Α Λυκείου 4 ΓΛΧ. Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Άλγεβρα 12.09

Transcript

1 Α Λυκείου ΓΛΧ Μ Παπαγρηγοράκης Χανιά Άλγεβρα 9

2 Ευχαριστώ το συνάδελφο Θανάση Νικολόπουλο από το Γυμνάσιο ΛΤ Βολιμών Ζακύνθου για τις εύστοχες παρατηρήσεις και τις διορθώσεις που έκανε στην αρχική έκδοση της συλλογής

3 ο ΓΛΧ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μαθηματική Λογική Ποιες από τις παρακάτω φράσεις είναι λογικές προτάσεις; Α) Ο αριθμός 8 είναι πρώτος Β) Η Κρήτη είναι νησί Γ) Αύριο θα βρέξει Να διατυπώσετε τις αρνήσεις των προτάσεων: Α) Υπάρχει τρίγωνο που είναι ορθογώνιο Β) Μερικοί ακέραιοι είναι πρώτοι Γ) Υπάρχει πραγματικός αριθμός που το τετράγωνό του είναι αρνητικό Δ) Κάθε τετράπλευρο είναι τετράγωνο Να διατυπώσετε τις αντίστροφες προτάσεις των προτάσεων: Α) Αν α τότε α 9 Β) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο πλευρές ίσες τότε έχει δύο γωνίες ίσες Γ) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες του ίσες τότε είναι ισοσκελές Δ) Αν ένα τρίγωνο είναι ισόπλευρο τότε είναι ισοσκελές Να αποδείξετε ότι pqq p 5 Να διατυπώσετε τις αντιθετοαντίστροφες προτάσεις των προτάσεων: Α) Αν ο είναι περιττός τότε και ο είναι περιττός Β) Αν ένα τετράπλευρο έχει άνισες διαγωνίους τότε αυτό δεν είναι ορθογώνιο 6 Να αποδείξετε ότι: Α) pq q p Β) pq p Γ) pq q Δ) pp q 7 Nα χαρακτηρίσετε ως Σωστή ή Λάθος κάθε μια από τις παρακάτω συνεπαγωγές: A) α α B) α α Γ) α α Σύνολα 8 A) Να γράψετε με αναγραφή το σύνολο: Α={/ ψηφίο του αριθμού 657} B) Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων του το σύνολο: Β={ y / ακέραιος με και y πραγματικός με y } Γ) Να γράψετε το σύνολο Γ={68} με περιγραφή μιας ιδιότητας των στοιχείων του Δ) Για τα προηγούμενα σύνολα να χαρακτηρίσετε σωστές ή λάθος τις προτάσεις: Α () Β 8 Α - Γ Γ 9 Να γραφούν με περιγραφή τα σύνολα και Β A Δίνονται τα σύνολα: A /( )( )( 6) και B y /(y )(y 6)(y 9) Να βρείτε τα σύνολα A B και A B Να βρεθεί η ένωση και η τομή των συνόλων: α) AR και B R β) AR και B γ) A και Β 5 Αν Ω 5 Α Β τότε να αποδείξετε ότι: A B A B και AB A B και Να συμπληρώσετε τις ισότητες Έστω ότι τα σύνολα Α και Β είναι υποσύνολα ενός συνόλου αναφοράς Ω Να χαρακτηρίσετε αν είναι σωστή ή λάθος κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις: Α) Αν A B τότε AB A Β) Αν B A τότε A B B Γ) Αν AB Ω και A B τότε A B Δ) Είναι Aγια κάθε A Ε) Αν A B και B A τότε: A B

4 Α Λυκείου - Άλγεβρα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ισοπίθανα Ενδεχόμενα Έστω τα σύνολα: Ω 5 B ω Ω/ω περιττός Α ω Ω/ω Αν εκλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω να βρείτε τις πιθανότητες να ανήκει: Α) στο Α Β) στο Α ή στο Β Γ) στο Α και στο Β Δ) στο Α και όχι στο Β Ε) σε ένα το πολύ από τα Α και Β Ρίχνουμε δύο ζάρια μαζί Να βρείτε την πιθανότητα να φέρουμε 6 στο ένα και 5 στο άλλο Ρίχνουμε ένα ζάρι διαδοχικά δύο φορές Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: Α) Το αποτέλεσμα της πρώτης ρίψης είναι μικρότερο από το αποτέλεσμα της δεύτερης ρίψης Β) Οι ενδείξεις και στις δύο ρίψεις είναι ίδιες Γ) Το άθροισμα των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι μεγαλύτερο του 9 Έστω το σύνολο Ω Εκλέγουμε τυχαία ένα λ Ω Να βρείτε την πιθανότητα ΡΑ όπου Α το ενδεχόμενο ο λ να είναι ρίζα της εξίσωσης λ λ 5 Έστω το σύνολο Ω Εκλέγουμε τυχαία ένα λ Ω Να βρείτε την πιθανότητα ΡΑ όπου Α το ενδεχόμενο η εξίσωση λ έχει δύο ρίζες άνισες 6 Δύο ισοδύναμοι παίκτες θα παίξουν τάβλι και συμφωνούν νικητής να είναι εκείνος που πρώτος θα κερδίσει δύο παιχνίδια Έστω α το αποτέλεσμα να κερδίσει ο πρώτος παίκτης ένα παιχνίδι και β το αποτέλεσμα να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης ένα παιχνίδι Να βρείτε: Α) Την πιθανότητα στα δύο πρώτα παιχνίδια να κερδίσει ο α Β) Την πιθανότητα ο νικητής να βγει μετά από δύο παιχνίδια 7 Σε ένα Λύκειο οι μαθητές της Α τάξης είναι 5 Αν εκλέξουμε τυχαία ένα μαθητή του Λυκείου η πιθανότητα να είναι μαθητής της Α τάξης είναι 6 και η πιθανότητα να είναι της Β τάξης είναι Να βρείτε: Α) το πλήθος όλων των μαθητών του Λυκείου Β) το πλήθος των μαθητών της Β τάξης Γ) την πιθανότητα να είναι ένας μαθητής που εκλέξαμε τυχαία μαθητής της Γ τάξης 8 Η Α τάξη έχει 5 αγόρια και κορίτσια Το % των αγοριών και τα των κοριτσιών επέλεξαν το βόλεϋ Επιλέγουμε τυχαία 5 ένα άτομο Αν η πιθανότητα να είναι αγόρι και να μην επέλεξε το βόλεϋ είναι να βρείτε: Α) Πόσα είναι τα αγόρια και πόσα είναι τα κορίτσια Β) Την πιθανότητα να είναι κορίτσι και να μην επέλεξε βόλεϋ 9 Ένα κουτί περιέχει άσπρες και κόκκινες σφαίρες Βγάζουμε διαδοχικά δύο σφαίρες Να βρεθεί η πιθανότητα: Α) να είναι δύο κόκκινες Β) να είναι η πρώτη άσπρη και η δεύτερη κόκκινη Γ) να είναι και οι δύο άσπρες Ένα κουτί περιέχει άσπρες μερικές κόκκινες και μερικές μαύρες μπάλες Παίρνουμε τυχαία μία μπάλα Η πιθανότητα να πάρουμε κόκκινη μπάλα είναι και η πιθανότη- τα να πάρουμε μαύρη μπάλα είναι Να βρείτε πόσες κόκκινες και πόσες μαύρες μπάλες υπάρχουν στο κουτί Στο διπλανό πίνακα έχουμε τη βαθμολογία μιας ο- μάδας μαθητών Αν εκλέξουμε τυχαία ένα μαθητή να βρείτε την πιθανότητα να έχει βαθμό: Α) Το πολύ 6 Β) Τουλάχιστον 5 Γ) 5 ή 7 Βαθμ Μαθ 7 M Παπαγρηγοράκης

5 ο ΓΛΧ 5 Λογισμός Πιθανοτήτων Έστω Α Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Να αποδειχθεί ότι: i) PA B PA PA B και PA B PB PA B ii) η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα ενδεχόμενα A B είναι ίση με PA PB PA B Αν ΑΒ είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν Α Β 5 PA PΒ και PΒPΑ να βρεθούν οι πιθανότητες PA PΒ P Α Β και PΑ Β Αν ΑΒ ενδεχόμενα ενός δειγματικού PA χώρου και ισχύουν PA B PB τότε βρείτε τις PA B PA B 5 Θεωρούμε τα ενδεχόμενα AB ενός πειράματος τύχης με πιθανότητες τέτοιες ώ- στε: PA B PA PA B Να βρείτε τις PA PB PA B 6 Αν για δύο ενδεχόμενα AB ενός 5 δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: PA B PΒ να βρείτε την PA B PA 7 Αν για δύο ενδεχόμενα AB ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: PA PA 5 6 B να υπολογίσετε την PΒ Α 8 Αν AB είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν οι ισότητες PA PA και PA Β να βρείτε τις : Α) PA Β Β) PA Γ) PB Δ) PA Β Ε) PA Β 9 Αν PA και PA 5 να βρείτε τις Ρ(Α ) Ρ(Α) 6 Αν για δύο ενδεχόμενα AB ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: PA B ΡΑ Β να υπολογίσετε την πιθανότητα PΒ Αν για δύο ενδεχόμενα AB ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: PA PΑ PA PΒ και P A B να υπολογίσετε τις πιθανότητες P Α Β PΒ Α PA B Δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου έχουν γινόμενο πιθανοτήτων Να βρεθεί η πιθανότητα καθενός 9 Εστω A B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύουν AB Ω ΡΑ α και ΡΒ β Να βρεθούν οι: PA B PA B PA B PA B Αν A B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν PA B και PA BAB να βρείτε την πιθα- 6 νότητα PA B 5 Δίνονται δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύ- ουν: P(A B) P(A B) και PB A Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β 6 Έστω ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με μη μηδενικές πιθανότητες για τα οποία ισχύει ΡΑΡΑ ΡΑ Ρ Β Να αποδείξετε ότι το Α είναι βέβαιο ενδεχόμενο και το Β αδύνατο

6 6 Α Λυκείου - Άλγεβρα 7 Έστω ΑΒ δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύει ότι η πιθανότητα: να πραγματοποιείται το Α είναι 5 Έστω ΑΒ δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι η πιθανότητα: Να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α να μην πραγματοποιείται το Β είναι 5 και να και Β είναι πραγματοποιούνται συγχρόνως και τα δύο είναι Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται: 6 Α) ένα τουλάχιστον από τα Α και Β Β) το πολύ ένα από τα Α και Β Γ) κανένα από τα Α και Β Δ) μόνο το Α Ε) μόνο ένα από τα Α και Β ΣΤ) το Α ή να μην πραγματοποιείται το Β 8 Έστω Α Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια ώστε ΡΑ ΡΒ και PA B Να βρεθούν οι 6 πιθανότητες των ενδεχομένων Α) Γ: «Πραγματοποιείται ένα μόνο από τα A και B» Β) Δ: «Δεν πραγματοποιείται ούτε το A ούτε το B» 9 Η Β τάξη ενός Λυκείου έχει αγόρια και κορίτσια Τα των αγοριών και το 5 % των κοριτσιών πήγαν την προηγούμενη μέρα σε μια συναυλία Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο Αν η πιθανότητα να είναι κορίτσι και να μην έχει πάει στην συναυλία είναι % να βρείτε την πιθανότητα να είναι αγόρι και να μην έχει πάει στην συναυλία Στη Γ τάξη ενός Λυκείου υπάρχουν 5 αγόρια και κορίτσια Τα των αγοριών και τα των κοριτσιών συμμετείχαν 5 στην πενθήμερη εκδρομή της τάξης τους Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο Να βρείτε την πιθανότητα: Α) Να είναι αγόρι και να μην έχει πάει εκδρομή Β) Να είναι κορίτσι ή να μην έχει πάει εκδρομή να πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β είναι Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται ένα το πολύ από τα Α και Β Στη Γ τάξη ενός Λυκείου το % των μαθητών ασχολείται με το ποδόσφαιρο το % με το μπάσκετ και το % με το ποδόσφαιρο και με το μπάσκετ Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή Να βρεθεί η πιθανότητα: Α) Να μην ασχολείται με το μπάσκετ Β) Να μην ασχολείται ούτε με το ποδόσφαιρο ούτε με το μπάσκετ Γ) Να ασχολείται με το μπάσκετ και να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο Από τους 5 μαθητές της A τάξης ενός οι ασχολούνται με το ποδόσφαιρο οι με το μπάσκετ και καθένας ασχολείται με το ποδόσφαιρο ή το μπάσκετ Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή Nα βρεθεί η πιθανότητα: Α) Να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο Β) Να ασχολείται με το ποδόσφαιρο και με το μπάσκετ Γ) Να ασχολείται με το ποδόσφαιρο αλλά όχι με το μπάσκετ Έστω δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύει ότι: ΡΑ Β και ΡΒ Να βρείτε την πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα και 5 Σε ένα σχολείο το 5% των μαθητών έχει κινητό τηλέφωνο ή δεν έχει Η/Υ και το 5% των μαθητών έχει κινητό και Η/Υ Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή Αν η πιθανότητα να έχει κινητό και να μην έχει Η/Υ είναι 5 να βρείτε την πιθανότητα να μην έχει ούτε Η/Υ ούτε κινητό M Παπαγρηγοράκης

7 ο ΓΛΧ 7 Παραμετρικές 6 Αν Ω δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα με ΝΩ και ΝΑ PB με 6 A B συμπληρωματικά ενδεχόμενα να βρεθούν οι πιθανότητες PA και PB 7 Αν AB ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με PA λ PB7λ 6λ να δείξετε ότι λ 8 Ένα μη αμερόληπτο ζάρι είναι έτσι φτιαγμένο ώστε η εμφάνιση κάθε αριθμού κ να είναι ανάλογη του κ με κ 6 Να βρείτε τη πιθανότητα εμφάνισης κάθε α- ριθμού 9 Έστω Ω ω ω ω ένας δειγματικός χώρος του οποίου οι πιθανότητες P ω i i των απλών ενδεχομένων του ικανοποιούν τις σχέσεις Pω Pω 7Pω θ και 6Pω P ω P ω 5θ όπου θ φυσικός αριθμός Να βρεθούν: Α) οι πιθανότητες P ω P ω P ω Β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Β ω ω Α ω ω Α Β και Α Β Έστω ο δειγματικός χώρος Ω και οι πιθανότητες κ P κ κ Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ και ΡΑ όπου A Έστω Ω ω ω ω ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενά του Α=ω ω ω και Β=ω ω κ Αν ισχύουν : ΡΑ ΡΒ και κ κ κ P(ω ) να βρεθεί ο κ και οι πιθανότητες P(ω ) P(ω ) κ Ανισότητες Αν ΑΒ είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Α) P(A)P(A ) P(A) P(A ) Β) Γ) P(A B) P(A)P(B) P((A Β)) Δ) P(A B) P(A Β) P(A) P(Β) ΡΑ Β E) P(A B) P(A) P(B) P(A B) Έστω A B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A) P(B) Α) Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα A και B δεν είναι ασυμβίβαστα Β) Να αποδείξετε ότι: P(A B) 6 Έστω A B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης για τα 6 οποία ισχύει PA B PA PB 5 7 Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων A B A B 5 Έστω A B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με P(A) P(B) 78 Α) Να εξετάσετε αν τα A B είναι ασυμβίβαστα Β) Να δείξετε ότι: P(A B) 6 Έστω Α Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με ΡΑ ΡΑ Β 5 Να δείξετε ότι ΡΒ 7 Έστω A B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A) P(B ) Να αποδείξετε ότι τα A B δεν είναι ασυμβίβαστα 8 Έστω A B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A) P(B ) Να αποδείξετε ότι: P(A B) 6

