ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΤΟ MATLAB

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΤΟ MATLAB"

Transcript

1 ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΤΟ MATLAB

2 Γραμμικοποίηση των κινηματικών και των αδρανειακών όρων H απλοποιημένες εκφράσεις για τους αδρανειακούς όρους προέκυψαν επειδή η υπόθεση των μικρών διαταραχών ορίζει ότι οι ποσότητες (u, v, w) και οι (p, q, r) είναι μικρές, ώστε, μετά την εκτέλεση των πράξεων, οι όροι που περιέχουν γινόμενα και τετράγωνα των ποσοτήτων αυτών -οι οποίοι είναι και μη γραμμικοί- αποτελούν ποσότητες δεύτερης τάξης μεγέθους και μπορούν να αμεληθούν στους υπολογισμούς. Θεωρώντας επιπλέον ότι για μικρές γωνίες διαταραχών ισχύει επίσης ότι cos(δ) 1, sin(δ)=δ (δ σε rad) και αγνοώντας τις εξωτερικές δυνάμεις λόγω ατμοσφαιρικών αναταράξεων X d = Y d = Z d = L d = M d = N d = 0, οι εξισώσεις κίνησης γράφονται: X = m u = X a + X g + X c + X p Y = m v + r U e = Y a + Y g + Y c + Y p Z = m W q U e = Z a + Z g + Z c + Z p L = I x p I xz r = L a + L g + L c + L p M = I y q = M a + M g + M c + M p N = I z r I xz p = N a + N g + N c + N p

3 Γραμμικοποίηση των αεροδυναμικών όρων Η συνηθισμένη διαδικασία στηρίζεται στην υπόθεση ότι οι όροι των αεροδυναμικών δυνάμεων και ροπών εξαρτώνται μόνο από τις μεταβλητές κίνησης και από τις παραγώγους αυτών. Αυτή η πρόταση εκφράζεται μαθηματικά με ένα άθροισμα από σειρές Taylor με κάθε σειρά να περιλαμβάνει μία μεταβλητή κίνησης ή την παράγωγο μίας μεταβλητής κίνησης. Ενδεικτικά ο αεροδυναμικός όρος Χ a στην εξίσωση της αξονικής δύναμης θα γραφτεί ως εξής: Χ a = Χ ae + X X u + HODT u + u v v + HODT v + X X w + HODT w + w p p + HODT p + X X q + HODT q + q r r + HODT(r) + X u u + HODT u + X v v + HODT v +σειρές με όρους w, p, q, r +σειρές με όρους παραγώγων μεγαλύτερης τάξης

4 Γραμμικοποίηση των αεροδυναμικών όρων Η ποσότητα X ae είναι σταθερός όρος και περιγράφει τις αεροδυναμικές δυνάμεις στη μόνιμη αντισταθμισμένη κατάσταση πτήσης. Η ποσότητα ΗΟΤD περιγράφει όρους με παραγώγους ανώτερης τάξης. Καθώς οι μεταβλητές κίνησης είναι μικρές ποσότητες, μόνο οι πρώτοι όροι σε κάθε μια από τις πιο πάνω σειρές θα έχουν σημαντικό μέγεθος. Οι μόνες αξιοσημείωτες σειρές που περιλαμβάνουν παραγώγους μεγαλύτερης τάξης και που συχνά λαμβάνονται υπόψη, είναι αυτές της ποσότητας w. Έτσι, η προηγούμενη εξίσωση γίνεται: ή εναλλακτικά: Χ a = Χ ae + X a u u + X a v v + X a w w + X a p p + X a q q + X a r r + X a w w Χ a = Χ ae + X u u + X v v + X w w + X p p + X q q + X r r + X w w Οι όροι X u = X, X u v = X, X v w = X κλπ, ονομάζονται «αεροδυναμικές παράγωγοι ευστάθειας». Το w σύμβολο «~» (περισπωμένη), δηλώνει ότι πρόκειται για διαστατές μεταβλητές. Ο σκοπός που γίνεται ο διαχωρισμός με την περισπωμένη «~», είναι διότι, όπως θα φανεί στη συνέχεια, υφίστανται διάφορες παραλλαγές των ορισμών των παραγώγων ευστάθειας (αδιάστατες, βορειοαμερικανική σημειολογία, συντετμημένες κ.ά.).

5 Οι γραμμικές συνιστώσες της βαρυτικής δύναμης Οι διαταραχές των δυνάμεων της βαρύτητας υπολογίζονται με τον ίδιο τρόπο που χρησιμοποιήθηκε στις αδρανειακές δυνάμεις, εάν γραμμικοποιηθούν και οι βαρυτικές δυνάμεις. Θεωρώντας ότι οι διαταραχές θ, φ είναι μικρές: X g Y g Z g = mg sin Θ e mgθ cos Θ e mgψ sin Θ e + mgφ cos Θ e mg cos Θ e mgθ sin Θ e Επειδή η αρχή του σωματόδετου συστήματος ταυτίζεται με το κέντρο βάρους, δεν υφίσταται ροπή λόγω κάποιας συνιστώσας του βάρους, ως προς οποιονδήποτε άξονα: L g = M g = N g = 0

6 Οι γραμμικοί όροι αεροδυναμικού ελέγχου και ισχύος Ο αεροδυναμικός έλεγχος πραγματοποιείται από το πηδάλιο ανόδου-καθόδου, τα πηδάλια κλίσης και το πηδάλιο εκτροπής. Οι δυνάμεις και οι ροπές που δημιουργούνται από τις αποκλίσεις των πηδαλίων προκαλούνται ουσιαστικά από τις μεταβολές στις αεροδυναμικές συνθήκες. Οι υποθέσεις που εφαρμόζονται στους αεροδυναμικούς όρους εφαρμόζονται επίσης και στους όρους αεροδυναμικού ελέγχου. Για παράδειγμα η ροπή πρόνευσης λόγω του αεροδυναμικού ελέγχου προκύπτει: M c = M ce + M δa δ a + M δe δ e + M δr δ r Η ισχύς και επομένως η ώση Τ, ελέγχεται από τη γωνία του μοχλού ελέγχου της ισχύος δ p (μανέτα). Τα φαινόμενα αυτά περιγράφονται σε σχέση με τις παραγώγους ευστάθειας της ώσης του κινητήρα. Έτσι, για παράδειγμα η οριζόντια δύναμη λόγω της ώσης μπορεί να εκφραστεί ως: X δp = X pe + X δp δ p

