HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Προηγούµενη φορά. «ανήκει» 10 Θεωρία συνόλων

Transcript

1 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Θεωρία Συνόλων Αντώνης Α. Αργυρός Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/9/ /9/ Προηγούµενη φορά Σύνολα Πολυσύνολα Ισότητα συνόλων ιαγράµµατα Venn x S Κενό σύνολο, µοναδικότητα Σχέση υποσυνόλου «ανήκει» x S ( το στοιχείο xανήκει στο σύνολο S ), είναι η πρόταση που λέει ότι το αντικείµενο x είναι ένα στοιχείο/µέλος του συνόλου S. π.χ. 3 N, α {x x γράµµα του αλφάβητου} : Από το ελληνικό «στίν» Συµβολισµός: x S : ορ. (x S) Πως θα ορίζαµε την ισότητα συνόλων µε βάση τον κατηγορηµατικό λογισµό; 3/9/ /9/

2 Ισότητα συνόλων Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Η ισότητα συνόλων ορίζεται µε βάση το : ύο σύνολα είναι ίσα αν και µόνο αν έχουν τα ίδια στοιχεία. S=T : ορ. x (x S x T) S T ( Το Sείναι υποσύνολοτου T ) σηµαίνει ότι κάθε στοιχείο του Sείναι επίσης και στοιχείο του T. S T : ορ. x (x S x T) 3/9/ /9/ Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Τι λέτε για τα παρακάτω; S S ; ΝΑΙ S ; ΝΑΙ Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Τι λέτε για τα παρακάτω; S S ;ΟΧΙ S ; ΌΧΙ πάντα! Π.χ., {, α, β} αλλά {α, β} 3/9/ /9/

3 Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Αυτό µας βοηθά να κατανοήσουµε περισσότερο τον τελεστή «εάν τότε» Η πρόταση x (P(x) Q(x)) σηµαίνει ότι «τα στοιχείαπου έχουν την ιδιότητα Pείναι υποσύνολο των στοιχείων που έχουν την ιδιότητα Q» Αν κανένα στοιχείο στο π.ο. της x δεν έχει την ιδιότητα P, τότε η πρόταση x (P(x) Q(x)) είναι αληθής Αν όλα τα στοιχεία έχουν την ιδιότητα Q, τότε η πρόταση x (P(x) Q(x)) είναι και πάλι αληθής Η µόνη περίπτωση να είναι ψευδής η πρόταση είναι να υπάρχει ένα στοιχείο µε την ιδιότητα Pπου να µην έχει την ιδιότητα Q Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Περισσότεροι συµβολισµοί: S T ( Το S είναι υπερσύνολο του T ) : ορ. T S. Σηµειώστε ότι S=T S T S T. : ορ. (S T), δηλ. x(x S x T) S T 3/9/ /9/ Γνήσια υποσύνολα και υπερσύνολα S T ( Το Sείναι γνήσιο υποσύνολο του T ) σηµαίνει ότι S T S T Παράδειγµα:{1,2} {1,2,3} Ισχύει ότι {1,2,3} {1,2,3},... αλλά όχι ότι {1,2,3} {1,2,3} Τα σύνολα είναι αντικείµενα επίσης! Τα στοιχεία ενός συνόλου µπορούν να είναι από µόνα τους σύνολα. Π.χ. S={{1,2}, {1,3}} Προσοχή: {1,2} {{1,2}} 3/9/ /9/

4 Πληθικός αριθµός S ( ο πληθικός αριθµόςτου S ) είναι το πλήθος των στοιχείων του S. π.χ., =0, {1,2,3} = 3, {a,b} = 2, {{1,2,3},{4,5}} = 2 Εάν S N, τότε λέµε ότι το Sείναι πεπερασµένο. Αλλιώς, λέµε ότι το S είναι άπειρο. Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου Το δυναµοσύνολο P(S) ενός συνόλου Sείναι το σύνολο όλων των δυνατών υποσυνόλων του S. P(S) : {x x S}. Π.χ. P({a,b}) = {, {a}, {b}, {a,b}}. Μερικές φορές το P(S) το συµβολίζουµε µε 2 S. Σηµειώστε ότι (σίγουρα για πεπερασµένα σύνολα S), P(S) = 2 S. Προκύπτει ότι S: P(S) > S, e.g. P(N) > N. Υπάρχουν άπειρα σύνολα µε διαφορετικά µεγέθη! 3/9/ /9/ Πράξεις µεταξύ συνόλων Ένωση Τοµή ιαφορά Συµµετρική διαφορά Συµπλήρωµα συνόλου Ένωση συνόλων Για δύο σύνολα A, B, η ένωσή τους ( nion) A B είναι το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο A, ή ( ) ανήκουν στο B (ή, φυσικά, και στα δύο). Τυπικά, A,B: A B = {x x A x B}. Πχ. {2,3,5} {3,5,7} ={2,3,5,7} Η ένωση A B δύο συνόλων Α, Β αποτελεί υπερσύνολο και του A και του B : A, B: (A B A) (A B B) 3/9/ /9/

