεςαςξπίζεςαι πάλι με ρςαθεοή ςαυύςηςα σ 1. Να βοείςε ςξ μέςοξ ςηπ σ 1 Λύρη Α. Ατξύ η πλάκα μεςαςξπίζεςαι με ρςαθεοή ςαυύςηςα, η δύμαμη F έυει μέςοξ ίρξ με ςξ μέςοξ ςηπ ςοιβήπ ξλίρθηρηπ. Δπξμέμωπ 3 Ns m m na ,1 A F T n m s s 0, 01m 3 F 010 N Β. Γ. W Fx m t t s F 3 P P F 010 N0,1 P m W 3 A1 F 010 N0,01m m 1 1 n A 3 Ns 4 m s F n 80 m s Τξ απξςέλερμα είμαι αμαμεμόμεμξ. Ο ρσμςελερςήπ ινώδξσπ ςξσ μεοξύ είμαι 800 τξοέπ μικοόςεοξ από ασςόμ ςηπ γλσκεοίμηπ. Δπξμέμωπ για ςημ ίδια άρκηρη δύμαμηπ, η πλάκα θα απξκςήρει ςαυύςηςα 800 τξοέπ μεγαλύςεοη.

141 Ερώτηση 33 Σςη διπλαμή διάςανη, η πλάκα Π είμαι ακλόμηςη, εμώ η Π 1 μπξοεί μα κιμείςαι μέρχ μιαπ αρκξύμεμηπ ρε ασςήμ ενχςεοικήπ ξοιζόμςιαπ δύμαμηπ F η ξπξία ξτείλεςαι ρςξ βάοξπ w ςξσ ρώμαςξπ Σ. Μεςανύ ςχμ πλακώμ σπάουει έμα παυύοεσρςξ σγοό. Παοαςηοξύμε όςι μεςά από λίγξ, η Π 1 κιμείςαι ποξπ ςα δενιά με ρςαθεοή ςαυύςηςα σ. Α. Η εμέογεια πξσ ποξρτέοεςαι από ςημ δύμαμη F αταιοεί μηυαμική εμέογεια από ςημ πλάκα Π 1 με ρσμέπεια ςημ αύνηρη ςηπ θεομξκοαρίαπ ςξσ οεσρςξύ. Β. Η μείχρη ςηπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ςξσ ρώμαςξπ Σ έυει χπ ρσμέπεια ςη μείχρη ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ ςηπ πλάκαπ Π 1. Γ. Η εμέογεια πξσ ποξρτέοεςαι από ςημ δύμαμη F αμαπληοώμει ςημ εμέογεια πξσ υάμεςαι λόγχ ςξσ ινώδξσπ ςξσ οεσρςξύ. Να διαλένειπ ςη ρχρςή απάμςηρη και μα ςη δικαιξλξγήρειπ. Λύρη Σχρςή είμαι η απάμςηρη Γ. Όςαμ ςξ ρώμα Σ καςέουεςαι με ρςαθεοή ςαυύςηςα, η μείχρη ςηπ δσμαμικήπ ςξσ εμέογειαπ μεςατέοεςαι μέρχ ςηπ ενχςεοικήπ δύμαμηπ F ρςημ πλάκα και μέρχ ςξσ έογξσ ςηπ ςοιβήπ (ινώδεπ ςξσ σγοξύ) μεςαςοέπεςαι όλη ρε θεομόςηςα. Η μηυαμική εμέογεια ςηπ πλάκαπ Π 1 όμχπ διαςηοείςαι ρςαθεοή, ατξύ η πλάκα μεςακιμείςαι με ρςαθεοή ςαυύςηςα. Έςρι, η μείχρη ςηπ δσμαμικήπ εμέογειαπ ςξσ ρώμαςξπ Σ, μέρχ ςξσ έογξσ ςηπ δύμαμηπ F αμαπληοώμει ςημ εμέογεια πξσ υάμεςαι ρε θεομόςηςα λόγχ ςχμ ςοιβώμ μεςανύ πλάκαπ και οεσρςξύ.

142 Ερώτηση 34. Οι καςακόοστξι ρχλήμεπ ςξσ ρυήμαςξπ είμαι ίδιξι και αμξικςξί ρςξ πάμχ ςμήμα ςξσπ. Σςξμ ξοιζόμςιξ ρχλήμα οέει με τξοά ποξπ ςα δενιά έμα ποαγμαςικό σγοό με ρςαθεοή ςαυύςηςα. Τα ύφη ρςξσπ καςακόοστξσπ ρχλήμεπ είμαι ρχρςά ρυεδιαρμέμα ρςξ ρυήμα Να διαλένειπ ςη ρχρςή απάμςηρη και μα ςη δικαιξλξγήρειπ. Λύρη Σχρςό είμαι ςξ διάγοαμμα (ii). Σε έμα ποαγμαςικό οεσρςό αμαπςύρρξμςαι δσμάμειπ ςοιβήπ. Για μα διαςηοηθεί καςά μήκξπ ςξσ ξοιζόμςιξσ ρχλήμα ρςαθεοή η ςαυύςηςά ςξσπ, ποέπει μα αρκηθξύμ ρςιπ ρςξιυειώδειπ μάζεπ ςξσπ δσμάμειπ (από ςξ πεοιβάλλξμ οεσρςό) πξσ ςξ έογξ ςξσπ θα αμαπληοώμει ςημ απώλεια ςηπ μηυαμικήπ εμέογειαπ. Τξ έογξ ςηπ ρσμιρςαμέμηπ ςχμ δσμάμεχμ πξσ αρκξύμςαι ρςξ ςμήμα ςξσ οεσρςξύ πξσ πεοιβάλλεςαι μεςανύ δύξ διαςξμώμ είμαι θεςικό, W=(p αου -p ςελ ) ΔV. Δπειδή W>0 είμαι και p αου -p ςελ >0, δηλαδή ρςημ καςεύθσμρη οξήπ ςξσ σγοξύ η πίερη μειώμεςαι. Σςη βάρη ςχμ ρχλήμχμ η πίερη είμαι ίρη με p=p αςμ +οgh. Άοα, ρςημ καςεύθσμρη οξήπ ςα h μειώμξμςαι. Ασςό ρσμβαίμει μόμξ ρςξ ρυήμα (ii).

143 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

144 Θέματα πολλαπλής επιλογής με αιτιολόγηση Σε κάθε ερώτηση από τα θέματα που ακολουθούν να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε.1.1. Εντός βαρυτικού πεδίου, όμοια δοχεία περιέχουν τρία υγρά Α, Β και Γ. Στο διάγραμμα απεικονίζεται η ολική πίεση p σε συνάρτηση με το βάθος h από την ελεύθερη επιφάνεια των υγρών. Μεταξύ των τριών υγρών, μεγαλύτερη πυκνότητα έχει το υγρό: α. Α β. Β γ. Γ Ε.1.. Ο σωλήνας του ακόλουθου σχήματος περιέχει υγρό πυκνότητας ρ και έχει σταθερή διατομή εμβαδού Α. Με τη βοήθεια αβαρούς εμβόλου στο οποίο ασκείται κατακόρυφη δύναμη F, το υγρό ισορροπεί μέσα στο σωλήνα με τις στάθμες του στα κατακόρυφα τμήματα του σωλήνα να απέχουν υψομετρικά μεταξύ τους κατά h, όπως απεικονίζεται στο σχήμα. Εάν το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g, ισχύει η σχέση: α. h = F ρga Ε.1.3. β. h = F ρga γ. h = F ρga Σωλήνας σχήματος U έχει σταθερή διατομή. Ο σωλήνας περιέχει στο δεξιό σκέλος του υγρό πυκνότητας ρ1 και στο αριστερό σκέλος υγρό πυκνότητας ρ. Τα δύο υγρά δεν αναμειγνύονται. Οι ελεύθερες επιφάνειες των υγρών βρίσκονται σε ύψη ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

145 h1 και h από τη διαχωριστική τους επιφάνεια, όπως απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα. Εάν είναι h > h1, ισχύει η σχέση: α. ρ1 > ρ β. ρ1 < ρ γ. ρ1 =ρ Ε.1.4. Το δοχείο του διπλανού σχήματος είναι ανοιχτό στον ατμοσφαιρικό αέρα (P atm = 1 atm) και περιέχει υγρό σε ισορροπία. Το μανόμετρο (1) έχει ένδειξη 1, atm και απέχει από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού κατακόρυφη απόσταση h 1, ενώ το μανόμετρο () απέχει από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού απόσταση h, η οποία είναι τριπλάσια της h 1 (h 1 = 3h 1 ). Η ένδειξη του μανομέτρου () είναι: α. 3,6 atm β. 1,6 atm γ.,4 atm Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας, θεωρώντας γνωστό ότι τα μανόμετρα μετρούν την ολική πίεση, δηλαδή την πίεση που οφείλεται στο βάρος του υγρού και σε εξωτερικούς παράγοντες μαζί. Ε.1.5. Το κλειστό κυβικό δοχείο του διπλανού σχήματος ακμής α περιέχει υγρό, ενώ στο αβαθές έμβολο ασκείται εξωτερική δύναμη F. Το μανόμετρο βρίσκεται σε απόσταση α από την 3 πάνω βάση του δοχείου και μετρά την ολική πίεση, δηλαδή την πίεση που οφείλεται στο βάρος του υγρού και σε εξωτερικούς παράγοντες μαζί. Όταν το δοχείο βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας, τότε η ένδειξη του μανομέτρου είναι p 1, ενώ όταν βρίσκεται εντός του πεδίου βαρύτητας της Γης, η ένδειξη του μανόμετρου είναι 1,p 1. Η πίεση του υγρού στην κάτω βάση του δοχείου όταν αυτό βρίσκεται εντός του πεδίου βαρύτητας της Γης ισούται με: α. 1,3p 1 β. 1,4p 1 γ. 1,6p 1 ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

146 Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε.1.6. Το δοχείο του διπλανού σχήματος είναι κλειστό και γεμάτο με υγρό. Στο πάνω μέρος του υπάρχει άνοιγμα που κλείνεται με έμβολο, το οποίο μπορεί να κινείται χωρίς τριβές και στο οποίο ασκούμε δύναμη μέτρου F. Στο δοχείο είναι προσαρμοσμένα τρία μανόμετρα, ένα στη μέση του πλευρικού τοιχώματος (μανόμετρο 1), ένα στην πάνω βάση του δοχείου (μανόμετρο ) και ένα στην κάτω βάση του δοχείου (μανόμετρο 3). Τα μανόμετρα μετρούν την ολική πίεση, δηλαδή την πίεση που οφείλεται στο βάρος του υγρού και σε εξωτερικούς παράγοντες μαζί. α) Αν θεωρήσουμε ότι το δοχείο βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας, τότε οι ενδείξεις των μανομέτρων είναι: i) ίσες. ii) διαφορετικές με μεγαλύτερη την ένδειξη του μανομέτρου 3. iii) διαφορετικές με μεγαλύτερη την ένδειξη του μανομέτρου. β) Αν το δοχείο βρίσκεται στο πεδίο βαρύτητας της Γης και διπλασιάσουμε το μέτρο της δύναμης που ασκούμε στο έμβολο, τότε οι ενδείξεις και των τριών μανομέτρων: i) διπλασιάζονται. ii) δε μεταβάλλονται. iii) αυξάνονται κατά το ίδιο ποσό. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε.1.7. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα δοχείο που περιέχει υγρό σε ισορροπία. Τα έμβολα (1) και () έχουν το ίδιο εμβαδόν διατομής Α και ασκούνται σε αυτά οριζόντιες εξωτερικές δυνάμεις ίδιου μέτρου F. Το δοχείο βρίσκεται ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

147 εκτός πεδίου βαρύτητας. Στο σημείο Μ, που είναι το μέσο της απόστασης μεταξύ των δύο εμβόλων, η πίεση του υγρού ισούται με: α. μηδέν β. F A γ. F A Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε.1.8. Τα δοχεία του διπλανού σχήματος συνδέονται μεταξύ τους με λεπτό σωλήνα και περιέχουν νερό σε ισορροπία. Οι βάσεις των τριών δοχείων είναι κυκλικές και έχουν διαφορετικό εμβαδόν. α) Για τις πιέσεις στα σημεία Α, Β και Γ του πυθμένα των τριών δοχείων ισχύει: i) p A = p Β = p Γ ii) p A > p Β > p Γ iii) p A < p Β < p Γ Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. β) Το μέτρο της δύναμης που ασκείται από το υγρό στον πυθμένα κάθε δοχείου είναι: i) ίδιο και στα τρία δοχεία. ii) μεγαλύτερο στο δοχείο που περιέχει τη μικρότερη ποσότητα υγρού. iii) μεγαλύτερο στο δοχείο του οποίου η βάση έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε.1.9. Το κλειστό δοχείο του διπλανού σχήματος περιέχει νερό και το μανόμετρο δείχνει μια σταθερή ένδειξη. Αν αντικαταστήσουμε το νερό με λάδι, τότε η ένδειξη του μανομέτρου μειώνεται κατά 10% σε σχέση με την προηγούμενη ένδειξη. Ο λόγος της πυκνότητας του λαδιού προς την πυκνότητα του νερού είναι ίσος με: α. 0,1 β. 1,1 γ. 0,9 ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

148 Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε Δύο μη αναμειγνυόμενα μεταξύ τους υγρά (1) και (), με πυκνότητες ρ1 και ρ αντίστοιχα, περιέχονται σε κατακόρυφο ανοιχτό δοχείο, το οποίο βρίσκεται εντός πεδίου βαρύτητας. Το υγρό (1) φθάνει σε βάθος h 1 και ο πυθμένας του δοχείου βρίσκεται σε βάθος h κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού (1), όπως απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα. Η υδροστατική πίεση p σε συνάρτηση με το βάθος h απεικονίζεται στο διάγραμμα του ακόλουθου σχήματος Για τις πυκνότητες ρ 1 και ρ ισχύει η σχέση: α. ρ 1 = ρ β. ρ 1 > ρ γ. ρ 1 < ρ Ε Ένα ανοιχτό κυλινδρικό δοχείο περιέχει υγρό (1) πυκνότητας p 1 και η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού βρίσκεται σε ύψος h από τη βάση του δοχείου, σε επαφή με τον ατμοσφαιρικό αέρα. Η πίεση στη βάση του δοχείου ισούται με p 1, ενώ η ατμοσφαιρική πίεση ισούται με 0,8p 1. Αδειάζουμε το υγρό (1) από το δοχείο και στη συνέχεια το γεμίζουμε μέχρι το ίδιο ύψος h με υγρό () πυκνότητας p, οπότε η πίεση στη βάση του δοχείου γίνεται ίση με p, για την οποία ισχύει p = 1,5p 1. Οι πυκνότητες ρ 1 και ρ ικανοποιούν τη σχέση: α. ρ = 1,5ρ 1 β. ρ = 3,5ρ 1 γ. ρ = 4ρ 1 ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

