Να αντιστοιχίσετε σε κάθε σημείο τις συντεταγμένες του: Παρατηρώντας το σύστημα ορθογωνίων αξόνων που μας δίνεται διαπιστώνουμε ότι:

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Να αντιστοιχίσετε σε κάθε σημείο τις συντεταγμένες του: Παρατηρώντας το σύστημα ορθογωνίων αξόνων που μας δίνεται διαπιστώνουμε ότι:"

Παντελεήμων Κυπραίος
4 χρόνια πριν
Προβολές:

Kαρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

συντεταγμένων και, αντιστρόφως, κάθε ζεύγος αριθμών

τετμημένη α τεταγμένη β συντεταγμένες (α, β) Τότε λέμε

ορθογωνίων αξόνων ή απλώς σύστημα αξόνων.

y εκφράζεται ως συνάρτηση ενός άλλου μεγέθους x.

σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες

Αν δίνονται δύο σημεία Α(χ1, ψ1) και Β(χ2, ψ2), η

1 Kαρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Κάθε σημείο του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα μόνο ζεύγος συντεταγμένων και, αντιστρόφως, κάθε ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο του επιπέδου. τετμημένη α τεταγμένη β συντεταγμένες (α, β) Τότε λέμε ότι οι άξονες x x και y y αποτελούν ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων ή απλώς σύστημα αξόνων. Έστω ότι έχουμε μία συνάρτηση με την οποία ένα μέγεθος y εκφράζεται ως συνάρτηση ενός άλλου μεγέθους x. Ονομάζουμε γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες (x, y). Αν δίνονται δύο σημεία Α(χ1, ψ1) και Β(χ2, ψ2), η απόστασή τους υπολογίζεται από τον τύπο ΑΒ = χ - χ + ψ -ψ Π.χ. Αν Α(-2, 3) και Β(-5, 7) τότε: ΑΒ = 2 [ ] = = = 9+16 = 25 =5

3.2. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Σελίδα 65 1 Να αντιστοιχίσετε σε κάθε σημείο τις συντεταγμένες του: Σημείο Α Β Γ Δ Συντεταγμένες (2, 3) (3, 2) (-2, 3) (-3, 2) (-2, -3) (-3, -2) (2, -3) (3, -2) Παρατηρώντας

2 3.2. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Σελίδα 65 1 Να αντιστοιχίσετε σε κάθε σημείο τις συντεταγμένες του: Σημείο Α Β Γ Δ Συντεταγμένες (2, 3) (3, 2) (-2, 3) (-3, 2) (-2, -3) (-3, -2) (2, -3) (3, -2) Παρατηρώντας το σύστημα ορθογωνίων αξόνων που μας δίνεται διαπιστώνουμε ότι: Το σημείο Α έχει τετμημένη 2 και τεταγμένη 3 Άρα έχει συντεταγμένες (2,3). Είναι Α(2,3) Το σημείο Β έχει τετμημένη -2 και τεταγμένη 3 Άρα έχει συντεταγμένες (-2,3). Είναι Β(-2,3) Το σημείο Γ έχει τετμημένη -2 και τεταγμένη -3 Άρα έχει συντεταγμένες (-2,-3). Είναι Γ(-2,-3) Το σημείο Δ έχει τετμημένη 2 και τεταγμένη -3 Άρα έχει συντεταγμένες (2,-3). Είναι Δ(2,-3) Οπότε η αντιστοίχιση φαίνεται στο διπλανό σχήμα Σημείο Α Β Γ Δ Συντεταγμένες (2, 3) (3, 2) (-2, 3) (-3, 2) (-2, -3) (-3, -2) (2, -3) (3, -2) 2 Να συμπληρώσετε τον πίνακα, όπως φαίνεται στο παράδειγμα της 1ης γραμμής. Σημείο Α Συμμετρικό του Α Συμμετρικό του Α Συμμετρικό του Α ως προς τον x x ως προς τον y y ως προς το O (-2, 3) ( 2, 3) (2, 3) (2, 3) (3, 5) ( 3, 5) (-3, -5) (3, 5)

Έστω το σημείο Α(3,5) όπως φαίνεται στο διπλανό σύστημα ορθογωνίων αξόνων. Από το Α φέρνουμε κάθετες ΑΜ και ΑΠ στους άξονες x x και ψ ψ α) Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά τμήμα ΜΒ = ΜΑ.

Το σημείο Δ είναι το συμμετρικό του Α ως προς τον άξονα ψ ψ και έχει συντεταγμένες ( 3, 5). γ) Ενώνουμε το Α με την αρχή Ο των αξόνων και προεκτείνουμε κατά τμήμα ΟΓ = ΟΑ.