7 Οι εξισώσεις κίνησης για μικρές διαταραχές Με την αντικατάσταση των εκφράσεων των αεροδυναμικών όρων, των όρων της βαρύτητας, των όρων της ισχύος και τέλος των όρων του αεροδυναμικού ελέγχου στις εξισώσεις κίνησης και λαμβάνοντας υπόψη ότι οι μόνιμοι όροι των δυνάμεων και ροπών που εμφανίζονται λόγω αντιστάθμισης εξισορροπούνται στη μόνιμη κατάσταση αντιστάθμισης, προκύπτουν οι διαμήκεις εξισώσεις κίνησης μικρών διαταραχών: m u X u u X v v X w w X p p ( X q mw e )q X r r X w w +mgθcosθ e = X δa δ a + X δe δ e + X δr δ r + X δp δ p m v Y u u Y v v Y w w Y p + mw e p Y q q Y r mu e r Y mgψsinθ e + mgφcosθ e = Y δa δ a + Y δe δ e + Y δr δ r + Y δp δ p w w Z u u Z v v Z w w Z p p Z q + mu e q Z r r + m Z w +mgθsinθ e = Z δa δ a + Z δe δ e + Z δr δ r + Z δp δ p w

8 Οι αποσυζευγμένες διαμήκεις εξισώσεις κίνησης Η αποσυζευγμένη διαμήκης κίνηση νοείται ως η κίνηση του αεροσκάφους που προκύπτει ως απόκριση του αεροσκάφους σε μια διαταραχή που εφαρμόστηκε κατά το διάμηκες επίπεδο συμμετρίας Οxz. Η κίνηση αυτή επομένως περιγράφεται από τις εξισώσεις της αξονικής δύναμης X, της κάθετης δύναμης Z και της ροπής πρόνευσης M και μόνον από αυτές. Επίσης, η αποσυζευγμένη διαμήκης ή εγκάρσια κίνηση υποθέτει ότι οι αεροδυναμικές παράγωγοι σύζευξης είναι τόσο μικρές ώστε μπορούν να αγνοηθούν τελείως: X v = X p = X r = Z v = Z p = Z r = M v = M p = M r = 0 Επειδή συνήθως οι αποκλίσεις των πηδαλίων κλίσεως και εκτροπής δεν προκαλούν κίνηση στο διάμηκες επίπεδο συμμετρίας οι πιο κάτω παράγωγοι του αεροδυναμικού ελέγχου μπορούν να θεωρηθούν επίσης μηδενικές : X δa = X δr = Z δa = Z δr = M δa = M δr = 0

9 Οι αποσυζευγμένες διαμήκεις εξισώσεις κίνησης Λαμβάνοντας υπόψη όσα προαναφέρθηκαν, οι αποσυζευγμένες διαμήκεις εξισώσεις κίνησης είναι οι: m u X u u X w w ( X q mw e )q X w w + mgθcosθ e = X δe δ e + X δp δ p Z u u Z w w Z q + mu e q + m Z w w + mgθsinθ e = Z δe δ e + Z δp δ p I y q M u u M w w M q q M w w = M δe δ e + M δp δ p

10 Μέθοδοι επίλυσης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων Συναρτήσεις μεταφοράς Περιγραφή στον χώρο κατάστασης

11 Μετασχηματισμός Laplace Ο μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης f(t) ορίζεται ως εξής: L f t = F s = 0 f t e st dt όπου s = σ + jω ενώ ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace: L 1 F s = f t = 1 c+j F s e st ds 2πj c j όπου s=σ+jω, η μιγαδική μεταβλητή Laplace. Βασικές ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Για τον μετασχηματισμό μιας χρονικής συνάρτησης f(t) ισχύουν: L Af t = Α F s L f 1 t ± f 2 t = F 1 s ± F 2 s L d dt f t = s F s f(0) L d2 dt 2 f t = s2 F s s f 0 f(0)

12 Συναρτήσεις Μεταφοράς Έστω το γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα που ορίζεται με τη διαφορική εξίσωση: a n y n (t) + a n 1 y n 1 (t) + + a 2 y(t) + a 1 y(t) + a 0 y(t) = b m u m (t) + b m 1 u m 1 (t) + + b 2 u(t) + b 1 u(t) + b 0 u(t) Ο μετασχηματισμός Laplace για μηδενικές αρχικές συνθήκες y n 0 = y n 1 0 = = y 0 = y 0 = u n 0 = u n 1 0 = = u 0 = u 0 =0 προκύπτει: a n s n Y s + a n 1 s n 1 Y s + + a 2 s 2 Y s + a 1 sy s + a 0 Y s = b m s m U(s) + b m 1 s m 1 U(s) + + b 2 s 2 U(s) + b 1 su(s) + b 0 U(s) Εξάγοντας κοινούς παράγοντες προκύπτει: Y s a n s n + a n 1 s n a 2 s 2 + a 1 s + a 0 = U s b m s m + b m 1 s m b 2 s 2 + b 1 s + b 0

13 Συναρτήσεις Μεταφοράς Τότε η συνάρτηση μεταφοράς είναι: G s όπου Κ: κέρδος = Y s U s = b ms m + b m 1 s m b 2 s 2 + b 1 s + b 0 a n s n + a n 1 s n a 2 s 2 + a 1 s + a 0 = K s z 1 s z 2 s z m s p 1 s p 2 s p n Η συνάρτηση μεταφοράς είναι ο λόγος του μετασχηματισμού Laplace της συνάρτησης εξόδου προς τον μετασχηματισμό της συνάρτησης εισόδου και εκφράζει τις ιδιότητες του συστήματος, ανεξάρτητα από τη συνάρτηση εισόδου. Η χαρακτηριστική εξίσωση ορίζεται εξισώνοντας τον παρονομαστή της ΣΜ με το μηδέν: a n s n + a n 1 s n a 2 s 2 + a 1 s + a 0 = s p 1 s p 2 s p n = 0 Οι n ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης δηλαδή του πολυωνύμου του παρονομαστήονομάζονται πόλοι του συστήματος. Εξισώνοντας τον αριθμητή της ΣΜ με το μηδέν: b m s m + b m 1 s m b 2 s 2 + b 1 s + b 0 = s z 1 s z 2 s z m = 0 Προκύπτουν οι m ρίζες του πολυωνύμου του αριθμητή της συνάρτησης μεταφοράς, οι οποίες ονομάζονται μηδενιστές του συστήματος.

14 Κανόνας του Cramer όπου Ο κανόνας του Cramer, είναι μια μέθοδος ταυτόχρονης επίλυσης ενός σετ γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Το σύστημα γράφεται στη μορφή: A n n x = y x, y: διανύσματα μεταβλητών (n x 1), Α: πίνακας συντελεστών. Τότε: x 1 x 2 x n = Α 1 y 1 y 2 y n = adj A det A y 1 y 2 y n adj A = C T όπου C ij = 1 i+j M ij det A = A 11 M 11 A 12 M 12 + ± A 1n M 1n όπου Άρα προκύπτει για κάποιο στοιχείο i του διανύσματος x: x i = M 1iy 1 + M 2i y M ni y n A 11 M 11 A 12 M 12 + ± A 1n M 1n, i = 1,2,, n A ij : στοιχείο του πίνακα Α στη γραμμή i, στήλη j, M ij : υποορίζουσες πίνακα Α (Ορίζουσα του υποπίνακα που δημιουργείται αν διαγραφεί η γραμμή i και η στήλη j). Δηλαδή καταλήγει στον υπολογισμό n υποοριζουσών για κάθε στοιχείο i του διανύσματος x, ενώ πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στα πρόσημά τους ανάλογα με το άθροισμα (i + j).

15 Εξαγωγή Διαμηκών ΣΜ Χρησιμοποιώντας τις προαναφερθείσες ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, για μηδενικές αρχικές συνθήκες f(0)=0, ενώ ισχύει q = θ L q = L θ = sθ(s), οι αποσυζευγμένες διαμήκεις εξισώσεις κίνησης, μετασχηματίζονται ως εξής: ms X u u s X w + X ws w s [( X q mw e )s + mgcosθ e ]θ(s) = X δe δ e (s) + X δp δ p (s) Z u u s Z w m s + Z w w s Z q + mu e s + mgsinθ e θ s = Z δe δ e s + Z δp δ p s M u u s M ws + M w w(s) + I y s 2 M q s θ s = M δe δ e s + M δp δ p s Για την εξαγωγή των συναρτήσεων μεταφοράς ως προς το πηδάλιο ανόδουκαθόδου δ e, θεωρώντας μηδενική την είσοδο του μοχλού ισχύος δ p =0, το σετ αυτό των εξισώσεων, μπορεί να γραφτεί σε μητρωϊκή μορφή ως εξής: ms X u X w + X ws X q mw e s + mgcosθ e Z u Z w m s + Z w Z q + mu e s + mgsinθ e M u M ws + M w I y s 2 M q s u s w s θ s = X δe Z δe M δe δ e s

16 Εξαγωγή Διαμηκών ΣΜ Για να εκφραστεί το σύστημα στη μορφή Α nxn x=y και να μπορεί να εφαρμοστεί ο κανόνας του Cramer, διαιρείται με την είσοδο δ e (s) και το σύστημα γίνεται: u s ms X u X w + X ws X q mw e s + mgcosθ e Z u Z w m s + Z w Z q + mu e s + mgsinθ e M u M ws + M w I y s 2 M q s Τότε, εφαρμόζοντας τον κανόνα του Cramer προκύπτουν οι ΣΜ: u s δ e s = N δ u e s w s Δ s δ e s = N δ w e s θ s Δ s δ e s = N δ θ e s Δ s Ενώ προκύπτει άμεσα και η ΣΜ: q s δ e s q = N δ e s Δ s = s θ s δ e s δ e s w s δ e s θ s δ e s = X δe Z δe M δe

17 Εξαγωγή Διαμηκών ΣΜ Πλέον αναπτύσσοντας τις ορίζουσες και εκτελώντας τις απαραίτητες πράξεις, μπορούν να διατυπωθούν όλες οι συναρτήσεις μεταφοράς του αεροσκάφους ως προς το σωματόδετο σύστημα αξόνων του, υπό τη μορφή πολυωνύμων του s με σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική εξίσωση: Δ s = Α s 4 + Β s 3 + C s 2 + D s + Ε A = mi y m Z w B = I y X u Z w X w Z u mi y X u + Z w m M w Z q + mu e m M q m Z w C = I y X u Z w X w Z u + X u M w X w M u Z q + mu e + Z u X w M q X q M w + X u M q X q M u m Z w + m M q Z w M w Z q + mw e M w Z u M u Z w +m 2 M wg sin Θ e + W e M u U e M w D = X u M w X w M u Z q + mu e + M u Z w M w Z u X q mw e + M q X w Z u X u Z w + mg cos Θ e M w Z u + M u m Z w +mg sin Θ e X w M u + X u M w + m M w E = mg sin Θ e X w M u X u M w + mg cos Θ e M w Z u M u Z w

18 Εξαγωγή Διαμηκών ΣΜ Ενώ για παράδειγμα ο αριθμητής της ΣΜ της ταχύτητας ως προς το πηδάλιο ανόδουκαθόδου: N u δe s = Α s 3 + B s 2 + C s + D A = I y m Z w X δe + I y X w Z δe B = I y Z w M w Z q + mu e M q m Z w X δe + I y X w X w M q + M w X q mw e Z δe + X q mw e m Z w + X w Z q + mu e M δe C = Z w M q M w Z q + mu e mg sin Θ e M w X δe + M w X q mw e X w M q mg cos Θ e M w Z δe + X w Z q + mu e Z w X q mw e mg cos Θ e m Z w mg sin Θ e X w M δe D = M w mg sin Θ e X δe M w mg cos Θ e Z δe + Z w mg cos Θ e X w mg sin Θ e M δe Όμοια εξάγονται και οι αριθμητές των ΣΜ των υπόλοιπων μεταβλητών.

19 Περιγραφή στον χώρο κατάστασης Η εξίσωση κίνησης ή διαφορετικά η εξίσωση κατάστασης ενός γραμμικού και χρονικά αμετάβλητου συστήματος, γράφεται: x(t) = Ax(t) + Bu(t) όπου x(t): διάνυσμα στήλη των n μεταβλητών κατάστασης που ονομάζεται διάνυσμα κατάστασης (state vector), u(t): διάνυσμα στήλη των m μεταβλητών κατάστασης που ονομάζεται διάνυσμα εισόδου (input vector), A: (n x n) μήτρα κατάστασης (state matrix), B: (n x m) μήτρα εισόδου (input matrix). Με τον ορισμό χρονικά αμετάβλητο σύστημα, εννοείται ότι τα στοιχεία των πινάκων Α και Β είναι συναρτήσεις σταθερές, ανεξάρτητες του χρόνου. Η εξίσωση κατάστασης, είναι το ισοδύναμο σε μορφή πίνακα ενός συστήματος n γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.

20 Περιγραφή στον χώρο κατάστασης όπου Η εξίσωση εξόδου γράφεται στη γενική μορφή: y(t) = Cx(t) + Du(t) y(t): διάνυσμα στήλη των r μεταβλητών εξόδου που ονομάζεται διάνυσμα εξόδου (output vector), C: (r x n) μήτρα εξόδου (output matrix), D: (r x m) άμεση μήτρα. Για τα περισσότερα προβλήματα που αφορούν τα αεροσκάφη μας διευκολύνει η επιλογή των μεταβλητών εξόδου ως μεταβλητές κατάστασης, δηλαδή: y t = x t και r = n Επομένως: [C] = [I] (n x m) μοναδιαία μήτρα, [D] = [0] (n x m) μηδενική μήτρα. Εν τέλει το σύστημα παίρνει την ακόλουθη μορφή: x(t) = Ax(t) + Bu(t) y t = Ix t = x(t)

21 Περιγραφή στον χώρο κατάστασης Εκτελώντας τον μετασχηματισμό Laplace στην εξίσωση κατάστασης, λαμβάνεται το σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων: s x t = AX s + BU s si A X(s) = BU(s) Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος προκύπτει ως εξής: Det si A = s λ 1 s λ 2 s λ n = 0 Οι ρίζες λ 1,λ 2,...,λ n της χαρακτηριστικής εξίσωσης ονομάζονται ιδιοτιμές του πίνακα Α ή πόλοι του συστήματος. Οι πόλοι ενός συστήματος, δηλαδή οι ιδιοτιμές καθορίζουν την ευστάθεια ή/και τη συμπεριφορά και μεταβατική απόκριση του.

22 Ιδιοδιανυσματική Ανάλυση Ο υπολογισμός των ιδιοδιανυσμάτων προκύπτει από τη σχέση: λ n I + Α Φ n = 0 όπου για κάθε ιδιοτιμή λ n υπάρχει ένα ιδιοδιάνυσμα Φ n : Φ 1n Φ Φ n = 2n και Φ 1n, Φ 2n,, Φ nn εξαρτώμενες μεταξύ τους τιμές Φ nn Ο πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων του οποίου η κάθε στήλη είναι το Φ n της λ n ιδιοτιμής: Φ 11 Φ 12 Φ 1n Φ V = 21 Φ 22 Φ 2n Φ n1 Φ n2 Φ nn

23 Ιδιοδιανυσματική Ανάλυση Έστω σταθερός πίνακας Α nxn με διακεκριμένες ιδιοτιμές λ 1,λ 2,...,λ n και πίνακα ιδιοδιανυσμάτων V nxn. Ισχύει: Λ nxn = V 1 A V όπου Λ nxn ο διαγώνιος πίνακας των ιδιοτιμών: Λ n n = λ λ λ n λ n Τότε πολλαπλασιάζοντας κατάλληλα δεξιά και αριστερά, προκύπτει: Α nxn = V Λ V 1 όπου e Λt ο εκθετικός πίνακας: e Λt = e At = V e Λt V 1 e λ 1t e λ 2t e λ n 1t e λ nt

24 Ιδιοδιανυσματική Ανάλυση Θέτοντας: Η λύση της ομογενούς x = Ax με x(0) γνωστό: V 1 = x t = e At x 0 = x t = Για αυτή τη μορφή της λύσης μπορεί να σχολιαστεί: e λ i t : καθορίζει τη μορφή της χρονικής απόκρισης. w 1 T w n T n i=1 n i=1 e λ it Φ i w i T x 0 e λ it Φ i β i Φ i : καθορίζει το μέγεθος της συνεισφοράς της κάθε κατάστασης στη μορφή της απόκρισης. β i : καθορίζει το μέγεθος της διέγερσης της μορφής λόγω της αρχικής συνθήκης. Ενώ ανάλογα με τη μορφή της ιδιοτιμής: λ i πραγματική: αύξουσα ή φθίνουσα εκθετική απόκριση, λ i μιγαδική: αύξουσα ή φθίνουσα αποσβενόμενη εκθετική ημιτονοειδής απόκριση.

25 Οι διαμήκεις εξισώσεις κίνησης του αεροσκάφους στον χώρο κατάστασης Θεωρούνται οι διαμήκεις εξισώσεις κίνησης που αναφέρονται στο σωματόδετο σύστημα αξόνων. Αυτές οι εξισώσεις μπορούν να ξαναγραφούν με τους όρους της επιτάχυνσης στο αριστερό μέρος ως ακολούθως: m u X w w = X u u + X w w + ( X q mw e )q mgθcosθ e + X δe δ e + X δp δ p m Z w w = Z u u + Z w w + Z q + mu e q mgθsinθ e + Z δe δ e + Z δp δ p I y q M w w = M u u + M w w + M q q M δe δ e + M δp δ p Αφού η διαμήκης κίνηση του αεροσκάφους, περιγράφεται με τέσσερις μεταβλητές κατάστασης, τις u, w, q και θ απαιτούνται τέσσερις διαφορικές εξισώσεις. Η επιπλέον εξίσωση που ισχύει για μικρές διαταραχές : θ = q

26 Οι διαμήκεις εξισώσεις κίνησης του αεροσκάφους στον χώρο κατάστασης Οι τέσσερις προηγούμενες εξισώσεις, μπορούν να συνδυαστούν και να γραφούν στη μορφή μιας διανυσματικής-μητρικής διαφορικής εξίσωσης ως εξής: M x t = A x t + B u t u όπου x t = w q θ και u t = δ e δ p Οι πίνακες των συντελεστών για τις διαμήκεις εξισώσεις κίνησης M, A και Β, είναι: m X w 0 0 X u X w X q mw e mgcosθ e X δe X δp 0 m Z M = w 0 0 A Z = u Z w Z q + mu e mgsinθ e B Z = δe Z δp 0 M w I y 0 M u M w M q 0 M δe M δp

27 Οι διαμήκεις εξισώσεις κίνησης του αεροσκάφους στον χώρο κατάστασης με Η διαμήκης εξίσωση κίνησης, προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση με το αντίστροφο μητρώο της μάζας Μ, δηλαδή: x(t) = Ax(t) + Bu(t) A = Μ 1 Α = x u x w x q x θ z u z w z q z θ m u m w m q m θ και B = M 1 B = x δe z δe m δe x δp z δp m δp 0 0 Οι συντελεστές της μήτρας κατάστασης Α περιλαμβάνουν τις συντετμημένες αεροδυναμικές παραγώγους ευστάθειας που αναφέρονται στο σωματόδετο σύστημα αξόνων. Η μήτρα εισόδου Β περιλαμβάνει τις παραγώγους ελέγχου πάλι σε συντετμημένη μορφή.

28 Οι διαμήκεις εξισώσεις κίνησης του αεροσκάφους στον χώρο κατάστασης Με τη μεθοδολογία που αναπτύχθηκε, προκύπτει η διαμήκης εξίσωση κατάστασης στη μορφή x t = Ax(t) + Bu(t) ως εξής: u x u x w x q x θ u x δe x δp w z u z w z q z θ w z δe z δp δ e = q m u m w m q m + θ q m δe m δp δ p θ θ 0 0 ενώ η εξίσωση εξόδου: y t = Ix t = u w q θ

29 Επαύξηση χώρου κατάστασης Για την εκτίμηση των χαρακτηριστικών ευκολίας χειρισμού είναι πολύ χρήσιμος ο προσδιορισμός των μεταβλητών της γωνίας πρόσπτωσης α και της γωνίας του ίχνους πτήσης γ. Η μέθοδος του χώρου κατάστασης παρέχει τη δυνατότητα της άμεσης εισαγωγής επιπλέον μεταβλητών στο σύστημα με τη μέθοδο της επαύξησης του μοντέλου κατάστασης. Για κίνηση μικρών διαταραχών, όπου U e V Te όταν η διαταραχή τείνει στο μηδέν, η γωνία πρόσπτωσης: α tan α = w V Te Η γωνία πρόσπτωσης μπορεί να συμπεριληφθεί στη διαμήκη εξίσωση κατάστασης με δύο τρόπους. Είτε η γωνία μπορεί να προστεθεί στο διάνυσμα εξόδου y(t) χωρίς αλλαγή του διανύσματος κατάστασης x(t), είτε μπορεί να αντικαταστήσει την κάθετη ταχύτητα w στο διάνυσμα κατάστασης. Όταν η εξίσωση εξόδου επαυξάνεται (1 η περίπτωση) η γίνεται: y t = u w q θ α = V Te 0 0 u w q θ

30 Επαύξηση χώρου κατάστασης Η γωνία του ίχνους πτήσης γ μπορεί να αποδειχθεί ότι δίνεται από τη σχέση: γ = θ α θ w V Te Τότε η εξίσωση εξόδου, επαυξάνεται περαιτέρω και γίνεται: y t = u w q θ α γ = 0 1 V Te V Te 0 1 u w q θ

31 Διαμήκεις συντετμημένες παράγωγοι ευστάθειας ως προς τις διαστατές παραγώγους ευστάθειας Αεροδυναμικές x u = X u m + x w = X w m + x q = X q mw e m X w Z u m m Z w X w Z w m m Z w + X w Z q + mu e m m Z w x θ = g cos θ e X wg sin Θ e m Z w Ελέγχου x δe = X δ e m + x δp = X δ p m + X wz δe m m Z w X wz δp m m Z w z u = z w = Z u m Z w Z w m Z w z q = Z q + mu e m Z w z θ = mg sin Θ e m Z w z δe = z δp = Z δ e m Z w Z δ p m Z w m u = M u + Z u M w I y m Z I y m w = M w + Z w M w I y m Z I y w w m q = M q + Z q + mu e M I y m Z I y m θ = mg sin Θ e M w m Z I y w w m δe = M δ e + Z δ e M w I y m Z I y m δp = M δ p + Z δ p M w I y m Z I y w w w

32 Αδιαστατοποίηση των εξισώσεων κίνησης Η αδιαστατοποίηση των εξισώσεων, αφορά κυρίως την απλοποίηση των εκφράσεων των παραγώγων ευστάθειας. Υπάρχουν διάφορες μορφές αδιαστατοποίησης των εξισώσεων κίνησης. Η παράμετρος αεροδυναμικής δύναμης με την οποία διαιρούνται οι εξισώσεις των δυνάμεων Χ,Υ και Ζ για να αδιαστατοποιηθούν είναι: 1 2 ρv T 2 e S = Q S [Ν] Το διάμηκες μήκος αναφοράς είναι η μέση αεροδυναμική χορδή c, ενώ το εγκάρσιο μήκος αναφοράς είναι το εκπέτασμα της πτέρυγας b. Έτσι, η παράμετρος αεροδυναμικής ροπής με την οποία διαιρείται η διαμήκης εξίσωση τις ροπής M για να αδιαστατοποιηθεί είναι: 1 2 ρv T 2 e S c = Q S c [Νm] Συνεπώς ανάλογα με την μέθοδο αδιαστατοποίησης, προκύπτουν και οι ανάλογες εκφράσεις των εξισώσεων κίνησης και των παραγώγων ευστάθειας.

33 Βορειοαμερικανική σημειολογία Η πρώτη και πιο διαδεδομένη μορφή των εξισώσεων κίνησης και των παραγώγων ευστάθειας, ξεκίνησε από μελετητές στη Βόρεια Αμερική. Όταν τα δεδομένα των αεροσκαφών δίνονται στη βορειοαμερικανική σημειολογία, είναι συνήθως υπό την μορφή των αδιάστατων παραγώγων ευστάθειας. Στον πίνακα δίνονται οι εκφράσεις των διαστατών παραγώγων ευστάθειας και ελέγχου ως προς τις αδιάστατες, που χρησιμοποιούνται στη βορειοαμερικανική ανάλυση. Αεροδυναμικές X u = QS C D u + 2C D0 mu e 1 sec Z u = QS C L u + 2C L0 mu e 1 sec M u = C mu QSc U e I y 1 ft sec X w = QS C D α + 2C L0 mu e 1 sec Ελέγχου Z w = QS C L α + 2C D0 mu e X w = 0 [ ] Z w = 1 2 C L α X α = 0 X α = 0 X q = 0 X δe = C Dδ e QS m 1 sec ft ft Z sec 2 α = U e Z w ft ft sec ft sec ft sec 2 Z α = U e Z w Z q = 1 2 C L q Z δe = C Lδ e M w = C mα QSc U e I y 1 ft sec QSc 2 [ ] M w = 1 mu e 2 C QSc 2 1 m α U 2 e I ft y QSc U e m QS m sec 2 1 sec 2 M α = U e M w 1 sec ft sec ft sec 2 Μ α = U e M w M q = 1 2 C QSc 2 m q M δe = C mδ e sec U e I y 1 sec QSc I y 1 sec 2

34 Διαμήκεις συντετμημένες παράγωγοι ευστάθειας ως προς τις διαστατές βορειοαμερικανικές παραγώγους ευστάθειας Πρακτικά, οι παράγωγοι Ζ q και Ζ w, συνεισφέρουν ελάχιστα στην απόκριση του αεροσκάφους και συνήθως αμελούνται. Η παραδοχή αυτή περιλαμβάνεται στις εκφράσεις των συντετμημένων παραγώγων που ακολουθούν και οι οποίες χρησιμοποιούνται κατά την έκφραση των εξισώσεων κίνησης στον χώρο κατάστασης. Αεροδυναμικές Ελέγχου x u = X u z u = Ζ u m u = M u + M wz u x w = X w z w = Z w m w = M wz w + M w x q = 0 z q = U e m q = M wu e + M q x θ = g cos Θ e z θ = g sin Θ e m θ = M wg sin Θ e x δe = X δe z δe = Z δe m δe = M δe + M wz δe x δp = X δp z δp = Z δp m δp = M δp + M wz δp

35 Μετασχηματισμός παραγώγων ευστάθειας από το σωματόδετο στο αεροδυναμικό σύστημα Άξονες ανέμου Σωματόδετοι άξονες (Οxwywzw) (Οxbybzb) X u X u cos α 2 e + Z w sin α 2 e + X w + Z u sin α e cos α e X w X w cos α 2 e Z u sin α 2 e X u Z w sin α e cos α e X q X q cos α e + Z q sin α e X w X w cos α 2 e + Z w sin α e cos α e Z u Z u cos α 2 e X w sin α 2 e X u Z w sin α e cos α e Z w Z w cos α 2 e + X u sin α 2 e X w + Z u sin α e cos α e Z q Z q cos α e X q sin α e Z w Z M u M u cos α e + M w sin α e M w M w cos α e M u sin α e M q M q M w M w cos α e X δe w cos α 2 e X w sin α e cos α e X δe cos α e + Z δe sin α e X p X p cos α e + Z p sin α e Z δe Z δe cos α e X δe sin α e Z p Z p cos α e X p sin α e M δe M δe M p M p

36 Συστήματα 2 ης τάξης Ένα τέτοιο σύστημα είναι το κλασσικό μηχανικό σύστημα «μάζα-αποσβεστήρας-ελατήριο». Η ανάλυση του συστήματος αυτού περιέχει βασικές ορολογίες και έννοιες χρησιμότατες στη μοντελοποίηση ακόμα και συστημάτων μεγαλύτερης τάξης, όπως θα γίνει προφανές σε μεταγενέστερο στάδιο. Η χαρακτηριστική εξίσωση ενός συστήματος 2 ης τάξης εκφράζεται ως εξής: Δ s = (s p 1 )(s p 2 ) = s 2 + 2ζω n s + ω n 2 = 0 Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης υπολογίζονται ως: p 1,2 = ζω n ± ω n ζ 2 1 όπου ζ: απόσβεση, ω n : φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση. Ανάλογα με την τιμή της απόσβεσης, υπάρχουν τέσσερις βασικές περιπτώσεις ριζών/πόλων που αντιστοιχούν σε τέσσερις περιπτώσεις αποκρίσεων: 1) ζ = 0: μηδενική απόσβεση Επ άπειρον ταλάντωση Συζυγείς πόλοι πάνω στον φανταστικό άξονα. p 1,2 = ±jω n 2) 0 < ζ < 1: υπό-απόσβεση - αποσβενόμενη ταλάντωση - μιγαδικοί συζυγείς πόλοι. p 1,2 = ζω n ± jω n 1 ζ 2 ή p 1,2 = σ α ± jω d ω d = ω n 1 ζ 2 αποσβενόμενη φυσική συχνότητα σ α = ζω n σταθερά εξασθένησης Τ = 1 = 1 χρονική σταθερά σ α ζω n 3) ζ = 1: κρίσιμη απόσβεση - καθόλου ταλάντωση- πραγματικοί και ίσοι πόλοι. p 1 = p 2 = ω n 4) ζ > 1: υπέρ-απόσβεση - καθόλου ταλάντωση πραγματικοί, άνισοι και αρνητικοί πόλοι. p 1,2 = ζω n ± ω n ζ 2 1

37 Παράσταση στο μιγαδικό επίπεδο

38 Απόκριση συχνότητας- Διαγράμματα Bode Η έννοια απόκριση συχνότητας, αναφέρεται στην απόκριση μόνιμης κατάστασης (t ) ενός συστήματος το οποίο έχει ημιτονοειδή είσοδο σταθερού εύρους και της οποίας η συχνότητα μπορεί να μεταβάλλεται σε κάποια περιοχή. Η χρήση της μεθόδου αυτής έχει κάποια βασικά πλεονεκτήματα: Γνωρίζοντας τα χαρακτηριστικά της απόκρισης συχνότητας του ανοιχτού βρόχου ενός γραμμικού συστήματος κλειστού βρόχου, μπορεί να διερευνηθεί η απόλυτη και σχετική ευστάθεια του. Το κριτήριο της ευστάθειας δεν απαιτεί τον προσδιορισμό των πόλων του συστήματος. Η απόκριση μόνιμης κατάστασης ενός ευσταθούς ΓΧΑΣ σε μια ημιτονοειδή είσοδο, είναι ανεξάρτητη των αρχικών συνθηκών οι οποίες και υποτίθενται μηδενικές. Αντικαθιστώντας το s, η ΣΜ που είναι μιγαδική ποσότητα, γράφεται: G jω = G jω e jφ όπου G(jω) το μέτρο και φ η γωνιά της ΣΜ: G jω = (πραγματικό μέρος) 2 + (φανταστικό μέρος) 2 φ = G jω = tan 1 πραγματικό μέρος φανταστικό μέρος

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3B: ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΠΟΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3B: ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΠΟΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3B: ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΠΟΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΝΟΨΗ Μόνιμη κατάσταση και κατάσταση διαταραχής Γραμμικοποίηση των κινηματικών και των αδρανειακών όρων Γραμμικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συστήματα αξόνων του αεροσκάφους Κίνηση αεροσκάφους στην ατμόσφαιρα Απαιτούνται κατάλληλα συστήματα αξόνων για περιγραφή της.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 5: ΕΚΓΑΡΣΙΑ-ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 5: ΕΚΓΑΡΣΙΑ-ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 5: ΕΚΓΑΡΣΙΑ-ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ Εγκάρσιες-διεύθυνσης εξισώσεις κίνησης Αποσυζευγμένες εξισώσεις εγκάρσιας - διεύθυνσης μη συμμετρικής κίνησης: m v Y v v Y p + mw e p Y r mu

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 4: ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 4: ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 4: ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΝΟΨΗ Απόκριση σε εντολές ελέγχου Η χαρακτηριστική εξίσωση Ταλάντωση πρόνευσης μικρής περιόδου Το φυγοειδές Μοντέλα χαμηλότερης τάξης Η προσέγγιση της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ. Α. Βασικές σχέσεις της μηχανικής στερεού σώματος

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ. Α. Βασικές σχέσεις της μηχανικής στερεού σώματος ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ Α. Βασικές σχέσεις της μηχανικής στερεού σώματος Α. Γωνίες Euler Στη Δυναμική Πτήσης απαιτείται συχνά ο μετασχηματισμός μεγεθών από ένα σύστημα αξόνων σε άλλο. Γενικά η διαδικασία συσχετισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 6: ΔΙΑΜΗΚΕΙΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 6: ΔΙΑΜΗΚΕΙΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 6: ΔΙΑΜΗΚΕΙΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Εισαγωγή Μοντελοποίηση αεροδυναμικών φαινομένων: Το σημαντικότερο ίσως ζήτημα στη μελέτη της δυναμικής πτήσης: Αναγνώριση

Διαβάστε περισσότερα

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 8. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 8. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 8 Χειμερινό Εξάμηνο 23 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Ανακοινώσεις To μάθημα MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή έως χθες θα γίνει στις 6//24: Office Hours: Δευτέρα -3 μμ,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

δ p = 0 { } = [ q m u m w m q m } δ e (4.1)

δ p = 0 { } = [ q m u m w m q m } δ e (4.1) 4: ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ Σύνοψη Από τη στιγμή που έχουν διαμορφωθεί οι εξισώσεις κίνησης μικρών διαταραχών του αεροσκάφους και έγινε η αποσύζευξή τους σε διαμήκεις και εγκάρσιες, μπορούν πλέον να μελετηθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3A: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3A: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3A: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συστήματα αξόνων του αεροσκάφους Κίνηση αεροσκάφους στην ατμόσφαιρα Απαιτούνται κατάλληλα συστήματα αξόνων για την περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν οι ελεύθερες ταλαντώσεις συστημάτων που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση και Μητρώο Μεταφοράς

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση και Μητρώο Μεταφοράς Δυναμική Μηχανών I 7 2 Συνάρτηση και Μητρώο Μεταφοράς 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Αναπαραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

3: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

3: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 3: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό, αποτελείται από τρία βασικά μέρη. Την παρουσίαση των συστημάτων αξόνων που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή και την ανάλυση της πτήσης του αεροσκάφους,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου 203 4 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος ελέγχου κλειστού βρόχου. α. Να προσδιοριστεί

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Εισαγωγή Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ05-2 Μία κατασκευή λέγεται ότι εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν μετακινηθεί από τη θέση στατικής ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών. σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών. σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών 6 1 σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 3: Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 13. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 13. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 13 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Iδιότητες Ιδιοανυσμάτων Συστήματα χωρίς απόσβεση Ιδιοανυσματικός Μετασχηματισμός Συστήματα χωρίς απόσβεση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια) Πολυβάθμια Συστήματα (συνέχεια) Ελεύθερη Ταλάντωση Xωρίς Απόσβεση Πολυβάθμια Συστήματα: Δ0- Για ένα πολυβάθμιο σύστημα που ταλαντώνεται ελεύθερα χωρίς απόσβεση, λόγω μόνο επιβαλλόμενων αρχικών μετατοπίσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια συστημάτων

Ευστάθεια συστημάτων 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

5: ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗ Σύνοψη Προαπαιτούμενη γνώση 1. Απόκριση σε εντολές ελέγχου

5: ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗ Σύνοψη Προαπαιτούμενη γνώση 1. Απόκριση σε εντολές ελέγχου 5: ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗ Σύνοψη Το κεφάλαιο πραγματεύεται την ανάλυση της εγκάρσιας δυναμικής και τα μοντέλα χαμηλότερης τάξης με τα οποία μπορεί να προσεγγιστεί. Η ανάλυση που πραγματοποιείται είναι αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Δρ Γιώργος Μαϊστρος, Χημικός Μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 12. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 12. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 12 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Απόκριση Συστημάτων N Β.Ε. Σε αρχικές συνθήκες Συστήματα χωρίς απόσβεση Εισαγωγή στην ιδιοανυσματική ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 9. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 9. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 9 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Η διάλεξη σε MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή θα γίνει στις 16/1/2014 στο PC LAB Δεν θα γίνει διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hhp://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγή στο Χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 2: ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΑΘΜΙΣΗ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 2: ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΑΘΜΙΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 2: ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΑΘΜΙΣΗ Ισορροπία και ευστάθεια Κατάσταση ισορροπίας: F = 0 και M g = 0 Tο αεροσκάφος διατηρείται σε κατάσταση σταθερής ομαλής πτήσης. Ευστάθεια:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση υναµικής ιεργασιών

Ανάλυση υναµικής ιεργασιών Ανάλυση υναµικής ιεργασιών Αντιπροσώπευση µε το Μοντέλο Κατάστασης- Χώρου (State-Space Space Models) υναµική Γραµµικών Συστηµάτων 1ης και 2ης Τάξης Συστήµατα SISO και MIMO Ο Μετασχηµατισµός Laplace για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ'

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Ε. Μ. Πολυτεχνείο Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Γ. ΠΑΠΑΝΑΝΟΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Συναρτήσεις Δικτύων Βασικοί ορισμοί Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό, χρονικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 1: δυναμικά φορτία Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η χρονική απόκριση μπορεί να ληφθεί από αναλυτικά μέσα όπως η μέθοδος μετασχηματισμού Laplace, εναλλακτικά δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί εξομοίωση από Η/Υ. Η προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Όταν μελετούμε έναν συγκεκριμένο μηχανισμό η μια φυσική διεργασία επικεντρώνουμε το ενδιαφέρον μας στα φυσικά μεγέθη του μηχανισμού τα οποία μας ενδιαφέρει να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 2: ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΑΘΜΙΣΗ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 2: ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΑΘΜΙΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 2: ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΑΘΜΙΣΗ Ισορροπία και ευστάθεια Κατάσταση ισορροπίας: F = 0 και M g = 0 Tο αεροσκάφος διατηρείται σε κατάσταση σταθερής ομαλής πτήσης. Ευστάθεια:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 4: Μέθοδος Μικρών Μεταβολών Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

e 5t (sin 5t)u(t)e st dt e st dt e 5t e j5t e st dt s j5 j10 (s + 5 j5)(s j5)

e 5t (sin 5t)u(t)e st dt e st dt e 5t e j5t e st dt s j5 j10 (s + 5 j5)(s j5) Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς-Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων 7/5/ Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ T mg r F τ = r F = mgsinθ τ = I M d θ α, Ι = M dt = Mgsinθ d θ dt = g sinθ θ = g sinθ Διαφορική εξίσωση Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 20 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες). Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος που περιγράφεται από το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα. (2,0

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού

Γραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού //04 Γραμμική Διαφορική Εξίσωση ου βαθμού, με τη βοήθεια του αορίστου ολοκληρώματος, της χρήσιμης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθμού af ( ) f ( ) cf ( ) g( ), ac,, σταθεροί πραγματικοί αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μ Π Σ Χ Ο Λ Η Μ Η Χ Α Ν Ο Λ Ο Γ Ω Ν Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Ω Ν Ι Ω Α Ν Ν Η Σ Α Ν Τ Ω Ν Ι Α Δ Η Σ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ε Μ Π Σ Χ Ο Λ Η Μ Η Χ Α Ν Ο Λ Ο Γ Ω Ν Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Ω Ν Ι Ω Α Ν Ν Η Σ Α Ν Τ Ω Ν Ι Α Δ Η Σ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ Ε Μ Π Σ Χ Ο Λ Η Μ Η Χ Α Ν Ο Λ Ο Γ Ω Ν Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Ω Ν Ι Ω Α Ν Ν Η Σ Α Ν Τ Ω Ν Ι Α Δ Η Σ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Το μάθημα πραγματεύεται τα εξής βασικά θέματα: τη διαμόρφωση των

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια) Πολυβάθμια Συστήματα (συνέχεια) Ορθογωνικότητα Ιδιομορφών Πολυβάθμια Συστήματα: Δ21-2 Μία από τις σπουδαιότερες ιδιότητες των ιδιομορφών είναι η ορθογωνικότητα τους ως προς τα μητρώα μάζας [m] και ακαμψίας

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 11 η διάλεξη Ασκήσεις. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 11 η διάλεξη Ασκήσεις. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος η διάλεξη Ψηφιακός Έλεγχος Άσκηση 3 Θεωρούμε το σύστημα διακριτού χρόνου της μορφής με A R, B R, C R nxn nx xn ( + ) + Cx( k) x k Ax k Bu k y k Υποθέτουμε ότι το διάνυσμα κατάστασης x(k)

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ. 31 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ l T mg r F Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να λυθεί. Δεν µοιάζει µε τη γνωστή εξίσωση Για µικρές γωνίες θ µπορούµε όµως να γράψουµε Εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Αν Καθ: Δ ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Επικ Καθ: Σ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I 7 3 Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας 215 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ ΕΜΠ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ ΑΝΤΩΝΙΑΔΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΣΙΩΤΗΣ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Υλικό-Πληροφορίες Ιστοσελίδα Μαθήματος: http://courseware.mech.ntua.gr/ml23229/ Παρουσιάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής. Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής. Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής 5 1 Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 205 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Ο ηλεκτρικός θερμοσίφωνας χρησιμοποιείται για τη θέρμανση νερού σε μια προκαθορισμένη επιθυμητή θερμοκρασία (θερμοκρασία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) 1 Πόλος στην αρχή των αξόνων: 2 Πόλος στον αρνητικό πραγματικό ημιάξονα: 3 Πόλος στον θετικό πραγματικό ημιάξονα: 4 Συζυγείς πόλοι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 10: Λύση εξισώσεων κατάστασης Δ. Δημογιαννόπουλος,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 9: Σύστημα 2 ης τάξης: Χρονική απόκριση και χαρακτηριστικά μεγέθη (φυσικοί συντελεστές)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 9: Σύστημα 2 ης τάξης: Χρονική απόκριση και χαρακτηριστικά μεγέθη (φυσικοί συντελεστές) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 9: Σύστημα 2 ης τάξης: Χρονική απόκριση και χαρακτηριστικά μεγέθη (φυσικοί συντελεστές) Δ. Δημογιαννόπουλος,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακά Σ.Α.Ε: Περιγραφή στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Μετασχηµατισµούς Laplace και Fourier και τα Συστήµατα Εξισώσεων

Ασκήσεις στους Μετασχηµατισµούς Laplace και Fourier και τα Συστήµατα Εξισώσεων Ασκήσεις στους Μετασχηµατισµούς Laplace και Fourier και τα Συστήµατα Εξισώσεων Ε Κάππος 4 εκεµβρίου 7 Περιεχόµενα Ασκήσεις στο µετασχηµατισµό Laplace Ασκήσεις στα Συστήµατα Εξισώσεων 5 3 Ασκήσεις Fourier

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #8: Χώρος Κατάστασης: Μεταβλητές, Εξισώσεις, Κανονικές Μορφές Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 4. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 4. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Ν Βαθμών Ελευθερίας Μηχανικά δυναμικά συστήματα πολλών Β.Ε. Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του στερεού σώματος

Μηχανική του στερεού σώματος Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

. Οι ιδιοτιμές του 3 3 canonical-πίνακα είναι οι ρίζες της. , β) η δεύτερη είσοδος επηρεάζει μόνο το μεσαίο 3 3 πίνακα και

. Οι ιδιοτιμές του 3 3 canonical-πίνακα είναι οι ρίζες της. , β) η δεύτερη είσοδος επηρεάζει μόνο το μεσαίο 3 3 πίνακα και ο ΘΕΜΑ [6. βαθμοί] 5 u x x + u Ax + Bu Έστω συνεχές σύστημα 4 5 3 u3 y [ ] x. [ β] Ποιες είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α; 5 Με το ακόλουθο partinioning του πίνακα A οι ιδιοτιμές του είναι 4 5 eig(a) eig(

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Θέση και Προσανατολισμός

Θέση και Προσανατολισμός Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου

Διαβάστε περισσότερα