149 Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε.1.1. Το κωνικό κλειστό δοχείο του διπλανού σχήματος έχει ύψος h, εμβαδόν βάσης Α και είναι γεμάτο με υγρό πυκνότητας ρ. Το δοχείο βρίσκεται στο πεδίο βαρύτητας της Γης και το υγρό ασκεί στη βάση του κωνικού δοχείου κατακόρυφη δύναμη F. Αν ο όγκος του κωνικού δοχείου υπολογίζεται από τη σχέση V κων = 1 Αh, τότε το μέτρο του βάρους w του 3 υγρού που βρίσκεται μέσα στο δοχείο και το μέτρο της δύναμης F ικανοποιούν τη σχέση: α. F = 3 w β. F = 3w γ. F = w Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε Ένα κυλινδρικό πλαστικό ποτηράκι αμελητέου βάρους (σχήμα 1) είναι τοποθετημένο πάνω στο δίσκο μιας ζυγαριάς και περιέχει νερό μέχρι κάποιο ύψος. α) Η ένδειξη της ζυγαριάς είναι: i) μεγαλύτερη από τη δύναμη που ασκεί το νερό στον πυθμένα του δοχείου. ii) μικρότερη από τη δύναμη που ασκεί το νερό στον πυθμένα του δοχείου. iii) ίση με τη δύναμη που ασκεί το νερό στον πυθμένα του δοχείου. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. β) Αντικαθιστούμε το κυλινδρικό πλαστικό ποτήρι που βρίσκεται πάνω στο δίσκο της ζυγαριάς με άλλο διαφορετικού σχήματος (σχήμα ), το οποίο έχει ίσο εμβαδόν βάσης με το πρώτο και αμελητέο βάρος. Στη συνέχεια ρίχνουμε σε αυτό όλη την ποσότητα νερού που περιείχε το κυλινδρικό ποτηράκι. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι η σωστή ; ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

150 i) Μεταβάλλεται η ένδειξη της ζυγαριάς, καθώς και η δύναμη που ασκείται από το νερό στον πυθμένα του ποτηριού. ii) Μεταβάλλεται η δύναμη που ασκείται από το νερό στον πυθμένα του ποτηριού, χωρίς να αλλάξει η ένδειξη της ζυγαριάς. iii) Δε μεταβάλλεται ούτε η ένδειξη της ζυγαριάς ούτε η δύναμη που ασκεί το νερό στον πυθμένα του ποτηριού. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε Ο υδραυλικός ανυψωτήρας του διπλανού σχήματος χρησιμοποιείται για την ανύψωση αυτοκινήτων. Τα κυλινδρικά έμβολα αμελητέου βάρους Ε1 και Ε έχουν διαμέτρους δ 1 και δ αντίστοιχα, με λόγο δ 1 = 1, και μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές. Το δ 5 μέτρο της δύναμης που πρέπει να ασκήσουμε στο έμβολο Ε1 για να ανεβάσουμε ένα αυτοκίνητο βάρους w πρέπει να είναι μεγαλύτερο από: α. w 5 β. w 5 γ. w 10 Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε Ο υδραυλικός ανυψωτήρας του διπλανού σχήματος χρησιμοποιείται για την ανύψωση αυτοκινήτων. Τα κυλινδρικά έμβολα Ε1 και Ε θεωρούνται αβαρή, μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές και έχουν εμβαδόν διατομής Α1 και Α αντίστοιχα, με λόγο Α 1 Α = α) Ασκώντας στο έμβολο Ε 1 κατακόρυφη δύναμη F 1 με φορά προς τα κάτω το μετατοπίζουμε κατά Δy 1 και ταυτόχρονα εξαιτίας της δύναμης F από το υγρό το έμβολο Ε μετατοπίζεται προς τα πάνω κατά: ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

151 i) Δy 1 4 ii) Δy 1 8 iii) Δy 1 16 Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. β)το έργο της δύναμης F 1, κατά τη διάρκεια της μετατόπισης των εμβόλων, είναι: i) ίσο με το έργο της δύναμης F. ii) μεγαλύτερο από το έργο της δύναμης F. iii) μικρότερο από το έργο της δύναμης F. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε Στα επόμενα σχήματα φαίνονται τρία δοχεία με υδράργυρο, σε καθένα από τα οποία βρίσκονται τρεις αντεστραμμένοι σωλήνες. Η ελεύθερη επιφάνεια του υδραργύρου βρίσκεται σε επαφή με τον ατμοσφαιρικό αέρα, ενώ σε κάθε σωλήνα μεταξύ της στάθμης του υδραργύρου και του κλειστού άκρου θεωρούμε ότι υπάρχει κενό. Οι σωλήνες και στα τρία σχήματα έχουν διαφορετική διατομή. Ποιο από τα τρία σχήματα δείχνει σωστά τη στάθμη του υδραργύρου στους σωλήνες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

152 Ε Με το μανόμετρο του διπλανού σχήματος μετράμε την πίεση στο δοχείο Δ. Όταν η πίεση στο δοχείο Δ είναι διπλάσια της ατμοσφαιρικής, τότε η υψομετρική διαφορά της στήλης υδραργύρου στα δύο σκέλη του σωλήνα είναι ίση με h. Αν η πίεση στο δοχείο Δ μειωθεί κατά 5%, τότε η υψομετρική διαφορά γίνεται ίση με: α. 0,5h β. 0,5h γ. 1,75h Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε Ο κυλινδρικός σωλήνας του επόμενου σχήματος περιέχει δύο υγρά (1) και () που δεν αναμειγνύονται και τα οποία έχουν πυκνότητες ρ 1 και ρ αντίστοιχα, με λόγο πυκνοτήτων ρ 1 = 3. Μια χρονική στιγμή ρ 4 t 1 το ύψος της στήλης του υγρού (1) είναι ίσο με d και η ελεύθερη επιφάνεια των υγρών στα δύο σκέλη του σωλήνα εμφανίζει υψομετρική διαφορά ίση με d, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τη χρονική 4 στιγμή t 1 η στήλη των υγρών: α. ρέει από το αριστερό σκέλος του σωλήνα προς το δεξιό. β. ρέει από το δεξιό σκέλος του σωλήνα προς το αριστερό. γ. ισορροπεί. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε Δύο δοχεία Α και Β με διαφορετικό σχήμα έχουν το ίδιο εμβαδόν βάσης και περιέχουν νερό μέχρι το ίδιο ύψος, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται από το νερό στα τοιχώματα του δοχείου που το περιέχει (πλευρικά τοιχώματα και βάση του δοχείου) είναι: α. μεγαλύτερη στο δοχείο Α. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

153 β. μεγαλύτερη στο δοχείο Β. γ. ίση και στα δύο δοχεία. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε.1.0. Ένας ομογενής κύλινδρος πυκνότητας ρ κ είναι δεμένος στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στην οροφή, και ισορροπεί ακίνητος με τον άξονά του κατακόρυφο. Όταν ο κύλινδρος ισορροπεί στον αέρα, τότε η επιμήκυνση του ελατηρίου ισούται με Δl, ενώ όταν ο μισός κύλινδρος ισορροπεί βυθισμένος σε υγρό πυκνότητας ρ, τότε η επιμήκυνση του ελατηρίου είναι ίση με Δl. Για τις πυκνότητες του κυλίνδρου και του υγρού ισχύει η σχέση: α. ρ κ = ρ β. ρ = ρ κ γ. ρ κ = ρ Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Α.1.1. Δύτης βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια ήρεμης θάλασσας σε βάθος h = m, όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Το εμβαδόν της μάσκας που φορά ο δύτης είναι Α = 40cm. Εάν η πυκνότητα του νερού είναι ρ = 1*10 3 kg/m 3, να υπολογίσετε: α. Την υδροστατική πίεση σε βάθος h. β. Την ολική πίεση στο παραπάνω βάθος. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

154 γ. Το μέτρο της δύναμης που ασκείται στη μάσκα του δύτη. Το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g = 10m/s και η ατμοσφαιρική πίεση είναι pατ. = 1*10 5 Pa. Απ: α) Ρυ = *10 4 Pa, β) Ρ = 1,*10 5 Pa, γ) F = 480N Α.1.. Σε χώρο υψηλού εργαστηριακού κενού βρίσκεται κυλινδρικό δοχείο το οποίο περιέχει υγρό πυκνότητας ρ = 0,8g/cm 3. Το δοχείο φράσσεται αεροστεγώς με οριζόντιο έμβολο εμβαδού Α = 50cm. Στο έμβολο ασκείται κατακόρυφη δύναμη F, μέτρου F = 50N, όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Να υπολογίσετε την ολική πίεση σε βάθος h = 0,5m κάτω από το έμβολο, εάν το δοχείο βρίσκεται: α. Εκτός πεδίου βαρύτητας. β. Εντός πεδίου βαρύτητας. Το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g = 10m/s. Απ: α) ρ = *10 3 Pa, β) ρ = 6*10 3 Pa Α.1.3. Μια ανοιχτή δεξαμενή περιέχει υγρό πυκνότητας ρ=800kg/m 3 και βρίσκεται σε τόπο όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας ισούται με g = 10m/s. Η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού βρίσκεται σε επαφή με την ατμόσφαιρα. α. Να υπολογίσετε την πίεση του υγρού σε σημείο Α που βρίσκεται σε βάθος h=5m από την ελεύθερη επιφάνειά του. β. Αν η υδροστατική πίεση του υγρού σ' ένα σημείο Β ισούται με 0,4*10 5 Pa, να υπολογίσετε το βάθος από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού στο οποίο βρίσκεται το σημείο Β. Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση Patm = 10 5 Pa. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

155 Απ: α) Pa = 1,4*10 5 Pa β) hb = 3m Α.1.4. Δοχείο βρίσκεται εντός βαρυτικού πεδίου και περιέχει ελαιόλαδο. Στο διάγραμμα του διπλανού σχήματος απεικονίζεται η ολική πίεση p σε συνάρτηση με το βάθος h κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του ελαιολάδου. Να υπολογίσετε: α. Τη μεταβολή της ολικής πίεσης ανά μονάδα βάθους κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του ελαιολάδου. β. Την πυκνότητα ρ του ελαιολάδου. γ. Το βάθος h' κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του ελαιολάδου στο οποίο η ολική πίεση είναι p' = 101,8kPa. Δίνεται το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας: g = 10m/s. Απ: α) Δ p Δ h = 9*10 3 Pa/m β) ρ = 900kg/m 3 γ) h' = 0,m Α.1.5. Το κλειστό κυλινδρικό δοχείο του διπλανού σχήματος έχει διάμετρο βάσης δ = m, είναι γεμάτο με υγρό και βρίσκεται σε κενό χώρο εκτός πεδίου βαρύτητας. Στο πάνω μέρος του δοχείου είναι προσαρμοσμένο έμβολο που έχει εμβαδόν Α1 = 0,5m και στο οποίο ασκούμε κατακόρυφη δύναμη F μέτρου 100Ν. α. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που δέχεται η βάση του δοχείου από το υγρό. β. Μεταβάλλουμε το μέτρο της κατακόρυφης δύναμης F, με αποτέλεσμα να αυξηθεί το μέτρο της δύναμης που δέχεται η βάση του δοχείου κατά 0%. Να υπολογίσετε το νέο μέτρο της κατακόρυφης δύναμης F που ασκούμε στο έμβολο. Δίνεται: π = 3,14. Οι τριβές είναι αμελητέες. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

156 Απ: α) Fβασ = 68Ν β) F' = 10Ν Α.1.6. Ανοιχτό κατακόρυφο δοχείο περιέχει νερό και ελαιόλαδο. Τα δύο υγρά δεν αναμειγνύονται. Το ελαιόλαδο καταλαμβάνει τμήμα του δοχείου ύψους h1 = 0.5m, ενώ το νερό καταλαμβάνει τμήμα ύψους h, όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Η ολική πίεση στον πυθμένα του δοχείου είναι p = 1,075*10 5 Pa. Να υπολογίσετε: α. Την υδροστατική πίεση σε βάθος h1, από την επιφάνεια του ελαιολάδου. β. Το ύψος h. γ. Το εμβαδόν της βάσης του δοχείου, εάν το μέτρο της δύναμης που ασκείται σε αυτήν είναι F = 43*10 3 N. Η πυκνότητα του ελαιολάδου είναι ρε = 0,9*10 3 kg/m 3 και του νερού ρν = 1*10 3 kg/m 3. Η ατμοσφαιρική πίεση είναι pατ. = 1*10 5 Pa και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g = 10m/s. Απ: α) ρ = 0,045*10 5 Pa β) h = 0.3m γ) A = 0.4m. Α.1.7. Στη βάση ανοιχτού κυλινδρικού δοχείου είναι στερεωμένο αβαρές ελατήριο σταθεράς Κ = 800Ν/m. Το επάνω άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο στο κέντρο οριζόντιου κυκλικού δίσκου ακτίνας R = (0/ π)cm και μάζας m = kg ο οποίος ηρεμεί. Ο κυκλικός δίσκος διαχωρίζει υδατοστεγώς το κατώτερο τμήμα του δοχείου από το ανώτερο, το οποίο είναι γεμάτο νερό μέχρι ύψους h = 0,m επάνω από το δίσκο, όπως απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα. α. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκείται στο δίσκο αποκλειστικά λόγω υδροστατικής πίεσης. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

157 β. Να υπολογίσετε την παραμόρφωση του ελατηρίου. Προσθέτουμε αργά νερό στο ανώτερο τμήμα του δοχείου, ώστε η δυναμική ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο ελατήριο να τετραπλασιαστεί. γ. Να υπολογίσετε την ποσότητα του υγρού που προσθέσαμε. Η πυκνότητα του νερού είναι ρ = 1*103kg/m3, η ατμοσφαιρική πίεση είναι p ατ. = 100 kpa και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g = 10 m/s. Απ. α) Fu = 80N, β) p = 1,0* 10 Pa γ) Δρ = 0,5m Α.1.8. Δύο ανοιχτά κατακόρυφα κυλινδρικά δοχεία (1) και () συνδέονται μεταξύ τους μέσω οριζόντιου σωλήνα αμελητέων διαστάσεων. Ο σωλήνας είναι προσαρμοσμένος στις βάσεις των δύο δοχείων και φέρει κλειστή στρόφιγγα. Τα εμβαδά των βάσεων των δοχείων (1) και () είναι Α1 =0,4 m και Α =0, m, αντίστοιχα. Γεμίζουμε το δοχείο (1) με νερό έως ύψος Η = 30cm, όπως απεικονίζεται στο σχήμα (α). α. Να υπολογίσετε την ολική πίεση στον πυθμένα κάθε δοχείου. Ανοίγουμε τη στρόφιγγα στον σωλήνα, το νερό ρέει από το δοχείο (1) στο δοχείο () και μετά από μικρό χρονικό διάστημα το νερό ηρεμεί στα δύο δοχεία, όπως απεικονίζεται στο σχήμα (β). β. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκείται στον πυθμένα του δοχείου () γ. Να υπολογίσετε τη μεταβολή της ολικής πίεσης σε σημείο Α του νερού το οποίο βρίσκεται σε ύψος χ =1cm επάνω από τη βάση του δοχείου (1) εξαιτίας του ανοίγματος της στρόφιγγας. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

