Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Transcript

1 Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

2 Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι Δυναμικού Σκέδαση σε μια διάσταση: Τετραγωνικό Φράγμα Δυναμικού Σκέδαση σε μια διάσταση: δ-συνάρτηση Σύνοψη Ασκήσεις

3 Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού Θα βρούμε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές σωματίου με Hamiltonian που έχει δυναμικό της μορφής Κλασσική περίπτωση (Ε<V 0 ): Το σωμάτιο περιορίζεται σε x <a και μπορεί να έχει οποιαδήποτε ενέργεια με Ε<V 0 Στην αναπαράσταση της θέσης η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrodinger γράφεται ως:

4 Εξίσωση Schrodinger Στην αναπαράσταση της θέσης η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrodinger γράφεται ως: Η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrodinger σπάει σε δυο εξισώσεις ως: Θεωρούμε δέσμιες καταστάσεις: σταθερά κανονικοποίησης 8a+ όπου

5 Ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian Θεωρούμε δέσμιες καταστάσεις: σταθερά κανονικοποίησης 8a+ όπου Για να είναι κανονικοποίησιμη η κυματοσυνάρτηση u(x) θα πρέπει να μηδενίζεται στο άπειρο. Επιλέγοντας τις κατάλληλες μορφές έχουμε: + : αρτια συνάρτηση - : περιττή συνάρτηση 8b+ Η Hamiltonian μετατίθεται με το τελεστή της Parity ([H,P]=0) και επομένως υπάρχει κοινή βάση ιδιοκαταστάσεων. Άρα οι ιδιοκαταστάσεις είναι είτε άρτιες είτε περιττές συναρτήσεις (P u(x) = u(-x) = ± u(x)).

6 Ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian + : αρτια συνάρτηση - : περιττή συνάρτηση Η Hamiltonian μετατίθεται με το τελεστή της Parity ([H,P]=0) και επομένως υπάρχει κοινή βάση ιδιοκαταστάσεων. Άρα οι κοινές ιδιοκαταστάσεις είναι είτε άρτιες είτε περιττές συναρτήσεις (P u(x) = u(-x) = ± u(x)). a x a άρτια συνάρτηση 8c+ περιττή συνάρτηση Οριακές συνθήκες: u(x) πρέπει να είναι συνεχής στα σημεία ±α για να υπάρχει η 1 η και η 2 η παράγωγος du(x)/dx πρέπει να είναι συνεχής στα σημεία ±α για να υπάρχει η 2 η παράγωγος

7 Οριακές Συνθήκες a x a 8c+ άρτια συνάρτηση περιττή συνάρτηση Οριακές συνθήκες: u(x) πρέπει να είναι συνεχής στα σημεία ±α για να υπάρχει η 1 η και η 2 η παράγωγος du(x)/dx πρέπει να είναι συνεχής στα σημεία ±α για να υπάρχει η 2 η παράγωγος άρτια συνάρτηση 8d+ περιττή συνάρτηση Στην θέση x=-a οι οριακές συνθήκες είναι ισοδύναμες με αυτές στην θέση x=a λόγω καθορισμένης parity. 8e+

8 Ιδιοτιμές (άρτιες καταστάσεις) Εύρεση επιτρεπόμενων τιμών ενέργειας (ιδιοτιμών): άρτιες λύσεις διαίρεση κατά μέλη Αύξουσα ως προς ka Υπάρχει πάντα τουλάχιστον ένα σημείο τομής και άρα τουλάχιστον μια λύση (μια ιδιοτιμή της Hamiltonian με Ε < V 0. Φθίνουσα ως προς ka 8f+ δεύτερη λύση τρίτη λύση

9 Ιδιοτιμές (περιττές καταστάσεις) άρτιες λύσεις δεύτερη λύση τρίτη λύση Αύξουσα ως προς ka Υπάρχει πάντα τουλάχιστον ένα σημείο τομής και άρα τουλάχιστον μια λύση (μια ιδιοτιμή της Hamiltonian με Ε < V 0. Φθίνουσα ως προς ka Περιττές λύσεις 8g+ Με όμοιο τρόπο δείχνουμε ότι για περιττές ιδιοκαταστάσεις υπάρχει σημείο τομής (ιδιοτιμή) μόνο αν W>π/2 Επιπλέον σημεία τομής εμφανίζονται όταν W=(r+1/2)π/2, r=1,2,

10 Πηγάδι αυθαίρετου σχήματος Σε κάθε πηγάδι δυναμικού της μορφής που φαίνεται στο σχήμα (όχι σε όλα τα πηγάδια) μπορούμε να εγγράψουμε ένα τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού που είναι πιο ρηχό και πιο στενό. Αφού το τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού που είναι λιγότερο επιδεκτικό σε δέσμια κατάσταση έχει τουλάχιστον μια δέσμια κατάσταση το ίδιο θα ισχύει και για το πιο βαθύ και πλατύ γενικό πηγάδι δυναμικού.

11 Τετραγωνικό Πηγάδι απείρου Βάθους Γραφική εύρεση ιδιοτιμών για πηγάδι πεπερασμενου βάθους: Αύξουσα ως προς ka Υπάρχει πάντα τουλάχιστον ένα σημείο τομής και άρα τουλάχιστον μια λύση (μια ιδιοτιμή της Hamiltonian με Ε < V 0. Φθίνουσα ως προς ka δεύτερη λύση τρίτη λύση Για πηγάδι απείρου βάθους έχουμε:

12 Τετραγωνικό Πηγάδι απείρου Για πηγάδι απείρου βάθους έχουμε: Βάθους άρτια συνάρτηση Η ασυνέχεια της παραγώγου είναι συμβατή με τον απειρισμό του δυναμικού στην θέση x=a. Όμοια εργαζόμαστε και για τις περιττες κυματοσυναρτήσεις (parity -1) (ka= s π). 8h+

13 Ιδιοτιμές Hamiltonian Η γενική μορφή για το k προκύπτει από τα παραπάνω ως: 2mE ka n / 2 a n / 2 2 n ακέραιος Αρχή αβεβαιότητας: Τάξη μεγέθους ορμής (n=1): 8i+ Αυθαιρεσία προσήμου p=ћk Σε συμφωνία με αρχή αβεβαιότητας

14 Απειρωστά Στενό Πηγάδι Απείρου Βάθους Για απειροστά στενό πηγάδι (V 0 a = σταθ) έχουμε: 0 Το σημείο W=ka μεταφέρεται κοντά στο 0 και έτσι υπάρχει μόνο ένα σημέιο τομής του W με την tan(ka). Υπάρχει μόνο μια δεσμια κατάσταση! Στην ειδική αυτή περίπτωση το δυναμικό μπορεί να γραφεί σαν:

15 Απειρωστά Στενό Πηγάδι Εξίσωση Schrodinger: Απείρου Βάθους Με ολοκλήρωση σε μικρή περιοχή από ε σε ε παίρνουμε: 8j+ Λόγω συμμετρίας του δυναμικού (μετάθεση Η με parity) οι ιδιοκαταστάσεις της Η θα είναι είτε άρτιες είτε περιττές. 8k+

16 Απειρωστά Στενό Πηγάδι Εξίσωση Schrodinger: Απείρου Βάθους Λόγω συμμετρίας του δυναμικού (μετάθεση Η με parity) οι ιδιοκαταστάσεις της Η θα είναι είτε άρτιες είτε περιττές: 8l+ Ικανοποιεί εξ. Schrodinger και οριακή συνθήκη ασυνέχειας 8m+

17 Απειρωστά Στενό Πηγάδι Απείρου Βάθους Οι ιδιοτιμές της ενέργειας προκύπτουν από την εξ. Schrodinger: 8n+ Η πιθανότητα u 2 Δx να βρεθεί το σωμάτιο μέσα στο πηγάδι (μηδενικού εύρους Δx) είναι 0 (αρχή αβεβαιότητας και σε πλήρη αντίθεση με το κλασσικά αναμενόμενο!!) 8o+

18 Σκέδαση σε Σκαλοπάτι Δυναμικού Έστω βήμα δυναμικού σε μια διάσταση (x) της μορφής: Εξίσωση Schrodinger (Ε>V): 8p+

19 Εξίσωση Schrodinger (E>V) Έστω βήμα δυναμικού σε μια διάσταση (x) της μορφής: Εξίσωση Schrodinger (E<V): 8q+

