Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Transcript

1 Ανάλυση Κυκλωμάτων Σήματα Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

2 Εισαγωγή Για την ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων μαζί με την μαθηματική περιγραφή των ηλεκτρικών στοιχείων απαιτείται και η μαθηματική περιγραφή των διεγέρσεων και των μεταβλητών των κυκλωμάτων, που είναι οι τάσεις και τα ρεύματα. Οι τάσεις και τα ρεύματα είναι φυσικές ποσότητες. Οι φυσικές ποσότητες περιγράφονται με μαθηματικές συναρτήσεις, που λέγονται σήματα (signal) ή κυματομορφές (wavefor). 2

3 Ταξινόμηση των σημάτων (1/3) Ανάλογα με τις ιδιότητές τους τα σήματα κατατάσσονται σε διάφορες κατηγορίες. Οι πιο σημαντικές κατηγορίες σημάτων είναι: Σήματα συνεχούς χρόνου (continuous-tietie signal). Τα σήματα αυτά είναι συναρτήσεις με πεδίο ορισμού όλα τα σημεία ενός διαστήματος. Σήματα διακριτού χρόνου (discrete-tietie signal). Τα σήματα αυτά έχουν πεδίο ορισμού ένα σύνολο ακεραίων.

4 Ταξινόμηση των σημάτων (2/3) Τυχαία σήματα (rando signal). Είναι τα σήματα (συνεχούς ή διακριτού χρόνου) που δεν είναι δυνατό να προσδιοριστούν με ακρίβεια πριν συμβούν. Τα τυχαία σήματα υπακούουν σε νόμους που δεν είναι επακριβώς γνωστοί. Προσδιοριστικά σήματα (deterinistic signal). Είναι τα σήματα (συνεχούς ή διακριτού χρόνου) που μπορούν να περιγραφούν με ακρίβεια ανά πάσα χρονική στιγμή. Τα προσδιοριστικά σήματα υπακούουν σε γνωστούς νόμους.

5 Ταξινόμηση των σημάτων (3/3) Τα προσδιοριστικά σήματα διακρίνονται σε χρονικά αμετάβλητα και χρονικά μεταβαλλόμενα σήματα. Τα χρονικά μεταβαλλόμενα σήματα διακρίνονται σε περιοδικά και απεριοδικά σήματα. Περιοδικά σήματα (periodic signal) είναι τα σήματα που επαναλαμβάνονται σε σταθερά χρονικά διαστήματα, που λέγονται περίοδοι των σημάτων. Απεριοδικά σήματα (aperiodic signal) είναι τα σήματα τα οποία δεν είναι περιοδικά. Τα απεριοδικά σήματα μπορούν να θεωρηθούν ως περιοδικά σήματα με άπειρη περίοδο επανάληψης.

6 Περιοδικά Σήματα Ένα σήμα λέγεται περιοδικό, όταν επαναλαμβάνεται σε σταθερά χρονικά διαστήματα. Αναλυτικά ένα σήμα x(t) είναι περιοδικό, όταν x(t) = x(t+nt) ), n = 0, 1, 2, Η ποσότητα Τ λέγεται περίοδος (period) του σήματος, ενώ η ποσότητα 1 f T λέγεται συχνότητα (frequency) του σήματος. Τέλος, το μέγεθος ω 2π f 2π T λέγεται γωνιακή συχνότητα (angular frequency) του σήματος. Μονάδα μέτρησης της περιόδου είναι το δευτερόλεπτο (s), της συχνότητας το Hz (=1/s) και της γωνιακής συχνότητας το rad/s.

7 Ημιτονοειδές Σήμα Η αναλυτική έκφραση ενός ημιτονοειδούς σήματος είναι: x(t ) A συν( nωt φ). Οι ποσότητες Α, ωt ± φ και φ λέγονται πλάτος, γωνία φάσης και αρχική φάση αντίστοιχα. Η ποσότητα Α p-p λέγεται πλάτος από κορυφή σε κορυφή (peak-to-peak). Μονάδα μέτρησης της αρχικής φάσης είναι το ακτίνιο (rad). Η αρχική φάση εκφράζει μια χρονική καθυστέρηση, θετική ή αρνητική, και δείχνει κατά πόσο το σήμα A συν(ωt ± φ ) προηγείται ή έπεται του σήματος A συν(ωt ± φ ). Η αρχική φάση και η χρονική καθυστέρηση συνδέονται με τη σχέση φ=ωτ όπου τ η χρονική καθυστέρηση. Αν, αντί της αρχικής φάσης φ, χρησιμοποιηθεί η χρονική καθυστέρηση, τότε η έκφραση του ημιτονοειδούς σήματος γίνεται A συν(ωt ± ωτ).

8 Περιοδικά μη ημιτονοειδή σήματα Τα περιοδικά μη ημιτονοειδή σήματα μπορούν να αναλυθούν σε ένα άθροισμα ημιτονοειδών σημάτων με άπειρους όρους. Το άθροισμα αυτό είναι γνωστό ως σειρά Fourier και δίνεται από την έκφραση: x( t ) A A συν( nω t φ ) 0 n ο n n 1 Η γωνιακή συχνότητα ω o είναι η γωνιακή συχνότητα του περιοδικού σήματος και λέγεται βασική ή θεμελιώδης συχνότητα. Η συχνότητα nω o λέγεται n-οστή αρμονική συχνότητα ή απλά n-οστή αρμονική. Το A n παριστά το πλάτος της n-οστής αρμονικής.

9 Μέση τιμή σήματος. Η μέση τιμή (average, ean value) ενός περιοδικού σήματος x(t) με περίοδο Τ ορίζεται από τη σχέση: 1 T x( t ) x( τ )dτ T 0 Είναι το προσημασμένο εμβαδόν που περικλείει μια περίοδος του σήματος. Η μέση τιμή ενός σήματος εκφράζει τη χρονικά αμετάβλητη (συνεχή) συνιστώσα του σήματος. Στη σειρά Fourier η μέση τιμή του σήματος δίνεται από τον όρο A 0. Στην περίπτωση των απεριοδικών σημάτων, επειδή αυτά τα σήματα θεωρείται ότι έχουν άπειρη περίοδο, η μέση τιμή ορίζεται από την: 1 T x(t ) i x( τ )dτ T T 0

10 Ενεργός τιμή σήματος. Η ενεργός τιμή (root ean square value, rs) ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του μέσου τετραγώνου του σήματος: X rs 1 T T 0 2 x ( τ )dτ Η ενεργός τιμή είναι μέτρο της ισχύος που μεταφέρει το σήμα. Όταν το περιοδικό σήμα εκφράζεται με σειρά Fourier, αποδεικνύεται ότι η ενεργός τιμή του δίνεται από τη σχέση: X rs A 1 0 ( A1 A2 A n ) 2 Στην περίπτωση των απεριοδικών σημάτων, επειδή αυτά τα σήματα θεωρείται ότι έχουν άπειρη περίοδο, η ενεργός τιμή ορίζεται από την: 1 T 2 X rs i x ( τ )dτ T T 0

11 Παραδείγματα 1. Να βρεθεί η μέση και η ενεργός τιμή του ημιτονοειδούς σήματος x(t) = A συνωt 2. Να βρεθεί η μέση και η ενεργός τιμή πριονωτού σήματος με πλάτος Α και περίοδο Τ

12 Σήματα δοκιμής Τα σήματα δοκιμής (test signals) είναι σήματα που παράγονται εύκολα στο εργαστήριο και χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο της απόκρισης των κυκλωμάτων και των γενικότερα. διάφορων φυσικών συστημάτων

13 Μοναδιαία συνάρτηση βήματος (unit step function) Η μοναδιαία συνάρτηση βήματος ορίζεται από την: 0 t 0 u( t ) 1 t 0

14 Μοναδιαία κλίση και μοναδιαία παραβολή Η μοναδιαία κλίση ορίζεται από την: 0 t 0 r( t ) t t 0 Η μοναδιαία παραβολή ορίζεται από την: 0 t 0 a( t ) 2 t t 0

15 Ορθογώνιος Παλμός (rectangular pulse) Ο ορθογώνιος παλμός ή απλά παλμός ορίζεται από τη σχέση: 0 t 0 1 p( t ) 0 t Δ Δ 0 t Δ

16 Μοναδιαία ώση (1/2) Η παράγωγος της μοναδιαίας συνάρτησης βήματος και λέγεται μοναδιαία ώση ή συνάρτηση δέλτα του Dirac (unit ipulse function). Η μοναδιαία ώση είναι μια συνάρτηση που είναι παντού μηδέν εκτός από το σημείο t = 0. Στο σημείο αυτό το ύψος της είναι άπειρο, αλλά το εμβαδόν της είναι ίσο με τη μονάδα. Η μοναδιαία ώση ορίζεται από το ολοκλήρωμα: 0 0 δ( t )dt 1

17 Μοναδιαία ώση (2/2) Μια σημαντική ιδιότητα της συνάρτησης δ(t) είναι η ιδιότητα μετατόπισης ή δειγματοληψίας (shifting, sapling property). Σύμφωνα με αυτήν την ιδιότητα, αν f(t) είναι συνεχής συνάρτηση, τότε: f ( t )δ( t )dt f (0 )

18 Εκθετικά σήματα Τα εκθετικά σήματα παρουσιάζουν πολύ μεγάλο ενδιαφέρον, επειδή συνδέονται στενά με τη δυναμική συμπεριφορά των φυσικών συστημάτων. Η γενική αναλυτική έκφραση του εκθετικού σήματος είναι: x(t ) A e όπου ο εκθέτης s είναι γενικά μιγαδικός αριθμός. st Το εκθετικό σήμα μπορεί να περιγράψει πολλά σήματα ειδικής μορφής. Ανάλογα με τη μαθηματική υπόσταση του εκθέτη s, το εκθετικό σήμα περιγράφει το χρονικά αμετάβλητο σήμα, την εκθετική αύξηση και απόσβεση, το ημιτονοειδές σήμα, την αποσβεννύμενη ή φθίνουσα ταλάντωση και την αύξουσα ταλάντωση.

19 Εκθετική απόσβεση, εκθετική αύξηση και συνεχές σήμα Όταν ο εκθέτης s είναι πραγματικός αριθμός (s = σ), το εκθετικό σήμα είναι μια εκθετική αύξηση (σ > 0) ή εκθετική απόσβεση (σ < 0). Η εκθετική αύξηση περιγράφει πολλά φυσικά φαινόμενα, κυρίως ασταθή. Αντίθετα, η εκθετική απόσβεση περιγράφει συνήθως ευσταθή φυσικά φαινόμενα, δηλαδή φαινόμενα που ελέγχονται. Αν σ = 0, η εκθετική αύξηση και η εκθετική απόσβεση γίνονται το χρονικά αμετάβλητο σήμα (συνεχές σήμα) με πλάτος Α.

20 Ημιτονοειδές Σήμα (1/4) Όταν ο εκθέτης s είναι φανταστικός αριθμός (σ = ± jω), όπου j είναι η φανταστική μονάδα, το εκθετικό σήμα περιγράφει το ημιτονοειδές σήμα. Σε αυτήν την περίπτωση το εκθετικό σήμα έχει τη μορφή: x(t ) A e jωt Σύμφωνα με τον τύπο του Euler: jωt e συνωt jημωt οπότε: jωt x(t ) A e A συνωt ja ημωt Ένα τέτοιο σήμα, επειδή είναι μιγαδική ποσότητα, δεν έχει φυσική υπόσταση. Φυσική υπόσταση έχουν μόνον το πραγματικό και το φανταστικό του μέρος: jωt Re{ x(t )} Re{ A e } A συνωt jωt I{ x(t )} I{ A e } A ημωt

21 Ημιτονοειδές Σήμα (2/4) Στη γενικότερη περίπτωση το εκθετικό σήμα με φανταστικό εκθέτη έχει τη μορφή: j( ωt φ ) x(t ) A e A συν( ωt φ) ja ημ( ωt φ) με μέτρο: j( ωt φ ) x(t ) A e A συν ( ωt φ) A ημ ( ωt φ) A και όρισμα: 1 I{ x( t )} 1 ημ( ωt φ ) arg( x( t )) εφ εφ ( ωt φ ) Re{ x( t )} συν( ωt φ ) Kάθε μιγαδική ποσότητα μπορεί να παρασταθεί με ένα διάνυσμα, του οποίου η γενική συμβολική έκφραση είναι: X x(t ) arg( x(t ))

22 Ημιτονοειδές Σήμα (3/4) Όπως φαίνεται στο σχήμα, το διάνυσμα έχει μέτρο A και σχηματίζει με τον πραγματικό άξονα γωνία ίση με ωt + φ. Η πολική του έκφραση είναι: X A (ωt φ) Λόγω της περιστροφής του, το διάνυσμα X λέγεται στρεφόμενο διάνυσμα (phasor). Επειδή το πέρας του στρεφόμενου διανύσματος διαγράφει έναν κύκλο, λέγεται και κυκλικό διάνυσμα (circular vector). Η θετική φορά περιστροφής είναι αντίθετη της φοράς περιστροφής των δεικτών του ρολογιού

23 Ημιτονοειδές Σήμα (4/4) Γνωρίζουμε ότι: jωt e συνωt jημωt άρα: συνωt jημωt e jωt και: συνωt jημωt e jωt Προσθέτουμε και αφαιρούμε κατά μέλη οπότε: 1 jωt jωt συνωt ( e e ) 2 και: 1 jωt jωt ημωt ( e e ) j2 Διαπιστώνουμε ότι τα ημιτονοειδή σήματα είναι η επαλληλία ενός στρεφόμενου διανύσματος και του συζυγούς στρεφόμενου διανύσματος. Είναι προφανές ότι το συζυγές ενός στρεφόμενου διανύσματος περιστρέφεται με την αντίθετη φορά.

24 Φθίνουσα και αύξουσα ταλάντωση (1/3) Στη γενικότερη περίπτωση ο εκθέτης s είναι μιγαδικός αριθμός (s = σ ± jω) και το εκθετικό σήμα παριστά φθίνουσες ταλαντώσεις (σ < 0) ή αύξουσες ταλαντώσεις (σ > 0). Το εκθετικό σήμα με μιγαδικό εκθέτη έχει τη μορφή: x(t ) A e ( σ jω )t Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Euler προκύπτει ότι: σt jωt σt x(t ) A e e A e ( συνωt jημωt ) με μέτρο: και όρισμα: σt 2 2 x(t ) A e συν ωt ημ ωt A e 1 I{ x( t )} arg( x( t )) εφ ωt Re{ x( t )} σt

25 Φθίνουσα και αύξουσα ταλάντωση (2/3) Η πολική έκφραση αυτού του διανύσματος είναι: σt X Ae ωt Αν σ < 0, το πλάτος του διανύσματος φθίνει με τον χρόνο, ενώ, αν σ > 0, το πλάτος του διανύσματος αυξάνει με τον χρόνο

