Prof. dr. ing. ANTON HADAR Prof. dr. ing. CORNEL MARIN Conf. dr. ing. CRISTIAN PETRE As. drd. ing. ADRIAN VOICU METODE NUMERICE ÎN INGINERIE

Transcript

1

2 Pro dr g ANTON HADAR Pro dr g CORNE ARIN Co dr g CRISTIAN PETRE A drd g ADRIAN VOICU ETODE NUERICE ÎN INGINERIE Polt Pr Buurşt

3 Drr CIP Blot Nţol Roâ Hdr Ato tod ur î gr 9 p - Uvrtr I r Corl II Ptr Crt III Vou Adr Blogr ISBN R ştţă: Pro dr g Cott ATANASIU Pro dr g Hor GHEORGHIU Tordtr oputrtă Corl ARIN

4

5 PREAŢĂ tod ur prt d dpll udtl d prgătr tudţlor d doul gr vâd op prtr prplor ş rlţlor d lul tt ur r tu tă l otruţ progrlor d lul prol utlt î prt d or gr ATHCAD ATAB ATHEATICA ANSYS NASTRAN COSOS t At prp ş rlţ d lul rră î prpl l oprţl d trpolr drvr ş tgrr ură pru ş l todl d rolvr uţlor tlor d uţ u uţlor drţl Et ştut ptul ă pr todl lt uout u pot rolv or tpur d prol dr l todlor ur tu tod ş odl d lul lt p lgr ş l tt todl ur prtt î otur u prtţ d tod grl d lul r opră o ort r gă d prol îtâlt î prt gră rulttl ur oţut d î grl protv dr optl u oluţ tă todl ur prtt î lurr prt rolvr uor prol lr r u proupt p tt ş gr d- lugul tpulu ul d t purtâd ul lor Î t t p I Nwto - 77 ord Eulr IKG Gu KG Jo 8-8 B Tlor 8-7 J grg 7-8 JJB ourr 78-8 ăror otruţ l doprr u dvoltr todlor ur d lul ot otărâtor Î ult prodă todl ur -u dvoltt ort ult î pl dtortă progrulu t d lul r pr rolvr uu uăr d î r d uţ u o vtă ş pr ort rdtă D rrt ptul ă î ult prodă tod ltlor t - pu o todă prtulră d rolvr uor t d uţ lr oţut pr plr uor prp vrţol d lul truturl tr ltr î ludlor t r - dvoltt ort ult grţ progrulu t d lul tod ltlor t oloşt lgort d rolvr tă u protvă tlor d uţ lr r ut prtţ ş î tă lurr: Gu Gu-Jord Col Gu-Sdl Jo Nwto Rpo t Cl ptol l lurăr uprd: todl protv d rolvr uţlor lgr trdt tod t ş protv d rolvr tlor d uţ lr tod protv d rolvr tlor d uţ lr

6 tod ur î gr tod d dtrr vlorlor ş vtorlor propr u tr tod l drţlor t tod d trpolr uţlor 7 tod d drvr 8 tod d tgrr ură 9 tod d rolvr uţlor drţl ordr tod dplărlor urr t dttă î prul râd prgătr tudţlor d pr d drul uvrtăţlor t ş prupu uoştţ d lă ttă lgră ş gotr ltă urr pot utlă î ş ăură ş grlor rtătorlor r olo lulul ur d pltă pr rolvr uor plţ d doul gr Autor pră tă lurr ă răpudă volor tul ş ptă or ugt orvţ u opltr r v d prt utltorlor î vdr îuătăţr u opltăr uor vtor dţ Buurşt rt Autor

7 7 CUPRINS CAPITOU I ETODE NUERICE DE REZOVARE A ECUAŢIIOR AGEBRICE tod îuătăţr trvlulu ţ tod ord t tod tgtlor d ordul I lu Nwto Nwto-Rpo tod tgtlor d ordul II lu Nwto 7 tod trtvă g 9 tod tgtlor d ordul I lu Nwto ptru trgr rădă dr-u uăr potv 7 tod tgtlor d ordul II lu Nwto ptru trgr rădă dr-u uăr potv CAPITOU II ETODE NUERICE DE REZOVARE A SISTEEOR DE ECUAŢII INIARE tod lăr uv Gu tod Gu î ul tlor d uţ u tr dă tră 7 tod lăr uv Gu-Jord tod lăr Col 7 tod trtvă Jo tod trtvă Gu-Sdl 7 tod ptru vrr trlor 7 tod Gu Col 7 tod Gu - Jord ptru vrr trlor 7 tod prtţoăr 8 CAPITOU III ETODE NUERICE DE REZOVARE A SISTEEOR DE ECUAŢII NEINIARE tod trţlor pl Jo tod trtvă Nwto-Rpo tod grdtulu u tod d r ptă CAPITOU IV ETODE DE DETERINARE A VAORIOR ŞI VECTORIOR PROPRII AI UNEI ATRICE Vlor ş vtor propr ptru o tr 7 tod Dlv 8 tod Krlov 7 tod vrrr 8 tod oţlor dtrţ 8 tod trpolăr u drţ t lu Nwto 8 7 tod trţ trl 87

8 8 tod ur î gr CAPITOU V ETODE NUERICE CU DIERENŢE INITE Drţ progrv 9 Drţ rgrv 98 Drţ trl Drvr u utorul drţlor t Drvr u utorul drţlor progrv Drvr u utorul drţlor rgrv 9 Drvr u utorul drţlor t trl CAPITOU VI ETODE NUERICE PENTRU INTERPOAREA UNCŢIIOR tod ur d trpolr pololă Itrpolr pololă grg 7 Itrpolr pololă u drţ t orul d trpolr Nwto u drţ t progrv orul d trpolr Nwto u drţ t rgrv orul d trpolr Strlg u drţ trl 9 Itrpolr pololă Nwto u drţ dvt Apror pr r ourr Apror uţlor pr rgr tod lor pătrt 7 Itrpolr u uţ pl 7 uţ pl d grdul I 7 7 uţ pl d grdul II 7 7 uţ pl d grdul III 8 CAPITOU VII ETODE NUERICE DE DERIVARE A UNCŢIIOR 7 Drvr olod prol d trpolr 7 Drvr olod polol d trpolr grg 7 Drvr olod polol d trpolr Grgor-Nwto u drţ t progrv 7 Drvr olod polol d trpolr Nwto u drţ t rgrv 7 Drvr u utorul pololor d trpolr u drţ trl Strlg 7 Drvr u utorul dvoltărlor î r Tlor 7 CAPITOU VIII ETODE NUERICE DE INTEGRARE A UNCŢIIOR 8 Cudrtur Nwto-Cot 7 8 orul trplor grltă 7 8 orul Spo grltă 7 8 Cudrtur Gu-gdr 7 8 Cudrtur Cîşv 8 8 orul d tgrr olod trpolr Rrdo orul d tgrr Eulr-ur orull d tgrr Gu-gdr grlt 9

9 9 CAPITOU IX ETODE DE REZOVARE A ECUAŢIIOR DIERENŢIAE ORDINARE 9 Euţ drţl ordr d ordul 97 9 tod dvoltăr î r Tlor 98 9 tod Eulr 9 tod Rug-Kutt 9 tod Rug-Kutt ptru rolvr uţlor drţl d ordul II 9 tod Ad 97 tod Ad-Bort CAPITOU X - ETODA DEPASĂRIOR Itrodur 7 Strutură d tp ră u ţu î trpt olttă l îtdr-opru 8 Strutură plă ortă d r rtult olttă l îtdr opru Strutură plă ortă d r drpt u odur rgd olttă d r î plul Strutură plă ortă d r u odur rgd olttă d r prpdulr p plul BIBIOGRAIE 9

10 tod ur î gr

11 ETODE NUERICE DE REZOVARE A ECUAŢIIOR AGEBRICE Î prt gră îtâl dor tuţ î r t ră rolvr uor uţ lgr polol u trdt u o gură vrlă l ăror oluţ u pot oţ p l ltă pr todl uout î lgră Ptru rolvr uor uţ olo tod ur d lul protv r prt lulul rădălor u o pr ută uu lul gr oşut o uţ lgră d or Codţ ră ş ută ptru t ă ă o gură oluţ î trvlul [ ] t uţ ă otuă trt ootoă ş ă prt o r d p trvlul [ ] d tru ă îdplă odţl: : [ ] R ă o uţ Roll otuă ş drvlă î trvlul [ ] u > u < < < > u > < Cl utlt tod ur protv ptru dtrr oluţlor u uţ lgr ut: tod îuătăţr trvlulu ţ tod ord t tod tgtlor d ordul I lu Nwto Nwto- Rpo tod tgtlor d ordul II lu Nwto tod trtvă ptru uţ d or g U prtulr d plr todlor lu Nwto îl ottu trgr rădă d ordul dtr-u uăr potv N tod îuătăţr trvlulu ţ Et plă tutvă todă ură ptru dtrr rădă u uţ lgr d or rădăă lă î trvlul Codţl r ptru put pl tă todă ut: ă o uţ otuă drvlă ş trt ootoă î trvlul [ ] uţ ă prt o vrţ d î trvlul [ ] dă <

