ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i) (7 μον) Βρείτε μια βάη και τη διάταη του V. ii) (7 μον) Βρείτε μια βάη του ορθογωνίου υμπληρώματος V του V. iii) ( μον) Έτω f : η γραμμική απεικόνιη που ορίζεται από f(,,) = α, f(,,) = β, f(,,) = γ. Βρείτε τη διάταη του πυρήνα ker f της f. Λύη i) Εφαρμόζουμε τις ακόλουθες τοιχειώδεις πράξεις γραμμών τον πίνακα με Γ Γ,,, Γ Γ 5 Γ Γ γραμμές τα αβγδ,,, : Γ Γ Γ Γ. 5 5 Παρατηρούμε ότι οι μη μηδενικές γραμμές του τελευταίου πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Άρα μια βάη του V είναι το ύνολο{ (,,),(,,)} οπότε dimv =. (Σημειώνουμε ότι μια άλλη βάη του V είναι το { αβ, } γιατί το τμήμα της απαλοιφής Gauss που εφαρμόαμε πριν δεν υπειέρχονται εναλλαγές γραμμών). Εναλλακτικά γράφουμε τα διανύματα αβγδ,,, ως τήλες ενός πίνακα και κάνουμε γραμμοπράξεις: Γ Γ Γ+Γ Επειδή η η και η η τήλη του τελικού πίνακα έχουν μη μηδενικά οδηγά τοιχεία η η και η η τήλη του αρχικού πίνακα δηλαδή τα { αβ, } είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύματα παράγουν τον χώρο. ii) Επειδή το ύνολο {(,,),(,,)} παράγει το V, έχουμε ότι ( x, yz, ) V αν και μόνο αν το ( x, yz, ) είναι κάθετο και το (,, ) και το (,,), δηλαδή αν και μόνον αν x+ y= y+ z=. Οι λύεις του υτήματος αυτού είναι z z,, ( xyz,, ) = ( z), z. Μια βάη του χώρου των λύεων, και άρα του V, είναι το ύνολο {(,,) }.

2 iii) Επειδή τα (,,),(,,),(,,) παράγουν το πεδίο οριμού της f και η f είναι γραμμική απεικόνιη, οι εικόνες τους, δηλαδή τα αβγ,, παράγουν το Im f. Από τη ημείωη το ερώτημα i) έχουμε Im f = V και άρα dim Im f =, οπότε dim ker f = dim Im f =. Ή εναλλακτικά ως πίνακας της απεικόνιης ως προς τις κανονικές βάεις είναι ο πίνακας με τήλες τα αβγ,, Γ Γ Γ+Γ 5 Επειδή η η και η η τήλη του τελικού πίνακα έχουν μη μηδενικά οδηγά τοιχεία η η και η η τήλη του αρχικού πίνακα δηλαδή τα { αβ, } είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύματα παράγουν τον χώρο εικόνα της απεικόνιης, άρα dim Im f =, οπότε dim ker f = dim Im f =. Θέμα ( μονάδες) Έτω A= ( ). M i) ( μον) Χρηιμοποιώντας επαγωγή το, δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο + ιχύει A =. + ii) ( μον) Βρείτε το χαρακτηριτικό πολυώνυμο, τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύματα του A. iii) (5 μον) Εξετάτε αν ο A διαγωνοποιείται. iv) (5 μον) Δικαιολογήτε γιατί υπάρχει ορθογώνιος πίνακας Pέτι ώτε ο T T P AA P να είναι διαγώνιος χωρίς να υπολογίτε έναν τέτοιο P. Λύη 8 i) Για = έχουμε A = = =. Έτω ότι + A = για κάποιο. Τότε + + ( + ) + + ( + ) + A = A A = =. + ( + ) ( + ) + ii) Το χαρακτηριτικό πολυώνυμο του A είναι λ det( A λi) = det = ( λ)( λ) + = λ λ+ = ( λ ) και άρα λ οι ιδιοτιμές του A είναι οι,. (ή μπορούμε να πούμε ότι έχουμε μία διπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας ιδιοτιμή). Λύνοντας το ύτημα ( ) x A I, y = x y βρίκουμε =, y, οπότε τα ιδιοδιανύματα του είναι τα y y A

3 y = y, y y {}. Δηλαδή η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής είναι. iii) Από τη μορφή των ιδιοδιανυμάτων του A που υπολογίαμε πριν, έπεται ότι κάθε δύο από αυτά είναι γραμμικά εξαρτημένα. Άρα δεν υπάρχει βάη του αποτελούμενη από ιδιοδιανύματα του A, δηλαδή ο A δεν διαγωνοποιείται. Εναλλακτικά μπορούμε να πούμε (το ιοδύναμο) ότι A δεν διαγωνοποιείται διότι η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής του δεν ιούται με τη αλγεβρική πολλαπλότητά της. T T T T T T t iv) Επειδή ( AA ) = ( A ) A = AA, ο AA είναι υμμετρικός και από το T T φαματικό θεώρημα έπεται η ύπαρξη ορθομοναδιαίου P με P AA P=διαγώνιος. Εναλλακτικά, ο T AA = = είναι υμμετρικός και από το φαματικό T T θεώρημα έπεται η ύπαρξη ορθομοναδιαίου P με P AA P=διαγώνιος. Θέμα ( μονάδες) + ( 5) + i) ( μον) Υπολογίτε το όριο της ακολουθίας a =, =,,... + (Υπόδειξη: διαιρέτε τόο τον αριθμητή όο και τον παρονοματή του κλάματος με -οτή δύναμη κατάλληλου αριθμού.) ii) ( μον) Εξετάτε αν υγκλίνουν οι ειρές + =,. = + iii) (μον) Υπολογίτε το ολοκλήρωμα x x dx.(υπόδειξη: μέθοδος αντικατάταης.) iv) ( μον) Υπολογίτε το γενικευμένο ολοκλήρωμα παραγοντική ολοκλήρωη.) Λύη i) Έχουμε ( 5) ( 5) + lim a lim = lim = = lim = =, + + αφού, 5, <. + x xe dx. (Υπόδειξη:

4 + ii) Με το κριτήριο της ρίζας έχουμε lim + + lim lim = = = <, οπότε η ειρά υγκλίνει. Για τη δεύτερη παρατηρούμε ότι οι όροι είναι θετικοί και = +. Επειδή η υγκλίνει, η αρχική υγκλίνει. = iii) Θέτοντας u= x έχουμε du = dx και x= u+, οπότε x x dx = ( u + ) udu = u du + u du = u + u + c= ( x ) + ( x ) + c iv) Για το αντίτοιχο αόριτο ολοκλήρωμα χρηιμοποιούμε ολοκλήρωη κατά παράγοντες x x x x x x xe dx= xd( e ) ( xe e dx) ( xe e ) c = = + +. Άρα + x a a a xe dx lim ( ae e ) lim ae lim e a = + = + a + = a + 9 a + 9 a + = + 9 e 9 a lim ae lim. a + a + a a Υπολογίζουμε το lim + x xe dx =. 9 a + e a a με το κανόνα L Hospital, lim = lim = a + a a e + e a, οπότε Θέμα ( μονάδες) i) ( μον) Για ποιες τιμές του a η ακόλουθη υνάρτηη είναι υνεχής το ; a, x= f( x) = x e si( x) x, x. e ii) Θεωρούμε τη υνάρτηη g:, g( x) = x x. a. (5 μον) Βρείτε τα διατήματα όπου η g είναι αύξουα ή φθίνουα. b. (5 μον) Βρείτε όλα τα x τα οποία η g έχει τοπικό μέγιτο, τοπικό ελάχιτο ή ημείο καμπής και δείξτε ότι gx ( ) για κάθε 8 x. c. ( μον) Καταγράψτε ένα ολοκλήρωμα (χωρίς να το υπολογίετε) που δίνει το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον άξονα των x και τη γραφική παράταη της gx.(υπόδειξη: ( ) εξετάτε το πρόημο της gx) ( ) Λύη

5 i) Ως πηλίκο υνεχών υναρτήεων, είναι αφές ότι η f ( x ) είναι υνεχής ε κάθε x. Άρα η f είναι υνεχής το αν και μόνο αν x e si( x) lim f ( x) = f() lim = a. Εφαρμόζοντας τον κανόνα L Hospital έχουμε x x x e x x x e si( x) e si( x) + e cos x lim = lim =. Άρα η f είναι υνεχής το αν x x x x e e και μόνο αν a =. ii) a και b. Η παράγωγος της gx ( ) είναι g ( x) = x x = x (x ) οπότε g ( x) = x=,. Επίης, g ( x) = x x= x(x ) οπότε g ( x) = x=,. Παρατηρούμε ότι τα διατήματα (,) και (, ) η gx ( ) είναι γνηίως g ( x) < gx φθίνουα, αφού τα διατήματα αυτά έχουμε. Με ανάλογο τρόπο η ( ) είναι γνηίως αύξουα το (, ) +. Άρα υπάρχει τοπικό ελάχιτο το x = (που είναι το μοναδικό τοπικό ακρότατο). Παρατηρούμε ότι για κάθε x (, ) έχουμε g ( x) > και άρα η gx ( ) τρέφει τα κοίλα προς τα πάνω το διάτημα αυτό. Με ανάλογο τρόπο έχουμε ότι το (, ) η gx ( ) τρέφει τα κοίλα προς τα κάτω και το (, + ) η gx ( ) τρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. Άρα τα x = και x = έχουμε ημεία καμπής. Συνοπτικά η υμπεριφορά της υνάρτηης φαίνεται τον ακόλουθο πίνακα: Είδαμε πριν ότι η gx ( ) είναι γνηίως φθίνουα τα διατήματα (,) και και γνηίως αύξουα το (, ) +. Άρα το ελάχιτο, δηλαδή έχουμε gx ( ) g( ) = = είναι το ζητούμενο. (, ) x = η gx ( ) εμφανίζει ολικό 8 για κάθε x που 5

6 c. Έχουμε gx ( ) = x=,. Για κάθε x [, ] έχουμε gx ( ) και άρα το εμβαδόν του χωρίου της άκηης δίνεται από ( ) = ( ( )) = ( + ). g x dx g x dx x x dx Θέμα 5 ( μονάδες) i) Στο τυπογραφείο Α εκτυπώνεται το 7% του υνολικού αριθμού αντιτύπων ενός βιβλίου και το τυπογραφείο Β εκτυπώνεται το % του υνολικού αριθμού αντιτύπων του βιβλίου αυτού. Είναι γνωτό ότι το % των αντιτύπων που προέρχονται από το Α είναι ελαττωματικά και το 5% των αντιτύπων που προέρχονται από το Β είναι ελαττωματικά. a. Υπολογίτε την πιθανότητα ένα αντίτυπο του βιβλίου που επιλέγεται τυχαία να είναι ελαττωματικό. b. Υπολογίτε την πιθανότητα ότι ένα αντίτυπο του βιβλίου που είναι ελαττωματικό να έχει εκτυπωθεί το Α. (Υπόδειξη: Θεωρείτε τα ενδεχόμενα Α={το αντίτυπο του βιβλίου εκτυπώθηκε το τυπογραφείο Α} Β={το αντίτυπο του βιβλίου εκτυπώθηκε το τυπογραφείο Β} Ε={το αντίτυπο του βιβλίου είναι ελαττωματικό}.) ii) ( μον) Ο χρόνος T (ε λεπτά) που ξοδεύουν κάθε μέρα οι μαθητές ενός Λυκείου τέλνοντας μηνύματα SMS μοντελοποιείται από μία κανονική κατανομή. Το % των μαθητών ξοδεύουν λιγότερο από λεπτά την ημέρα με τα SMS, ενώ το 5% των μαθητών ξοδεύουν περιότερο από 5 λεπτά την ημέρα με τα SMS. Βρείτε τη μέη τιμή και την τυπική απόκλιη του χρόνου T. Δίνεται ότι Φ(-.5)=. και Φ(.85)=.5. (Δεν είναι απαραίτητο να γίνουν οι διαιρέεις των δεκαδικών τιμών που προκύπτουν τις αριθμητικές παρατάεις των και μ. ) Λύη i) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α={το αντίτυπο του βιβλίου εκτυπώθηκε το τυπογραφείο Α} Β={το αντίτυπο του βιβλίου εκτυπώθηκε το τυπογραφείο Β} Ε={το αντίτυπο του βιβλίου είναι ελαττωματικό}. Έχουμε από την υπόθεη ότι 7 PA ( ) =, PB ( ) =, PE ( A) =, PE ( B) = 5. a. Επειδή τα AB, είναι διαμέριη του δειγματοχώρου A B, μπορούμε να εφαρμόουμε το θεώρημα ολικής πιθανότητας 7 5 PE ( ) = P( APE ) ( A) + PBPE ( ) ( B) = + =. b. Χρηιμοποιώντας το προηγούμενο αποτέλεμα έχουμε 7 PE ( APA ) ( ) PAE ( ) = = =. PE ( )

7 ii) Έχουμε T N( μ, ). Από τα δεδομένα της άκηης έχουμε ( < ) =. P( T μ μ μ PT < ) =. P( Ζ< ) =. οπότε μ =.5. Επίης από P( Τ> 5) =.5 έπεται ότι 5 μ P( Τ< 5) =.5 P( Τ< 5) =.5 P( Ζ< ) =.5 οπότε 5 μ =.85. Λύνοντας το ύτημα βρίκουμε μ =.5 μ= = μ =.85 μ= = 5 = = μ= 5.85= 5.85 = =