26 Φθίνουσα και αύξουσα ταλάντωση (3/3) Όπως φαίνεται στο σχήμα, το πέρας του στρεφόμενου διανύσματος διαγράφει στο μιγαδικό επίπεδο μια σπειροειδή τροχιά. Η σπειροειδής τροχιά είναι συγκλίνουσα, όταν σ < 0, και αποκλίνουσα, όταν σ > 0. Το διάνυσμα αυτό, εξαιτίας της σπειροειδούς κίνησης του πέρατός του, λέγεται σπειροειδές διάνυσμα (spiral vector). Είναι προφανές ότι τα κυκλικά διανύσματα, δηλαδή τα στρεφόμενα διανύσματα με σταθερό πλάτος, είναι ειδική περίπτωση των σπειροειδών διανυσμάτων, όταν σ = 0. Στα επόμενα, όταν αναφερόμαστε σε στρεφόμενα διανύσματα, εννοούμε τα κυκλικά διανύσματα.

27 Μιγαδική Συχνότητα (1/2) Όπως είναι γνωστό, ο εκθέτης της μαθηματικής έκφρασης μιας φυσικής ποσότητας είναι αδιάστατο μέγεθος. Έτσι, από τη γενική μορφή του εκθετικού σήματος: ( σ jω )t σt jωt x(t ) A e A e e συμπεραίνουμε ότι οι ποσότητες σ και ω πρέπει να έχουν διαστάσεις συχνότητας (t - 1 ). Η ποσότητα ω είναι η γνωστή γωνιακή συχνότητα και μετριέται σε rad/s, ενώ η ποσότητα σ λέγεται νεπέρεια συχνότητα. Ανάλογα, μιγαδικός εκθέτης του εκθετικού σήματος ονομάζεται μιγαδική συχνότητα (coplex frequency).

28 Μιγαδική Συχνότητα (2/2) Θέτοντας ω=0, προκύπτει: 1 σ t x( t ) n A Επειδή ο νεπέρειος λογάριθμος είναι αδιάστατο μέγεθος, όπως και το ακτίνιο (rad), από την παραπάνω εξίσωση συμπεραίνουμε ότι το σ θα μετρηθεί με μονάδα "κάποια ποσότητα"/s. Αυτή η "κάποια ποσότητα", δηλαδή η αδιάστατη ποσότητα ln(x(t)/a) (x(t)/a), ονομάζεται neper, οπότε η νεπέρεια συχνότητα μετριέται σε neper/s. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η μιγαδική συχνότητα εκφράζεται ως: μιγαδική συχνότητα = νεπέρεια συχνότητα ± j(γωνιακή συχνότητα) Η νεπέρεια συχνότητα αναφέρεται στην απόσβεση ή στην ενίσχυση του σήματος, ενώ η γωνιακή συχνότητα στην περιοδική του επανάληψη.

29 Η σημασία του εκθετικού σήματος (1/2) Από την εξέταση του εκθετικού σήματος διαπιστώσαμε ότι αυτό μπορεί να περιγράψει αρκετά χρήσιμα σήματα, ανάλογα με τη μαθηματική υπόσταση του εκθέτη s. Επιπλέον, το εκθετικό σήμα αποτελεί φυσική εκδήλωση όλων των γραμμικών φυσικών συστημάτων και από τη μορφή του είναι δυνατό να προκύψουν ποιοτικά και ποσοτικά συμπεράσματα για τη δομή και τη συμπεριφορά αυτών των φυσικών συστημάτων.

30 Η σημασία του εκθετικού σήματος (2/2) Η σημασία του εκθετικού σήματος αυξάνει και από το γεγονός ότι σχεδόν κάθε σήμα μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα εκθετικών σημάτων. Η ανάλυση οποιουδήποτε σήματος σε άθροισμα εκθετικών σημάτων επιτυγχάνεται με τη σειρά Fourier και τον μετασχηματισμό Laplace. Τέλος, με μια σημαντική ιδιότητα του εκθετικού σήματος, είναι ότι το εκθετικό σήμα διατηρεί τη μορφή του κατά τη διαφόριση και την ολοκλήρωση ως προς τον χρόνο.

31 Ερωτήσεις / Απορίες ;