#11 Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως

Transcript

1 # Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Χρώµα: κλάδος φυσικής, φυσιολογίας, ψυχολογίας, τέχνης. Αφορά άµεσα τον προγραµµατιστή των γραφικών. Αν αφαιρέσουµε χρωµατικά χαρακτηριστικά, λαµβάνουµε ασπρόµαυρο φως. Μόνο χαρακτηριστικό η φωτεινότητα ή ένταση. Φωτεινότητα: 0 (µαύρο) (άσπρο) αποχρώσεις του γκρι.

2 Εστω οθόνη µε t/pel. Ασπρόµαυρο Φως n διαφορετικές τιµές φωτεινότητας παριστάνονται. Ποιες επιλέγουµε; Φυσιολογία: µάτι αντιλαµβάνεται λόγους φωτεινότητας (όχι απόλυτες τιµές). Π.χ. (0., 0.) και (0.3, 0.6) φαίνονται σα να έχουν ίδια διαφορά. Αρα επιλέγουµε φωτεινότητες µε λογαριθµική κατανοµή. Λογαριθµική επιλογή φωτεινοτήτων. Εστω Φ 0 η µικρότερη τιµή φωτεινότητας (/00 ως /40 της m τιµής ). Απόλυτο µαύρο δεν επιτυγχάνεται (αντανάκλαση φωσφόρου). Εστω λ ο λόγος µεταξύ διαδοχικών φωτεινοτήτων: Φ λ Φ Φ M n Φn λ Φ0 Από την τελευταία µπορεί να υπολογισθεί το λ. 0 λ Φ λ ( ) / ( n ) Φ λ / Φ0 Αν λ.0 το µάτι δεν διακρίνει διαδοχικές τιµές φωτεινότητας. 0

3 Ασπρόµαυρο Φως Υπολογισµός mn αριθµού τιµών φωτεινότητας. n.0 Φ ή ( ) n log.0 / Φ0 Για τυπικά Φ 0, n

4 Ασπρόµαυρο Φως Αύξηση διαθέσιµων τιµών φωτεινότητας (θυσιάζοντας ανάλυση). Αντίθετο αντιταύτισης. Hlftonng: µαύρες κουκίδες διαφόρων µεγεθών παριστάνουν διάφορες τιµές φωτεινότητας (εφηµερίδες). Αρχική Εικόνα Hlftonng 4

5 Ασπρόµαυρο Φως - Τεχνική Hlftonng Hlftonng σε ψηφιακή εικόνα: µεγέθη κουκίδας αντικαθίστανται από αριθµό αναµµένων pel σε πλέγµατα n n. Πλέγµα n n µπορεί να παραστήσει n τιµές φωτεινότητας Τα παραπάνω µπορούν να παρασταθούν συνοπτικά από τον πίνακα: ( ) Για τιµή φωτεινότητας k 0 k 4 ανάβουµε τα pel του πίνακα µε τιµή µικρότερη του k. Αύξηση τιµών φωτεινότητας από σε 5 µε µείωση οριζόντιας και κάθετης ανάλυσης κατά /. Ορια τίθενται από µάτι, ανάλυση οθόνης, απόσταση παρατήρησης. Προσοχή στην επιλογή πίνακα hlftonng. Π.χ. κακής επιλογής (κάθετες γραµµές). 3 0 Αυξητική σειρά επιθυµητή. 5

6 Ασπρόµαυρο Φως - Τεχνική Hlftonng Καλή αυξητική σειρά για πίνακες: Μεγαλύτεροι πίνακες κατασκευάζονται αναδροµικά: 4Dn / 4Dn / U n / k Dn n 4 n 4Dn 3U n 4Dn U µε και / / / n / Τεχνική hlftonng επεκτείνεται και σε συσκευές µε δυνατότητα εµφάνισης πολλαπλών τιµών φωτεινότητας ανά pel. Χρησιµοποιώντας n n περιοχές µε k τιµές φωτεινότητας ανά pel λαµβάνουµε k n τιµές φωτεινότητας. Π.χ. 3 τιµές φωτεινότητας από 4, µε περιοχές. ( ) D

7 Ασπρόµαυρο Φως Hlftonng υποθέτει ύπαρξη ανάλυσης συσκευής >> ανάλυση εικόνας. Τι γίνεται αν αναλύσεις είναι ίσες και εικόνα έχει περισσότερες τιµές φωτεινότητας από pel συσκευής; Απλή στρογγύλευση όχι καλή (σχήµα Α). Flo - Steneg: έλεγχος απώλειας πληροφορίας µε µεταφορά σφάλµατος σε γειτονικά pel. Αν E, και O, η τιµή της εικόνας και η πλησιέστερη τιµή της οθόνης αντίστοιχα στο pel,. ε E, O, 3 E, E, 3 ε/ 8 ε ε 8 E, E, 3 ε/ 8 3 E, E, ε/ 4 ε ε 8 4 Καλά αποτελέσµατα (σχήµα Β). Σχήµα Α 7 Σχήµα Β

8 Χρώµα Εγχρωµο φως: µικρή περιοχή ηλεκτροµαγνητικού φάσµατος. FM TV µικροκύµατα εµφανές φως υπεριώδες υπέρυθρο ακτίνες Χ Συχνότητα (H) Εκφράζεται µε συχνότητα ν (H) ή µήκος κύµατος λ (nm), Μάτι διακρίνει ~ διαφορετικά χρώµατα από 780 nm (κόκκινο) ως 380 nm (βιολετί). Οθόνη πραγµατικού χρώµατος αφιερώνει 3 te για το χρώµα του κάθε pel. Χρώµα: απόκριση µατιού - εγκεφάλου στη συγκεκριµένη συχνότητα. Οπτικό νεύρο: διαφορετική εστίαση για κάθε χρώµα. λ ν c Αποφυγή ταυτόχρονης εµφάνισης χρωµάτων µε µεγάλες διαφορές εστίασης π.χ. κόκκινο -µπλέ. 8

9 Μοντέλο GB Χρωµατικό µοντέλο: προδιαγραφή ενός συνόλου χρωµάτων µε συνδυασµούς λίγων βασικών. Συνήθως 3 βασικά, τέτοια ώστε ο συνδυασµός οποιωνδήποτε δεν δηµιουργεί το τρίτο. GB: χρησιµοποιεί ως βασικά το κόκκινο (e), πράσινο (Geen), µπλε (Blue). Καµπύλες µείξης,g,b για τη σύνθεση των άλλων χρωµάτων. Χρωµατικός χώρος GB: µοναδιαίος κύβος. G Θαλασσί (0,, ) B Πράσινο (0,, 0) Ασπρο (,, ) Μαύρο (0, 0, 0) Μπλε Μωβ (0, 0, ) (, 0, ) Γραµµική σύνθεση χρωµάτων από βασικά F g G B (, g, ) είναι οι συντεταγµένες του F στον χρωµατικό χώρο. 9 Κίτρινο (,, 0) Κόκκινο (, 0, 0)

10 Μοντέλο GB Κύρια διαγώνιος κύβου GB αποχρώσεις του γκρι. Τοµή κύβου GB µε επίπεδο που περνά από σηµεία (,0,0), G(0,,0) και B(0,0,) χρωµατικό τρίγωνο. Επαρκής περιγραφή χρωµατικού χώρου επειδή χρώµατα συνήθως ορίζονται από τύπο χρώµατος και όχι από τη φωτεινότητα τους. g G Αποχρώσεις του γκρι W B 0

11 Μοντέλο GB Χρωµατικό τρίγωνο: περιέχει χαρακτηριστικά χρωµάτων (εκτός από φωτεινότητα). Απόχρωση (hue): βαρύνουσα συχνότητα. Καθαρότητα (tuton): ποσοστό συµµετοχής άσπρου χρώµατος. Χρώµατα ίδιας απόχρωσης βρίσκονται πάνω σε κάποιο ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει κέντρο χρωµατικού τριγώνου (γκρί) µε σηµείο της περιµέτρου του. Καθαρότητα είναι µεγαλύτερη όσο πιο κοντά βρισκόµαστε στην περίµετρο. Κέντρο τριγώνου έχει καθαρότητα 0%. Χρώµατα που προστιθέµενα δίνουν γκρί ονοµάζονται συµµετρικά.

12 Μοντέλο ΧΥΖ Συνδυασµός, G, B δεν µπορεί να δώσει όλα τα χρώµατα της φύσης. Ορισµός κανονικών χρωµάτων Χ, Υ, Ζ που µπορούν να συνθέσουν οποιοδήποτε εµφανές χρώµα. Χ, Υ, Ζ είναι υπολογιστικά µεγέθη, δεν αντιστοιχούν σε εµφανή χρώµατα. Ορισµός από CE 93. Aπεικόνιση GB σε XYZ. X,7690,758g,300 Y,0000 4,5907g 0,060 Z 0,0565g 5,5943 Απεικόνιση XYZ σε GB. 0,475X 0,578Y 0,088Z g 0,09X 0,54Y 0,057Z 0,0009X 0,006Y 0,786Z Mετασχηµατίζοντας τις καµπύλες µείξης GB στο XYZ παίρνουµε τις καµπύλες µείξης XYZ.

13 Μοντέλο ΧΥΖ To κανονικό χρωµατικό τρίγωνο ΧΥΖ βρίσκεται στο επίπεδο. Ενα διάνυσµα (Χ,Υ,Ζ) του XYZ -χώρου αντιστοιχεί στο σηµείο (,,) του κανονικού χρωµατικού τριγώνου: X / X Y Z Y / X Y Z Z / X Y Z ( ) ( ) ( ) (,) συντεταγµένες αρκούν αφού. Εµφανή και φυσικά χρώµατα στο κανονικό χρωµατικό τρίγωνο. 3

14 Μοντέλο CMY GB και ΧΥΖ είναι προσθετικά µοντέλα. Χρώµατα συντίθενται µε πρόσθεση ποσοστών των 3 βασικών. Κατάλληλα για αντίστοιχες συσκευές (π.χ. οθόνες). Εκτυπωτές: αφαιρετική διαδικασία. Π.χ. θαλασσί µπογιά αφαιρεί το κόκκινο από το ανακλώµενο φως Αποτέλεσµα Ασπρο - Κόκκινο (Κόκκινο Πράσινο Μπλε) - Κόκκινο Πράσινο Μπλε Θαλασσί. Αφαιρετικό Μοντέλο είναι το CMY. Στηρίζεται στα βασικά χρώµατα Cn (Θαλασσί), Mgent (Μωβ) και Yellow (Κίτρινο). Αυτά είναι συµπληρωµατικά των,g και Β. M Kόκκινο (0,, ) Y Μωβ (0,, 0) Μαύρο (,, ) Άσπρο (0, 0, 0) Κίτρινο Πράσινο (0, 0, ) (, 0, ) Μπλε (,, 0) Θαλασσί (, 0, 0) Μετασχηµατισµοί µεταξύ GB και CMY. C 4 c m g c g m

15 5 Μετασχηµατισµός Χρωµάτων από Οθόνη σε Οθόνη Η ίδια τριάδα (, g, ) µπορεί να δίνει λίγο διαφορετικό χρώµα σε διαφορετικές οθόνες Εξαρτάται από είδος φωσφόρου κλπ. ιαφορά µπορεί να ξεπεραστεί µέσω του tn µοντέλου XYZ. Απαιτείται πίνακας µετασχηµατισµού M για κάθε οθόνη: Για µετάβαση από Οθόνη σε Οθόνη : g g g Y Z Z Y Y Y X X X M g M Z Y X g M M g

16 # Μοντέλα & Αλγόριθµοι Φωτισµού Μοντέλο φωτισµού: συγκεκριµένη και απλοποιηµένη παράσταση φυσικών νόµων που διέπουν τον φωτισµό. Τοπικό: λαµβάνει υπ όψη µόνο άµεση πρόσπτωση φωτός (π.χ. Phong). Γενικό: λαµβάνει υπ όψη και έµµεση πρόσπτωση φωτός (π.χ. -tcng, ot). Αλγόριθµος φωτισµού: αποδοτική υλοποίηση µοντέλου φωτισµού. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3 Μαθηµατικά Μοντέλα ΣΣΑ 3 Μετασχ/σµοί Μοντέλου ΠΣΣ (W CS ) 3 Μετασχ/σµός Παρατήρησης ΣΣ Π (E CS) ιαγραφή Πίσω Επιφανειών 3 Αποκοπή Είσοδοι (για κάθε καρέ) Παράσταση Στην Οθόνη: Σάρωση Αντιταύτιση Φωτισµός Υφή Απόκρυψη Ακµών/ Επιφανειών D ΣΣΟ (SCS) Προβολή 6