3 Έστω το σημείο Α(3,5) όπως φαίνεται στο διπλανό σύστημα ορθογωνίων αξόνων. Από το Α φέρνουμε κάθετες ΑΜ και ΑΠ στους άξονες x x και ψ ψ α) Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά τμήμα ΜΒ = ΜΑ. Το σημείο Β είναι το συμμετρικό του Α ως προς τον άξονα χ χ και έχει συντεταγμένες (3, 5). β) Προεκτείνουμε την ΑΠ κατά τμήμα ΠΔ = ΠΑ. Το σημείο Δ είναι το συμμετρικό του Α ως προς τον άξονα ψ ψ και έχει συντεταγμένες ( 3, 5). γ) Ενώνουμε το Α με την αρχή Ο των αξόνων και προεκτείνουμε κατά τμήμα ΟΓ = ΟΑ. Το σημείο Γ είναι το συμμετρικό του Α ως προς την αρχή Ο και έχει συντεταγμένες ( 3, 5). Παρατηρώντας τα παραπάνω αποτελέσματα και τα αποτελέσματα της πρώτης γραμμής διαπιστώνουμε ότι: Το συμμετρικό ενός σημείου ως προς τον άξονα χ χ έχει ίδια τετμημένη και αντίθετη τεταγμένη Το συμμετρικό ενός σημείου ως προς τον άξονα ψ ψ έχει αντίθετη τετμημένη και ίδια τεταγμένη Το συμμετρικό ενός σημείου ως προς την αρχή των αξόνων έχει αντίθετη τετμημένη και αντίθετη τεταγμένη Μετά τα παραπάνω συμπληρώνουμε τον πίνακα ως εξής: Σημείο Α Συμμετρικό του Α Συμμετρικό του Α Συμμετρικό του Α ως προς τον x x ως προς τον y y ως προς το O (-2, 3) ( 2, 3) (2, 3) (2, 3) (3, 5) (3, -5) (-3, 5) (-3, -5) ( 3, 5) ( 3, -5) (3, 5) (3, -5) (-3, -5) (-3, 5) (3, -5) (3, 5) (3, 5) (3, 5) (-3, 5) (-3, +5) 3 Στο διπλανό σχήμα είναι: α) ΑΒ < ΑΓ, β) ΑΒ > ΑΓ, γ) ΑΒ = ΑΓ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Από το σημείο Α φέρνουμε κάθετη ευθεία στον άξονα χ χ και από το σημείο Γ φέρνουμε κάθετη στον άξονα ψ ψ. Οι δύο ευθείες τέμνονται στο Δ. (παρακάτω σχήμα) Το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ορθογώνιο στο Δ, Είναι ΑΔ = 4 και ΓΔ = 5 Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο θεώρημα και έχουμε: ΑΓ 2 = ΑΔ 2 + ΑΔ 2 ΑΓ 2 =

ΑΓ 2 = 41 ή ΑΓ = 41 Όμοια δημιουργούμε το ορθογώνιο στο Ε τρίγωνο ΑΒΕ, με ΑΕ = 5 και ΕΒ = 1 Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο θεώρημα και έχουμε: ΑΒ 2 = ΑΕ 2 + ΕΒ 2 ΑΒ 2 = 5 2 + 1 2 ΑΒ 2 = 26 ή ΑΒ = 26 Άρα

παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ είναι Α(2,6), Β(3,1), Γ(-3, 2) Ο τύπος που δίνει την απόσταση δύο σημείων Α(χ1,ψ1), Β(χ2,ψ2) είναι: ΑΒ = χ - χ + ψ -ψ 2 1 2 1 Αντικαθιστούμε τις

4 ΑΓ 2 = 41 ή ΑΓ = 41 Όμοια δημιουργούμε το ορθογώνιο στο Ε τρίγωνο ΑΒΕ, με ΑΕ = 5 και ΕΒ = 1 Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο θεώρημα και έχουμε: ΑΒ 2 = ΑΕ 2 + ΕΒ 2 ΑΒ 2 = ΑΒ 2 = 26 ή ΑΒ = 26 Άρα σωστή είναι η απάντηση α) ΑΒ < ΑΓ αφού είναι 26 < 41 Β τρόπος Ο παρακάτω τρόπος, αν και αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο είναι εκτός ύλης διότι διδάσκεται και σε μεγαλύτερη τάξη Στο παραπάνω σχήμα παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ είναι Α(2,6), Β(3,1), Γ(-3, 2) Ο τύπος που δίνει την απόσταση δύο σημείων Α(χ1,ψ1), Β(χ2,ψ2) είναι: ΑΒ = χ - χ + ψ -ψ Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες που δίνονται και έχουμε ΑΒ = χ - χ + ψ -ψ = ΑΓ = χγ - χ Α + ψγ -ψ = Άρα σωστή είναι η απάντηση α) ΑΒ < ΑΓ αφού είναι 26 < 41 4 Στο διπλανό σχήμα: α) Α: Α < 90 0, Β: Α = 90 Γ: Α > 90 β) Α: εφθ=5 Β: εφθ= 7 5 Γ: εφθ= 5 7 Δ: εφθ=1 γ) Α: ΑΒ < ΑΓ Β: ΑΒ = ΑΓ Γ: ΑΒ > ΑΓ δ) Α: εφφ=3 Β: εφφ = 5 Γ: εφφ=1 Δ: εφφ=2 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. α) Φέρνουμε το ύψος ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ. Επειδή η τεταγμένη του Α είναι 5 είναι ΑΔ = 5