20 Λύσεις Εξίσωσης Schrodinger Έστω βήμα δυναμικού σε μια διάσταση (x) της μορφής: Ε>V 0 προσπίπτον κύμα ανακλώμενο κύμα Δεν επιστρέφουν σωμάτια από το -. Άρα θέτουμε Α 2 =0

21 Οριακές Συνθήκες προσπίπτον κύμα ανακλώμενο κύμα Δεν επιστρέφουν σωμάτια από το -. Άρα θέτουμε Α 2 =0 Συνέχεια κυματοσυνάρτησης: Συνέχεια παραγώγου κυματοσυνάρτησης: 8r+ 8s+

22 Προσδιορισμός Σταθερών Υπολογισμός σταθερών ανακλώμενου και διαδιδόμενου μέρους κυματοσυνάρτησης: διαδιδόμενο μέρος 8t+ ανακλόμενο μέρος

23 Ρεύμα Πιθανότητας Ε>V 0 Για το ρεύμα πιθανότητας στις δύο περιοχές έχουμε: εισερχόμενο ρεύμα 8u+

24 Συντελεστές Ανάκλασης και Διάδοσης 8w+ Ε>V 0 8v+ Για το ρεύμα πιθανότητας στις δύο περιοχές έχουμε: 8x+ 8y+

25 Τετραγωνικό Φράγμα Δυναμικού Έστω δυναμικό της μορφής: Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : Εξίσωση Schrodinger:

26 Εξίσωση Schrodinger Έστω δυναμικό της μορφής: Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : Εξίσωση Schrodinger:

27 Λύσεις εξίσωσης Schrodinger Έστω δυναμικό της μορφής: Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : Εξίσωση Schrodinger (λύση): 8z+ Δεν έρχονται προσπίπτοντα σωμάτια από το x=+ :

28 Οριακές Συνθήκες- Προσδιορισμός Σταθερών Συνέχεια κυματοσυνάρτησης στην θέση x=l: Συνέχεια παραγώγου κυματοσυνάρτησης στην θέση x=l: 8aa+

29 Οριακές Συνθήκες- Προσδιορισμός Σταθερών Συνέχεια κυματοσυνάρτησης στην θέση x=0: Συνέχεια παραγώγου κυματοσυνάρτησης στην θέση x=0: 8ab+ Διαιρούμε με ik 1 και προσθέτουμε κατά μέλη.

30 Προσδιορισμός Σταθερών για Συντελεστή Διέλευσης Εκφράζουμε το Α 1 συναρτήσει του Α 3 για να βρούμε το ποσοστό του ρεύματος πιθανότητας που περνάει μετά το φράγμα: 8ac+

31 Προσδιορισμός Σταθερών για Συντελεστή Ανάκλασης Εκφράζουμε το Α 1 συναρτήσει του Α 3 για να βρούμε το ποσοστό του ρεύματος πιθανότητας που ανακλάται από το φράγμα: 8ad+ Διαιρούμε με ik 1 την δεύτερη ισότητα και αφαιρούμε τις δύο ισότητες κατά μέλη.

32 Προσδιορισμός Σταθερών για Συντελεστή Ανάκλασης Εκφράζουμε το Α 1 συναρτήσει του Α 3 για να βρούμε το ποσοστό του ρεύματος πιθανότητας που ανακλάται από το φράγμα: 8ae+

33 Συντελεστής Ανάκλασης Ο συντελεστής ανάκλασης ορίζεται ως: Άρα για το παρόν σύστημα έχουμε: 8af+

34 Συντελεστής Διέλευσης Ο συντελεστής διέλευσης ορίζεται ως: Άρα για το παρόν σύστημα έχουμε: R+T=1 (διατήρηση πιθανότητας) 8ag+ 8ah+ Όταν k 2 l = n π τότε ο συντελεστής διέλευσης της ροής πιθανότητας μεγιστοποιείται και ο συντελεστής ανάκλασης μηδενίζεται (ελαχιστοποιήται). Τότε έχουμε συντονισμό σκέδασης.

35 Συντονισμός Σκέδασης 8ai+ R+T=1 (διατήρηση πιθανότητας) Όταν k 2 l = n π τότε ο συντελεστής διέλευσης της ροής πιθανότητας μεγιστοποιείται και ο συντελεστής ανάκλασης μηδενίζεται (ελαχιστοποιήται). Τότε έχουμε συντονισμό σκέδασης.

36 Τετραγωνικό Φράγμα Δυναμικού Έστω δυναμικό της μορφής: (E<V 0 ) Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : Εξίσωση Schrodinger: V 0

37 Λύσεις Εξίσωσης Schrodinger Έστω δυναμικό της μορφής: Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : Ορίζουμε: Η λύση της εξίσωσης Schrodinger σε κάθε περιοχή γράφεται: 8aj+

38 Οριακές Συνθήκες- Προσδιορισμός Σταθερών Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : Συνέχεια κυματοσυνάρτησης και της παραγώγου της για x=l: 8ak+

39 Οριακές Συνθήκες- Προσδιορισμός Σταθερών Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : Συνέχεια κυματοσυνάρτησης και της παραγώγου της για x=0: 8al+

40 Προσδιορισμός Σταθερών για Συντελεστή Διέλευσης Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : 8am+ Τώρα μπορούμε να βρούμε τον συντελεστή διέλευσης:

41 Συντελεστής Διέλευσης Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : Τώρα μπορούμε να βρούμε τον συντελεστή διέλευσης:

42 Συντελεστής Διέλευσης 8an+ Σε αντίθεση με τα αναμενόμενα από την κλασσική μηχανική υπάρχει ρεύμα πιθανότητας που ρέει πέρα από το φράγμα δυναμικού (φαινόμενο σήραγγας).

43 Σκέδαση σε δ-συνάρτηση- Οριακές Συνθήκες Έστω σωμάτιο με Ε>0 σε δυναμικό V 0 δ(x-α). Να μελετηθεί η σκέδαση. Λύση Η εξίσωση Schrodinger γράφεται ως: Με ολοκλήρωση γύρω από το α παίρνουμε: Άρα η παράγωγος της κυματοσυνάρτησης είναι ασυνεχής για x=a 8ao+

44 Οριακές Συνθήκες Έστω σωμάτιο με Ε>0 σε δυναμικό V 0 δ(x-α). Να μελετηθεί η σκέδαση. Λύση Άρα η παράγωγος της κυματοσυνάρτησης είναι ασυνεχής για x=a Με δεύτερη ολοκλήρωση προκύπτει η συνέχεια της κυματοσυνάρτησης για x=a: Εφαρμόζουμε την οριακή συνθήκη για την ασυνέχεια της 1 ης παραγώγου: 8ap+ 8aq+

45 Προσδιορισμός Σταθερών 8ar+ Από τις σχέσεις αυτές προκύπτουν οι συντελεστές διέλευσης και ανάκλασης

46 Σύνοψη Οι δέσμιες κβαντικές καταστάσεις για σωμάτιο σε πηγάδι δυναμικού προκύπτουν από την λύση της εξίσωσης Schrodinger σε κάθε περιοχή και χρήση των οριακών συνθηκών (συνέχεια κυματοσυνάρτησης και παραγώγου της) Σε πηγάδι δυναμικού με δυναμικο V 0 υπάρχει πάντα τουλάχιστον μια δέσμια κατάσταση. Κατά την κβαντική σκέδαση σωματίου σε βήμα δυναμικού υπάρχει μη μηδενική πιθανότητα εύρεσης του σωματίου στην κλασικά απαγορευμένη περιοχή. Κατά την κβαντική σκέδαση σωματίου σε φράγμα δυναμικού υπάρχει μη μηδενική πιθανότητα διέλευσης του σωματίου πέρα από το φράγμα ακόμα και αν η ενέργειά του είναι μικρότερη από το ύψος του δυναμικου στο φράγμα (φαινόμενο σήραγγας). Όταν στο δυναμικό υπάρχει δέλτα συνάρτηση, οι οριακές συνθήκες περιλαμβάνουν ασυνέχεια την παραγώγου και συνέχεια της κυματοσυνάρτησης.

