Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Transcript

1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος

2 Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο, για αυτό το λόγο δημιουργούνται λάθη τα οποία μπορούν να επηρεάουν τη υμπεριφορά ενός ψηφιακού ελεγκτή. C bits χρειάζονται για την τιμή του αριθμού και bit για το πρόημο. Για παράδειγμα: = = = 3.5 Ανάλογα με τον τρόπο που αναπαριτούμε τους αρνητικού αριθμούς υπάρχουν τρεις τύποι αριθμητικής ταθερού ημείου: α) αναπαράταη μεγέθους προήμου. Σε αυτήν την περίπτωη το πρώτο bit δηλώνει το πρόημο, 0 για θετικό και για αρνητικό. Για παράδειγμα: 3.5 = =.0 Σημείωη: ο αριθμός 0 έχει δυο αναπαρατάεις, και Ψηφιακός Έλεγχος

3 Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης β) αναπαράταη αντιτροφής. Οι θετικοί αριθμοί είναι όπως την αναπαράταη μεγέθους προήμου. Ο αρνητικός ενός θετικού υπολογίζεται αντιτρέφοντας όλα τα bits και προθέτοντας το λιγότερο ημαντικό bit. Για παράδειγμα: (.0) = ( 000.0) + ( 000.0) = 000. ( 000.) = (.00) + ( 000.0) =.0 β) αναπαράταη αντιτροφής. Οι θετικοί αριθμοί είναι όπως την αναπαράταη μεγέθους προήμου. Οι αρνητικοί αριθμοί υπολογίζονται αντιτρέφοντας όλα τα bits του θετικού αριθμού. Π.χ. (.0) = Ψηφιακός Έλεγχος 3

4 Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Αποκοπή Στην αποκοπή όλα τα bits μικρότερα από το λιγότερο ημαντικό αγνοούνται. Η υνάρτηη της αποκομμένης τιμής x και του αποκομένου αριθμού Q(x) φαίνεται QT ( x) q x Το φάλμα αποκοπής ορίζεται ως T T ε = Q x x ( LS B) C q=... Ψηφιακός Έλεγχος 4

5 Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Για την περίπτωη αναπαράταης αντιτροφής το φάλμα αποκοπής είναι C < < 0 ε T Για την αναπαράταη αντιτροφής και την μεγέθους προήμου : Στρογγύλευη C 0 < ε <, x < 0 T C < ε < 0, x > 0 T Η τρογγύλευη ενός δυαδικού αριθμού γίνεται διαλέγοντας τον αριθμό με C bits που είναι πληιέτερος της μη τρογγυλευμένης ποότητας. Το φάλμα τρογγύλευης είναι ίδιο και τους τρεις τύπους αριθμητικής: ε = Q x x C < ε < C Ψηφιακός Έλεγχος 5

6 Σφάλματα Τα φάλματα προέρχονται από τρεις βαικές πηγές:. Σφάλματα ε A/D μετατροπείς. Σφάλματα αποκοπής ή τρογγύλευης ε αριθμητικές πράξεις (πολλαπλαιαμός) 3. Σφάλματα ε παραμέτρους και υντελετές e Στο παρακάτω παράδειγμα ενός υτήματος πρώτης τάξης: u z a + a z = D( z) = e z + 0 bz + ε a a +Δa a0 + Δa0 + + ε m z + + ε m u ε a ε m φάλμα A/D φάλμα πολλαπλαιαμού ε m + ( b b ) +Δ Ψηφιακός Έλεγχος 6

7 Παρατηρήεις: Σφάλματα. Τα γρήγορα μεταβαλλόμενα φάλματα αποκοπής ε δημιουργούν θόρυβο a, ε m την έξοδο αλλά δεν επηρεάζουν την ευτάθεια.. Αλλαγές τους υντελετές επηρεάζουν τη δυναμική υμπεριφορά του υτήματος και την ευτάθεια. ε a 3. Η επιρροή του την έξοδο δεν εξαρτάται απο τη δομή του υτήματος αλλά μόνο απο τη υνάρτηη μεταφοράς. 4. Η δημιουργία και μετάδοη φαλμάτων πολλαπλαιαμού εξαρτάται από τη υγκεκριμένη υλοποίηη. Ψηφιακός Έλεγχος 7

8 Υποθέεις: Σφάλματα { }. Η ακολουθία e kt είναι μια τάιμη τυχαία τοχατική διαδικαία. Το φάλμα e έχει ομοιόμορφα κατανεμημένη πυκνότητα πιθανότητας. 3. Δεν υπάρχει υχέτιη μεταξύ διάφορων πηγών φάλματος και ήματος ειόδου { } = { } { } { a m} = { a} { m} E e kt x kt E e kt E x kt E e kt e kt E e kt E e kt Ψηφιακός Έλεγχος 8

9 Στατιτικά φαλμάτων Η πυκνότητα πιθανότητας για τα φάλματα αποκοπής την αριθμητική αντιτροφής φαίνεται το χήμα: { e( kt) } q μέη τιμή ε T διαπορά { } = E = ε Τ q 3 q 0 ε Τ 0 { } q ε = E d T Τ = = q q ε ε ε ε Ψηφιακός Έλεγχος 9

10 Στατιτικά φαλμάτων Η πυκνότητα πιθανότητας για τα φάλματα τρογγύλευης φαίνεται από το χήμα P ( ε ) q μέη τιμή ε διαπορά E{ ε } 0 = = q q ε q { } ε E q q = ε = ε dε = q Ψηφιακός Έλεγχος 0

11 Μετάδοη φάλματος Η μετάδοη του θορύβου κβαντιμού εξαρτάται απο τη υνάρτηη μεταφοράς μεταξύ του ημείου που δημιουργείται το φάλμα και την έξοδο. Έτι, έχοντας τη τατιτική υμπεριφορά του θορύβου την είοδο θέλουμε να ξέρουμε την τατιτική υμπεριφορά του την έξοδο, δηλαδή θέλουμε να εξετάουμε αν ο αλγόριθμος ενιχύει ή αποβένει το φάλμα. Για ένα ευταθές γραμμικό χρονικά αμετάβλητο ύτημα (με κρουτική απόκριη hi) η μέη τιμή του ήματος εξόδου είναι { } { ε } u = E u = h E = ε h i k i k k k= 0 k= 0 Χρηιμοποιώντας τη υνάρτηη μεταφοράς = ε u z D z z ε Εφόον η είναι ταθερή, χρηιμοποιώντας το θεώρημα τελικής τιμής u = ε lim z zd z Ψηφιακός Έλεγχος

12 Παράδειγμα Έχουμε u( k) = bu( k ) + e( k) Η κρουτική απόκριη είναι k Μετάδοη φάλματος h k = b Χρηιμοποιώντας το θεώρημα της υνέλιξης : u ε = = b i ε b i= 0 Χρηιμοποιώντας το θεώρημα τελικής τιμής έχουμε το ίδιο αποτέλεμα: D z z = z b z ε u = ε limz z = z b b Ψηφιακός Έλεγχος

13 Για να υπολογίουμε τη διαπορά { } Μετάδοη φάλματος i u = E u i, όπου ui = hkε i k k = 0 i u = ε k = 0 Έναλλακτικά, χρηιμοποιούμε το θεώρημα του Parseval h k = D z D z z dz u ε π j z = Ψηφιακός Έλεγχος 3

14 Μετάδοη φάλματος Παράδειγμα k Έχουμε u( k) = bu( k ) + e( k) Η κρουτική απόκριη είναι h( k) = b D z = bz Η υνάρτηη μεταφοράς είναι q q = b = b Χρηιμοποιώντας τη υνέλιξη: Χρηιμοποιώντας το θεώρημα του Parseval: = k u k= 0 z dz u ε π j bz bz z = υποθέτουμε β < Re π j = = = z b bz bz έχουμε dz s ( b z) άρα z = = u ε b z= b Ψηφιακός Έλεγχος 4

15 Μετάδοη φάλματος Παρατήρηη: Ο θόρυβος κβαντιμού μπορεί να ενιχυθεί με γρήγορη δειγματοληψία: u s e s s b = u( z) + e( z) β z η μετάδοη θορύβου είναι u = ε b Υποθέτοντας b=, T <<, τότε β bt = β = e bt έχουμε T β β Ψηφιακός Έλεγχος 5

16 Τρόπος υλοποίηης-φάλματα Η μετάδοη και ενίχυη του θορύβου κβαντιμού εξαρτάται απο τον τρόπο υλοποίηης του ψηφιακού ελεγκτή (δομή του αλγορίθμου). Θα δούμε τα φάλματα που παράγονται απο τους τρόπους υλοποίηης: Παράλληλη υλοποίηη η περίπτωη: u z c c = D( z) = + e z bz b z e( k) + e m c bz + e m3 u( k) e m + c e m4 bz Ψηφιακός Έλεγχος 6

17 Τρόπος υλοποίηης-φάλματα Θα μελετήουμε τον πολλαπλαιατικό θόρυβο που δημιουργείται απο την αποκοπή των αριθμών ε καταχωρητές πεπεραμένου μήκους λέξεως. Ο θόρυβος κβαντιμού την αριθμητική αντιτροφής έχει μέη τιμή ε = q / και διαπορά = q / ε ε u u zd( z) Η μετάδοη του, δίνεται απο π = ε lim z Αφού η μέη τιμή προτίθεται ως υνάρτηη, έχουμε υνολικά u ε π z Dk ( z) k = u( z) όπου D, i z = i,,3,4 e z = D c m i ( z) = D ( z) bz D3 ( z ) = c = bz D z = 4 π 4 = Ψηφιακός Έλεγχος 7

18 Τελικά, u Τρόπος υλοποίηης-φάλματα c c = ε π b b Για να υπολογίουμε τη διαπορά, χρηιμοποιούμε τη χέη 4 = u k k π j k = ε D z D z z dz Επειδή και η διαπορά προτίθεται, έχουμε q c c = + + u b b Ψηφιακός Έλεγχος 8

19 Παράλληλη υλοποίηη, η περίπτωη: Τρόπος υλοποίηης-φάλματα e m e( k) c + e m bz e + m u( k) c + bz Ψηφιακός Έλεγχος 9

20 Τρόπος υλοποίηης-φάλματα Η μέη τιμή δίνεται από τον τύπο u ε z D ( z) έτι c = k = k όπου D ( z) = u bz = ε π + b b D z c = bz π j Η διαπορά είναι u ε k k οπότε Παρατήρηη: = u = ε + b b k = D z D z z dz Για μεγαλύτερα c, η δεύτερη υλοποίηη δημιουργεί χαμηλότερο θόρυβο κβαντιμού Ψηφιακός Έλεγχος 0

21 Τρόπος υλοποίηης-φάλματα Απευθείας υλοποίηη, πολλαπλαιατικά φάλματα Για την απευθείας υλοποίηη, αλλάζουμε τη μορφή της υναρτηης μεταφοράς: D z ( + ) ( + ) c c c cb c b z = + = bz bz b+ b z + bbz c ή D( z) a = c + c 0 a0 + az = όπου a = ( cb + cb) + βz + βz β = ( b+ b) β = bb Ψηφιακός Έλεγχος

22 Τρόπος υλοποίηης-φάλματα Όπως φαίνεται το παρακάτω χήμα, ο πολλαπλαιατικός θόρυβος δημιουργείται ε 3 κόμβους: ek e m a a 0 + z e m em 3 3 z + + e m u( k) e m β β Ψηφιακός Έλεγχος

23 Τρόπος υλοποίηης-φάλματα Η υνάρτηη μεταφοράς, η μέη τιμή και η διαπορά ε κάθε κόμβο είναι κόμβος ( z) = + z + z = ( z )( z ) u z z ε β β β β π = β u επ ( β β)( ββ) β β β u = ε π ( β )( β ) κόμβος ( z) = + z + z = ( z )( z ) u z z z ε β β β β π = β u επ ( β β)( ββ) β β β u = ε π ( β )( β ) Ψηφιακός Έλεγχος 3

24 Τρόπος υλοποίηης-φάλματα κόμβος 3 ( z) = + z + z = ( z )( z ) u3 z z ε β β β β π 3 = β u3 επ 3 ( β β)( ββ) β β β u = ε 3 π 3 ( β )( β ) Η ολική μέη τιμή του u που δημιουργείται απο τους θορύβους λόγω αποκοπής έχουμε 4ε π u = u + u + u = π 3 ( β )( β ) Ψηφιακός Έλεγχος 4

25 Η ολική διαπορά είναι Τρόπος υλοποίηης-φάλματα 4 β β = = u επ ( β β)( ββ) β β + ββ β β = 4 επ β β ( ββ )( β )( β ) Συγκρίνοντας με το θόρυβο που προκύπτει απο την παράλληλη υλοποίηη έχουμε u u ( παρ. ) ( β β )( ββ) ( + ) ευθ. β β Ψηφιακός Έλεγχος 5

26 Τρόπος υλοποίηης-φάλματα Παρατήρηη Για μεγάλες τιμές της περιόδου δειγματοληψίας οι αριθμητικές τιμές των β, β είναι πολύ κοντα το. Έτι από την προηγούμενη χέη βλέπουμε ότι η παράλληλη υλοποίηη έχει μικρότερη ενίχυη του θορύβου πολλαπλαιαμού. Η ύγκριη της μέης τιμής όπως μεταδίδεται μέα απο την παράλληλη και την ευθεία υλοποίηη είναι: u u ( ευθ ) ( )( ) παρ. β β. Ψηφιακός Έλεγχος 6

27 Σφάλματα τους υντελετές Λόγω του πεπεραμένου μήκους λέξης, οι υντελετές του ελεγκτή μπορεί να είναι διαφορετικοί απο την αρχική υπολογιμένη τιμή τους. Η διαφορά αυτή δημιουργεί μεταβολές τις θέεις των πόλων και των μηδενικών του ελεγκτή. Η ευαιθηία αυτή εξαρτάται απο τη υγκεκριμένη υλοποίηη. Θεωρούμε τη υνάρτηη μεταφοράς: bk D z N( z) N z = = n n k + z bz k k= j= z είναι οι υντελετές του φίλτρου που προδιορίζουν τους πόλους j z j N( z) είναι οι πόλοι της D(z) προδιορίζει τα μηδενικά Ψηφιακός Έλεγχος 7

28 Σφάλματα τους υντελετές Η καινούρια θέη του πόλου zm υναρτήει της μεταβολής των υντελετών υπολογίζεται απο την παρακάτω χέη: k + zm Δ zm = Δb n z m z j j= j m k (Kaiser-Kuo) Δοθέντος ενός φίλτρου δεύτερης τάξης, υλοποιημένου παράλληλα θα υγκρίνουμε τρεις διαφορετικές υλοποιήεις. D z c c + c cb + c b z = + = bz bz b+ b z + bbz c Ψηφιακός Έλεγχος 8

29 α) ευθεία Σφάλματα τους υντελετές = ( + ) ( ) ( ) + ( + ) ( + ) ( ) u k b b u k bb u k c c e k cb c b e k ek cb cb c + c z z + + uk b + b bb Ψηφιακός Έλεγχος 9

30 β) παράλληλη Σφάλματα τους υντελετές = ( ) + = ( ) + = + x k bx k e k x k b x k e k u k c x k c x k + x c ek bz + uk + x c bz Ψηφιακός Έλεγχος 30

31 γ) εν ειρά Σφάλματα τους υντελετές = ( + ) ( + ) ( ) ' = ( ) + = ( ) + ' e k c c e k cb c b e k x k bx k e k u k b u k x k ek ( cb cb) z + + ' e ( k ) x( k) + + uk c + c bz bz Ψηφιακός Έλεγχος 3

32 Σφάλματα τους υντελετές Οι υντελετές των πόλων την εν ειρά και παράλληλη υλοποίηη βαίζονται τα bb, b + b Στην ευθεία υλοποίηη είναι b, b Θεωρούμε την χαρακτηριτική εξίωη P(z,λ) όπου οι τιμές του λ είναι οι υντελετές. Μια μεταβολή λ+δλ υνεπάγεται αλλαγή θέης των πόλων τα z+ δ z, z + δ z,... P P P( zj + δ zj, λ+ δλ) = P( zj, λ) + δz+ δλ z λ ( + δ, λ+ δλ), (, λ) P z z P z όμως j j j είναι μηδέν λόγω οριμού της χαρακτηριτικής εξίωης P = λ P z δ z j z= z j έτι j Ψηφιακός Έλεγχος 3

33 α) η ευθεία υλοποίηη δίνει η μερική παραγώγιη δίνει Έτι, Σφάλματα τους υντελετές P= z b + b z+ bb = z λ z+ λ P = z λ P λ z z b b = = = λ λ = + = z b z b ( b b) b b z = = λ λ = z b z b b P = z λ z Φαίνεται καθαρά ότι για πόλους που βρίκονται πολύ κοντά μεταξύ τους ( b b ) η ευθεία υλοποίηη είναι πολύ ευαίθητη ε μεταβολές των υντελετών. α) για την εν ειρά και παράλληλη υλοποίηη, οι υντελετές που δημιουργούνται απο την υλοποίηη είναι οι ίδιοι οι πόλοι Ψηφιακός Έλεγχος 33

34 Μήκος λέξης και Α/D μετατροπείς Ο μετατροπέας από αναλογικό ε ψηφιακό κβαντίζει το ήμα ειόδου. Το ψηφιακό μήκος λέξης C+ του μετατροπέα προδιορίζεται με δύο τρόπους, α) δυναμική ζώνη του αναλογικού ήματος ειόδου β) θόρυβος κβαντιμού του μετατροπέα α) η δυναμική ζώνη προδιορίζεται απο το λόγο της μέγιτης τιμής του αναλογικού ήματος προς την ελάχιτη τιμή του, e. Υποθέτοντας e max = το επίπεδο e q = min q = C κβαντιμού είναι min όπου, δηλαδή το λιγότερο ημαντικό ψηφίο e max e max Λύνοντας ως προς C έχουμε C = log e e max min Ψηφιακός Έλεγχος 34

35 Μήκος λέξης και Α/D μετατροπείς β) η επίδραη του θορύβου κβαντιμού του μετατροπέα, Η διαπορά για τα φάλματα αποκοπής και τρογγύλευης είναι q a C a = = (αποκοπή) ( C ) + q = = (τρογγύλευη) Οι υπολογιμοί θα γίνουν για την αποκοπή (παρόμοιοι για την τρογγύλευη αν αντικατατήουμε ) C a = + C Υποθέτουμε ότι το αναλογικό ήμα είναι ένα τοχατικό Gaussian ήμα με μέη τιμή 0.5 και πλάτος. Η διαπορά του είναι = Ο λόγος ήματος προς θόρυβο είναι 9 C = 9 = Ca ( ) a Ψηφιακός Έλεγχος 35 a

36 Μήκος λέξης και Α/D μετατροπείς Μετατρέποντας ε dβέχουμε F( db) = 0 0 F db 0C a log 0 log Λύνοντας ως προς C : C a = 0log = 0log F + 0 log F 0 log a 0 = = Το μήκος λέξης του μετατροπέα προδιορίζεται απο τη μέγιτη τιμή του e: C a Παράδειγμα: C a e F db max max + log, emin 6 Το ήμα ειόδου έχει λόγο κορεμού προς κατώφλι 50 (που αντιτοιχεί ε διακριτότητα 0.4%). Ο απαιτούμενος λόγος ήματος προς θόρυβο είναι 40dB. Οι τιμές αυτές δίνουν C C a a { } max + 9, bits Ψηφιακός Έλεγχος 36

37 Μήκος λέξης και Α/D μετατροπείς Μήκος λέξης αριθμητική μονάδας Ο θόρυβος κβαντιμού που δημιουργείται απο το μετατροπέα ενιχύεται την αριθμητική μονάδα. Ο λόγος θορύβου κβαντιμού την είοδο ε και την έξοδο είναι D(z) υνάρτηη μεταφοράς u K = m D ( z) D( z ) z dz ε = π j z = u και ε ε = C a C + ε = (τρογγύλευη) (αποκοπή) Ψηφιακός Έλεγχος 37

38 Μήκος λέξης και Α/D μετατροπείς Υποθέτοντας ότι το επεξεργαζόμενο ήμα είναι Gaussian με μέγιτο πλάτος, ο λόγος ήματος προς θόρυβο είναι F db Λύνοντας ως προς C έχουμε Παράδειγμα: C Έτω a ε = 0log = 0log 0 0 u F db log C a Km / D z = 0.9z Θέλουμε F=40dB Km = D z D z z dz 5.6 π j = = z = ( 0.9) Έτι Ca = 8.7 Έχουμε 0 K m Ψηφιακός Έλεγχος 38

39 Μήκος λέξης μνήμης Μήκος λέξης και Α/D μετατροπείς Θα υπολογίουμε την επίδραη του μήκους λέξης των υντελετών τη θέη των πόλων. Η μέγιτη επιτρεπόμενη αλλαγή θέης ενός πόλου P το s-επίπεδο είναι ΔP. Η αντίτοιχη αλλαγή θέης το z-επίπεδο είναι ( P+ΔP) T ( P ΔP) T PT Δ z = e e = e sinh( ΔPT) Δ z = C Για Δz ίο με το ελάχιτο ημαντικό ψηφίο έχουμε C PT e sinh( PT) Παράδειγμα: = Δ ή C = log PTe log PT ΔP P Για θέη πόλου το P=.5 rad/sec περίοδο δειγματοληψίας Τ=4msec και % μέγιτη ευαιθηία πόλου, έχουμε C C 3bits C + 4bits Ψηφιακός Έλεγχος 39

40 Μήκος λέξης και Α/D μετατροπείς Μήκος λέξης μετατροπέα απο ψηφιακό ε αναλογικό Η υνάρτηη μεταφοράς του μηδενικού ανακατακευατή χαρακτηρίζεται απο H ZOH ( f ) f sin f f f s = όπου Και μια καθυτέρηη φάης ( f ) s φ = ZOH f s = T 0 80 f Για κάποιο ήμα χαμηλής υχνότητας το κέρδος είναι χεδόν μονάδα. Αντιθέτως, η καθυτέρη φάης μπορεί να είναι ημαντκή. Το μήκος λέξης προδιορίζεται απο τη δυναμική ζώνη του αναλογικού αιθητήρα, s f s C log u u sat = sat uth όπου είναι η μέγιτη τιμή αυτού του αιθητήρα Ψηφιακός Έλεγχος 40