12 tod ur î gr tod ă p urătorul lgort: lulă vlorl uţ î tr put: l ptl trvlulu ş l loul dtţ: ş vră l lulă d ou vlorl uţ ptru utrvlul ptru r uţ prtă vrţ d î tr put: l ptl trvlulu rptv l loul dtţ rptă lgortul pâă âd oţ o lug ptru ultul utrvl ă dât ror rută ptru lulul rădă: ε - Sut pol urătorl ptru ur prtt î tlul : Tlul C Rădă ξ - ξ - - ξ - ξ - - ξ Î gur t prtt grul u uţ orpud ulu ş po ulu prtt î tlul O g Aplţ olod tod ţ ă l rădă uţ lgr trdt: l u o ror ε< - u l t ştd ă tă rădăă lă î trvlul [ ] Rolvr: Ptru dtrr oluţ uţ dt plă lgortul prtt u oţâdu- vlorl d tlul

13 tod ur d rolvr uţlor lgr u o gură vrlă Tlul Eror ε tod ţ t l ovrgtă Soluţ protvă uţ t ξ7 lultă u o ror ε < - după şpr pş tod ord t S odră o uţ otuă ş drvlă p trvlul [ ] tl îât îş odă ul dă t îdpltă odţ < ără lt grltt tod prupu ă uţ r o gură rădăă ξ î gur u < ş > B ξ O A g

14 tod ur î gr Î pră ă pot pro rădă uţ u puul d trţ u O drpt r tr pr putl A ş B d uţ: Putul d trţ l drpt u O oţ troduâd odţ î uţ S oţ: D gur rultă ă oul utrvl l rădă ξ t dor < Î otur lgortul rptă Prupu ă ultul utrvl ptru r uţ îş odă ul t - dă t îdpltă odţ: < Ţâd d rlţ pot r urător rlţ d rurţă tod ord u t: Aplţ olod tod ord ă dtr rădă uţ lgr: l u o ror ε < - u l t ştd ă lă î trvlul [ ] Rolvr Ptru lulul oluţ uţ plă rlţ d rurţă r odu l oţr vlorlor d tlul Tlul P - - Eror ε tod ord t l ovrgtă Soluţ protvă uţ lultă u o ror ε - î pş t: ξ78

15 tod ur d rolvr uţlor lgr u o gură vrlă tod tgtlor d ordul I lu Nwto Nwto-Rpo tod tgtlor d ordul I lu Nwto t o todă prt lulul protv l oluţ u uţ lgr u utorul tgt l grul uţ î putul S odră uţ r îdplşt urătorl odţ: t otuă ş drvlă p trvlul [ ] îş ă ul: < t trt ootoă > u < ş grul u dt u put d lu p trvlul [ ]: Î t odţ uţ dt o gură rădăă î trvlul [ ] ş pot pl tod tgtlor d ordul I lu Nwto Pr dvoltr î r Tlor uţ î urul putulu oţ: 7!!! Rţâd dor pr do tr t dvoltăr oţ uţ u drpt r rprtă tgt l grul uţ î putul A ş u rultă ş d gur : 8 Dă î uţ 8 pu odţ oţ putul d trţ l tgt u O: 9 Pr dvoltr î r Tlor uţ î urul putulu ş rţr prlor do tr oţ tgt l grul lu î putul B r trtă O î putul g : B ' O A g

16 tod ur î gr Ţâd d rlţl 9 ş rultă orul d rurţă tod tgtlor d ordul I lu Nwto Nwto-Rpo: Orvţ Algr puulu d trt ptru plr tod tgtlor t porttă îtruât oluţl orpuător lor trţ tru ă ovrgt ătr oluţ tă dă î trorul trvlulu S orvă d gur ă vlorl orpuător putulu d trt lă î trorul trvlulu î tp pr vlor orpuător putulu d trt lă î r lu Dă pr drvtă uţ ulă î trorul trvlulu u u t trt potvă u gtvă tod u t ovrgtă ş u pot orv î plul d gur B O A Î ul î r dou drvtă uţ ulă î trorul trvlulu grul uţ dt u put d lu î trorul trvlulu ş tod u t ovrgtă ş u pot orv î plul d gur B g O A g

17 tod ur d rolvr uţlor lgr u o gură vrlă 7 Aplţ olod tod tgtlor d ordul I lu Nwto ă dtr rădă uţ lgr: l u o ror ε< - u ş l ult d rotută ştd ă lă î trvlul [ ] Rolvr Notâd l tu drvtl lu ut: '' S orvă ă î trvlul [ ] ut îdplt odţl rut: ' > " Ptru dtrr oluţ protv plă rlţ d rurţă luâd put d trt oţâdu- vlorl d tlul Tlul P ' Eror ε E E- 78 8E- 8 S orvă d tlul ă tă todă t rpd ovrgtă Soluţ protvă uţ lultă u ş l t t ξ78 tod tgtlor d ordul II lu Nwto S odră uţ r îdplşt urătorl odţ: t otuă ş drvlă p trvlul [ ] îş ă ul: < t trt ootoă > u < ş grul u dt u put d lu p trvlul [ ]: Î t odţ uţ dt o gură rădăă î trvlul [ ] ş pot pl tod tgtlor d ordul II lu Nwto Pr dvoltr 7 î r Tlor uţ î urul putulu rţ dor pr do tr t dvoltăr oţ uţ u prol!! S orvă d rlţ ă uţ tr pr putul A ş r ş drvt u î putul : ' ' rptv : Puâd odţ î uţ oţ uţ:! Îloud pr - d trorul prt drpt u pr oţută î drul tod Nwto Rpo:

18 8 tod ur î gr 7 ' Soluţ uţ 7 t dtă d rlţ: 8 oţ uţ: Dă tă oluţ t î r trvlulu tu ă putul d trt l tod î l tod tgtlor d ordul I: 9 Ţâd d rlţl 8 ş 9 ddu rlţ d rurţă tod tgtlor d ordul II lu Nwto: Aplţ olod tod tgtlor d ordul II lu Nwto ă dtr rădă uţ lgr l u o ror ε< - u ş l ult d rotută ştd ă lă î trvlul [ ] Rolvr Ptru dtr rădă uţ pr tod tgtlor d ordul II lu Nwto orvă ă ut îdplt odţl rut ş ţâd d rlţ plă rlţ d rurţă oţâdu- vlorl d tlul Tlul P ' '' Eror ε E E S orvă ă tă todă t rpd ovrgtă S- lult oluţ uţ u o ror ε< -

19 tod ur d rolvr uţlor lgr u o gură vrlă 9 tod trtvă g o uţ otuă ş drvlă p trvlul [ ] trt ootoă r îdplşt odţ < Dă uţ r o gură rădăă ξ ş pot r u or vltă: g ud g t o uţ otuă î trvlul Dă şrul ort u utorul rlţ u or rlţ d rurţă: g t ovrgt tu lt tu şr t to rădă uţ Rlţ rprtă orul d rurţă tod g Î gur ut prtt două odur d oţr gră oluţlor uţ - r orpud tod g: î pr rprtr oţ oluţl uţ r î dou oluţl uţ vlt: p p g

20 tod ur î gr Aplţ olod tod trtvă ptru uţ d or g ă găă rădă uţ: u o ror ε< - u ş l ult d rotută ştd ă tă rădăă lă î trvlul Rolvr Euţ d u r u or vltă g tl: Rlţ d rurţă ptru t r tl: Plâd d l ş îloud î oţ vlorl d tlul Tlul P Eror ε Plâd d l ş îloud î oţ vlorl d tlul 7 Tlul 7 P Eror ε S orvă ă ptru t tod t ovrgtă O oluţ protvă uţ lultă u o ror ε< - t ξ799 Aplţ Să găă rădă uţ: u o ror ε< - ştd ă lă î trvlul Rolvr Euţ r u or vltă g tl: u: Rlţ d rurţă orpuător t: Plâd d l ş îloud î oţ vlorl d tlul 8

21 tod ur d rolvr uţlor lgr u o gură vrlă Tlul 8 P Eror ε S orvă ă ptru t tod t l ovrgtă O oluţ protvă uţ lultă u o ror ε< - t: ξ7 tod tgtlor d ordul I lu Nwto ptru trgr rădă dtr-u uăr potv Rădă d ordul dtr-u uăr potv N: N t vltă u oluţ uţ: N 7 olod rlţ d rurţă d l tod tgtlor d ordul I lu Nwto î r îlouşt drvt: oţ urător rlţ d rurţă ptru lulul rădă d ordul dtr-u uăr N: Aplţ 7 N N u 8 olod rlţ d rurţă 8 ă lul 7 7 N u o ror ε< - Rolvr Îloud 7 ş N î rlţ 8 oţ rlţ d rurţă: 9 7 Dă odră put d trt oţ vlorl d tlul 9 Tlul 9 P Eror ε

22 tod ur î gr S orvă ă tod t ovrgtă După ş pş oţ oţ vlor protvă rădă 8 u o ror ε< - 7 tod tgtlor d ordul II lu Nwto ptru trgr rădă dtr-u uăr potv C ş î ul prdt rădă N t vltă u oluţ uţ: N olod rlţ d rurţă d l tod tgtlor d ordul II lu Nwto ş îloud prl pr ş l d dou drvt uţ N : oţ urător rlţ d rurţă ptru lulul rădă d ordul dtr-u uăr N: u: N N N N Aplţ 8 olod rlţ d rurţă 8 ă lul 7 u o ror ε< -7 Rolvr Îloud 7 ş N î rlţ 8 oţ rlţ d rurţă: 7 7 Dă odră put d trt oţ vlorl d tlul Tlul P Eror S orvă ă tod t rpd ovrgtă După ptru pş oţ o vlor protvă rădă u o ror d ε< -7 : 8989

23 ETODE NUERICE DE REZOVARE A SISTEEOR DE ECUAŢII INIARE Stl d uţ lr t uul dtr dol tt î r todl ur ş utlr lultorulu ş-u dovdt d pl utltt rolvr uor t lr d uţ u r l r pr l tod ltlor t olo drt tod r u op rdur uărulu d oprţ ltr î rport u l orpuător tod l d rolvr olod rgul lu Crr dă rdur uărulu d dt d or lultorulu urtr tpulu tv d lul ş u î ultul râd rdur rorlor d lul todl olot î prt ptru rolvr tlor d uţ lr ut d două lur: tod d lr Gu Gu-Jord Col t tod trtv Gu-Sdl Jo t tod lăr uv Gu tod Gu otă î lr uvă uoutlor d uţl tulu prtr-u lgort dtul d plu î l oţâdu- u uăr d oprţ ult rdu dât î ul î r oloşt rgul lu Crr ud lulul dtrţlor plă u uăr ort r d oprţ S odră tul lr d uţ u uout : ud: Stul pot r u or trlă tl: [A] {X} {B} [A] rprtă tr oţlor uoutlor tulu o tr pătrtă gulră dt [A] vâd ltl { } { } T X tr oloă uoutlor { } { } T B tr oloă trlor lr

24 tod ur î gr Pr tod Gu urărşt oţr d tr ul î tr tulu [A] pr ut oprţ ltr tut ult upr llor trlor [A] ş {B} ş u îtr l d pvotr ş ll tut u tă l î l oţâdu- o tr d or: [ ] A tod Gu otă dtr-u lgort ort d pş: Pul : S lă uout d uţl l tulu dă ulă prl lt l llor d tr [A] Prupuâd ă l uşt l d pvotr S ută vlor olută prulu lt l l d pvotr ă ât r Î ul î r u r o vlor olută ort ă ă poţ l u orpuător l vâd vlor olută prulu lt r S îprt ltl lu trlor [A] ş {B} l oţâdu-: S d ll tut u l d pvotr d l ultplă u prl ltl l tor l: oţâdu-: După prul p oţ tul vlt d uţ: Pul : u odă S prodă log l pul u uţl ulâd prl două lt l llor d tr [A] Prupuâd ă l dou t l d pvotr S îprt l l otul lu ş d ll tut u ou l d pvotr d l ultplă u prl ltl l tor l oţâdu-:

25 tod ur d rolvr tlor d uţ lr După l d l dol p oţ tul vlt d uţ: 7 Produl rptă ptru lllt l d pvotr tl îât după pş ug l tul vlt d uţ: 8 Nuoutl dtră pr uttuţ pord d l ult uţ ş po uv pâă l pr uţ oţâdu: 9

26 tod ur î gr Aplţ olod tod Gu ă rolv tul d uţ: 8 tr tulu [A] ş r oloă trlor lr [B] ru: [ ] { } 8 B A Pul : Coţ dtră u utorul rlţlor ş După pul oţ tul d uţ: Pul : Euţ u odă Coţ dtră u utorul rlţlor ş După pul oţ tul d uţ: Pul : Euţl ş u odă După pul oţ tul d uţ: Soluţ tu t oţ dt pr rtrouttuţ îpâd u ult uţ tulu d uţ ş îd u pr:

27 tod ur d rolvr tlor d uţ lr 7 tod Gu î ul tlor d uţ lr u tr dă ş tră Dă tr pătrtă [A] tulu d uţ r oţ tr ţă d pr dgolă dă: pu ă t t o tr tră Î plu âd oţ tuţ d o prt ş lltă ţă d pr dgolă tr pătrt [A] u vlor ul u u tot ul dă ptru: d d d d l l l l ud: l d { } t lăţ d dă r tot lllt vlor l oţlor ut ul tu pu ă tr pătrtă [A] t o tr dă ş tră tr dă ş tră: [ ] A S trg d tr [A] tr drptugulră [S] orpuător u d tr [A] r r lăţ l d : [ ] S 7 Dă dul tr [A] ut ort r tod Gu pot îuătăţtă ptru url prtulr d tr prtt u tl: ptru tr tră [A] t ută rţr uu uăr d vlor: N 8 ptru tr [A] dă ş tră vâd lăţ d dă l d t ută rţr uu uăr d vlor: N l d 9

28 8 tod ur î gr At luru ută tl: î ul trlor dă ş tr olod tod Gu l pul ut r u prl l d uţ dor oţ lu orpuător llor l d ut d ul Ptru llţ pş ut r d dor prl l d uţ Î oţă ptru r p t ută rţr uu uăr d l d lt d tr dă [S] ş uu uăr d l d lt d tr [B] uărul d totl d lt rdu tl d l: l l d ld D plu ptru o tr dă ş tră [A] vâd lăţ d dă: l d ut r: pr tod lăr lu Gu oşută : vlor pr tod lăr lu Gu îuătăţtă l d l d vlor Rultă î t o rdur uărulu totl d lt : E 99 7% Aplţ olod tod Gu îuătăţtă ptru t u tr dă ş tră ă rolv urătorul t d uţ lr: tr tulu [A] t o tr dă ş tră vâd l d : A [ ] [ B] Î lul v olo tr drptugulră orpuător lu [A]: [ S ] Aplâd lgortul d lr l tod Gu ş ţâd d ptul ă tr [A] t tră r î tr [S] tot ltl tut p

29 tod ur d rolvr tlor d uţ lr 9 l u ot prutt l tâg u - utăţ lulă ltl trlor [S] ş {B} u utorul urătorlor rlţ: Pul : S lă o oţ tr drptugulr [S] ş tr oloă {B} olod rlţl: l d l l d d Îloud oţ rulttl: 7 7 După pul oţ trl: [ ] 7 S { } 7 B Pul : Coţ trlor [S] ş {B} lă olod rlţl: d l 7 7

30 tod ur î gr După pul oţ trl: [ ] 8 S ş { } B 9 Pul : Coţ trlor [S] ş{b} lă olod rlţl: d l l l d d Îloud oţ: După pul oţ trl:

31 tod ur d rolvr tlor d uţ lr [ S] 9 7 ş { } 9 B Pul : Coţ trlor [S] ş {B} lă tl: ld l d l d S oţ ol tr: [ S] ş { } B

32 tod ur î gr Pul : S lă oţ trlor [S] ş {B} olod rlţl: d l După pul oţ trl: [ ] 9 S ş [ ] 9 B 7 Î grl ptru dtrr oţlor trlor [S] ş {B} l pul olo rlţl: d l l l d d 8 Soluţl oţ pr uttuţ îpâd u ult uoută ş îd u pr olod rlţl: l d 9 Îloud vlorl dt d rlţl 7 oţ oluţ tulu:

33 tod ur d rolvr tlor d uţ lr tod lăr uv Gu - Jord Et o todă d rolvr tlor d uţ lr lră u tod Gu î r pr ut u oţ lr tut îtr ll tr [A] ş {B} oţ lt ul ptru tot ll tr [A] u pţ lor tut p dgol prplă r u vlor Pr tod Gu-Jord troră tr [A] î tr utt [I] r tr oloă {B} dv tr oluţlor tulu d uţ Îtr-dvăr dă îulţ l tâg rlţ u tr [A] - t dotrtă tă rţ: [ ] [ ]{ } [ ] { } { } [ ] { } B A X B A X A A ţă d tod Gu l tod Gu-Jord uărul d oprţ rşt î pr ă dr rdu î d uttuţ dor uoutl oţ drt d ltl tr {B} S odră tul d uţ lr: tod Gu-Jord oloşt urătorul lgort: Pul : t l d pvotr r otul t pvot: îprt ltl l l otul oţâdu-: d l ultpltă u rptv d uţl oţâdu- ol lt: După pul oţ tul d uţ:

34 tod ur î gr Pul : t ou l d pvtr r otul t pvot tât ptru l ât ş ptru ll îprt uţ l otul ş lă uout d uţl lulâdu- o oţ u utorul rlţlor: : : 7 : 8 După pul l dol oţ tul d uţ: 9 pş prodă î od log Î l rultă tul d uţ: S orvă ă pr tod Gu Jord ltl oţut ptru tr {B} ut to oluţl tulu d uţ

35 tod ur d rolvr tlor d uţ lr Aplţ olod tod Gu-Jord ă rolv tul d uţ: 8 tr tulu [A] ş tr oloă trlor lr {B} ut: [ ] { } 8 B A Pul : Coţ dtră u utorul rlţlor : După prul p tr tulu [A] ş tr oloă {B} dv: [ ] { } B A Pul : Coţ dtră u utorul rlţlor : 7

36 tod ur î gr După l dol p tr tulu [A] ş tr oloă {B} dv: [ ] { } 7 8 B A Pul : Coţ dtră u utorul rlţlor: După l trl p tr tulu [A] ş tr oloă {B} dv: [ ] { } 8 B A 8 Pul : Coţ dtră u utorul rlţlor :

37 tod ur d rolvr tlor d uţ lr 7 După t p tr tulu [A] ş tr oloă {B} dv: A [ ] { B} S-u oţut ptru ltl tr oloă {B} r oluţl tulu : tod lăr Col Et o todă d lr u u p prt r prt rolvr uţ trl : [ A ]{ X} { B} pr dopur tr pătrt [A] îtr-u produ d două tr trugulr [] ş [S]: [ A ] [ ][ S] or grlă tr pătrt [A] t: [ A] tr trugulră roră [] ş tr trugulră uproră [S] u prl grl: [ ] l l l l l l l l l l [ S] Eltl trlor [] ş [S] dtră d uţl trlă r r p olo tl: l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l D uţl rultă urătorl rlţ grl d rurţă ptru lulul ltlor trlor [] ş [S] :

38 tod ur î gr 8 l l l l < Elt trlor [] ş [S] lulă î urător uu: l l l l l 7 C urr rr tr u or: [ ] [ ][ ] S A uţ trlă tulu dv: [ ][ ]{} { } B S u [ ]{ } { } Β Λ 8 ud { } [ ]{ } S Λ t o tr oloă l ăr lt dtră pr uttuţ tl: l l l l l l l l l 9 Rultă urătorl pr ptru ltl : l l l l l l l 7 Nuoutl dtră d uţ trlă { } [ ]{ } S Λ : 7 Nuoutl dtră d tul 7 pr uttuţ îpâd u ult uţ Rultă urătorl pr: 7

39 tod ur d rolvr tlor d uţ lr 9 Aplţ olod tod Col ă rolv tul d uţ: 9 7 trl [A] ş {B} orpuător tulu 7 ut: [ ] { B} 7 9 A 7 7 Ptru dtr ltl lor două tr trugulr [] ş [S] prodă tl: dtră îtâ ltl d pr oloă tr [] ş ltl d pr l tr [S] oor rlţlor : l dtră po lt l l l l l l l l l l l l l l l l trl trugulr [] ş [S] ut: 7 l oor rlţlor : 7 77 l l l [ ] [ S] Coor rlţlor 7 dtră pr uttuţ ltl tr trdr { Λ } d tul d uţ: 9 7 8

40 tod ur î gr Coor rlţlor 7 dtră pr uttuţ ltl tr uoutlor { X } d tul d uţ:: 8 tod trtvă Jo Î ră d todl t Gu ş Gu Jord olo ş tod trtv protv d rolvr tlor d uţ At tod prtă ul vt ş dvt Dă ptru rolvr uu t olod tod Gu uărul d oprţ r ptru dtrr oluţlor t N uărul d oprţ r ptru dtrr oluţlor olod todl trtv t dât î ul tod Gu dr pr ror d lul l oluţ Dă t ror rdu u r trţ pu ă tod trtvă t ovrgtă todl trtv prt ş rolvr tlor lr d uţ tul d uţ r trl u or: [ ]{ X} { B} A 8 tod trtvă Jo ă p prr ăr uout î uţ d lllt uout prurgâd urătorul lgort: troră tr tulu [A] pr r poţ uţlor d lul tulu tl îât p dgol prplă ă găă ltl vâd l r vlor olut Ptru ou tr lulă doţ p l dă rportul dtr vlor olută ltulu lt p dgol prplă ş u vlorlor olut l lorllt lt lt p ş l u doţ p olo dă rportul dtr vlor olută ltulu lt p dgol prplă ş u vlorlor olut l lorllt lt lt p ş oloă pră uoutl î uţ d lllt uout olod uţ ulu 8: 8 ş rultă rlţl d lul l lu : 8 vlorl ţl l uoutlor ott u lg rtrr r vlorl orpuător trţlor lulă ţâd d 8 olod rlţl d rurţă:

41 tod ur d rolvr tlor d uţ lr 8 tod Jo t ovrgtă dă ut îdplt urătorl odţ: doţ tr [A] p l ă uprutră dă: < doţ tr [A] p olo ă uprutră dă: < 8 8 u pătrtlor rportlor dtr tr ş ltul orpuător lt p dgol prplă ă uutr: < 87 Aplţ Să rolv u o pr d - pr tod Jo tul lr d uţ: 8 88 Rolvr Ptru îdplt odţ d ovrgţă 8 î tul d uţ 88 vră pr uţ u d- dou oţâdu-: 8 89 Stul 89 r o tr dotă p l doţl orpuător d: 8 d d d 9 Rlţl d rurţă î t ru:

42 tod ur î gr 8 S odră vlorl ţl: { } X { } T 9 9 Îloud î rlţl 9 vlorl ţl l uoutlor 9 ş po l l oţut d trţl ş oţ vlorl d tlul Tlul Itrţ Soluţ tă - S orvă ă oluţ t ovrgtă tod trtvă Gu - Sdl Ată todă t tot o todă trtvă r doşt d tod Jo pr ptul ă l trţ olo tât uoutl lult l trţ - > ât ş uoutl lult r l trţ < Ptru tă todă oţ o ovrgţă rpdă oluţ Rlţl d lul l tod Gu-Sdl ptru trţ ut: 9 Prupuâd ă tr [A] t dotă p l lulul trtv v îp u uţ vâd doţ r Sut r lş odţ d ovrgţă l d l tod Jo d uţ: Aplţ olod tod Gu-Sdl ă rolv u o pr d - tul 8 9

43 tod ur d rolvr tlor d uţ lr Rolvr Ptru îdplt odţ d ovrgţă 8 î tul d uţ 88 vră pr uţ u d- dou oţâdu-: 8 9 Doţl orpuător ptru r l u ot lult l plţ : 8 d d d 9 Ptru tul 9 lulul trtv v îp u pr uţ r r doţ r po otuă u uţ tr ş î l dou Rlţl d rurţă l tod Gu-Sdl ru: 8 Vlorl ţl l uoutlor lg tl : { } X { } T Îloud î rlţl 97 vlorl ţl l uoutlor 98 ş po l l oţut d trţl ş oţ vlorl d tlul Tlul Itrţ Soluţ tă - Soluţ oţută pr tod Gu-Sdl t rpd ovrgtă 7 tod ptru vrr trlor Rolvr uu t d uţ pot trl dă vră tr tulu [A] Îtr-dvăr îulţd l tâg uţ trlă orpuător tulu [ A ]{ X} { B} u tr vră [A] - oţ tr uoutlor tulu: { X} [ A] { B} 99

44 tod ur î gr Ptru vrr u tr pătrt [A] olo ult tod r ut prtt î otur 7 todl Gu Col ptru vrr trlor At tod prt vrr u tr pătrt olod prpl prtt l prgrl ş u prr ă t tod plă d or dă ptru t d uţ lr Dâdu- uţ trlă: [ A ] [ X ] [ I ] îă ă tr pătrtă [X] rprtă to vr tr [A]: [ ] [ A] X Euţ trlă r u or urătorlor t d uţ orpuător lor olo l tr utt [I ]: Colo : Colo : Colo : tod prttă d vrr tr [A] t loroă uărul d oprţ d d or r dât l orpuător todlor Gu rptv Col

45 tod ur d rolvr tlor d uţ lr 7 tod Gu - Jord ptru vrr trlor tod Gu-Jord ptru vrr trlor oloşt lş prp prtt l prgrul u orvţ ă î t oprţl d lr plă tât tr [A] ât ş tr [I] A X I r: Euţ trlă [ ] [ ] [ ] [ X ] Ptru vrr tr [A] pr tod lăr uv Gu- Jord oloşt lş lgort prtt l prgrul u dor ă oprţl ltr tât upr llor tr [A] ât ş upr llor tr [I ] Prupu dă u r o vlor proptă d ro ută u lt ş ă poţ uout u u pvot l tulu r l orpuător o l d pvotr Algortul r ş pş ş l prgrul : Pul : t l d pvotr ş pvotul îprt ltl d p tă l l trlor [A] ş [I] l : Eltl llor l trlor [A] ş [I] duă u ltl dt d rlţ ultplt u - 7 După prul p oţ uţ trlă: [ ] X 8 Pul t u l d pvotr ş pvotul îprt ltl d p tă l l trlor [A] ş [I] l po lă ltl lt p olo tr [A] d ll oţâdu-:

46 tod ur î gr 9 După l dol p oţ tul d uţ: [ ] X După pul oţ tul d uţ: [ ] X Rlţ trlă t vltă u: [ X ] [ A] Aplţ 7 olod tod Gu-Jord ă dtr vr tr: Rolvr A 8 [ ] Rlţ [ ][ X ] [ I ] A r î t tl:

47 tod ur d rolvr tlor d uţ lr 7 [ ] 8 X Pul : olod l l d pvotr oţ: [ ] X 7 Pul : olod l l d pvotr oţ: [ ] 8 X 8 Pul : olod l l d pvotr oţ: [ ] 8 X 9 Pul : olod l l d pvotr oţ: [ ] 8 X S- oţut tl tr vră: [][ ] [ ] 8 A X I

48 tod ur î gr 8 7 tod prtţoăr ptru vrr trlor Î ul ur d plu âd ut o l tr oţ lt ul pot dv tr î ptru utr [A ] [A ] [A ] ş [A ] tl îât utrl d p dgol prplă [A ] ş [A ] ă pătrt: [ ] A A A A A Dă otă vr tr [A]: [ ] [ ] X X X X A X t vllă uţ trlă: [ ][ ] I I X X X X A A A A A A r r: [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] I X A X A X A X A X A X A I X A X A D tr uţ trlă rultă: [ ] [ ] [ ][ ] X A A X Îloud î pr uţ trlă oţ: [ ] [ ] [ ][ ] [ ] A A A A X 7 D dou uţ trlă rultă: [ ] [ ] [ ][ ] X A A X 8 Îloud î ptr uţ trlă oţ: [ ] [ ] [ ][ ] [ ] A A A A X 9 Ptru lulul tr vr [A] - t ră vrr trlor [A ] ş [A ]

49 tod ur d rolvr tlor d uţ lr 9 Aplţ 8 olod tod prtţoăr ă dtr vr tr: [ ] A Rolvr S prtţoă tr [A] tl: [ ] A A A A A Ivrl trlor [A ] ş [A ] lulă dt: [ ] [ ] [ ] A A dt A * [ ] [ ] [ ] A A dt A * olod rlţ 7 lulă tr [X ]: [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] X A A A A X Rultă: [ ] X olod rlţ lulă tr [X ]: [ ] [ ] [ ][ ] X A A X Rultă:

50 tod ur î gr [ ] 8 X 7 olod rlţ 9 lulă tr [X ]: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] X X A A A A X 8 olod rlţ 8 lulă tr [X ]: [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] X X X A A X 9 D tr [A] - r pr: [ ] [ ] 8 A X

51 ETODE NUERICE DE REZOVARE A SISTEEOR DE ECUAŢII NEINIARE Cu pţ uor ur pl rolvr tlor d uţ lr u pr tod trtv S odră tul d uţ lr u or oă: u u or trlă: { } { } Soluţl tulu d uţ lr oţut pr todl trtv ut ovrgt dă ut îdplt odţl: uţl ut otu ş drvl p doul d dţ vlorl ţl ş vlorl l şrulu r rultă î ur trţlor prţ doulu d dţ şrul d vlor l şrulu trţ t ovrgt dă dă tă lt: α l Cl utlt tod trtv d rolvr tlor d uţ lr prtt î otur ut: tod Jo tod Nwto Rpo ş tod grdtulu tod trţlor pl Jo Stul d uţ lr r u or oă tl:

52 tod ur î gr Stul r u or trlă tl: { X } { } Rlţ d rurţă orpuător tod Jo ptru trţ oţ drt pr prr uourt d uţ tulu î uţ d uoutl lult l trţ troră -: Eror d lul oluţ orpuător trţ lulă tl: E ud : α { α α α } 7 O rştr pr oluţ orpuător trţ rlă dă î rlţ d rurţă u î lul vlorl d oţut ptru uoutl l tă trţ S oţ d ou rlţ d rurţă: 8 Soluţ protvă { } orpuător trţ t ovrgtă dă ut îdplt odţl: ε 9 ε ud ε ş ε ut două vlor orât d dpâd d ordul l trţ tod trtvă Nwto - Rpo tul d uţ lr î r uţl ut drvl î rport u tot vrll u drvtl d ordul îtâ otu p doul d dţ tr uţolă u Joul tulu t o tr gulră ptru vlor l vrllor gl u vlorl oluţ tulu pru ş ptru or vlor tut îtr-o vătt oluţ: dt J [ ]

53 tod ur d rolvr tlor d uţ lr Soluţ tă pot r u dtr oluţ protvă { } X ş ror { } ε orpuător trţ dă: { } { } { } X X ε î r - ott: { } { } { } { } T T X ε ε ε ε Dă pră uţl îtr-o vătt oluţ t olod dvoltr î r Tlor ş rţ dor tr orpuător pr drvt oţ: ε ε ε ε Ţâd d rlţ oţ u t d uţ lr vâd uout ε d or: ε Stul pot r u oră trlă tl: [ ] { } { } J ε 7 ud [ ] J t tr rtrtă u Joul tulu: [ ] J 8 ud - ott: 9 Îtruât pr potă tr rtrtă 8 t gulră pot vrtă Îulţd uţ trlă 7 l tâg u tr vră [ ] J oţ o tr rorlor orpuător trţ : { } [ ] { } J ε

54 tod ur î gr Ţâd d rlţ oţ oluţ protvă orpuător trţ rptv u { X } { X } { ε } u: { } { } [ ] X X J { } Epr rprtă rlţ trtvă tod Nwto Rpo Ptru oluţ protvă ţlă { X } pot lu or vlor d vătt oluţ t tod d rpd ovrgtă S orvă ltud rlţ oţută ptru t d uţ lr u rlţ Nwto Rpo orpuător uţlor u o gură vrlă Aplţ S odră ul ptrultr rtult d gur olod tod Nwto-Rpo ă dtr oluţl β ψ u o ror d ε - ptru urătorl tr poţ l vl: S du vlorl ur ptru dul ltlor ulu otţl d oor gur : d r R B ψ A β R A r d B ψ g Rolvr Stul d uţ lr r ură l două uout l prol β ψ oţ rd proţl oturulu î ortt A ABB după l două O rptv O oor gur : pro : pro : r o o β Ro ψ d o r β R ψ d

55 tod ur d rolvr tlor d uţ lr Dor ărl r R d ut ott r ugul t u prtru d rlţ rultă tul lr u uoutl β ş ψ : r o o β Roψ d r β R ψ Ptru rolv tul olod tod Nwto Rpo ptru poţ vl dtă d ugul oluţ ţlă d vătt oluţ t oluţ: { } β X ψ 9 Soluţ orpuător trţ oor rlţ r: { X } { X } [ ] J { } ud: { r o o β Roψ d } r β R ψ Joul tulu dtră tl: β ψ β R ψ [ J ] o β Roψ β ψ r vr lu r pr: Roψ R β ψ o β R ψ [ J ] β S vră dă t dvărtă rlţ: [ J ] [ J ] [ I ] Epr 8 orpuător trţ t: [ ] Roψ R ψ J R β ψ o β β Îloud prl ş 9 î oţ rlţ d rurţă: β β Roψ R ψ r o o β Roψ d ψ ψ R β ψ o β β r β R ψ Etuâd lull oţ după prl două trţ vlorl oluţ u o ror ă d : β 88 ş ψ 878 oor tlulu tod t rpd ovrgtă

56 tod ur î gr Ptru lllt două poţ l vl A A: ş plă lş lgort luâdu- oluţ ţl vlorl oţut l poţ prdtă β ψ rptv β ψ oor tlulu Tlul β ψ β ψ ε β ε ψ E- E E-7 E E-8 9E- Aplţ S odră ul u pr u gu vâd tă d gur olod tod Nwto Rpo r ă ă l poţolă ptru o rotţ opltă vl A A îpâd u pâă l 7 d î ş u o pr d ε Vlorl ur l prtrlor d d r R ut g : d d r R 8 D B ψ d A r A β d R B γ C Rolvr g

57 tod ur d rolvr tlor d uţ lr 7 Aş u orvă d gur uoutl prol β ψ γ u ut dpdt Euţl lr ptru dtrr tor uout oţ pr rr proţlor otururlor î A ABB DA rptv B BCB p l două O ş O ţâd d ugurl vtorlor oră oturul î rport u l d oordot O ş O oor tlulu Tlul Vtorul A A AB BB B D DA CB B C Ugul u O β ψ γ 7 Ugul u O - 9 β - 9 ψ γ Su proţlor vtorlor ptru două oturur după O ş O r: r o oβ Ro ψ 8 d o8 d o7 r β R ψ 8 d 8 d 7 oγ Ro ψ 8 o7 γ R ψ 8 7 Dor prtr r R d d u vlor ott r t u prtru vrl rultă urătorul t lr vâd uout ugurl β ψ γ ş dtţ : βψγ r o o β R oψ d βψγ r β R ψ d βψγ R oψ o γ βψγ R ψ γ Soluţ tulu orpuător trţ oor rlţ r : { X } { X } [ J ] { } ud: - vtorul oloă { } r pr: { } r o o β Roψ d r β R ψ d Roψ oγ R ψ γ - tr Jo tulu r or: [ ] β R ψ o β Roψ J R ψ γ Roψ oγ Ivr tr o r pr:

58 tod ur î gr 8 [ ] γ γ ψ β γ γ ψ β ψ β γ γ ψ β γ ψ β γ ψ β ψ β γ ψ β ψ β β ψ β β ψ β ψ ψ β ψ o o o R R o o J Soluţ orpuător trţ r: [ ] R o Ro d R r d Ro o r o J γ ψ γ ψ ψ β ψ β γ ψ β γ ψ β 7 Rlţ trlă 7 r lt: d R r R d Ro o r o R o d R r d Ro o r o o ψ β ψ β β ψ β ψ β β ψ ψ ψ β ψ β ψ ψ β ψ β ψ β β 8 o Ro d R r d Ro o r o o γ ψ γ ψ β ψ β γ ψ β ψ β ψ β γ ψ β γ γ R o Ro o d R r d Ro o r o o γ ψ γ ψ γ γ ψ β ψ β γ γ ψ β ψ β ψ β γ γ ψ β

59 tod ur d rolvr tlor d uţ lr 9 Etuâd lull ş odrâd oluţ ţlă ptru vlorl protv: { β ψ γ } { } după prl ptru trţ oţ oluţ: {β 8 ψ 88 β 8 87} u o ror ă d rptv oor tlulu Tlul β ψ γ εβ εψ εγ ε E E- -8E- -8E- -8 Ptru lllt d poţ l vl A A dt d ugurl plă lş lgort luâdu- oluţ protv ţl vlorl oţut ptru poţ prdtă Rulttl oţut ut dt î tlul Tlul t p g t p g rd rd rd rd

60 tod ur î gr

61 tod ur d rolvr tlor d uţ lr

62 tod ur î gr

63 tod ur d rolvr tlor d uţ lr S orvă d tlul ă tod Nwto-Rpo t o todă ovrgtă r gură u grd rdt d pr după u tr pş vlorl oţut ptru ş ptru 7 ut dt rtă ă rorl d lul d l u p l lăllt u uulă Î gur t prttă gr vrţ ur pr prtrul S orvă d tă dgră ă vrţ lu î o dtă d ugurl t ort rduă t o rtrtă pr d pr Sr pot vl g

64 tod ur î gr tod grdtulu u tod d r ptă tul d uţ lr: 9 u trl: { } uţl ut drvl u drvtl d ordul îtâ otu p doul d dţ S odră uţ dtă pr: U u : U [ ] T { } { } ud U rprtă o uprţă d vl î pţul -dol S odră u vtor d poţ î pţul -dol orr: { X } { } T S dşt uprţ d vl r oţ vârul tu vtor d T uţ: U { } { } Dă du orl l uprţ d vl U î putul X tă orlă prt oţr orpuător vârulu vtorulu ţl { } uu ou vtor d poţ: { X } { } T vâd vârul p uprţ d vl U î gur { X } O { X } U U g

65 tod ur d rolvr tlor d uţ lr Euţ oulu vtor d poţ { } X r: { } { } { } grd U X X ud: { } T U U U U grdu t grdtul uţ U lult î putul dă u vtor orl l uprţ d vl U - u tor dtră dtr-o odţ d Î od lr pot r o rlţ orpuător trţ îtr vtorul { } X ş vtorul { } X : { } { } { } grd U X X 7 torul dtră d odţ uţ Φ ă ă ud Φ t dtă tl: [ ] U grd U Φ 8 Codţ d r: [ ] Φ U grd U d d 9 Ţâd d uţ 9 r u or: Φ grdu grdu grdu d d Rultă: grdu grdu Rlţ r trl tl: { } [ ] [ ] [ ] grdu J grdu J grdu J ud oul [J ] r pr:

66 tod ur î gr [ ] J Ţâd d prl drvtlor prţl: U rultă pr grdtulu l uprţ U: { } { } [ ] { } J U grd u : U grd T Ţâd d rlţ grdtulu rlţ dv: { } [ ][ ] { } [ ][ ] { } [ ][ ] { } J J J J J J T T T { } { } { } { } { } [ ][ ] { } J J R ud: R R R u T 7 S oţ rlţ d rurţă tod d r ptă: { } { } [ ] { } J X X T 8 Î ul prtulr l uu t lr d uţ oţ: { } [ ]{ } { } B X A [ ] [ ] A J 9 { } { } [ ] [ ]{ } { } { } { } [ ] { } R A X X B A A X X T T ud - ott: { } [ ]{ } { } B X A R rduul vtorulu { } X { } [ ][ ] { } [ ][ ] { } [ ][ ] { } R A A R A A R A A R T T T

67 ETODE DE DETERINARE A VAORIOR ŞI VECTORIOR PROPRII AI UNEI ATRICE Vlor ş vtor propr ptru o tr S odră tr pătrtă [A] uu t d uţ lr u uout Vlorl propr l tr [A] ott ut oluţl uţ rtrt: dt [ A] [ I ] ud: [I ] t tr utt vâd du Cuoâd vlorl propr vtor propr { X } tr [A] rprtă oluţl uţ d vlor propr: [ A]{ X} { } X u oluţl ul l tulu oog vlt u : [ A] [ ]{ } I X { } Dtrtul rtrt l tr [A] t dtrtul tr tulu d uţ oog : D dt [ A] [ I ] Euţ rtrtă r u oră pololă tl: σ σ σ σ ud oţ polol σ σ σ σ rprtă u orlor d u ut ord lţ p dgol prplă dtrtulu rtrt D: αα αβ σ σ σ αα α σ dt [ A] α< β βα ββ αα βα α< β< γ γα αβ ββ γβ αγ βγ γγ

68 8 tod ur î gr Nuărul orlor dgol d ordul t dtrţ tru lulţ t: C r uărul totl d N C 7 Clulul vlorlor propr l tr [A] olod rlţl ş t loro d olo todl ur prtt î otur tod Dlv tod Dlv otă î trorr dtrtulu rtrt D l tr [A]: D îtr-o oră vltă ută or orlă lu rou: p p p p p * D 8 9 Dă dvoltă t dtrt după pr l oţ uţ rtrtă u or: * D p p p p p tr rou orpuător tr [A] dşt tl: p p p p p [ P] tr rou t o tr r r lş polo rtrt ş tr [A] dă: dt A I dt P I [ ] [ ] [ ] [ ] Ptru oţ tr rou [P] prurg urător pş:

69 tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 9 Prul p otă î tur d trorăr lr upr tr [A] u oţ l llor l tl îât ă oţă î loul ult l ltl: [ ] tr [A] : [ A] ptru r odră l d pvotr ptru oprţl r ură Î tr utt [I ] odă l - tl îât oţ : [ ] ud ltl d p l - tr [] - lulă olod ltl tut p l d pvotr tr [A] u utorul rlţlor: Dă ultplă tr [A] u tr [] - oţ o tr r r p ult l ltl [ ]: [ B] [ A][ ] ud ltl lulă tl: S pot vr ă vr tr t d or: [ ] 7 8

70 7 tod ur î gr tr [C]: [ ] [ ] [ I ] 9 Dă ultplă tr [B] l tâg u tr [ ] [ C] [ ] [ B] [ ] [ A][ ] [ C] ud ltl lulă tl: oţ S pot dortr ă tr [C] tl oţută r lş dtrt u l l tr [A] Pul l dol oloşt lş lgort prtt l pul îă ptru tr [C] odrâd î t l d pvotr - l răââd tă Î tr utt [I ] odă l - tl îât oţ tr: [ ] ud ltl d p l - tr [] - lulă olod ltl tut p l d pvotr - tr [C] u utorul rlţlor: tr vră [ ] [ ] r pr Dă ultplă tr [C] l tâg u tr [ ] u [] - oţ tr [D]: ş l drpt

71 tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 7 Rultă tr : [ ] [ ] [ ][ ] [ ] d d d d d d d d d d d d d d d D C D Ptru pş rptă lgortul prtt î l oţâdu- tr rou r r lş dtrt rtrt u l l tr [A]: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] p p p p p P A P o vlor propr tr [P] ş {Y} vtorul propru orpuător vlor propr t uţ trlă: [ ]{} {} Y Y P 7 Rlţ trlă r u or: [ ] [ ] {} { } Y I P 7 u: p p p p p 8 Euţ trlă 8 rprtă u t oog d uţ r dt oluţ l dă dtrtul ău t ul Aulâd dtrtul tulu oţ dtrtul rtrt l tr rou 9 u or orlă lu rou Stul 8 r: p p p p 9

72 tod ur î gr 7 Algâd î tul 9 oţ o oluţ tulu oog r rprtă ltl vtorulu propru {Y} l tr rou [P]: Vtorul propru l tr [A] orpuător vlor propr dtră olod rlţ: { } [ ] [ ] [ ] [ ] { } Y X Aplţ olod tod Dlv ă dtr vlorl ş vtor propr tr: [ ] 8 A Pul Coor rlţlor ş 8 trl [ ] ş [ ] ut: [ ] [ ] ud ltl tr [ ] dtră oor rlţlor : 8 După îlour rultă: [ ] [ ] 8 8 S pot vr dă: [ ] [ ] [ ] I tr [C] oţ olod rlţ : [ ] [ ] [ ][ ] 8 8 A C 7 Pul Coor rlţlor ş trl [ ] ş [ ] u prl: [ ] [ ] 8

73 tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 7 Eltl tr [ ] dtră oor rlţlor : După îlour rultă: [ ] [ ] S pot vr dă: [ ] [ ] [ ] I tr [D] r oţ l t p t tr rou: [ ] [ ] [ ] [ ][ ] C D P Dtrtul rtrt l tr [P] r oor 9: D * Vlorl propr l tr [P] ut rădăl uţ D: Vtor propr tr [P] orpuător vlorlor propr ut: {} {} {} Y Y Y Vtor propr tr [A] dtră u utorul rlţ : { } [ ] [ ] { } { } { } [ ] [ ] {} Y X X Y X Dă tuă lull oţ: [ ] [ ] 7 8 8

74 tod ur î gr 7 Îloud î prl rultă vtor propr tr [A]: { } X 7 { } { } X X 8 Ţâd d dţ vtorlor ş vlorlor propr pot vr rulttl oţut ptru ş ptru vtor propr orpuător dţ d rlţl 7 ş 8 : [ ]{ } { } [ ]{ } [ ]{ } { } [ ]{ } [ ]{ } { } X X A X A : X X A X A : X X A 8 8 9