5 Παράδειγµα ένωσης συνόλων {2,3,5} {3,5,7} ={2,3,5,7} Ένωση συνόλων Πως µπορούµε να αποδείξουµε ότι η ένωση A B δύο συνόλων Α, Β αποτελεί το µικρότερο δυνατό υπερσύνολο και του A και του B; Έστω ότι υπάρχει σύνολο Μ, υπερσύνολο του Α και του Β που έχει λιγότερα στοιχεία από το A B Αυτό σηµαίνει πως Α Μ και Β Μ και ταυτόχρονα υπάρχει x A B τέτοιο ώστε x Μ. Αφού x A B, τότε x Aή x B. Και αφού Α Μ και Β Μ, x M. Αντίφαση Άρα, δεν υπάρχει υπερσύνολο του Α και του Β µε λιγότερα στοιχεία από το A B 3/9/ /9/ Γενικευµένη ένωση συνόλων υαδικός τελεστής ένωσης: A B n-οστή ένωση: A A 2 A n : (( ((A 1 A 2 ) ) A n ) (η οµαδοποίηση & η σειρά δεν παίζουν ρόλο) n Συµβολισµός: Ai i= 1 ή: A A X 3/9/ Τοµή συνόλων Για σύνολα A, B, η τοµή τους A B περιλαµβάνει όλα τα στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα στο A και ( ) στο B. Τυπικά, A,B: A B={x x A x B}. Ητοµή A B δύο συνόλων Α, Β είναι ένα υποσύνολοκαι του A και του B (το µέγιστο τέτοιο υποσύνολο): A, B: (A B A) (A B B) 3/9/

6 Παράδειγµα τοµής συνόλων {a,b,c} {2,3} = {2,4,6} {3,4,5} = {4} 3/9/ Γενικευµένη τοµή συνόλων υαδικός τελεστής τοµής: A B n-οστή τοµή: A 1 A 2 A n (( ((A 1 A 2 ) ) A n ) (η οµαδοποίηση & η σειρά δεν παίζουν ρόλο) n Συµβολισµός: A ή: A X A i= 1 i 3/9/ Ξένα σύνολα ύο σύνολα A, Bλέγονται ξένααν και µόνο αν η τοµή τους είναι το κενό σύνολο. (A B= ) Π.χ. {a,b,c} {2,3} = Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού Πόσα στοιχεία βρίσκονται στην ένωση A Bδύο συνόλων Α και Β; Μπορείτε να σκεφτείτε µία γενική σχέση; (Εκφράστε το µε βάση τα A, B και ό,τι άλλο χρειαστείτε.) 3/9/ /9/

7 Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού Πόσα στοιχεία βρίσκονται στην ένωση A Bδύο συνόλων Α και Β; Μπορείτε να σκεφτείτε µία γενική σχέση; A B = A + B A B Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού: Παράδειγµα Παράδειγµα: Έστω ότι σε ένα σύνολο ανθρώπων, 50 άτοµα έχουν µηχανάκι, 180 άτοµα έχουν ποδήλατο και 30 άτοµα έχουν και µηχανάκι και ποδήλατο. Πόσοι άνθρωποι έχουν δίτροχο µεταφορικό µέσο; 3/9/ /9/ Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού: Παράδειγµα Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού Α Μηχανάκι (50) Μηχανάκι + Ποδήλατο (30) Ποδήλατο (180) Β Έστω = Α Β, όπου, Α = {s sέχει µηχανάκι} Β = {s s έχει ποδήλατο} Μερικοί µπορεί να έχουν και τα δύο! = Α Β = Α + Β Α Β (στο παράδειγµά µας, = = 200) 3/9/ /9/

8 Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού Στην περίπτωση τριών συνόλων Α 1 Α 2 Α 3 = Α 1 + Α 2 + Α 3 - Α 1 Α 2 - Α 1 Α 3 - Α 2 Α 3 + Α 1 Α 2 Α 3 Θα δούµε αργότερα πως γενικεύεται για την ένωση nσυνόλων. Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού για ξένα σύνολα Αν Α, Β ξένα σύνολα, τότε: A B = A + B 3/9/ /9/ ιαφορά συνόλων Για σύνολα A, B, η διαφορά του A από το B, συµβολίζεται µε A B, και αποτελείται από όλα τα στοιχεία του Aπου δεν ανήκουν στο B. Τυπικά: A B : {x x A x B} ιαφορά συνόλων - Venn Diagram Το σύνολο A Bείναι ότι αποµένει από το Α όταν από αυτό εξαιρέσουµε όλα τα στοιχεία του Β Σύνολο A B Σύνολο A Σύνολο B 3/9/ /9/

9 Παραδείγµατα διαφοράς συνόλων {1,2,3,4,5,6} {2,3,5,7,9,11} = {1,4,6} Z N = {x xακέραιος αλλά όχι φυσικός} = {, 1, 0, 1, 2, } {1, 2 } = {, 3, 2, 1, 0} Συµµετρική διαφορά συνόλων Για σύνολα A, B, η συµµετρική διαφορά τους, συµβολίζεται µε A B, και αποτελείται από όλα τα στοιχεία της ένωσής τους, αν εξαιρεθούν τα στοιχεία της τοµής τους. Τυπικά: A B : (A B) (A B) 3/9/ /9/ Συµπληρώµατα συνόλων Ο δειγµατικός χώροςµπορεί να θεωρηθεί ως σύνολο, έστω U. Για κάθε σύνολο A U, το συµπλήρωµα του A, A, ως προς το U, είναι το U A. Π.χ., Εάν U=N, Αµοιβαία ξένα σύνολα Έστω n σύνολα Α i, 1=1, 2,, n Τα σύνολα Α i ονοµάζονται αµοιβαία ξένα αν και µόνο αν i j, (Αi Αj = ) {3,5} = {1,2, 4,6,7,...} 3/9/ /9/

10 ιαµέριση ενός συνόλου Α Έστω nµη κενά σύνολα Α i, i=1, 2,, n. Τα σύνολα Α i αποτελούν µία διαµέρισητου συνόλου Ααν και µόνο αν: n = (1) A Ai i= 1 (2) Ta Α i είναι αµοιβαία ξένα σύνολα Α Α 4 Α 1 Α 2 Α3 Ταυτότητες A = A = A U A U = U A = A A = A = A A A B = B A ( A ) = A A B = B A A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C 3/9/ /9/ Αντικ.: µε, µε, µε F, U µε T A = A = A U A U = U, A = A A = A = A A ( A ) = A A B = B A, A B = B A A (B C)=(A B) C, A (B C)=(A B) C Νόµος DeMorgan για σύνολα Ακριβώς ανάλογος µε (και αποδείξιµος από) τον νόµο DeMorgan για προτάσεις. A B = A B = A B A B 3/9/ /9/

11 Παράδειγµα χρήσης αρχής εγκλεισµούαποκλεισµού, διαφοράς συνόλων και De Morgan Πόσοι ακέραιοι από το 1 έως το 1000 δεν είναι πολλαπλάσια ούτε του 10, ούτε του 4, ούτε του 15; Παράδειγµα Πόσοι ακέραιοι από το 1 έως το 1000 δεν είναι πολλαπλάσια πολλαπλάσιαούτε του 10, ούτε του 4, ούτε του 15; Έστω Σ= {οι ακέραιοι από το 1 έως το 1000} Έστω Α= {τα πολλαπλάσια του 10} Έστω Β= {τα πολλαπλάσια του 4} Έστω Γ= {τα πολλαπλάσια του 15} Τι θέλουµε να υπολογίσουµε; 3/9/ /9/ Παράδειγµα Θέλουµε να υπολογίσουµε την ποσότητα: Όµως Α Β Γ Α Β Γ = Α Β Γ = Σ ( Α Β Γ) Α Β Γ = Σ ( Α Β Γ ) = Σ Α Β Γ γιατί ισχύει η τελευταία ισότητα; Εποµένως, Α Β Γ = Σ Α Β Γ Παράδειγµα = Σ ( Α + Β + Γ Α Β Α Γ Β Γ + Α Β Γ ) = Σ ( Α + Β + Γ ) + ( Α Β + Α Γ + Β Γ ) Α Β Γ Α Β = πολλαπλάσια του 20 Α Γ = πολλαπλάσια του 30 Β Γ = πολλαπλάσια του 60 Α Β Γ = πολλαπλάσια του 60 3/9/ /9/

12 Αρα, Α Β Γ = Παράδειγµα Σ ( Α + Β + Γ ) + ( Α Β + Α Γ + Β Γ ) Α Β Γ 1000-( 1000/ / /15 ) + ( 1000/ / /60 )- 1000/60 =1000-( )+( )-16=667. Απόδειξη ισότητας συνόλων Για να αποδείξουµε προτάσεις της µορφής E 1 = E 2 (όπου τα E 1, E 2 είναι εκφράσεις συνόλων), υπάρχουν τέσσερις βασικές τεχνικές: 1. Χρήση του πίνακα µελών 2. ιαγράµµατα Venn 3. Απόδειξη ότι E 1 E 2 και E 2 E Χρήση ταυτοτήτων 3/9/ /9/ Μέθοδος 1: Πίνακες µελών Κατ αναλογία µε τους πίνακες αληθείας στον προτασιακό λογισµό Στήλες για διαφορετικές εκφράσεις µε σύνολα. Γραµµές για όλους τους συνδυασµούς συµµετοχής στα σύνολα που απαρτίζουν τις εκφράσεις Χρήση 1 για τα µέλη, 0 για τα µη-µέλη. Απόδειξη ισότητας µε σύγκριση στηλών. Παράδειγµα Αποδείξτε ότι (A B) B = A B. A B A B (A B) B A B /9/ /9/

13 Κι άλλο παράδειγµα Αποδείξτε ότι (A B) C = (A C) (B C). A B C A B (A B) C A C B C (A C) (B C) συνέχεια Αποδείξτε ότι (A B) C = (A C) (B C). A B C A B (A B) C A C B C (A C) (B C) /9/ /9/ Μέθοδος 2: ιαγράµµατα Venn Μέθοδος 2: ιαγράµµατα Venn Αποδείξτε ότι (A B) B = A B Α Β Αποδείξτε ότι (A B) B = A B Α Β A B = (A B) B 3/9/ /9/

14 Μέθοδος 3: υποσύνολα Παράδειγµα: είξτε ότι A (B C)=(A B) (A C). Μέρος 1ο: είχνω ότι A (B C) (A B) (A C). Υποθέτω x (A (B C)), & δείχνω ότι x ((A B) (A C)). Γνωρίζουµε ότι x A, και είτε x B είτε x C. Περ. 1: x B. Τότε x A B, εποµένως x (A B) (A C). Περ. 2: x C. Τότε x A C, εποµένως x (A B) (A C). Άρα, x (A B) (A C). Άρα, A (B C) (A B) (A C). Μέθοδος 3: υποσύνολα Παράδειγµα: είξτε ότι A (B C)=(A B) (A C). Μέρος 2ο: είχνω ότι (A B) (A C) A (B C). Υποθέτω x ((A B) (A C)) & δείχνω ότι x (A (B C)). Γνωρίζουµε ότι x (A B), ή x (A C). Περ. 1: x (A B). Τότε x A και x (B C), εποµένως x (A (B C)). Περ. 2: x (A C). Τότε x Aκαι x (B C), εποµένως x (A (B C)). Άρα, x (A (B C)). Άρα, (A B) (A C) A (B C). Άρα, A (B C)=(A B) (A C). 3/9/ /9/ Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Aπ ευθείας µε ταυτότητες ισότητας συνόλων Είτε µε «µετάφραση» σε προτασιακή λογική, π.χ., δείξτε ότι A (B C) (A B) (A C). Ποιά αντίστοιχη πρόταση θα πρέπει να αποδείξουµε στον προτασιακό λογισµό; Είτε απ ευθείας µε ταυτότητες συνόλων Είτε µε «µετάφραση» σε προτασιακή λογική, π.χ., δείξτε ότι A (B C) (A B) (A C). Αρκεί να δείξουµε ότι η πρόταση A (B C) (A B) (A C) αποτελεί ταυτολογία 3/9/ /9/

15 Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Πράγµατι: A (B C) (A B) (A C) (A (B C)) ((A B) (A C) ) (A (B C)) (A (B C)) T ιατεταγµένες n-άδες Για n N, µία διατεταγµένη n-αδαή µία ακολουθία µήκους nγράφεται ως (a 1, a 2,, a n ). Το πρώτοστοιχείο της είναι το a 1, κλπ. Mπορούµε να έχουµε αντίγραφα στοιχείων H σειρά των στοιχείων έχει σηµασία! (1, 2) (2, 1) (2, 1, 1). 3/9/ /9/ Οι διατεταγµένες n-άδες έχουν πολλές εφαρµογές. Για παράδειγµα, Μαθηµατικές δοµές συχνά περιγράφονται µε µία συγκεκριµένη διάταξη που επιτρέπει να ξέρουµε πιο στοιχείο παίζει πιο ρόλο. π.χ., το (N,<) είναι µία συγκεκριµένη δοµή που χρησιµοποιεί το < για να δηµιουργήσει µία διάταξη στο N. Οι σχέσεις εκφράζονται µέσω n-αδων. Π.χ.: < = { (0,1), (1,2), (0,2), ) } Το πρώτο και το δεύτερο όρισµα µιας σχέσης µπορεί να προέρχεται από διαφορετικά σύνολα, π.χ. Προτιµάει_να_βλέπει = {(Κώστας,ειδήσεις), (Νίκος, ποδόσφαιρο), (Μαρία, ταινίες)} 1ο: στοιχεία από το σύνολο των ανθρώπων 2ο: στοιχεία από το σύνολο των προγραµµάτων της TV 3/9/ /9/

16 Καρτεσιανό γινόµενο συνόλων Για σύνολα A, B, το Καρτεσιανό τους γινόµενο είναι το A B : {(a, b) a A b B }. René Descartes ( ) π.χ. {a,b} {1,2} = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)} Ο ορισµός επεκτείνεται για πολλά σύνολα: A 1 A 2 A n ={(a 1,a 2,...,a n ) a 1 A 1 a 2 A 2 a n A n } Καρτεσιανό γινόµενο συνόλων Για σύνολα A, B Σηµειώστε ότι, A B = A B A,B: A B=B A 3/9/ /9/ Καρτεσιανό γινόµενο συνόλων {Κώστας, Μαρία, Νίκος} {Νέα,Ταινίες}= { (Κώστας, Νέα), (Μαρία, Νέα), (Νίκος, Νέα), (Κώστας, Ταινίες), (Μαρία, Ταινίες), (Νίκος, Ταινίες) } ( 3/9/ /9/

17 Αναπαριστώντας σύνολα µε Bit Strings Για ένα δειγµατικό χώρο U µε διάταξη x 1, x 2,, αναπαράσταση ενός πεπερασµένου συνόλου S Uσαν το πεπερασµένο bit string B=b 1 b 2 b n όπου i: x i S (1 i n b i =1). Π.χ. U=N, S={2,3,5,7,11}, B= Σε αυτή την αναπαράσταση, οι βασικές πράξεις συνόλων υλοποιούνται κατευθείαν µε τις bitwise πράξεις OR, AND, NOT 3/9/ Αναπαριστώντας σύνολα µε Bit Strings Π.χ., {2,3,5,7,11} {1,3,4,9} = δηλ. το {1,2,3,4,5,7,9,11} 3/9/ Αξιωµατική θεωρία συνόλων Ένα βασικό αξίωµα: οσµένου ενός κατηγορήµατος P, κατασκεύασε ένα σύνολοπου να περιλαµβάνει όλα τα στοιχεία x για τα οποία η xp(x) να είναι αληθής πρόταση. Ωστόσο, η προκύπτουσα θεωρία είναι λογικά ασυνεπής! Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν κάποιες προτάσεις p για τις οποίες να µπορούµε να δείξουµε ότι και η p και η pπροκύπτουν λογικά ώς αποτέλεσµα της θεωρίας µας!... ηλαδή ότι ξεκινώντας από τα αξιώµατα οδηγούµαστε σε αντίφαση! Μια τέτοια θεωρία είναι θεµελιωδώς µη ενδιαφέρουσα, γιατί οποιαδήποτε πρόταση σε αυτή µπορεί (τετριµµένα) να αποδειχθεί Παράδειγµα: Ο κουρέας ξυρίζεται µόνος του ή όχι; Έστω ότι σε µία πόλη ο κουρέας ξυρίζει όλους εκείνους τους άντρες (και µόνο αυτούς) που δεν ξυρίζονται µόνοι τους. Ερώτηση: Ο κουρέας αυτός ξυρίζεται µόνος του ή όχι; Έστωότι ξυρίζεται µόνος του. Άρα δεν ξυρίζεται µόνος του. Έστωότι δεν ξυρίζεται µόνος του. Άρα ξυρίζεται µόνος του.!!! 3/9/ /9/

18 Η παράκαµψη του παράδοξου Για να αποφύγουµε την ασυνέπεια, η θεωρία συνόλων πρέπει µε κάποιο τρόπο να τροποποιηθεί... Για περισσότερες πληροφορίες, διαβάστε για το παράδοξο του Russel: ) Bertrand Russell /9/ /9/