Παρατηρούμε ότι ΒΔ = ΔΓ = 5 Άρα το ορθογώνιο τρίγωνα ΑΒΔ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Οπότε οι γωνίες της βάσης του είναι ίσες και επειδή έχουν άθροισμα 90 ο η κάθε μία είναι 45 ο.

5 Παρατηρούμε ότι ΒΔ = ΔΓ = 5 Άρα το ορθογώνιο τρίγωνα ΑΒΔ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Οπότε οι γωνίες της βάσης του είναι ίσες και επειδή έχουν άθροισμα 90 ο η κάθε μία είναι 45 ο. Δηλαδή είναι φ = ΒΑ Δ = 45 ο. Όμοια έχουμε: θ = ΓΑ Δ = 45 ο Επομένως Α = ΒΑ Δ + ΓΑ Δ = 45 ο + 45 ο = 90 ο Άρα η σωστή απάντηση είναι η Β: Α = 90 Β τρόπος Ο παρακάτω τρόπος, αν και αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο είναι εκτός ύλης διότι διδάσκεται και σε μεγαλύτερη τάξη Οι συντεταγμένες των κορυφών του είναι: Α(2,5), Β(-3, 0), Γ(7,0) Με τον τύπο της απόστασης δύο σημείων υπολογίζουμε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ Είναι Επίσης παρατηρούμε ότι : Δηλαδή ισχύει: και οπότε σύμφωνα με το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Άρα Α = 90 ο Άρα η σωστή απάντηση είναι η Β: Α = 90 β) Δείξαμε ότι Α = 90 οπότε φ = θ = 45 ο Άρα το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι και ισοσκελές οπότε ΑΒ = ΑΓ έ ά Είναι 1. Άρα σωστή είναι η Δ: εφθ=1 ί ά γ) Δείξαμε προηγουμένως ότι ΑΒ = ΑΓ. Άρα σωστή είναι η Β: ΑΒ = ΑΓ δ) Είναι έ ά 1 ί ά. Άρα σωστή είναι η Γ: εφφ=1

Η κάθετη αυτή τέμνει την γραφική παράσταση σε ένα σημείο. Από το σημείο αυτό φέρνουμε κάθετη στον άξονα ψ ψ και παρατηρούμε ότι τον τέμνει στο σημείο με ψ = 3.

6 5 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. α) για x=1, είναι y =... Α: 1 Β: 2 Γ: 3 Δ: 5 β) για x=3, είναι y =... Α: 1 Β: 2 Γ: 3 Δ: 5 γ) για y=6, είναι x =... Α: 1 Β: 2 Γ: 3 Δ: 5 δ) για y=2, είναι x =... Α: 1 Β: 2 Γ: 3 Δ: 5 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. α) Στο σύστημα ορθογωνίων αξόνων που μας δίνεται, φέρνουμε κάθετη στον άξονα χ χ στο σημείο χ = 1. Η κάθετη αυτή τέμνει την γραφική παράσταση σε ένα σημείο. Από το σημείο αυτό φέρνουμε κάθετη στον άξονα ψ ψ και παρατηρούμε ότι τον τέμνει στο σημείο με ψ = 3. (διπλανό σχήμα) Οπότε για x=1, είναι y = 3. Άρα σωστή είναι η απάντηση Γ: 3 β) Όμοια για x=3, είναι y = 5. Άρα σωστή είναι η απάντηση Δ: 5 γ) Στο σύστημα ορθογωνίων αξόνων, φέρνουμε κάθετη στον άξονα ψ ψ στο σημείο ψ = 6. Η κάθετη αυτή τέμνει την γραφική παράσταση σε ένα σημείο. Από το σημείο αυτό φέρνουμε κάθετη στον άξονα χ χ και παρατηρούμε ότι τον τέμνει στο σημείο με χ = 5. Οπότε για ψ = 6, είναι χ = 5 Άρα σωστή είναι η απάντηση Δ: 5 δ) Όμοια για ψ = 2, είναι χ = -1 Άρα σωστή είναι η απάντηση Α: 1

Σχετικά έγγραφα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία