Μοντέλο φωτισμού Phong

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσθηκαν οι αλγόριθμοι απαλοιφής των πίσω επιφανειών και ακμών. Απαλοίφοντας λοιπόν τις πίσω επιφάνειες και ακμές ενός τρισδιάστατου αντικειμένου, μπορούμε να κάνουμε την εμφάνισή του πιο κατανοητή. Αν μάλιστα χρησιμοποιήσουμε και ένα μοντέλο φωτισμού μερικές φορές ονομάζεται και μοντέλο χρωματισμού) τότε τα αντικείμενα θα γίνουν ακόμα πιο ρεαλιστικά. Μοντέλο φωτισμού Phong Ένα από τα μοντέλα φωτισμού είναι το μοντέλο του Phong ή μοντέλο ανάκλασης. Το μοντέλο αυτό λαμβάνει υπόψη του αφενός κάποιους από τους φυσικούς κανόνες και αφετέρου, για τον υπολογισμό της έντασης του φωτός φωτεινότητα), την διάχυτη και κατοπτρική ανάκλαση, το περιβάλλον φως και την απόσταση από την πηγή του φωτός, που σχετίζονται με την πρόσπτωση του φωτός μιας φωτεινής πηγής πάνω σε ένα αντικείμενο, έτσι ώστε να δώσει μια καλή προσέγγιση οπτικού ρεαλισμού. Τα περισσότερα αντικείμενα δεν εκπέμπουν δικό τους φως. Αντίθετα φως πέφτει πάνω σε ένα αντικείμενο από μια φωτεινή πηγή. Το αντικείμενο απορροφά μια ποσότητα του φωτός και αντανακλά μια άλλη. Υπάρχουν δύο τρόποι με τους οποίους ανακλάται το φως από μια επιφάνεια. η διάχυτη ανάκλαση, όπου το ανακλώμενο φως διασκορπίζεται από την επιφάνεια εξίσου προς όλες τις κατευθύνσεις και η κατοπτρική ανάκλαση. Ο τύπος αυτός ανάκλασης είναι υπεύθυνος για τις αντανακλάσεις που παρατηρούνται σε γυαλιστερά αντικείμενα. Το μοντέλο του Phong για τον υπολογισμό της έντασης του φωτός φωτεινότητα) I, με σκοπό τη δημιουργία ρεαλιστικών αντικειμένων, λαμβάνει υπόψη του τον γραμμικό συνδυασμό των παρακάτω τριών συνιστωσών:. της έντασης I d της διάχυτης ανάκλασης 2. της έντασης I της κατοπτρικής ανάκλασης &. της έντασης I α του έμμεσου φωτισμού περιβάλλον φως) Α: Υποθέτουμε ένα μόνο φωτιζόμενο αντικείμενο και μια φωτεινή πηγή Όσον αφορά την πρώτη συνιστώσα του μοντέλου φωτισμού, ο νόμος που διέπει τη διάχυτη ανάκλαση ένταση της διάχυτης ανάκλασης του φωτός στο σημείο Α) είναι ο λεγόμενος νόμος των συνημιτόνων του Lambert που εκφράζεται από την σχέση Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, ΤΕΠ, ΠΜ

2 I d = I i * k d * coθ) όπου I d η ένταση της διάχυτης ανάκλασης του φωτός στο σημείο Α. I i η ένταση της φωτεινής πηγής η προσπίπτουσα στην επιφάνεια) k d ο συντελεστής της διάχυτης ανάκλασης του φωτός, 0 k d, που εξαρτάται από το υλικό της επιφάνειας θ η γωνία μεταξύ του διανύσματος L κατεύθυνσης του φωτός, που δείχνει από την επιφάνεια προς την φωτεινή πηγή) και της καθέτου Ν στην επιφάνεια, όπου 0 θ π/2. Το σχήμα, δείχνει μια φωτεινή πηγή, που φωτίζει μια επιφάνεια αντικείμενο), όπου το διάνυσμα Ν σχηματίζει γωνία θ με την κατεύθυνση φωτισμού L στο σημείο Α. L θ Α Σχήμα : φωτεινή πηγή, που φωτίζει μια επιφάνεια Το συνημίτονο της γωνίας θ, της παραπάνω σχέσης, μπορούμε να το εκφράσουμε και ως το εσωτερικό γινόμενο dot product) των μοναδιαίων διανυσμάτων Ν και L, ήτοι I d = I i * k d * coθ) = I i * k d * L ) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, ΤΕΠ, ΠΜ 2