158 Η πυκνότητα του νερού είναι ρ = 1*10 3 kg/m 3, η ατμοσφαιρική πίεση είναι P ατ. = 100 kpa και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g = 10 m/s. Απ. α) D = 10 5 Pa, β) F = 0400 N γ) Δρ = 1 kpa Α.1.9. Το βαθυσκάφος «Θέτις», που διαθέτει το Ελληνικό Κέντρο Θαλασσίων Ερευνών (ΕΛΚΕΘΕ), έχει πραγματοποιήσει σημαντικές επιστημονικές και αρχαιολογικές ανακαλύψεις και συμμετέχει σε διεθνή προγράμματα εντός και εκτός Ελλάδας. Σε μια κατάδυσή του κατέβηκε σε βάθος 500 m κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας. α. Να υπολογίσετε την πίεση στο βάθος αυτό β. Αν ένα κυκλικό παράθυρο του βαθυσκάφους έχει διάμετρο δ = 40 cm και είναι παράλληλο στην επιφάνεια της θάλασσας, να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκείται σε αυτό όταν βρίσκεται στο βάθος των 500 m. Δίνονται: η πυκνότητα του θαλασσινού νερού ρ = 105 kg/m 3, η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 9,8 m/s, η ατμοσφαιρική πίεση p atm = 1,013*10 5 Pa και π =3,14. Απ. α) p = 51,38*10 5 Pa β) F = 6,44 * 10 5 N. Α Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα κλειστό κυβικό δοχείο ακμής α = m που περιέχει υγρό πυκνότητας ρ = 1000 kg m3. Το λεπτό και αβαρές έμβολο έχει εμβαδόν Α 1 = 00 cm και ισορροπεί σε κατακόρυφη απόσταση h 1 = 0,8 m από την πάνω βάση του δοχείου με τη βοήθεια δύναμης μέτρου F = 400 N που ασκούμε κάθετα στην επιφάνειά του. Η ατμοσφαιρική πίεση ισούται με p atm = 10 5 Pa. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που δέχεται από το υγρό: α. η πάνω έδρα του δοχείου β. η κάτω έδρα του δοχείου. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s. Οι τριβές είναι αμελητέες, ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

159 Απ. α) Fπ = 4, Ν β) F π = 5, N Α Στο διπλανό σχήμα το έμβολο (1) έχει εμβαδόν Α 1 = 10 cm και δέχεται εξωτερική δύναμη μέτρου 4 Ν, ενώ το έμβολο () έχει εμβαδόν Α = 50 cm. Τα δύο έμβολα ισορροπούν. Αν το ιδανικό ελατήριο έχει σταθερά k = 400 N/m, να υπολογίσετε τη συσπείρωσή του. Να θεωρήσετε αμελητέο το βάρος των εμβόλων, καθώς και το βάρος του υγρού. Το σύστημα των δύο εμβόλων βρίσκεται σε κενό και οι τριβές είναι αμελητέες. Α.1.1. Τα δοχεία (1) και () του διπλανού σχήματος περιέχουν το ίδιο υγρό πυκνότητας ρ = 1500 kg m 3, η ελεύθερη επιφάνεια του οποίου βρίσκεται στο ίδιο ύψος h = m και στα δύο δοχεία. Η μάζα m 1 του υγρού στο δοχείο (1) και η μάζα m του υγρού στο δοχείο () ικανοποιούν τη σχέση m = 1,5m 1. Το δοχείο (1) είναι κυλινδρικό. α. Να υπολογίσετε την πίεση του υγρού στη βάση κάθε δοχείου. β) Μεταγγίζουμε όλο το υγρό του δοχείου () στο δοχείο (1). Να υπολογίσετε τη νέα πίεση στη βάση του δοχείου (1). Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s. Να θεωρήσετε ότι η ατμοσφαιρική πίεση ισούται με 10 5 Pa. Απ. α) P = 1, Pa β) ρ = 1, Pa Α ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

160 Ένα μανόμετρο υδραργύρου σχήματος U συνδέεται μ ένα κλειστό δοχείο που περιέχει αέριο σε πίεση p 1. Η υψομετρική διαφορά h 1 του υδραργύρου στα δύο σκέλη του μανομέτρου είναι ίση με 10 cm. α. Να υπολογίσετε την πίεση p 1 του αερίου που βρίσκεται μέσα στο δοχείο. β. Αν αντικαταστήσουμε τον υδράργυρο με υγρό άγνωστης πυκνότητας, διαπιστώνουμε ότι η υψομετρική διαφορά του υγρού στα δύο σκέλη του μανομέτρου γίνεται ίση με 0 cm για πίεση αερίου ίση με p 1. Να υπολογίσετε την πυκνότητα του υγρού. Δίνονται: η πυκνότητα του υδραργύρου ρ Hg = 13,7 g/cm 3, η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s και η ατμοσφαιρική πίεση p atm = 1, Pa. Απ. α) P 1 = P A = P B = 1, Pa β) P x = 6, kg/m 3 Α Κλειστό κυλινδρικό δοχείο βρίσκεται επάνω σε οριζόντιο επίπεδο και περιέχει υγρό σε ύψος H = 40 cm επάνω από τον πυθμένα του. Η ένδειξη του μετρητή πίεσης ο οποίος είναι προσαρμοσμένος στο ανώτερο τμήμα του δοχείου είναι 110 kpa. Στην πλευρική επιφάνεια του δοχείου και σε ύψος d=0cm επάνω από τον πυθμένα έχει προσαρμοστεί ανοιχτός ισοδιαμετρικός σωλήνας σταθερής μικρής διατομής. Στο κατακόρυφο τμήμα του σωλήνα το υγρό έχει φθάσει σε ύψος h = 70 cm, όπως απεικονίζεται στο προηγούμενο σχήμα. Να υπολογίσετε: α. Την πυκνότητα ρ του υγρού. β. Την ολική πίεση p στον πυθμένα του δοχείου. γ. Τη μεταβολή Δh του ύψους που φθάνει το νερό μέσα στο κατακόρυφο τμήμα του σωλήνα, εάν η πίεση του αέρα μέσα στο δοχείο αυξηθεί κατά 10%. Θεωρήσετε αμετάβλητο το ύψος της στάθμης του υγρού μέσα στο δοχείο μετά τη μεταβολή της πίεσης του αέρα στο εσωτερικό του. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

161 Η ατμοσφαιρική πίεση είναι p ατ. = 100 kpa και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g = 10 m/s. Απ. α) ρ = 10 3 kg/m Pa γ) Δh = 0,55 m β) Ρ ολ = 1,18 Α Ένας κύλινδρος του οποίου οι βάσεις είναι κυκλικοί δίσκοι με εμβαδόν Α = 00 cm, έχει ύψος h 1 = 0 cm. Ο κύλινδρος βυθίζεται σε νερό πυκνότητας ρ = 1000 kg/m 3 με τον τρόπο που φαίνεται στα διπλανά σχήματα (1) και (). Στο σχήμα (1) η κάτω βάση του κυλίνδρου είναι σε βάθος y 1 κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού, ενώ στο σχήμα () εφάπτεται πλήρως με τον πυθμένα του δοχείου, χωρίς να υπάρχει νερό μεταξύ τους. Αν η ελεύθερη επιφάνεια του νερού απέχει από τη βάση του δοχείου απόσταση h = 40cm, να προσδιορίσετε τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται από το νερό στον κύλινδρο στις περιπτώσεις των σχημάτων (1) και (). Δίνονται: η ατμοσφαιρική πίεση p atm = 10 5 Pa, καθώς και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s. Απ. α) ΣF = 40N β) ΣF = 040N Α Στο επόμενο σχήμα φαίνεται ένα δοχείο που είναι γεμάτο με υγρό πυκνότητας ρ και το οποίο κλείνεται στο πάνω μέρος του μ ένα αβαρές έμβολο εμβαδού Α = 00cm, που μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Η ένδειξη του μανομέτρου, που βρίσκεται σε βάθος h = 0,5 m, είναι 0,4 bar, ενώ η κατακόρυφη δύναμη που ασκούμε στο έμβολο για να ισορροπεί ακίνητο έχει μέτρο F = 80N. α. Να υπολογίσετε την πυκνότητα του υγρού. β. Πάνω στο έμβολο ρίχνουμε ορισμένη ποσότητα άμμου, με αποτέλεσμα η ένδειξη του μανομέτρου να μεταβληθεί κατά 0,1 bar. Να υπολογίσετε τη μάζα της ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

162 άμμου που ρίξαμε στο έμβολο, γνωρίζοντας ότι αυτή κατανέμεται ομοιόμορφα πάνω στο έμβολο. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s. Το μανόμετρο μετρά την ολική πίεση, δηλαδή την πίεση που οφείλεται στο βάρος του υγρού και σε εξωτερικούς παράγοντες μαζί. Απ. α) ρ = 10 3 kg/m 3 β) m = 0kg Α Επάνω σε οριζόντιο δάπεδο βρίσκεται δοχείο σχήματος U το οποίο περιέχει οινόπνευμα, νερό και ένα από τα υγρά του ακόλουθου πίνακα. Υγρό Πυκνότητα (kg/m 3 ) Βενζίνη 70 Υδράργυρος Ελαιόλαδο 900 Γλυκερίνη 160 Βενζόλιο 880 Τετραχλωράνθρακας 1600 Τα υγρά δεν αναμειγνύονται μεταξύ τους και ηρεμούν μέσα στο δοχείο, όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Στα δύο κατακόρυφα τμήματα του δοχείου οι στάθμες των υγρών βρίσκονται στο ίδιο ύψος από το οριζόντιο επίπεδο. Εάν είναι h 1 = 50 cm, h = 100 cm και H = 10 cm: α. Να προσδιορίσετε το άγνωστο υγρό με βάση τα στοιχεία που δίνονται στον παραπάνω πίνακα. β. Να υπολογίσετε την ολική πίεση στη βάση του δοχείου. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

163 Η πυκνότητα του οινοπνεύματος είναι ρ οι = 0, kg/m 3, η πυκνότητα του νερού είναι ρ ν = kg/m 3 και η ατμοσφαιρική πίεση είναι p ατ. = 100 kpa. Απ. α) P U = 900 kg/m 3 ( ελαιόλαδο) β) P = 1, Pa Α Σε κυλινδρικό δοχείο με εμβαδόν βάσης Α = 4m τοποθετούμε υγρό πυκνότητας ρ, η ελεύθερη επιφάνεια του οποίου είναι σε επαφή με τον ατμοσφαιρικό αέρα και βρίσκεται σε ύψος h = 3 m από τη βάση του δοχείου, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το μέτρο της δύναμης που δέχεται η βάση του δοχείου από το υγρό ισούται με 50 kn, ενώ η ατμοσφαιρική πίεση είναι ίση με 10 5 Pa. α. Να υπολογίσετε την πυκνότητα του υγρού. β. Αν η πίεση σε σημείο Ζ του υγρού ισούται με το 90% αυτής που επικρατεί στον πυθμένα, να υπολογίσετε το βάθος h 1 του σημείου Ζ. γ. Στο πάνω μέρος του δοχείου προσαρμόζουμε έμβολο βάρους 10 4 Ν, που κλείνει αεροστεγώς, ώστε να βρίσκεται σε επαφή με την επιφάνεια του υγρού. Αν οι τριβές μεταξύ του δοχείου και του εμβόλου είναι αμελητέες, να υπολογίσετε το μέτρο της κατακόρυφης δύναμης που πρέπει να ασκήσουμε στο έμβολο, ώστε η πίεση στο σημείο Ζ να γίνει ίση με,3*10 5 Pa. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s. Απ. α) ρ = 10 3 kg/m 3 β) h 1 = 1,7 m γ) F = 44, 10 4 N Α Το κυβικό δοχείο του διπλανού σχήματος, ακμής α = m, φέρει δύο μανόμετρα, που το ένα είναι συνδεδεμένο στην πάνω έδρα (μανόμετρο 1), ενώ το άλλο είναι συνδεδεμένο στην κάτω έδρα του (μανόμετρο ). Το δοχείο είναι γεμάτο με υγρό πυκνότητας ρ. Σε κάποιο σημείο της πάνω έδρας είναι προσαρμοσμένο αβαρές οριζόντιο έμβολο εμβαδού Α = 10 cm που ισορροπεί, καθώς ασκούμε σε αυτό κατακόρυφη ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

164 δύναμη F. Η διαφορά των ενδείξεων των δύο μανομέτρων είναι ίση με 3 kpa, ενώ η ένδειξη του μανομέτρου () είναι 50 kpa. α. Να υπολογίσετε την πυκνότητα του υγρού. β. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F που ασκούμε στο έμβολο. Απ. α) ρ = 1600 kg/m 3 β) F = 18 N Α.1.0. Τα αβαρή έμβολα Ε 1 και Ε του υδραυλικού ανυψωτήρα αυτοκινήτων που απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα βρίσκονται στο ίδιο ύψος και έχουν διαμέτρους d 1 = 5 cm και d αντίστοιχα, με d > d 1. Προκειμένου να ανυψώσουμε μέσω του εμβόλου Ε όχημα βάρους W = N, απαιτείται με τη βοήθεια συσκευής πεπιεσμένου αέρα να ασκήσουμε στο έμβολο Ε 1 δύναμη F 1, ελάχιστου μέτρου F 1.min = 3000 N. α. Να υπολογίσετε τη διάμετρο d. β. Να υπολογίσετε την ελάχιστη πίεση του αέρα που προκαλεί την ανύψωση του οχήματος. γ. Εάν το σημείο εφαρμογής της δύναμης F 1 μετατοπιστεί κατά Δy 1 = 0 cm, να υπολογίσετε τη μετατόπιση του εμβόλου Ε. Απ. α) d = 0 cm β) P min = (48/n) 10 5 Pa γ) ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

165 Α.1.1. Ένα βαρέλι κρασιού έχει βάσεις σχήματος κυλινδρικού δίσκου, εμβαδού Α βασ = cm, και είναι τοποθετημένο με τον άξονά του κατακόρυφο, ενώ τα κέντρα των βάσεων απέχουν μεταξύ τους απόσταση d = 10 cm. Στο μέσο του βαρελιού είναι προσαρμοσμένος πλαστικός κυλινδρικός σωλήνας εμβαδού διατομής Α = cm, ο οποίος είναι κατακόρυφος και το πάνω άκρο του φράσσεται με αβαρές λεπτό έμβολο, που μπορεί να κινείται μέσα στο σωλήνα χωρίς τριβές. Το βαρέλι και ο σωλήνας περιέχουν κρασί. Ασκούμε στο έμβολο, το οποίο βρίσκεται σε ύψος h = m πάνω από τη μέση του βαρελιού κατακόρυφη δύναμη μέτρου F = 100 N με φορά προς τα κάτω. Να υπολογίσετε: α. την πίεση του κρασιού σ ένα σημείο της κάτω βάσης του βαρελιού, β. το μέτρο της κατακόρυφης δύναμης που δέχεται από το κρασί η πάνω βάση του βαρελιού, γ. κατά πόσο πρέπει να μεταβάλλουμε το μέτρο της κατακόρυφης δύναμης που ασκούμε στο έμβολο, ώστε το μέτρο της δύναμης που δέχεται από το κρασί η κάτω βάση του βαρελιού να γίνει ίση με 13 kn. Δίνονται: η πυκνότητα του κρασιού ρ = 1 g/cm 3, η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s και η ατμοσφαιρική πίεση P atm = 10 5 Pa. Απ. α) Ρ κ = 6, Pa β) F = 30, N γ) ΔF = 40 N Α.1.. Τα κυλινδρικά δοχεία του διπλανού σχήματος φράσσονται με έμβολα (Α) και (Β) εμβαδού διατομής Α 1 = m και Α = 0,4 m αντίστοιχα. Το βάρος του εμβόλου Α θεωρείται αμελητέο, ενώ του εμβόλου Β είναι ίσο με 4960 Ν και το περιεχόμενο υγρό έχει πυκνότητα ρ = 0,88 kg/l. Στη θέση όπου τα έμβολα ισορροπούν, η κάτω βάση του εμβόλου (Β) βρίσκεται σε απόσταση d = 50 cm ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

166 χαμηλότερα από την κάτω βάση του εμβόλου (Α), όπως φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα. α. Να υπολογίσετε το μέτρο της κατακόρυφης δύναμης F 1 που πρέπει να ασκούμε στο έμβολο (Α), για να υπάρχει η ισορροπία των δύο εμβόλων. β. Αυξάνοντας τη δύναμη F 1 που ασκούμε στο έμβολο (Α), αυτό κατεβαίνει κατά d 1, ενώ το έμβολο (Β) ανυψώνεται κατά d = 5 cm. Να υπολογίσετε την απόσταση d 1. γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F που πρέπει να ασκούμε στο έμβολο (Α), για να υπάρχει ισορροπία και η κάτω βάση του εμβόλου (Β) να βρίσκεται 50 cm ψηλότερα από την κάτω βάση του εμβόλου (Α). Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s. Απ. α) F 1 = 3 N β) d 1 = 5 m γ) F = 67, N Θέματα πολλαπλής επιλογής με αιτιολόγηση Σε κάθε ερώτηση που ακολουθεί να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε..1. Δύο βρύσες Α και Β με σταθερές παροχές ΠΑ και ΠΒ αντίστοιχα, μπορούν να τροφοδοτήσουν δοχείο σταθερού όγκου. Εάν είναι ανοιχτή μόνο η βρύση Α, το δοχείο γεμίζει πλήρως με νερό σε χρόνο tα, ενώ εάν είναι ανοιχτή μόνο η βρύση Β, το δοχείο γεμίζει πλήρως σε χρόνο tβ. Εάν είναι ανοιχτές ταυτόχρονα και οι δύο βρύσες, το δοχείο γεμίζει σε χρόνο t για τον οποίο ισχύει: α. t = t A+t B β. t = t A + t B γ. t = t A t B t A + t B Ε... Σε σωλήνες (1) και () ίδιας σταθερής διατομής ρέει με σταθερή ταχύτητα ιδανικό υγρό πυκνότητας ρ 1 και ρ αντίστοιχα με ρ 1 = 0,75 ρ. Το μέτρο της ταχύτητας του υγρού στο σωλήνα (1) είναι διπλάσιο του μέτρου της ταχύτητας του υγρού στο σωλήνα (). Σε χρονική διάρκεια Δ t από μια διατομή του σωλήνα (1) διέρχεται μάζα m 1 από το υγρό, ενώ από μια διατομή του σωλήνα () διέρχεται αντίστοιχη μάζα m. Οι μάζες m 1 και m ικανοποιούν τη σχέση: ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

167 α. m 1 = m β. m 1 = 1,5 m γ. m 1 = 4 m Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε..3. Η ροή του νερού στο σωλήνα του διπλανού σχήματος είναι στρωτή και η διάμετρος της διατομής σωλήνα στην περιοχή (1) είναι διπλάσια από τη διάμετρο της διατομής του στην περιοχή (). Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό. Αν Π 1 και Π είναι οι παροχές και υ 1 και υ είναι τα μέτρα των ταχυτήτων του νερού στις περιοχές (1) και () αντίστοιχα, τότε ισχύει: α. Π 1 = Π και υ 1 = υ β. Π 1 = 4Π και υ 1 = υ γ. Π 1 = Π και υ = 4υ 1 Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε..4. Ιδανικό υγρό ρέει κατά μήκος κυλινδρικού σωλήνα. Σε μια περιοχή του σωλήνα όπου η εγκάρσια διατομή έχει διάμετρο D 1 το μέτρο της ταχύτητας ροής είναι υ 1. Σε άλλη περιοχή όπου η διάμετρος της εγκάρσιας διατομής είναι D = 4D 1 το μέτρο της ταχύτητας ροής του υγρού είναι: α. υ = υ 1 /16 β. υ = 4υ 1 γ. υ = 16υ 1 Ε..5. Ένας οριζόντιος σωλήνας εμβαδού διατομής Α χωρίζεται σε δύο άλλους σωλήνες (1) και () με εμβαδά διατομής Α 1 και Α αντίστοιχα, για τα οποία ισχύει Α = Α 1 + Α και Α 1 = 1. Στο σωλήνα ρέει ιδανικό υγρό με ταχύτητα μέτρου Α υ. Αν το μέτρο της ταχύτητας ροής του υγρού στο σωλήνα (1) είναι υ 1 = υ, τότε το μέτρο της ταχύτητας ροής στο σωλήνα () είναι: α. υ = υ β. υ = υ γ. υ = υ Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

168 Ε..6. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται μια κατακόρυφη τομή της κοίτης ενός ποταμού, το οποίο έχει σταθερό πλάτος. Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό. Το μέτρο της ταχύτητας του νερού είναι: α. μεγαλύτερο στα σημεία Α και Γ σε σχέση με αυτό στο σημείο Β. β. μικρότερο στα σημεία Α και Γ σε σχέση με αυτό στο σημείο Β. γ. ίδιο στα σημεία Α, Β και Γ. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε..7. Σε σύστημα τριών σωλήνων (1), () και (3) ρέει στρωτά ιδανικό ρευστό. Οι παροχές και η ροή του ρευστού στους σωλήνες του συστήματος απεικονίζονται στο ακόλουθο σχήμα. Εάν η εγκάρσια διατομή του σωλήνα (3) είναι Α 3 = 0,5 m 3, το μέτρο της ταχύτητας ροής του ρευστού σε αυτόν τον σωλήνα είναι: α. υ 3 = 1 m/s β. υ 3 = 3 m/s γ. υ 3 = 6 m/s Ε..8. Μια άδεια κυβική δεξαμενή νερού ακμής 10m αρχίζει τη χρονική στιγμή t = 0 να γεμίζει μέσω ενός πυροσβεστικού κρουνού, του οποίου η παροχή ελαττώνεται με σταθερό ρυθμό μέχρι που μηδενίζεται, όπως φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα. Το ύψος της στήλης του νερού που αποθηκεύεται τελικά στη δεξαμενή είναι ίσο με: ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

169 α. 1 m β. 5 m γ.,5 m Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε..9. Σ ένα οριζόντιο σωλήνα μεταβλητής διατομής, όπως φαίνεται στο σχήμα, ρέει νερό που θεωρείται ιδανικό ρευστό. Η διάμετρος της διατομής του σωλήνα στις περιοχές (1), () και (3) είναι δ 1, δ και δ 3 αντίστοιχα, με δ 1 = 5δ και δ 3 = 3δ. Αν υ 1 και υ 3 είναι το μέτρο της ταχύτητας ροής του νερού στις περιοχές (1) και (3) αντίστοιχα, τότε ισχύει: α. υ 1 υ 3 = 3 5 β. υ 1 υ 3 = 5 3 γ. υ 1 υ 3 = 9 5 Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε..10. Βρύση σταθερής παροχής Π1 τροφοδοτεί ανοιχτό κυλινδρικό δοχείο το οποίο περιέχει νερό. Η βάση του δοχείου έχει εμβαδόν Α και φέρει στόμιο. Η παροχή μέσω του στομίου τη χρονική στιγμή t είναι Π, με Π > Π1. Ο ρυθμός ελάττωσης του ύψους της ελεύθερης επιφάνειας του νερού την παραπάνω χρονική στιγμή είναι: α. dh = Π Π 1 dt Α β. dh = Π Π 1 dt Α γ. dh = Π Π 1 dt Α Ε..11. Κρατάμε ένα λάστιχο σε οριζόντια θέση, σε ύψος h πάνω από έδαφος, στο εσωτερικό του οποίου ρέει νερό με σταθερή παροχή. Το νερό εξέρχεται από το λάστιχο και πέφτει στο έδαφος σε οριζόντια απόσταση d από την άκρη του λάστιχου (βεληνεκές). Αν κλείσουμε με το δάχτυλό μας την άκρη του λάστιχου, μειώνοντας έτσι στο μισό το εμβαδόν του ανοίγματός της, τότε το νερό θα πέφτει στο έδαφος σε οριζόντια απόσταση ίση με: ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

170 α. d β. d γ. d Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α..1. Οι καταρράκτες του Νιαγάρα έχουν παροχή Π Ν = 8000 m 3 /s. Να υπολογίσετε: α. Τον όγκο και τη μάζα του νερού που ρέει από τους καταρράκτες σε χρονικό διάστημα Δt = 0,5 h. β. Το χρονικό διάστημα που απαιτείται προκειμένου οι καταρράκτες να γεμίσουν πλήρως μια λίμνη χωρητικότητας όσο η λίμνη Παμβώτιδα των Ιωαννίνων. Η πυκνότητα του νερού είναι ρ = kg/m 3 και η χωρητικότητα της λίμνης Παμβώτιδας είναι V Π = m 3. Απ. α) V = m 3 M = kg β) Δt = 3,15 h Α... Η παροχή ενός ευθύγραμμου σωλήνα σταθερής τετράγωνης διατομής, που μεταφέρει ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ = 800 kg 3, είναι σταθερή και ισούται με Π = 300 L min, ενώ η σταθερή ταχύτητα με την οποία κινείται το ρευστό στο σωλήνα ισούται με 0,5 m/s. Να υπολογίσετε: α. την πλευρά της τετράγωνης διατομής του σωλήνα, β. το χρόνο που απαιτείται, ώστε να περάσουν από μια διατομή του σωλήνα 10 kg του ρευστού. Απ. α) α = 10 3 m β) Δt =,55 m ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

171 Α..3. Σε μια διάταξη τριών οριζόντιων αγωγών (1), () και (3) ρέει στρωτά νερό. Ο αγωγός () φέρει Ν = 0 όμοιες οπές εμβαδού Α 0 = 6 mm η καθεμία από τις οποίες εκρέει το νερό. Το μέτρο της ταχύτητας ροής του νερού στους αγωγούς (1) και (3) είναι υ 1 = 4 m/s και υ 3 = 5 m/s αντίστοιχα. Τα εμβαδά των εγκάρσιων διατομών των αγωγών (1) και (3) είναι Α 1 = 8 cm και Α 3 = 4 cm, αντίστοιχα. Η ροή του νερού στους αγωγούς της διάταξης απεικονίζονται στο παραπάνω σχήμα. Να υπολογίσετε: α. Την παροχή του νερού στους αγωγούς (1) και (3). β. Το μέτρο της ταχύτητας εκροής του νερού από τις οπές του αγωγού (). Απ. α) Π = 0 L/S β) Ρ μ = 0, kg/m 3 Α..4. Κυλινδρικός αγωγός σταθερού εμβαδού διατομής Α = 00 cm μεταφέρει νερό που γεμίζει ένα δοχείο. Από μια διατομή του αγωγού περνούν 0,5 L νερού κάθε δευτερόλεπτο. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας του νερού στο σωλήνα, β. την αύξηση της μάζας του νερού στο δοχείο σε χρονική διάρκεια 4 s. Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ = 1000 kg m 3. Να θεωρήσετε ότι το νερό συμπεριφέρεται ως ιδανικό ρευστό. Απ. α) υ =,5 10 m/s β) Δ m = kg Α..5. Σ ένα υδροηλεκτρικό εργοστάσιο το νερό, το οποίο θεωρείται ιδανικό ρευστό, ρέει από το φράγμα και πέφτει σ έναν υδροστρόβιλο που βρίσκεται 60 m χαμηλότερα. Ο ρυθμός ροής όγκου του νερού είναι ίσος με 15 m 3 /min. Να υπολογίσετε το ρυθμό με τον οποίο το νερό μεταφέρει ενέργεια στον υδροστρόβιλο, θεωρώντας αμελητέες τις κάθε είδους τριβές. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

172 Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s και η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg m 3. Απ. Ρ = 15*10 4 Ν Α..6. Η σταθερή παροχή μιας βρύσης είναι Π = 0, L/s. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 ανοίγουμε τη βρύση και το νερό που αρχίζει να εκρέει από αυτήν γεμίζει άδειο κυλινδρικό δοχείο με εμβαδόν βάσης Α = 0,4 m και ύψος H = 0, m. Να υπολογίσετε: α. Το χρόνο που απαιτείται προκειμένου να γεμίσει πλήρως το δοχείο. β. Τη χρονική στιγμή t1 κατά την οποία στο δοχείο έχει καταλήξει νερό μάζας m 1 = 60 kg. γ. Την υδροστατική πίεση στον πυθμένα του δοχείου τη χρονική στιγμή t = 100 s. Η πυκνότητα του νερού είναι ρ = kg/m 3 και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g = 10 m/s. Απ. α) Δ t = 400 s β) t 1 = 300 s γ) ρ = 500 Pa Α..7. Ο σωλήνας του διπλανού σχήματος έχει εμβαδόν διατομής A 1 = 40 cm στο σημείο Β και εμβαδόν διατομής Α = 5 cm στο σημείο Γ. Ο σωλήνας διαρρέεται από ιδανικό υγρό πυκνότητας ρ = 1000 kg m3. Από τη διατομή του σωλήνα στο σημείο Γ διέρχονται 0,5 kg υγρού το δευτερόλεπτο. Να υπολογίσετε: α. την παροχή του σωλήνα στο σημείο Γ, β. το μέτρο της ταχύτητας του υγρού στα σημεία Β και Γ. Απ. α) Π = m 3 /s β) U B = 0,15 m/s, U Γ = 0,5 m/s Α..8. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

