3: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Transcript

1 3: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό, αποτελείται από τρία βασικά μέρη. Την παρουσίαση των συστημάτων αξόνων που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή και την ανάλυση της πτήσης του αεροσκάφους, και το υπόβαθρο στο οποίο στηρίζεται η εξαγωγή των εξισώσεων κίνησης, την εξαγωγή των γενικών δυναμικών εξισώσεων κίνησης συμμετρικού στερεού αεροσκάφους και τέλος, τη γραμμικοποίηση και τον διαχωρισμό των εξισώσεων αυτών σε διαμήκη και εγκάρσια δυναμική. Προαπαιτούμενη γνώση Απαιτούνται βασικές γνώσεις γεωμετρίας, γραμμικής άλγεβρας, δυναμικής στερεού σώματος και ταλαντώσεων. Επίσης, ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξοικειωμένος με τις γενικές έννοιες της μοντελοποίησης και ασφαλώς τα θέματα που αναλύθηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια. 1. Συστήματα αξόνων του αεροσκάφους Εφόσον το αεροσκάφος κινείται μέσα στην ατμόσφαιρα, πρέπει να θεωρηθούν κατάλληλα συστήματα αξόνων για την περιγραφή της σχετικής κίνησης του αεροσκάφους. Η περιγραφή της κίνησης του αεροσκάφους γίνεται ως προς διάφορα εναλλακτικά συστήματα αξόνων, όπως παρουσιάζονται και από τον McLean [7], τα οποία έχουν καθιερωθεί στη δυναμική πτήσης και περιλαμβάνουν: αδρανειακούς άξονες (συνήθως γήινους), σωματόδετους άξονες, αεροδυναμικούς άξονες ή άξονες ανέμου, άξονες ευστάθειας Αδρανειακοί (χωρόδετοι) άξονες Οι αδρανειακοί άξονες, προσδένονται σε ένα σύστημα αναφοράς το οποίο θεωρείται ακίνητο και ως προς το οποίο μελετάμε τη σχετική κίνηση του αεροσκάφους. Συνήθως, σαν τέτοιο σύστημα συντεταγμένων θεωρείται η γη. Θα πρέπει να σημειωθεί, ότι στην πραγματικότητα η γη δεν είναι ακίνητη, αλλά πραγματοποιεί περιστροφή τόσο γύρω από τον εαυτό της, όσο και γύρω από τον ήλιο. Όμως αυτοί οι χρόνοι περιστροφής είναι πολύ μεγαλύτεροι από τους χρόνους μέσα στους οποίους εξελίσσονται τα φαινόμενα δυναμικής, τα οποία εξετάζονται στο πλαίσιο της Δυναμικής Πτήσης, και οι οποίοι είναι της τάξης του 1sec έως 5min και κατά συνέπεια η παραδοχή της γης σαν αδρανειακό (ακίνητο) σύστημα αναφοράς είναι απολύτως επαρκής, όπως σημειώνει ο Cook [3]. Για εφαρμογές όμως πλοήγησης πολύ μεγαλύτερης χρονικής διάρκειας, χρησιμοποιούνται άλλα αδρανειακά συστήματα συντεταγμένων, όπως παραδοσιακά ο έναστρος ουρανός. Οι γήινοι άξονες (earth axis) ορίζονται με ένα σημείο αναφοράς Ο0, το οποίο είναι η αρχή των αξόνων ενός δεξιόστροφου ορθογώνιου συστήματος αναφοράς (Ο0x0y0z0). Η σύμβαση για τις διευθύνσεις τον γήινων αξόνων έχει ως εξής: Ο άξονας Ο0x0 έχει κατεύθυνση προς το βορρά (North). Ο άξονας O0y0 έχει κατεύθυνση προς την ανατολή (East). Ο άξονας Ο0z0 έχει κατεύθυνση κατακόρυφα προς τα κάτω (προς το κέντρο της γης), παράλληλα με το διάνυσμα της βαρύτητας. Οι γήινοι άξονες απεικονίζονται στο σχήμα 3.1.Το επίπεδο (Ο0x0y0) ορίζει το τοπικό οριζόντιο επίπεδο το οποίο είναι εφαπτόμενο στην επιφάνεια της γης. Επομένως το ίχνος πτήσης (πορεία) ενός αεροσκάφους μπορεί να περιγραφεί πλήρως από τις συντεταγμένες του στο γήινο σύστημα αξόνων. Αυτή η πρόταση προϋποθέτει μια επίπεδη γη (flat earth) όπου η κατακόρυφη διεύθυνση είναι προσδεμένη στο άνυσμα

2 της βαρύτητας. Αυτό το σύστημα είναι επαρκές για πτήσεις τοπικού χαρακτήρα, ταιριάζει όμως καλύτερα σε εφαρμογές πλοήγησης και εφαρμογές μελέτης επιδόσεων, εκεί όπου η μελέτη του ίχνους πτήσης έχει πρωταρχικό ενδιαφέρον. Σχήμα 3.1 Γήινοι άξονες συντεταγμένων. Για τις εφαρμογές της Δυναμικής Πτήσης προτιμάται ένας πιο απλοποιημένος ορισμός των γήινων αξόνων. Επειδή η Δυναμική Πτήσης ουσιαστικά αφορά τη βραχυπρόθεσμη κίνηση, μπορεί να γίνει η παραδοχή ότι η πτήση πραγματοποιείται πάνω από μια επίπεδη γη. Η πιο κοινή μορφή πτήσης είναι εκείνη της ευθείας και οριζόντιας πτήσης. Πρόκειται για την πτήση κατά το οριζόντιο επίπεδο σε σταθερό ύψος, ενώ ανεξάρτητα από τη μετέπειτα πτήση του αεροσκάφους, η θέση του ορίζεται σε σχέση με τον ορίζοντα. Στο σχήμα 3.1 ορίζεται ένα δεύτερο σύστημα αξόνων (ΟΕxEyEzE). Οι άξονες (ΟΕxEyEzE) ονομάζονται γήινοι άξονες αναφοράς (datum-path earth axis) και ορίζονται για την περιγραφή της βραχυπρόθεσμης σχετικής κίνησης του αεροσκάφους, ως προς το αδρανειακό σύστημα (Ο0x0y0z0): ΟΕxEyE : το οριζόντιο επίπεδο, παράλληλο στο επίπεδο (Ο0x0y0) στην επιφάνεια της γης, ΟΕxE : άξονας με φορά προς τη διεύθυνση πτήσης του αεροσκάφους και όχι προς το βορρά, ΟΕzE: άξονας με φορά προς τα κάτω όπως και προηγουμένως. Η τοποθέτηση της αρχής των αξόνων ΟΕ μπορεί να γίνει σε οποιοδήποτε κατάλληλο σημείο μέσα στην ατμόσφαιρα. Συνήθως όμως, για τις απαιτήσεις της ανάλυσης που επιχειρείται στη δυναμική πτήσης, η αρχή των αξόνων ΟΕ τοποθετείται στο κέντρο βάρους του αεροσκάφους (cg center of gravity), ώστε να ταυτίζεται με την αρχή Ο του σωματόδετου συστήματος του αεροσκάφους (body axis) (Οxbybzb). Το σωματόδετο σύστημα παρουσιάζεται αναλυτικά στο επόμενο υποκεφάλαιο.

3 1.2. Σωματόδετοι άξονες του αεροσκάφους Το σωματόδετο σύστημα αξόνων (Οxbybzb) που προαναφέρθηκε, είναι ένα δεξιόστροφο ορθογώνιο σύστημα αξόνων, το οποίο είναι προσδεμένο στο αεροσκάφος (σχ. 3.2) και κινείται μαζί με αυτό. Έτσι, όταν η κατάσταση του αεροσκάφους διαταράσσεται από τις αρχικές συνθήκες πτήσης, οι άξονές του κινούνται μαζί με το αεροσκάφος. Ο πιο συνηθισμένος τρόπος ορισμού του συστήματος (Οxbybzb) έχει σαν βάση τη γεωμετρία της ατράκτου και ορίζεται αναλυτικά ως ακολούθως: Οxbzb : το επίπεδο που ορίζει το επίπεδο συμμετρίας του αεροσκάφους, Οxb : άξονας που γενικά ορίζεται παράλληλος με τη γεωμετρική αναφορά της ατράκτου (horizontal fuselage datum), Οyb : άξονας με φορά προς τη δεξιά πτέρυγα, Οzb : άξονας με φορά προς τα κάτω. Σχήμα 3.2 Σωματόδετοι άξονες συντεταγμένων. Η αρχή Ο των αξόνων βρίσκεται σ ένα σημείο της ατράκτου το οποίο μας εξυπηρετεί και συνήθως -αλλά όχι απαραίτητα- ταυτίζεται με το κέντρο βάρους (cg - center of gravity). Επίσης, είναι πολύ βολικός ο ορισμός ενός ακόμη συστήματος αξόνων (Oxwywzw) που ονομάζονται αεροδυναμικοί άξονες ή άξονες ανέμου (wind axis) και ορίζονται στη γενική περίπτωση όπως φαίνεται στο σχήμα 3.2. Ο άξονας Oxw είναι παράλληλος με τη διεύθυνση της ολικής ταχύτητας VT του σχετικού ανέμου και προσδιορίζεται σε σχέση με τον άξονα Oxb μέσω των δύο χαρακτηριστικών γωνιών της σχετικής ταχύτητας του ανέμου ως προς το αεροσκάφος: γωνία πρόσπτωσης α, γωνία πλαγιολίσθησης β. Σε σταθερή-μόνιμη συμμετρική πτήση (β=0) οι άξονες του ανέμου (Οxwywzw) δεν είναι τίποτα άλλο παρά ένας τύπος του σωματόδετου συστήματος αξόνων, το οποίο έχει περιστραφεί γύρω από τον άξονα Οyb κατά τη σταθερή γωνία πρόσπτωσης του σώματος αe έως ότου ο άξονας Οxw ευθυγραμμιστεί με το διάνυσμα της ολικής ταχύτητας πτήσης. Επιπλέον, επειδή υπάρχει μία και μοναδική τιμή της γωνίας πρόσπτωσης αe που αντιστοιχεί σε κάθε συνθήκη πτήσης, ο προσανατολισμός των αξόνων του ανέμου (ή ευστάθειας αντίστοιχα) στην άτρακτο είναι διαφορετικός για κάθε συνθήκη πτήσης. Όμως, για κάθε μια δεδομένη συνθήκη πτήσης, ο