8 8 Α Λυκείου - Άλγεβρα 9 Έστω A B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A) P(B) και P(A ) P(B) Να αποδείξετε ότι: 5 P(A B) Έστω ΑΒΓ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια ώστε Γ Α Β Να αποδειχθεί ότι: Α) ΡΓ ΡΑ ΡΒ Β) ΡΓ ΡΑΒ ΡΑ Β ΡΑ Β Γ) ΡΑ Β ΡΑ ΡΒ Γ 55 Μέσα σε ένα κουτί υπάρχουν 5 μπάλες από τις οποίες οι είναι άσπρες και οι κόκκινες Επιλέγουμε την μία μπάλα μετά από την άλλη μέχρι να μείνουν στο κουτί μπάλες του ίδιου χρώματος Να βρείτε : Α) Τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: «Οι μπάλες που επιλέξαμε ήταν του ίδιου χρώματος» Β: «Στο κουτί έμεινε μόνο μία μπάλα» Γ: «Από τις μπάλες που επιλέξαμε οι κόκκινες ήταν περισσότερες από τις άσπρες» Β) Τις πιθανότητες των ενδεχομένων : ΑΒ ΒΓ ΓΑ Α Β 5 Αν ΑΒ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν P(A ) α και P(Β) β όπου αβ να αποδειχθεί ότι: βαρ ΑΒ Ρ Α Β 5 Αν A B συμπληρωματικά ενδεχόμενα και 5P A8 9PA PB να βρε- θούν οι PA και PB Γενικές Ασκήσεις στις Πιθανότητες 5 Ένα κουτί περιέχει άσπρες και κόκκινες σφαίρες Βγάζουμε διαδοχικά δύο σφαίρες Να βρεθεί η πιθανότητα: Α) να είναι δύο κόκκινες Β) να είναι η πρώτη άσπρη και η δεύτερη κόκκινη Γ) να είναι και οι δύο άσπρες 5 Σε μια έρευνα που έγινε μεταξύ των μαθητών μιας τάξης βρέθηκε ότι το 5% θα πάει το καλοκαίρι διακοπές σε «νησί» το 5% θα πάει το καλοκαίρι διακοπές σε «βουνό» το % θα πάει διακοπές το καλοκαίρι σε «νησί» και σε «βουνό» ενώ τρείς μαθητές δεν θα πάνε πουθενά Πόσα άτομα έει η τάξη; 56 Έστω AB δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Αν οι πιθανότητες ΡΑ ΡΑ Β ΡΑ Β είναι ρίζες της εξίσωσης να βρείτε την πιθανότητα ΡB 57 Έστω AB ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A B) και P(A) P(B) Nα δειχθεί ότι PA B και ότι ισχύει PA PB 58 Έστω A B ενδεχόμενα ενός πεπερασμένου δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης με μη μηδενικές πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων Αν PA PA B και PB PA B να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α και Β είναι συμπληρωματικά 59 Έστω A B ενδεχόμενα ενός πεπερασμένου δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης με μη μηδενικές πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων Αν και PB PA B P B P A B να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα A και B είναι συμπληρωματικά 6 Έστω A B ενδεχόμενα ενός πεπερασμένου δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης Να αποδείξετε ότι αν τότε PA PB PA B PA B M Παπαγρηγοράκης

9 ο ΓΛΧ 9 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Iδιότητες των πράξεων Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) Β) βαβα β 5 5 Αν α 5 και β να υπολογιστεί η α β α α β Να αποδείξετε ότι αν είναι αντίθετοι οι αριθμοί Α y z και B y z τότε y z Αν οι αριθμοί α α και β β είναι αντίστροφοι να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι αντίθετοι 5 Αν α β να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α α(α ) β( α) β(α 8) Δυνάμεις Υπολογίστε τις παραστάσεις 7 Α) 5 8 Β) () : Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) αβ α β αβ αβ Γ) y y y Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 5 y : y Α) Β) y : yy και αν και y 5 y αν Α) Να απλοποιηθούνοι παραστάσεις: 7 8 αβ αβ και 7 7 α β α β Β) Για ποιες τιμές των αβ είναι Α Β ; 6 Αν y(y ) να αποδειχτεί ότι η παράσταση είναι ανεξάρτητη y y των y 7 Αν y y y να βρεθεί ο λόγος y και η τιμή της παράστασης Α= y y 8 Αν ο α είναι περιττός ακέραιος να αποδείξετε ότι ο αριθμός α α είναι πολλαπλάσιο του 9 Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δύο διαδοχικών περιττών αριθμών είναι άρτιος Αν α β γ να αποδειχτεί ότι: y ω ν ν ν ν ν α β γ α β γ ν ν ν α y ω y ω 5 Αν ν είναι φυσικός με v να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) v v v v 6 Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορούμε να φτιάξουμε με: α) τρία δυάρια β) τρία τριάρια γ) τρία τεσσάρια; 7 Για ποια τιμή του κ η παράσταση κ κ β γράφεται με μορφή δύναμης με α βάση αβ ; ν6 8 Να βρεθεί ο ν αν 9 Να δείξετε ότι α αβ β βγ γ γα β γ α ν 6 Να γράψετε ως δύναμη με βάση το 8 την παράσταση: { :[(5 : 5 ) :( ) ( ) ]}

10 Α Λυκείου - Άλγεβρα Ταυτότητες Παραγοντοποίηση Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να είναι τέλεια τετράγωνα οι παραστάσεις: α) 6 8 β) 9 Αν αβ να αποδείξετε ότι α β α αβ β Να απλοποιήσετε τις ακόλουθες παραστάσεις αφού βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται: A) Β) ( ) ( ) Γ) Δ) Αν 5 y=- να βρείτε την τιμή της παράστασης y y : y y y 5 Nα αποδείξετε ότι: Α) Αν Β) Αν α β α β τότε α β αβ αβ τότε α β α β 6 Για κάθε α β γ R να αποδείξετε ότι: αν α β γ αββγ γα τότε α β γ 7 Για κάθε yω R να αποδείξετε ότι: αν y ω y ω y ω τότε 8 Αν αβγ είναι τα μήκη πλευρών τρι- α βγ αβγ γώνου και ισχύει ότι να β γ αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο 9 Αν βα να αποδείξετε ότι: α βα β α β α β α β Αν α 5 να βρείτε τα α α α α α Αν y και y να υπολογιστούν τα y y y y Aν y α α α β να αποδείξετε ότι y y β β και y Αν α β β γ γ α και α βγ να αποδείξετε ότι: α β βγ β γ αγ γ α αβ αβ βγ αγ 5 Αν για τους θετικούς ακέραιους yω ισχύει ότι: αποδειχτεί ότι y ω y ω y 7 ω τότε να 6 Αν α βγ αβγ να δείξετε ότι α β γ β γ αβγ γ α αβγ α β αβγ 7 Για κάθε φυσικό ν να αποδείξετε ότι: Α) Ο αριθμός είναι άρτιος ν Β) Ο αριθμός διαιρεί τον 5 8 Αν αβγ και βγ β να αποδείξετε ότι: α β γ αβ α βγ β γα γ 9 Να αποδείξετε ότι αν βγ γα αβ τότε α β γ α β γ Αν α y β α βy τότε να αποδείξετε ότι α και y β M Παπαγρηγοράκης

11 ο ΓΛΧ Διάταξη Ανισότητες Nα χαρακτηρίσετε κάθε μια από τις προτάσεις με την ένδειξη Αληθής ή Ψευδής : Α) Αν και y τότε y Γ) Αν α β τότε ισχύει πάντα Δ) Αν τότε ισχύει πάντα Ε) Αν α τότε α ΣΤ) Αν α και β τότε αβ α β Αν και y 7 να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρουν οι παραστάσεις y y y y y y Αν είναι 8 να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις: Α) Β) Γ) Δ) Να δείξετε ότι y y y Να αποδείξετε ότι: Α) Aν α β τότε α β β α Β) Αν α τότε α α α Γ) Αν y τότε 7 y 5 5 Να αποδείξετε ότι: Α) Αν αβ είναι ομόσημοι τότε α β β α Β) Αν αβ είναι ετερόσημοι τότε α β β α α Γ) Αν α τότε α 6 Αν για τους θετικούς αβγ ισχύει ότι α+β β+γ γ+α αβ γ βγ -αγα -β να αποδείξετε ότι α β γ δηλαδή ότι αυτοί οι αριθμοί είναι ίσοι μεταξύ τους 8 Να συγκρίνετε τους αριθμούς 5 και 9 Αν α β γ R να αποδείξετε ότι: A) α β αβ B) α β γ 8αβγ 5 Αν αβ R αριθμοί να δείξετε ότι: Α) Β) α αββ α β γ αββγ γα 5 Αν α β θετικοί να αποδείξετε ότι Α) αβ α β α β Β) α β αβ α β 5 Αν α β γ είναι πλευρές τριγώνου και ισχύει ότι α β γ α β γ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο αυτό είναι ισόπλευρο 5 Για τους θετικούς αβγ να αποδείξετε ότι: αβγ α β γ αβγ α β γ * 5 Για κάθε αβ γ R να αποδείξετε α β γ α γ β ότι: β γ α γ β α 55 Να δείξετε ότι α β γ α γ β β γ α γ β α 56 Για κάθε αβ να αποδείξετε ότι Α) αβ α β Β) α α α α α α 6 57 Αν αβ θετικοί ακέραιοι αριθμοί τέτοιοι ώστε α β να αποδειχτεί ότι αβ 7 Να αποδειχτεί ότι 58 Αν είναι y και αποδείξετε ότι y 5 y 6 να