173 Ένα λάστιχο ποτίσματος έχει εσωτερική διάμετρο cm και καταλήγει σε ποτιστήρι, το οποίο έχει 30 τρύπες με διάμετρο διατομής 0,1 cm η καθεμία. Αν το νερό μέσα στο λάστιχο ρέει με ταχύτητα 1 m/s, να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας του νερού καθώς εξέρχεται από τις τρύπες του ποτιστηριού, β. τον όγκο του νερού που εξέρχεται από κάθε τρύπα σε χρόνο ίσο με 1 min. Απ. α) U 1 = 40 3 m/s β) Δ v = m Α..9. Ανοιγοκλείνοντας τη βάνα μιας βρύσης, μεταβάλουμε την παροχή της Π σε συνάρτηση με το χρόνο t, όπως απεικονίζεται στο διάγραμμα του διπλανού σχήματος. Να υπολογίσετε: α. Τον όγκο Vολ. του νερού που έχει εκρεύσει από τη βρύση από τη χρονική στιγμή t0 = 0 έως τη χρονική στιγμή t1 = 5 s. β. Τη χρονική στιγμή t κατά την οποία έχει εκρεύσει από τη βρύση νερό όγκου V = 60 m3. γ. Τη σταθερή παροχή που θα έπρεπε να έχει η βρύση, ώστε στο χρονικό διάστημα Δt = t t0 να εκρέει από αυτήν νερό όγκου Vολ. Απ. α) Vολ =80 m 3, β) t = 4 s γ) Π =16 m 3 /s. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

174 Α..10. Ο σωλήνας του διπλανού σχήματος έχει εμβαδόν διατομής Α 1 = 0 cm στην περιοχή (1), ενώ το ρευστό εισέρχεται από την περιοχή αυτή με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 0,4 m/s. Η παροχή στην περιοχή (3) ισούται με 10 4 m3 s, ενώ από την περιοχή (4) εξέρχονται 0,3 L ρευστού κάθε δευτερόλεπτο. Αν το εμβαδόν διατομής της περιοχής () του σωλήνα ισούται με Α = 30 cm, να υπολογίσετε: α. την παροχή του σωλήνα στην περιοχή (), β. το μέτρο και την κατεύθυνση της ταχύτητας του ρευστού στην περιοχή (). Να θεωρήσετε ότι το ρευστό είναι ιδανικό. Απ. α) Π = m 3 /s β) U = 0,1 m/s εξέρχονται από το σωλήνα. Α..11. Ένα οριζόντιο λάστιχο με διάμετρο διατομής cm είναι συνδεδεμένο με βρύση σταθερής παροχής και βρίσκεται σε ύψος h = 1,8 m πάνω από το έδαφος. Στο εσωτερικό του λάστιχου ρέει νερό, το οποίο εξέρχεται από αυτό και πέφτει στο έδαφος σε οριζόντια απόσταση d = h από την άκρη του. α. Να υπολογίσετε την παροχή της βρύσης. β. Αν κλείσουμε με το δάχτυλό μας την άκρη του λάστιχου μειώνοντας έτσι στο μισό το εμβαδόν διατομής του, να υπολογίσετε σε πόση οριζόντια απόσταση από την άκρη του λάστιχου θα συναντά τώρα η φλέβα του νερού το έδαφος. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s. Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό και την αντίσταση του αέρα αμελητέα. Απ. α) Π = 3π 10 4 m 3 /s β) Χ 1 = 3,6 m Α..1. Νερό ρέει στρωτά σε σωλήνα μεταβλητής διατομής. Η ακτίνα του σωλήνα στο πλατύ τμήμα του είναι r 1 = 10 cm, ενώ στο στενό τμήμα του είναι r. Από μια ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

175 εγκάρσια διατομή στο πλατύ τμήμα του σωλήνα διέρχονται 68 kg νερού σε χρονικό διάστημα Δ t = 40 s. Να υπολογίσετε: α. Το μέτρο υ 1 της ταχύτητας ροής στο πλατύ τμήμα του σωλήνα. Από μια εγκάρσια διατομή στο στενό τμήμα του σωλήνα το νερό διέρχεται με ταχύτητα μέτρου υ = 4υ 1. Να υπολογίσετε: β. Την ακτίνα r. γ. Το ρυθμό ροής μάζας του νερού από μια εγκάρσια διατομή του στενού τμήματος του σωλήνα. Η πυκνότητα του νερού είναι ρ = kg/m 3. Δίνεται για τις πράξεις: π =3,14. Απ. α) υ 1 = 0,5 m/s β) r = 5cm γ) Δ m Δ t = 15,7 kg/s Α..13. Με τη βοήθεια σωλήνα σταθερής εγκάρσιας διατομής διαμέτρου d = (30/ π)cm αντλείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ = 0,8 m/s το νερό μιας πισίνας. Η αντλία που χρησιμοποιείται ανεβάζει το νερό σε ύψος h = 0,4 m επάνω από την ελεύθερη επιφάνειά του. Να υπολογίσετε: α. Τη μάζα του νερού που αντλείται σε 10 min. β. Την ισχύ της αντλίας. Η πυκνότητα του νερού είναι ρ = kg/m 3 και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g = 10 m/s. Απ. α) m = 10,8 tn β) p = 77,76 W Ε.3.1. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

176 Ποσότητα νερού ρέει σε οριζόντιο σωλήνα, ο οποίος δεν έχει σταθερή διατομή και στον οποίο είναι προσαρμοσμένοι οι κατακόρυφοι σωλήνες Α, Β και Γ. Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό. Η στάθμη του νερού στους σωλήνες Α, Β και Γ έχει σχεδιαστεί σωστά στο: α. σχήμα (1) β. σχήμα () γ. σχήμα (3) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε.3.. Ποδηλάτισσα κινείται σε οριζόντιο δρόμο με πολύ μικρή ταχύτητα αντίθετα από τη φορά που ρέει ο αέρας, όπως απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα. Ο αέρας έχει πυκνότητα ρ, ρέει στρωτά και μακριά από την ποδηλάτισσα έχει ταχύτητα μέτρου υ. Εάν τα σημεία Α και Β βρίσκονται στο ίδιο ύψος επάνω από το έδαφος, η διαφορά πίεσης Δ p = p Β p Α, όπου p Α και p Β οι πιέσεις στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, ισούται με: α. Δ p = ρυ β. Δ p = 1 ρυ γ. Δ p = ρυ Ε.3.3. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα κομμάτι οριζόντιου σωλήνα, το πρώτο τμήμα του οποίου έχει εμβαδόν διατομής Α 1 και στενεύοντας καταλήγει σε δεύτερο τμήμα εμβαδού διατομής Α, όπου Α = Α 1 3. Στο σωλήνα έχουμε ροή ιδανικού ρευστού πυκνότητας ρ με σταθερή παροχή. Αν το ρευστό στο τμήμα (1) του σωλήνα ρέει με ταχύτητα μέτρου υ, τότε η διαφορά των πιέσεων p 1 και p στα τμήματα (1) και () του σωλήνα είναι: α. p 1 p = 4ρυ β. p 1 p = ρυ γ. p 1 p = 4ρυ Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

177 Ε.3.4. Κατακόρυφο ρεύμα αέρα ρέει με φορά προς τα επάνω γύρω από σφαίρα αμελητέας μάζας, όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Λόγω ασύμμετρης ροής, το μέτρο υ Α της ταχύτητας του αέρα στο σημείο Α είναι μεγαλύτερο από το μέτρο υ Β της ταχύτητας του αέρα στο σημείο Β. Τα δύο σημεία βρίσκονται στα άκρα της ίδιας οριζόντιας διαμέτρου της σφαίρας. Ο αέρας μακριά από τη σφαίρα έχει ταχύτητα μέτρου υ. Αγνοώντας τις τριβές, η διαφορά πίεσης Δ p = p A p B, όπου p A και p B οι πιέσεις στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, ισούται με: α. Δ p = 1 ρ (υ Β υ Α ) β. Δ p = 1 ρ [(υ Α+υ Β ) υ ] γ. Δ p = 1 ρ [υ ( υ Α υ Β ) ] Ε.3.5. Το τμήμα (1) του οριζόντιου σωλήνα που φαίνεται στο διπλανό σχήμα έχει σταθερό εμβαδόν διατομής Α 1, ενώ το τμήμα () έχει σταθερό εμβαδόν διατομής Α = Α 1. Στο σωλήνα ρέει ιδανικό ρευστό με παροχή ίση με Π. Στον οριζόντιο σωλήνα έχουμε προσαρμόσει δύο κατακόρυφους σωλήνες και η ελεύθερη στάθμη του ρευστού στους κατακόρυφους σωλήνες βρίσκεται σε ύψη h 1 και h, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, τα οποία θεωρούνται πολύ μεγαλύτερα από τις ακτίνες του οριζόντιου σωλήνα στις περιοχές (1) και (). α. Να αιτιολογήσετε γιατί η ελεύθερη στάθμη του ρευστού στους κατακόρυφους σωλήνες βρίσκεται σε διαφορετικό ύψος. β. Αν η παροχή του ρευστού μέσα στον ίδιο σωλήνα ήταν διπλάσια, τότε η διαφορά υψών h 1 h θα ήταν: i. ίση με την προηγούμενη ii. διπλάσια της προηγούμενης iii. τετραπλάσια της προηγούμενης. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

178 Ε.3.6. Ανοιχτό κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο εμβαδού βάσης Α περιέχει υγρό και φέρει στόμιο εμβαδού Α/9 από το οποίο εκρέει το υγρό. Τη χρονική στιγμή t 1 η στάθμη του υγρού βρίσκεται σε ύψος h επάνω από τη βάση του δοχείου και κινείται καθοδικά, όπως απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα. Το στόμιο βρίσκεται σε ύψος h/10 επάνω από τη βάση του δοχείου. Εάν το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g, τη χρονική στιγμή t 1 το μέτρο υ της ταχύτητας εκροής του υγρού είναι: α. υ = 1,5 gh β. υ = 1,35 gh γ. υ = 1,15 gh Ε.3.7. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται μια διάταξη που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της ταχύτητας ροής σ ένα σωλήνα (ροόμετρο Venturi). Στα σημεία (1) και () τα εμβαδά διατομής του σωλήνα είναι Α 1 και Α αντίστοιχα και έχουν λόγο Α 1 Α =. Το υγρό είναι ιδανικό. Αν η υψομετρική διαφορά της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού στους κατακόρυφους σωλήνες Β και Γ είναι ίση με h και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g, τότε η ταχύτητα ροής του υγρού στην περιοχή () είναι ίση με: α. υ = gh β. υ = 8 3 gh γ. υ = 3 gh Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε.3.8. Στην πλευρική επιφάνεια κυλινδρικού δοχείου πολύ μεγάλης βάσης βρίσκονται Ν οπές εμβαδού Α 1 η καθεμία. Οι οπές βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους και σε ύψος h επάνω από τη βάση του δοχείου. Γεμίζουμε το δοχείο με υγρό και το τοποθετούμαι σε οριζόντιο ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

179 επίπεδο. Τη χρονική στιγμή κατά την οποία η συνολική παροχή υγρού μέσω των οπών είναι Π, η στάθμη του υγρού βρίσκεται σε ύψος h επάνω από τη βάση του δοχείου, όπως απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα. Εάν το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g, το πλήθος των οπών δίνεται από τη σχέση: α. Ν = Π gh A 1 gh β. Ν = Π gh A 1 γ. Ν = Π gh Α 1 gh Ε.3.9. Ανοιχτό κατακόρυφο δοχείο περιέχει υγρό και σε ύψος h επάνω από τον πυθμένα που βρίσκεται μικρή οπή. Στη βάση του δοχείου είναι προσαρμοσμένος λεπτός σωλήνας μήκους h. Όταν η στάθμη του υγρού βρίσκεται σε ύψος Η επάνω από τον πυθμένα του δοχείου, όπως απεικονίζεται στο προηγούμενο σχήμα, ο λόγος του μέτρου υ 1 της ταχύτητας εκροής του υγρού από το στόμιο του σωλήνα προς το μέτρο υ της ταχύτητας εκροής του υγρού από την οπή είναι: α. Η h β. H+h H h γ. 1 + H h Θεωρήστε την ταχύτητα με την οποία κατέρχεται η στάθμη του υγρού πολύ μικρότερη από την ταχύτητα με την οποία εξέρχεται το υγρό τόσο από το στόμιο του σωλήνα όσο και από την οπή. Ε Ένας σωλήνας σχήματος U περιέχει ιδανικό υγρό, το οποίο αρχικά ισορροπεί και η ελεύθερη επιφάνειά του βρίσκεται στο ίδιο ύψος και στα δύο σκέλη του σωλήνα, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Με ένα «πιστολάκι» μαλλιών διοχετεύουμε οριζόντιο ρεύμα αέρα, το οποίο διέρχεται εφαπτομενικά από το άκρο του αριστερού σκέλους του σωλήνα. Η στάθμη του υγρού στο αριστερό σκέλος του σωλήνα βρίσκεται τώρα: α. χαμηλότερα από τη στάθμη του υγρού στο δεξιό σκέλος. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

180 β. ψηλότερα από τη στάθμη του υγρού στο δεξιό σκέλος. γ. στο ίδιο ύψος με τη στάθμη του υγρού στο δεξιό σκέλος. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε Σ ένα οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατομής έχουμε προσαρμόσει δύο κατακόρυφους σωλήνες (Ι) και (ΙΙ). Στον οριζόντιο σωλήνα ρέει με σταθερή παροχή νερό, το οποίο θεωρείται ιδανικό ρευστό. Ο σωλήνας (ΙΙ) έχει το ένα άκρο του στραμμένο κατά 90 ο, ώστε το άνοιγμά του να βρίσκεται στη φορά της ροής. Σε ποιο από τα επόμενα σχήματα έχει σχεδιαστεί σωστά το ύψος της στήλης του νερού στους δύο κατακόρυφους σωλήνες; α. Στο σχήμα (1). β. Στο σχήμα (). γ. Στο σχήμα (3). Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε.3.1. Μια ποσότητα νερού, το οποίο θεωρείται ιδανικό ρευστό, περιέχεται στο ανοιχτό κυλινδρικό δοχείο του διπλανού σχήματος και η ελεύθερη επιφάνειά του βρίσκεται σε ύψος h. Στη βάση του δοχείου υπάρχει στόμιο εκροής εμβαδού διατομής Α, το οποίο είναι μικρό σε σχέση με το εμβαδόν της βάσης του δοχείου. α. Η παροχή του νερού μέσω του στομίου είναι ίση με: ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

181 i. A gh ii. gha iii. gh Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. β. Αν τοποθετήσουμε στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού ένα έμβολο και ασκήσουμε σε αυτό κατακόρυφη δύναμη F, τότε η παροχή νερού μέσω του στόμιου, σε σχέση με αυτή χωρίς το έμβολο, είναι: i. μικρότερη ii. μεγαλύτερη iii. ίση Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε Στο οριζόντιο ροόμετρο Ventouri, το οποίο απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα, ρέει στρωτά υγρό. Για τις διατομές Α 1 και Α του ροόμετρου ισχύει η σχέση Α 1 = Α = Α. Η υψομετρική διαφορά της στάθμης του υγρού στους δύο κατακόρυφους σωλήνες που είναι προσαρμοσμένοι στο ροόμετρο είναι h. Αν το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g, η παροχή Π του υγρού στο ροόμετρο είναι: α. Π = Α gh 3 β. Π = Α gh 3 γ. Π = Α gh 3 Ε Μια σύριγγα είναι οριζόντια και περιέχει φαρμακευτικό ορό πυκνότητας ρ, που θεωρείται ιδανικό ρευστό. Η σύριγγα αποτελείται από έναν κύλινδρο εμβαδού διατομής Α 1, μέσα στον οποίο κινείται χωρίς τριβές εφαρμοστό έμβολο. Ο κύλινδρος καταλήγει σε ακροφύσιο μικρότερης διατομής Α, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν στο έμβολο ασκούμε οριζόντια σταθερή δύναμη F, τότε ο ορός εξέρχεται από το ακροφύσιο με σταθερή ταχύτητα εκροής μέτρου υ. Αν διπλασιάσουμε το μέτρο της δύναμης που ασκούμε στο έμβολο, τότε το μέτρο της ταχύτητας εκροής του ορού από το ακροφύσιο ισούται με: α. υ β. υ γ. 4υ ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

182 Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε Στο διπλανό σχήμα φαίνονται δύο κυλινδρικά δοχεία (Ι) και (ΙΙ), οι βάσεις των οποίων είναι κυκλικοί δίσκοι με ακτίνες r 1 = r και r = r αντίστοιχα. Στη βάση κάθε δοχείου υπάρχει στόμιο εκροής (βρυσάκι), όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, με ίδιο εμβαδόν διατομής και στα δύο δοχεία, το οποίο θεωρείται αμελητέο σε σχέση με το εμβαδόν της βάσης κάθε δοχείου. Σε κάθε δοχείο τοποθετούμε την ίδια ποσότητα από το ίδιο ιδανικό υγρό. Αν υ 1 και υ είναι η ταχύτητα εκροής του υγρού από τα στόμια των δοχείων (1) και () αντίστοιχα, τότε ισχύει: α. υ 1 = 4υ β. υ 1 = υ γ. υ 1 = υ Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε Στο οριζόντιο ροόμετρο Ventouri, το οποίο απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα, ρέει στρωτά αέριο πυκνότητας ρ α. Για τις διατομές Α 1 και Α του ροόμετρου ισχύει η σχέση Α 1 = Α. Στα σημεία α και β του ροόμετρου είναι προσαρμοσμένο μανόμετρο, το οποίο περιέχει ασυμπίεστο υγρό πυκνότητας ρ υ = 14,5ρ α. Η υψομετρική διαφορά της στάθμης του υγρού στους δύο κατακόρυφους σωλήνες του μανόμετρου είναι h. Εάν το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g, το μέτρο υ της ταχύτητας ροής του αερίου στην είσοδο του ροόμετρου είναι: α. υ = gh β. υ = 3 gh γ. υ = 4 gh Ε Ένα ανοιχτό κυλινδρικό δοχείο είναι τοποθετημένο στο έδαφος και περιέχει ιδανικό υγρό που η ελεύθερη επιφάνειά του βρίσκεται σε ύψος h πάνω από τη βάση του. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

183 Σε ένα σημείο του πλευρικού τοιχώματος υπάρχει οπή πολύ μικρής διατομής, η οποία αρχικά είναι κλειστή. Ανοίγοντας την οπή η φλέβα του υγρού που εξέρχεται από αυτήν πέφτει αρχικά στο έδαφος σ ένα σημείο που απέχει από τη βάση του δοχείου οριζόντια απόσταση ίση με h. Το ύψος h 1 της οπής από τη βάση του δοχείου είναι ίσο με: α. h β. h γ. h 3 Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε Ένα ανοιχτό δοχείο είναι τοποθετημένο στο έδαφος και περιέχει νερό, το οποίο θεωρείται ιδανικό ρευστό, μέχρι ύψος h πάνω από τη βάση του. Στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου και σε ύψος h 1 = 3h πάνω από τη βάση του 4 υπάρχει μια οπή εμβαδού διατομής Α, που είναι πολύ μικρότερο από το εμβαδόν της βάσης του δοχείου. Μια βρύση με σταθερή παροχή ρίχνει νερό στο δοχείο, οπότε διατηρείται σταθερό το ύψος της στήλης του νερού, όπως φαίνεται στο σχήμα. α. Η παροχή της βρύσης ισούται με: i. A gh ii. A 1 gh iii. A 3 gh Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. β. Το εμβαδόν διατομής της φλέβας του νερού που εξέρχεται από την οπή, τη χρονική στιγμή που μόλις η φλέβα φτάνει στο έδαφος, είναι ίσο με: i. A ii. 3A 4 iii. A Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

184 Δύο ανοιχτά δοχεία (1) και () μεγάλων διαστάσεων περιέχουν υγρά πυκνότητας ρ 1 και ρ αντίστοιχα. Ανοίγουμε από μια μικρή οπή στο πλευρικό τοίχωμα κάθε δοχείου στην ίδια απόσταση h κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Η οπή στο δοχείο (1) έχει τετραπλάσιο εμβαδόν από την οπή στο δοχείο (). Εάν από τις δύο οπές παρατηρείται εκροή μάζας με τον ίδιο ρυθμό, τότε ο λόγος των πυκνοτήτων των δύο υγρών είναι: α. ρ 1 ρ = 1 4 β. ρ 1 ρ = γ. ρ 1 ρ = 4 Ε.3.0. Ένα ανοιχτό κυλινδρικό δοχείο τοποθετημένο στο οριζόντιο έδαφος και περιέχει νερό, το οποίο θεωρείται ιδανικό ρευστό. Η ελεύθερη επιφάνεια του νερού φτάνει μέχρι το ύψος h πάνω από τη βάση του δοχείου. Στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου και στην ίδια κατακόρυφο υπάρχουν δύο πολύ μικρές τρύπες (1) και (), σε ύψη h 1 = h και h 4 = 3h αντίστοιχα από τη βάση του δοχείου, οι οποίες αρχικά είναι 4 κλειστές. Ανοίγοντας ταυτόχρονα τις τρύπες το νερό εξέρχεται από αυτές και οι φλέβες του νερού φτάνουν αρχικά σε σημεία του εδάφους που απέχουν μεταξύ τους οριζόντια απόσταση x 1 και x από τη βάση του δοχείου. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Για τις αποστάσεις x 1 και x ισχύει: α. x 1 = x β. x = 3x 1 γ. x = x 1 3 Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε.3.1. Συρμός Α του μετρό βρίσκεται ακινητοποιημένος στον σταθμό. Δεύτερος συρμός Β κινείται με μεγάλη ταχύτητα και διέρχεται δίπλα από το συρμό Α. Σύμφωνα με το νόμο του Bernoulli, κατά τη διέλευση του συρμού Β από το σταθμό οι δύο συρμοί: α. Έλκονται μεταξύ τους. β. Απωθούνται μεταξύ τους. γ. Δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Ε.3.. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

185 Σε δύο δοχεία (1) και (), που είναι τοποθετημένα στο οριζόντιο έδαφος και ανοιχτά στην πάνω βάση τους, ρίχνουμε δύο διαφορετικά ιδανικά υγρά μέχρι το ίδιο ύψος. Ανοίγουμε στα δοχεία (1) και () από μια πολύ μικρή οπή σε ύψος h 1 και h αντίστοιχα από το έδαφος με h 1 < h και αφήνουμε ταυτόχρονα τα υγρά από τα δύο δοχεία να εκρέουν από τις οπές. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Οι φλέβες των υγρών που εκρέουν από τα δοχεία (1) και () τη στιγμή που συναντούν για πρώτη φορά το έδαφος έχουν ταχύτητες μέτρου υ 1 και υ αντίστοιχα για τις οποίες ισχύει: α. υ 1 = υ β. υ 1 > υ γ. υ 1 < υ Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε.3.3. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται οι ρευματικές γραμμές του αέρα, πυκνότητας ρ, που φυσάει πάνω από την οριζόντια στέγη ενός σπιτιού, το οποίο είναι ερμητικά κλειστό. Αν η στέγη του σπιτιού έχει εμβαδόν Α και ο αέρας φυσάει πάνω από τη στέγη με ταχύτητα μέτρου υ, τότε το μέτρο της ανυψωτικής δύναμης που δέχεται η στέγη, λόγω της διαφοράς πίεσης μεταξύ του εσωτερικού του σπιτιού και των σημείων πάνω από τη στέγη όπου φυσάει ο αέρας, υπολογίζεται από τη σχέση: α. F = ρυ Α β. F = ρυ Α γ. F = 4ρυ Α Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Α.3.1. Σε έναν οριζόντιο αγωγό ρέει στρωτά νερό. Η παροχή νερού στον αγωγό είναι Π = πl/s. Η διάμετρος της εγκάρσιας διατομής του αγωγού σε ένα τμήμα του είναι d 1 = cm, ενώ σε άλλο τμήμα του είναι d = 1cm, όπως απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα. Να υπολογίσετε: α. Τα μέτρα υ 1 και υ της ταχύτητας ροής του νερού στα τμήματα διαμέτρων d 1 και d αντίστοιχα. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

186 β. Τη διαφορά πίεσης Δ p μεταξύ των σημείων Α και Β τα οποία βρίσκονται στα τμήματα διαμέτρων d 1 και d αντίστοιχα, και στην ίδια οριζόντια ρευματική γραμμή. Η πυκνότητα του νερού είναι ρ = 1000kg/m 3. Απ. α) υ = 40m/s β) Δ p = 7, Pa Εξίσωση Bernoulli Α.3.. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένας σωλήνας μεταβλητής διατομής που διαρρέεται από υγρό πυκνότητας ρ = 800 kg m3. Τα σημεία (1) και () που φαίνονται στο σχήμα βρίσκονται στην ίδια οριζόντια ρευματική γραμμή και η απόλυτη τιμή της διαφοράς πίεσης μεταξύ των σημείων αυτών ισούται με 000 Pa. Αν το μέτρο της ταχύτητας του υγρού στο σημείο () ισούται με 3m/s, να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του υγρού στο σημείο (1). Να θεωρήσετε στρωτή τη ροή και τις τριβές αμελητέες. Απ. υ 1 = m/s Α.3.3. Σε σωλήνα μεταβλητής ακτίνας ρέει στρωτά νερό. Η ακτίνα του σωλήνα σε ένα τμήμα του είναι r 1, ενώ σε δεύτερο τμήμα του είναι r =,5 π cm. Από μια εγκάρσια διατομή του σωλήνα ρέουν 500 kg νερού σε χρονικό διάστημα Δ t = 40 s. Στο τμήμα του σωλήνα ακτίνας r 1 το νερό ρέει με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 5 m/s. Να υπολογίσετε: α. Την παροχή νερού του σωλήνα. β. Το μέτρο υ της ταχύτητας του νερού στο τμήμα ακτίνας r του σωλήνα και την ακτίνα r 1. γ. Την απόλυτη τιμή της μεταβολής της κινητικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου του νερού μεταξύ των τμημάτων ακτίνας r 1 και r. Η πυκνότητα του νερού είναι ρ = kg/m 3. Δίνεται για τις πράξεις: π = 10. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

187 Απ. α) 1,5 10 m 3 /s β) υ = 10 m/s γ) Α.3.4. Ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ διαρρέει το σωλήνα του διπλανού σχήματος. Στο σημείο Β η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του ρευστού ισούται με 500 J m 3, το μέτρο της ταχύτητας του ρευστού στο ίδιο σημείο ισούται με υ Β = 0,5 m/s, ενώ η πίεση του ρευστού ισούται με p B = kpa. Να υπολογίσετε: α. την πυκνότητα του ρευστού, β. το άθροισμα της πίεσης και της κινητικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου του ρευστού για το σημείο Γ. Να θεωρήσετε ότι τα σημεία Β και Γ βρίσκονται στην ίδια οριζόντια ρευματική γραμμή. Απ. α) p = β) 500Pa Α.3.5. Στον αγωγό του ροόμετρου Ventouri, το οποίο απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα, ρέει στρωτά νερό. Οι κατακόρυφοι σωλήνες Α και Β είναι ανοιχτοί στο επάνω άκρο τους και είναι προσαρμοσμένοι στον αγωγό και σε μια στένωσή του, αντίστοιχα. Η διαφορά της στάθμης του νερού στους δύο σωλήνες είναι Δh = 0,m. Οι εγκάρσιες διατομές του αγωγού και της στένωσης έχουν εμβαδά Α 1 = 5 cm και Α αντίστοιχα. α. Να υπολογίσετε τη διαφορά πίεσης Δp μεταξύ των σημείων 1 και. β. Να γράψετε την εξίσωση της παροχής του αγωγού σε συνάρτηση με το εμβαδόν Α. Η πυκνότητα του νερού είναι ρ = kg/m 3 και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g = 10 m/s. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