47 Άσκηση 1:Σωμάτιο σε Δυναμικό Απείρου Βάθους Βρείτε τις ιδιοτιμές και τις ιδιοκαταστάσεις για σωμάτιο σε δυναμικό Λύση Το πρόβλημα έχει μελετηθεί προηγούμενως σαν οριακή περίπτωση αλλά τώρα θα μελετηθεί αυτοδύναμα. Αφού το δυναμικό απειρίζεται πέρα από τα όρια, η πιθανότητα να βρούμε εκεί το σωμάτιο θα είναι 0. Άρα από την συνέχεια την κυματοσυνάρτησης προκύπτει ότι: Για Ε>0 στην περιοχή μεταξύ των ορίων έχουμε: όπου

48 Άσκηση 1:Ιδιοτιμές Hamiltonian Στην περιοχή μεταξύ των ορίων έχουμε: όπου Πολλ/ζουμε με 8as+ ακέραιος 8at+

49 Άσκηση 1:Κυματοσυναρτήσεις Άρα οι ιδιοτιμές της Hamiltonian είναι: Οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτησεις είναι: σταθερά κανονικοποίησης 8au+

50 Άσκηση 1:Κανονικοποίηση Οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτησεις είναι: σταθερά κανονικοποίησης νέα μεταβλητή: Άρα: 8av+

51 Άσκηση 1: Ε<0 Για αρνητικές ενέργειες έχουμε: Θέτουμε: Τότε η γενική λύση της εξίσωσης Schrodinger στην επιτρεπόμενη περιοχή γράφεται ως: 8aw+

52 Άσκηση 1: Ε<0 Για αρνητικές ενέργειες έχουμε: επί 8ax+ E 0 Δεν υπάρχει αποδεκτή λύση για την ενέργεια.

53 Άσκηση 1: Ε=0 Για μηδενική ενέργεια έχουμε: 8ay+ Δεν υπάρχει αποδεκτή λύση κυματοσυνάρτησης για Ε=0

54 Άσκηση 2:Δυναμικό σε 3 Διαστάσεις Έστω σωμάτιο μάζας m σε δυναμικό τριών διαστάσεων της μορφής: Χρησιμοποιήστε την μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών για να μετατρέψετε το πρόβλημα σε 3 μονοδιάστατα προβλήματα. Μετά βρείτε την ενέργεια του τρισδιάστατου συστήματος Λύση Η εξίσωση του Schrodinger σε τρεις διαστάσεις γράφεται ως: Δοκιμαστική λύση χωριζομένων μεταβλητών:

55 Άσκηση 2: Χωριζόμενες Μεταβλητές Η εξίσωση του Schrodinger σε τρεις διαστάσεις γράφεται ως: Δοκιμαστική λύση χωριζομένων μεταβλητών: 8az+ συνάρτηση του x συνάρτηση των y, z

56 Άσκηση 2: Χωριζόμενες Μεταβλητές συνάρτηση του x συνάρτηση των y, z Άρα κάθε μέρος της ισότητας θα ισούται με μια σταθερά (έστω E x ) Μονοδιάστατο πρόβλημα 8ba+ συνάρτηση του y συνάρτηση του z Άρα κάθε μέρος της ισότητας θα ισούται με μια σταθερά (έστω E y ) 8bb+ Μονοδιάστατο πρόβλημα Μονοδιάστατο πρόβλημα

57 Άλυτες Ασκήσεις 1. Θεωρείστε σωμάτιο σε δυναμικό απείρου βάθους με αρχική κυματοσυνάρτηση γραμμικό συνδιασμό της θεμελιώδους και της 1 ης διεγερμένης ιδιοσυνάρτησης της Hamiltonian: Βρείτε την χρονικά εξελιγμένη κυματοσυνάρτηση ψ(x,t) και την αντίστοιχη αναμενόμενη τιμή της θέσης <x> t την χρονική στιγμή t. 2. Θεωρείστε σωμάτιο σε δυναμικό απείρου βάθους της μορφής: Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές της Hamiltonian. 3. Θεωρείστε σωμάτιο σε δυναμικό απείρου βάθους της μορφής: Απ.: Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές της Hamiltonian.

58 Άλυτες Ασκήσεις 4. Λύστε πρόβλημα με το σκαλοπάτι δυναμικού όταν Ε<V 0. Βρείτε την πιθανότητα εύρεσης του σωματίου στην κλασικά απαγορευμένη περιοχή.