Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Transcript

1 Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός και τοιχεία Θεωρίας Σκοπός μας την άκηη αυτή είναι να μελετήουμε το φαινόμενο του υντονιμού τις εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις Με βάη τα δεδομένα που θα προκύψουν θα προπαθήουμε να υπολογίουμε κάποια χαρακτηριτικά του κυκλώματος, όπως τον υντελετή ποιότητάς του, τον υντελετή αυτεπαγωγής του πηνίου που χρηιμοποιήαμε, την χωρητικότητα του πυκνωτή και την αντίταη των απωλειών του κυκλώματος είναι I ο Η ολική εμπέδηη ενός κυκλώματος που διαρρέεται από εναλλαόμενο ρεύμα δίδεται από τον τύπο: Ζ ολ = ( Ζ C ) + Ζ ολ = ω + ωc Όταν λοιπόν ένα κύκλωμα διεγείρεται από μια πηγή η οποία έχει πλάτος V τότε το πλάτος της ένταης του ηλεκτρικού ρεύματος V Ζ = Η διαφορά φάης φ μεταξύ ρεύματος και τάης δίνεται από τον τύπο φ = arctan C Ζ ολ Αν λοιπόν η τάη του κυκλώματος είναι V = V cs(ωt), τότε η ένταη του ρεύματος θα είναι Ι=Ι cs(ωt+φ) Όταν η παράταη Ζ C = ω =, τότε ο μόνος υπαρκτός λόγος εμπέδηης είναι η αντίταη του ωc κυκλώματος Τότε λοιπόν έχουμε μέγιτη προφορά ενέργειας από την πηγή το κύκλωμα κι επιπλέον, η τάη και η ένταη είναι ε φάη Ουιατικά δηλαδή, έχουμε ένα κύκλωμα που αποτελείται μόνο από μία αντίταη Προφανώς, η ένταη του ρεύματος το υντονιμό γίνεται μέγιτη Η υχνότητα την οποία παρατηρείται υντονιμός είναι υγκεκριμένη για κάθε κύκλωμα με ταθερές τιμές αυτεπαγωγής πηνίου() και χωρητικότητας πυκνωτή(c ), και δίδεται από τον τύπο ω ο = C Μπορούμε τώρα να κάνουμε ένα χεδιάγραμμα της καμπύλης του υντονιμού, το οποίο δεν είναι τίποτε άλλο από τη γραφική παράταη της ένταης του ρεύματος υναρτήει της κυκλικής υχνότητας (την οποία Ιο καθορίζει η πηγή) Υπάρχουν δύο τιμές υχνοτήτων τις οποίες η ένταη έχει τιμή Ι εν = Έτω λοιπόν

2 ότι αυτές οι δύο τιμές είναι οι ω και ω (ω >ω )Ορίζουμε το εύρος της καμπύλης υντονιμού ως τη διαφορά Δω ή Δ = Όο μικρότερο είναι το, τόο μικρότερη είναι η ζώνη υχνοτήτων που μπορούν να περάουν από το κύκλωμα, υνεπώς τόο καλύτερα μπορεί να επιτευχθεί ο υντονιμός του Ο υντελετής ποιότητας το υτήματος είναι το μέο μας για να μετρήουμε πόο καλά αποδίδει το κύκλωμά μας την ενέργεια που του προφέρουμε ε μία περίοδο Έτι λοιπόν προκύπτει ότι ο υντελετής ω ποιότητας είναι Q =, όπου ω ο είναι η υχνότητα υντονιμού Επιπλέον, μπορούμε να δείξουμε ότι ο Δω υντελετής ποιότητας ενός κυκλώματος δίδεται από τον τύπο Q = Επίης αποδεικνύεται ότι τον ω C υντονιμό ιχύει η χέη Vο = Vο = Q V )Πειραματική διάταξη και διαδικαία Η διάταξή μας αποτελούνταν από ένα κύκλωμα C, μία γεννήτρια χαμηλών υχνοτήτων και έναν παλμογράφο για την μέτρηη των τάεων τα άκρα του κάθε μέρους του κυκλώματος, ύμφωνα με τις οδηγίες της άκηης Αρχικά μετρήαμε με βήμα 5Ηz ξεκινώντας από τα 4 τις τιμές της τάης του ρεύματος τον παλμογράφο Εντοπίαμε την καμπύλη υντονιμού γύρω τα 74Hz, οπότε από τα 7 έως τα 8Ηz πήραμε τιμές με βήμα Hz για να έχουμε μεγαλύτερη ακρίβεια Ήταν πολύ δύκολο το να επιτύχουμε τις ακριβείς τιμές τη γεννήτρια και αυτό ήθελε πάρα πολλή προοχή Αρχικά λοιπόν πήραμε μετρήεις έχοντας υνδεδεμένες και τις αντιτάεις, υνολικής ωμικής αντίταης 78Ω ενώ τη δεύτερη ειρά μετρήεων βραχυκυκλώαμε την δεύτερη αντίταη και έτι είχαμε υνολική αντίταη Ω Στη υνέχεια μετρήαμε την τάη τα άκρα του πυκνωτή με ωμική αντίταη του κυκλώματος ίη με Ω και μετά την τάη τα άκρα του πηνίου με ωμική αντίταη κυκλώματος ίη με 56Ω 3)Επεξεργαία των μετρήεων --3)Από τις πειραματικές τιμές μπορούμε να υμπληρώουμε τους πίνακες Ωμική αντίταη Ω F(Ηz) V(V) Ιο(Α) Y(Ω - ) 4,3,,7 45,4,,9 5,5,, 55,64,3,5 6,3,,7 65,,5,5 7,4,6,3 7,4,6,3 7,5,7,34 73,5,7,34 74,6,7,36 75,6,7,36 76,5,7,34 77,5,7,34 78,4,6,3 79,4,6,3 8,3,6,3 85,,5,5 9,9,4, 95,7,3,6,6,3,4 Ωμική αντίταη 78Ω F(Ηz) V(V) Ιο(Α) Y(Ω - ) 4,3,,7 45,4,,9 5,5,, 55,68,3,5 6,9,4, 65,3,6,3 7,,,5 7,4,,55 7,6,,59 73,8,3,64 74,8,3,64 75,8,3,64 76,6,,59 77,6,,59 78,4,,55 79,,,5 8,,9,45 85,4,6,3 9,,5,3 95,8,4,8,7,3,6

3 3)Μπορούμε τώρα λοιπόν να χεδιάουμε την πειραματική καμπύλη του υντονιμού, την οποία όμως δεν θα χαράξουμε γραμμές, αλλά θα τοποθετήουμε μόνο τα πειραματικά ημεία Γραφική παράταη αγωγιμότητας Υ υναρτήει υχνότητας πηγής,7,6,5 Y(Ω-),4,3 Ω 78Ω,, ω(hz) 4)Η καμπύλη την οποία μπορούμε να τηριχτούμε με περιότερη ακρίβεια για τον προδιοριμό της υχνότητας υντονιμού είναι η καμπύλη για τα Ω που έχει πιο «μαζεμένη» κορυφή Με φάλμα ανάγνωης 5Ηz μπορούμε να πούμε ότι η υχνότητα υντονιμού είναι τα 74Ηz Το Υ για την περίπτωη της αντίταης 78Ω (πρώτη περίπτωη) είναι Y =,35Ω (δεύτερη περίπτωη) Y =,66Ω Το φάλμα και τις δύο περιπτώεις είναι,ω Το Δ = όπου και οι υχνότητες που αντιτοιχούν ε ρεύμα I =,77I Όπού, = I Y Άρα για την πρώτη περίπτωη έχουμε I,35 7,77Ι, 3 Υ = =,47 Ω άρα = 65± 5Hz και = 85± 5Hz άρα Δ = ± 5Hz - ενώ για Ω 3 = = Άρα και είναι οι υχνότητες για Ομοίως για την δεύτερη περίπτωη I =,66 =,3 και = 69± 5Hz και 79 5Hz = ± άρα Δ = ± 5Hz,77I Y = = 4,67 3 Ω άρα 5) Θα χρηιμοποιήω τη χέη (96) Q = Δ 74Hz Έτι για την πρώτη περίπτωη (=78Ω) έχω Q = = 3,7 και δq = + Δ Hz δ δ Q Q όπου δ = δ =,5 και δ = Δ =, 8 δ άρα δ Q =,5 +,95 =,9 Άρα έχω Q = 3,7±,9

4 74Hz Για την δεύτερη περίπτωη (=Ω) έχω Q = = 7,4 και δq = + Δ Hz δ δ Q Q δ = δ =,5 και δδ = δδ =,37 άρα δ Q =,5 +,37 =,37 Άρα έχουμε Q = 7,4±,37 όπου 6)Στο υντονιμό ιχύει ότι: = ολ a = Συνεπώς, την πρώτη περίπτωη έχουμε Υ Υ a, = 78 = 36 a Υ είναι τόο μεγάλη η τιμή των απωλειών Κάτι τέτοιο θα ήμαινε ότι τα καλώδια που χρηιμοποιήαμε ήταν εντελώς αχρητευμένα 7) Θα χρηιμοποιηθεί η χέη: Ω(!!!) ενώ τη δεύτερη είναι, = 4 Ω= 9Ω Προφανώς δεν μπορεί να C C = = Q Q = Έχω = = 5,5 ±, V και 8 =, ±, V Άρα Q = = 4 και δq = +, δ δ με Q Q 8 δ = δ =, =,5 και δ = δ =, =, οπότε,, δ Q =,5 +,4 =,5 Τελικά Q = 4, ±,5 Η τιμή αυτή είναι πολύ κοντά την τιμή που υπολογίαμε από το διάγραμμα Επιπλέον, αυτός ο τρόπος υπολογιμού, δεν περιέχει τα φάλματα ανάγνωης των διαγραμμάτων, τα οποία είναι δύκολο να διαβατούν με ακρίβεια 8) Για το έχω: π Q 495 Ω Q = = οπότε = =,7H και δ = δq + π 3,474 Hz δ με Q 95 Ω Q 7,8 95 Ω δq= =,5 =,H και δ = δ = =, H Όπως Q π 3,4 74 Hz π 3,4 74 Hz βλέπουμε το δ είναι μια τάξη μεγέθους μικρότερο από το δ Q οπότε είναι αμελητέα ποότητα για Q τον υπολογιμό του φάλματος Άρα δ =,H και τελικά =,7 ±,H Για το C έχω: 7 π = C = οπότε C= =,7 F και C 4π 4 9,86 74,7 Hz H ( ) C C C H δc = δ + δ όπου δ= δ=, =,3μ F και 4π 4 9,86 74,7 Hz H C δ Hz,4 F = = = μ επομένως π 4 9,86 74,7 Hz H δc ( ) =,3 +,4 =,5μF Τελικά C,7,5 = ± μf 9)Στο τελευταίο μέρος του πειράματός μας ζητήθηκε να μετρηθεί η διαφορά φάης μεταξύ ρεύματος και τάης για κάποιες υχνότητες κοντά τη υχνότητα υντονιμού Εκεί ήταν που μπορέαμε με ακρίβεια να προδιορίουμε την υχνότητα υντονιμού, η οποία τελικά προέκυψε ότι ήταν 74Hz Στα 74Ηz η διαφορά φάης της τάης της πηγής και της τάης της (η οποία έχει ίδια φάη με το ρεύμα που διαρρέει το

5 κύκλωμα), είναι μηδενική Την ολική αντίταη εδώ τη θεωρούμε ίη με 4Ω, όο δηλαδή υπολογίαμε το ερώτημα 6 F(Ηz) Dt(ms) F/s Φπειρ(rad) Φθεωρ(rad) 7,8,97,369,67 73,4,99,8347, , ,4, -,885 -, ,8,3 -,38 -,9366 Προκύπτει λοιπόν το παρακάτω διάγραμμα Γράφική παράταη της διαφοράς φάης τάης ένταης, υναρτήει του λόγου /,4,3, Διαφορά φάης(rad), -, -, Πειραματική Θεωρητική -,3 -,4 -,5,96,97,98,99,,,3 / )Σχολιάζοντας τα αποτελέματά μας, μπορούμε να δούμε ότι το πείραμα ήταν αρκετά επιτυχημένο Προδιορίαμε την τιμή της υχνότητας υντονιμού τα 74 Hz μέω γραφήματος, ενώ μέω του παλμογράφου ήταν 74Hz Τα υπόλοιπα, λίγο-πολύ προέκυψαν ε λογικές τιμές, αν εξαιρέουμε τις τιμές των απωλειών τις οποίες τα νούμερα που προέκυψαν ήταν αρκετά μεγαλύτερα από τα αναμενόμενα Έχοντας όμως εμπιτούνη τις μετρήεις μας, δεν μπορούμε παρά να τα δεχθούμε