3 Παράδειγμα: ίνεται μια επιφάνεια που ορίζεται από τα σημεία: Α0, 0, ), Β, 0, 0) & Γ0,, 0) και μία φωτεινή πηγή εντάσεως I i = 9 με κατεύθυνση φωτισμού 2i + j+ 4k), το διάνυσμα L στο σημείο πρόσπτωσης Α. Υπολογίστε την ένταση I d της διάχυτης ανάκλασης του φωτός στην συγκεκριμένη επιφάνεια ΑΒΓ στο σημείο Α ο συντελεστής διάχυτης ανάκλασης του φωτός είναι k d = 0.25). Λύση Για τη λύση του προβλήματος θα χρησιμοποιήσουμε την σχέση I d = I i * k d * L ). Όπου: I i = 9 2 i + j+ 4 k L = K d = 0.25 μοναδιαίο διάνυσμα) Το μοναδιαίο διάνυσμα Ν κάθετος στην επιφάνεια ABΓ), στο σημείο Α, δίνεται από την σχέση = όπου AB AΓ AB AΓ, όπου AB = i k & AΓ = j - k ΑΒ ΑΓ = [0)-) - )-)]i + [0)-) - )-)]j + [)) - 0)0)]k Επομένως Ν = = i + j + k i + j + k 2 2 ) + ) + ) 2 = i + j + k Αντικαθιστώντας τις τιμές των I i, L, K d & Ν στην παραπάνω σχέση έχουμε τελικά i + i + 2i + j + k 4k ) ) I d = I d = 2. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, ΤΕΠ, ΠΜ

4 Όσον αφορά τη δεύτερη συνιστώσα του μοντέλου φωτισμού κατοπτρική ανάκλαση), ακολουθεί τον νόμο του καθρέπτη. Αυτή είναι συνάρτηση της γωνίας φ που σχηματίζεται από την κατοπτρική ανάκλαση R και το διάνυσμα γραμμή) όρασης V. I = I i * k * co n φ) όπου k, μια σταθερά κατοπτρικής ανάκλασης, που εξαρτάται από την συγκεκριμένη επιφάνεια n, η αδρότητα της επιφάνειας Αν βέβαια υποθέσουμε ότι το V και R είναι μοναδιαία διανύσματα σχήμα 2), τότε προκύπτει ότι co n φ) = R V) n I = I i * k * R V) n Αντικαθιστώντας αυτόν τον όρο στην προς διαμόρφωση εξίσωση του μοντέλου φωτισμού I = I d + I ) έχουμε: I = I i * k d * L ) + k * R V) n ), η συνολική ένταση του φωτός στο σημείο Α της επιφάνειας. R L θ θ φ V A Σχήμα 2: κατοπτρική ανάκλαση. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, ΤΕΠ, ΠΜ 4

5 Υπολογισμός του R Έχουμε δύο τρόπους υπολογισμού του R: αν τα μοναδιαία διανύσματα L, και R είναι συνεπίπεδα και οι γωνίες που σχηματίζουν είναι ίσες, τότε το μοναδιαίο διάνυσμα R δίνεται από τη σχέση: o R = 2** L) L αν επιπλέον η φωτεινή πηγή ανήκει στο θετικό τμήμα του άξονα z, τότε το μοναδιαίο διάνυσμα R = R i + R j + R z k δίνεται από τις σχέσεις: o R = 2 z * o R = 2 z * o R z = 2 z 2 - όπου Ν = i + j + z k, το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα. Απόσταση: Είναι γνωστό όμως, από την φυσική, ότι η ένταση του φωτός I i μειώνεται ανάλογα με το τετράγωνο της απόστασης από την φωτεινή πηγή. Παρόλα αυτά, λαμβάνοντας υπόψη τον παράγοντα αυτό, δηλαδή το ότι μειώνεται η ένταση του φωτός ανάλογα του τετραγώνου της απόστασης του αντικειμένου από την φωτεινή πηγή, το μοντέλο μας δεν λειτουργεί καλά στην πράξη. Γιa αυτό συνηθίζεται να λαμβάνουμε μια γραμμική μείωση της έντασης του φωτός I i με τον παράγοντα /r + k dit ), όπου k dit, σταθερά, η οποία δεν επιτρέπει την διαίρεση με το μηδέν και θέτει ένα κάτω όριο στην τιμή του r και r, η απόσταση του αντικειμένου από την φωτεινή πηγή. Προσθέτοντας αυτήν την διόρθωση, το μοντέλο φωτισμού χρωματισμού) γίνεται: I = I i * k d * L ) + k * R V) n ) / r + k dit ) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, ΤΕΠ, ΠΜ 5

6 Εμμεσος φωτισμός: Στο μοντέλο φωτισμού Phong που περιγράψαμε προηγουμένως λάβαμε υπόψη, μέχρι τώρα, μόνον τις δύο συνιστώσες διάχυτη και κατοπτρική ανάκλαση). Στην συνέχεια θα συμπεριλάβουμε στο μοντέλο μας έναν τρίτο όρο I a * k a που παριστά τον έμμεσο φωτισμό φως που διασκορπίζεται από το περιβάλλον), για την δημιουργία ακόμη πιο ρεαλιστικών αντικειμένων Προσθέτοντας λοιπόν τον όρο του έμμεσου φωτισμού στην παραπάνω εξίσωση προκύπει ότι: I = I a * k a + I i * k d * L ) + k * R V) n ) / r + k dit ) όπου I a η ένταση έμμεσου φωτισμού και k a ο συντελεστής έμμεσου φωτισμού. Παρατήρηση: Θα πρέπει στο σημείο αυτό να έχουμε υπόψη μας ότι ο έμμεσος φωτισμός θεωρείται σταθερός ενώ η ένταση της διάχυτης και κατοπτρικής ανάκλασης εξαρτάται από την ένταση της φωτεινής πηγής Β: Υποθέτουμε ένα μόνο φωτιζόμενο αντικείμενο και πολλές φωτεινές πηγές Η τροποποίηση του μοντέλου φωτισμού έτσι ώστε να συμπεριλαμβάνει πολλαπλές φωτεινές πηγές είναι εύκολη. Επαναλαμβάνουμε τους υπολογισμούς για κάθε φωτεινή πηγή και τις προσθέτουμε μεταξύ τους. Αν το φως σε ένα συγκεκριμένο σημείο λόγω της πηγής φωτός j είναι I j, τότε το συνολικό φως στο σημείο δίνεται από την εξίσωση: I = ΣI j = ΣI a,j * k a + I i,j * k d * L j ) + k * R j V) n ) / r + k dit )) Επειδή κάθε φωτεινή πηγή αυξάνει την φωτεινότητα του αντικειμένου, ίσως χρειαστεί να μειώσουμε για κάθε φωτεινή πηγή τις τιμές I i,j και I a,j έτσι ώστε τα αντικείμενα να μην γίνονται τόσο φωτεινά. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, ΤΕΠ, ΠΜ 6

7 Αλγόριθμοι φωτισμού Το μοντέλο του Phong που μόλις περιγράψαμε προσδιορίζει την φωτεινότητα χρώμα) για κάθε piel μιας επιφάνειας αντικείμενο). Επειδή η διαδικασία αυτή είναι αρκετά χρονοβόρα για αντικείμενα με πολλές επιφάνειες, έχουν αναπτυχθεί διάφοροι αλγόριθμοι, ορισμένους από τους οποίους παρουσιάζουμε παρακάτω. Αλγόριθμος σταθερού φωτισμού Σύμφωνα με τον αλγόριθμο αυτό, η φωτεινότητα παραμένει σταθερή σε ολόκληρη την επιφάνεια. εν παρουσιάζεται καμμιά μεταβολή της φωτεινότητας λόγω της απόστασης της φωτεινής πηγής από αυτή και επομένως το κάθετο διάνυσμα Ν, άρα και το γινόμενο * L, παραμένει σταθερό σε όλη την επιφάνεια. Η συνολική ένταση φωτεινότητα) δίδεται από την σχέση που προέκυψε από το μοντέλο του Phong. Βέβαια ο αλγόριθμος αυτός δεν δίνει και τα καλύτερα αποτελέσματα, όμως μπορεί να βελτιωθεί η κατάσταση αν αυξήσουμε τον αριθμό των επιφανειών του αντικειμένου. Αλγόριθμος του Gouraud Ο αλγόριθμος του Gouraud είναι ένας αλγόριθμος σάρωσης και υπολογίζει καταρχάς τα μοναδιαία κάθετα διανύσματα στις κορυφές κάθε επιφάνειας, παίρνοντας τον μέσο όρο των καθέτων των γύρω επιφανειών που μοιράζονται την κορυφή. Το σχήμα 4 δείχνει τέσσερεις επιφάνειες με μια κοινή κορυφή. Η κάθετος στην κορυφή αυτή είναι ο μέσος όρος των καθέτων των τεσσάρων επιφανειών και δίδεται από την σχέση Ν ave = i i όπου Νi είναι οι κάθετες των επιφανειών που μοιράζονται μια κορυφή. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, ΤΕΠ, ΠΜ 7

8 Σχήμα 4: υπολογισμός της έντασης μιας κορυφής Στην συνέχεια χρησιμοποιώντας τις καθέτους των κορυφών μιας επιφάνειας και την εξίσωση του μοντέλου φωτισμού, μπορούμε να υπολογίσουμε τις εντάσεις του φωτός φωτεινότητα) σε κάθε κορυφή. Με την βοήθεια αυτών των εντάσεων του φωτός και με μια σειρά γραμμικών παρεμβολών προσδιορίζουμε τις εντάσεις του φωτός κατά μήκος των ακμών και στο εσωτερικό της επιφάνειας, σχήμα 5. α I a Α α, α ) I I P I δ I 2 δ, δ ) γραμμή σάρωσης Y p I β Ρ p, p ) χ β Β β, β ) I γ Γ γ, γ ) Σχήμα 5. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, ΤΕΠ, ΠΜ 8

9 Ι = I β - I α ) α - p )/ α - β ) + I α ή Ι = ui β + -u)i α, όπου u = α - p )/ α - β ) Ι 2 = I γ - I δ ) δ - p )/ δ - γ ) + I δ ή Ι 2 = I γ + -)I δ, όπου = δ - p )/ δ - γ ) Ι p = I 2 I ) p - )/ 2 - ) + I ή Ι p = ti 2 + -t)i 2, όπου t = p - )/ 2 - ) Παρατήρηση: Ο αλγόριθμος του Gouraud σίγουρα δίνει καλύτερο οπτικό αποτέλεσμα από τον προηγούμενο αλγόριθμο σταθερού φωτισμού), υπολογίζοντας την φωτεινότητα ενός piel στο εσωτερικό μιας επιφάνειας με παρεμβολή της φωτεινότητας των κορυφών της επιφάνειας. Παρουσιάζει όμως και ορισμένα μειονεκτήματα, όπως, έντονη φωτεινότητα στις κορυφές και απότομες αλλαγές σε ορισμένες περιοχές. Παράδειγμα: ίδεται η παρακάτω επιφάνεια ABCD σχήμα τραπεζίου). Ζητείται η ένταση του φωτός φωτεινότητα) στο σημείο P5, 2) χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Gouraud. Οι εντάσεις στις κορυφές A, B, C & D είναι Ια=5, Ιβ=6, Ιc=4, Ιd=9. A 2,4) D 8,4) X P Y B 0,0) C 0,0) Λύση Χρησιμοποιούμε πρώτα την γραμμική παρεμβολή κατά μήκος των AB και CD για να βρούμε τις τιμές έντασης στα σημεία και χρησιμοποιώντας τη διαδικασία ανίχνευσης γραμμής διαμέσου του σημείου P. Ι = Iβ - Iα)½) + Iα ) I = και = 55. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, ΤΕΠ, ΠΜ 9

10 Ι2 = Ic - Id)½) + Id I2 = )½) = 6.5 Η ένταση του σημείου P, χρησιμοποιώντας γραμμική παρεμβολή κατά μήκος της ΙΙ2 είναι: Ip = I2 - I)½) + I = )½ =6 Αλγόριθμος του Phong Ο αλγόριθμος του Phong βασίζεται στο μοντέλο φωτισμού Phong και υπολογίζει την φωτεινότητα για κάθε piel χωριστά. Ι a a, ) Ν α Ν Ι, ) Ν, ) Ν b Ι b b, ) Ν 2 Ν 2, 2 ), ) Σχήμα 6 Καταρχάς υπολογίζουμε τα κανονικά διανύσματα Ν, Ν 2 και Ν στις κορυφές της επιφάνειας και στην συνέχεια, με την βοήθεια αυτών και με μια σειρά γραμμικών παρεμβολών, προσδιορίζουμε τα κανονικά διανύσματα α, β και Ν, κατά μήκος των ακμών και στο εσωτερικό της επιφάνειας για κάθε piel χωριστά, από τι σχέσεις: Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, ΤΕΠ, ΠΜ 0

11 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, ΤΕΠ, ΠΜ Tέλος, αφού τα μετατρέψουμε σε μοναδιαία υπολογίζουμε την συνολική φωτεινότητα για κάθε piel, σχήμα 6. Ο αλγόριθμος αυτός δίνει καλύτερο οπτικό αποτέλεσμα από τον προηγούμενο αυξάνοντας όμως σημαντικά το υπολογιστικό κόστος του. )) ) a + = )) ) b + = )) ) a b b a a b + =