12 Α Λυκείου - Άλγεβρα Απόλυτη Τιμή 59 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟY-ΛΑΘΟYΣ: Α) Η δεν υπάρχει για κάθε Β) Ισχύει ότι y z y z Γ) Ισχύει για κάθε Δ) Αν y τότε ή y Ε) Αν τότε ΣΤ) Ισχύει ότι α α α α α Ζ) Ισχύει ότι αν αβ τότε α β 6 Nα βρείτε τις απόλυτες τιμές: 7 π α π 6 ημ8 6 Αν αβ γ να γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής την παράσταση Α αβ γ α β γ 6 Αν γράψτε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις παραστάσεις: Α 6 B 8 Γ 6 Δ 6 Nα γράψτε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις παραστάσεις: A 8 Β 6 Γ Δ Ε 66 Εάν y να δείξετε ότι: Α) y 5 Β) y 7 67 Να βρεθούν οι τιμές των αριθμών α α α αν α α α 68 Αν ισχύει ότι: κ y m να αποδείξετε ότι y κ κ y m 69 Να λυθούν οι ανισώσεις: Α) Β) Γ) Δ) 6 7 Να αποδείξετε ότι: Α) y αν y y Β) αν Γ) Αν y 8 τότε 5y 9 Δ) 5y 5 y y 7 Να δείξετε ότι 6 7 Να βρεθεί το όταν: Α) d 7 Β) 9 d() Γ) d ΣΤ 6 Αν α 5 και β να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών μεταβάλλεται η παράσταση α β 65 Να λυθούν οι ανισώσεις: Α) 7 Β) 5 6 Γ) Δ) 7 Ε) ΣΤ) 7 Ζ) M Παπαγρηγοράκης

13 ο ΓΛΧ 7 Ρίζες 7 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ: 8 Α) Ισχύει y y για κάθε y Β) Ισχύει ότι για κάθε Γ) Ισχύει ότι Δ) Ισχύει ότι για κάθε 5 5 Ε) Για κάθε ισχύει: ΣΤ) Για κάθε είναι για κάθε ( ) 8 Αν α να δείξετε ότι: Α) α α α Β) α α α 8 Να μετατραπούν οι παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή: A B Γ 5 Δ 5 8 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Ζ) Αν y> τότε y y Α) Η) Ισχύει πάντα ότι α β α β Β) Για κάθε να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: () 75 Αν να απλοποιήσετε την παράσταση Α= 6 9 Γ) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) Β) 9 Γ) 5 85 Να δείξετε ότι: Να απλοποιηθεί η παράσταση αν 77 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) Β) Γ) Δ) 78 Να υπολογίσετε τα και στη συνέχεια να απλοποιήσετε την παράσταση: 79 Να αποδείξετε ότι 8 Να υπολογίσετε τον αριθμό Να συγκρίνετε τους αριθμούς και 87 Να λύσετε την εξίσωση: Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός είναι φυσικός 89 Για ποια R έχουν έννοια οι παραστάσεις: Α Ε 7 Ζ ; 9 Να αποδείξετε ότι: Α) Β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης A

14 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να λύσετε τις εξισώσεις: Α) Β) Γ) Να λυθούν για λ οι εξισώσεις: Α) λ λ Β) λ λ Γ) λ λ Δ) λ λ Να λύσετε τις εξισώσεις: Α) α β αα β Β) αβ α α α α α α Α) Να λυθεί ο τύπος ως R R R προς R PV PV Β) Να λυθεί ο τύπος ως προς V T T 5 Από τις ισότητες v v αt και v v S vt αt να δείξετε ότι S t 6 Ένα συνεταιρικό ελαιουργείο έχει δύο συγκροτήματα το Α και το Β Όταν δουλεύουν και τα δύο μαζί τελειώνουν όλες τις ελιές μίας περιοχής σε μέρες Τη φετινή χρονιά ξεκίνησαν μαζί και μετά από μέρες το Α σταμάτησε οριστικά λόγω βλάβης ενώ το Β συνέχισε να δουλεύει κανονικά Το Β έχει τα της απόδοσης του Α Να βρείτε σε πόσες μέρες συνολικά θα τελειώσουν όλες οι ελιές της περιοχής 7 Ένα βαρέλι Α περιέχει 5 κιλά κρασί των ευρώ το κιλό και ένα βαρέλι Β περιέχει 56 κιλά κρασί των 5 ευρώ το κιλό Αφαιρούμε από κάθε βαρέλι την ίδια ποσότητα κρασιού και βάζουμε αυτή που αφαιρέσαμε από το Α στο Β και αυτή που αφαιρέσαμε από το Β στο Α Αν μετά το ανακάτεμα των κρασιών το περιεχόμενο των δύο βαρελιών έχει την ίδια αξία να βρείτε πόσα κιλά μεταφέρθηκαν από το ένα βαρέλι στο άλλο Εξισώσεις με Απόλυτα 8 Να λύσετε τις εξισώσεις: Α) 8 Β) 5 Γ) Δ) Ε) 5 ΣΤ) Να λύσετε τις εξισώσεις Α) 5 Β) 6 6 Γ) 6 8 Να λυθούν γεωμετρικά οι εξισώσεις: Α) Β) Να λύσετε τις εξισώσεις: A) 5 B) Γ) 9 56 Δ) Να λύσετε τις εξισώσεις: Α) Β) Γ) Δ) Να λύσετε τις εξισώσεις Α) Γ) Β) 6 5 Δ) Α)Να δείξετε ότι: Β) Να λύσετε την εξίσωση λ λ λ για κάθε λ 5 Α) Να λυθεί η εξίσωση Β) Αν η εξίσωση: 8 () α και η () έχουν κοινή λύση να βρείτε το α 5 Γ) Αν η εξίσωση (β+) και η () έχουν κοινή λύση να βρείτε το α M Παπαγρηγοράκης

15 ο ΓΛΧ 5 Δευτεροβάθμια Εξίσωση 6 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: Α) Β) Γ) 5 Δ) Ε) 67 ΣΤ) 7 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις ως προς για κάθε τιμή των παραμέτρων τους: Α) Β) αβ αγ β γ αβ αβ αβ αβ Γ) β αβ αβ 8 Αν η εξίσωση αβ έχει ως ρίζα τον αριθμό α β να αποδείξετε ότι α β 9 Να βρεθούν οι τιμές του λ R ώστε η εξίσωση λ λ λ να έχει έχει δύο ρίζες πραγματικές Έστω η εξίσωση λ 5 λ Α) Για ποιες πραγματικές τιμές του λ η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα; Β) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει διπλή ρίζα; Γ) Να βρεθεί η διπλή ρίζα της εξίσωσης για την τιμή του λ που βρήκατε στο (Β) ερώτημα Δ) Αν ρ είναι η διπλή ρίζα της εξίσωσης να υπολογίσετε την παράσταση Α ( ρ) για κάθε πραγματικό αριθμό Ένας μαθητής αντί της εξίσωσης α β () έλυσε την β α και βρήκε δύο ρίζες Από αυτές η μία ήταν ίση με μία ρίζα της () και η δεύτερη ήταν μικρότερη κατά της άλλης ρίζας της () Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β Να βρεθεί ο λ ώστε η εξίσωση λ λ λ : Α) να έχει μία μόνο ρίζα Β) να έχει διπλή ρίζα Να λύσετε την εξίσωση Δ 6Δ αν Δ είναι η διακρίνουσά της Η εξίσωση λ 5λ λ λ έχει ρίζα το Να βρείτε το λ και μετά να δείξετε ότι το είναι διπλή ρίζα 5 Να βρεθούν οι αβ αν οι ρίζες της α β είναι ίσες με α και β 6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αβγ αβ αγ βγ αβ γ R έχει μια διπλή ρίζα αν και μόνον αν α β γ 7 Δίνεται η εξίσωση μ μ Να βρεθεί για ποιες τιμές του μ έχει: Α) διαφορετικές ρίζες Β) μια διπλή ρίζα 8 Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση α β α β αβ έχει διπλή ρίζα τότε η εξίσωση α β αβ έχει ρίζες άνισες 9 Αν η εξίσωση βγ βγ είναι αδύνατη στο να δείξετε ότι η εξίσωση β5γ δεν έχει ρίζες στο Αν η εξίσωση β γ γ β έχει δύο ρίζες άνισες συμπληρώστε δίπλα από κάθε εξίσωση το πλήθος των ριζών της: Α) β γ Β) γ β Γ) β γ Δ) γ β Για ποιες τιμές του α οι εξισώσεις α και ρίζα; α έχουν κοινή Αν η εξίσωση μ κ έχει διπλή ρίζα να αποδείξετε ότι το ίδιο θα συμβαίνει και για την εξίσωση: μ μ κ+ μ+κ+κκ- +

16 Άθροισμα Γινόμενο Ριζών Δίνεται η εξίσωση με ρίζες Χωρίς να υπολογιστούν οι ρίζες να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων: ( ) Έστω η εξίσωση β γ γ A) Να αποδείξετε ότι έχει άνισες ρίζες Β) Αν οι δύο ρίζες της εξίσωσης να γράψετε συναρτήσει των αριθμών β γ τις παραστάσεις Γ) Να αποδείξετε ότι: d Δ όπου Δ η διακρίνουσα της εξίσωσης 5 Δίνεται η εξίσωση: λ λ λ λ Α) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να έχει δύο πραγματικές και ίσες ρίζες Β) Αν λ 5 και είναι οι ρίζες της εξίσωσης να βρείτε την τιμή της 6 6 παράστασης: A 6 Έστω η εξίσωση α α β β αβ με α Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για οποιεσδήποτε τιμές των αβ Β) Αν οι δύο ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετε ότι Γ) Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός α με α να αποδείξετε ότι β α 7 Αν ρ ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης α β γ αβγ α και οι ρίζες της εξίσωσης κ λ μ κ λμ κ να βρείτε εξίσωση με ρίζες τις παραστάσεις ρ ρ και ρ ρ 8 Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης λ να βρεθεί ο πραγματικός α- ριθμός λ έτσι ώστε να ισχύει: Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης α β γ με αβ γ οι ρίζες της και ρ ρ να αποδειχθεί ότι αν οι είναι ετερόσημες τότε και οι ρ ρ είναι ετερόσημες Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση λ έχει: Α) δύο ρίζες ετερόσημες Β) δύο ρίζες θετικές και άνισες Γ) δύο ρίζες αρνητικές Δ) δύο ρίζες αντίστροφες Έστω η εξίσωση και ρ ρ οι ρίζες της A) Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων: ρ ρ ρρ ρρ A ρ ρ B Γ ρ ρ ρ ρ ρ ρ Δ ρ ρ Ε ρ ρ B) Να σχηματίσετε εξίσωση β βαθμού με ρίζες τις παραστάσεις Δ Ε του (Α) ερωτήματος και μετά να υπολογίσετε το Έστω η εξίσωση λ λ () Α) Να βρεθεί ο λ ώστε να έχει ρίζες αντίθετες Β) Να λυθεί η ανίσωση d( λ) 5-λ όταν η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα Αν για τους αριθμούς αβ γ ισχύει γ α βγ α να αποδείξετε ότι: A) Η εξίσωση α β γ δεν μπορεί να έχει ρίζες τους αριθμούς και B) Η α β γ έχει δύο ρίζες άνισες Γ) Αν οι ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετε ότι: Δ) Να αποδείξετε ότι μία μόνο ρίζα της εξίσωσης θα είναι στο διάστημα Αν είναι ρίζες της να βρεθεί εξίσωση που να έχει ρίζες τις: A) ρ και ρ B) ρ και ρ Γ) ρ και ρ 57 M Παπαγρηγοράκης

17 ο ΓΛΧ 7 Δευτεροβάθμια εξίσωση-τριώνυμο 5 Δίδεται η εξίσωση λ λ λ η οποία έχει δύο πραγματικές ρίζες έστω Να αποδείξετε ότι: και 6 Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 7 έχει δύο θετικές ρίζες Β) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων Α= B 7 Έστω η εξίσωση λ λ λ Α) Βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μια διπλή ρίζα την οποία και να υπολογίσετε Β) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες ετερόσημες 8 Δίνεται η εξίσωση η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς και Να 5 βρείτε το πρόσημο του αριθμού 9 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση γ γ α β β όπου τα αβγ είναι μήκη πλευρών ενός τριγώνου δεν έχει πραγματικές ρίζες 5 Nα λυθεί η εξίσωση: 5 Δίνεται η εξίσωση β γ και ισχύει η σχέση: β 6γ Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και ομόσημες τις ρ και ρ Β) Να αποδείξετε ότι ρ ρ Γ) Αν για το άθροισμα S των ριζών ισχύει S να λύσετε την ανίσωση β γ 5 Ένας επενδυτής πούλησε μια μετοχή αντί euro και υπολόγισε ότι ζημιώθηκε τόσο επί τοις εκατό όσο την αγόρασε Να βρείτε πόσα euro έχασε ( λύσεις) 5 Ένα βαρέλι περιέχει 5 lt κρασί Βγάζουμε μια ποσότητα κρασί και προσθέτουμε την ίδια ποσότητα νερού Μετά ξαναβγάζουμε την ίδια ποσότητα από το μείγμα Στο βαρέλι παραμένει ένα μείγμα που περιέχει lt καθαρό κρασί Να βρείτε πόσα λίτρα κρασί βγάλαμε αρχικά (Απ 8) 5 Σε μια γεωργική περιοχή αναλογεί ως έκτακτη ενίσχυση εξ αιτίας φυσικής καταστροφής το ποσό των euro Σε κάθε παραγωγό αναλογεί το ίδιο ποσό Επειδή είχε γραφτεί κατά λάθος ένας παραγωγός παραπάνω τον έσβησαν και οι υπόλοιποι πήραν ο καθένας euro περισσότερα Να βρείτε πόσοι ήταν τελικά οι δικαιούχοι (Απ: 5) 55 Έστω f (λ ) λ λ όπου λ Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση f() αληθεύει για κάθε Β) Αν λ να λύσετε την εξίσωση f Έστω α Να αποδείξετε ότι: P α β με A) Αν P για κάθε τότε P B) Αν είναι αβ τότε η εξίσωση α β έχει ρίζες πραγματικές 57 Έστω η εξίσωση (λ-) -λ +λ= λ Α) Για ποια λ η εξίσωση έχει ρίζες στο r ; Β) Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης για λ λ ποιες τιμές του λ είναι ; 58 Να απλοποιηθούν τα κλάσματα : α6α αβα αβ και 5α6α αβ α αβ 59 Το κόστος της ημερήσιας παραγωγής μονάδων ενός προϊόντος είναι K ενώ η είσπραξη από την πώληση μονάδων είναι E 99 σε χιλιάδες δραχμές Να βρεθεί η ημερήσια παραγωγή μονάδων του εργοστασίου για την οποία το κέρδος γίνεται μέγιστο

18 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) Β) Γ) Να λύσετε τις ανισώσεις: 6 Α) 5 Β) 5 Να λυθούν οι ανισώσεις: + Α) 7 - Β) Β) Δ) + - Να λυθούν οι ανισώσεις: Α) Β) ( 8 7)( 9) Γ) 5 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: Α) f() Β) f Γ) f() 6 Δίνεται η εξίσωση: λ λ λ λ Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ η () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες Β) Εάν είναι οι ρίζες της () να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει λ 7 Να βρείτε το λ ώστε το τριώνυμο λ λ να έχει: Α) σταθερό πρόσημο για κάθε Β) αρνητικό πρόσημο για κάθε 8 Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του λ να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξί- σωσης λ λ λ 9 Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση: λ- λ+ λ+> να είναι αδύνατη για κάθε Να βρεθούν αν υπάρχουν οι τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση λ λλ να αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές του Να προσδιοριστεί ο λ ανίσωση ώστε η λ λ λ να είναι αληθής για κάθε Αν είναι οι ρίζες της εξίσωης λ λ λ λ να βρεθεί ο λ ώστε Έστω ρίζες της εξίσωσης λ λ λ Να βρεθεί ο λ ώστε να ισχύει Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) Β) Γ) ( ) 5 Για ποια συναληθεύουν οι ανισώσεις και - ; - 6 Δίνεται η εξίσωση β γ Να βρείτε το πρόσημο των αριθμών β και γ ώστε να έχει νόημα η ανίσωση με τις ρίζες της εξίσωσης Κατόπιν δείξτε ότι η ανίσωση εφ όσον έχει νόημα ισχύει πάντα M Παπαγρηγοράκης

19 5 ΠΡΟΟΔΟΙ Αριθμητική Πρόοδος 5 Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο όταν το άθροισμα των πρώτων όρων της είναι και η διαφορά του τρίτου από τον δέκατο όρο είναι 5 5 Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο στην οποία είναι S 6 και S 5 Για ποια τιμή του ακεραίου οι αριθμοί 5 9 είναι διαδοχικοί αριθμ προόδου; 5 Να βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου αν έχουν άθροισμα και γινόμενο 55 Αν οι αριθμοί αβγ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να αποδείξετε ότι οι α βγ β γα γ αβ είναι επί- σης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου Ποιος είναι ο λόγος των διαφορών των δυο προόδων αυτών; 56 Αν τα μήκη των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου δείξτε ότι είναι ανάλογα των αριθμών 5 57 Πόσους αριθμούς πρέπει να παρεμβάλλουμε μεταξύ του 5 και του 5 ώστε να αποτελούν όλοι μαζί διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και ο τελευταίος από τους παρεμβαλλόμενους όρους να είναι -πλάσιος από τον δεύτερό τους; 58 Αν α α αv είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να δείξετε ότι: ν α α α α α α α α v v ν 59 Αν α α αv είναι -μη μηδενικοίδιαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να δείξετε ότι v α α α α α α α α α α v v v 5 Σε μία αριθμητική πρόοδο ισχύει α7 α7 και α9 α Να βρείτε το άθροισμα των όρων της που βρίσκονται μεταξύ του α 8 και α 5 5 Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι αν ν 5 ν Να δειχθεί ότι η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος Να βρείτε το ά- θροισμα των όρων της που είναι μεταξύ των 7 και 99 5 Να αποδείξετε ότι η ακολουθία για την οποία ισχύει ότι Sv v v είναι αριθμητική πρόοδος 5 Δίνεται η αριθμητική πρόοδος 5 και παίρνουμε ομάδες όρων ως εξής: Να υπολογιστεί το άθροισμα των όρων της ν- οστής ομάδας 5 Αν το άθροισμα των ν πρώτων διαδοχικών όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι μ και το άθροισμα των μ πρώτων διαδοχικών όρων της ίδιας ΑΠ είναι ν τότε να βρεθεί το άθροισμα των ν μ πρώτων και διαδοχικών όρων σε συνάρτηση με τα νμ ( νμ ) 55 Για κάθε v να λύσετε την εξίσωση 5 8 ν Έχουμε ν κιβώτια μέσα στα οποία τοποθετούμε αριθμημένες μπάλες ως εξής: Στο πρώτο κιβώτιο τη μπάλα με τον αριθμό στο δεύτερο τις μπάλες στο τρίτο τις 56 στο τέταρτο τις 789 κοκ Α Πόσες μπάλες έχει το ν -οστό κιβώτιο; Β Να δειχτεί ότι στο ν -στό κιβώτιο η μπάλα με τον μικρότερο αριθμό είναι αυτή με τον α- ριθμό ν (ν ) Ποια είναι εκείνη που έχει το μεγαλύτερο αριθμό; Γ Σε ποιο κιβώτιο βρίσκεται η μπάλα με τον αριθμό ; Δ Αν v 5 πόσες μπάλες έχουμε συνολικά;

