ρ. Ευστρατία Μούρτου

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ρ. Ευστρατία Μούρτου"

Αριστοκλής Φθα Παπαφιλίππου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία Μούρτου ρ. Ευτρατία Μούρτου 1

2 4.5. Η Κανονική Κατανοµή (normal distribution)ή Κατανοµή του Gauss (Gaussian distribution )ή κατανοµή των φαλµάτων (law of errors) H κανονική κατανοµή θεωρείται η πουδαιότερη υνεχής κατανοµή την Στατιτική, όχι µόνο γιατί αρκετές τυχαίες µεταβλητές Χ περιγράφονται από αυτήν ε αρκετά ικανοποιητικό βαθµό, αλλά και γιατί πολλές από της ιδιότητές της προεγγίζουν πολλές παρατηρήεις και πειράµατα τύχης. Πολλά φυικά φαινόµενα καθώς και µετρήεις ακολουθούν την κανονική κατανοµή, όπως για παράδειγµα το βάρος, το ύψος και η αρτηριακή πίεη, τα επίπεδα ουρίας και χολητερόλης ε µεγάλο πλήθος ατόµων (πλήθος µεγαλύτερο ή ίο του 1000). Αυτό ηµαίνει ότι η απεικόνιη του πολύγωνου υχνοτήτων αυτών των µετρήεων, τείνει να ακολουθήει την κανονική καµπύλη ή καµπύλη του Gauss. Το χαρακτηριτικό της κανονικής κατανοµής είναι η απεικόνιή της µε την κανονική καµπύλη, η οποία έχει κωδωνοειδή µορφή, είναι υµµετρική και το αριτερό και δεξί άκρο της τείνουν να ακουµπήουν αυµπτωτικά τον οριζόντιο άξονα χχ. Ο µεγάλος αριθµός των εφαρµογών που ακολουθούν την κανονική κατανοµή τηρίζεται το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, κατά το οποίο κάθε ποότητα της οποίας η τιµή µπορεί να θεωρηθεί ότι διαµορφώνεται από ένα µεγάλο αριθµό ανεξάρτητων παραγόντων ή µεταβλητών ακολουθεί προεγγιτικά την κανονική κατανοµή. Οι ανεξάρτητοι παράγοντες είναι αυτοί που παίζουν ηµαντικό ρόλο ε µια παρατήρηη και φυικά την επηρεάζουν ε διαφορετικό βαθµό, χωρίς όµως ο ρ. Ευτρατία Μούρτου

3 ένας να επηρεάζει τον άλλο. Για παράδειγµα, τα επίπεδα χολητερόλης το αίµα ενός ενήλικα είναι αποτέλεµα πολλών παραγόντων, όπως η κληρονοµικότητα, η διατροφή, η ηλικία, η έλλειψη άκηης, το υπερβολικό πάχος, ο υποδρατήριος θυρεοειδής αδένας, ο διαβήτης ή προβλήµατα µε τα νεφρά. Καθένας από τους παράγοντες αυτούς επιβαρύνει τα επίπεδα χολητερόλης και αν αυτοί υνυπάρχουν τότε αθροιτικά επιβαρύνουν περιότερο την κατάταη αυτή. Αυτό ακριβώς εκφράζει και το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα: Ας θεωρήουµε καθένα από τους παραπάνω παράγοντες ως ανεξάρτητες µεταβλητές και ας τους υµβολίουµε αντίτοιχα µε Χ 1, Χ,..., Χn. Αν υποθέουµε ότι έχουν µέη τιµή µ και διακύµανη ², τότε το άθροιµα Σ i Χ 1 + Χ +...+Χn, i-1,,,n, προεγγίζει την κανονική κατανοµή. Η ονοµαία της κανονικής κατανοµής ως και κατανοµή των φαλµάτων οφείλεται την διαπίτωη του µεγάλου µαθηµατικού Gauss ότι τα φάλµατα των ατρονοµικών παρατηρήεων περιγράφονται ικανοποιητικά από την κανονική κατανοµή. Η υνάρτηη πιθανότητας της κανονικής κατανοµής, µε παραµέτρους την διακύµανη και την µέη τιµή μ, δίνεται από τον παρακάτω τύπο, όπου µε χ (, + ) : 1 f ( x) P( x< X< x+ dx) π * ρ. Ευτρατία Μούρτου 3 *e (x-µ) - * Όπου π3,14 και e,71. Στον ανωτέρω τύπο προέχουµε την διαφορά της f(x) µε την αντίτοιχη των διακριτών µεταβλητών, τις οποίες η f(x) εκφράζει την πιθανότητα P(Xx). Αντίθετα τις υνεχείς µεταβλητές η F(x) εκφράζει υνάρτηη πυκνότητας, διότι P ( X x i ) f ( x ) dx 0 x x i i Τότε λέµε ότι η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή και µ γράφουµε X ~ N (, )