17 Φυσική του Φωτισµού Γωνία που αντιστοιχεί σε κυκλικό τόξο µήκους l και ακτίνας είναι ίση µε l / n. Στερεά γωνία που αντιστοιχεί σε σφαιρική περιοχή επιφάνειας είναι ίση µε / ten (). Σφαίρα: 4π / 4π Φωτεινή ισχύς (flu) Φ : ταχύτητα εκποµπής φωτεινής ενέργειας από φωτεινή πηγή (µονάδα wtt (w)). nt ntent (ένταση φωτεινής πηγής): φωτεινή ισχύς ανά µονάδα στερεάς γωνίας Ω σε κάποια διεύθυνση. Φ/Ω (µονάδα w/). Φωτεινή ροή (nce) ή ένταση : ένταση που εκπέµπεται από φωτεινή πηγή σε κάποια κατεύθυνση ανά µονάδα επιφανείας κάθετη στην κατεύθυνση αυτή. / ( A coθ ) / ( A L) Ω θ L A 7

18 Φυσική του Φωτισµού Ροή προσπίπτουσας ακτινοβολίας (nce) E : σηµείου επιφάνειας είναι η προσπίπτουσα φωτεινή ισχύς ανά µονάδα επιφάνειας (όχι προβολής) στην περιοχή του σηµείου. Ε Φ/A (µονάδα w/m ). Ενταση (προσπίπτουσα) σηµείου επιφάνειας Ι : φωτεινή ροή (προβολής) ανά µονάδα στερεάς γωνίας. Ισχύει: E coθ Ω L Ω ( ) Ω L θ θ Στα γραφικά µας ενδιαφέρει η σχέση προσπίπτοντος και ανακλώµενου φωτός Ι. Ι πρέπει να υπολογισθεί από E και όχι από Ι (π.χ. πηγές µε διαφορετικό µέγεθος (Ω ) και ίδια ένταση Ι ). Συνάρτηση ανάκλησης εξαρτάται από θ και θ BDF E 8

19 Φυσική του Φωτισµού Για την προσπίπτουσα σε κάποια επιφάνεια φωτεινή ενέργεια ισχύει: προσπίπτον φως ανακλώµενο φως διαχεόµενο φως αποροφούµενο φως µεταδιδόµενο φως φωτεινή πηγή προσπίπτον φως διάχυτη ανάκλαση απορρόφηση κατευθυνόµενη εσωτερική ανάκλαση µεταδιδόµενο φως ανάκλαση Στα γραφικά αρκεί να θεωρήσουµε 3 συνιστώσες για την BDF (He 99): Κατευθυνόµενη ανάκλαση (pecul eflecton), σχήµα Α. ιάχυτη ανάκλαση (ectonl ffue eflecton), σχήµα Β. Ιδανική διάχυτη ανάκλαση (el ffue eflecton), σχήµα Γ. L θ θ θ θ L L Σχήµα Α Σχήµα Β Σχήµα Γ 9

20 Mοντέλο Φωτισµού Phong Τοπικό, εµπειρικό µοντέλο µε καλά αποτελέσµατα. Γραµµικός συνδυασµός 3 συνιστωσών. ιάχυτη ανάκλαση (ffue). Κατευθυνόµενη ανάκλαση (pecul). Εµµεσος φωτισµός (ment lght). ιάχυτη ανάκλαση ( ιδανική διάχυτη ανάκλαση) βασίζεται στο νόµο συνηµιτόνου Lmet: k k coθ ( L ) L, π 0 θ k 0 µοναδιαία όπου Ι η ένταση σηµειακής φωτεινής πηγής, θ η γωνία πρόσπτωσης, k o συντελεστής διάχυτης ανάκλασης. ιάχυτη συνιστώσα είναι σταθερή για επίπεδη επιφάνεια και φωτεινή πηγή στο άπειρο. Για πολλαπλές φωτεινές πηγές j: k L j, j ( ) j 0

21 Mοντέλο Φωτισµού Phong Κατευθυνόµενη ανάκλαση βασίζεται στο νόµο του καθρέπτη: n k co 0 k n k ( V ), V µοναδιαία όπου α η γωνία µεταξύ V και n αντιστοιχεί στην αδρότητα της επιφάνειας, k o συντελεστής κατευθυνόµενης ανάκλασης (κανονικά f(θ,λ)).

22 Mοντέλο Φωτισµού Phong Κατευθυνόµενη ανάκλαση παράγει την αντανάκλαση της φωτεινής πηγής µέσα στα αντικείµενα. n Ο όρος co προσεγγίζει τη διάχυση του ανακλούµενου φωτός» µεγάλο n λεία επιφάνεια (σχήµα Α)» µικρό n αδρή επιφάνεια (σχήµα Β) L L Σχήµα Α Σχήµα Β

23 Mοντέλο Φωτισµού Phong Εµµεσος φωτισµός έχει σταθερή τιµή στο µοντέλο Phong. Αντικείµενα που δεν φωτίζονται απ ευθείας από φωτεινή πηγή φαίνονται µαύρα χωρίς έµµεσο φωτισµό. k 0 k g όπου α η ένταση του έµµεσου φωτισµού k α ο συντελεστής έµµεσου φωτισµού Τελικό µοντέλο Phong: n ( ) ( ) k k L k V Aν παρατηρητής και φωτεινή πηγή είναι στο άπειρο, τότε L και V έχουν σταθερή τιµή για επίπεδες επιφάνειες. 3

24 4 Mοντέλο Φωτισµού Phong - Βελτιώσεις Μείωση έντασης φωτεινής πηγής ανάλογα µε απόσταση. Κανονικά αλλά δίνει καλά αποτελέσµατα Πολλαπλές φωτεινές πηγές: Εγχρωµη φωτεινή πηγή: ( ) f ( ) 0 f ( ) ( ) j n j j j V k L k k 0, ( ) ( ) n V k L k k 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n g g g n V k L k k V k L k k V k L k k

25 5 Υπολογισµός Κανονικού ιανύσµατος Αν η εξίσωση του επιπέδου της επιφάνειας αc0 είναι γνωστή: Συνήθως χρησιµοποιούµε 3 ή περισσότερες κορυφές πολυγώνου, 3 τρόποι: Mtn-ewell. Εξωτερικό γινόµενο. Επίλυση εξίσωσης επιπέδου. Mtn-ewell, κατάλληλη και για µη επίπεδα πολύγωνα: ( )( ) ( )( ) ( )( ) n n n c k c j

26 Υπολογισµός Κανονικού ιανύσµατος Εξωτερικό γινόµενο, έστω V, V, V 3 διαδοχικές κορυφές: ( V V ) ( V V ) Προσοχή στη φορά: A B B A Επέκταση και για µη επίπεδα πολύγωνα (µέσος όρος). Επίλυση εξίσωσης επιπέδου από 3 γνωστά, µη συγγραµµικά σηµεία (,, ), (,, ), ( 3, 3, 3 ) ή ή c c c 3 3 c [ X ][ C] [ D] οπότε [ C] [ X ] [ D] 6

27 Υπολογισµός Κανονικού ιανύσµατος σε κορυφές Kανονικό διάνυσµα κορυφής µ.ο. κανονικών διανυσµάτων εγγιζόντων επιφανειών: Χρήσιµο για παρεµβολή. Αν είναι γνωστές οι εξισώσεις των εγγιζόντων επιφανειών (π.χ. για την V ) j c c c v ( ) ( ) ( ) k Αν δεν είναι γνωστές οι εξισώσεις, µπορούν να χρησιµοποιηθούν εξωτερικά γινόµενα (π.χ. για την V ) V V V V V V V V V V V V v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V 8 V 5 P 3 V V4 3 P4 P 0 P V V P 7 V 7 V 6

28 Υπολογισµός ιανύσµατος Γενική περίπτωση. Παρατηρούµε ότι L, και συνεπίπεδα και γωνίες ( L, ) και (, ) ίσες: Εστω και L µοναδιαία. Εστω η προβολή του στον L coθ L ( L) L αφού L Αρα ( L ) Επίσης T και T L Οπότε L L ( ) L Απαιτεί 6 πολ/µούς και 5 προσθέσεις (εκτελείται σε κάθε σηµείο που εφαρµόζουµε το µοντέλο φωτισµού). T θ θ T L 8

29 Υπολογισµός ιανύσµατος Απλούστευση υπολογισµών αν φωτεινή πηγή πάνω στον Ζ και σηµείο επιφάνειας ταυτίζεται µε αρχή των αξόνων (Phong): Παραδεκτή υπόθεση για φωτεινή πηγή., L και µοναδιαία. Y Y X Προβολές και στο ΧΥ είναι συνευθειακές (0.5) Επίσης coθ θ θ coθ co L θ Z (0 θ 90 ) X 9

30 30 Το είναι µοναδιαίο οπότε: Υπολογισµός ιανύσµατος ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θ θ θ θ θ θ θ co co co co co co co 4 έχουµε : χρήση της (0.5) Οπότε µε Άρα : Αλλά µοναδιαίο) ( ή ή ή ή ή Απαιτεί 3 πολ/µούς και πρόσθεση.

31 Υπολογισµός ιανύσµατος Για πολλαπλές φωτεινές πηγές συµφέρει να ταυτίσουµε το µε τον Z και το O µε το σηµείο της επιφάνειας (µετασχηµατισµοί): Τότε, αν L είναι το διάνυσµα µιας φωτεινής πηγής, έχουµε: Υπολογισµός L L L µπορεί να αντικατασταθεί από H ( L V )/ (Blnn). L H φ φ θ θ O V OH φ α, OV θ α, θ φ α OV OH Νέο µοντέλο φωτισµού (µε προσαρµογή τιµής n): k 0 k n ( L ) k ( H ) 3

32 Μοντέλα & Αλγόριθµοι Φωτισµού Εµπειρικά Μοντέλα (Phong), προσθετικοί αλγόριθµοι: Φθίνουσα φωτεινότητα (Wnock 969). Παρεµβολή φωτεινότητας (Gouu 97). Ψευδοδιαφάνεια (ewell 97). Παρεµβολή κανονικού διανύσµατος (Phong 975). Μεταβατικά Μοντέλα, αλγόριθµοι -tcng. Χρήση αποτελεσµάτων οπτικής & φυσικής. Παραµορφώσεις & διαθλάσεις µε διαφανή αντικείµενα (K 979). Αναδροµικός αλγόριθµος -tcng (Whtte 980). Αναλυτικά Μοντέλα, αλγόριθµοι τύπου ot: Cook & Tonce 98. ot. 3

33 Αλγόριθµος Σταθερού Φωτισµού Βάση µοντέλου Phong: Σταθερός φωτισµός για κάθε επιφάνεια. Οχι κατευθυνόµενη ανάκλαση. Σηµειακή φωτεινή πηγή και παρατηρητής σε άπειρη απόσταση στον Z: V L ( 0,0, ) L σταθερό για κάθε επιφάνεια. Συνάρτηση φωτισµού γίνεται: k k Εντονες ασυνέχειες φωτισµού (Mch-Bn). 33

34 34 Αλγόριθµος Gouu Βάση µοντέλου Phong: Παρεµβολή φωτεινότητας κορυφών πολυγώνου. Υπολογισµός φωτεινότητας στις κορυφές µε µοντέλο Phong: Χρήση κανονικών διανυσµάτων κορυφών. Scnlne αλγόριθµος. Αυξητικός υπολογισµός Οπτικό αποτέλεσµα αλγορίθµου Gouu σαφώς καλύτερο σταθερού φωτισµού: Mch-Bn ου βαθµού παραµένουν. Κάποιες αντανακλάσεις χάνονται. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) για γειτονικά pel ( ή ( ) 3 3 3, ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), γραµµή σάρωσης (cnlne)

35 Αλγόριθµος Phong Υπολογισµός τιµής µοντέλου Phong σε κάθε σηµείο: Παρεµβολή κανονικών διανυσµάτων. Αυξητικός υπολογισµός., n, n, n ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )), n, n, n,, 3 ( )

36 Βελτίωση Αλγορίθµου Phong Γραµµική παρεµβολή κανονικών διανυσµάτων όχι πάντα σωστή. Τετραγωνική παρεµβολή έχει καλύτερα αποτελέσµατα (Ovevel & Wvll, 997): Εστω παρεµβολή µεταξύ 0και και το διάνυσµα διαφοράς θέσεων των 0 και () 0 A B 0 όπου A 0 B B 0 3 Ισχύει: 0 και ( ) 0 ( ) 36