188 Απ. α) 000 Pa β) π = 10 3 Α / Α Α.3.6. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένας κυλινδρικός σωλήνας, που έχει σταθερό εμβαδόν διατομής Α = 0 cm, στον οποίο κινείται ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ = 100 kg m3. Τα σημεία Β και Γ βρίσκονται στην ίδια ρευματική γραμμή και απέχουν μεταξύ τους κατακόρυφη απόσταση h = 4 m. Η παροχή του σωλήνα ισούται με m3 s. Να υπολογίσετε: α. την κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του ρευστού στα σημεία Β και Γ, β. τη διαφορά πίεσης p B p Γ μεταξύ των σημείων Β και Γ. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s. Απ. α) 1350 Α m 3 β) Pa Σε οριζόντιο αγωγό ρέει στρωτά νερό. Η διάμετρος της εγκάρσιας διατομής του αγωγού σε ένα τμήμα του είναι d 1 = 4 cm, ενώ σε άλλο τμήμα του είναι d = cm. Στο τμήμα διαμέτρου d 1 είναι προσαρμοσμένος κατακόρυφος σωλήνας, όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Η παροχή του αγωγού είναι Π = 0,4π L/s. Θεωρούμε σημεία 1 και στην ίδια οριζόντια ρευματική γραμμή τα οποία βρίσκονται στα τμήματα διαμέτρων d 1 και d αντίστοιχα. Στο σημείο η πίεση είναι p = Pa. Να υπολογίσετε: α. Την πίεση p 1 στο σημείο 1. β. Το ύψος h του νερού μέσα στο σωλήνα. Η πυκνότητα του νερού είναι p = 1 g/cm 3, το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g = 10 m/s και η ατμοσφαιρική πίεση είναι p ατ. = Pa. Απ. α) Pa β) 0,98 m ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

189 Α.3.8. Ο σωλήνας του διπλανού σχήματος χρησιμοποιείται για τη μεταφορά ιδανικού ρευστού πυκνότητας ρ = 1000 kg m3. Κατά μήκος της ρευματικής γραμμής που φαίνεται στο σχήμα και στη διαδρομή από το σημείο Β στο σημείο Γ, η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του ρευστού μειώνεται κατά Pa. Να υπολογίσετε: J m 3, ενώ η πίεση μειώνεται κατά α. τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου του ρευστού για τη διαδρομή από το σημείο Β στο σημείο Γ, β. την υψομετρική διαφορά h των σημείων Β και Γ. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s. Απ. α) 100 Pa β) 0,1 m Α.3.9. Στον αγωγό του ροόμετρου Ventouri, το οποίο απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα, ρέει στρωτά νερό. Οι κατακόρυφοι σωλήνες Α και Β είναι ανοιχτοί στο επάνω άκρο τους και είναι προσαρμοσμένοι στον αγωγό και σε μια στένωσή του αντίστοιχα. Η διαφορά της στάθμης του νερού στους δύο σωλήνες είναι Δh. Η εγκάρσια διατομή του αγωγού έχει εμβαδόν Α 1 = 10 cm και η παροχή νερού σε αυτόν είναι Π = 5 L/s. Να υπολογίσετε: α. Το μέτρο υ 1 της ταχύτητας ροής του νερού στον αγωγό. β. Την υψομετρική διαφορά Δh. Το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g = 10 m/s. Απ. α) υ 1 = 5m/s β) Δh = 1,5 m ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

190 Α Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα ροόμετρο Ventouri, το οποίο είναι μια διάταξη για τη μέτρηση της ταχύτητας ροής του ιδανικού ρευστού που διαρρέει ένα σωλήνα. Τα σημεία (1) και () βρίσκονται στην ίδια οριζόντια ρευματική γραμμή και η υψομετρική διαφορά στη στάθμη των δύο κατακόρυφων ανοιχτών σωλήνων (Ι) και (ΙΙ) είναι h = 1 cm. Αν η διαφορά των ταχυτήτων του ρευστού μεταξύ των σημείων (1) και () ισούται με 1, m/s, να υπολογίσετε την ταχύτητα του ρευστού στα σημεία (1) και (). Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s. Απ. υ 1 = 0,4 m/s, υ = 1,6 m/s. Α Ο κεντρικός αγωγός υγρού στο ροόμετρο Ventouri έχει διάμετρο d 1 = 15cm και στένωση με διάμετρο d = 10cm. Οι κατακόρυφοι σωλήνες Α και Β είναι ανοιχτοί στο επάνω άκρο τους και συνδέονται με τον αγωγό και τη στένωση αντίστοιχα. Η διαφορά πίεσης Δp μεταξύ των σημείων 1 και (βλ. διπλανό σχήμα) είναι Δp = 650 Pa. Να υπολογίσετε: α. Τη διαφορά Δh της στάθμης του υγρού στους δύο σωλήνες. β. Τα μέτρα υ 1 και υ της ταχύτητας ροής του υγρού στον αγωγό και στη στένωση αντίστοιχα. Η πυκνότητα του υγρού είναι ρ = 10 3 kg/m 3 Απ. α) Δh = 3,5cm β) υ 1 = 0,4m/s υ = 0,9 m/s Α.3.1. Από μια βρύση που έχει εσωτερική διάμετρο διατομής ίση με cm εξέρχεται νερό (που θεωρείται ιδανικό ρευστό) δημιουργώντας μια κατακόρυφη φλέβα. Το μέτρο της ταχύτητας του νερού τη στιγμή που εξέρχεται από τη βρύση είναι ίσο με 0,8 m/s. Σε απόσταση h κάτω από τη βρύση η ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

191 διάμετρος διατομής της φλέβας του νερού έχει υποδιπλασιαστεί σε σχέση με την αρχική. Να υπολογίσετε: α. την παροχή της βρύσης β. την απόσταση h. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s Απ. α) 8π 10 5 m 3 /s β) 0,48m Α Σε οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατομής ρέει στρωτά νερό. Ο σωλήνας καταλήγει σε κατακόρυφο τμήμα από το οποίο εκρέει το νερό σχηματίζοντας πίδακα, όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Ο πίδακας φθάνει σε ύψος h = 7,cm απάνω από το στόμιο του κατακόρυφου τμήματος. Εάν η ακτίνα του σωλήνα στο κατακόρυφο τμήμα είναι r = π cm, να υπολογίσετε: α. Το μέτρο της ταχύτητας εκροής του νερού, β. Την παροχή του σωλήνα, γ. Το ύψος h όπου θα έφθανε ο πίδακας, εάν το εμβαδόν διατομής του κατακόρυφου τμήματος του σωλήνα ελαττωνόταν κατά 50%. Το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g = 10m/s. Δίνεται για τις πράξεις: π = 10. Απ. α) υ = 1,m/s β) π = 1, 10 3 m 3 /s γ) h = 8,8cm Α Σ ένα αρδευτικό κανάλι κινείται νερό με σταθερή ταχύτητα υ. Για να μετρήσουμε το μέτρο της ταχύτητας του νερού στο κανάλι, χρησιμοποιούμε τον κατακόρυφο σωλήνα του διπλανού σχήματος, που τον βυθίζουμε στο νερό έχοντας στραμμένο το ένα άκρο του κατά 90 ο, ώστε το άνοιγμά του να βρίσκεται αντίθετα από την κατεύθυνση της ροής του ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

192 νερού. Αν το ύψος που ανεβαίνει το νερό στον κατακόρυφο σωλήνα είναι H = 0, m πάνω από την ελεύθερη επιφάνεια του αρδευτικού καναλιού, να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας υ. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s. Να θεωρήσετε αμελητέες τις κάθε είδους τριβές, και τη ροή του νερού στρωτή. Απ. υ = m/s Α Διαμέσου αγωγού κυλινδρικού σχήματος ρέει νερό από το ισόγειο προς την ταράτσα κτηρίου ύψους Η = 0 m. Το εμβαδόν της εγκάρσιας διατομής του αγωγού στα στόμια εισροής και εκροής του νερού είναι Α 1 και Α αντίστοιχα, με Α = Α 1 /. Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία εκρέει το νερό από τον αγωγό είναι V = 10 m/s. α. Να υπολογίσετε το μέτρο υ της ταχύτητας με την οποία εισέρχεται το νερό στον αγωγό. β. Να υπολογίσετε την πίεση p 1 στο στόμιο εισροής του νερού στον αγωγό. γ. Εάν υποδιπλασιάσουμε την παροχή του αγωγού στο στόμιο εισροής του νερού, να υπολογίσετε το ποσοστό μεταβολής της πίεσης στο στόμιο αυτό. Η πυκνότητα του νερού είναι ρ = kg/m 3 και η ατμοσφαιρική πίεση είναι P ατ. = P a. Απ. α) 5 m/s β) 3, P a γ) 5 3 % Α Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα πλαστικό δοχείο που περιέχει νερό σε ύψος h = 0,4 m από τη βάση του. Ανοίγουμε μια τρύπα σε σημείο Ζ του πλευρικού τοιχώματος, που βρίσκεται σε ύψος h 1 = 0, m από τη βάση του δοχείου, και παρατηρούμε ότι ο πίδακας νερού που δημιουργείται πέφτει στο έδαφος σε αρχική οριζόντια απόσταση s από τη βάση του δοχείου. Να υπολογίσετε την οριζόντια απόσταση s. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

193 Δίνεται: η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s. Να θεωρήσετε αμελητέες τις κάθε είδους τριβές, τη ροή του νερού στρωτή και ότι το εμβαδόν της τρύπας είναι πολύ μικρότερο από το εμβαδόν της ελεύθερης επιφάνειας του νερού. Απ. s = 0,4 m. Α Σε έναν οριζόντιο αγωγό ρέει στρωτά νερό. Η διάμετρος της εγκάρσιας διατομής του αγωγού σε ένα τμήμα του είναι d 1 = cm, ενώ σε άλλο τμήμα του είναι d = 1 cm, όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Οι πιέσεις στα σημεία 1 και της οριζόντιας ρευματικής γραμμής στα τμήματα διαμέτρων d 1 και d είναι p 1 = 1, Pa και p = 0, Pa, αντίστοιχα. Να υπολογίσετε: α. Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου στοιχειωδών μαζών του νερού οι οποίες κινούνται μεταξύ των σημείων 1 και. β. Την παροχή νερού του αγωγού. Η πυκνότητα του νερού είναι ρ = 1 g/cm 3. Απ. α) 400 Pa β) Fa = N Α Σ ένα κυλινδρικό κλειστό δοχείο περιέχεται νερό, η επιφάνεια του οποίου βρίσκεται σε ύψος h = 0,45 m πάνω από τη βάση του δοχείου. Το χώρο πάνω από την επιφάνεια του νερού τον γεμίζει αέριο πίεσης 1, p atm, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στη βάση του δοχείου υπάρχει τάπα, η οποία κλείνει τρύπα εμβαδού A 1 = cm. Αν κάποια στιγμή βγάλουμε την τάπα, να υπολογίσετε την αρχική παροχή της φλέβας του νερού που εξέρχεται από την τρύπα. Δίνονται: η πυκνότητα του νερού ρ = 1000 kg m3, η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s και η ατμοσφαιρική πίεση p atm = 10 5 Pa. Να θεωρήσετε αμελητέες τις ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

194 κάθε είδους τριβές και τη ροή του νερού στρωτή, ενώ το εμβαδόν της τρύπας είναι πολύ μικρότερο από το εμβαδόν της βάσης του δοχείου. Απ. π = m /s Α Ανοιχτό κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο εμβαδού βάσης Α 1 = 41 cm περιέχει νερό και ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο. Στην πλευρική επιφάνεια του δοχείου και σε ύψος h = 16,81 cm επάνω από τον πυθμένα βρίσκεται στόμιο εμβαδού Α = 9 cm από το οποίο εκρέει το νερό, όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Τη χρονική στιγμή t 1 κατά την οποία η στάθμη του νερού βρίσκεται σε ύψος Η = 9,61 cm επάνω από τη βάση του δοχείου να υπολογίσετε: α. Το μέτρο της ταχύτητας εκροής του νερού από το στόμιο. β. Την απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής του ύψους της στάθμης του νερού. γ. Το εμβαδόν της εγκάρσιας διατομής της φλέβας του νερού τη χρονική στιγμή κατά την οποία η φλέβα φθάνει στο οριζόντιο δάπεδο. Δίνεται το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g = 10 m/s. Απ. α) υ = 1,64 m/s β) 0,36 m/s γ) υ =,46 m/s A 3 = 6 cm Α.3.0. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα δοχείο, το οποίο γεμίζουμε με ιδανικό υγρό πυκνότητας ρ = 100 kg χρησιμοποιώντας τη m3 μέθοδο του συφωνισμού. Το υγρό αρχικά βρίσκεται σε ανοιχτή δεξαμενή μεγάλης χωρητικότητας και η ελεύθερη επιφάνειά του βρίσκεται σε ύψος h 1 = 0,5 m από τη βάση της δεξαμενής. Για τη μεταφορά του υγρού από τη δεξαμενή στο δοχείο χρησιμοποιούμε λάστιχο με εμβαδόν διατομής Α = 4 cm, σταθερό σε όλο το μήκος του, το ένα άκρο του ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

195 οποίου βρίσκεται μέσα στο υγρό της δεξαμενής, ενώ το άλλο του άκρο απέχει από τη βάση της δεξαμενής κατακόρυφη απόσταση h = 0,3 m. Να υπολογίσετε: α. την παροχή του λάστιχου, θεωρώντας αμελητέα την πτώση της στάθμης του υγρού στη δεξαμενή, β. την πίεση του υγρού σε σημείο Ζ του λάστιχου που βρίσκεται στο ίδιο ύψος με τη βάση της δεξαμενής. Δίνεται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s, καθώς και η ατμοσφαιρική πίεση p atm = 10 5 N m. Να θεωρήσετε αμελητέα την αντίσταση του αέρα. Απ. α) π = m 3 /s β) P = P a Α.3.1. Κυλινδρικό κατακόρυφο δοχείο ύψους h 1 = 0,1 m και εμβαδού βάσης Α = 50 cm είναι γεμάτο με νερό και φράσσεται υδατοστεγώς με έμβολο, το οποίο μπορεί να κινείται κατακόρυφα χωρίς τριβές. Στη βάση της πλευρικής επιφάνειας του δοχείου έχει προσαρμοστεί σωλήνας σταθερής, πολύ μικρής διατομής. Το κατακόρυφο τμήμα του σωλήνα έχει ύψος h = 0,5 m. Ασκώντας κατακόρυφη δύναμη F στο έμβολο, το νερό αρχίζει να εκρέει από το σωλήνα και φθάνει σε ύψος h = 0, m, όπως απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα. Να υπολογίσετε: α. Το μέτρο της ταχύτητας εκροής του νερού από το σωλήνα. β. Το μέτρο της δύναμης F. γ. Την πίεση στο οριζόντιο τμήμα του σωλήνα. Η πυκνότητα του νερού είναι ρ = kg/m 3, η ατμοσφαιρική πίεση είναι p ατ. = Pa και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g = 10 m/s Απ. α) m/s β) 30 N γ) 1, Pa Α.3.. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

196 Κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας ο αέρας πυκνότητας ρ = 1, kg φυσάει πάνω από τη στέγη ενός σπιτιού με m3 ταχύτητα μέτρου υ και οι ρευματικές γραμμές του αέρα πυκνώνουν, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το σπίτι είναι ερμητικά κλειστό και η στέγη του θεωρείται επίπεδη με εμβαδόν Α = 100 m. Αν η δύναμη που δέχεται η στέγη του σπιτιού, εξαιτίας της διαφοράς πίεσης μεταξύ των σημείων ελάχιστα κάτω και ελάχιστα πάνω από τη στέγη, ισούται με 54 kn, να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του ανέμου. Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση p atm = 10 5 N m. Να θεωρήσετε τη ροή του ανέμου στρωτή. Απ. υ = 30 m/s Α.3.3. Το δοχείο που απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα περιέχει νερό και ηρεμεί σε οριζόντια επιφάνεια. Η στάθμη του νερού βρίσκεται σε ύψος Η = 5 cm επάνω από τον πυθμένα του δοχείου. Στην πλευρική επιφάνεια και σε ύψος h = 0 cm επάνω από τη βάση του δοχείου υπάρχει οπή αμελητέων διαστάσεων. Να υπολογίσετε: α. Το μέτρο υ της ταχύτητας με την οποία εκρέει το νερό από την οπή. β. Το βεληνεκές s της φλέβας του εκρεόμενου νερού. γ. Το ύψος h από τη βάση του δοχείου στο οποίο θα έπρεπε να βρίσκεται η οπή, ώστε η φλέβα νερού που εκρέει από αυτήν να έχει το μέγιστο βεληνεκές. Το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g = 10 m/s Απ. α) υ = 1 m/s β) s = 0, m γ) 1,5 cm Α.3.4. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα έμβολο το οποίο κινείται σπρώχνοντας αέρα σ έναν κύλινδρο. Ο αέρας διέρχεται από ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

197 μια μικρή οπή του κυλίνδρου εξέρχεται με ταχύτητα υ. Στο σημείο εξόδου Ζ του αέρα από τον κύλινδρο υπάρχει το ένα άκρο ενός λεπτού ακλόνητου σωλήνα, το άλλο άκρο του οποίου καταλήγει σε δοχείο με νερό. Η απόσταση του σημείου Ζ και της ελεύθερης επιφάνειας του νερού στο δοχείο ισούται με h = 0, m. Να υπολογίσετε την ελάχιστη ταχύτητα με την οποία πρέπει να εξέρχεται ο αέρας από την οπή, ώστε το νερό να εξέρχεται από το λεπτό σωλήνα. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s, η πυκνότητα του νερού ρ ν = 1000 kg και η πυκνότητα του αέρα ρ m 3 α = 1,5 kg m3. Να θεωρήσετε αμελητέες τις τριβές του νερού με το λεπτό σωλήνα. Απ. υ = 405 m/s Α.3.5. Δοχείο κυλινδρικού σχήματος είναι γεμάτο με νερό. Με το σωλήνα σταθερής διατομής S = 5 cm του διπλανού σχήματος αφαιρούμε νερό από το δοχείο. Αρχικά ο σωλήνας είναι γεμάτος με νερό και κρατάμε τα άκρα του Α και Γ κλειστά. Το άκρο Α του σωλήνα βυθίζεται κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού, ενώ το άκρο Γ του σωλήνα είναι εκτός δοχείου και σε απόσταση h = 45 cm κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού. Το υψηλότερο σημείο του σωλήνα βρίσκεται σε ύψος L = 15 cm επάνω από τη στάθμη του νερού. Να υπολογίσετε: α. Την ωριαία παροχή νερού από το άκρο Γ του σωλήνα. β. Την ελάχιστη τιμή της πίεσης του νερού μέσα στο σωλήνα. Θεωρήστε την ταχύτητα με την οποία κατέρχεται η στάθμη του νερού πολύ μικρότερη από την ταχύτητα με την οποία εξέρχεται το νερό από το άκρο Γ του σωλήνα. Η πυκνότητα του νερού και η ατμοσφαιρική πίεση είναι ρ = kg/m 3 και p ατ. = Pa, αντίστοιχα. Δίνεται το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g = 10 m/s. Απ. α) 5,4 m 3 /h β) Pa ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

198 Θέματα πολλαπλής επιλογής με αιτιολόγηση Σε κάθε ερώτηση από τα θέματα που ακολουθούν να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε.4.1. Μεταλλική πλάκα εμβαδού Α βρίσκεται επάνω σε οριζόντιο δάπεδο. Η πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ με τη βοήθεια σταθερής δύναμης F. Μεταξύ του δαπέδου και της πλάκας παρεμβάλλεται λεπτό στρώμα λιπαντικής ουσίας πάχους L, η οποία συμπεριφέρεται ως νευτώνειο ρευστό με συντελεστή ιξώδους n. Εάν το πάχος της λιπαντικής ουσίας γίνει L/, το μέτρο της οριζόντιας δύναμης που πρέπει να ασκείται στην πλάκα, προκειμένου αυτή να κινείται με ταχύτητα μέτρου υ είναι: α. F = 4F β. F = F γ. F = F 4 Ε.4.. Διαθέτουμε δύο γυάλινες οριζόντιες πλάκες εμβαδού Α, με την κάτω πλάκα ακλόνητα στερεωμένη. Μεταξύ τους απλώνουμε στρώμα νευτώνειου ρευστού πάχους l. Για να μετακινούμε οριζόντια με σταθερή ταχύτητα υ την πάνω πλάκα, ασκούμε σε αυτή οριζόντια σταθερή δύναμη μέτρου F. Αν χρησιμοποιήσουμε πλάκες με διπλάσιο εμβαδόν και το ίδιο ρευστό μεταξύ τους να έχει διπλάσιο πάχος, τότε για να μετακινούμε την πάνω πλάκα με σταθερή ταχύτητα υ, πρέπει να ασκούμε σε αυτή οριζόντια σταθερή δύναμη μέτρου: α. F β. F γ. 4F Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε.4.3. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

199 Δύο όμοιες μεταλλικές πλάκες (1) και (), εμβαδού Α η καθεμία, βρίσκονται επάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Σε κάθε πλάκα ασκείται οριζόντια δύναμη F. Οι δύο πλάκες κινούνται με οριζόντια ταχύτητα υ επάνω στο επίπεδο. Μεταξύ του επιπέδου και των πλακών (1) και () παρεμβάλλονται λεπτά στρώματα λιπαντικών ουσιών Α και Β πάχους L το καθένα, με συντελεστές ιξώδους n A και n B αντίστοιχα. Στο διάγραμμα του ακόλουθου σχήματος απεικονίζεται ο λόγος F/A σε συνάρτηση με το λόγο υ/l για τις δύο λιπαντικές ουσίες. Οι λιπαντικές ουσίες συμπεριφέρονται ως νευτώνεια ρευστά. Για τους συντελεστές ιξώδους n A και n B ισχύει η σχέση: α. n A > n B β. n A < n B γ. n A = n B Ε.4.4. Δύο είδη λαδιών (1) και (), που συμπεριφέρονται ως νευτώνεια ρευστά, χρησιμοποιούνται για τη λίπανση μιας μηχανής. Για να διαπιστώσουμε ποιο από τα δύο λάδια παρουσιάζει τη μικρότερη εσωτερική τριβή, εκτελούμε το εξής πείραμα: Ζεσταίνουμε τα λάδια στη θερμοκρασία που αποκτούν μέσα στη μηχανή, στη συνέχεια απλώνουμε σε μια ακλόνητη οριζόντια επιφάνεια ένα λεπτό στρώμα λαδιού και πάνω στο στρώμα αυτό τοποθετούμε μια γυάλινη πλάκα. Κατόπιν μετράμε το μέτρο της οριζόντιας δύναμης F που πρέπει να ασκούμε στη γυάλινη πλάκα, ώστε να κινείται με σταθερή ταχύτητα. Το πείραμα αυτό το κάνουμε και για τα δύο λάδια για διάφορες τιμές ταχυτήτων (μικρής τιμής). Στο παραπάνω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση του μέτρου της δύναμης F σε συνάρτηση με το μέτρο της ταχύτητας της πλάκας για τα δύο λάδια. Για τη λίπανση της μηχανής, ώστε να δέχεται μικρότερες τριβές: α. πιο αποδοτικό είναι το λάδι (1). β. πιο αποδοτικό είναι το λάδι (). γ. και τα δύο λάδια είναι εξίσου αποδοτικά. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ε.4.5. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

200 Μεταλλική ορθογώνια πλάκα εμβαδού Α συνδέεται μέσω αβαρούς μη εκτατού νήματος με σώμα Σ, μάζας m, το οποίο κατέρχεται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ, όπως απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα. Το νήμα διέρχεται από αβαρή τροχαλία η οποία στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Το τμήμα του νήματος που συνδέει την τροχαλία με την πλάκα είναι διαρκώς τεντωμένο και οριζόντιο. Μεταξύ της πλάκας και του οριζόντιου δαπέδου παρεμβάλλεται λεπτό στρώμα λιπαντικής ουσίας πάχους L. Ο συντελεστής ιξώδους n της λιπαντικής ουσίας είναι ίσος με: α. n = mgl Aυ β. n = mgl Aυ γ. n = mgl Aυ Δίνεται το μέτρο g της επιτάχυνσης της βαρύτητας. Ε.4.6. Μεταλλική πλάκα εμβαδού Α βρίσκεται επάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Μεταξύ του επιπέδου και της πλάκας παρεμβάλλεται λεπτό στρώμα νευτώνειου ρευστού σταθερού πάχους L, με συντελεστή ιξώδους n. Η επιφάνεια κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ με τη βοήθεια σταθερής οριζόντιας δύναμης F. Η δύναμη F προσφέρει στην επιφάνεια ενέργεια με ρυθμό J/s. Προκειμένου η επιφάνεια να κινείται με σταθερή οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ μια άλλη σταθερή οριζόντια δύναμη F θα πρέπει να προσφέρει στην επιφάνεια ενέργεια με ρυθμό: α J/s β J γ J/s Α.4.1. Μεταλλική επιφάνεια εμβαδού Α = 0 cm και μάζας M = g κινείται με σταθερή ταχύτητα υ προς τη βάση πλάγιου επιπέδου γωνίας κλίσης φ = 30 ο, όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Η επιφάνεια διαχωρίζεται από το επίπεδο με στρώμα νευτώνειου ρευστού πάχους L = 0,4 mm και συντελεστή ιξώδους n = 0,1 N s/m. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

201 α. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια της επιφάνειας. β. Να γράψετε την εξίσωση υ y = f(y), όπου υ y το μέτρο της ταχύτητας του στρώματος του ρευστού που απέχει απόσταση y από το πλάγιο επίπεδο. Στη συνέχεια, να παραστήσετε γραφικά σε σύστημα βαθμολογημένων αξόνων την εξίσωση που γράψατε. Δίνεται το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας: g = 10 m/s. Απ. α J Α.4..Ένα νευτώνειο ρευστό με συντελεστή ιξώδους n δημιουργεί στρώμα πάχους d = 4 mm, το οποίο βρίσκεται πάνω σε οριζόντια ακλόνητη επιφάνεια. Πάνω στο ρευστό μπορεί να κινείται μια οριζόντια γυάλινη πλάκα εμβαδού A = 1 m, έχοντας οριζόντια σταθερή ταχύτητα υ, με τη βοήθεια σταθερής οριζόντιας δύναμης F. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση του μέτρου της δύναμης F που πρέπει να ασκείται στη γυάλινη πλάκα για διάφορες τιμές του μέτρου της σταθερής ταχύτητας υ από 0 έως 4 m/s. α. Να υπολογίσετε το συντελεστή ιξώδους n του ρευστού. β. Αν το μέτρο της δύναμης είναι ίσο με 10 Ν, να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του ρευστού στο μέσον της απόστασης μεταξύ των δύο πλακών. Απ. α Pa J β. υ = 8 m/s Α.4.3. Η πλάκα του διπλανού σχήματος έχει εμβαδόν Α = 0,5 m και μάζα m = 1, kg και αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί σ ένα κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ = 30 ο, στο οποίο έχουμε απλώσει στρώμα πάχους d = 5 mm ενός νευτώνειου ρευστού με συντελεστή ιξώδους n = 0, poise. Η πλάκα κινείται πάνω στο ρευστό και κάποια χρονική στιγμή αποκτά σταθερή ταχύτητα υ. Να υπολογίσετε το μέτρο της σταθερής ταχύτητας που αποκτά η πλάκα. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s. ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ

202 Απ. υ = 3 m/s Α.4.4. Μεταλλικό αβαρές φύλλο (ε) ορθογώνιου σχήματος έχει αμελητέο πάχος, διαστάσεις 5 cm x 10 cm και βρίσκεται ανάμεσα σε δύο οριζόντιες επιφάνειες (1) και (). Μεταξύ των επιφανειών (1) και () και του οριζόντιου μεταλλικού φύλλου παρεμβάλλονται νευτώνεια ρευστά, με συντελεστές ιξώδους n 1 = 0, N s/m και n, αντίστοιχα. Το μεταλλικό φύλλο απέχει από τις επιφάνειες (1) και () αποστάσεις L 1 = 1 mm και L = 1,5 mm αντίστοιχα, όπως απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα. Το φύλλο κινείται με σταθερή οριζόντια ταχύτητα υ με τη βοήθεια σταθερής οριζόντιας δύναμης F, μέτρου 0,7 Ν. Η οριζόντια δύναμη F 1 που ασκείται στο μεταλλικό φύλο από το ρευστό με συντελεστή ιξώδους n 1 έχει μέτρο 0,5 Ν. α. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας υ. β. Να υπολογίσετε τον συντελεστή ιξώδους n. Απ. α. υ = 0,5 m/s β. n = 0,1 N s/m Α.4.5. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται μια οριζόντια γυάλινη πλάκα εμβαδού A = m που κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ = 8 m/s σε επαφή με στρώμα νευτώνειου ρευστού πάχους l = mm, το οποίο έχει συντελεστή ιξώδους n = Pa s και βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο δάπεδο. Η πλάκα κινείται με τη βοήθεια σταθερής οριζόντιας δύναμης F που ασκείται στο άκρο της Ζ. α. Να σχεδιάσετε ποιοτικά τις ταχύτητες των διαφόρων στρώσεων του ρευστού από το σημείο Μ (ελάχιστα πάνω από το οριζόντιο δάπεδο) μέχρι το σημείο Κ (ελάχιστα κάτω από τη γυάλινη πλάκα). β. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F. Απ. β. F = 4,8 N ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