4 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ [1]. Ο µέος µ ή η µαθηµατική ελπίδα Ε(Χ) ή η αναµενόµενη µέη τιµή της τ.µ. Χ: Ορίζεται ως το παρακάτω ολοκλήρωµα: + E ( X ) µ xf ( x) dx []. Η διακύµανη της τ.µ. Χ, υµβολίζεται µε V(X) και ορίζεται ως ο ταθµιµένος µέος όρος των τετραγωνιµένων αποκλίεων από την µέη τιµή και δίνεται από την χέη: + V ( X ) ( x µ ) f ( x) dx Για τον υπολογιµό της διακύµανης (ή διαπορά) µπορεί να χρηιµοποιηθεί και ο τύπος: V ( X) E(X ) [ E( X )] [3]. Η τυπική απόκλιη της τ.µ. Χ, δίνεται από την χέη: Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 1. Η µέη τιµή, η διάµεος και η επικρατούα τιµή (Μο) υµπίπτουν. Είναι υµµετρική ως προς τη µέη τιµή 3. Στο ηµείο x μ παρουιάζει µέγιτο που ιούται µε 1 π 4. Στα ηµεία μ και μ + παρουιάζει ηµεία καµπής ρ. Ευτρατία Μούρτου 4

5 [5]. Η υνάρτηη πυκνότητας της κανονικής κατανοµής ορίζει µια οικογένεια κανονικών κατανοµών δηλαδή ένα ύνολο υµµετρικών καµπύλων τύπου καµπάνας για τις διαφορετικές τιµές των παραµέτρων μ και. Για παράδειγµα: Στο χήµα 5α βλέπουµε µια οικογένεια κανονικών κατανοµών µε ίδια µέη τιµή και διαφορετικές τυπικές αποκλίεις, ενώ το χήµα 5β βλέπουµε µια οικογένεια κανονικών κατανοµών µε διαφορετικές µέες τιµές και ίδια τυπική απόκλιη. f(x) Ίδιο µ x Σχήµα 5α: καµπύλες κανονικής κατανοµής µε ίδιο µ ρ. Ευτρατία Μούρτου 5

6 f(x) Ίδιο x Σχήµα 5β: καµπύλες κανονικής κατανοµής µε ίδιο Η ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Όπως είναι εύκολα αντιληπτό ανάλογα µε τις τιµές του ζεύγους (µ, ) ορίζονται τα διάφορα µέλη της οικογένειας των κανονικών κατανοµών N ( µ, ). Αν έχουµε µια κανονική κατανοµή που έχει µέη τιµή µ 0 και τυπική απόκλιη 1 (διαπορά 1), τότε αυτή υµβολίζεται µε N(0,1) και ονοµάζεται τυποποιηµένη κανονική κατανοµή (standard normal distribution). Η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας της N(0,1) µε παραµέτρους την διακύµανη 1 και την µέη τιµή μ0, δίνεται από τον παρακάτω τύπο, όπου µε χ (, + ) : f ( x) P( x< X< x+ dx) 1 *e π Όπου π3,14 και e,71. Ο λόγος για τον οποίο χρηιµοποιούµε την τυποποιηµένη κανονική κατανοµή είναι ότι µας δίνει την δυνατότητα της τυποποίηης µιας τυχαίας ρ. Ευτρατία Μούρτου 6 x -

7 µεταβλητής η οποία ακολουθεί την κανονική κατανοµή. Αναλυτικότερα αποδεικνύεται ότι: ΠΡΟΤΑΣΗ 1 Αν η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή, µ δηλαδή αν X ~ N (, ), τότε η τυχαία µεταβλητή Ζ που ορίζεται ως X µ δηλαδή ~ (0,1), ακολουθεί την τυποποιηµένη κανονική κατανοµή, N µε την παρακάτω γραφική παράταη ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Α. ΟΤΑΝ Η Τ.Μ. Ζ ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΤΗΝ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Για να υπολογίουµε διάφορες πιθανότητες της τυχαίας µεταβλητής Ζ η οποία ακολουθεί την τυποποιηµένη κανονική κατανοµή, χρηιµοποιούµε τον πίνακα πιθανοτήτων (Πίνακας, Παράρτηµα, βιβλίο), µε τον ακόλουθο τρόπο: ρ. Ευτρατία Μούρτου 7

8 Ας δούµε τον πίνακα 1 που αποτελεί ένα τµήµα από τον πίνακα, µε τιµές που αντιπροωπεύουν την επιφάνεια που περιέχεται µεταξύ της καµπύλης της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής και τα ηµεία εκείνα του άξονα των χχ για τα οποία 0<χ<z. Τότε θα είναι P(0<χ<z) το γραµµοκιαµένο εµβαδόν, όπως φαίνεται το παρακάτω χήµα. 0 z x ρ. Ευτρατία Μούρτου 8

9 Πίνακας 1 ρ. Ευτρατία Μούρτου 9

10 Με την βοήθεια του ανωτέρω πίνακα θα υπολογίουµε ζητούµενες πιθανότητες ως εξής: 1. Ας υποθέουµε ότι ζητείται η πιθανότητα η τ. µ να παίρνει τιµές το διάτηµα [0, 1.46], δηλαδή πρέπει να υπολογίουµε την P ( 0 z 1,46) Τότε θεωρούµε τον αριθµό 1,46 ως αποτελούµενο από τµήµατα: α) Τα πρώτα ψηφία δηλαδή το 1,4 και β) το δεύτερο δεκαδικό ψηφίο ως 0,06 (προφανώς 1,46 1,4 + 0,06). Τότε το α) τµήµα ορίζει την γραµµή που πρέπει να εντοπίουµε τον πίνακα 1 και το β) τµήµα ορίζει την τήλη που πρέπει να εντοπίουµε τον πίνακα αυτόν. Η τοµή της γραµµής µε την τήλη που εντοπίαµε ορίζει την ζητούµενη πιθανότητα, που όπως φαίνεται είναι 0,979. Αρα ( 0 z 1,46) P(0< z< 1,46) 0, 979 P, ιότι ( z 1,46) 0, p και p ( z 0) 0. Ας υποθέουµε ότι ζητείται η πιθανότητα η τ. µ να παίρνει τιµές το διάτηµα [-1.46, 0], δηλαδή πρέπει να υπολογίουµε την P ( 1,46 z 0) Επειδή η καµπύλη της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής είναι υµµετρική ως προς τον µέο µ (µ0), θα ιχύει: ρ. Ευτρατία Μούρτου 10

11 P ( 1,46 z 0) P( 1,46< z< 0) p(0< z< 1,46) 0, Ας υποθέουµε ότι ζητείται η πιθανότητα η τ. µ να παίρνει τιµές το διάτηµα (1.46, + ), δηλαδή πρέπει να υπολογίουµε την P ( z > 1,46) P ( z > k) 1 P( z < k) Εφαρµόζουµε την ιδιότητα : P ( z> 1,46) 1 P( z< 1,46) 1 0,979 0, 071 Έτι έχουµε: 4. Ας υποθέουµε ότι ζητείται η πιθανότητα P ( z 0) Τότε από τον πίνακα έχουµε P ( z 0) 0, 5 5. p ( < < ) Ας υποθέουµε ότι ζητείται η πιθανότητα p( a< < a) p( a) P( a) Εφαρµόζουµε την ιδιότητα: ρ. Ευτρατία Μούρτου 11

12 Αρα p( < < ) p( z ) p( ) [1 p( 0,977 [1 0,997] 0,977 0,08 P( z) 1 p( z) ιότι ιχύει ότι: P ( 1,55,1) 6. Ας υποθέουµε ότι ζητείται η πιθανότητα P( a b) P( b) P( a) Εφαρµόζουµε την ιδιότητα: 0,9544 )] Άρα P ( 1,55,1 ) P (,1 ) P ( P (,1) [1 P ( 1,55 )] 0, ,9394 0,915 1,55 ) ρ. Ευτρατία Μούρτου 1

13 Β. ΟΤΑΝ Η Τ.Μ. Ζ ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΤΗΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Για να υπολογίουµε διάφορες πιθανότητες της τυχαίας µεταβλητής Χ η οποία ακολουθεί την κανονική κατανοµή, θα πρέπει πρώτα να τυποποιήουµε την Χ, δηλαδή να την µετατρέψουµε ε τυποποιηµένη κανονική κατανοµή, χρηιµοποιώντας την πρόταη 1. Αναλυτικότερα προέξτε τα παρακάτω παραδείγµατα (βιβλίο ελ ): ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Α Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ, ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέο μ 10 και τυπική απόκλιη 30. Τότε: 1. Ζητείται η πιθανότητα P ( 180 X 10 ) ΛΥΣΗ µ ίνεται ότι X ~ N (, ) N ( 10,900 ) Θα τυποποιήουµε µε τον παρακάτω τρόπο την τ.µ. Χ χρηιµοποιώντας τον τύπο : X Έτι θα έχουµε: µ P ( 180 X 10 ) P ( P ( 1 0) P( 0) P( P ( 0 ) [1 P ( 1)] 0, ,8413 0, ,13%. Ζητείται η πιθανότητα P ( X 5 ) ΛΥΣΗ ) 1) ρ. Ευτρατία Μούρτου 13

14 Θα τυποποιήουµε µε τον παρακάτω τρόπο την τ.µ. Χ χρηιµοποιώντας τον τύπο : X Έτι θα έχουµε: P ( X µ 5 ) P ( X P ( 0, 5 ) 1 P ( 1 0, , ,85 3. Ζητείται η πιθανότητα P ( X 150 ) % ) 0, 5 ) ΛΥΣΗ Θα τυποποιήουµε οµοίως την τ.µ. Χ και έτι έχουµε: X P ( X 150 ) P ( P ( ) 1 P( ) ) 1-0,977 0,08,8% 4. Ζητείται η πιθανότητα P ( 195 X 5 ) ΛΥΣΗ Θα τυποποιήουµε οµοίως την τ.µ. Χ και έτι έχουµε: P ( 195 X 5 ) X P ( ) P ( 0,5 0,5) P( 0,5) P( 0,5) P( 0,5) [1 P( 0, ,6915 0,383 38,3 % 0,5)] ρ. Ευτρατία Μούρτου 14

15 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Β Έτω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ, ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέο μ 13,9 και τυπική απόκλιη 13,74. Ζητείται ο πραγµατικός αριθµός κ έτι ώτε η πιθανότητα P(Χ>κ) να είναι ίη µε 0,10. ΛΥΣΗ µ ίνεται ότι X ~ N (, ) N (13.9,13.74 ) Θα τυποποιήουµε την τ.µ. Χ χρηιµοποιώντας τον τύπο : ίνεται ότι P ( Χ > κ ) 0,10 P ( P ( X 13 13,74,9 > k 13 13,74,9 ) k 13,9 > ) 0, 10 13,74 k 13,9 1 P( < ) 0, 10 13,74 P( k 13,9 < ) 0, 90 13,74 0,10 X µ Με την βοήθεια του πίνακα 1 βλέπουµε ότι το 0,90 αντιτοιχεί ε z 1,9. Άρα θα είναι : k 13,9 13,74 k k 1,9 13,9 1,9 * 13, ,6 ρ. Ευτρατία Μούρτου 15

Σχετικά έγγραφα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν