ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

Transcript

1 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1

2 3 4 Ο νόμος της χρονικής μεταβολής των μέσων τιμών και το κλασικό όριο της κβαντομηχανικής Θέλουμε να δείξουμε ότι, λόγω της χρονικής μεταβολής της κυματοσυνάρτησης, η μέση τιμή ενός κβαντομηχανικού τελεστή μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση η οποία μας λέει ότι ο ρυθμός μεταβολής της μέσης τιμής ενός κβαντομηχανικού μεγέθους είναι ανάλογος με τη μέση τιμή του μεταθέτη του με τη χαμιλτονιανή του συστήματος. Παραγωγίζοντας τα δύο μέλη ως προς t και λαμβάνοντας υπ όψιν ότι τα εσωτερικά γινόμενα παραγωγίζονται όπως τα συνήθη γινόμενα θα έχουμε όπου πήραμε επιπλέον υπ όψιν ότι ο τελεστής A δεν περιέχει το χρόνο, όπως πράγματι συμβαίνει με όλους τους φυσικούς τελεστές πλην της χαμιλτονιανής σε ένα χρονεξαρτημένο δυναμικό. 2

3 5 6 θεώρημα του Ehrenfest ΘΕΩΡΗΜΑ: Οι μέσες τιμές των φυσικών μεγεθών ακολουθούν τις κλασικές εξισώσεις της κίνησης. Ας δούμε την ειδική περίπτωση μιας μονοδιάστατης κίνησης υπό την επίδραση ενός δυναμικού V (x). Δεδομένου ότι η κλασική εξίσωση κίνησης εξίσωση του Νεύτωνα έχει τη μορφή dp/dt = F(x), ας εφαρμόσουμε την προηγούμενη σχέση για A = p, ώστε να υπολογίσουμε το ρυθμό μεταβολής της μέσης ορμής στην κβαντομηχανική. που μοιάζει, βεβαίως, με την κλασική εξίσωση Νεύτωνα αλλά με τις μέσες τιμές των σχετικών μεγεθών στα δύο μέλη. Επίσης αντίστοιχα για A = x θα έχουμε: Οι αρχές αβεβαιότητας ΟΡΙΣΜΟΣ: Δύο φυσικά μεγέθη A και B ονομάζονται συμβιβαστά αν μετατίθενται οι τελεστές τους. Αν είναι δηλαδή [A,B] = 0. Διαφορετικά δηλαδή αν [A,B] 0 τα μεγέθη ονομάζονται ασυμβίβαστα. Αν τα μεγέθη A και B είναι ασυμβίβαστα δεν μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα με απόλυτη ακρίβεια: ο ταυτόχρονος μηδενισμός των αβεβαιοτήτων τους είναι αδύνατος. ΘΕΩΡΗΜΑ (Γενικευμένη αρχή αβεβαιότητας): Το γινόμενο των αβεβαιοτήτων δύο ασυμβίβαστων φυσικών μεγεθών δεν μπορεί ποτέ να γίνει μικρότερο από το ήμισυ της απόλυτης μέσης τιμής του μεταθέτη τους. Η γενικευμένη σχέση αβεβαιότητας παίρνει την απλούστερη μορφή της για τα μεγέθη θέση και ορμή των οποίων ο μεταθέτης [x, p] = i είναι μια σταθερά, άρα το ίδιο και η μέση του τιμή για κάθε δυνατή κατάσταση ψ. 3

4 7 8 Μια ενδιαφέρουσα συνέπεια προκύπτει αν υποθέσουμε ότι η χαμιλτονιανή H έχει διάκριτο φάσμα και την εφαρμόσουμε για μία από τις ιδιοσυναρτήσεις της, οπότε θα είναι ΔE = 0, ενώ ταυτόχρονα θα είναι Δx πεπερασμένο αφού οι ιδιοσυναρτήσεις του διάκριτου φάσματος παριστάνουν δέσμιες καταστάσεις και άρα είναι εντοπισμένες στο χώρο. Σε αυτή την περίπτωση <p> = 0, δηλαδή: Η μέση ορμή του σωματιδίου σε μια δέσμια κατάσταση είναι μηδέν. Ας διερευνήσουμε τώρα λίγο προσεκτικότερα τη γενικευμένη σχέση αβεβαιότητας όταν το ένα από τα δύο μεγέθη έστω το B είναι η χαμιλτονιανή του συστήματος. Θα αντικαταστήσουμε τον μεταθέτη [A,H] με το ίσον του από την εξίσωση από το νόμο της χρονικής μεταβολής των μέσων τιμών. οπότε όπου Το τ Α παριστάνει το χρόνο που χρειάζεται να περιμένουμε για να μετακινηθεί η μέση «θέση» της στατιστικής κατανομής του μεγέθους A κατά ποσόν ίσο με μια τυπική απόκλιση, δηλαδή κατά ΔA και το αποκαλούμε χαρακτηριστικό χρόνο εξέλιξης του συστήματος. Γενικά ορίζουμε ως γενικό χρόνο εξέλιξης του συστήματος σύμβολο τ το χρόνο που χρειάζεται να περιμένουμε για να δούμε μια αισθητή μεταβολή σε οποιαδήποτε από τις παρατηρήσιμες ιδιότητές του 4

5 9 10 Νόμοι διατήρησης ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα κβαντομηχανικό μέγεθος A θα ονομάζεται διατηρήσιμο αν η μέση του τιμή για κάθε δυνατή κατάσταση του συστήματος παραμένει σταθερή με το χρόνο. Σύμφωνα τώρα με το νόμο της χρονικής μεταβολής των μέσων τιμών ένα μέγεθος θα είναι διατηρήσιμο αν (και μόνο αν) Επίσης είναι Και γενικά Το οποίο σημαίνει ότι όχι μόνο η μέση τιμή και η αβεβαιότητα αλλά και όλες οι στατιστικές ροπές, άρα και η πλήρης στατιστική κατανομή του μεγέθους A παραμένουν σταθερές με το χρόνο. Αν, ειδικότερα, η κυματοσυνάρτηση του συστήματος σε μια ορισμένη χρονική στιγμή είναι μια ιδιοσυνάρτηση του (διατηρήσιμου) μεγέθους A, με ιδιοτιμή a, τότε θα παραμένει συνεχώς ιδιοσυνάρτηση με την ίδια (φυσικά) ιδιοτιμή. Σε αναγνώριση αυτού του ιδιαίτερου ρόλου τους, οι ιδιοτιμές των διατηρήσιμων μεγεθών ή οι «κβαντικοί αριθμοί» που τις προσδιορίζουν ονομάζονται στη βιβλιογραφία καλοί κβαντικοί αριθμοί. Διατήρηση της ενέργειας Δεδομένου ότι η χαμιλτονιανή μετατίθεται πάντα με τον εαυτό της, είναι δηλαδή [H,H] = 0, η ενέργεια είναι προφανώς ένα διατηρήσιμο μέγεθος (αλλά μόνο κατά την κίνηση μέσα σε ένα σταθερό -χρονικά ανεξάρτητο- εξωτερικό πεδίο). Προσοχή: Όταν μελετάμε την κίνηση μέσα σε ένα χρονικά μεταβαλλόμενο εξωτερικό πεδίο η διατήρηση της ενέργειας δεν είναι υποχρεωτική. Το σωματίδιο μπορεί να δίνει ή να παίρνει ενέργεια από το χρονομεταβαλλόμενο εξωτερικό πεδίο. Όταν όμως εξετάζουμε ένα κλειστό, δηλαδή απομονωμένο, σύστημα τότε η συμμετρία μεταφοράς χρόνου, άρα και η διατήρηση της ενέργειάς του, είναι αναγκαστική. 5

6 11 12 Διατήρηση της ορμής Διατήρηση της στροφορμής Η συμπαγής γραφή των συνιστωσών της στροφορμής βάσει της οποίας Και ισχύουν επίσης οι οπότε οπότε όπου και αφού το διάνυσμα της ροπής της δύναμης F Το αποτέλεσμα αυτό μας λέει ότι: Για να διατηρείται μια συνιστώσα της στροφορμής πρέπει να μηδενίζεται η αντίστοιχη συνιστώσα της ροπής. 6

7 13 14 Για να μηδενίζεται τώρα μια συνιστώσα της ροπής, έστω η τ z, πρέπει το διάνυσμα της δύναμης να τέμνει τον άξονα z. Αυτό όμως μπορεί να συμβεί μόνο αν οι ισοδυναμικές επιφάνειες (V =σταθερά) είναι επιφάνειες εκ περιστροφής γύρω από τον άξονα z. Αν δηλαδή το δυναμικό έχει συμμετρία περιστροφής γύρω από αυτόν τον άξονα. Στην ειδική περίπτωση που το δυναμικό είναι κεντρικό, εξαρτάται δηλαδή μόνο από το r, τότε το πρόβλημα έχει πλήρη περιστροφική συμμετρία και επομένως διατηρούνται και οι τρεις συνιστώσες, x, y, z, της στροφορμής του σωματιδίου. Δεδομένου τώρα ότι όλες οι κατευθύνσεις του κενού χώρου είναι φυσικά ισοδύναμες (αρχή της ισοτροπίας του χώρου) ένα απομονωμένο σύστημα σωματιδίων θα έχει πάντα πλήρη περιστροφική συμμετρία και επομένως η ολική του στροφορμή θα είναι ένα διατηρήσιμο μέγεθος. Διατήρηση της ισοτιμίας και αντιστροφή του χώρου 7

8 15 16 Τελεστής ισοτιμίας Ορίζουμε τον τελεστή P ως τελεστή αντιστροφής χώρου ή, συνηθέστερα, τελεστή ισοτιμίας (parity operator). Η δράση του θα περιγράφεται από την εξίσωση πραγματοποιεί επί των κυματοσυναρτήσεων τη γεωμετρική πράξη της αντιστροφής του χώρου, που σημαίνει ότι θα τους αλλάζει τη μεταβλητή από r σε r. Οι ιδιοτιμές ξ του P όπως ορίζονται από την εξίσωση ιδιοτιμών οπότε θα ικανοποιούν την Οι ιδιοσυναρτήσεις ψ + (r) που αντιστοιχούν στη θετική ιδιοτιμή ξ = 1 είναι άρτιες συναρτήσεις ενώ εκείνες οι ψ (r) που αντιστοιχούν στην αρνητική ιδιοτιμή ξ = 1 είναι περιττές. οι άρτιες συναρτήσεις λέμε ότι έχουν θετική ισοτιμία (positive parity) ενώ οι περιττές αρνητική ισοτιμία (negative parity). Για να διατηρείται η ισοτιμία, ο τελεστής του πρέπει να μετατίθεται με τη χαμιλτονιανή του προβλήματος. δηλαδή Η οποία αποδεικνύεται εύκολα, αφού το δυναμικό V (r), επομένως και η χαμιλτονιανή H, δεν μεταβάλλονται με την αλλαγή r r, τότε δεν έχει προφανώς καμιά σημασία αν δράσουμε πάνω στην κυματοσυνάρτηση ψ(r) πρώτα με τον τελεστή H και εν συνεχεία κάνουμε την αλλαγή r r (δράση του P) ή το αντίστροφο: να κάνουμε πρώτα την αλλαγή r r και μετά να δράσουμε με τη χαμιλτονιανή. 8

9 17 18 Διατήρηση της πιθανότητας ή διατήρηση του αριθμού των σωματιδίων Έχουμε δει ότι η ολική πιθανότητα να βρούμε ένα σωματίδιο οπουδήποτε στο χώρο πρέπει να είναι ανεξάρτητη του χρόνου ώστε αν η κυματοσυνάρτηση έχει αρχικά δηλαδή για t = 0 κανονικοποιηθεί ώστε να δίνει ολική πιθανότητα μονάδα αυτή η ιδιότητα να διατηρείται με το χρόνο: Η ολική πιθανότητα να παραμένει συνεχώς μονάδα. Γενικά η πυκνότητα πιθανότητας μεταβάλλεται με το χρόνο, αφού μεταβάλλεται και η σχετική κυματοσυνάρτηση. Όμως αυτές οι τοπικές μεταβολές πρέπει να είναι τέτοιες ώστε να διατηρούν την ολική πιθανότητα αμετάβλητη. Αν σε ένα μέρος του χώρου η πιθανότητα μικραίνει, κάπου αλλού θα μεγαλώνει. Με άλλα λόγια, η χρονική εξέλιξη θα προκαλεί μια συνεχή μεταφορά πιθανότητας από τη μια περιοχή του χώρου στην άλλη. και Όπου το ρεύμα μεταφοράς πιθανότητας η πυκνότητα πιθανότητας Το ενεργειακό φάσμα σε ένα μονοδιάστατο πηγάδι δυναμικού Στην περιοχή των αρνητικών ενεργειών (E < 0) όπου η κλασική κίνηση είναι περιορισμένη το ενεργειακό φάσμα είναι διάκριτο και οι αντίστοιχες λύσεις αντιπροσωπεύουν τις δέσμιες καταστάσεις του σωματιδίου. Αντίθετα, στην περιοχή των θετικών ενεργειών (E >0) όπου η κλασική κίνηση είναι απεριόριστη το ενεργειακό φάσμα είναι συνεχές και οι αντίστοιχες λύσεις περιγράφουν τη σκέδαση του σωματιδίου από το δεδομένο δυναμικό. 9

10 19 20 Κβάντωση της ενέργειας Για να αναδειχθεί με σαφήνεια ο μαθηματικός μηχανισμός που προκαλεί την κβάντωση που οφείλεται στον μηδενισμό της κυματοσυνάρτησης στα άκρα του διαστήματος κίνησης θα αποδείξουμε το ακόλουθο θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ: Η εξίσωση Schrödinger διαθέτει λύσεις που μηδενίζονται στα άκρα ενός πεπερασμένου διαστήματος [a, b] μόνο για μια διάκριτη ακολουθία τιμών της ενέργειας του σωματιδίου. Απόδειξη: Δεδομένου ότι η εξίσωση Schrödinger είναι μια δευτεροτάξια γραμμική εξίσωση, θα διαθέτει δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις ψ 1 (x,e) και ψ 2 (x,e) οι οποίες θα εξαρτώνται επίσης και από την ενέργεια του σωματιδίου εφόσον αυτή εμφανίζεται ως παράμετρος στην εξίσωση. Η γενική λύση θα γράφεται λοιπόν ως όπου c 1, c 2 αυθαίρετες σταθερές οι οποίες θα πρέπει τώρα να επιλεγούν ώστε να ικανοποιούνται και οι συνοριακές συνθήκες ψ(a) = 0, ψ(b) = 0. 10

11 21 22 κ.ο.κ. Ελάχιστη ιδιοτιμή της ενέργειας ΘΕΩΡΗΜΑ: Η μικρότερη διάκριτη ιδιοτιμή σε ένα μονοδιάστατο δυναμικό είναι πάντα μεγαλύτερη από την τιμή του ελαχίστου του. Απόδειξη: Αν E 0 είναι η μικρότερη διάκριτη ιδιοτιμή και ψ 0 η αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση, τότε θα είναι Είναι και Οπότε Το οποίο σημαίνει φυσικά ότι το σωματίδιο δεν πέφτει ποτέ στον πυθμένα του δυναμικού. Θεώρημα των κόμβων ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΚΟΜΒΩΝ: Ο αριθμός των κόμβων δηλαδή των σημείων μηδενισμού των ιδιοσυναρτήσεων του διάκριτου φάσματος αυξάνεται κατά μονάδα καθώς προχωρούμε από την ιδιοσυνάρτηση της θεμελιώδους στάθμης (μηδέν κόμβοι) προς τις ανώτερες. οι κβαντομηχανικές δέσμιες καταστάσεις δεν είναι παρά στάσιμα κύματα τα οποία για να «φτιαχτούν» πρέπει να χωρέσει ένας ακέραιος αριθμός ημικυμάτων μέσα στο επιτρεπόμενο διάστημα. Η κατώτερη στάθμη αντιστοιχεί στην τοποθέτηση ενός ημικύματος (το οποίο, προφανώς, δεν έχει κανέναν ενδιάμεσο κόμβο) η δεύτερη έχει δύο ημικύματα (και συνεπώς έναν κόμβο) 11

12 23 Κλασική και κβαντική σκέδαση από πηγάδι και λόφο δυναμικού Φαινόμενο 1: Στην κβαντομηχανική το σωματίδιο ανακλάται ακόμα και όταν η ενέργειά του του επιτρέπει να περάσει. Φαινόμενο 2: Στην κβαντομηχανική το σωματίδιο περνάει ακόμα και όταν η ενέργειά του του το απαγορεύει (φαινόμενο της σήραγγας). 24 Τρία πρότυπα τετραγωνικά δυναμικά 12

13 Το τετραγωνικό σκαλοπάτι δυναμικού Στην κβαντομηχανική ένα σωματίδιο με ενέργεια μεγαλύτερη του V 0 έχει πεπερασμένη πιθανότητα να ανακλαστεί στο σκαλοπάτι, σε αντίθεση με ό,τι συμβαίνει στην κλασική μηχανική, όπου η ανάκλαση στην ίδια ενεργειακή περιοχή είναι αδύνατη. 13

14 27 28 Οι φυσικά ενδιαφέρουσες ποσότητες που μπορούν να εξαχθούν είναι οι συντελεστές ανάκλασης R και διέλευσης T που ορίζονται ως όπου j inc, j R και j T τα ρεύματα πιθανότητας που αντιστοιχούν στο προσπίπτον (incident), στο ανακλώμενο (reflected) και στο διερχόμενο (transmitted) κύμα αντίστοιχα. Προφανώς Άρα και πρώτος νόμος του Kirchoff (διατήρηση του ρεύματος) Είναι Και Τα A και B θα υπολογιστούν από τις συνθήκες συνέχειας της τιμής της συνάρτησης και της παραγώγου της στο σημείο χ=0 Οπότε και 14

15 29 30 κβαντική κλασική Οι συντελεστές ανάκλασης και διέλευσης για το τετραγωνικό σκαλοπάτι δυναμικού (κβαντική και κλασική περίπτωση) 2. Το τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού Στην περιοχή V 0 < E < 0 θα συμβεί το «φαινόμενο της κβάντωσης» και στην περιοχή E> 0 το φαινόμενο της «απαγορευμένης ανάκλασης» όπως και στο σκαλοπάτι δυναμικού. 15

16 31 32 Διάκριτο φάσμα: Υπολογισμός των επιτρεπόμενων ενεργειών, E<0 Για τις συνθήκες συνέχειας της συνάρτησης και της παραγώγου της στα σημεία ασυνέχειας του δυναμικού x = ±a αρκεί λόγω συμμετρίας να επιβάλλουμε μόνο εκείνες για x = a. Έτσι θα έχουμε κατ αρχάς για τις άρτιες λύσεις Οι παραπάνω εξισώσεις είναι της γενικής μορφής f(e) = g(e), οπότε οι ζητούμενες ιδιοτιμές μπορούν να βρεθούν γραφικά από τα σημεία τομής των καμπυλών f(e) και g(e). Η γραφική κατασκευή διευκολύνεται σημαντικά αν εισαγάγουμε την αδιάστατη μεταβλητή ξ = ak, οπότε και 16

17 33 34 Για λ=4 Για λ=3 Οι ιδιοσυναρτήσεις ενός τετραγωνικού πηγαδιού με παράμετρο λ = 3. Το συγκεκριμένο πηγάδι έχει δύο μόνο δέσμιες καταστάσεις. Σημειώστε ότι το πηγάδι διαθέτει πάντα μία δέσμια κατάσταση όσο ρηχό και στενό αν είναι ενώ το συνολικό τους πλήθος N θα δίνεται από τον τύπο 17

18 35 36 Συνεχές φάσμα: Υπολογισμός του συντελεστή ανάκλασης 18

19 Το τετραγωνικό φράγμα δυναμικού Αν στο προηγούμενο πρόβλημα αλλάξουμε το πρόσημο της παραμέτρου V 0 του βάθους του πηγαδιού το πηγάδι θα αναστραφεί μετατρεπόμενο σε ένα φράγμα δυναμικού Για να βρούμε λοιπόν τις ποσότητες R και T δεν έχουμε παρά να κάνουμε στα προηγούμενα αποτελέσματα την αντικατάσταση V 0 V 0 ή U 0 U 0, αυτό συνεπάγεται αλλαγή μόνο στον κυματάριθμο k για τον οποίο θα είναι τώρα ή 19

20 39 40 Ας μελετήσουμε λίγο περισσότερο τον τύπο της διάδοσης για Ε > V 0 και ειδικά για την περίπτωση ενός ψηλού και ευρέος φράγματος (V 0 και L μεγάλα) που εμφανίζεται συχνά στις εφαρμογές. Θα είναι τότε Η T 0 μπορεί να θεωρηθεί πρακτικά σταθερή στις εφαρμογές διότι είναι μια πολύ «αργομετάβλητη» συνάρτηση της ενέργειας έναντι του εκθετικού παράγοντα e 2γL του οποίου η τιμή υφίσταται γιγάντιες μεταβολές. Το φαινόμενο αυτό δηλαδή οι τεράστιες μεταβολές του T για μικρές μεταβολές του E είναι γνωστό ως η εκθετική ευαισθησία του φαινομένου της σήραγγας. 20

21 42 41 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Δείξτε ότι τα και είναι ισοδύναμες αναπαραστάσεις της κυματοσυνάρτησης του χ. Υπολογίστε τα C, D, ως συνάρτηση των Α, Β, και αντίστροφα. 21

22 43 44 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 2. Βρείτε το ρεύμα πιθανότητας J για την κυματοσυνάρτηση ενός ελεύθερου σωματιδίου. Ποια είναι η κατεύθυνση του ρεύματος; ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Προς τα θετικά χ. 3. Ένα σωμάτιο μάζας m και κινητικής ενέργειας Ε > 0 πλησιάζει μια ξαφνική πτώση δυναμικού V 0 (γκρεμός δυναμικού). (α) Ποια είναι η πιθανότητα να ανακλαστεί πίσω αν Ε= V 0 /3. (β) Όταν ένα νετρόνιο μπαίνει στον πυρήνα ενός ατόμου αντιμετωπίζει μια πτώση δυναμικού από V = 0 έξω στα -12MeV μέσα. Αν η αρχική κινητική ενέργεια του νετρονίου είναι 4 MeV (από πυρηνική σχάση) ποια η πιθανότητα να απορροφηθεί από τον πυρήνα και έτσι να δημιουργήσει νέα σχάση; (α) (β) 22

23 45 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 4. Για το διπλό πηγάδι του σχήματος, σχεδιάστε την κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου που βρίσκεται στη θεμελιώδη Ψ 1 και την πρώτη διεγερμένη Ψ 2 για (α) b=0, (β) b=a (γ) b>>a (α) (β) (γ) 23