20 Γεωμετρική Πρόοδος 57 Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε σε καθέναν από τους αριθμούς 6 58 για να γίνουν τρεις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου; 58 Να βρεθούν τρεις αριθμοί που αποτελούν αύξουσα γεωμετρική πρόοδο αν το άθροισμά τους είναι 65 και η διαφορά των άκρων όρων τους είναι 59 Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου όταν έχουν γινόμενο 6 και άθροισμα μεσαίων όρων 5 5 Να βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο σε κάθε μια από τις περιπτώσεις: A) Αν S και α5 α6 α7 α8 8 B) Αν S 6 και α α 5 5 Αν (α ν)(β ν) είναι δυο γεωμετρικές πρόοδοι και για κάθε ν είναι βν εξετάστε σε ποια περίπτωση σχηματίζεται γεωμετρική πρόοδος: α) αν β) αν βν γ) α δ) αν βν 5 Α) Να αποδειχτεί ότι η ακολουθία με ν γενικό όρο αν είναι γεωμετρική πρόοδος Β) Ποιος όρος της είναι ίσος με 7 ; 5 Σε μια γεωμετρική πρόοδο έχουμε α α α α Να βρεθεί ο λόγος της 5 Α) Να δειχθεί ότι η ακολουθία για την οποία ισχύει ότι S v v ν είναι γεωμετρική πρόοδος Β) Πόσους όρους της πρέπει να πάρουμε για να έχουμε άθροισμα 8 ; 55 Α) Να συγκρίνετε τον αριθμητικό και τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών: και 8 Β) Να αποδείξετε ότι η σχέση που θα βρείτε ισχύει γενικά για κάθε ζεύγος θετικών αριθμών y 56 Να βρείτε τρεις ακέραιους αριθμούς για τους οποίους ισχύουν τα εξής: Είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν αυξηθεί ο δεύτερος κατά 8 η πρόοδος γίνεται αριθμητική και αν αυξηθεί και ο τρίτος κατά 6 γίνεται πάλι γεωμετρική 57 Να βρείτε τρεις αριθμούς για τους οποίους ισχύουν τα εξής: είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου έχουν άθροισμα 5 και αν σε αυτούς προσθέσουμε τους αριθμούς 9 αντίστοιχα θα γίνουν διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου 58 Να βρείτε τέσσερις ακέραιους αριθμούς για τους οποίους ισχύουν τα εξής: α) οι τρεις πρώτοι είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου β) οι τρεις τελευταίοι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και γ) το άθροισμα των άκρων όρων είναι και των μεσαίων 59 Να βρεθούν τρεις αριθμοί y ω αν αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου έχουν άθροισμα 8 και αν ο μεσαίος αυξηθεί κατά τότε οι αριθμοί που προκύπτουν είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου 5 Αν αβ β γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να αποδείξετε ότι οι αριθμοί β γ β α αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου 5 Για κάθε α { } δίνεται η εξίσωση (α ) (α 5α 5) (α 5α 5) (α ) Α) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση έχει τρεις πραγματικές ρίζες αυτές αποτελούν γεωμετρική πρόοδο Β) Αν παραστήσουμε με τη ρίζα της εξίσωσης που δεν εξαρτάται από την παράμετρο α προσδιορίστε τότε το α ώστε οι ρίζες να αποτελούν αριθμητική πρόοδο Γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές της παραμέτρου α που βρήκατε στην προηγούμενη ερώτηση η εξίσωση έχει τρεις ίσες ρίζες Μ Παπαγρηγοράκης

21 ο ΓΛΧ 6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Η έννοια της Συνάρτησης 6 Να γράψετε πιο απλά τον τύπο της συνάρτησης αν f αν και να βρείτε την τιμή της παράστασης: ff f 6 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με - f() και g() Βρείτε τα f( ) f() f( ) f(/) g() g( 5) 6 Αν είναι f 6 να βρεθούν οι πραγματικοί α και β ώστε να ισχύει: f α 8 και f8 β 6 Για την συνάρτηση ισχύουν f και f f α β Βρείτε το f α β 65 Aν f()= να υπολογίσετε τα α β ώστε να ισχύει f()= και β f()= α 66 Έστω ότι f() αβ Να βρεθούν τα αβ ώστε f(-)=f() 67 Αν f()= να βρείτε την 5 5 τιμή του πραγματικού λ ώστε να ισχύει f λf Αν f για κάθε να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α) f Β) f Γ) f f() Δ) f f() 69 Για τη συνάρτηση f να δείξετε ότι: A) f α fα fα fα 8 B) f κα λβ μγ κf α λf β μf γ 6 Αν f ισχύει f f 6 Αν f τότε να δείξετε ότι να δείξετε ότι για α β κάθε αβ R ισχύει: f αf βf να λύσετε την εξίσω- 6 Αν f ση f f f f Πεδίο Ορισμού 6 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των: Α) f 9 + Β) h - Γ) f - Δ) f 6 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των: Α) f Β) f Γ) f 65 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των: Α) f Β) f Γ) f 66 Για ποιες τιμές του α r η συνάρτηση - f() = έχει πεδίο ορισμού το σύνολο r ; α

22 Γεωμετρικές Απόσταση Σημείων 67 Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία A B Γ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές 6 Δίνεται η συνάρτηση f Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες yy την ευθεία y και 68 Δίνεται η συνάρτηση f()= Να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α f() και Β f( ) 69 Να βρεθεί σημείο Γ του άξονα τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με ίσες πλευρές τις ΑΓ ΒΓ όπου A B 6 Δίνονται τα σημεία A B Να βρείτε σημείο Μ της ευθείας y= ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ισοσκελές με ίσες πλευρές τις ΜΑ και ΜΒ 65 Δίνεται η συνάρτηση: f μ με μ< Να βρεθεί το μ ώστε το C f να τέμνει τους άξονες σε σημεία που απέχουν απόσταση ίση με 5 66 Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα είναι γραφική παράσταση συνάρτησης; Στις περιπτώσεις που είναι να σημειώσετε το πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών y A B y y y Συμμετρικά Σημεία Γ y y Δ Ε y 6 Δίνονται τα σημεία Αα B Γβ 6 Δ γ Ε και Ζ δ Να βρείτε τους πραγματικούς α β γ δ αν γνωρίζετε ότι: Τα Α και Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα τα Ε και Ζ είναι συμμετρικά ως προς το το Γ βρίσκεται πάνω στον και το σημείο Δ βρίσκεται στον yy 6 Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού λ ώστε τα σημεία: Α) Α λ λ B 5λ να είναι συμμετρικά ως προς το σημείο Ο Β) Aλ λ Βλ λ να είναι συμμε- τρικά ως προς την ευθεία y Γ) A B λ να είναι συμμε- τρικά ως προς τον άξονα Γραφική Παράσταση 6 Δίνεται η συνάρτηση fα Nα βρεθεί το α ώστε η C f να διέρχεται από το σημείο M y 67 Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: Α) f και y g Β) f και g 68 Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f()=+ g()=-+ h()=+ στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων και να υπολογίσετε το εμβαδόν της περιοχής που περικλείεται από αυτές 69 Nα κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f()= 6 Δίνονται οι συναρτήσεις: f()= και g Nα βρεθούν τα σημεία τομής των C f C g καθώς και η απόστασή τους 6 Εξηγήστε γιατί ο κύκλος δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης y Μ Παπαγρηγοράκης

23 Α Λυκείου - Άλγεβρα Ευθεία 6 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ευθεία y= + με τον άξονα 6 Δίνεται η ευθεία λ λ ε :y Να προσδιοριστεί ο λ λ λ ώστε η ε να είναι: Α) παράλληλη στην ευθεία y=- Β) παράλληλη στην ευθεία y 5 Γ) κάθετη στην ευθεία y=-8+ Δ) να διέρχεται από το σημείο (-) 6 Αν οι ευθείες ε : y λ λ και ε : y λ είναι παράλληλες να δείξετε ότι οι ευθείες ε : y λ είναι κάθετες Άρτιες Περιττές ε :y λ 8 65 Σε κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις εξετάστε ποια είναι άρτια και ποια είναι περιττή: Α) f()= Β) f: (-] R με f()= 66 Α) Έστω f περιττή συνάρτηση Να αποδείξετε ότι αν Df τότε f Β) Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή κάθε μια από τις συναρτήσεις: Α) f Β) f Μονοτονία 69 Να βρείτε τη μονοτονία των συναρτήσεων: Α) f και Β) f και f 6 Δίνεται η συνάρτηση f()= f λ f στο ( ) Να προσδιοριστεί ο λ ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα 6 Η συνάρτηση f() είναι γνησίως αύξουσα στο R με f()> για κάθε r Nα δείξετε ότι η συνάρτηση g() είναι γνησίως f() φθίνουσα στο r Ακρότατα 6 Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: Α) f f Β) f f 5 Γ) f f() 6 Δ) f αν έχει πεδίο ορισμού το A 67 Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι f Nα βρεθεί το f αν γνωρίζετε ότι: Α) Η f είναι άρτια Β) Η f είναι περιττή 68 Δίνεται συνάρτηση f: με την ιδιότητα για κάθε y να ισχύει fy f fy Δείξτε ότι ότι η f είναι περιττή f και

24 Γενικές Ασκήσεις 6 Να αποδείξετε ότι: Α) μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση δεν μπορεί να είναι άρτια Β) η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονό- τονης συνάρτησης τέμνει τον σε ένα το πολύ σημείο λ 6 Για την ευθεία ε: y 5 να λ- βρείτε: Α) Τις τιμές του λ ώστε η ευθεία ε να είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: y 6 Β) Τις τιμές του λ ώστε το σημείο A( ) να ανήκει στην γραφική παράστάση της ευθείας ε Γ) Τις τιμές του λ ώστε η ευθεία ε να είναι παράλληλη προς τον άξονα Δ) Τα σημεία τομής της με τους άξονες 65 Αν f τότε: Α) Να λυθεί η εξίσωση ff Β) Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή Γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία της στο [+) Δ) Να γίνει η γραφική της παράσταση 66 Έστω η συνάρτηση f()=λ+ λ< Να βρείτε: Α) Τα σημεία τομής της γραφικής της παρά - στασης με τους άξονες Β) Το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση και τους άξονες Γ) Την τιμή του λ ώστε το εμβαδόν του παρα- πάνω τριγώνου να είναι τμ 67 Δίνεται η συνάρτηση f λ λ Να βρείτε: Α) Τα σημεία τομής της γραφικής της παρά- στασης με τους άξονες Β) Το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση και τους άξονες Γ) Την τιμή του λ ώστε το εμβαδόν του παραπάνω τριγώνου να είναι τετραγω- νικές μονάδες 69 Δίνεται η συνάρτηση f Α) Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή Β) Να βρείτε το ακρότατο της f Γ) Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία Δ) Να γραφτεί ο τύπος της χωρίς την απόλυτη τιμή Ε) Να γίνει η γραφική της παράσταση ΣΤ) Να βρείτε αν υπάρχουν- τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες Ζ) Να βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης με την ευθεία y Η) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης και την ευθεία y Θ) Να δείξετε ότι το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές 65 Να προσδιοριστεί ο κ ώστε όταν η συνάρτηση f()= (κ ) παρουσιάζει ελάχιστο τότε και η συνάρτηση g()= ( κ ) να παρουσιάζει για την ίδια τιμή του μέγιστο 65 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το r A) Να βρείτε το f() και f() B) Να λύσετε την εξίσωση: f() Γ) Να λύσετε την ανίσωση: f() Δ) Να λύσετε την ανίσωση: f() Να επιλυθούν γραφικά οι ανισώσεις: και Μ Παπαγρηγοράκης

25 5 Α Λυκείου - Άλγεβρα 7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 7 Για κάθε λ r δίνονται οι ευθείες : ε : y λ(λ ) και ε : y - -λ -9 Α) Να ελέγξετε αν υπάρχει τιμή του λ για την οποία η ευθεία ε περνάει από το Β) Να βρεθεί ο λr ώστε το σημείο Μ(--6) να είναι σημείο της ευθείας ε Γ) Να αποδείξετε ότι οι ε και ε είναι κάθετες στην περίπτωση που ο λ ισούται με την μεγαλύτερη από τις τιμές που βρήκατε στο (Β) ερώτημα Δ) Να βρείτε την απόσταση των σημείων στα οποία η ε τέμνει τους άξονες όταν ο λ ισούται με την μικρότερη από τις τιμές που βρήκατε στο (Β) ερώτημα 7 Δίνεται η συνάρτηση f() Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Β) Να αποδειχτεί ότι είναι άρτια Γ) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα Δ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα yy 7 Έστω η συνάρτηση f με f() κ + κ A) Να βρεθεί η τιμή του κ ώστε το σημείο Α(8) να ανήκει στη γραφική παράσταση της f Για την τιμή του κ που βρήκατε στο Α ερώτημα: Β) Να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α( 8) και Β(8 f(8)) Β) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή 7 Δίνονται οι ευθείες: ε : y λ και ε : y λ με λ Α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε οι ε και ε να είναι παράλληλες Β) Για λ 5 : α) Να γράψετε τη μορφή που παίρνουν οι ε και ε β) Αν A και Β είναι τα σημείο στα οποία η ε τέμνει τον ε τον yy και η αντίστοιχα να βρείτε την απόσταση AB 75 Δίνεται η συνάρτηση : f() αν με λ 6λ λ αν Α) Να βρείτε το λ ώστε ff 8 Β) Αν λ τότε: α) Να βρείτε την απόσταση των σημείων Af() και B 5f( 5) β) Να υπολογίσετε την τιμή της παρά- στασης f f9 76 Έστω η συνάρτηση f() Α Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f Β Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες και σε ποια σημεία ; Γ Να βρεθεί η τιμή της παράστασης 9 ff7 f f Δίνεται η συνάρτηση f Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας το O 78 Έστω τα σημεία Aκ και Βκ όπου κ R Α) Να αποδείξετε ότι AB 5 κ Β) Αν AB 5 να βρείτε τις τιμές του κ Γ) Αν κ να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y διέρχεται από τα Α και Β Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να αποδείξετε ότι είναι περιττή Γ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 79 Δίνεται η συνάρτηση f f() f( ) 7 Αν f() ανίσωση: να λυθεί η f f

26 7 Δίνεται η συνάρτηση : f() αν με λ 6λ λ αν Α) Να βρεθεί ο λ ώστε f() f 8 Β) Αν λ τότε: α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστα- σης f8 β) Να βρείτε την απόσταση των σημείων f και f 7 Έστω η συνάρτηση f Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α f της f Β) Να δείξετε ότι f() = για κάθε Α f Γ) Να λύσετε την εξίσωση 9 = f() 7 Δίνεται η συνάρτηση f() 9 Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f Β) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια Γ) Υπολογίστε την τιμή της παράστασης f(8) f( 8) Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να 7 Δίνεται η συνάρτηση f απλοποιήσετε τον τύπο της Β) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή Γ) Να λύσετε την ανίσωση f 75 Για κάθε λ δίνονται οι ευθείες ε : y λ 6 5 και ε : y5λ 8 Α) Να βρείτε αν υπάρχει- τιμή του λ ώστε η ε να διέρχεται από το σημείο Β) Να βρείτε το λ ώστε οι ευθείες ε και ε να είναι παράλληλες Γ) Αν λ να βρείτε τα σημεία στα ο- ποία η ε τέμνει τους άξονες 76 Έστω μια συνάρτηση y=g() της ο- ποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα Παρατηρώντας την γραφική παράσταση να απαντήσετε στα ερωτήματα Α) Ποιό είναι το πεδίο ορισμού της g; Β) Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της g Γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του η g παρουσιάζει ακρότατα και ποια είναι αυτά Δ) Να ελέγξετε αν η g άρτια ή περιττή Ε) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: g() g( ) g( ) Στ) Είναι σωστό ότι g()>g(); (γιατί;) Ζ) Για ποιες τιμές του ισχύει ότι g()=; Η) Για ποιες τιμές του ισχύει ότι g()>; 77 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Δίνεται ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά cm και το μέσον Ο της ΑΔ Ένα κινητό σημείο Μ ξεκινά από το Α και διαγράφοντας την πολυγωνική γραμμή ΑΒΓΔ καταλήγει στο Δ Γ Β Γ Μ Β Γ Μ Β Μ Ο A Ο A Αν με συμβολίσουμε το μήκος της διαδρομής που έκανε το κινητό Μ και με f() το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου Α) Να βρείτε τον τύπο της f και να την παραστήσετε γραφικά Β) Να βρείτε την τιμή του για την οποία ισχύει f() cm Ο A Μ Παπαγρηγοράκης

27 ο ΓΛΧ 7 8 ΓΕΝΙΚΕΣ - ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 8 Δίνεται η εξίσωση λ (λ )+λ = () λr Α) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να έχει πραγματικές και ίσες ρίζες Β) Αν λ και είναι οι ρίζες της εξίσωσης () να βρείτε την τιμή της παρά- 6 6 στασης: A 8 Δίδονται τα τριώνυμα Ρ() = + Q() = + K() = Α) Να βρεθεί το πρόσημο σε κάθε ένα από τα παραπάνω τριώνυμα για κάθε r Β) Να λυθεί η ανίσωση Ρ() Q() K() 8 Δίνεται η εξίσωση α α β β με α β Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για όλες τις τιμές των αβ Β) Αν είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετε ότι Γ) Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός α με α να αποδείξετε ότι β α 8 Δίνεται η συνάρτηση f λ κ κ και κ λ R Γνωρίζουμε ότι για η f έχει ελάχιστο το Α) Να βρείτε τα κ και λ Β) Αν κ και λ τότε: α) Να λυθεί η εξίσωση: f f β) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρ- τησης g με g f 85 Οι αριθμοί ρ και ρ είναι οι ρίζες εξίσωσης ου βαθμού με S = ρ +ρ P=ρ ρ τέτοια ώστε Ρ+S = και Ρ S = Α) Να δείξετε ότι S = και Ρ = Β) Να βρείτε την εξίσωση +κ+λ = που έχει ρίζες τους ρ + και ρ + Γ) Να λύσετε την ανίσωση +κ+λ 86 Δίνεται η εξίσωση λ (λ ) λ λ Α) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και ίσες Β) Για τις τιμές του λ που βρήκατε στο (Α) ερώτημα να αποδείξετε ότι οι ευθείες y (λ ) και y λ(λ ) είναι παράλληλες 87 Έστω η εξίσωση λ λλ με λ Α) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό ; Β) Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες; Γ) Αν ρ ρ είναι οι δύο οι ρίζες της παρα- πάνω εξίσωσης να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε για αυτές να ισχύει η ανίσωση: ρ ρ ρ ρ 88 Έστω f (λ ) λ λ όπου λ Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση f() αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές του Β) Αν λ να λύσετε την εξίσωση f Δίνεται συνάρτηση f με τύπο f() Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να λυθεί η εξίσωση f() f() 8 Έστω η συνάρτηση f() (λ-)-λ Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η f να έχει δύο ρίζες άνισες Β) Αν ρίζες της συνάρτησης f να βρεθεί η τιμή του λ R ώστε: Γ) Να λυθεί η ανίσωση d( λ) 5-λ όταν η f έχει μία διπλή ρίζα

28 ο ΓΛΧ 8 8 Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση λ (5λ ) λ λ αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές του 8 Δίνεται η συνάρτηση f() = (λ) λ + με λ της οποίας η γραφική παράσταση είναι μια παραβολή που περνά από το σημείο Α() Α) Να βρείτε το λ Β) Για την τιμή λ= να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα Γ) Να σχηματίσετε την εξίσωση που έχει ρίζες τις ρ = ρ = όπου οι ρίζες της f()= 8 Δίνεται η συνάρτηση : 6 f 6 Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Β) Να βρεθούν τα σημεία τομής Α Β της C f με τους άξονες και yy Γ) Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ 8 Δίνεται το τριώνυμο με λ f λ λ λ A) Να βρείτε το λ ώστε το τριώνυμο f() να έχει ελάχιστο στο B) Αν λ και είναι οι ρίζες της εξί- σωσης f να λύσετε την ανίσωση f 8 85 Δίνονται οι Α() = Β() = + Α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α() και Β() Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να α- ( )Β() πλοποιήσετε την παράσταση f Α() Γ) Να λύσετε την ανίσωση f() 86 Δίνεται η συνάρτηση f()=κ -+κ όπου κ A) Αν κ για ποιες τιμές του κ η συνάρτηση f γράφεται σαν τέλειο τετράγωνο ; B) Για κ= να λυθεί η ανίσωση f() Γ) α Bρείτε την τιμή κ R ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Μ() β Για την τιμή του κ που βρήκατε στο ερώτημα (α) να βρείτε αν υπάρχουν τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες 87 Έστω η εξίσωση λ λ- με λ Α) Να αποδείξετε ότι έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες Β) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις και Γ) Να βρείτε το λ ώστε: 5 88 Δίνεται η εξίσωση λ- () με ρίζες A) Να βρείτε για ποια τιμή του λ είναι: 5 Β) Για την τιμή αυτή του λ να λυθεί η () Γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε να σχημα- τίσετε άλλη εξίσωση ου βαθμού με ρίζες ρ ρ 89 Έστω η εξίσωση: λ- λ λ με λ Α) Δείξτε ότι για κάθε λ η παραπά- νω εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις Β) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε όπου οι άνισες ρίζες της παραπάνω εξίσωσης Γ) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε το τριώνυ- μο f() λ- λ λ με λ R να έχει ελάχιστο το 8 Να λυθεί το σύστημα: 76 Μ Παπαγρηγοράκης

29 ο ΓΛΧ 9 8 Δίνεται η συνάρτηση f λ κ κ με και κ λ R παράμετροι Γνωρίζουμε ότι για η f έχει ελάχιστο το Α) Να βρεθούν τα κ και λ Β) Να λυθεί η εξίσωση f Γ) Να βρεθεί για ποιες τιμές του ορίζεται η συνάρτηση g f Δ) Εάν α β είναι οι τετμημένες των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της g τέμνει τον με α β θεωρούμε τα σημεία Μ β Ν α Δείξτε ότι το τρίγωνο ΟΜΝ είναι ορθογώνιο Ε) Να λυθεί η ανίσωση f 8 Δίνεται η παράσταση Α A) Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Α; B) Να απλοποιηθεί η παράσταση Α Γ) Να λυθεί η ανίσωση Α 8 Έστω η συνάρτηση f() (λ-)-λ όπου λ Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η f να έχει δύο ρίζες άνισες Β) Αν ρίζες της συνάρτησης f να βρεθεί η τιμή του λ R ώστε: Γ) Να λυθεί η ανίσωση d( λ) 5-λ όταν η f έχει μία διπλή ρίζα 8 Δίνεται η συνάρτηση αν f αν Α) Να βρείτε τα f f f και f Β) Να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων f και f Γ) Να βρείτε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς f και f 85 Δίνεται η εξίσωση (α ) α α () Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο ρίζες άνισες για κάθε τιμή του α Β) Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης (): α) να βρείτε τις τιμές του α ώστε 5 β) για α να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες και 86 Έστω η εξίσωση: 8λ-6 8λ Α) Για ποια τιμή του λ η είναι δευτέρου βαθμού; Β) Για ποιες τιμές του λ η έχει μία διπλή ρίζα; 87 Έστω οι συναρτήσεις: f() (λ ) λ και g() μ μ με μ Α) Να βρεθεί η τιμή του λ ώστε η γραφι- κή παράσταση της f να είναι ευθεία Β) Να βρεθεί η τιμή του μ ώστε η γραφκή παράσταση της g να εφάπτεται στον Γ) Για τις τιμές των λ μ που βρήκατε να βρεί- τε τα κοινά σημεία των CC f g Δ) Να βρεθούν τα σημεία που τέμνει η C f τους άξονες και y y και να βρεθεί το μήκος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώ- νου που σχηματίζεται 88 Έστω η εξίσωση μ = μ () Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο ρίζες άνισες για κάθε μ Β) Αν ρ ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης () να βρείτε για ποιες τιμές του μ : α) η παράσταση Α ρμ+ρ (μ ρ ) παίρνει το πολύ την τιμή β) οι ευθείες ε : y ρ 6 και ε : y (7 ρ ) 7 είναι παράλληλες