Κεφάλαιο 9: Συστήματα Πολλών σωματίων
|
|
- Μελέαγρος Σπηλιωτόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 9: Συστήματα Πολλών σωματίων Περιεχόμενα Κεφαλαίου Τα θέματα που θα καλύψουμε στο κεφάλαιο αυτό, είναι τα εξής (Βαγιονάκης, 1996 Μοδινός, 1994 Τραχανάς, 2005 Τραχανάς, 2008 Binney & Skinner, 2013 Fitzpatrick, 2010 Griffiths, 2004 Gasiorowicz, 2003 Peleg et al, 2010): Θα ξεκινήσουμε με βασικές γενικεύσεις, που αφορούν την κυματοσυνάρτηση και την ενέργεια συστήματος πολλών σωματίων Μετά, θα μελετήσουμε μη αλληλεπιδρώντα σωμάτια, με τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών. Θα μελετήσουμε, στη συνέχεια, ένα σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σωματίων και θα δούμε πώς ανάγεται το σύστημα σε μονοσωματιδιακή περιγραφή, όταν το δυναμικό εξαρτάται μόνο από την απόσταση μεταξύ των σωματίων, επιλέγοντας το σύστημα αναφοράς κέντρου μάζας των δύο σωματίων. Κατόπιν θα μελετήσουμε συστήματα, που αποτελούνται από ταυτοτικά (ίδια) σωμάτια και θα δούμε τα χαρακτηριστικά της κυματοσυνάρτησης ενός συστήματος ταυτόσημων σωματίων. Τα σωμάτια αυτά χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: Μποζόνια και Φερμιόνια. Η κυματοσυνάρτηση φερμιονίων αλλάζει πρόσημο, όταν εναλλάξουμε τις συντεταγμένες δυο φερμιονίων (είναι αντισυμμετρική), ενώ η κυματοσυνάρτηση μποζονίων δεν αλλάζει πρόσημο (είναι συμμετρική κάτω από εναλλαγή μποζονίων). Αποτέλεσμα της αντισυμμετρίας της κυματοσυνάρτησης φερμιονίων, είναι η απαγορευτική αρχή του Pauli, σύμφωνα με την οποία, η κυματοσυνάρτηση δύο φερμιονίων, που βρίσκονται στην ίδια κβαντική κατάσταση, είναι ίση με το μηδέν. Τέλος, θα μελετήσουμε τη μέση απόσταση ταυτόσημων σωματίων, μποζονίων και φερμιονίων και θα δούμε ότι αυτή αυξάνεται, όταν τα μποζόνια σε ένα σύστημα αντικατασταθούν με φερμιόνια. 9. Συστήματα Πολλών σωματίων 9.1 Μη Αλληλεπηδρώντα Διακρίσιμα Σωμάτια Η κανονικοποίηση κυματοσυνάρτησης για ένα σωμάτιο έχει τη μορφή: ψ(x, t) 2 dx = 1 (9.1) ενώ για Ν σωμάτια γενικεύεται (σε μια διάσταση): ψ(x 1, x 2,, x N, t) 2 dx 1 dx 2 dx N = 1 (9.2) Ο τελεστής ορμής σωματίου i έχει τη μορφή: και η δράση του σε x i ανεξάρτητες μεταβλητές έχει τη μορφή: όπου φαίνονται και οι αντίστοιχοι μεταθέτες. Ισχύει η εξίσωση Schrodinger: p i = iħ x i (9.3) [x i, x j ] = 0 x i = δ x ij { [p i, p j ] = 0 (9.4) j [x i, p j ] = iħδ ij H(x 1, x 2,, x Ν, t) ψ iħ = Hψ (9.5) ψ(x 1, x 2,, x Ν, t) t 160
2 Για ιδιοκαταστάσεις της H, έχουμε τη γνωστή χρονική εξέλιξη: Hψ E = Eψ E ψ(x 1, x 2 x N, t) = ψ E (x 1, x 2, x N )e iet/ħ (9.6) Η Hamiltonian, στη γενική περίπτωση, είναι: H(x 1, x 2,, x N, t) = P i 2 2m i + V(x 1, x 2,, x N, t) (9.7) Για ανεξάρτητα (μη αλληλεπιδρώντα) σωμάτια, το δυναμικό γράφεται ως άθροισμα μονοσωματιδιακών δυναμικών και, επομένως, το ίδιο ισχύει για τη Hamiltonian: V(x 1, x 2,, x N, t) = H(x { 1, X 2,, x N, t) = V i (x i, t) H i (x i, t) [H i = P i 2 2m i + V(x i, t)] (9.8) Με εφαρμογή της μεθόδου χωριζομένων μεταβλητών, θεωρούμε τη δοκιμαστική λύση ως γινόμενο μονοσωματιδιακών κυματοσυναρτήσεων: ψ(x 1, x 2, x N, t) = ψ 1 (x 1, t)ψ 2 (x 2, t) ψ N (x N, t) (9.9) Με αντικατάσταση της (9.9) στην (9.6), χρήση της (9.8) και διαίρεση των δύο μερών της εξίσωσης Schrodinger με την ολική κυματοσυνάρτηση, παίρνουμε: iħ 1 ψ i ψ i t = 1 H ψ i ψ i (9.10) i που οδηγεί στο σύστημα μονοσωματιδιακών χρονοεξαρτώμενων εξισώσεων Schrodinger: iħ ψ i t = H iψ i (9.11) Άσκηση 1: Αποδείξτε τη σχέση (9.11), εφαρμόζοντας τη μέθοδο των χωριζόμενων μεταβλητών. Υποθέτοντας ότι το δυναμικό είναι χρονοανεξάρτητο, έχουμε τις χρονοανεξάρτητες εξισώσεις Scrodinger: Και, επομένως, η λύση του συστήματος (9.11) οδηγεί σε: όπου: V(x, t) V(x) H i ψ Ei = E i ψ Ei (9.12) ψ(x 1, x 2 x n, t) = ψ E (x 1, x 2, x N )e iet/ħ (9.13) E = E i (9.14) Άσκηση 2: Αποδείξτε τη σχέση (9.14) χρησιμοποιώντας τη σχέση (9.10) και τις σχέσεις (9.5), (9.6). 161
3 9.2 Συστήματα δύο αλληλεπιδρώντων σωματίων Θεωρούμε τη Hamiltonian δύο σωματίων, που αλληλεπιδρούν με δυναμικό που εξαρτάται μόνο από την απόστασή τους: H(x 1, x 2 ) = ħ2 2 2m 2 1 x ħ m 2 2 x + V(x 1 x 2 ) (9.15) 2 Θεωρούμε αλλαγή μεταβλητών, από τις οποίες η μία είναι η θέση του κέντρου μάζας των σωματίων και η άλλη η απόσταση μεταξύ των σωματίων: Από τις σχέσεις (9.15) και (9.16) παίρνουμε: x = x 1 x 2 X = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 (9.16) x 1 = x 2 = m 1 m 1 + m 2 X + x, m 2 m 1 + m 2 X + x, (9.17) που οδηγεί σε έκφραση της Hamiltonian στις νέες συντεταγμένες: όπου ορίζουμε την ολική μάζα Μ και την ανηγμένη μάζα μ ως: 2 2 H(x, X) = ħ2 2M Χ 2 ħ2 + V(x ) (9.18) 2µ x 2 Μ = m 1 + m 2 μ = m 1m 2 m 1 +m 2 (9.19) Ο τελεστής ολικής ορμής του συστήματος απλοποιείται στο νέο σύστημα μεταβλητών Χ, x ως: P = iħ ( + ) = iħ x 1 x 2 X (9.20) Άσκηση 3: Αποδείξτε τη σχέση (9.20) χρησιμοποιώντας τη σχέση (9.17). Παρατηρούμε ότι στο νέο σύστημα συντεταγμένων Χ, x, το δυναμικό έξαρτάται μόνο από μία συντεταγμένη (x ) και, επομένως, μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος χωριζομένων μεταβλητών. Θεωρούμε λοιπόν δοκιμαστική λύση, της μορφής: ψ(x 1, x 2, t) = ψ x, (x, t), ψ Χ (X, t) (9.21) και με αντικατάσταση στη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger (9.5), παίρνουμε το σύστημα: iħ ψ x t = ħ2 2 ψ x 2µ x 2 + V(x )ψ x, (9.22) 162
4 και: iħ ψ X t = ħ2 2 ψ X (9.23) 2M X 2 Η (9.23) λύνεται εύκολα, με τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών και χρησιμοποιώντας τη σχέση E = P 2 /2M παίρνουμε: ψ x (X, t) = ψ 0 e i(p X/ħ E t/ħ) (9.24) Άσκηση 4: Αποδείξτε τη σχέση (9.24). Από τις σχέσεις (9.20) και (9.24), προκύπτει ότι η ολική ορμή του συστήματος είναι P, η οποία και διατηρείται, αφού ο τελεστής ολικής ορμής μετατίθεται με τη Hamitonian (δείτε τις σχέσεις [9.18) και (9.20)]. Στο σύστημα κέντρου μάζας, έχουμε εξ ορισμού P = 0 και επομένως E = 0 και η κυματοσυνάρτηση κέντρου μάζας είναι τετριμμένη. Άρα: ψ Χ = ψ 0 ψ(x 1, x 2, t) = ψ x (x, t)ψ 0 ψ(x 1 x 2, t) (9.25) Στο σύστημα αυτό, η ολική κυματοσυνάρτηση εξαρτάται μόνο από τη μεταβλητή x και ικανοποιεί την εξίσωση Schrodinger: ψ(x 1, x 2, t) = ψ x (x, t)ψ 0 ψ(x 1 x 2, t) (9.26) Άρα, στο σύστημα κέντρου μάζας, το σύστημα ανάγεται σε πρόβλημα ενός σωματίου. 9.3 Ταυτοτικά (ίδια) σωμάτια Στην κλασική μηχανική, δύο ίδια σωμάτια (π.χ. δύο ηλεκτρόνια) μπορούν να διακριθούν, με απλή παρατήρηση των τροχιών τους. Στην κβαντική μηχανική, όμως, λόγω της αρχής της αβεβαιότητας, η έννοια της τροχιάς δεν έχει φυσική σημασία. Φυσική σημασία έχει μόνο η μέτρηση ενός σωματίου (π.χ. ηλεκτρονίου), σε μια δεδομένη θέση, σε μια δεδομένη στιγμή, με δεδομένη πιθανότητα, που δίνεται από την κυματοσυνάρτηση. Το ερώτημα, επομένως, που τίθεται είναι: «ποιές ιδιότητες έχει η κυματοσυνάρτηση ενός συστήματος δύο (ή περισσότερων) σωματίων, που έχουν τις ίδιες ιδιότητες (φορτίο κλπ.) και άρα είναι ίδια (ταυτοτικά);» Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό, βασιζόμαστε στο γεγονός ότι οι κβαντικές μετρήσεις δεν μπορούν να διακρίνουν μεταξύ ταυτοτικών σωματίων. Άρα, η πυκνότητα πιθανότητας παραμένει αμετάβλητη, αν εναλλάξουμε στην κυματοσυνάρτηση τις συντεταγμένες των δύο ταυτοτικών σωματίων: ψ(x 1, x 2, t) 2 = ψ(x 2, x 1, t) 2 (9.27) Επομένως, οι δύο κυματοσυναρτήσεις στη σχέση (9.27), μπορεί να διαφέρουν, το πολύ, κατά μια φάση: ψ(x 1, x 2, t) = e iφ ψ(x 2, x 1, t) (9.28) Για να δούμε ποιές τιμές μπορεί να πάρει αυτός ο παράγοντας φάσης, θεωρούμε δύο διαδοχικές εναλλαγές των σωματίων στη συνολική κυματοσυνάρτηση, που μας επαναφέρουν στην αρχική συνολική κυματοσυνάρτηση: ψ(x 1, x 2, t) = e iφ ψ(x 2, x 1, t) ψ(x 2, x 1, t) = e iφ ψ(x 1, x 2, t) (9.29) 163
5 Από τη σχέση (9.29) προκύπτει άμεσα ότι: e 2iφ = 1 = e i2kπ (9.30) Και, επομένως: 2iφ = i2kπ φ = kπ, k = 0,1,2 (9.31) Άρα: ψ(x 2, x 1, t) = ψ(x 1, x 2, t ) για k άρτιο ή ψ(x 2, x 1, t) = ψ(x 1, x 2, t ) για k περιττό (9.32) Δηλαδή, η κυματοσυνάρτηση είναι είτε συμμετρική είτε αντισυμμετρική, ως προς την εναλλαγή των σωματίων του συστήματος. Σωμάτια της πρώτης κατηγορίας (συμμετρικής κυματοσυνάρτησης) λέγονται «μποζόνια» και αποδεικνύεται ότι πρέπει να έχουν ακέραιο spin ενώ της δεύτερης (αντισυμμετρικής κυματοσυνάρτησης) «φερμιόνια» και έχουν ημιακέραιο spin. Από δύο μονοσωματιδιακές κανονικοποιημένες ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian, με ενέργειες Ε α, Ε b, μπορούμε να κατασκευάσουμε μια συνολική κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση συστήματος δύο μη αλληλεπιδρώντων μποζονίων, η οποία να είναι συμμετρική ως προς εναλλαγή σωματίων (μποζόνια): ψ Eboson (x 1, x 2 ) = 1 2 [ψ(x 1, E a )ψ(x 2, E b ) + ψ(x 2, E a )ψ(x 1, E b )] (9.33) Αντίστοιχα, για σύστημα δύο, μη αλλήλεπιδρώντων φερμιονίων, παίρνουμε με αντισυμμετροποίηση: ψ Efermion (x 1, x 2 ) = 1 2 [ψ(x 1, E a )ψ(x 2, E b ) ψ(x 2, E a )ψ(x 1, E b )] (9.34) Άσκηση 5: Δείξτε ότι η κυματοσυνάρτηση (9.33) ικανοποιεί τη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger, για Hamiltonian συστήματος δύο, μη αλληπειδρώντων σωματίων και ότι είναι συμμετρική ως προς την εναλλαγή τους (σχέση 32a). Δείξτε ακόμα ότι είναι κανονικοποιημένη, αν είναι κανονικοποιημένες οι μονοσωματιδιακές κυματοσυναρτήσεις που την αποτελούν. Από τη σχέση (9.34), προκύπτει ότι η κυματοσυνάρτηση συστήματος δύο φερμιονίων, που βρίσκονται στην ίδια μονοσωματιδιακή κατάσταση (Ε α= Ε b ), ισούται με το μηδέν. Αυτό εκφράζει την απαγορευτική αρχή του Pauli, σύμφωνα με την οποία, δεν είναι δυνατόν να συνυπάρχουν δύο φερμιόνια στην ίδια κβαντική κατάσταση. 9.4 Διακρίσιμα Σωμάτια Μετρήσεις διακρίνουν μεταξύ διακρίσιμων (διαφορετικών) σωματίων. Άρα, δεν ισχύει ο περιορισμός της σχέσης (9.27). Στην περίπτωση αυτή, εφόσον τα σωμάτια είναι μη αλληλεπιδρώντα, η ολική κυματοσυνάρτηση εκφράζεται απλά ως το γινόμενο μονοσωματιδιακών κυματοσυναρτήσεων (χωρισμός μεταβλητών σε εξίσωση Schrodinger), χωρίς να χρειάζεται να επιβάλουμε συμμετρία ή αντισυμμετρία. Έχουμε δηλαδή: ψ Eδιακρ (x 1, x 2 ) = ψ(x 1, E a )ψ(x 2, E b ) (9.35) Η μέση τετραγωνική απόσταση μεταξύ δύο διακρίσιμων σωματίων (πχ ένα πρωτόνιο και ένα ηλεκτρόνιο) προκύπτει εύκολα ως: 164
6 (x 1 x 2 ) 2 διακρ = x 2 a + x 2 b 2 x a x b (9.36) όπου: x n a,b = ψ (x, E α,b )x n ψ(x, E α,b )dx (9.37) και το ολοκλήρωμα, που αντιστοιχεί στο αριστερό μέρος της (9.36), είναι στις δυο μεταβλητές x 1 και x 2 με κυματοσυνάρτηση την (9.35). Άσκηση 6: Αποδείξτε τη σχέση (9.36), χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (9.37) και (9.35). Για σύστημα μη αλληλεπιδρώντων ταυτοτικών μποζονίων, η μέση τετραγωνική απόσταση παίρνει τη μορφή: (x 1 x 2 ) 2 boson = (x 1 x 2 ) 2 διακρ 2 x αb 2 (9.38) Δηλαδή, η μέση απόσταση των σωματίων είναι μικρότερη από ότι αν ήταν διακρίσιμα μη αλληλεπιδρώντα σωμάτια. Άσκηση 7: Αποδείξτε τη σχέση (9.38) χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (9.37) και (9.33). Όμοια, για φερμιόνια, έχουμε: (x 1 x 2 ) 2 fermion = (x 1 x 2 ) 2 διακρ + 2 x ab 2 (9.39) και επομένως, η μέση απόσταση φερμιονίων είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη μέση απόσταση μη αλληλεπιδρώντων διακρίσιμων σωματίων. Άσκηση 8: Αποδείξτε τη σχέση (9.39) χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (9.37) και (9.34). 9.4 Συστήματα Ν ταυτοτικών σωματίων Η κυματοσυνάρτηση συστήματος Ν μη αλληλεπιδρώντων φερμιονίων θα πρέπει να είναι αντισυμμετρική, ως προς εναλλαγή οποιουδήποτε ζεύγους από αυτά και να μηδενίζεται, αν δύο ή περισσότερα από αυτά είναι στην ίδια μονοσωματιδιακή κατάσταση. Επιπλέον, θα πρέπει να εκφράζεται ως σύστημα γινομένων μονοσωματιδιακών κυματοσυναρτήσεων, ώστε να αποτελεί λύση της χρονοεξαρτώμενης εξίσωσης Schrodinger. Μια τέτοια κυματοσυνάρτηση εκφράζεται μέσω της παρακάτω ορίζουσας, που λέγεται «ορίζουσα Slater»: ψ(x 1, Ε 1 ) ψ(x 2, Ε 1 ) ψ(x Ν, Ε 1 ) ψ Ε (x 1, x 2,, x N ) = 1 N! ψ(x 1, Ε 2 ) ψ(x 2, Ε 2 ) ψ(x Ν, Ε 2 ) (9.40) ψ(x 1, Ε Ν ) ψ(x 2, Ε Ν ) ψ(x Ν, Ε Ν ) Προφανώς, όταν Ε i=e j, η ορίζουσα Slater μηδενίζεται (έχει δυο γραμμές ίδιες) και επομένως, υπακούει την απαγορευτική αρχή του Pauli. Για μποζόνια, η συμμετροποιημένη κυματοσυνάρτηση προκύπτει απλά, αν αντικαταστήσουμε όλα τα αρνητικά πρόσημα στην ορίζουσα Slater με θετικά. 9.5 Σύνοψη Η κυματοσυνάρτηση συστήματος διακρίσιμων μη αλληλεπιδρώντων σωματίων προκύπτει ως το γινόμενο μονοσωματιδιακών κυματοσυναρτήσεων. 165
7 Η κυματοσυνάρτηση συστήματος δύο αλληλεπιδρώντων σωματίων προκύπτει ως το γινόμενο της κυματοσυνάρτησης ελεύθερου σωματίου επί την κυματοσυνάρτηση ενός άλλου σωματίου, στο δυναμικό αλληλεπίδρασης. Σύστημα ταυτοτικών (μη διακρίσιμων) σωματίων μπορεί να αποτελείται από μποζόνια ή φερμιόνια. Το σύστημα μποζονίων (φερμιονίων) έχει κυματοσυνάρτηση συμμετροποιημένων (αντισυμμετροποιημένων) γινομένων μονοσωματιδιακών κυματοσυναρτήσεων. Η μέση απόσταση σωματίων συστήματος φερμιονίων είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη απόσταση μποζονίων και διακρίσιμων σωματίων. Σε σύστημα φερμιονίων δεν υπάρχουν δύο σωμάτια στην ίδια μονοσωματιδιακή ενεργειακή κατάσταση (απαγορευτική αρχή Pauli). Κριτήρια αξιολόγησης (Λαγανάς, 2005α Λαγανάς, 2005β Τραχανάς, 2005β Constantinescu & Magyari, 1971 Peleg et al., 2010 Squires, 1995 Tamvakis, 2005). Κριτήριο αξιολόγησης 1 Βρείτε την ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης και την κυματοσυνάρτηση συστήματος τριών φερμιονίων, σε δυναμικό «κουτιού», μήκους L. Λύση Το δυναμικό, στο οποίο βρίσκονται τα μη αλληλεπιδρώντα φερμιόνια, είναι της μορφής: 0, 0 x L V = {, αλλιώς (9.41) Οι αντίστοιχες μονοσωματιδιακές κυματοσυναρτήσεις ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian μαζί με τις αντίστοιχες ιδιοτιμές είναι: ψ n = 2 sin (πnx ), E L L n = π2 ħ 2 n 2 (9.42) 2mL 2 Τα φερμιόνια, λόγω της απαγορευτικής αρχής, μπορούν να καταλάβουν μόνο διαφορετικές κβαντικές καταστάσεις (Σχ. 9.1): Σχήμα 9.1: Οι μονοσωματιδιακές (μη-εκφυλισμένες) ενεργειακές στάθμες συστήματος τριών φερμιονίων. 166
8 Επομένως, λόγω της σχέσης (9.14) που ισχύει για διακρίσιμα, αλλά και για μη διακρίσιμα (ταυτοτικά) μη αλληλεπιδρώντα σωμάτια, έχουμε ότι η ολική ενέργεια της βασικής κατάστασης του συστήματος είναι: E = π2 ħ 2 2mL 2 ( ) (9.43) Η αντίστοιχη ολική κυματοσυνάρτηση προκύπτει από την ορίζουσα Slater, ως ψ E (x 1, x 2, x 3 ) = 1 ψ 1 (x 1 ) ψ 2 (x 1 ) ψ 3 (x 1 ) 3! ψ 1 (x 2 ) ψ 2 (x 2 ) ψ 3 (x 2 ) (9.44) ψ 1 (x 3 ) ψ 2 (x 3 ) ψ 3 (x 3 ) Κριτήριο αξιολόγησης 2 Δύο μποζόνια αποτελούν σύστημα, όπου οι μονοσωμοατιδιακές καταστάσεις είναι { f i }. Έστω ότι τα σωμάτια είναι αρχικά στις καταστάσεις f i, f j. Βρείτε την πιθανότητα να βρεθούν τα σωμάτια στις καταστάσεις ξ και η (όχι απαραίτητα ιδιοκαταστάσεις). Ποιά η πιθανότητα να βρεθεί ένα από αυτά στην κατάσταση ξ ; Λύση Η κυματοσυνάρτηση του συστήματος είναι: Φ 1 = 1 2 ( Φ i(1) Φj (2) + Φj (1) Φi (2) ) (9.45) Η νέα κατάσταση είναι επίσης συμμετρική: Φ 1 = 1 2 ( ξ(1) η (2) + ξ (1) η (2) ) (9.46) Άρα, η ζητούμενη πιθανότητα είναι: P 1 = Φ 1 Φ 2 2 = ξ Φ i n Φ j + ξ Φ i ξ Φ j 2 (9.47) Άλυτες ασκήσεις 1. Δείξτε ότι η ορίζουσα Slater για 2 και 3 φερμιόνια είναι αντισυμμετρική, σε εναλλαγή οποιωνδήποτε δύο φερμιονίων. 2. Δείξτε ότι οποιαδήποτε συνάρτηση είναι άθροισμα μιας συμμετρικής και μιας αντισυμμετρικής συνάρτησης. 3. Βρείτε την ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης και την κυματοσυνάρτηση συστήματος τριών μποζονίων, σε δυναμικό «κουτιού», μήκους L. Επαναλάβετε για την 1η διεγερμένη κατάσταση, στην περίπτωση μποζονίων και στην περίπτωση συστήματος φερμιονίων. 4. Δύο φερμιόνια υπακούουν στη Hamiltonian: 167
9 H = p 1 2 2m + p 2 2 2m + g2 2 (r r 2 2 ) (9.48) Βρείτε την ενέργεια βασικής κατάστασης και την αντίστοιχη κυματοσυνάρτηση (αγνοείστε το spin). 168
10 Βιβλιογραφία/Αναφορές Βαγιονάκης, K.E. (1996). Εισαγωγή στην Κβαντική Μηχανική. Αρχές και Πρότυπες Εφαρμογές, (3η έκδοση). Ιωάννινα: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Λαγανάς, E. (2005α). Κβαντομηχανικη Ι Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις. χ.τ.: Αρνός. Λαγανάς, E. (2005β). Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις. χ.τ.: Αρνός. Μοδινός, Α. (1994). Εισαγωγή στην κβαντική θεωρία της ύλης. Αθήνα: Εκδόσεις Παπασωτηρίου. Τραχανάς, Σ. (2005α). Κβαντομηχανικη Ι. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. Τραχανάς, Σ. (2005β). Προβλήματα Κβαντομηχανικής. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. Τραχανάς, Σ. (2008). Κβαντομηχανικη ΙI. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. Binney, J. & Skinner, D. (2013). The Physics of Quantum Mechanics. Oxford: Oxford University Press. Constantinescu, F., Magyari, E. (1971). Problems in Quantum Mechanics (Paperback). Oxford: Pergamon Press. Fitzpatrick, R. (2010). Quantum Mechanics. Ανακτήθηκε 30 Οκτωβρίου, 2015, από Gasiorowicz, S. (2003). Κβαντική Φυσική, (3η αμερικάνικη έκδοση). Αθήνα: Εκδόσεις Κλειδάριθμος. Griffiths, D. J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics, 2nd edition. Upper Saddle River NJ: Prentice Hall. Peleg, Y., Pnini, R., Zaarur, E., Hecht, E. (2010). Schaum s Outline of Quantum Mechanics (Schaum s Outlines), (2nd edition). McGraw-Hill. Squires, G.L. (1995). Problems in Quantum Mechanics: with solutions. Cambridge: Cambridge University Press. Tamvakis, K. (2005). Problems and Solutions in Quantum Mechanics. New York: Cambridge University Press. 169
Συστήματα Πολλών Σωματίων
Συστήματα Πολλών Σωματίων Δομή Διάλεξης Βασικές γενικεύσεις: Κυματοσυνάρτηση-Ενέργεια συστήματος πολλών σωματίων Μη αλληλεπιδρώντα σωμάτια: Μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σωματίων:
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 14: Πρόσθεση Στροφορμών
Κεφάλαιο 14: Πρόσθεση Στροφορμών Περιεχόμενα Κεφαλαίου Αφού δοθεί ο ορισμός ολικής στροφορμής θα γίνει η συσχέτιση της βάσης ολικής στροφορμής (jm j) με τη βάση των επιμέρους στροφορμών (m 1m ). Οι συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7: Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών
Κεφάλαιο 7: Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Περιεχόμενα Κεφαλαίου Τα θέματα που θα καλύψουμε στο κεφάλαιο αυτό είναι τα εξής (Τραχανάς, 2005 Τραχανάς, 2008 Binney & Skinner, 2013 Fitzpatrick,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 16: Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο
Κεφάλαιο 16: Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο Περιεχόμενα Κεφαλαίου Στο κεφάλαιο αυτό, θα θεωρήσουμε ως αδιατάρακτη Hamiltonian, εκείνη του ατόμου του υδρογόνου και θα μελετήσουμε τρία είδη διαταραχών.
Διαβάστε περισσότερα16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 17: Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών
Κεφάλαιο 17: Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών Περιεχόμενα Κεφαλαίου Στο κεφάλαιο αυτό θα εισαχθεί μία γενική μέθοδος μελέτης συστημάτων με χρονοεξαρτώμενη Hailtonian. Θα παρουσιαστεί η μέθοδος εύρεσης
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής
Τροχιακή Στροφορμή Δομή Διάλεξης Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της L
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 9 ου Set Ασκήσεων Κβαντομηχανικής Ι
Λύσεις 9 ου Set Ασκήσεων Κβαντομηχανικής Ι Disclaimer: Οι δυο ασκήσεις ζητούν τις κυματοσυναρτήσεις, τις ενέργειες, τις τιμές (x 1 x 2 ) 2 των διαφόρων καταστάσεων και τη διόρθωση από διαταραχή, για μποζόνια
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΗ Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)
Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Τροχιακή Στροφορμή (Ορισμοί Τελεστών) Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΤο Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας
Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών
Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Ορισμός Ολικής Στροφορμής. Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 )
Πρόσθεση Στροφορμών Δομή Διάλεξης Ορισμός Ολικής Στροφορμής Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 ) Συντελεστές μετάβασης (Glebsch-Gordon) για σύνθεση από l=1, s=1/2
Διαβάστε περισσότερα1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου
Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότερα. Να βρεθεί η Ψ(x,t).
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση το άτομο του υδρογόνου ΔΕΝ είναι προς εξέταση
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά
Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 13: Σύστημα δύο ενεργειακών επιπέδων. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 13: Σύστημα δύο ενεργειακών επιπέδων Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να μελετηθεί μια εφαρμογή σχετικά με τις βασικές
Διαβάστε περισσότεραΧρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών
Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Δομή Διάλεξης Ανασκόπηση συμβολισμού Dirac Διαταραχές σε σύστημα δύο καταστάσεων Η γενική μέθοδος μη-εκφυλισμένης θεωρίας διαταραχών Εφαρμογή: Διαταραχή
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει την εφαρμογή της
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει
ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις
Διαβάστε περισσότεραNobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική
Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις
Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική Ι 3o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1
Χειμερινό εξάμηνο 016-017 Κβαντομηχανική Ι 3o Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 Οι λύσεις του αρμονικού ταλαντωτή, με V = x είναι της μορφής ψ n (x) = ( mω π )1/4 1 n n! H n (x)e x /, n = 0,1, (1) Με Η n τα πολυώνυμα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Ατομική Δομή ΙΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Ατομική Δομή ΙΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cetive Commons.
Διαβάστε περισσότεραKΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο
Διαβάστε περισσότεραΑρμονικός Ταλαντωτής
Αρμονικός Ταλαντωτής Δομή Διάλεξης Η χρησιμότητα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή Η Hamiltonian και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Το φάσμα ιδιοτιμών της Hamiltonian Οι ιδιοκαταστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΜΗΜΑ ΥΤΙΚΗ ΣΟΜΕΑ ΘΕΩΡΗΣΙΚΗ ΥΤΙΚΗ ΚΒΑΝΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ασκήσεις και Προβλήματα. Α. Π. Λύκκας
ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΜΗΜΑ ΥΤΙΚΗ ΣΟΜΕΑ ΘΕΩΡΗΣΙΚΗ ΥΤΙΚΗ ΚΒΑΝΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ασκήσεις και Προβλήματα Α. Π. Λύκκας Επιβλέπων Καθηγητής : Λ. Περιβολαρόπουλος Ιωάννινα 2013 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 : υστήματα Πολλών
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 6: Ατομική Δομή Συμμετρία Εναλλαγής
Συμμετρία Εναλλαγής Σε μονοηλεκτρονιακά άτομα ιόντα η κατάσταση του ηλεκτρονίου καθορίζεται από τέσσερις κβαντικούς αριθμούς {n, l, m l, m s } ή {n, l, j, m j }. Σε πολυηλεκτρονιακά άτομα πόσα ηλεκτρόνια
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.
Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Κβαντοµηχανική Ι Α Καρανίκας και Π Σφήκας Άσκηση 1 Η Hamiltonian ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή Δείξτε ότι Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισµό της αναµενόµενης τιµής,
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών
Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες
Διαβάστε περισσότεραΚβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο
Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Δομή Διάλεξης Χαμιλτονιανή και Ρεύμα Πιθανότητας για Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Μετασχηματισμοί Βαθμίδας Αρμονικός Ταλαντωτής σε Ηλεκτρικό Πεδίο Σωμάτιο
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ Κ. Βελλίδης & Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 018 Συντεταγμένες Κ. Βελλίδη (Στοιχειώδη Σωμάτια): Τομέας ΠΦΣΣ: β όροφος, 10-77-6946 ΙΕΣΕ: β όροφος,
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 20η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου
Στοιχειώδη Σωματίδια Διάλεξη 20η Πετρίδου Χαρά Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Φερµιόνια & Μποζόνια Συµπεριφορά της Κυµατοσυνάρτησης δύο ταυτόσηµων σωµατίων κάτω από την εναλλαγή τους στο χώρο 15 Δεκ
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 12: Θεωρήματα Ehrenfest-Parity- -Μέση τιμή τελεστή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 12: Θεωρήματα Ehrenfest-Parity- -Μέση τιμή τελεστή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει τις ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1
Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Μη- Σχετικιστική Κβαντομηχανική Η μη- σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια: Στην QM αντιστοιχούμε την ενέργεια και την ορμή με Τελεστές:
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013
ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να σκιαγραφηθεί
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις
Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών: Γενική Μέθοδος για την αντιμετώπιση των απειρισμών λόγω εκφυλισμού Εφαρμογή σε διεγερμένη κατάσταση υδρογόνου
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής
Κβαντομηχανική ΙI Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις IX: Πρόσθεση στροφορμών Υπάρχουν πάμπολα φυσικά συστήματα στα οποία η κίνηση των επί μέρους σωματιδίων ή τα spin
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 5: Κυματομηχανική Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι η ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης, δηλαδή της λύσης της εξίσωσης
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 15 β-διάσπαση B' μέρος (διατήρηση σπίν, επιτρεπτές και απαγορευμένες
Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 15 β-διάσπαση B' μέρος (διατήρηση σπίν, επιτρεπτές και απαγορευμένες διασπάσεις)
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli
Άσκηση 1 Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli Άσκηση 2 Βρείτε την δράση των τελεστών του spin S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις του S z +1/2>, =1/2> Η αναπαράσταση των S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΗ κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017
Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. siroskonstantogiannis@gmail.com 8 Δεκεμβρίου 7 8//7 Coyrigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης, 7. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.
Διαβάστε περισσότεραΑρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.
Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία
Μοντέρνα Φυσική Κβαντική Θεωρία Ατομική Φυσική Μοριακή Φυσική Πυρηνική Φυσική Φασματοσκοπία ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )
vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική
Κεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική Περιεχόμενα Κεφαλαίου 38 Κβαντική Μηχανική Μια καινούργια Θεωρία Η κυματοσυνάρτηση και η εξήγησή της. Το πείραμα της διπλής σχισμής. Η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg.
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής
ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότερακαι χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.
Διαβάστε περισσότεραΛΕΑΝΔΡΟΣ ΠΕΡΙΒΟΛΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. Εισαγωγή στην Κβαντική θεωρία
ΛΕΑΝΔΡΟΣ ΠΕΡΙΒΟΛΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή στην Κβαντική θεωρία Εισαγωγή στην Κβαντική Θεωρία Συγγραφή Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Κριτικός αναγνώστης Θεοχάρης Κοσμάς Συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 13 ο, 30 Οκτωβρίου 2008 (9:00-11:00).
Μάθηµα ο 0 Οκτωβρίου 008 (9:00-:00) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Άσκηση 9 Έστω ένα κβαντικό σύστηµα το οποίο περιγράφεται από τρεις ενεργειακές καταστάσεις (ιδιοτιµές ενέργειας
Διαβάστε περισσότερα21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση
Διαβάστε περισσότεραΑτομική δομή. Το άτομο του υδρογόνου Σφαιρικά συμμετρικές λύσεις ψ = ψ(r) Εξίσωση Schrodinger (σφαιρικές συντεταγμένες) ħ2. Εξίσωση Schrodinger (1D)
Ατομική δομή Το άτομο του υδρογόνου Σφαιρικά συμμετρικές λύσεις ψ = ψ(r) Εξίσωση Schrodinger (1D) Εξίσωση Schrodinger (σφαιρικές συντεταγμένες) ħ2 2m 2 ψ + V r ψ = Εψ Τελεστής Λαπλασιανής για σφαιρικές
Διαβάστε περισσότεραβ διάσπαση II Δήμος Σαμψωνίδης ( ) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο
β διάσπαση II Δήμος Σαμψωνίδης (28-11- 2018) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο 1 Spin και πάριτυ ενός πυρήνα (J και πάριτυ: J p ) Σπιν πυρήνα, J = ολικό τροχιακό σπίν
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει την μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΜια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση
Μια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. spiroskonstantogiannis@gmail.com Δεκεμβρίου 07 //07 Coprigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης,
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική Ι 6o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1
Χειμερινό εξάμηνο 6-7 Κβαντομηχανική Ι 6o Σετ Ασκήσεων Άσκηση a) Τρόπος α : Λύνουμε όλους (ή έστω μερικούς από) τους συνδυασμούς [l i, r j ]: [l x, x] = [l y, y] = [l z, x] = i ħ y Κ.ο.κ., και συμπεραίνουμε
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση Dirac (ΙI) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1
Η εξίσωση Dirac (ΙI) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Συναλλοίωτη Μορφή: οι Dirac γ Matrices Η εξίσωση Dirac μπορεί να γραφεί σε συναλλοίωτη μορφή χρησιμοποιώντας τις 4 Dirac γ matrices: Πολλαπλασιάζοντας
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική σε μία διάσταση
vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 ldor@cc.uo.gr csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική
Διαβάστε περισσότεραSpin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής
Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υλικών, 11/2/2011
Θεωρία Υλικών, // Θέμα (.5) Για τα στοιχειακό μέταλλο Al δίνεται ότι η πυκνότητα είναι ρ M =.7 g/cm 3 και το ατομικό του βάρος 6.98. Η ηλεκτρονική δομή του ατόμου του Al είναι [Ne]3s p. α) Να βρεθεί ο
Διαβάστε περισσότεραΜετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:
Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει το ατοµικό πρότυπο του Bohr καθώς και τα µειονεκτήµατά του. Να υπολογίζει την ενέργεια που εκπέµπεται ή απορροφάται
Διαβάστε περισσότεραETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα
Διαβάστε περισσότεραΑπαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005
ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγρονη Φυσική II Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕλληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεµάτων Τελικών εξετάσεων στη Θεµατική Ενότητα ΦΥΕ34
Σύγχρονη Φυσική ΦΥΕ 6/7/8 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεµάτων Τελικών εξετάσεων στη Θεµατική Ενότητα ΦΥΕ Ιούλιος 8 Θέµα ο (Μονάδες:.5) ΣΥΓΧΡΟΝΗ ιάρκεια: λεπτά Για x η κυµατοσυνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται
Διαβάστε περισσότεραΤο άτομο του Υδρογόνου- Υδρογονοειδή άτομα
Το άτομο του Υδρογόνου- Υδρογονοειδή άτομα Το πιο απλό κβαντομηχανικό ρεαλιστικό σύστημα, το οποίο λύνεται ακριβώς, είναι το άτομο του Υδρογόνου (1 πρωτόνιο και 1 ηλεκτρόνιο) Το δυναμικό στην περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J.
Διαβάστε περισσότεραS ˆz. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α. 2αβ
Άσκηση 4. Έστω σωμάτιο με spin /. Να προσδιορίσετε την κατάστασή του αν είναι γνωστές οι S ˆ, S ˆ και μόνο το πρόσημο της S ˆ. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α ψ = α
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να δώσει μια πλήρη μαθηματική- κβαντομηχανική μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα
Διαβάστε περισσότερα( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Γενάρη ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες ΘΕΜΑ [555555553] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από την Χαµιλτονιανή H 3ε µ iε µε ιδιοσυναρτήσεις κάποιου
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικά Θέματα - Λειτουργία Μαθήματος Διδάσκων: Λ. Περιβολαρόπουλος
Κβαντομηχανική Ι Εισαγωγικά Θέματα - Λειτουργία Μαθήματος Διδάσκων: Λ. Περιβολαρόπουλος Στοιχεία Διδάσκοντα Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Καθηγητής Θεωρητικής Φυσικής-Κοσμολογίας Γραφείο Φ2-303 Ώρες Γραφείου:
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές κβαντικής θεωρίας
Εφαρμογές κβαντικής θεωρίας Στοιχειώδες μαθηματικό υπόβαθρο Σχέση Euler Χρησιμοποιώντας τη σχέση Euler, ένα αρμονικό κύμα της μορφής Acos(kx) (πραγματική συνάρτηση), μπορεί να γραφτεί ως Re[Ae ikx ] που
Διαβάστε περισσότεραΚυματική φύση της ύλης: ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:
Κυματική φύση της ύλης: ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης: Κινούμενα ηλεκτρόνια συμπεριφέρονται σαν κύματα (κύματα de Broglie)
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Κώστας
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1
Χειμερινό εξάμηνο 16-17 Κβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων ) ψ(x) dx Άσκηση 1 ψ ο (x) = Α (α x ), < x < = A (α x ) dx = 1 (α x ) dx = (α 4 x + x 4 )dx = α 4 dx x dx = 5 45 3 A ( 5 45 + 5 3 5 + x 4 dx + 5
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 4: Εξίσωση Schro dinger. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 4: Εξίσωση Schro dinger Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι η εξαγωγή της εξίσωσης Schro dinger καθώς και μια πρώτη
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 2η Πετρίδου Χαρά
Στοιχειώδη Σωματίδια Διάλεξη 2η Πετρίδου Χαρά Φερµιόνια & Μποζόνια Συµπεριφορά της Κυµατοσυνάρτησης δύο ταυτόσηµων σωµατίων κάτω από την εναλλαγή τους στο χώρο 10-Jan-11 Πετρίδου Χαρά Στοιχειώδη Σωµάτια
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών
Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών Δομή Διάλεξης Γενική μέθοδος μελέτης συστημάτων με χρονοεξαρτώμενο μέρος Χαμιλτονιανής. Εύρεση πιθανότητας μετάβασης Απλό παράδειγμα με ακριβή λύση: Σύστημα δύο καταστάσεων
Διαβάστε περισσότεραΛυμένες ασκήσεις στροφορμής
Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των
Διαβάστε περισσότεραΔύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1
Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν και Σύνδεση της βάσης των ιδιοκαταστάσεων του τετραγώνου και της z συνιστώσας του ολικού σπιν με τη βάση που αποτελείται από τα τανυστικά γινόμενα των καταστάσεων των δύο
Διαβάστε περισσότεραΑτομική και Μοριακή Φυσική
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Το άτομο του Υδρογόνου Λιαροκάπης Ευθύμιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΜεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων
Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 38 +)
ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 38 +) Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html
Διαβάστε περισσότερα