4 προσανατολισμός των αξόνων του ανέμου είναι εξ αρχής καθορισμένος και σταθερός σε σχέση με το αεροσκάφος, ενώ κινείται με αυτό σε κάθε διαταραχή. Οι τυπικές τιμές για τη γωνία πρόσπτωσης του αεροσκάφους είναι αe=-10 :20 στο εύρος του κανονικού φακέλου πτήσης. Συνοψίζοντας, δεν είναι ιδιαίτερα σημαντικό ποιο σύστημα αξόνων θα επιλεγεί, με την προϋπόθεση ότι η επιλογή μοντελοποιεί την κατάσταση πτήσης που εξετάζεται. Όταν χρησιμοποιούνται δεδομένα για τις εξισώσεις κίνησης, είναι πολύ συνηθισμένο κάποια από αυτά να αναφέρονται στους άξονες του ανέμου ενώ κάποια άλλα να αναφέρονται στο σωματόδετο σύστημα. Επιβάλλεται επομένως να υπάρχει η δυνατότητα εκτέλεσης των απαραίτητων μετασχηματισμών από το ένα στο άλλο σύστημα. Παράλληλα με τα παραπάνω δύο συστήματα συντεταγμένων, χρησιμοποιούνται και οι άξονες ευστάθειας, (stability axis, Oxsyszs). Η διαφορά των αξόνων ευστάθειας με τους άξονες ανέμου είναι ότι o άξονας Oxs έχει διεύθυνση παράλληλη με την προβολή της σχετικής ταχύτητας του ανέμου στο επίπεδο (Oxz). Έτσι, ορίζεται και η γωνία πλαγιολίσθησης β όπως φαίνεται στο σχήμα 3.2. Είναι προφανές βέβαια ότι οι άξονες ευστάθειας και οι άξονες άνεμου ταυτίζονται σε κάποιες συνθήκες πτήσης, όταν η γωνία πλαγιολίσθησης είναι μηδενική, όταν δηλαδή ο σχετικός άνεμος χτυπά μετωπικά το αεροσκάφος, το οποίο είναι και η συνηθέστερη κατάσταση. 2. Μεταβλητές του αεροσκάφους και βασικές παραδοχές 2.1. Μεταβλητές του αεροσκάφους στο σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων Όπως περιγράφει ο Blakelock [8], το αεροσκάφος αποτελεί ένα στερεό σώμα το οποίο κινείται μέσα στην ατμόσφαιρα και έχει έξι (6) βαθμούς ελευθερίας: τις τρεις συνιστώσες της μετατόπισης ως προς τους εκάστοτε τρεις άξονες αναφοράς και τις αντίστοιχες γωνίες περιστροφής περί τους άξονες αυτούς. Η περιγραφή της πτήσης γίνεται ως προς τις δυνάμεις, τις ροπές, τις γραμμικές και τις γωνιακές ταχύτητες, καθώς και τη θέση του. Τα μεγέθη αυτά προβάλλονται και αναλύονται πάνω σε κατάλληλα προσδεμένο σύστημα αναφοράς του αεροσκάφους (Σχήμα 3.3). Για διευκόλυνση στους υπολογισμούς, θεωρείται αρχικά ένα γενικευμένο σωματόδετο σύστημα αξόνων Οxyz, το οποίο μπορεί να είναι το σωματόδετο σύστημα (Οxbybzb) ή και το σύστημα ανέμου (Οxwywzw), έτσι όπως ορίστηκαν.

5 Σχήμα 3.3 Μεταβλητές του αεροσκάφους σε σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων Οι συνιστώσες της συνολικής γραμμικής ταχύτητας VT = [U,V,W] T του κέντρου βάρους O είναι: U: αξονική ταχύτητα, V: εγκάρσια ταχύτητα, W: κάθετη ταχύτητα. Οι συνιστώσες της γωνιακής ταχύτητας Ω = [P,Q,R] T του κέντρου βάρους O είναι: P: ρυθμός περιστροφής, Q: ρυθμός πρόνευσης, R: ρυθμός εκτροπής. Οι συνιστώσες του αθροίσματος των εξωτερικών δυνάμεων (αεροδυναμικών δυνάμεων, δυνάμεων βαρύτητας, πρόωσης, κτλ.) είναι: X: αξονική συνιστώσα δύναμης, Y: πλάγια συνιστώσα δύναμης, Z: κάθετη συνιστώσα δύναμης. Οι συνιστώσες του αθροίσματος των εξωτερικών ροπών δυνάμεων (αεροδυναμικών ροπών, πρόωσης, κτλ.) είναι: L: ροπή περιστροφής, M: ροπή πρόνευσης, N: ροπή εκτροπής. Η θετική φορά των μεταβλητών καθορίζεται από την εκλογή του δεξιόστροφου συστήματος αξόνων. Οι συνιστώσες των γραμμικών ποσοτήτων, (δύναμη, ταχύτητα κλπ.) είναι θετικές όταν η φορά της δράσης είναι η ίδια με τη φορά του άξονα με τον οποίο αυτή σχετίζεται. Η θετική έννοια των περιστροφικών ποσοτήτων, (ροπή, γωνιακή ταχύτητα, γωνία θέσης, κλπ. ) αντιστοιχούν σε δεξιόστροφή περιστροφή και μπορεί να καθοριστεί ως ακολούθως: Θετική περιστροφή γύρω από τον άξονα Ox: ο άξονας Oy πλησιάζει τον άξονα Oz, το αεροσκάφος εμφανίζει δεξιά κλίση και η δεξιά πτέρυγα κλίνει προς τα κάτω. Θετική πρόνευση ως προς τον άξονα Oy: ο άξονας Oz πλησιάζει τον άξονα Ox και το αεροσκάφος ανεβάζει το ρύγχος (nose up).

6 Θετική εκτροπή ως προς τον άξονα Oz: ο άξονας Ox πλησιάζει τον άξονα Oy και το αεροσκάφος στρέφει το ρύγχος προς τα δεξιά Η θέση του αεροσκάφους ως προς το γήινο σύστημα αξόνων Στη συνέχεια θα ορισθεί ο προσανατολισμός του αεροσκάφους σε σχέση με το γήινο (χωρόδετο) σύστημα αξόνων. Για τον σκοπό αυτό αρκεί να ορισθούν κατάλληλες γωνίες που θα συσχετίσουν το προσδεμένο στο αεροσκάφος σύστημα (Οxyz), με το γήινο σύστημα (ΟΕxEyEzE). Γενικά η διαδικασία συσχετισμού ενός μεγέθους ή μεταβλητής εκφρασμένης σε ένα σωματόδετο σύστημα αξόνων με το αντίστοιχο μέγεθος ή μεταβλητή εκφρασμένη ένα σταθερό (αδρανειακό, χωρόδετο) σύστημα αξόνων γίνεται με ένα πολύ συγκεκριμένο τρόπο, χρησιμοποιώντας ένα σύνολο τριών γωνιών (Φ,Θ,Ψ), οι οποίες ονομάζονται γωνίες Euler και οι οποίες φαίνονται στο σχήμα 3.4, μαζί με τις θετικές φορές τους. Σχήμα 3.4 Γωνίες Euler και μετάβαση από το χωρόδετο στο σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων Η συσχέτιση των δύο συστημάτων συντεταγμένων πραγματοποιείται μέσω τριών διαδοχικών περιστροφών κατά σειρά γύρω από τις γωνίες Euler Ψ, Θ, Φ αντίστοιχα, ξεκινώντας από το σύστημα (ΟxEyEzE): Γωνία πορείας ή εκτροπής ή διεύθυνσης Ψ (heading angle ή yaw attitude): περιστροφή του (ΟxEyEzE) κατά γωνία Ψ γύρω από τον άξονα ΟzE, οδηγεί σε ένα νέο σύστημα συντεταγμένων (Οx1y1z1), με άξονες Οx1=ΟxΗ, Οy1=ΟyΗ, Οz1=ΟzE. Γωνία πρόνευσης Θ (pitch angle ή pitch attitude): περιστροφή του (ΟxΗyΗzΕ) κατά γωνία Θ γύρω από τον άξονα Οy1=ΟyH, οδηγεί σε ένα νέο σύστημα συντεταγμένων (Οx2y2z2) με άξονες Οx2=Οx, Οy2=ΟyΗ, Οz2=ΟzΝ. Γωνία περιστροφής ή κλίσης Φ (bank angle ή roll attitude): περιστροφή του (ΟxyΗzΝ) κατά γωνία Φ γύρω από τον άξονα Οx2=Οx, οδηγεί τελικά στο σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων (Οxyz). Στο σχήμα 3.4 φαίνονται επίσης, οι αντίστοιχες γωνιακές ταχύτητες (Φ,Θ, Ψ ), οι οποίες ορίζονται ως: ρυθμός αλλαγής της κλίσης Φ,

7 ρυθμός αλλαγής της γωνίας ανόδου-καθόδου Θ, ρυθμός αλλαγής της πορείας Ψ. Οι συντεταγμένες ενός διανύσματος σε ένα από τα διάφορα συστήματα συντεταγμένων (ΟxEyEzE), (Οx1y1z1), (Οx2y2z2), (Οxyz) του σχ. 3.4 μπορούν να μετατραπούν σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα συντεταγμένων μέσω μητρώων (μητρώα περιστροφής), των οποίων τα στοιχεία είναι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών Euler. Η σχετική διαδικασία αναλύεται στο παράρτημα A.1. Σαν αποτέλεσμα, οι γωνιακές ταχύτητες P,Q,R στο σωματόδετο σύστημα αναφοράς, σχετίζονται με τις γωνιακές ταχύτητες των γωνιών Euler Φ,Θ, Ψ, με τις ακόλουθες σχέσεις: P = Φ Ψ sin Θ Q = Θ cos Φ + Ψ sin Φ cos Θ (3.1) R = Ψ cos Φ cos Θ Θ sin Φ Σε μητρωϊκή μορφή: P 1 0 sin Θ Φ [ Q] = [ 0 cos Φ sin Φ cos Θ] [ Θ ] (3.2) R 0 sin Φ cos Φ cos Θ Ψ Πρέπει να σημειωθεί ότι ο ορισμός των αξόνων γύρω από τους οποίους γίνεται η περιστροφή, η φορά της περιστροφής αλλά και η σειρά με την οποία γίνεται η περιστροφή έχει ιδιαίτερη σημασία επειδή μπορούν να οδηγήσουν σε διαφορετικό αποτέλεσμα. Σε γωνία θ = 90 η γωνία φ χάνει το νόημα της. Για να ξεπεραστεί αυτό το πρόβλημα σε εφαρμογές προσομοίωσης, όπου το αεροσκάφος πρέπει να είναι ικανό να εκτελέσει ένα πλήρη ελιγμό ανακύκλωσης, έχουν αναπτυχθεί μαθηματικές μέθοδοι που δίνουν αποδεκτές λύσεις. Σε αυτό το σημείο πρέπει να σημειωθεί ότι ο ρυθμός περιστροφής P (roll rate) ως προς το σωματόδετο σύστημα δεν ταυτίζεται με τον ρυθμό αλλαγής της κλίσης Φ. Ο ρυθμός πρόνευσης Q (pitch rate) ως προς το σωματόδετο σύστημα δεν ταυτίζεται με τον ρυθμό αλλαγής της γωνίας ανόδου-καθόδου Θ. Ο ρυθμός εκτροπής R (yaw rate) ως προς το προσδεμένο σύστημα δεν ταυτίζεται με τον ρυθμό αλλαγής της πορείας Ψ Οι Βασικές παραδοχές και Υποθέσεις Σε όλη τη διαδικασία της ανάλυσης που επιχειρείται στο παρόν σύγγραμμα και στα πλαίσια της τυπικής ανάλυσης της δυναμικής πτήσης που πραγματοποιείται, χρησιμοποιείται ένα βασικό σύνολο παραδοχών, όπως καταγράφονται στο [6], οι οποίες απλοποιούν πάρα πολύ τη διαδικασία ανάλυσης. Οι παραδοχές αυτές, προκύπτουν από το γεγονός ότι κάποια δεδομένα και καταστάσεις κατά την πτήση είναι αρκετά πολύπλοκα, ενώ παράλληλα η επίδραση τους στα αποτελέσματα της ανάλυσης, μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα χωρίς να βλάπτει τη γενικότητα των συμπερασμάτων που προκύπτουν από αυτή. Οι βασικές αυτές παραδοχές και υποθέσεις είναι οι εξής: Το αεροσκάφος πετά σε ακίνητη ατμόσφαιρα με σταθερές ιδιότητες. Η ταχύτητα του αεροσκάφους είναι σημαντικά μικρότερη της ταχύτητας του ήχου, έτσι ώστε ο αέρας να θεωρείται ασυμπίεστος και οι διαταραχές να διαδίδονται ακαριαία επάνω στο αεροσκάφος. Το αεροσκάφος δεν παραμορφώνεται ελαστικά υπό την επίδραση των φορτίων που του ασκούνται. Συμπεριφέρεται δηλαδή σαν άκαμπτο σώμα. Το αεροσκάφος έχει σταθερή μάζα. Το αεροσκάφος είναι συμμετρικό ως προς το επίπεδο Οxz.

8 Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι σταθερή. Οι επιταχύνσεις του αεροσκάφους λόγω της κίνησης του περί την καμπύλη επιφάνεια της γης που περιστρέφεται, είναι αμελητέες. Αυτές οι παραδοχές ακολουθούνται σε όλη την έκταση της ανάλυσης του συγγράμματος, εκτός αν αναφέρεται κάτι διαφορετικό σε ειδικές μεμονωμένες περιπτώσεις. Στην πραγματικότητα το αεροσκάφος είναι ένα ελαστικό σώμα το οποίο παραμορφώνεται υπό την επίδραση φορτίων. Η μάζα του ελαττώνεται εφόσον καίει καύσιμο κατά την πτήση. Το σχήμα 3.5 δείχνει την περίπτωση ενός αεροσκάφους (Blohm & Voss BV 141 B-0), όπου δεν ισχύει η υπόθεση της συμμετρικότητας. Επίσης, τα ατμοσφαιρικά χαρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με το υψόμετρο και τον χρόνο, ενώ τα διάφορα αέρια δεν βρίσκονται ποτέ σε απόλυτη ηρεμία. Σχήμα 3.5 Μη συμμετρικό αεροσκάφος Βlohm & Voss BV 141 B-0 Είναι όμως δυνατή η δημιουργία εύχρηστων και αποτελεσματικών μοντέλων δυναμικής της πτήσης, με ευρύτητα και γενικότητα για τις συνήθεις και τυπικές περιπτώσεις αεροσκαφών, συνθηκών πτήσης και χρονικής διάρκειας των υπό εξέταση δυναμικών φαινομένων με βάση τις παραπάνω παραδοχές. 3. Οι γενικές εξισώσεις κίνησης του στερεού συμμετρικού αεροσκάφους Οι εξισώσεις κίνησης προκύπτουν από την εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα για ένα στερεό σώμα, ακολουθώντας τη σημειολογία του [8]. H μορφή του νόμου αυτού στην περίπτωση των μετακινήσεων του σώματος λόγω της δράσης ενός πεδίου εξωτερικών δυνάμεων Fex είναι: d(mv) (3.3) ] = F dt ex I όπου m είναι η μάζα του σώματος και v το διάνυσμα της ταχύτητας του κέντρου βάρους του. Η σχέση (3.3) υποδηλώνει ουσιαστικά ότι οι εξωτερικές δυνάμεις εξισορροπούνται από τη μεταβολή της ορμής του σώματος. Ανάλογα, οι ασκούμενες εξωτερικές ροπές Tex στο σώμα εξισορροπούνται από τη μεταβολή της στροφορμής του: dh dt ] = T ex (3.4) I Στις παραπάνω εξισώσεις, ο ρυθμός μεταβολής ενός διανύσματος b λαμβάνεται στο αδρανειακό (χωρόδετο) σύστημα αναφοράς και περιλαμβάνει δύο επί μέρους συμβολές:

9 db dt ] = db I dt ] + ω b (3.5) B Η πρώτη συμβολή περιλαμβάνει το ρυθμό μεταβολής του b στο σωματόδετο σύστημα αξόνων και η δεύτερη περιλαμβάνει τη μεταβολή του b λόγω περιστροφής του συστήματος συντεταγμένων B με γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το αδρανειακό σύστημα Ι. To σύμβολο υποδηλώνει το εξωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων. Στην περίπτωση ενός στερεού συμμετρικού αεροσκάφους, η γραμμική και γωνιακή ταχύτητα του κέντρου βάρους του, καθώς και τα διανύσματα των εξωτερικών δυνάμεων και ροπών είναι αντίστοιχα: V = V T = [U, V, W] T (3.6) ω = Ω = [P, Q, R] T (3.7) F ex = [X, Y, Z] T (3.8) T ex = [L, M, N] T (3.9) Οι ροπές αδράνειας του αεροσκάφους ορίζονται ως: I x = I xx = (y 2 + z 2 (3.10) )dm I y = I yy = (x 2 + z 2 )dm I z = I zz = (y 2 + x 2 )dm I xy = ( xy )dm I xz = ( xz )dm (3.11) (3.12) (3.13) (3.14) I yz = ( yz )dm (3.15) Παρατηρώντας ότι τα περισσότερα αεροσκάφη είναι συμμετρικά ως προς το επίπεδο Οxz και ότι η μάζα τους είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη, ισχύει για τις ροπές αδράνειας ότι: Ι xy = I yz = 0 (3.16) Το σχήμα 3.5 δείχνει ως μία από τις ελάχιστες εξαιρέσεις αυτού του κανόνα την περίπτωση ενός αεροσκάφους (Blohm & Voss BV 141 B-0), όπου δεν ισχύει η υπόθεση της συμμετρικότητας ως προς το επίπεδο Οxz. Αντιθέτως, οι περισσότεροι πύραυλοι έχουν δύο επίπεδα συμμετρίας, το Οxz και το Οxy, οπότε ισχύει επιπλέον ότι Ixz = 0. Στην περίπτωση αυτή, η στροφορμή Η του αεροσκάφους προσδιορίζεται από το μητρώο (τελεστή) των ροπών αδράνειας και τη γωνιακή ταχύτητα ως: H x I x 0 I xz P PI x RI xz H = [ H y ] = [ 0 I y 0 ] [ Q] = [ QI y ] (3.17) H z I xz 0 I z R PI xz + RI z Οι ρυθμοί μεταβολής της ταχύτητας και της στροφορμής στο σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων B είναι αντίστοιχα: dv T U dt ] = [ V ] (3.18) B W H dh ẋ I x 0 I xz P P I x R I xz dt ] = [ H ẏ ] = [ 0 I y 0 ] [ Q ] = [ Q I y ] (3.19) B I xz 0 I z R P I xz + R I z H z Οι μεταβολές της ταχύτητας και της στροφορμής λόγω περιστροφής του σωματόδετου συστήματος συντεταγμένων B είναι αντίστοιχα:

10 0 R Q U RV + QW ω V T = [ R 0 P] [ V ] = [ PW + RU] (3.20) Q P 0 W QU + PV 0 R Q PI x RI xz ω H = [ R 0 P] [ QI y ] Q P 0 PI xz + RI z PQI xz + RQ( I z I y ) (3.21) = [ PR( I x I z ) + (P 2 R 2 )I xz ] QRI xz + PQ( I y I x ) Οι εξωτερικές δυνάμεις και ροπές, που εμφανίζονται στις σχέσεις (3.8),(3.9) είναι ένα άθροισμα συνιστωσών και σύμφωνα με την προσέγγιση του Bryan (1911), όπως αναφέρεται στο [3], εκφράζονται ως ακολούθως: X = X a + X g + X c + X p + X d Y = Y a + Y g + Y c + Y p + Y d Z = Z a + Z g + Z c + Z p + Z d L = L a + L g + L c + L p + L d M = M a + M g + M c + M p + M d (3.22) N = N a + N g + N c + N p + N d όπου οι δείκτες συμβολίζουν: a: αεροδυναμικές δυνάμεις, p: δυνάμεις λόγω εφαρμογής της ισχύος (ώθησης), c: δυνάμεις που προκύπτουν από την κίνηση των πηδαλίων, g: δυνάμεις βαρύτητας, d: δυνάμεις λόγω των ατμοσφαιρικών αναταράξεων. Η παραπάνω προσέγγιση, αν και περιορισμένης εμβελείας, δίνει κατά πρώτον πολύ καλά αποτελέσματα για τα κλασσικά αεροσκάφη και κατά δεύτερον, προσφέρει μια ξεκάθαρη εικόνα για τους φυσικούς παράγοντες που επηρεάζουν τη δυναμική συμπεριφορά του αεροσκάφους. Τότε οι εξισώσεις (3.3),(3.4) γίνονται: Χ = m(u RV + QW) = X a + X g + X c + X p + X d Y = m(v PW + RU) = Y a + Y g + Y c + Y p + Y d Z = m(w qu + pv) = Z a + Z g + Z c + Z p + Z d L = I x P I xz R I xz PQ + (I z I y )RQ = L a + L g + L c + L p + L d (3.23) M = I y Q + (I x I z )PR + I xz (P 2 R 2 ) = M a + M g + M c + M p + M d N = I z R I xz P + (I y I x )PQ + I xz QR = N a + N g + N c + N p + N d Η δύναμη του βάρους Fg = mg, που επιδρά στο αεροσκάφος αναλύεται σε κάθε έναν από τους τρεις σωματόδετους άξονες. Σύμφωνα με την ανάλυση του Παραρτήματος (Euler), η ανάλυση αυτή οδηγεί στο εξής αποτέλεσμα: X g mg sin Θ [ Y g ] = [ mg cos Θ sin Φ] (3.24) Z g mg cos Θ cos Φ Επειδή η αρχή του σωματόδετου συστήματος ταυτίζεται με το κέντρο βάρους, δεν υφίσταται ροπή λόγω κάποιας συνιστώσας του βάρους, ως προς οποιονδήποτε άξονα. Επομένως: L g = M g = N g = 0 (3.25) Οι εξισώσεις (3.23) ονομάζονται γενικευμένες εξισώσεις κίνησης του αεροσκάφους, παρόλο που για την παρουσίαση τους έχουν χρησιμοποιηθεί αρκετές

11 παραδοχές. Οι μη γραμμικές εξισώσεις (3.23) σχηματίζουν ένα σύστημα έξι διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την κίνηση ενός αεροσκάφους με τις U,V,W,P,Q,R ως εξαρτημένες μεταβλητές. Ο χρόνος είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή. Η λύση των εξισώσεων (3.23) δεν είναι δυνατή αναλυτικά. Οι λόγοι για αυτό είναι οι ακόλουθοι: Τα δεξιά μέλη των έξι εξισώσεων (3.23) μεταβάλλονται με τον χρόνο και με τη μεταβολή των εξαρτημένων μεταβλητών U,V,W,P,Q,R. Αυτές οι αλληλεξαρτήσεις θα διερευνηθούν σε μεταγενέστερο στάδιο. Οι συνιστώσες των δυνάμεων λόγω της βαρύτητας στις σχέσεις (3.24) εξαρτώνται από τoν προσανατολισμό του αεροσκάφους σε σχέση με το γήινο σύστημα αξόνων. Αυτό θα εξεταστεί σε επόμενη παράγραφο. 4. Γραμμικοποίηση των εξισώσεων κίνησης Η δυσκολία χειρισμού και επίλυσης των εξισώσεων (3.23) καθιστά απαραίτητη τη γραμμικοποίηση τους, ώστε γίνει ευχερέστερη και ταχύτερη η ανάλυση της δυναμικής συμπεριφοράς του αεροσκάφους. 4.1 Σταθερή (μόνιμη) κατάσταση και κατάσταση διαταραχής (perturbed) Το αεροσκάφος θεωρείται αρχικά ότι βρίσκεται σε κατάσταση μόνιμης αντισταθμισμένης και ευθύγραμμης συμμετρικής πτήσης, (όχι κατ ανάγκη οριζόντιας), χωρίς κλίση, εκτροπή ή πλαγιολίσθηση. Για τον χαρακτηρισμό των μεταβλητών στη μόνιμη αντισταθμισμένη κατάσταση πτήσης χρησιμοποιείται ο δείκτης e (equilibrium). Πρέπει να σημειωθεί ότι σε κάποιες περιπτώσεις μπορεί τα δεδομένα που δίνονται για ένα αεροσκάφος να έχουν δείκτες 0 ή 1 για τα αντίστοιχα μεγέθη της μόνιμης κατάστασης, όπως συμβαίνει στα [5], [9], ενώ ο δείκτης 0 μπορεί επίσης, να αναφέρεται σε κατάσταση μηδενικής γωνίας πρόσπτωσης όταν συνοδεύει αεροδυναμικούς συντελεστές. Οι τιμές των κινηματικών μεγεθών του αεροσκάφους στην κατάσταση αντισταθμισμένης πτήσης φαίνονται στον πίνακα 3.1: Γραμμικές ταχύτητες Γωνιακές ταχύτητες Γωνίες Αντισταθμισμένη ισορροπία Κατάσταση διαταραχής U e V e=0 W e=0 U=U e+u V=v W=w U = u V = v W = w P e=0 Q e=0 R e=0 P=p Q=q R=r P = p Q = q R = r Θ e Φ e Ψ e Θ=Θ e+θ Φ=φ Ψ=ψ Θ = θ Φ = φ Ψ = ψ Πίνακας 3.1 Συμβολισμός και τιμές κινηματικών μεγεθών του αεροσκάφους στην αρχική αντισταθμισμένη κατάσταση και στην κατάσταση διαταραχής Οι τιμές των γωνιακών ταχυτήτων Pe, Qe, Re είναι μηδενικές, επειδή το αεροσκάφος βρίσκεται σε ευθύγραμμη (οριζόντια) πτήση. Λόγω της σχέσης (3.2), οι χρονικές παράγωγοι Φ e, Θ e, Ψ e των γωνιών Euler είναι επίσης μηδενικές. Λόγω της συμμετρικής πτήσης χωρίς κλίση, εκτροπή ή πλαγιολίσθηση, ισχύει ότι: β e = V e = 0 (3.26) Φ e = Ψ e = 0 (3.27) Επειδή η αρχική κατάσταση του αεροσκάφους είναι σταθερή, οι γωνιακές επιταχύνσεις των κινηματικών μεγεθών είναι επίσης μηδενικές: U e = V e = W e = P e = (Q e = R e) = Φ e = Θ e = Ψ e = 0 (3.28) Tέλος, θεωρώντας ότι ο άξονας Οxe του αεροσκάφους είναι στην κατεύθυνση της ταχύτητας του αεροσκάφους (χρησιμοποιώντας δηλαδή σωματόδετο σύστημα

12 αξόνων ευστάθειας ή ανέμου), ισχύει επίσης, ότι We = 0, όπως φαίνεται και στο σχ Με τον όρο «κατάσταση διαταραχής» εννοείται η κατάσταση πτήσης κατά την οποία το αεροσκάφος απομακρύνεται από την κατάσταση αντισταθμισμένης ισορροπίας, είτε λόγω κάποιας ενέργειας του πιλότου, είτε λόγω ατμοσφαιρικών αναταράξεων, είτε για οποιοδήποτε άλλο φυσικό ή τεχνικό αίτιο. Όπως αναλύθηκε στο κεφάλαιο 2, εφόσον το αεροσκάφος είναι στατικά και δυναμικά ευσταθές, η κατάσταση διαταραχής θα αποσβεστεί μετά από κάποιο χρονικό διάστημα και το αεροσκάφος θα επιστρέψει στην κατάσταση αντιστάθμισης. Στον πίνακα 3.1 φαίνονται οι τιμές των κινηματικών μεγεθών του αεροσκάφους μετά τη διαταραχή. Το μέγεθος των μεταβολών (διαταραχών) u, v, w, p, q, r των κινηματικών μεγεθών του αεροσκάφους στα πλαίσια της γραμμικής θεώρησης της δυναμικής πτήσης θεωρείται μικρό, έτσι ώστε να ισχύουν οι βασικές αρχές της θεωρίας μικρών διαταραχών. Σχήμα 3.6: Άξονες και κινηματικά μεγέθη του αεροσκάφους στο κατακόρυφο επίπεδο σε κατάσταση αντισταθμισμένης ισορροπίας και σε κατάσταση διαταραχής. Κατά την κατάσταση διαταραχής μεταβάλλονται όχι μόνο τα κινηματικά μεγέθη του αεροσκάφους, αλλά και ο προσανατολισμός του σωματόδετου συστήματος συντεταγμένων λόγω αλλαγής της θέσης του αεροσκάφους, όπως φαίνεται στο σχ Έτσι, μετά τη διαταραχή η νέα ταχύτητα του αεροσκάφους βρίσκεται στον νέο «διαταραγμένο» άξονα xw. Από το σχ. 3.6 προκύπτουν οι εξής σχέσεις μεταξύ των εικονιζόμενων γωνιών: Διαταραχή α της γωνίας πρόσπτωσης: w α = arctan U e + u w (α σε rad) (3.29) U e επειδή για μικρές γωνίες α σε rad ισχύει tan(α) = sin(α) = α. Γωνία πρόνευσης: Θ = Θ e + θ (3.30)

13 Γωνία ίχνους πτήσης στην αντιστάθμιση: γ e = Θ e (3.31) Γωνία ίχνους πτήσης: γ = Θ α (3.32) ή γ = θ α (3.33) για οριζόντια αντισταθμισμένη πτήση (Θe=0). 4.2 Γραμμικοποίηση των κινηματικών και των αδρανειακών όρων Η αντικατάσταση στην εξίσωση (3.23) των κινηματικών μεγεθών μετά τη διαταραχή, όπως αυτά ορίζονται στον πίνακα 3.1, οδηγεί στη σχέση: X = mu = X a + X g + X c + X p Y = m(v + r U e ) = Y a + Y g + Y c + Y p Z = m(w q U e ) = Z a + Z g + Z c + Z p L = I x p I xz r = L a + L g + L c + L p M = I y q = M a + M g + M c + M p (3.34) N = I z r I xz p = N a + N g + N c + N p Οι απλοποιημένες εκφράσεις για τους αδρανειακούς όρους προέκυψαν επειδή η υπόθεση των μικρών διαταραχών ορίζει ότι οι ποσότητες (u, v, w) και οι (p, q, r) είναι μικρές, ώστε, μετά την εκτέλεση των πράξεων, οι όροι που περιέχουν γινόμενα και τετράγωνα των ποσοτήτων αυτών -οι οποίοι είναι και μη γραμμικοί- αποτελούν ποσότητες δεύτερης τάξης μεγέθους και μπορούν να αμεληθούν στους υπολογισμούς. Με βάση την ίδια υπόθεση, και θεωρώντας επιπλέον ότι για μικρές γωνίες διαταραχών ισχύει επίσης, ότι cos(δ) 1, sin(δ)=δ (δ σε rad) οι σχέσεις (3.2) για τις διαταραχές των γωνιακών ταχυτήτων γράφονται: p = φ ψ sin Θ e q = Θ (3.35) r = ψ cos Θ e Όταν η πτήση του αεροσκάφους είναι οριζόντια ή πολύ κοντά σε αυτή (οι γωνίες ανόδου και καθόδου των συμβατικών αεροσκαφών είναι πολύ μικρές), οι εξισώσεις (3.35) μπορούν να προσεγγιστούν από τις σχέσεις : p = φ, q = θ, r = ψ (3.36) 4.3. Γραμμικοποίηση των αεροδυναμικών όρων Για να περιγραφούν με σαφήνεια οι αεροδυναμικές μεταβολές που συμβαίνουν στο αεροσκάφος κατά την εφαρμογή της διαταραχής, απαιτείται η εύρεση μιας κατάλληλης μεθόδου η οποία θα λαμβάνει υπόψη όλες ή τουλάχιστον τις περισσότερες από τις αλληλεπιδράσεις της κίνησης. Η μέθοδος που χρησιμοποιείται εδώ είναι αυτή που εισάχθηκε πρώτα από τον Bryan (1911). Η μέθοδος αυτή έχει περιορισμένη εμβέλεια ενώ δίνει πολύ καλά αποτελέσματα στα κλασσικά αεροσκάφη, καθώς και εκεί όπου η διαταραγμένη κίνηση είναι μικρού εύρους. Η συνηθισμένη διαδικασία στηρίζεται στην υπόθεση ότι οι όροι των αεροδυναμικών δυνάμεων και ροπών στις εξισώσεις (3.23) εξαρτώνται μόνο από τις μεταβλητές κίνησης και από τις παραγώγους αυτών. Αυτή η πρόταση εκφράζεται μαθηματικά με ένα άθροισμα από σειρές Taylor με κάθε σειρά να περιλαμβάνει μία μεταβλητή κίνησης ή την παράγωγο μίας μεταβλητής κίνησης. Από τη στιγμή που ως μεταβλητές κίνησης ορίστηκαν οι (u, v, w) και (p, q, r), ενδεικτικά ο αεροδυναμικός όρος Χa στην εξίσωση της αξονικής δύναμης θα γραφτεί ως εξής:

14 Χ a = Χ ae + X X u + HODT(u) + u v v + HODT(v) + X X w + HODT(w) + w p p + HODT(p) + X X q + HODT(q) + q r r + HODT(r) u + HODT(u ) + X + X u (3.37) v + HODT(v ) v +σειρές με όρους w, p, q, r +σειρές με όρους παραγώγων μεγαλύτερης τάξης Η ποσότητα Xae είναι σταθερός όρος και περιγράφει τις αεροδυναμικές δυνάμεις στη μόνιμη αντισταθμισμένη κατάσταση πτήσης. Η ποσότητα ΗΟΤD περιγράφει όρους με παραγώγους ανώτερης τάξης. Καθώς οι μεταβλητές κίνησης είναι μικρές ποσότητες, μόνο οι πρώτοι όροι σε κάθε μια από τις πιο πάνω σειρές θα έχουν σημαντικό μέγεθος. Οι μόνες αξιοσημείωτες σειρές που περιλαμβάνουν παραγώγους μεγαλύτερης τάξης και που συχνά λαμβάνονται υπόψη, είναι αυτές της ποσότητας w [3]. Έτσι, η πιο πάνω εξίσωση μπορεί να καταλήξει στην: Χ a = Χ ae + X a u u + X a v v + X a w w + X a p p + X a q q + X a r r + X a w (3.38) w ή με εναλλακτικό συμβολισμό : Χ a = Χ ae + X uu + X vv + X ww + X pp + X qq + X rr + X w w (3.39) Με παρόμοιο τρόπο προκύπτουν και οι υπόλοιποι αεροδυναμικοί όροι (Ya, Za, La, Ma,Na) στην (3.22). Έτσι, για παράδειγμα, ο αεροδυναμικός όρος για την εξίσωση της ροπής περιστροφής προκύπτει: L a = L ae + L uu + L vv + L ww + L pp + L qq + L rr + L w w (3.40) Οι όροι X u = X, u X v = X, v X w = X κλπ, ονομάζονται «αεροδυναμικές w παράγωγοι ευστάθειας» οι θα αναλυθούν εκτεταμένα στο Κεφ. 6. Το σύμβολο «~» (περισπωμένη), δηλώνει ότι πρόκειται για διαστατές μεταβλητές. Για παράδειγμα, η παράγωγος X u έχει μονάδες μέτρησης δύναμης προς ταχύτητας, δηλαδή: N m/sec2 1 ft/sec2 = kg (= kg ) slug m/sec m/sec sec ft/sec Όμοια για κάθε μια από τις παραγώγους ευστάθειας προκύπτουν εύκολα οι μονάδες της. Ο σκοπός που γίνεται ο διαχωρισμός με την περισπωμένη «~», είναι διότι, όπως θα φανεί στη συνέχεια, υφίστανται διάφορες παραλλαγές των ορισμών των παραγώγων ευστάθειας (αδιάστατες, βορειοαμερικανική σημειολογία, συντετμημένες κ.ά.) Οι γραμμικές συνιστώσες της βαρυτικής δύναμης Στην κατάσταση της μόνιμης αντισταθμισμένης πτήσης, το αεροσκάφος πετά με τις πτέρυγες οριζόντιες (Φe=0) στην αρχική συμμετρική κατάσταση πτήσης, οπότε οι συνιστώσες του βάρους εμφανίζονται μόνο στο επίπεδο συμμετρίας όπως φαίνεται στο σχήμα 3.7. Έτσι, στη μόνιμη κατάσταση οι συνιστώσες του βάρους προκύπτουν από τη σχέση (3.24) ως: X ge mgsinθ e [ Y ge ] = [ Z ge 0 mgcosθ e ] (3.41)

15 Οι διαταραχές των δυνάμεων της βαρύτητας υπολογίζονται με τον ίδιο τρόπο που χρησιμοποιήθηκε στις αδρανειακές δυνάμεις, εάν γραμμικοποιηθούν και οι βαρυτικές δυνάμεις. Με βάση τη σχέση (3.24) π.χ., προκύπτει ότι: Z g = Z ge + Z g θ θ + Z g φ φ + (3.42) = Z ge mgθsinθ e cos φ mgφ cos Θ e sinφ Θεωρώντας ότι οι διαταραχές θ, φ είναι μικρές, η σχέση (3.41) οδηγεί: Z g = Z ge mgθ sin Θ e mgφ 2 = Z ge mgθ sin Θ e (3.43) Επομένως, στις εξισώσεις κίνησης των μικρών διαταραχών οι συνιστώσες της δύναμης της βαρύτητας θα δίνονται ως: X g mg sin Θ e mgθ cos Θ e [ Y g ] = [ mgψ sin Θ e + mgφ cos Θ e ] (3.44) Z g mg cos Θ e mgθ sin Θ e Επιπλέον, επειδή η αρχή του σωματόδετου συστήματος ταυτίζεται με το κέντρο βάρους, δεν υφίσταται ροπή λόγω κάποιας συνιστώσας του βάρους, ως προς οποιονδήποτε άξονα. Επομένως, εξακολουθεί να ισχύει η σχέση (3.25): L g = M g = N g = 0 Σχήμα 3.7 Συνιστώσες βαρυτικής δύναμης στη μόνιμη κατάσταση αντισταθμισμένης πτήσης και μετά τη διαταραχή 4.5. Οι γραμμικοί όροι του αεροδυναμικού ελέγχου Στο αεροσκάφος, ο αεροδυναμικός έλεγχος πραγματοποιείται από το πηδάλιο ανόδουκαθόδου, τα πηδάλια κλίσης και το πηδάλιο εκτροπής. Καθώς οι δυνάμεις και οι ροπές που δημιουργούνται από τις αποκλίσεις των πηδαλίων προκαλούνται ουσιαστικά από τις μεταβολές στις αεροδυναμικές συνθήκες, είναι σύνηθες να περιγράφονται ποσοτικά τα αποτελέσματα των αποκλίσεων αυτών συναρτήσει των παραγώγων ευστάθειας του αεροδυναμικού ελέγχου. Έτσι, οι υποθέσεις που εφαρμόζονται στους αεροδυναμικούς όρους εφαρμόζονται επίσης και στους όρους αεροδυναμικού ελέγχου. Για παράδειγμα η ροπή πρόνευσης λόγω του αεροδυναμικού ελέγχου προκύπτει : M c = M ce + M δ δ a + M δ a δ e + M δ e δ r (3.45) r Στην προηγούμενη εξίσωση οι γωνίες των πηδαλίων κλίσης, ανόδου-καθόδου και διεύθυνσης συμβολίζονται με δ a, δ e και δ r αντίστοιχα. Επειδή η εξίσωση αυτή περιγράφει τις επιδράσεις των αεροδυναμικών επιφανειών ελέγχου σε σχέση με τις

16 ισχύουσες συνθήκες ισορροπίας-αντιστάθμισης, θα πρέπει να επισημανθεί ότι οι γωνίες ελέγχου δ a, δ e και δ r, μετρούνται σχετικά με τις γωνίες αντιστάθμισης (ισορροπίας) δ a trim, δ etrim, δ αντίστοιχα. Η σχετική ανάλυση παρατίθεται στο rtrim υποκεφάλαιο 3.2 του κεφαλαίου 2. Χρησιμοποιώντας τη σημειογραφία της προηγούμενης παραγράφου προκύπτει για τη ροπή Μc: M c = M ce + M δa δ a + M δe δ e + M δr δ r (3.46) όπου Mce, είναι η σταθερή ροπή που απαιτείται από τις αεροδυναμικές επιφάνειες ελέγχου για αντιστάθμιση. Με τον ίδιο τρόπο μπορούν να προκύψουν και οι ανάλογοι αεροδυναμικοί όροι στις υπόλοιπες εξισώσεις κίνησης. Εφόσον είναι επιθυμητή η μελέτη της απόκρισης του αεροσκάφους σε σχέση με άλλες αεροδυναμικές επιφάνειες ελέγχου, όπως για παράδειγμα flaps, spoilers, slats κτλ., θα πρέπει να προστεθούν ανάλογοι όροι, τόσο στην προηγούμενη εξίσωση όσο και στις υπόλοιπες εξισώσεις κίνησης Οι γραμμικοί όροι ισχύος (ώσης) Η ισχύς και επομένως η ώση Τ, ελέγχεται από τη γωνία του μοχλού ελέγχου της ισχύος δ p (μανέτα). Η κίνηση της μανέτας προκαλεί μια αλλαγή στην ώση η οποία με τη σειρά της προκαλεί μεταβολές στις συνιστώσες των δυνάμεων και των ροπών που επενεργούν στο αεροσκάφος. Όπως ισχύει και για τον αεροδυναμικό έλεγχο, οι μεταβολές στην ισχύ περιγράφονται σε σχέση με την κατάσταση αντιστάθμισης δηλαδή ο όρος τ περιγράφει τη διαταραχή της ώσης από την κατάσταση ισορροπίας Τe. T(s) T = T e + τ και δ p (s) = k τ (3.47) 1 + st τ Τα φαινόμενα αυτά περιγράφονται σε σχέση με τις παραγώγους ευστάθειας της ώσης του κινητήρα. Έτσι, για παράδειγμα η οριζόντια δύναμη λόγω της ώσης μπορεί να εκφραστεί ως: X δp = X pe + X δp δ p (3.48) όπου Xpe είναι η σταθερή ώθηση του κινητήρα που απαιτείται κατά τη μόνιμη κατάσταση Οι ατμοσφαιρικές αναταράξεις Υποθέτοντας σταθερή ατμοσφαιρική κατάσταση στα πλαίσια του παρόντος συγγράμματος, οι δυνάμεις λόγω ατμοσφαιρικών αναταράξεων είναι αμελητέες: X d = Y d = Z d = L d = M d = N d = 0 (3.49) 4.8. Εξίσωση ισορροπίας στη μόνιμη κατάσταση αντιστάθμισης Κατά τη μόνιμη αντισταθμισμένη πτήση όλες οι μεταβλητές της διαταραχής, καθώς και οι αντίστοιχες παράγωγοι τους είναι εξ ορισμού μηδενικές. Έτσι, στη μόνιμη κατάσταση, οι εξισώσεις (3.33) γίνονται: Χ ae mgsinθ e + Χ ce + Χ pe = 0 Y ae + Y ce + Χ pe = 0 Z ae + mgcosθ e + Z ce + Z pe = 0 (3.50) L ae + L ce + L pe = 0 M ae + M ce + M pe = 0 N ae + N ce + N pe = 0

17 Οι εξισώσεις (3.50) είναι ουσιαστικά οι εξισώσεις στατικής ισορροπίας του αεροσκάφους, διάφορες μορφές της οποίας περιγράφηκαν στο υποκεφάλαιο 1.2. του κεφαλαίου Οι εξισώσεις κίνησης για μικρές διαταραχές Με την αντικατάσταση των εκφράσεων των αεροδυναμικών όρων, των όρων της βαρύτητας, των όρων της ισχύος και τέλος των όρων του αεροδυναμικού ελέγχου στις εξισώσεις (3.33) και λαμβάνοντας υπόψη ότι οι μόνιμοι όροι των δυνάμεων και ροπών που εμφανίζονται λόγω αντιστάθμισης εξισορροπούνται λόγω της (3.50), προκύπτουν οι εξισώσεις: mu X uu X vv X ww X pp (X q mw e )q X rr X w w +mgθcosθ e = X δa δ a + X δe δ e + X δr δ r + X δp δ p mv Ỹ u u Ỹ v v Ỹ w w (Ỹ p + mw e )p Ỹ q q (Ỹ r mu e )r Ỹ w w mgψsinθ e + mgφcosθ e = Ỹ δa δ a + Ỹ δe δ e + Ỹ δr δ r + Ỹ δp δ p Z uu Z vv Z ww Z pp (Z q + mu e )q Z rr + (m Z w )w +mgθsinθ e = Z δa δ a + Z δe δ e + Z δr δ r + Z δp δ p I x p I xz r L uu L vv L ww L pp L qq L rr L w w (3.51) = L δa δ a + L δe δ e + L δr δ r + L δp δ p I y q M uu M vv M ww M pp M qq M rr M w w = M δa δ a + M δe δ e + M δr δ r + M δp δ p I z r I xz p Ñ u u Ñ v v Ñ w w Ñ p p Ñ q q Ñ r r Ñ w w = Ñ δa δ a + Ñ δe δ e + Ñ δr δ r + Ñ δp δ p Οι εξισώσεις (3.51) ονομάζονται εξισώσεις μικρών διαταραχών της κίνησης του αεροσκάφους. Σε αντίθεση με τις μη γραμμικές εξισώσεις (3.23), οι εξισώσεις (3.51) είναι γραμμικές εξισώσεις και σχηματίζουν ένα σύστημα έξι διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την κίνηση ενός αεροσκάφους με τις u, v, w, p, q, r ως εξαρτημένες μεταβλητές. Ο χρόνος είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή. Η λύση των εξισώσεων (3.51) είναι πλέον δυνατή ακόμη και αναλυτικά. Η συνοπτική παρουσίαση για τις μεθόδους επίλυσης των εξισώσεων αυτών υπάρχει στο παράρτημα Β. Η κατανόηση των μεθόδων και εννοιών όπως «συναρτήσεις μεταφοράς» και «χώρος κατάστασης», καθώς και των χαρακτηριστικών και ιδιοτήτων τους, είναι απαραίτητη στην ανάλυση που ακολουθεί στα επόμενα κεφάλαια. Με τη χρήση αυτών των μεθόδων καθίσταται ευχερέστερη και ταχύτερη η ανάλυση της δυναμικής συμπεριφοράς του αεροσκάφους, γεγονός το οποίο μπορεί να αξιοποιηθεί για τον καλύτερο και ταχύτερο σχεδιασμό τόσο του ίδιου του αεροσκάφους, όσο και των διαφόρων συστημάτων ελέγχου της πτήσης («αυτόματων πιλότων») αλλά και για τη βαθύτερη φυσική κατανόηση των εγγενών φυσικών φαινομένων που χαρακτηρίζουν τη δυναμική της πτήσης και προσδιορίζουν χαρακτηριστικά της όπως η ευκολία και ποιότητα χειρισμών. Για τη διατύπωση των εξισώσεων (3.51), το μέγεθος των μεταβολών (διαταραχών) u,v,w,p,q,r των κινηματικών μεγεθών του αεροσκάφους θεωρείται

18 μικρό, ενώ επίσης, έχουν χρησιμοποιηθεί αρκετές πρόσθετες παραδοχές. Όμως αφού τα επιβατικά αεροσκάφη ως γνωστόν πετούν προσφέροντας τη μέγιστη δυνατή άνεση στους επιβάτες τους, μπορεί να θεωρηθεί ότι τέτοιες πτήσεις είναι πράγματι πτήσεις μικρών διαταραχών. Από την άλλη πλευρά, ακόμη και όταν πρόκειται για αεροσκάφη ειδικών αποστολών, επειδή συνήθως οι πτήσεις τους πρέπει επίσης να πραγματοποιούνται κάτω από συνθήκες μικρών διαταραχών (για παράδειγμα η άφεση φορτίων με ακρίβεια απαιτεί τέτοιες συνθήκες πτήσεως) η υπόθεση των μικρών διαταραχών δεν απέχει πολύ σε σχέση με το ότι ισχύει στην πραγματικότητα. Εξαίρεση στα παραπάνω αποτελούν οι πτήσεις αεροσκαφών οι οποίες πραγματοποιούνται ηθελημένα στα όρια του φακέλου πτήσης τους, καθώς και οι πτήσεις αεροσκαφών διαμέσου μεγάλων αναταράξεων. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η προσέγγιση μικρών διαταραχών ισχύει ουσιαστικά σε ατμόσφαιρα σταθερής πυκνότητας και κατά συνέπεια ύψους. Ο λόγος είναι το γεγονός ότι οι αεροδυναμικές δυνάμεις και ροπές είναι όλες ανάλογες της δυναμικής πίεσης. Καθώς οι διαταραχές περιλαμβάνουν και φάσεις ανόδου/καθόδου του αεροσκάφους με μεταβολή του ύψους, μεταβάλλεται αντίστοιχα η πυκνότητα του αέρα και συνεπώς αεροδυναμικές δυνάμεις και ροπές. Στην πραγματικότητα, οι μεταβολές της πυκνότητας δεν υπερβαίνουν το 5% μέσα στους χρόνους κατά τους οποίους εξελίσσονται τα φαινόμενα της δυναμικής πτήσης. Οι εξισώσεις (3.51) προβλέπουν μέσω των όρων εξωτερικών διεγέρσεων στο δεξί τους μέλος, ότι η αλλαγή κατάστασης της πτήσης του αεροσκάφους προέρχεται μόνο από ηθελημένη δράση του πιλότου -χειριστή ή «αυτόματου»- μέσω δράσης σε επιφάνεια αεροδυναμικού ελέγχου, ή μέσω μεταβολής ώθησης του κινητήρα. Παρά το γεγονός ότι οι ατμοσφαιρικές αναταράξεις αμελούνται στα πλαίσια του παρόντος συγγράμματος [σχέσεις (3.49)], οι εξισώσεις (3.51) παρέχουν το υπόβαθρο και για την ανάλυση μικρών ατμοσφαιρικών αναταράξεων, με την εισαγωγή πρόσθετων κατάλληλων όρων εξωτερικών διεγέρσεων στο δεξί μέλος των εξισώσεων (3.51), είτε ντετερμινιστικών, είτε στοχαστικών. 5. Οι αποσυζευγμένες (decoupled) εξισώσεις κίνησης Οι εξισώσεις των μικρών διαταραχών όπως διατυπώθηκαν μέχρι στιγμής στην εξίσωση (3.51) περιγράφουν την απόκριση του αεροσκάφους συναρτήσει των διαταραχών σε όλες τις κατευθύνσεις και περιστροφές περί όλους τους άξονες. Το σύστημα των έξι γραμμικών διαφορικών εξισώσεων έχει παρασταθεί με τον παραδοσιακό τρόπο, δηλαδή στο δεξιό μέρος περιλαμβάνονται οι διαταραχές εισόδου. Για τα περισσότερα αεροσκάφη όμως κατά τη μεταβατική κίνηση των μικρών διαταραχών όπως εδώ, η σύζευξη των διαμήκων-εγκάρσιων εξισώσεων είναι αμελητέα. Αξιοποιώντας το γεγονός αυτό, είναι δυνατή η αποσύζευξη του συστήματος (3.51) σε δύο επί μέρους συστήματα εξισώσεων, τα οποία αφορούν ξεχωριστά την κίνηση σε διάμηκες και εγκάρσιο επίπεδο, μέσω κάποιων πρόσθετων παραδοχών Οι διαμήκεις εξισώσεις κίνησης Η αποσυζευγμένη διαμήκης κίνηση νοείται ως η κίνηση του αεροσκάφους που προκύπτει ως απόκριση του αεροσκάφους σε μια διαταραχή που εφαρμόστηκε κατά το διάμηκες επίπεδο συμμετρίας Οxz. Η κίνηση αυτή επομένως περιγράφεται από τις εξισώσεις της αξονικής δύναμης X, της κάθετης δύναμης Z και της ροπής πρόνευσης M και μόνον από αυτές. Από τη στιγμή που δεν υπάρχει εγκάρσια κίνηση του αεροσκάφους, οι εγκάρσιες μεταβλητές κίνησης v, p, r, καθώς και οι παράγωγοι αυτών είναι μηδενικές.

19 Επίσης, η αποσυζευγμένη διαμήκης ή εγκάρσια κίνηση υποθέτει ότι οι αεροδυναμικές παράγωγοι σύζευξης είναι τόσο μικρές ώστε μπορούν να αγνοηθούν τελείως: X v = X p = X r = Z v = Z p = Z r = M v = M p = M r = 0 (3.52) Επειδή συνήθως οι αποκλίσεις των πηδαλίων κλίσεως και εκτροπής δεν προκαλούν κίνηση στο διάμηκες επίπεδο συμμετρίας οι πιο κάτω παράγωγοι του αεροδυναμικού ελέγχου μπορούν να θεωρηθούν επίσης μηδενικές : X δa = X δr = Z δa = Z δr = M δa = M δr = 0 (3.53) Επομένως οι αποσυζευγμένες εξισώσεις κίνησης προκύπτουν από την εξίσωση (3.51), διατηρώντας από αυτή, μόνο τις εξισώσεις για την αξονική δύναμη, την κάθετη δύναμη και τη ροπή πρόνευσης και εφαρμόζοντας στη συνέχεια τις σχέσεις (3.52) και (3.53): mu X uu X ww (X q mw e )q X w w + mgθcosθ e = X δe δ e + X δp δ p Z uu Z ww (Z q + mu e )q + (m Z w )w + mgθsinθ e (3.54) = Z δe δ e + Z δp δ p I y q M uu M ww M qq M w w = M δe δ e + M δp δ p Εάν υποτεθεί ότι το αεροσκάφος βρίσκεται σε οριζόντια πτήση (Θe = 0): mu X uu X ww X qq X w w + mgθ = X δe δ e + X δp δ p Z uu Z ww (Z q + mu e )q + (m Z w )w = Z δe δ e + Z δp δ p I y q M uu M ww M qq M w w = M δe δ e + M δp δ p (3.55) Περαιτέρω απλοποίηση των εξισώσεων αυτών μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνον για συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές των συντελεστών των πιο πάνω εξισώσεων, καθώς κάποιοι από αυτούς μπορεί να προκύψουν τόσο μικροί ώστε να μπορούν να αγνοηθούν. Οι αεροδυναμικές παράγωγοι ευστάθειας και ελέγχου μπορούν να αδιαστατοποιηθούν. Η χρησιμοποίηση τέτοιων αδιάστατων δεδομένων στις εξισώσεις (3.54) και (3.55), πραγματοποιείται εύκολα αφού όμως προηγουμένως τα δεδομένα αυτά μετατραπούν σε αδιάστατα. Όλοι οι σχετικοί ορισμοί-μετατροπές δίνονται στα Παραρτήματα Δ.1., Δ.2. Θα πρέπει να σημειωθεί, ότι συχνότατα στη βιβλιογραφία, η κατακόρυφη διαταραχή w της ταχύτητας αντικαθίσταται από τη διαταραχή α της γωνίας πρόσπτωσης μέσω της σχέσης (3.29) 5.2. Οι εγκάρσιες-διεύθυνσης εξισώσεις κίνησης Η αποσυζευγμένη εγκάρσια κίνηση και η ανάλογη κίνηση ως προς τη διεύθυνση περιλαμβάνει μόνο την κίνηση του αεροσκάφους ως προς την περιστροφή, την εκτροπή και την πλαγιολίσθηση. Η κίνηση αυτή περιγράφεται από τις εξισώσεις της πλάγιας δύναμης Y, της ροπής περιστροφής L και της ροπής εκτροπής Ν. Επειδή δεν υφίσταται διαμήκης κίνηση, οι διαμήκεις μεταβλητές κίνησης u, v, w, καθώς και οι αντίστοιχες παράγωγοί τους είναι μηδενικές. Επίσης, αποσυζευγμένη εγκάρσια κίνηση και κίνηση εκτροπής σημαίνει ότι οι αεροδυναμικές παράγωγοι σύζευξης είναι πολύ μικρές ώστε μπορούν να εξισωθούν με το μηδέν, δηλαδή: Ỹ u = Ỹ w = Ỹ w = Ỹ q = L u = L w = L w (3.56) = L q = Ñ u = Ñ w = Ñ w = Ñ q = 0

20 Με ανάλογο τρόπο επειδή η άτρακτος είναι συμμετρική, η απόκλιση του πηδαλίου ανόδου-καθόδου και οι μεταβολές της ώσης δεν προκαλούν εγκάρσια κίνηση ή ανάλογη κίνηση ως προς την εκτροπή, ενώ οι συζευγμένες αεροδυναμικές παράγωγοι ελέγχου, μπορούν επίσης να ληφθούν μηδενικές. Επομένως: Ỹ δe = Ỹ δp = L δe = L δp = Ñ δe = Ñ δp = 0 (3.57) Οι εξισώσεις της εγκάρσιας μη συμμετρικής κίνησης λαμβάνονται επομένως από την εξίσωση (3.51) εξάγοντας τις εξισώσεις της δύναμης, της ροπής περιστροφής και της ροπής εκτροπής και αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (3.56) και (3.57): mv Ỹ v v (Ỹ p + mw e )p (Ỹ r mu e )r mgψsinθ e +mgφcosθ e = Ỹ δa δ a + Ỹ δr δ r I x p I xz r L vv L pp L rr = L δa δ a + L δr δ r (3.58) I z r I xz p Ñ v v Ñ p p Ñ r r = Ñ δa δ a + Ñ δr δ r Για οριζόντια πτήση ισχύει: mv Ỹ v v Ỹ p p (Ỹ r mu e )r + mgφ = Ỹ δa δ a + Ỹ δr δ r I x p I xz r L vv L pp L rr = L δa δ a + L δr δ r (3.59) I z r I xz p Ñ v v Ñ p p Ñ r r = Ñ δa δ a + Ñ δr δ r Όπως και στην περίπτωση των διαμήκων εξισώσεων επιπλέον απλοποίηση μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνον για συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές των συντελεστών, καθώς κάποιοι από αυτούς μπορεί να προκύψουν τόσο μικροί ώστε να μπορούν να απαλειφθούν. Φυσικά όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως οι αεροδυναμικές παράγωγοι ευστάθειας και ελέγχου μπορούν να αδιαστατοποιηθούν. Όλοι οι σχετικοί ορισμοί-μετατροπές δίνονται στο παράρτημα Δ.3. Βιβλιογραφία/Αναφορές [3] Michael V. Cook, Flight Dynamics Principles - A Linear Systems Approach to Aircraft Stability and Control, 2nd ed. Oxford, UK: Elsevier Ltd, [5] Robert C. Nelson, Flight Stability and Automatic Control, 2nd ed. Singapore: WCB/McGraw-Hill, [6] Bernard Etkin & Lloyd D. Reid, Dynamics of Flight: Stability and Control, 3rd ed. Toronto, Canada: John Wiley & Sons, Inc., [7] Donald McLean, Automatic Flight Control Systems. Hertfordshire, UK: Prentice Hall International (UK) Ltd, [8] John H. Blakelock, Automatic Control of Aircraft and Missiles, 2nd ed. New York, NY, USA: John Wiley & Sons, Inc., [9] Duane T. McRuer, Dunstan Graham, & Irving Ashkenas, Aircraft Dynamics and Automatic Control. Princeton, NJ, USA: Princeton Legacy Library, 1974.

21 Παράδειγμα - Εφαρμογή Παράδειγμα 3.1 Θεωρείται αεροσκάφος το οποίο βρίσκεται σε ευθύγραμμη, οριζόντια, συμμετρική και μόνιμη αντισταθμισμένη πτήση με ταχύτητα Ue σε ύψος Ηe. Η κατακόρυφη συμπεριφορά του αεροσκάφους στη μόνιμη αντισταθμισμένη κατάσταση πτήσης μπορεί να προσεγγισθεί από την εξίσωση ισορροπίας της άνωσης με το βάρος: Ζ ae = 1 2 ρsc LU e 2 = mg (Π3.1) Λόγω εξωτερικής διέγερσης, (π.χ. κλίσης του πηδαλίου ανόδου καθόδου), η πορεία του αεροσκάφους διαταράσσεται. Η κατακόρυφη συμπεριφορά του αεροσκάφους στις διαταραχές προσεγγίζεται από τη σχέση: mh = Z hh + Z δe δ e (Π3.2) H σχέση (Π3.2) μπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (3.55) θεωρώντας ότι η διαταραχή της κατακόρυφης ταχύτητας w είναι ίση με τον ρυθμό μεταβολής της διαταραχής h του ύψους πτήσης (w=dh/dt), o ρυθμός πρόνευσης q είναι πολύ αργός και ότι όροι σύζευξης με τις υπόλοιπες κινήσεις του αεροσκάφους είναι πολύ μικροί. Ο όρος Z h προκύπτει από την κατακόρυφη αεροδυναμική δύναμη (άνωση) με τη σχέση: Z h = Z a h = Z a U U h = U ( 1 2 ρsc LU 2 ) U h = (ρsc LU) U (Π3.3) h όπου U είναι το μέτρο της ταχύτητας του αεροσκάφους μετά τη διαταραχή. H ποσότητα (ρscl) προκύπτει από την εξίσωση (Π3.1) ως: (ρsc L ) 2 = 2mg/U e (Π3.4) Θεωρώντας ότι κατά τη διαταραχή της πτήσης η συνολική ενέργεια του αεροσκάφους διατηρείται: 1 2 mu2 1 2 mu e 2 = mgh (Π3.5) Παραγωγίζοντας τη σχέση (Π3.5) ως προς h, προκύπτει: U U h = g (Π3.6) Αντικαθιστώντας τις (Π3.4),(Π3.6) στην εξίσωση (Π3.2), η κίνηση του αεροσκάφους διέπεται από τη σχέση: h + ω 2 0 h = (1/m) Z δe δ e (Π3.6) όπου ω 0 = g 2 (Π3.7) H κίνηση δηλαδή του αεροσκάφους χαρακτηρίζεται από μια ταλάντωση με συχνότητα ω0. Οι σχέσεις (Π3.6),(Π3.7), προτάθηκαν για πρώτη φορά το 1908 από τον Lancaster. Όπως φαίνεται και από τη σύγκριση της (Π3.6) με την (4.43), χαρακτηρίζει ένα τρόπο ταλάντωσης του αεροσκάφους που ονομάζεται φυγοειδές και αναλύεται συστηματικότερα στο υποκεφάλαιο 4 του κεφ. 4. Θα πρέπει να σημειωθεί, ότι η εκτίμηση της συχνότητας ω0 στη σχέση (Π3.7) εξαρτάται μόνο από την ταχύτητά του αεροσκάφους, ενώ είναι ανεξάρτητη από τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά του αεροσκάφους. Δηλαδή αυτή η εκτίμηση είναι ίδια για όλα τα τυπικά αεροσκάφη. Αυτό υποδεικνύει ότι η ταλάντωση του φυγοειδούς είναι σύμφυτο χαρακτηριστικό της πτήσης. U e

22 Για ένα τυπικό αεροσκάφος που κινείται με ταχύτητα 871 ft/sec (265.5 m/sec), η συχνότητα προκύπτει ίση με ω0= rad/sec και η αντίστοιχη περίοδος των ταλαντώσεων ίση με T0= sec.

23