75 tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 7 tod Krlov tod Krlov r l ă dtrr vlorlor ş vtorlor propr pr rolvr uu t d uţ vâd vtor Krlov drpt olo l tr rtrt ş l tr oloă trlor lr: {Y} {Y} {Y} - rptv {Y} vtor r dtră pr trţ u utorul tr [A] Ptru plr t tod prurg urător ptru pş: P : S lg u vtor Krlov ţl orr {Y} P : S lulă vtor lu Krlov pr trţ uv oor rlţlor: {Y} [A]{Y} {Y} [A]{Y} {Y} [A]{Y} {Y} [A]{Y} - P : S rolvă tul d uţ lr r u utorul vtorlor Krlov: P : Coţ poloulu rtrt l tr [A] ut uoutl tulu d t polo r: D Rădăl poloulu rtrt dt d rlţ ut vlorl propr l tr [A] Ptru dotr tă proprtt odră dtrtul rtrt l tr [A] r u or: [ ] [ ] I A dt D olod dttt Hlto-Cl î r tr [A] ulă poloul ău rtrt: [ ] [ ] [ ] [ ] I A A A ş ultplâd uţ trlă u u vtor orr {Y} oţ: [ ] {} [ ] {} [ ] { } { } Y Y A Y A Y A Notâd: [ ] {} { } Y Y A 7 tu rlţ r u or: {} {} { } { } Y Y Y Y 8

76 tod ur î gr 7 r t dtă u tul d uţ : 9 Proprtt t dotrtă Î tul d uţ 9 oţ ut ltl vtorlor lu Krâlov: {} [ ]{ } {} [ ]{} [ ] {} {} [ ]{} [ ] {} Y A Y A Y Y A Y A Y Y A Y r pot r tl: S pot ă tot rădăl poloulu rtrt ut dtt Vtor Krlov utlţ ptru dtrr oţlor poloulu rtrt ru oor tl: {Y} {Y} [A]{Y} {Y} [A]{Y} {Y} [A]{Y} {Y} [A]{Y} - Îtruât vtorul ţl {Y} t u vtor orr pot lu t vtor o oţ lră d vtor propr {X} tr [A]: {} { } X Y Ţâd d proprtăţl l vtorlor propr: [ ]{ } { } [ ] { } { } [ ] { } { } X X A X X A X X A rultă ă vtor Krlov pot r u or urătorlor oţ lr d vtor propr {X} tr [A]:

77 tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 77 {} { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } X X X Y X X X Y X X X Y X X X Y S odră uţl polol d grdul - dt tl: Îulţd uţl rptv u oţ: ş îuâdul ru u ru rultă urătorl rlţ: {} {} { } { } { } { } X X X Y Y Y 7 S odră ă uţl polol u lş rădă u l l poloulu rtrt D u pţ rădă d pot r: D 8 Î t uţl polol u proprtăţl: ptru 9 Ţâd d proprtăţl 9 tu rlţl 7 ru: { } { } { } { } Y Y Y X 7 Rulttul oţut 7 rtă ă vtor propr { } X ru u or uor oţ lr l vtorlor lu Krlov: { } { } { } Y Y Y Coţ d rlţ 7 dtră pr dtr lor două rlţ ş 8 olod lu Horr: 7

78 tod ur î gr 78 Aplţ olod tod Krlov ă dtr vlorl ş vtor propr tr: [ ] 7 A 7 Rolvr S lg u vtor ţl orr { } { } t Y ş dtră vtor Krlov: {} [ ]{} {} [ ]{} {} [ ]{} Y A Y Y A Y Y A Y 7 Euţ trlă 8 r î t : {} {} { } { } Y Y Y Y 7 u u or trlă: Rolvâd 7 oţ vlorl oţlor uţ rtrt: Euţ rtrtă tr [A] r: Soluţl uţ 77 ut vlorl propr l tr [A]: 9 78 Ptru dtrr vtorlor propr tr [A] olo rlţl 7: { } { } { } { } Y Y Y X 79 Eprl uţlor ut d or:

79 tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 79 8 rptv: Idtâd prl 8 ş 8 oţ oţ : Rlţl 79 dv: { } { } { } { } { } {} {} {} { } {} {} {} Y Y Y X Y Y Y X Y Y Y X Îloud prl vtorlor Krîlov 7 î rlţl 8 oţ vtor propr tr [A]: { } { } { } { } { } { } X X X X X X 8 Ţâd d dţ vtorlor ş vlorlor propr pot vr rulttl oţut ptru vlorl propr 9 ş vtor propr orpuător dţ d rlţl 8 : [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } X X A X X A X X A 8

80 8 tod ur î gr tod vrrr Ată todă prt lulul vlorlor propr l u tr [A] p dvoltăr poloulu rtrt D u utorul orullor lu Nwto ptru ul putrlor rădălor u uţ polol Dtrr vlorlor propr otă tât î lulul prlor putr l tr [A] ât ş ulor trlor lţ p dgol prplă tor tr Dtrtul rtrt l tr [A] r u or poloulu: D dt [ A] [ I] 8 S otă u u putrlor d ordul l rădălor poloulu rtrt 8: 87 orull lu Nwto ptru ul putrlor d ordul l rădălor î ul poloul rtrt 8 ru: 88 Dă uo ul putrlor rădălor d ordul l poloulu rtrt 8 tu tul 88 prt dtrr oţlor tl: 89 S pot dotr ă ul putrlor rădălor d ordul l poloulu rtrt l u tr [A] rprtă url trlor [A] : ud 9 ut tr d p dgol prplă tr [A] : [ A] [ ] 9 trl [A] dtră tl: [ A] [ A] [ A] 9

81 tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 8 Aplţ olod tod vrrr ă dtr vlorl propr l tr [A]: 7 [ A ] 9 Rolvr S dtră trl [A] ş [A] tl: [ A] [ A] Sul l putrlor rădălor d ordul l poloulu rtrt D dtră olod rlţl 9 : Coţ poloulu rtrt ş dtră olod rlţl S oţ tl uţ rtrtă tr [A]: Rolvâd uţ oţ vlorl propr l tr [A]: 9 97

82 tod ur î gr 8 tod oţlor dtrţ tod oţlor dtrţ prt lulul vlorlor propr l u tr [A] p vlorlor poloulu rtrt D oţut ptru vlor prtulr l vrl Poloul rtrt l u tr [A] r u or: [ ] [ ] I A dt D 98 Dă vrl urătorl vlor: - îloud î rlţ 98 oţ tul d uţ lr: D D D D 99 Săâd pr uţ d lllt uţ l tulu 99 ud r -u trut tr lr î drpt oţ tul lr d uţ: [ ] [ ] [ ] D D D D D D Stul lr d uţ r trl u or: [ ] { } { } D K C ud: [ ] { } K C { } [ ] [ ] [ ] D D D D D D D S orvă ă tr [C] - t dpdtă d dtrtul rtrt 98 dpâd u d ordul l tr [A] Îulţd uţ trlă l tâg u tr [ ] C oţ oţ poloulu rtrt: { } [ ] { } D C K

83 tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 8 Eltl tr oloă {D} lulă u utorul dtrţlor: D dt [ A] [ I ] Aplţ olod tod oţlor dtrţ ă dtr vlorl propr l tr [A] : 7 [ A ] Rolvr S lulă dtrţ D DD olod dtrţ : D dt D dt D dt [ A] [ A] [ I ] 8 [ A] [ I ] 8 Coor rlţ ptru tr [C] - r or: 7 [ C ] 8 Euţ trlă r î t : 8 9 Rolvâd uţ 9 ş ţîd ă: - D rultă: p 8 p 99 p S oţ uţ rtrtă: r r oluţ vlorl propr l tr [A]: 9

84 8 tod ur î gr tod trpolăr u drţ t lu Nwto tod trpolăr u drţ t lu Nwto prt dtrr poloulu rtrt D l u tr [A] u utorul pr orul d trpolr lu Nwto u utorul drţlor t progrv odul d lul l drţlor t progrv t prtt î ptolul Dtrtul rtrt l tr [A] r: D dt [ A] [ I ] S lulă vlorl dtrtulu rtrt l tr [A] ptru urătorl vlor l vrl : D dt[ A] D dt [ A] [ I ] D dt [ A] [ I ] D dt [ A] [ I ] orul d trpolr lu Nwto u utorul drţlor t progrv ptru poloul rtrt D t: D D D! Coţ drţlor t u pot r u or:! Îloud prl oţlor î rlţ oţ orul lu rov poloulu rtrt u utorul drţlor t progrv: D D D Coţ dtră ptru pr dtr î rlţ :!! 7!!! Rultă urătorl vlor l oţlor ş l pololor:

85 tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr Poloul rtrtt l u tr [A] olod drţl progrv d ordul ş r ţâd d tl: [ ] [ ] [ ] D D D D D D D D D D D D D D D D 9 Poloul rtrtt l u tr [A] olod drţl progrv d ordul ş r tl: [ ] [ ] [ ] [ ] D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D Poloul rtrtt l u tr [A] olod drţl progrv d ordul ş r tl: 9 9 D D D D D D D D D D D D D D D D D olor tod trpolăr lu Nwto u drţ t progrv ptru dtrr poloulu rtrt ş vlorlor propr u tr [A] pr opltă dtortă ptulu ă tă lulul - dtrţ oor rlţ îă lgortul d lul t plu ş pot uşor progrt

86 8 tod ur î gr Aplţ olod tod trpolăr lu Nwto u drţ t ă dtr dtrtul rtrt l tr [A] : 7 [ A ] Rolvr S lulă dtrţ D DD ş D: D dt D dt D dt D dt [ A] [ A] [ I ] 8 [ A] [ I ] [ A] [ I ] 8 S lulă prl tr drţl t progrv oor rlţlor: D D D D D D D D D D D D D D D D D D Vlorl ur oţut ut dt î tlul Tlul D D D D olod rlţ 9 oţ poloul rtrt l tr [A] olod drţl progrv d ordul ş : D 8 D 99 8 Orvţ: S pot vr ptul ă drţl rgrv vâd ordul r dât tr ut ul d îloud î orul d trpolr rultă ă poloul d trpolr t u

87 tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 87 7 tod trţ trl tod trţ trl prt lulul vlor propr ş vtorulu propru orpuărtor t vlor Poloul rtrt l tr pătrt [A] r: [ ] [ ] I A dt D S ordoă vlorl propr l tr [A] u rădăl uţ rtrt D î ord vlorlor olut tl: > > > > 7 Coor tor lu Prro t luru t pol dă tot ltl tr [A] ut potv S odră u vtor rtrr { } Y r r o oţ lră vtorlor propr { } X orpuător tr [A]: {} { } X Y 8 Îulţd l tâg rlţ 8 u tr [A] oţ vtorul: {} [ ]{} [ ]{ } { } X X A Y A Y 9 Rptâd lgortul oţ uv vtor: {} [ ]{} [ ]{ } { } {} [ ]{} [ ]{ } { } {} [ ]{} [ ]{ } { } X X A Y A Y X X A Y A Y X X A Y A Y S odră pţul vtorl -dol E î r odră o ă d vtor dpdţ {} Vtor propr { } X tr [A] pot pr î uţ d vtor { } u or: { } { } X Ţâd d vtorul { } Y r: { } { } {} {} X Y

88 tod ur î gr 88 u: {} {} Y ud - ott u: Vlor rprtă oordot vtorulu { } Y î pţul vtorl vtorl -dol E Î od log pot pr oordot vtorulu {} Y î pţul vtorl -dol E : Îpărţd l două rlţ oţut u l oţ: Ţâd ord vlorlor vlorlor propr 7 tot prtl d rlţ ut uutr ş glă tu âd uărul d trţ t ut d r: 7 Cu o ută ror d lul d trţ rultă vlor propr r rport l oordot orpuător trţlor ş : 8 Ptru dtr vtorul propru { } X oloşt rlţ 9 : { } { } { } { } { } {} { } { } { } X X X Y X X X X Y 9 Ţâd d ş pror 7 rlţ 9 dv:

89 tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 89 {} Y { X} Vtorul propru { X } l tr [A] orpuător pr vlor propr t gl u vtorul {} Y oţut după rţ ultplt u o ottă Îtruât ott pot v or vlor pot lg o vlor tl îât ă oţă : ptru prul lt l vtorulu { X } vlor tu: vlor orlt ptru ltl vtorulu { X } :

90 9 tod ur î gr Aplţ S odră tul ort d tr orpur d : ş lgt u dul ş îtr l u ptru rur vâd ş rgdtt oor gur Să dtr vlorl pulţ propr udtl ş pru ş odurl propr d vrţ orpuător olod tod trţ trl g Rolvr S ru uţl drţl l şăr olod uţl lu grg Ptru t pră rg tă tulu ort d l tr orpur ş rg potţlă rurlor î uţ d oordotl grlt ş r rprtă dplărl lor tr orpur p drţ orotlă g : & & E & V Euţl lu grg ptru ul uu t orvtv d orţ ut: d dt d d & d d g E V Ţâd d prl rglor E ş V ru uţl lu grg ptru r d l tr oordot grlt ş oţ tul d uţ drţl lr d ordul do: && && &&

91 tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 9 Stul d uţ r trl u or: && && && u trl: [ ]{} [ ]{ } { } K & & 7 Soluţ t uţ drţl t o oluţ roă d or: {} {} pt o 8 Îloud î uţ 7 oţ uţ trlă: [ ] [ ] { } { } K p 9 r t vltă u: [ ]{} [ ]{ } p K dtrr lu p Îulţd l tâg rlţ u tr [ ] oţ uţ d vlor propr: [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ } { } p K p K olod tod trţ trl dtră vlor propr r p tr [ ] [ ] [ ] K A dă vlor r pulţ propr p p tulu vrtor D rlţ trlă oţ prl trlor [] - ş [K] - : [ ] [ ] [ ] [ ] K K Rultă pr tr [A]: [ ] [ ] [ ] K A S oloşt ptru îput vtorul: {} { } t Y

92 tod ur î gr 9 Cllţ vtor lulă pr trţ u utorul rlţ: {} [ ]{} Y A Y - S oţ uv: {} Y {} Y {} 8 Y 7 {} 8 Y {} 8 Y {} Y {} Y Rulttl oţut după trţ şpt pot odr ut d pr dor rportul ltlor orpuător vtorlor { } Y 7 ş {} Y dră l ptr lă: C r vlor propr tr [A] ş vlor pulţ pror orpuător odulu d vrţ d rvţă ă ut:

93 tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 9 p Vtorul propru orpuător odulu d vrţ d rvţă ă oţ orlâd ltl vtorulu { } Y 7 : { } X dtrr lu p Îulţd l tâg rlţ u tr [ ] K oţ uţ trlă d vlor propr: [ ] [ ]{} [ ] [ ]{} [ ] [ ]{} {} p K K p K K olod ş todă trţ trl dtră vlor propr r p * tr [ ] [ ] [ ] K B dă vlor ă pulţ propr pulţ udtlă p p tulu vrtor tr [B] r pr [ ] [ ] [ ] K B S oloşt ptru îput vtorul orr: {} { } t Y ş lulă llţ vtor u utorul orul d trţ 77 ş oţ: {} Y

94 tod ur î gr 9 {} {} {} 8 8 Y Y Y {} {} Y Y Rulttl oţut l trţ ş pot odr ut d pr îtruât rportul ltlor orpuător vtorlor { } Y ş { } Y dră l ptr lă: 8 C r vlor propr tr [B] ş vlor pulţ pror orpuător odulu d vrţ d rvţă ă ut: p p * Vtorul propru orpuător odulu udtl d vrţ oţ orlâd ltl vtorulu { } Y : { } X

95 ETODE NUERICE CU DIERENŢE INITE todl ur d troplr drvr tgrr u d rolvr uţlor drţl u drţ t olo vlorl drt l uţ dă vlorl îtr-u uăr t d put l doulu d dţ ut odur l rţl Rolvr uor tl d prol p uu t d vlor drt l uţlor otu r u tă uoştr ltă uţ utlă tr tpur d drţ t: progrv u l drpt rgrv u l tâg ş trl Î t ptol ut prtt dţl ş proprtăţl lor tr tpur d drţ t ş tr plţ prvd lulul drvtlor u uţ u utorul drţlor t Drţ progrv S odră o uţ otuă d or drvlă : [ ] R ş u uăr d put d trvlul d dţ ut odur l rţl gl dpărtt îtr l ş tut l dtţ ott u: - Vlorl uţ î odurl rţl ut ott u: - S d drţl progrv l uţ î odurl rţl u utorul rlţlor: C C C Dvoltâd î r Tlor uţ î drpt putulu oţ: Oprtor drţl D D D dţ tl: D D D

96 9 tod ur î gr t lgl lgr prvd dtrutvtt outtvtt îulţr u o ottă ş otvtt î rport u oprţl d dur ş îulţr dă u proprtăţl: D g D Dg Dg D D D Dg D D D D Dvoltr î r Tlor uţ pot r ol olod oprtor drţl D D dţ u tl: D D D Ţâd d dvoltr î r uţ poţl :! pr log rlţ pot r ol tl: D 7 Notâd rlţ 7 r ol u or: D 8 Eprl drţlor progrv î uţ d oprtor drţl D D D oţ u utorul lululu ol Atl oor rlţlor ş 8 pr drţă progrvă r: D 9 Pr dtr rultă rlţ olă îtr oprtor ş D: D Ţâd d dvoltr î r uţ poţl î rr olă: D D D D D D D 7 7 D 7 ş îloud î rlţ rultă pr olă pr drţ progrv î uţ d oprtor drţl uţ : D D D D D D 7 Drţl t d ord upror oţ pr rdr olă l putr pr Dă rţ prl şpt drvt l uţ d dvoltr oţ:

97 tod ur u drţ t D D D D D D D 7 7 D D D D D D 7 7 D D D D D 7 7 D D D D 7 7 D D D 7 Aplţ Să dtr prl ş drţ progrv l uţ l dtă p trvlul [ ] dă uo vlorl î 7 put dtt tut l dtţ Să vr rulttl oţut olod rlţl 7 u prl ş drvt l uţ Rolvr Vlorl drţlor t progrv lulă u rlţl ş ut dt î tlul : Tlul Eprl drvtlor uţ l ut: