ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

Transcript

1 ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα φορέων (ιοτατικών ή υπερτατικών) με ράβδους που είτε φέρουν αξονικά φορτία είτε υφίτανται αυτεντατική κατάταη δηλαδή εξαιτίας μεταβολής της θερμοκραίας, κατακευατικού φάλματος κατά τη υναρμολόγηη ή μετατόπιη τήριξης και χωρίς την επιβολή του φορτίου. Ειδικά για την αυτεντατική κατάταη μελετώνται υπερτατικοί φορείς, διότι μόνο αυτοί αναπτύουν ένταη για τέτοιου είδους κατάταη. Κατατατική Εξίωη Νόμος Hooke: Ο νόμος του Hooke, πρόκειται για την απλούτερη κατατατική εξίωη (χέη που υνδέει της επιβαλλόμενες ορθές τάεις με τις προκύπτουες ορθές παραμορφώεις). Σύμφωνα με τον παραπάνω νόμο, για τα περιότερα υλικά υπάρχει μια περιοχή μικρών χετικά παραμορφώεων όπου παρατηρείται αναλογία μεταξύ τάης και παραμόρφωης και η μεταξύ τους χέη είναι γραμμική. Όπως φαίνεται από το παραπάνω χήμα, παρατηρείται αναλογία ανάμεα ε τάη και παραμόρφωη και μάλιτα ο υντελετής αναλογίας (κλίη της καμπύλης) είναι το μέτρο ελατικότητας Ε του υλικού. Τιμές του μέτρου ελατικότητας για διάφορα υλικά δίνονται τον επόμενο πίνακα. Είναι προφανές πως το μέτρο ελατικότητας είναι ιδιότητα των υλικών.

2 Θα πρέπει να τονιτεί ότι η αναλογία τάης παραμόρφωης την οποία αναφέρεται ο νόμος του Hooke, δεν ιχύει για όλο το εύρος των επιβαλλόμενων τάεων. Παρατηρείται επί του διαγράμματος υγκεκριμένη τιμή της τάης Α (όριο αναλογίας) που για μεγαλύτερες τιμές της τάης παύει να ιχύει η χέη αναλογίας και το υλικό διαρρέει (υνεχιζόμενη αξονική παραμόρφωη υπό ταθερή τάη). Επιπρόθετα θα πρέπει να ημειωθεί πως ο νόμος του Hooke ιχύει για την περίπτωη ομογενούς ράβδου (ίδιο υλικό), η οποία έχει ε όλες τις εγκάριες διατομές της, την ίδια ορθή τάη. Ο νόμος του Hooke δίνεται υπό τη μορφή της χέης = ε Ε. Αν κανείς αναλογιτεί ότι η (ορθή) τάη προκύπτει από την αναγωγή του αξονικού φορτίου της ράβδου ως προς την επιφάνεια της διατομής της παραμόρφωη της ράβδου δίνεται από τη χέη P = και ότι η αξονική (ορθή) A δl ε =, τότε υνδυάζοντας όλες L PL αυτές τις χέεις προκύπτει η χέη δl =, που δίνει την επιμήκυνη (για EA εφελκυτική δύναμη) ή τη βράχυνη (για θλιπτική δύναμη) της ράβδου. Ο βαικός περιοριμός του παραπάνω κατατατικού νόμου είναι ότι αναφέρεται την περίπτωη της μονοαξονικής καταπόνηης (εφελκυμού ή θλίψης) μιας ράβδου, εξιώνοντας μόνο την ορθή τάη με την ορθή παραμόρφωη. Για υνθετότερες περιπτώεις καταπόνηης όπως αυτές που υναντώνται τους περιότερους φορείς, χρηιμοποιούνται οι γενικευμένες εξιώεις του νόμου του Hooke.

3 Θερμικές Συτολο-διατολές υλικών: Αλλαγές τη θερμοκραία των δομικών υλικών μπορούν να προκαλέουν διατολή ή υτολή τους, προκαλώντας με αυτό τον τρόπο θερμικές τάεις και παραμορφώεις. Χαρακτηριτικά για την περίπτωη των ραβδωτών φορέων, προκαλούνται θερμικές παραμορφώεις, με αύξηη ή ελάττωη του μήκους τους. Οι θερμικές παραμορφώεις είναι ανάλογες της αλλαγής της θερμοκραίας του υλικού και μάλιτα όταν ημειώνεται αύξηη της θερμοκραίας λαμβάνει χώρα αύξηη του μήκους της ράβδου ενώ αντίτοιχα μείωη της θερμοκραίας υνεπάγεται μείωη του μήκους του. Η γραμμική χέη που υνδέει τη θερμική παραμόρφωη με την αλλαγή θερμοκραίας ΔΤ είναι η ε= α ΔΤ, όπου a ο υντελετής θερμικής διατολής του υλικού. Συνήθεις τιμές του υντελετή δίνονται τον επόμενο πίνακα. Θα πρέπει να ημειωθεί πως η προκύπτουα παραμόρφωη πρόκειται για ορθή παραμόρφωη. Σημείωη : Επειδή τόο ο νόμος του Hooke όο και η χέη της θερμικής υτολο-διατολής των υλικών είναι γραμμικές, οι προκύπτουες παραμορφώεις μπορούν να προτεθούν αλγεβρικά και να προκύψει η ακόλουθη χέη ε= ε + εθ = + α ΔΤ, όπου η παραμόρφωη λόγω επιβαλλόμενης τάης και Ε η παραμόρφωη λόγω αλλαγής θερμοκραίας. Λόγος Poisson: Εξετάζεται το επόμενο χήμα η περίπτωη ομογενούς ράβδου η οποία φέρει αξονικό φορτίο. Η προκύπτουα ορθή τάη και παραμόρφωη, ικανοποιούν το νόμο του Hooke,όο βέβαια η επιβαλλόμενη ορθή τάη είναι μικρότερη από το όριο αναλογίας. Αν θεωρηθεί πως το αξονικό φορτίο ακείται κατά

4 μήκος του άξονα, τότε η προκύπτουα ορθή τάη θα είναι παραμόρφωη θα είναι E μέτρο ελατικότητας υλικού ράβδου. ε P = ενώ η ορθή A =, με A : εμβαδό διατομής ράβδου και E : Από την επικόπηη ενός κυβικού τοιχείου της ράβδου απειροτών διατάεων, προκύπτει ότι οι ορθές τάεις κατά μήκος των αξόνων yz, είναι μηδενικές. Παρ όλα αυτά, οι ορθές παραμορφώεις κατά μήκος των αξόνων y, z δεν θα είναι μηδενικές. Για όλα τα υλικά που χρηιμοποιούνται τις εφαρμογές Πολιτικού Μηχανικού, η επιμήκυνη που προκαλείται από μια αξονική εφελκυτική δύναμη, κατά τη διεύθυνη εφαρμογής της δύναμης, υνοδεύεται από βράχυνη ε οποιαδήποτε εγκάρια διεύθυνη ως προς τη διεύθυνη επιβολής της αξονικής δύναμης.

5 Με τη θεώρηη ομογενούς (μηχανικές ιδιότητες ανεξάρτητες της θέης) και ιότροπου (μηχανικές ιδιότητες ανεξάρτητες της κατεύθυνης) υλικού, μπορεί να λεχθεί πως η προκύπτουα ορθή παραμόρφωη θα έχει την ίδια τιμή για κάθε εγκάρια διεύθυνη. Συνεπώς για τη φόρτιη του παραπάνω χήματος, θα μπορούε να λεχθεί πως εy = εz. Στο εξής, αυτή η παραμόρφωη θα καλείται πλευρική παραμόρφωη. Ορίζεται ως λόγος Poisson, το αρνητικό πηλίκο της πλευρικής ορθής παραμόρφωης προς την αξονική ορθή παραμόρφωη. Για τη φόρτιη του προηγούμενου τμήματος, εy εz ιχύει : ν =- ε =- ε. Η χρήη του ( ) τον τύπο γίνεται για να προκύψει ως χ χ θετικό το τελικό αποτέλεμα, διότι η ορθή παραμόρφωη είναι θετική (αύξηη μήκους κατά ) ενώ οι ορθές παραμορφώεις, είναι αρνητικές (μείωη μήκους κατά yz)., Το εύρος τιμών του δείκτη Poisson είναι από 0 έως 0,5. y z Με τη χρήη του λόγου Poisson, μπορούν να υπολογιτούν οι ορθές παραμορφώεις,, λαμβάνοντας υπόψη και το νόμου του Hooke. Ιχύει ότι ε y z ε ν E y = z =-. Εφαρμογή της μεθόδου των Παραμορφώεων για την επίλυη υπερτατικών φορέων Για την περίπτωη που ζητείται η επίλυη (υπολογιμός αντιδράεων-εωτερικών δυνάμεων-μετατοπίεων) ενός υπερτατικού φορέα, μπορεί να γίνει επίλυη με χρήη της μεθόδου των Παραμορφώεων. Η διαδικαία που ακολουθείται είναι η εξής :

6 Ελευθέρωη του φορέα από τις τηρίξεις του και χεδίαη του διαγράμματος ελευθέρου ώματος. Θεώρηη θέης ιορροπίας του φορέα και καταγραφή των 3 τερεοτατικών εξιώεων ιορροπίας. Λόγω παραδοχής μικρών μετατοπίεων (μετακινήεις και τροφές), οι εξιώεις ιορροπίας θα γραφούν για την αρχική κατάταη του φορέα. Εκτίμηη του βαθμού υπερτατικότητας του προβλήματος. ηλαδή γίνεται αναγνώριη του πλήθους των επιπλέων εξιώεων που απαιτούνται για την επίλυή του. Θεώρηη της παραμορφωμένης κατάταης του φορέα και καταγραφή των εξιώεων υμβιβατού των παραμορφώεων. Και ε αυτή την περίπτωη υπάρχει η παραδοχή μικρών μετατοπίεων (μετακινήεις και τροφές). Επιδίωξή μας είναι η εύρεη γεωμετρικών χέεων μεταξύ παραμορφωιακών μεγεθών (κυρίως μετακινήεις). Αυτές αποτελούν τις εξιώεις υμβιβατού και την ουία θα καταλήξουν να είναι οι πρόθετες εξιώεις που απαιτούνται για την άρη της υπερτατικότητας του προβλήματος. Συνδυαμός κατατατικών εξιώεων (νόμος Hooke-νόμος θερμικής υτολο-διατολής υλικών) και εξιώεων υμβιβατού για την μετατροπή των χέεων υχέτιης μετατοπίεων ε χέεις υχέτιης δυνάμεων. Υπολογιμός των άγνωτων υπερτατικών μεγεθών με τη χρήη των τερεοτατικών εξιώεων ιορροπίας και των χέεων υχέτιης δυνάμεων του προηγούμενου ερωτήματος. Με όλα τα υπερτατικά μεγέθη γνωτά υπολογίζονται, αν ζητούνται, οι εωτερικές δυνάμεις ή οι παραμορφώεις του φορέα.