Μετασχηµατισµοί 2 &3

Transcript

1 Μετασχηµατισµοί &3 Περιγράφονται σαν σύνθεση βασικών: µετατόπιση, αλλαγή κλίµακας,περιστροφή, στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3 Μαθηµατικά Μοντέλα ΣΣΑ 3 Μετασχ/σµοί Μοντέλου ΠΣΣ (WCS) 3 Μετασχ/σµός Παρατήρησης ΣΣΠ (ECS) Αποµάκρυνση Πίσω Επιφανειών 3 Αποκοπή Παράσταση Στην Οθόνη: Σάρωση Αντιταύτιση Φωτισµός Υφή Απόκρυψη Γραµµών/ Επιφανειών D ΣΣΟ (SCS) Προβολή 3. Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

2 Σηµεία & ιανύσµατα E 3 ο 3 Ευκλείδιος χώρος σηµείων, σηµείο R 3 ο 3 Ευκλείδιος χώρος διανυσµάτων, διάνυσµα Ορισµοί: 3 3., E, ένα u R u E, u R + u Q E u, για άπειρα ζεύγη, (, ) αφού 3.,Q, R E 3 ( Q) + (Q R) R u ( + ) ( + ) Q R Q Q R R 3. Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

3 ιανυσµατικοί Χώροι Σε ένα διανυσµατικό χώρο (π.χ. R 3 ) ορίζονται πράξεις ιανυσµατική πρόσθεση Βαθµωτός πολλαπλασιασµός Ιδιότητες διανυσµατικής πρόσθεσης Αντιµεταθετικότητα : Προσεταιρισµός : Ύπαρξη µηδενικού στοιχείου Ύπαρξη αντιθέτου: Ιδιότητες βαθµωτού πολλαπλασιασµού Επιµερισµός β.π. ως προς πρόσθεση: Επιµερισµός πρόσθεσης ως προς β.π. : Προσεταιρισµός: a a α + b λ α ( α, b, c ) : α + b b + α a + ( b + c ) ( a + b) + c : + a a + a a + ( a) ( a, b, λ, µ, R) λ ( α + b) λα + λb ( λ + µ ) α λα + µα ( λµ ) α λ( µ α) 3.3 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

4 ιανυσµατικοί Χώροι Παραδείγµατα &3 Ευκλείδιοι διανυσµατικοί χώροι π.χ. για a b R 3, a + b ( a, a, α ) + ( b, b, b ) ( a + b, a + b, a + πολυώνυµα βαθµού κ Γραµµικός συνδυασµός Γραµµική ανεξαρτησία υπάρχει µόνο αν η έχει µόνηλύσητην µηδενική π.χ. τα του Ε 3 είναι γραµµικά ανεξάρτητα, b3 Km : λ + K+ λm Km : λ + K+ λ m m λ λ K λm i (,,), j (,,), k (,,) λ + K+ λ K Αν m m και m είναι γραµµικά ανεξάρτητα τότε η έκφραση του είναι µοναδική m ) 3.4 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

5 ιανυσµατικοί Χώροι Βάση: σύνολο γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων Πλήθος τους καλείται διάσταση του διανυσµατικού χώρου. Έστω Ε 3,R 3. Ύπαρξη πολλαπλών βάσεων π.χ. (,,), (,,), (,,) είναι επίσης βάση Ε 3. Αν i + j + k όπου ( i, j, k ) είναι βάση, τότε (,,)ονοµάζονται συντεταγµένες ( O, i, j, k ) ονοµάζεται σύστηµα συντεταγµένων όπου O σταθερή αρχή και ( i, j, k ) βάση. εξιόστροφα, αριστερόστροφα. ( i, j, k ) ορίζουν άξονες συντεταγµένων. Μήκος διανύσµατος (,, ) ορίζεται + + Απόσταση µεταξύ και ορίζεται ( ) + ( ) + ( ) 3.5 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

6 Εσωτερικό Γινόµενο w 3 Ευκλείδιος: w w + w + w Ιδιότητες Συµµετρική: w w ιγραµµική: ( u + α w) u + a( w) Κανονικοποίηση:. είναι µοναδιαίο. Υπολογισµός γωνίας Ισχύει Άρα n i i w i w θ co θ µεταξύ και w w coθ w ( ) ή θ co w ( w) αν, w µοναδιαία 3.6 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

7 Εξωτερικό Γινόµενο Στον 3 Ευκλείδιο χώρο είναι w ( w w ) i + ( w w ) j + ( w w ) k w είναι διάνυσµα κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν το και w Αντιµεταθετική δεν ισχύει: w w 3.7 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

8 Συσχετισµένοι (Affine) Μετασχηµατισµοί Συσχετισµένος (ή βαρυκεντρικός) συνδυασµός σηµείων j Αποτέλεσµα είναισηµείο a Ka n τα K n n a j j 3 E K n ονοµάζονται συσχετισµένες συντεταγµένες του αναφορικά µε Ένας συσχετισµένος συνδυασµός είναι κυρτός αν επιπλέον Αποτέλεσµα κυρτού συνδυασµού εντός της κυρτής περιβάλλουσας των 3 Συσχετισµένος Μετασχηµατισµός 3 που αφήνει συσχετισµένους συνδυασµούς αναλλοίωτους όπου α Kα R και a E n j j 3 a j Φ( ) n j Φ : E E a j Φ( j ) n j 3.8 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

9 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί Π.χ. εφαρµογή συσχετισµένου µετασχηµατισµού πάνω σε ευθύγραµµοτµήµα απεικονίζει το µέσο του στο µέσο της συσχετισµένης εικόνας Φ() Συσχετισµένος µετασχηµατισµός µε µορφή πίνακα 3 Φ( ) A + t όπου αν E τότε Α είναι πίνακας 33 Απόδειξη Φ n j a j j A n j + + j j j j n a a n a j A ( A j + t ) j j j j n t a t j n a Φ( ) j j 3.9 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

10 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί Γραφικά: συσχετισµένοι µετασχηµατισµοί Μετατόπιση ( ) I + όπου I µοναδιαίος 3 3 και το διάνυσµα µετατόπισης Στροφή (έστω γύρω από -άξονα κατά γωνία φ) R( ) R, ϕ coϕ inϕ όπου R, ϕ inϕ coϕ Αλλαγή κλίµακας S( ) D όπου D Στρέβλωση (έστω στις και µε σταθερή) SH a b όπου SH, c Οποιοσδήποτε συσχετισµένος µετασχηµατισµός µπορεί να δηµιουργηθεί µε συνδυασµό των παραπάνω τεσσάρων. ( ) SH, 3. Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

11 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί Μετατόπιση + όπου Y ' ' Αλλαγή κλίµακας S(, ) όπου οµοιόµορφη αν Y b (, ) α ( + α, +b) S(, Y X ) (3, 7) (, 5) (4, 5) (6, 3.5) (4,.5) (8,.5) (, ) (4, ) X 3. (4, ) (8, ) Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ) X

12 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί Στροφή κατά γωνία θ (+eαντίθετα από φορά δεικτών ρολογιού) l co l in ( ϕ + θ ) l( coϕ coθ inϕ inθ ) coθ inθ ( ϕ + θ ) l( coϕ inθ + inϕ coθ ) inθ + coθ Y ( ), l ( ), θ l ϕ X R( θ ) µε R( θ ) coθ inθ inθ coθ 3. Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

13 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί Στρέβλωση κατά Χ άξονα µε παράγοντα a SH µε δηλ. + a SH a Στρέβλωση κατά Υ άξονα µε παράγοντα Y Y b SH b (, 4) (4, 4) A (, ) (4, ) (α) X Y (4, ) (6, ) (8, ) (, 4) (, 4) B X (β) (, 8) C (4, ) (, 6) (γ) 3.3 X Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

14 Οµογενείς Συντεταγµένες Προβλήµατα Μεταφορά δεν υλοποιείται µε πολ/µό πινάκων Ύπαρξη σταθερού σηµείου O για όλους τους µετασχηµατισµούς Οµογενείς συντεταγµένες (, ) (,, w) µε w (,, w) παριστάνει σηµείο ( / w, / w) E Άπειρες τριάδες για κάθε σηµείο του Ε Βασική παράσταση: w,, ( ) W (, w), M O O M Επίπεδο w ( / w, / w,) X Y 3.4 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

15 3.5 Εθνικό & Εθνικό & Καποδιστριακό Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πανεπιστήµιο Αθηνών Εργα Εργα: + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ) ΥΠΕΠΘ) Επιστηµονικός Υπεύθυνος: Επιστηµονικός Υπεύθυνος: Επικ Επικ. Καθηγητής.. Καθηγητής. Μαρτάκος Μαρτάκος Οµογενείς Συντεταγµένες Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί: πίνακες 33 Μεταφορά Σύνθεση: Αλλαγή κλίµακας Σύνθεση: Αν σµίκρυνση και πλησίασµα στο, παροµοίως για ( ) ( ) µε ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ) ( ),, S S µε ( ) ( ) S S /, /, ( ) ( ) S S,, < O

16 Στρέβλωση Οµογενείς Συντεταγµένες coθ inθ Στροφή R( θ ) µε R( θ ) inθ coθ R ( θ ) R( θ ) R ( θ ) co Σύνθεση: R( θ ) R( θ ) in ( θ + θ ) in( θ + θ ) ( θ + θ ) co( θ + θ ) R( θ + θ ) SH a SH b 3.6 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

17 Σύνθεση Μετασχηµατισµών Π.χ. αλλαγή κλίµακας ως προς c C c Μεταφορά κατά c c O C Αλλαγή κλίµακας κατά Μεταφορά κατά c ( c C O ) S ( c) S( ) ( c), Σειρά έχει σηµασία (αντιµεταθετική δεν ισχύει γενικά) Πρώτος που εφαρµόζεται γράφεται τελευταίος Σύνθεση είναι πολύ αποδοτική στα γραφικά Ισχύουν α) β) γ) δ) S R S (,,) ( ), (, ) (, ) (, ) (, ) ( +, + ) (, ) S(, ) S(, ) S(, ) S(, ) ( θ ) R( θ ) R( θ ) R( θ ) R( θ + θ ) (, ) R( θ ) R( θ ) S(, ) µόνο εάν 3.7 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

18 Γεωµετρικές Ιδιότητες συσχετισµένο µετασχηµατισµό F και σηµεία, Q ισχύει F λ + λ Q λf + λ F Q για λ λ + λ Q είναι το ευθύγραµµο τµήµα µεταξύ και Άρα η F παράγειπάλιέναευθ. τµήµα Σχέση λ/(-λ) παραµένει αναλοίωτη από F Άρα αρκεί απεικόνιση άκρων µόνο Ακόµα παράλληλες ευθείες παραµένουν παράλληλες π.χ. ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q {, S, R, } F SH, SH α α Α α α α α α α Ορίζουσα είναι ορθογώνιος ( Α) αν 3.8 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

19 Γεωµετρικές Ιδιότητες a a t a a M a a t είναι µετασχηµατισµός οµοιότητας αν a a είναι ορθογώνιος Ένας µετασχηµατισµός οµοιότητας διατηρεί αναλοίωτα µήκη & γωνίες π.χ. µοναδιαίο τεράγωνο µοναδιαίο τετράγωνο Οποιαδήποτε σύνθεση Τ & R είναι µετασχηµατισµός οµοιότητας Αν στη σύνθεση υπάρχουν S & SH έχουµε µετασχηµατισµό συσχετισµένο αλλά όχι οµοιότητας» ιατηρείται παραλληλία ευθειών όχι όµως µήκη & γωνίες 3.9 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

20 Μετασχηµατισµός Παρατήρησης ηµιουργία εικόνας στο ΠΣΣ (WCS), απεικόνιση στο ΣΣΟ (DC) Χρήστης ορίζει παράθυρο WCS και πεδίο παρατήρησης DC Y V παράθυρο πεδίο παράστασης Υπολογισµός Υ Παγκόσµιες συντεταγµένες S M (, ) ma ma ( ), ( ), Παράθυρο σε παγκόσµιες συντεταγµένες Χ M WV X, Συντεταγµένες συσκευής από (, ) (, ), ( u, ), ( u, ) ma ma ma ma (, ) (, ) ( u, ) WV Υ µε ( u, ) S(, ) (, ) u ma ma u V ma ma Χ U Βήµα Βήµα Βήµα 3 V U ( u ma, ma ) ( ), ( ) u, U 3. Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

21 Μετασχηµατισµός Παρατήρησης M WV u ma ma u ma ma Αλλοιώσεις σχηµάτων αν w µε aw, a όπου w u u ιόρθωση παραµόρφωσης µε µείωση πεδίου παράστασης w u ή a u w ma ma ma ma ma ma a u w ma ma if a ele > a if w / a then > / a w then w / w w / w 3. Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

22 Μετασχηµατισµός Παρατήρησης Συνδυασµός µε αποκοπή Y V Παγκόσµιες συντεταγµένες X Συντεταγµένες συσκευής Πολλαπλές συσκευές εξόδου: χρήση κανονικοποιηµένων συντεταγµένων συσκευής (NDC) [,] [,] WCS NDC & NDC {DC, DC }(οδηγοί συσκευών) NDC DC είναι οµοιόµορφος µετασχηµατισµός U 3. Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

23 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί 3 Οµογενείς συντεταγµένες σηµείων Ε 3 :(,,,w) Bασική παράσταση (,,,) εξιόστροφα (εδώ) &Αριστερόστροφα συστήµατα Υ Υ Ζ Χ Ζ (α) Χ (β) 3.3 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

24 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί 3 Μεταφορά ( ) Αλλαγή κλίµακας S (,, ) 3.4 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

25 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί 3 Στροφή: ανάγκη ορισµού θετικής στροφής σε δεξιόστροφο σύστηµα αντίθετη φοράς δεικτών ρολογιού όταν παρατηρητής στον +e άξονα κοιτάει προς R O ( θ ) R ( θ ) coθ inθ R inθ ( θ ) coθ coθ inθ coθ inθ inθ coθ inθ coθ R, R, R είναι ορθογώνιοι διατηρούν µήκη και γωνίες 3.5 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

26 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί 3 Αντίστροφοι S R ( ) ( ) (,, ) S, - ( θ ) R ( θ ), R ( θ ) R ( θ ), R ( θ ) R ( θ ) Για στροφή ισχύει (ορθογώνιος), ( θ ) R ( θ ), R ( θ ) R ( θ ), R ( θ ) R ( θ ) R 3.6 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)

27 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί 3 Στρέβλωση στο XY επίπεδο α,bπαράγοντες στρέβλωσης κατά X και Y άξονα συντεταγµένη αµετάβλητη SH ( a, b) a b Στρέβλωση στο YZ επίπεδο SH ( a, b) a b Στρέβλωση στο XZ επίπεδο SH ( a, b) a b 3.7 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ)