Μετασχηµατισµοί 2 & 3

Transcript

1 Μετασχηµατισµοί & 3 Περιγράφονται σαν σύνεση βασικών: µετατόπιση αλλαγή κλίµακαςπεριστροφή στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3 Μαηµατικά Μοντέλα ΣΣΑ 3 Μετασχ/σµοί Μοντέλου ΠΣΣ (WC) 3 Μετασχ/σµός Παρατήρησης ΣΣΠ (EC) Αποµάκρυνση Πίσω Επιφανειών 3 Αποκοπή Παράσταση Στην Οόνη: Σάρωση Αντιταύτιση Φωτισµός Υφή Απόκρυψη Γραµµών/ Επιφανειών D ΣΣΟ (C) Προβολή 3. Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

2 Σηµεία & ιανύσµατα E 3 ο 3 Ευκλείδιος χώρος σηµείων σηµείο 3 ο 3 Ευκλείδιος χώρος διανυσµάτων v διάνυσµα Ορισµοί: 3 3. E ένα u u E u + u Q E u για άπειρα ζεύγη ( ) αφού 3. Q E 3 ( Q) + (Q ) u ( + ) ( + ) Q Q Q 3. Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

3 ιανυσµατικοί Χώροι Σε ένα διανυσµατικό χώρο (π.χ. 3 ) ορίζονται πράξεις ιανυσµατική πρόσεση Βαµωτός πολλαπλασιασµός Ιδιότητες διανυσµατικής πρόσεσης Αντιµεταετικότητα : Προσεταιρισµός : Ύπαρξη µηδενικού στοιχείου Ύπαρξη αντιέτου: Ιδιότητες βαµωτού πολλαπλασιασµού Επιµερισµός β.π. ως προς πρόσεση: Επιµερισµός πρόσεσης ως προς β.π. : Προσεταιρισµός: a a α + α λ b ( α b c ) : α + b b + α a + ( b + c ) ( a + b) + c : + a a + a a + ( a) ( a b λ µ ) λ ( α + b) λα + λb ( λ + µ ) α λα + µα ( λµ ) α λ( µ α) 3.3 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

4 ιανυσµατικοί Χώροι Παραδείγµατα & 3 Ευκλείδιοι διανυσµατικοί χώροι 3 π.χ. για a b a + b ( a a α ) + ( b b b ) ( a + b a + b a + πολυώνυµα βαµού κ Γραµµικός συνδυασµός Γραµµική ανεξαρτησία υπάρχει µόνο αν η έχει µόνη λύση την µηδενική b3 : λ + + λ m m : m λ + + λ m m λ λ λ m i ( ) j () k () π.χ. τα του Ε 3 είναι γραµµικά ανεξάρτητα Αν λ + + λm m και m είναι γραµµικά ανεξάρτητα τότε η έκφραση του είναι µοναδική m ) 3.4 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

5 ιανυσµατικοί Χώροι Βάση: σύνολο γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων Πλήος τους καλείται διάσταση του διανυσµατικού χώρου. Έστω Ε 3 3. Ύπαρξη πολλαπλών βάσεων π.χ. () () () είναι επίσης βάση Ε 3. Αν v i + j + k όπου ( i j k ) είναι βάση τότε ( ) ονοµάζονται συντεταγµένες ( O i j k ) ονοµάζεται σύστηµα συντεταγµένων όπου O σταερή αρχή και ( i j k ) βάση. εξιόστροφα αριστερόστροφα. ( i j k ) ορίζουν άξονες συντεταγµένων. Μήκος διανύσµατος v ( ) ορίζεται v + + Απόσταση µεταξύ και ορίζεται ( ) + ( ) + ( ) 3.5 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

6 Εσωτερικό Γινόµενο v w 3 Ευκλείδιος: v w v w + v w + v w Ιδιότητες Συµµετρική: v w w v v v v ιγραµµική: v ( u + α w) v u + a( v w) Κανονικοποίηση: v v. v είναι µοναδιαίο. v Υπολογισµός γωνίας Ισχύει Άρα n i v i w i v w co µεταξύ v και w v w co v w ( ) ή co v w ( v w) αν v w µοναδιαία 3.6 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

7 Εξωτερικό Γινόµενο Στον 3 Ευκλείδιο χώρο είναι v w ( v w v w ) i + ( v w v w ) j + ( v w v v w είναι διάνυσµα κάετο στο επίπεδο που ορίζουν το v και w Αντιµεταετική δεν ισχύει: v w w v w ) k 3.7 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

8 Συσχετισµένοι (Affine) Μετασχηµατισµοί Συσχετισµένος (ή βαρυκεντρικός) συνδυασµός σηµείων j Αποτέλεσµα είναισηµείο a a n τα n n a j j 3 E n ονοµάζονται συσχετισµένες συντεταγµένες του αναφορικά µε Ένας συσχετισµένος συνδυασµός είναι κυρτός αν επιπλέον Αποτέλεσµα κυρτού συνδυασµού εντός της κυρτής περιβάλλουσας των 3 Συσχετισµένος Μετασχηµατισµός 3 που αφήνει συσχετισµένους συνδυασµούς αναλλοίωτους όπου α α και a E n j j 3 a j Φ( ) n j Φ : E E a j Φ( j ) n j 3.8 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

9 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί Π.χ. εφαρµογή συσχετισµένου µετασχηµατισµού πάνω σε ευύγραµµο τµήµα απεικονίζει το µέσο του στο µέσο της συσχετισµένης εικόνας Φ() Συσχετισµένος µετασχηµατισµός µε µορφή πίνακα 3 Φ( ) A + t όπου αν E τότε Α είναι πίνακας 33 Απόδειξη Φ n j a j j A n j + + j j j j n a a n a j A ( A j + t ) j j j j n t a t j n a Φ( ) j j 3.9 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

10 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί Γραφικά: συσχετισµένοι µετασχηµατισµοί Μετατόπιση ( ) I + όπου I µοναδιαίος 3 3 και το διάνυσµα µετατόπισης Στροφή (έστω γύρω από -άξονα κατά γωνία φ) ( ) ϕ coϕ inϕ όπου ϕ inϕ coϕ Αλλαγή κλίµακας ( ) D όπου D Στρέβλωση (έστω στις και µε σταερή) H a b όπου H c Οποιοσδήποτε συσχετισµένος µετασχηµατισµός µπορεί να δηµιουργηεί µε συνδυασµό των παραπάνω τεσσάρων. ( ) H 3. Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

11 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί Μετατόπιση + όπου Y ' ' Αλλαγή κλίµακας οµοιόµορφη αν Y b ( ( ) α ) όπου ( + α + b) ( X ) Y (3 7) ( 5) (4 5) (6 3.5) (4.5) (8.5) ( ) (4 ) X 3. (4 ) (8 ) Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ X

12 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί Στροφή κατά γωνία ( +ve αντίετα από φορά δεικτών ρολογιού) l co l in ( ϕ + ) l( coϕ co inϕ in ) co in ( ϕ + ) l( coϕ in + inϕ co ) in + co Y ( ) l ( ) ϕ l X ( ) µε ( ) co in in co 3. Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

13 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί Στρέβλωση κατά Χ άξονα µε παράγοντα a δηλ. + a H µε H a Στρέβλωση κατά Υ άξονα µε παράγοντα Y Y b H b ( 4) (4 4) A ( ) (4 ) (α) X Y (4 ) ( 4) ( 4) B (6 ) (8 ) X (β) ( 8) C (4 ) ( 6) (γ) 3.3 X Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

14 Οµογενείς Συντεταγµένες Προβλήµατα Μεταφορά δεν υλοποιείται µε πολ/µό πινάκων Ύπαρξη σταερού σηµείου O για όλους τους µετασχηµατισµούς Οµογενείς συντεταγµένες ( ) ( w) µε w ( w) παριστάνει σηµείο ( / w / w) E Άπειρες τριάδες για κάε σηµείο του Ε Βασική παράσταση: w ( ) W ( w) M O O M Επίπεδο w ( / w / w) X Y 3.4 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

15 3.5 Ενικό Ενικό & Καποδιστριακό Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Πανεπιστήµιο Αηνών Αηνών Τµήµα Πληροφορικής Εργα Εργα: + & : + & ΣΚΕΠΣΙΣ ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ ΥΠΕΠΘ) Οµογενείς Συντεταγµένες Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί: πίνακες 33 Μεταφορά Σύνεση: Αλλαγή κλίµακας Σύνεση: Αν σµίκρυνση και πλησίασµα στο παροµοίως για ( ) ( ) µε ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ) ( ) µε ( ) ( ) / / ( ) ( ) < O

16 Στρέβλωση Οµογενείς Συντεταγµένες co in Στροφή ( ) µε ( ) in co ( ) ( ) ( ) co Σύνεση: ( ) ( ) in ( + ) in( + ) ( + ) co( + ) ( + ) H a H b 3.6 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

17 3.7 Ενικό Ενικό & Καποδιστριακό Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Πανεπιστήµιο Αηνών Αηνών Τµήµα Πληροφορικής Εργα Εργα: + & : + & ΣΚΕΠΣΙΣ ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ ΥΠΕΠΘ) Σύνεση Μετασχηµατισµών Π.χ. αλλαγή κλίµακας ως προς Μεταφορά κατά Αλλαγή κλίµακας κατά Μεταφορά κατά Σειρά έχει σηµασία (αντιµεταετική δεν ισχύει γενικά) Πρώτος που εφαρµόζεται γράφεται τελευταίος Σύνεση είναι πολύ αποδοτική στα γραφικά Ισχύουν ( ) c c C ( ) C O c c ( ) O C c c ( ) ( ) ( ) c c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ) γ) β) α) εάν µόνο

18 Γεωµετρικές Ιδιότητες συσχετισµένο µετασχηµατισµό F και σηµεία Q ισχύει F λ + λ Q λf + λ F Q για λ λ + λ Q είναι το ευύγραµµο τµήµα µεταξύ και Άρα η F παράγει πάλι ένα ευ. τµήµα Σχέση λ/(-λ) παραµένει αναλοίωτη από F Άρα αρκεί απεικόνιση άκρων µόνο Ακόµα παράλληλες ευείες παραµένουν παράλληλες π.χ. ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q { } F H H α α Α α α α α α α Ορίζουσα είναι ορογώνιος ( Α) αν 3.8 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

19 Γεωµετρικές Ιδιότητες a a t a a M a a t είναι µετασχηµατισµός οµοιότητας αν a a είναι ορογώνιος Ένας µετασχηµατισµός οµοιότητας διατηρεί αναλοίωτα µήκη & γωνίες π.χ. µοναδιαίο τεράγωνο µοναδιαίο τετράγωνο Οποιαδήποτε σύνεση Τ & είναι µετασχηµατισµός οµοιότητας Αν στη σύνεση υπάρχουν & H έχουµε µετασχηµατισµό συσχετισµένο αλλά όχι οµοιότητας» ιατηρείται παραλληλία ευειών όχι όµως µήκη & γωνίες 3.9 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

20 Κατηγοριοποίηση Μετασχηµατισµών 3. Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

21 Μετασχηµατισµός Παρατήρησης ηµιουργία εικόνας στο ΠΣΣ (WC) απεικόνιση στο ΣΣΟ (DC) Χρήστης ορίζει παράυρο WC και πεδίο παρατήρησης DC Y V παράυρο πεδίο παράστασης Υπολογισµός Υ Παγκόσµιες συντεταγµένες M ( ma ma ) ( ) ( ) Παράυρο σε παγκόσµιες συντεταγµένες Χ M WV X Συντεταγµένες συσκευής από ( ) ( ) ( )( ) ma ma u v u ma vma ( ) ( ) ( u v ) WV Υ µε ( u v ) ( ) ( ) u ma ma u V v ma ma v Χ U Βήµα Βήµα Βήµα 3 V U ( u ma v ma ) ( ) ( ) u v U 3. Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

22 Μετασχηµατισµός Παρατήρησης M WV u ma ma u v ma ma Αλλοιώσεις σχηµάτων αν w v µε aw av όπου w v v u v u v ιόρωση παραµόρφωσης µε µείωση πεδίου παράστασης w u v v ή a u w ma ma ma ma ma ma a u v w v v ma ma v if a v ele > a if w / a then v v > / a w v then w v / w v w / w 3. Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

23 Μετασχηµατισµός Παρατήρησης Συνδυασµός µε αποκοπή Y V Παγκόσµιες συντεταγµένες X Συντεταγµένες συσκευής Πολλαπλές συσκευές εξόδου: χρήση κανονικοποιηµένων συντεταγµένων συσκευής (NDC) [] [] WC NDC & NDC {DC DC } (οδηγοί συσκευών) NDC DC είναι οµοιόµορφος µετασχηµατισµός U 3.3 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

24 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί 3 Οµογενείς συντεταγµένες σηµείων Ε 3 : (w) Bασική παράσταση () εξιόστροφα (εδώ) & Αριστερόστροφα συστήµατα Υ Υ Ζ Χ Ζ (α) Χ (β) 3.4 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

25 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί 3 Μεταφορά ( ) Αλλαγή κλίµακας ( ) 3.5 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

26 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί 3 Στροφή: ανάγκη ορισµού ετικής στροφής σε δεξιόστροφο σύστηµα αντίετη φοράς δεικτών ρολογιού όταν παρατηρητής στον +ve άξονα κοιτάει προς O co in ( ) ( ) in co in ( ) co in co co in in co είναι ορογώνιοι διατηρούν µήκη και γωνίες 3.6 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ

27 3.7 Ενικό Ενικό & Καποδιστριακό Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Πανεπιστήµιο Αηνών Αηνών Τµήµα Πληροφορικής Εργα Εργα: + & : + & ΣΚΕΠΣΙΣ ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ ΥΠΕΠΘ) Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί 3 Αντίστροφοι Για στροφή ισχύει (ορογώνιος) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

28 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί 3 Στρέβλωση στο XY επίπεδο α b παράγοντες στρέβλωσης κατά X και Y άξονα συντεταγµένη αµετάβλητη H ( a b) a b Στρέβλωση στο YZ επίπεδο H ( a b) a b Στρέβλωση στο XZ επίπεδο H ( a b) a b 3.8 Εργα: : + & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