Κεφάλαιο Πρώτο. Συναρτήσεις και πίνακες θνησιμότητας

Transcript

1 Κεφάλαιο Πρώτο Συναρτήσεις και πίνακες θνησιμότητας. Πρόλογος Η θνησιμότητα είναι ένα βιολογικό φαινόμενο με πολλές κοινωνικές και οικονομικές προεκτάσεις. Διαφοροποιείται ανάλογα με το φύλο, την ηλικία, την οικογενειακή κατάσταση, τον τόπο διαμονής, διάφορες επιβλαβείς συνήθειες (κατανάλωση αλκοόλ, κάπνισμα), την διατροφή, τις επικρατούσες συνθήκες ιατροφαρμακευτικής περίθαλψης και την κληρονομικότητα. Η θνησιμότητα είναι ένας από τους τρεις παράγοντες -οι άλλοι δύο είναι η γεννητικότητα και η μετανάστευση- οι οποίοι διαμορφώνουν το μέγεθος και τη σύνθεση κάθε πληθυσμού. Είναι δηλαδή ένα σημαντικό δημογραφικό φαινόμενο το οποίο επηρεάζει την εξέλιξη και τη μορφή του πληθυσμού. Οι μετρήσεις της θνησιμότητας έχουν τεράστιο ενδιαφέρον από την πλευρά της πολιτείας γιατί έτσι γίνονται μακροχρόνια σχέδια για την υγεία, την εργασία και τη κοινωνική ασφάλιση. Οι αλλαγές στα ποσοστά θνησιμότητας στην πάροδο του χρόνου πρέπει να μετρηθούν και να προβλεφθούν με ακρίβεια, προκειμένου να ενημερωθούν διάφοροι επιστημονικοί κλάδοι, όπως για παράδειγμα στον τομέα των ασφαλίσεων ζωής και των συνταξιοδοτικών (ιδιωτικών και κοινωνικών) σχημάτων. Από την αρχή του εικοστού αιώνα, έχουν σημειωθεί σημαντικές πτωτικές τάσεις στα ποσοστά θνησιμότητας, αλλά οι τάσεις αυτές δεν είναι ομοιόμορφες σε όλες της ηλικιακές ομάδες. Η αύξηση του προσδόκιμου ζωής, ιδίως στον ο αιώνα, είναι το αποτέλεσμα μιας σύνθετης σειράς αλλαγών (του βιοτικού επιπέδου, της δημόσιας υγείας της προσωπικής υγιεινής και της ιατρικής περίθαλψης), κάθε ένα εκ των οποίων παίζει είτε σημαντικό είτε δευτερεύοντα ρόλο σε διαφορετικές χρονικούς περιόδους. Παράγοντες θνησιμότητας Η ηλικία του ασφαλισμένου είναι ο σημαντικότερος παράγων θνησιμότητας. Άλλοι σπουδαίοι παράγοντες που διαφοροποιούν την θνησιμότητα είναι οι εξής : (α) Στατικοί Πίνακες (Sac ables) θνησιμότητας έναντι γενεαλογικών πινάκων(cohor lfe able) ή πινάκων με προβολή (proeced ables). Δυο τρόποι κατηγοριοποίησης των πινάκων θνησιμότητας είναι να θεωρήσουμε την γενιά (γενεαλογικός πίνακας) και την περίοδο (στατικός πίνακας) του πίνακα θνησιμότητας. Για την κατασκευή ενός πίνακα θνησιμότητας ανά γενιά καταγράφονται τα στοιχεία θνησιμότητας μιας ομάδας ατόμων από την γέννηση του πρώτου έως τον θάνατο του τελευταίου μέλους. Η περίοδος του πίνακα θνησιμότητας εξαρτάται πλήρως από τη τιμή θνησιμότητας που επικρατεί στη περίοδο την οποία αυτό κατασκευάστηκε. Έτσι,η προσδόκιμη ζωή βασίζεται στη περίοδο των πινάκων θνησιμότητας μέσω του αναμενόμενου αριθμού ετών ζωής εάν το άτομο υπόκειται σε ολόκληρη τη ζωή του στην ίδια θνησιμότητα που επικρατεί το παρών έτος, το οποίο σημαίνει ότι ο χρόνος δεν λαμβάνεται υπόψη σαν παράγοντας που επηρεάζει τη θνησιμότητα. Ωστόσο, η κατασκευή των περιόδων των πινάκων θνησιμότητας σε σωστές περιόδους επιτρέπει το παράγοντα χρόνο να επηρεάζει τη θνησιμότητα μετά τον υπολογισμό της προσδόκιμης ζωής με βάση μια «ιδεατή» γενιά. Στην περίπτωση συμβολαίων με ισόβιες ράντες πληρωμών, όπως είναι οι συντάξεις, όπου ο ασφαλιστής πληρώνει τον ασφαλισμένο μέχρι την αποβίωση του, ένας πίνακας θνησιμότητας, όπως τον έχουμε περιγράψει, είναι εις βάρος του ασφαλιστή γιατί δεν παίρνει υπόψη του την εξέλιξη της θνησιμότητας με το πέρασμα των χρόνων (έχει παρατηρηθεί ότι η θνησιμότητα, για τις περισσότερες ηλικίες, φθίνει ιδίως τις τελευταίες δεκαετίες). Ένας στατικός πίνακας θνησιμότητας είναι βασισμένος σε μια χρονική περίοδο και δεν λαμβάνει υπόψη τον παράγοντα χρόνο, ένας σημαντικός παράγοντας ιδίως όταν μιλάμε για ισόβιες ράντες πληρωμών που αποτελούν ένα μεγάλο και αυξανόμενο ποσοστό ασφαλιστικών εργασιών. Έτσι, πολλές εταιρίες ανά τον κόσμο προσανατολίζονται σε πίνακες θνησιμότητας με προβολή, αναγνωρίζοντας τον παράγοντα χρόνο ως ένα σημαντικό παράγοντα σε σχέση με την θνησιμότητα. Αυτού του είδους οι πίνακες θα μπορούσαμε να τους ονομάσουμε γενεαλογικούς πίνακες θνησιμότητας, γιατί εκτιμούν

2 μέτρα θνησιμότητας ακολουθώντας μια ομάδα ατόμων που έχουν γεννηθεί την ίδια χρονιά. Η περίοδος του πίνακα θνησιμότητας είναι το πιο αποτελεσματικό μέσο ανάλυσης της θνησιμότητας και επιβίωσης του πληθυσμού. Αυτό είναι ακόμα ένα χρήσιμο εργαλείο για τη σύγκριση των στοιχείων της θνησιμότητας. (β) Πίνακες θνησιμότητας καπνιστών έναντι μη καπνιστών. Ξεχωριστοί πίνακες θνησιμότητας χρησιμοποιούνται σε πολλές χώρες (ΗΠΑ, Αγγλία) για καπνιστές και μη καπνιστές, σε αναγνώριση της διαφοράς που υπάρχει μεταξύ αυτών, όσον αφορά την θνησιμότητα. Ένα παράδειγμα είναι ο παρακάτω πίνακας. Πίνακας Σχέση καπνίσματος με θνησιμότητα (πηγή: Lcol Εθνική Αντασφαλιστική) Προσδόκιμη ζωή σε έτη Κατανάλωση τσιγάρων ανά μέρα 78,7 Κανένα 76, Πρώην καπνιστής 7, < 5 69, , ,9 > 35 γ) Το φύλο : Αναλογιστικές μελέτες έχουν δείξει ότι οι γυναίκες παρουσιάζουν μεγαλύτερο δείκτη νοσηρότητας από τους άνδρες αλλά παρουσιάζουν μια αισθητά χαμηλότερη θνησιμότητα και αυτό για κάθε ηλικία. δ) Η υγιεινή κατάσταση του υποψήφιου ασφαλισμένου : ελέγχεται με σειρά υγειονομικών εξετάσεων (Medcal), που κλιμακώνονται ανάλογα με την ηλικία και το ασφαλισμένο κεφάλαιο, είτε σε περιπτώσεις καλυπτόμενων κεφαλαίων μικρού ύψους και ατόμων μικρής ηλικίας με δήλωση καλής υγείας και μόνο (No-Medcal). ε) Τρόπος διαβίωσης : που μπορεί να αναφέρεται σε περιοχές που παρουσιάζουν αυξημένους κινδύνους ή στο επάγγελμα και στις διάφορες ενασχολήσεις χόμπι (π.χ. κασκαντέρ, δύτες, ανθρακωρύχοι, αξιωματικοί κ.λ.π.) καθώς επίσης ο χαρακτήρας και οι συνήθειες (ριψοκίνδυνος, υπερβολική χρήση οινοπνεύματος και καπνού, χρήση ναρκωτικών κ.λ.π.). Στην ασφαλιστική πρακτική, η στάση του ασφαλιστή για βεβαρημένους ή επαχθείς κινδύνους αντιμετωπίζεται με επιβάρυνση του ασφαλίστρου, και το επιπλέον εισπραττόμενο ασφάλιστρο ονομάζεται επασφάλιστρο (era preu). Το πρόβλημα με τους επαχθείς κινδύνους είναι να προσδιοριστεί σωστά η έκταση του επιπλέον κινδύνου.. Συναρτήσεις Θνησιμότητας Έστω η μεταβλητή να δηλώνει την ηλικία ενός ατόμου. Θεωρητικά, η μεταβλητή μπορεί να πάρει τιμές από το μηδέν μέχρι το άπειρο. Στην πράξη όμως θεωρούμε ότι η μεταβλητή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από μηδέν μέχρι το ανώτατο όριο ζωής, που το συμβολίζουμε με ω, και ονομάζεται έσχατη ή οριακή ηλικία (he lg age) και παριστάνει την ηλικία στην οποία θεωρούμε ότι ο θάνατος είναι σίγουρο γεγονός. Συνήθως στην αναλογιστική πρακτική θεωρούμε ότι ω ή ω. Επίσης, ως () θα συμβολίζουμε ένα άτομο που έχει ηλικία με ετικέτα (label). Έστω Τ η συνεχής (μη αρνητική) τυχαία μεταβλητή να δηλώνει την διάρκεια ζωής ενός ατόμου (lfee) ή την μελλοντική ζωή ενός νεογέννητου ή ισοδύναμα να εκφράζει την ανθρώπινη ηλικία στον θάνατο (age a deah). Έτσι, η Τ έχει σύνολο τιμών R [, ] ή στην πράξη η Τ έχει σύνολο τιμών R [, ω]. Μπορούμε τώρα ως να ορίσουμε την συνεχή (μη αρνητική) τυχαία μεταβλητή να δηλώνει την απομένουσα (resdual of lfe) ή μελλοντική ζωή (fuure lfee) του () ή ισοδύναμα να δηλώνει τον χρόνο που απομένει μέχρι το θάνατο του (). Για έχουμε τη τυχαία μεταβλητή. Έτσι,

3 μπορούμε να δηλώσουμε ως έχει σύνολο τιμών R Τ > με σύνολο τιμών R [, ] ή στην πράξη η [, -ω]. Επίσης, μπορούμε ως K να ορίσουμε τον ακέραιο αριθμός ετών που θα ζήσει ο (). Τα ακέραια χρόνια απομένουσας ζωής (curae fuure lfee) είναι μια διακριτή (μη αρνητική) τυχαία μεταβλητή και διαφέρει από την κατά το ότι η K αγνοεί οποιοδήποτε κλάσμα έτους ζήσει πριν από το θάνατο ο (). Έτσι, έχουμε ότι K [Τ χ ] και K + S όπου η διακριτή τυχαία μεταβλητή K παίρνει ακέραιες τιμές από το σύνολο {,,,,ω--} και η συνεχής τυχαία μεταβλητή S παίρνει τιμές στο διάστημα [,), δηλαδή S <, και η S αντιπροσωπεύει το κλάσμα έτους που ζει o () κατά τη χρονιά του θανάτου του. Ορίζουμε την συνάρτηση επιβίωσης της διάρκειας ζωής (Survval dsrbuo fuco) Τ ως S ( ): P( > ) ω, όπου S ( ) να δηλώνει την πιθανότητα ένα νεογέννητο να επιβιώσει πέρα από την ηλικία, είτε ισοδύναμα να δηλώνει την αναμενόμενη αναλογία των μελών ενός πληθυσμού νεογέννητων που επιβιώνουν πέραν της ηλικίας. Παρατηρούμε ότι η S ( ) είναι φθίνουσα συνάρτηση καθώς το αυξάνει, καθώς και ότι η συνάρτηση S ( ) είναι συνεχής συνάρτηση της. Επίσης γνωρίζουμε, εκ των προτέρων, δύο τιμές της συνάρτησης αυτής. Ισχύει ότι S () και S ( ω ). Το διάγραμμα της συνάρτησης επιβίωσης ως προς το χρόνο είναι γνωστό ως καμπύλη επιβίωσης (survval curve). Γράφημα.. : Καμπύλη Επιβίωσης πληθυσμού Γυναικών Ελλάδος , Τ,8 S(),6,4,, Μπορούμε τώρα να ορίσουμε την συνάρτηση κατανομής της διάρκειας ζωής (Lfee dsrbuo fuco or falure dsrbuo) (της τυχαίας μεταβλητής Τ ) ως F ( ): P( ) ω να δηλώνει την πιθανότητα ένα νεογέννητο να αποβιώσει έως την ηλικία. Ισχύει ότι F () P( ) P( ), F ( ω) P( ω) καθώς και ότι S ( ) F ( ). Η αντίστοιχη συνάρτηση πυκνότητας της διάρκειας ζωής (Lfee probably desy fuco) (της τυχαίας μεταβλητής Τ) ορίζεται ως d F( + d) F( ) P( < + d) f( ) F( ) l l ω, d d d d d με f( ) d F( + d) F( ) P ( < + d) να δηλώνει την πιθανότητα ότι ο θάνατος ενός νεογέννητου θα συμβεί στο απειροελάχιστο χρονικό-ηλικιακό διάστημα (, +d). Από τη θεωρία των πιθανοτήτων είναι γνωστό ότι το γινόμενο f( ) d df( ) δηλώνει την γνωστή απειροστή πιθανότητα ή την στοιχειώδη πιθανότητα που στην περίπτωση της ανάλυσης επιβίωσης δίνει τη μη δεσμευμένη πιθανότητα η αποτυχία, δηλαδή εδώ ο θάνατος, να συμβεί στο απειροστό διάστημα (, 3

4 df ( ) +d) και η f ( ) μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί τον στιγμιαίο ρυθμό θανάτων, γι αυτό d και το διάγραμμα της συνάρτησης πυκνότητας διάρκειας ζωής f ( ) είναι γνωστό και ως καμπύλη θανάτων. Γράφημα.. : Καμπύλη Θανάτων πληθυσμού Γυναικών Ελλάδος ,5,4 f(),3,, Ανάλογες ιδιότητες από την θεωρία πιθανοτήτων ισχύουν F( ) f ( ) u du και S( ) f( u) du Επίσης, η πιθανότητα ότι ένα νεογέννητο θα αποβιώσει μεταξύ ηλικιών και είναι < P f u du F F S S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) και η δεσμευμένη πιθανότητα ότι ένα νεογέννητο θα αποβιώσει μεταξύ των ηλικιών και, δεδομένου επιβίωσης στην ηλικία, είναι F( ) F( ) S( ) S( ) P ( / > ) < F ( ) S ( ) ω Έστω τώρα, d ένα πολύ μικρό διάστημα ζωής-τιμών της συνεχής τυχαίας μεταβλητής Τ. Τότε η πιθανότητα η Τ να πάρει τιμές στο διάστημα (, +d), ή ισοδύναμα, η πιθανότητα το ενδεχόμενο του θανάτου να εμφανιστεί στο διάστημα (, +d), είναι P ( + d) και μπορεί να υπολογιστεί όταν είναι γνωστή η συνάρτηση πυκνότητας διάρκειας ζωής ή η συνάρτηση κατανομής ή η συνάρτηση + d επιβίωσης : P( < + d) f () u du F ( + d) F () S () S ( + d). Αν υποθέσουμε ότι το άτομο έχει επιβιώσει (βρίσκεται εν ζωή) σε ηλικία ακριβώς τότε η πιθανότητα το ενδεχόμενο του θανάτου να εμφανιστεί στο διάστημα (, +d) αντιστοιχεί στη δεσμευμένη P ( < + d) F( + d) F() f() d πιθανότητα P ( < + d / > ). P ( > ) F( ) F ( ) Διαιρώντας τη παραπάνω δεσμευμένη πιθανότητα με το μήκος του διαστήματος (, +d), δηλαδή με P ( < + d / > ) το d παίρνουμε τον ρυθμό. Αν στη συνέχεια πάρουμε το όριο του d παραπάνω ρυθμού, καθώς το μήκος του διαστήματος d τείνει στο μηδέν, τότε ορίζουμε την συνάρτηση κινδύνου (hazard fuco) ή συνάρτηση διακινδύνευσης. Έτσι, ορίζουμε ως συνάρτηση κινδύνου της διάρκειας ζωής Τ, και συμβολίζεται με h ( ) το όριο: P ( < + d / > ) h ( ) l. Στην αναλογιστική επιστήμη, την συνάρτηση d d κινδύνου την ονομάζουμε ένταση ή ισχύς θνησιμότητας (force of oraly), για άτομα ηλικίας ακριβώς, και την συμβολίζουμε ως h ( ) μ ( ) μ. Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι 4

5 P ( < + d) μ l. Επειδή όμως d P ( > ) d df( ) F( + d) F( ) f ( ) l d d d P ( < + d) l καταλήγουμε ότι d d f( ) f( ) μ. Δηλαδή P ( > ) S ( ) μ d S ( ) d S ( ) ή d μu du μ S ( ( )) και ολοκληρώνοντας έχουμε ότι S ( ) e. Παρατηρούμε ότι η ένταση d f( ) f( ) θνησιμότητας μ έχει ερμηνεία δεσμευμένης μάζας πιθανότητας. Για κάθε F( ) S ( ) ηλικία, η ένταση θνησιμότητας δίνει την τιμή της δεσμευμένης μάζας πιθανότητας της διάρκειας ζωής στην ακριβή ηλικία, δεδομένου επιβίωσης ως την ηλικία αυτή, και έτσι το γινόμενο μ d δηλώνει την πιθανότητα ότι άτομο ηλικίας ακριβώς (δηλαδή άτομο που έχει ζήσει ως την ηλικία ) θα αποβιώσει αμέσως μετά στο διάστημα d, δηλαδή μεταξύ των ηλικιών (, +d). Η συνάρτηση κινδύνου είναι ρυθμός και όχι πιθανότητα για αυτό μπορεί και να πάρει τιμές μεγαλύτερες της μονάδας. Γράφημα..3 : Ισχύς Θνησιμότητας, σε λογαριθμική κλίμακα, πληθυσμού Γυναικών Ελλάδος , L(μ ),,, Η συσωρευτική συνάρτηση κινδύνου (Cuulave hazard fuco) ορίζεται ως ( ) Λ ( ) μu du ls ( ) ή S ( ) e Λ Ορίζουμε ως δεσμευμένη συνάρτηση επιβίωσης διάρκειας ζωής (Codoal Lfee Survval Fuco) την πιθανότητα επιβίωσης έως ένα χρονικό σημείο, έστω +, δοθέντος ότι υπάρχει επιβίωση έως ένα χρονικό σημείο που προηγείται, έστω, (π.χ. δοθέντος ότι ένα άτομο έχει επιβιώσει στην ηλικία των 4 ποια είναι η πιθανότητα να επιβιώσει ως την ηλικία των 7 ετών). Οι τιμές της συνάρτησης αυτής είναι προφανώς πιθανότητες (ή ισοδύναμα μπορεί να ερμηνευτεί ως η αναμενόμενη αναλογία των μελών ενός πληθυσμού ατόμων οι οποίοι θα επιβιώσουν έως την ηλικία, έστω +, δοθέντος ότι επιβιώνουν στην ηλικία ). Στην αναλογιστική επιστήμη την δεσμευμένη πιθανότητα αυτή ή την δεσμευμένη συνάρτηση επιβίωσης τη συμβολίζουμε ως p που ερμηνεύεται ως η πιθανότητα ότι άτομο ηλικίας θα επιβιώσει χρόνια. Οι πιθανότητες p έχουν να κάνουν με κατανομές ενός υποσυνόλου του δειγματικού χώρου της τυχαίας μεταβλητής Τ, έτσι ώστε οι τιμές της Τ να είναι μεγαλύτερες του. Τέτοιου είδους κατανομές ονομάζονται περικομμένες κατανομές της Τ κάτωθεν της (rucaed below ). Ισοδύναμα, ως δεσμευμένη συνάρτηση επιβίωσης διάρκειας ζωής 5

6 (της τυχαίας μεταβλητής Τ) ή ως περικομμένη συνάρτηση επιβίωσης της Τ κάτωθεν της μπορούμε να ορίσουμε την συνάρτηση επιβίωσης απομένουσας ζωής (της τυχαίας μεταβλητής ) ως p S () P( > ) ω δηλαδή την πιθανότητα άτομο ηλικίας να επιβιώσει τουλάχιστον χρόνια. Φυσικά S () και S ( ω ). Σύμφωνα με τον ορισμό της απομένουσας ζωής ( > ) έχουμε ότι P ( > + ) S ( + ) S () P( > ) P( > + / > ) P ( > ) S ( ) μu du ή ισοδύναμα S ( + ) p S (). Επίσης, από την σχέση S ( ) e καταλήγουμε ότι S ( ) p S ( ) S ( + ) e S ( ) e + μu du μu du + μu du Αντίστοιχα μπορούμε να ορίσουμε και τη δεσμευμένη συνάρτηση κατανομής διάρκειας ζωής (Codoal Lfee Dsrbuo Fuco), συμβολίζεται ως q, δηλαδή την πιθανότητα ότι άτομο ηλικίας θα πεθάνει μέσα σε χρόνια (θα πεθάνει πριν φτάσει στην ηλικία +) ή η περικομμένη συνάρτηση κατανομής της Τ κάτωθεν του. Ισοδύναμα, ως δεσμευμένη συνάρτηση κατανομής διάρκειας ζωής (της τυχαίας μεταβλητής Τ) ή ως περικομμένη συνάρτηση κατανομής της Τ κάτωθεν της μπορούμε να ορίσουμε την συνάρτηση κατανομής απομένουσας ζωής (της τυχαίας μεταβλητής P ( < + ) F( + ) F( ) ): q F () P( ) ( ) < P < + > να P ( > ) F ( ) δηλώνει την πιθανότητα ότι άτομο ηλικίας θα αποβιώσει μέσα σε έτη ( ω ). Φυσικά S( ) S( + ) F () και F ( ω ). Εύκολα διαπιστώνουμε ότι q. Προφανώς q S ( ) δηλώνει την πιθανότητα άτομο ηλικίας θα αποβιώσει μέσα στο επόμενο έτος ζωής. Επίσης, ισχύει q +. p Μια άλλη χρήσιμη δεσμευμένη συνάρτηση πιθανότητας ορίζεται αν συμβολίσουμε με / q την πιθανότητα άτομο ηλικίας να ζήσει χρόνια αλλά να αποβιώσει στα επόμενα χρόνια, ή ισοδύναμα άτομο ηλικίας να πεθάνει μεταξύ των ηλικιών + και ++. Έτσι, έχουμε ότι / q p q+ + q q p + p. Στην ειδική περίπτωση όπου, συμβολίζουμε ως / q να δηλώνει την πιθανότητα άτομο ηλικίας θα ζήσει χρόνια αλλά θα αποβιώσει στο επόμενο έτος δηλαδή μεταξύ των ηλικιών + και ++. Η αντίστοιχη συνάρτηση πυκνότητας απομένουσας ζωής (Codoal Lfee Desy Fuco) (της τυχαίας μεταβλητής ) ή η περικομμένη κάτωθεν του συνάρτηση πυκνότητας της τυχαίας d F( + ) F( ) μεταβλητής Τ ορίζεται ως f () F () και από την σχέση F () d έχουμε F ( ) d F( + ) F ( ) f ( + ) S ( + ) f () ω. Λόγω της σχέσης S ( ), d S ( ) S ( ) S () X f ( + ) f ( + ) ( ) παίρνουμε f () S () S ( ) και από την σχέση S ( + ) μ f S ( ) καταλήγουμε ότι e 6

7 f () p μ + ω, όπου μ + η ένταση θνησιμότητας στην ηλικία +. Επίσης, d f ( p) () d d μ + μ + l( p ). p p d P ( () + d/ > ) f p μ+ Παρατηρούμε ότι h () l μ+ καθώς και ότι d d S () p P ( d/ > + ) h ( + ) l μ +, >. Δηλαδή, η συνάρτηση κινδύνου d d h () της απομένουσας ζωής (της τυχαίας μεταβλητής ) στο σημείο ισούται με την συνάρτηση κινδύνου της διάρκειας ζωής (της τυχαίας μεταβλητής Τ) στο σημείο + ή ισοδύναμα ισχύει ότι μ () μ ( ) + μ +. Έτσι, η ένταση θνησιμότητας ενός νεογέννητου ατόμου στην ηλικία +, με χρόνο ζωής όπως περιγράφεται από την τυχαία μεταβλητή Τ, ταυτίζεται με την ένταση θνησιμότητας ατόμου ηλικίας στην ηλικία +, με χρόνο ζωής όπως περιγράφεται από την τυχαία μεταβλητή και συνεπώς και στις δύο αυτές περιπτώσεις θα την συμβολίζουμε ως μ +. Αυτή η δίχως μνήμη ιδιότητα της έντασης θνησιμότητας δεν ισχύει σε περιπτώσεις όπου υπάρχει αρχική επιλογή (al seleco) σε κάποιο καθεστώς με διαφορετική θνησιμότητα. Η έννοια της αρχικής επιλογής αναλύεται σε επόμενη ενότητα. Επίσης από τον ορισμό της συνάρτησης κατανομής απομένουσας ζωής έχουμε ότι p μ + q F () P( < < ) f ( ) d d. Η σχέση αυτή μπορεί να συναχθεί και διαισθητικά ως εξής : γνωρίζουμε ότι q είναι η πιθανότητα άτομο ηλικίας να αποβιώσει μεταξύ ηλικίας και +. Αν θεωρήσουμε ότι ο χρόνος αυτός ζωής αποτελείται από μια σειρά στοιχειωδών χρονικών διαστημάτων μήκους d και ότι αν το άτομο αποβιώσει μεταξύ και + τότε το γεγονός αυτό πρέπει να συμβεί μέσα σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, έστω στο στοιχειώδης διάστημα (+, ++d). Η πιθανότητα αυτού του ενδεχομένου ισούται με το γινόμενο των πιθανοτήτων : (πιθανότητα άτομο ηλικίας να επιβιώσει ως την ηλικία +)* (πιθανότητα άτομο ηλικίας + να αποβιώσει μεταξύ ηλικίας + και ++d) Η δεύτερη πιθανότητα, όπως έχουμε δει, είναι η ένταση θνησιμότητας, δηλαδή πολλαπλασιασμένο με το d, δηλαδή μ + d. Έτσι, η πιθανότητα άτομο ηλικίας να αποβιώσει μεταξύ ηλικίας + και ++d είναι p μ + d και η πιθανότητα ότι ο θάνατος θα συμβεί μεταξύ της ηλικίας και + είναι Ανάλογα μπορούμε να δείξουμε ότι q / p μ +. l p μ+ d p μ+ d ολων _ των _ στοιχειωδων _ χρονικων _ διαστηματων _ απο ως _ + d Στις περιπτώσεις όπου τα δεδομένα δεν είναι πλήρη για όλες τις ηλικίες, τότε κατάλληλα μοντέλα σε αυτές τις περιπτώσεις συχνά απαιτούν την χρήση των περικομμένων κατανομών κάτωθεν (below) και άνωθεν (above). Δηλαδή υποθέτουμε ότι παρατηρούμε τιμές μίας τυχαίας μεταβλητής έστω Χ μόνο στο διάστημα (a,b). Τότε, η περικομμένη συνάρτηση κατανομής είναι μ + d. 7

8 a FX( ) FX( a) FX ( a< X < b) α < b FX( b) FX( a) > b η περικομμένη συνάρτηση επιβίωσης είναι a SX( ) SX( b) SX ( a< X < b) α < b SX( a) SX( b) > b η περικομμένη συνάρτηση πυκνότητας είναι fx ( ) a< b fx ( a< X < b) FX( b) FX( a) αλλου και η περικομμένη συνάρτηση κινδύνου είναι fx( a< X < b) fx( ) hx ( a< X < b) S ( a< X < b) S ( ) S ( b) X Παρατηρούμε ότι η περικομμένη συνάρτηση κινδύνου εξαρτάται μόνο από το b, το άνωθεν σημείο και όχι από το α, το κάτωθεν σημείο. Έτσι, αν η κατανομή είναι περικομμένη μόνο κάτωθεν τότε η fx( a< X) fx( ) συνάρτηση κινδύνου δεν αλλάζει εφόσον hx( a< X) hx( ) και S ( a< X) S ( ) S ( b ) αν θέσουμε b. X X X X X Η συνάρτηση πιθανότητας της ακεραίας απομένουσας ζωής τυχαίας μεταβλητής K ορίζεται ως pk ( k) P( K ) ( ) k P k < k+ κ p q + k pk ( k) κ q για κ,,,,ω-- Η συνάρτηση κατανομής της ακεραίας απομένουσας ζωής της τυχαία μεταβλητής K ορίζεται ως F ( k) P( K k) q K k ( ) F k q για κ,,,,ω-- K k+ Η προσδόκιμη ζωή (Epecao of lfe), ατόμου ηλικίας, είναι η μαθηματική ελπίδα της απομένουσας ζωής, ατόμου ηλικίας, δηλαδή ο αναμενόμενος μελλοντικός χρόνος (ea resdual lfe) μέχρι το θάνατο του (). Συμβολίζεται με e και έχουμε ότι ω ω f () p Τ e E( ) f ( ) d p μ+ d. Αλλά μ + p p p p μ +, έτσι μπορούμε να καταλήξουμε ότι ω ω ω ω e ( p) d [ p] + p d e p d Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να ερμηνευτεί διαισθητικά ως εξής : η πιθανότητα ότι η στοιχειώδης χρονική περίοδος από την διάρκεια έως την διάρκεια +d (μήκους d) θα προστεθεί στο χρόνο ζωής του () είναι p (η πιθανότητα επιβίωσης στη διάρκεια ). Τότε ο συνολικός αναμενόμενος 8

9 μελλοντικός χρόνος ζωής ατόμου ηλικίας είναι μέσος αριθμός ετών που αναμένεται να ζήσει άτομο ηλικίας είναι ηλικία στον θάνατο ατόμων ηλικίας είναι + e. ω p d ω. Δηλαδή, e. Έτσι, ο p d e, οπότε η αναμενόμενη μέση Γράφημα : Προσδόκιμη ζωή για κάθε ηλικία, πληθυσμού Γυναικών Ελλάδος Γράφημα : Μέση ηλικία στον θάνατο για κάθε ηλικία, πληθυσμού Γυναικών Ελλάδος , 5,, 95, 9, 85, 8, 75, Η αναμενόμενη μέση τιμή της διάρκειας ζωής, δηλαδή ή τιμή, γνωστή στη διεθνής βιβλιογραφία, και με τους όρους Μέσος Όρος Ζωής (Average Lfe), Μέση Ζωή (ea lfe), Μέσος Χρόνος Επιβίωσης (ea survval e), Αναμενόμενη Ζωή (epeced lfe) ή Μέση Ζωή (lfe epecacy), και Πλήρης Μέση (ή αναμενόμενη) Ζωή είναι ένα μέτρο κεντρικής τάσης των τιμών της διάρκειας ζωής ή ο μέσος όρος της κατανομής της διάρκειας ζωής. Οι τιμές της αναμενόμενης ζωής εκφράζονται στις ίδιες μονάδες μέτρησης με τις οποίες εκφράζονται και οι τιμές της μεταβλητής της διάρκειας ζωής και ερμηνεύονται με τον ίδιο τρόπο που ερμηνεύονται οι τιμές της αναμενόμενης μέσης τιμής κάθε τυχαίας μεταβλητής. Η διασπορά της απομένουσας ζωής είναι Var( ) E( ) ( E( )) p μ d e. e ω + Από την ιδιότητα E( g( X)) g() + g ( ) [ F X ( )] d, όπου Χ μια μη αρνητική συνεχή τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση κατανομής F X ( ) και g(.) μια πραγματική συνάρτηση με συνεχή παράγωγο, μπορούμε να πάρουμε οποιεσδήποτε ροπές της εφόσον η παραπάνω σχέση για g( X) X μας δίνει [ FX ( )] d E( X ) και έτσι αν θέσουμε όπου g ( ) καταλήγουμε ότι ω E ( ) p d. Οπότε Var( ) p d e ω 9

10 H διάμεση τιμή της απομένουσας ζωής (eda of fuure lfee) ορίζεται εκείνη η τιμή, έστω, της, που ικανοποιεί τη σχέση P ( > ),5 ή ισοδύναμα S( + ) S ( ) ( ) ( ),5 P > P > + > S ( ) Η διάμεση τιμή της διάρκειας ζωής, δηλαδή η τιμή, της, που ικανοποιεί τη σχέση P ( > ),5, γνωστή και ως διάμεση ζωή ή διάμεση μελλοντική ζωή, αντιστοιχεί σε εκείνη την τιμή της πέραν της οποίας επιβιώνει ο μισός πληθυσμός. Ως εφαρμογή, αν S (5),5 τότε 5 και συμπεραίνουμε ότι ο μισός πληθυσμός ηλικίας ετών θα επιβιώσει πέρα των 7 ετών. Ομοίως μπορούμε να ορίσουμε τιμές διαφόρων ποσοστιαίων σημείων. Γενικά το ρ ποσοστιαίο σημείο της απομένουσας ζωής, όπου p, είναι εκείνη η τιμή της και την συμβολίζουμε S( p + ) συνήθως με p, που ικανοποιεί τη σχέση S ( ) ( ) p P > p p p και S ( ) ερμηνεύεται ως τιμή της απομένουσας ζωής όπου υπάρχει πιθανότητα p % να επιβιώσει ο (). Ως εφαρμογή, αν S τότε 3, μας δίνει το 8οστό ποσοστιαίο σημείο, (ή 8 η (3),8,8 ποσοστιαία τιμή), και ερμηνεύεται ότι υπάρχει πιθανότητα 8% άτομο ηλικίας να επιβιώσει πέρα από την ηλικία των 5 ετών. Μπορούμε επίσης να ορίσουμε και την επικρατούσα τιμή της απομένουσας ζωής (ode of fuure lfee) ως την τιμή του τέτοια ώστε η τιμή f ( ) p μ+ να είναι μέγιστη. Η τιμή αυτή μπορεί να ερμηνευτεί ως η ηλικία (+ ) τέτοια ώστε η πιθανότητα άτομο ηλικίας () να αποβιώσει να είναι η μέγιστη. Ανάλογα, μπορούμε να ορίσουμε και την ακέραια προσδόκιμη ζωή (Curae epecao of lfe), ατόμου ηλικίας, που είναι η μαθηματική ελπίδα της ακεραίας απομένουσας ζωής K, ατόμου ηλικίας δηλαδή τα αναμενόμενα μελλοντικά γενέθλια, ατόμου ηλικίας. Συμβολίζεται με e και έχουμε ω ω e E( K) κ κ p q+ κ e κ p. Η σχέση αυτή μπορεί να ερμηνευτεί πιο άμεσα ως κ k εξής : η πιθανότητα ότι η χρονιά από την ηλικία +κ έως την ηλικία +κ+ προστίθεται στο χρόνο ζωής που ατόμου ηλικίας είναι κ + p (δηλαδή η πιθανότητα ότι άτομο ηλικίας επιβιώνει στην ηλικία +κ+). Τότε ο συνολικός ακέραιος αναμενόμενος μελλοντικός χρόνος ζωής, ατόμου ηλικίας ω ω p. θα είναι e p κ κ+ κ κ Μια χρήσιμη αναδρομική χρήσιμη σχέση της ακεραίας προσδόκιμης ζωής είναι η e E( K) P( ) E( K ) + P( < ) E( K < ) p ( + e+ ) + q e p ( + e + ).

11 Γράφημα: Ακέραια προσδόκιμη ζωή για κάθε ηλικία, πληθυσμού Γυναικών Ελλάδος ω Var( K ) κ κ q e κ ω ω ω ω κ κ q κ κ p κ+ p κ κ p ( κ ) κ p κ κ κ κ ω Var ( K ) κ κ p e e. κ Η διασπορά της ακέραιης απομένουσας ζωής K γίνεται αναλυτικά ( ) ω κ (κ ) κ p. Άρα καταλήγουμε ότι. Πιο Ισοδύναμα, από την ιδιότητα EgX ( ( )) g() + [ g ( + ) g ( )] [ F( )], όπου Χ μια διακριτή τυχαία μεταβλητή με σύνολο τιμών R X {,,,...} και με συνάρτηση κατανομής F X ( ), και αν g(.) μια πραγματική συνάρτηση, τότε μπορούμε να πάρουμε οποιεσδήποτε ροπές της K εφόσον η παραπάνω σχέση για g( X) X μας δίνει EX ( ) [( + ) ] [ F X ( )] και έτσι αν θέσουμε όπου Συχνά μας ενδιαφέρει η e e E S X K, για παίρνουμε την E( K ) και για την σχέση μεταξύ e και e. Εφόσον X K +S ( ) E K. έχουμε ότι + ( ). Σε περίπτωση αναλυτικής συνάρτησης επιβίωσης είναι δυνατός ο υπολογισμός και των δύο μαθηματικών ελπίδων e και e, επομένως και της ES ( ). Σε περίπτωση όμως της εμπειρικής κατανομής όπου τα μόνα γνωστά είναι οι τιμές των κ p για τιμές των κ (που μπορεί να επάγεται και ένας πίνακας θνησιμότητας όπως θα εξετάσουμε αργότερα) είναι δυνατός μόνο ο υπολογισμός της e και προκειμένου να βρεθεί η e απαιτείται ο υπολογισμός της ES ( ). Για να επιτευχθεί αυτό χρειάζεται κάποια υπόθεση για την κατανομή της S. Η συνηθέστερη υπόθεση είναι ότι η τυχαία μεταβλητή S ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο (,), δηλαδή ότι η S (,).

12 Οπότε ES ( ) και Var( S ). Συνεπώς, κάτω από την υπόθεση της ομοιόμορφης κατανομής για την τυχαία μεταβλητή S παίρνουμε ότι e e +. Επιπλέον, αν υποθέσουμε ανεξαρτησία μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών K και S έχουμε Var( ) Var( K ) + Var( S ) Παράδειγμα Υποθέστε ότι το διπλάσια ένταση θνησιμότητας Λύση Γνωρίζουμε ότι ω χ κ κ κ Var( ) p e e +. q συνδέεται με την ένταση θνησιμότητας μ. Ποια είναι η σχέση μεταξύ μ+ d p e μ+ d μ+ d. Επομένως q p e ( e ) p ( q ). μ, και ότι το q και q '? q ' συνδέεται με την Παράδειγμα Για την ακόλουθη συνάρτηση επιβίωσης: S Τ (), να βρεθούν τα F Τ (), f Τ (), μ, SΤ ( ) ω, FΤ (), f Τ (), p, q, μ +. Λύση d f Τ () S Τ () FΤ (), fτ() FΤ(), ω μ, ω ω d ω S () Τ ω ω + SΤ () ( + ) S ω ω Τ, FΤ () S () F () Τ Τ, S ( ) Τ ω ω ω d fτ () F () Τ d ω, ( ) p SΤ, ( ) ωω Τ q F ω,. fτ ( ) f ( ) μ μ ω Τ + + p p ω ω ω Παράδειγμα Άτομο ηλικίας (4) υπόκειται σε έναν επιπλέον κίνδυνο θνησιμότητας για το επόμενο έτος μόνο. Αν υποθέσουμε ότι ο επιπλέον κίνδυνος μπορεί να εκφραστεί προσθέτοντας την συνάρτηση.3(-) την κανονική ένταση θνησιμότητας, για αυτό το έτος μόνο, ποια είναι η πιθανότητα επιβίωσής του στο έτος αυτό; Λύση

13 Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα p ' 4. Εφόσον ο επιπλέον κίνδυνος (era rsk) προστίθεται στην ισχύ θνησιμότητας γι αυτό το χρόνο, τότε θα έχουμε ένα νέο ' μ 4 + : μ + u ' μ 4+ μ ( ) du όπου. Γνωρίζουμε ότι p e. Επομένως ' 4 ' μ 4 + d 4 + ( μ + ( )) p e e.5 p 4 e p d μ 4 + d.3 d ( ) e e Παράδειγμα Η p p μ + δείχνει τη μεταβολή της πιθανότητας επιβίωσης για συγκεκριμένη ηλικία καθώς το χρονικό διάστημα αυξάνει. Η p δείχνει πώς μεταβάλλεται η πιθανότητα επιβίωσης επί συγκεκριμένο χρονικό διάστημα όταν μεταβάλλεται η αρχική ηλικία. Να δειχθεί ότι p p ( μ μ + ). Βλέπουμε ότι, όπως είναι φυσικό, για κάθε η p είναι φθίνουσα συνάρτηση του και για κάθε η p είναι φθίνουσα συνάρτηση του. Να δειχθεί ότι p p είναι ανεξάρτητο του και ίσο με μ. p Λύση Ισχύει ότι + + μ u du μ u du + p e e { μu du} p ( μ μ ) +. p p p ( ) p Τώρα, μ μ + + μ + μ. p p Παράδειγμα Θεωρούμε δύο ανεξάρτητες ως προς τη θνησιμότητα ζωές, όπου ο ένας είναι καπνιστής και ο άλλος όχι. Δεδομένου ότι: μ είναι η ισχύς θνησιμότητας για τον μη- καπνιστή, για ω, και c* μ είναι η ισχύς θνησιμότητας για τον καπνιστή, για ω, όπου c μια σταθερά : c>. Υπολογίστε την πιθανότητα ότι η προσδοκώμενη ζωή του καπνιστή είναι μεγαλύτερη από του μη- καπνιστή, δηλαδή sk την P ( ) ( ) ) >. Δίνεται ότι P X > Y f, y d dy. ( y Λύση Έστω ότι: p είναι η πιθανότητα επιβίωσης του μη- καπνιστή, είναι η απομένουσα ζωή του μηsk sk καπνιστή, p είναι η πιθανότητα επιβίωσης του καπνιστή και είναι η απομένουσα ζωή του καπνιστή. Τότε > >. c μs + ds c μs + ds μs + ds sk sk c c c p P ( ) e e ( e ) p [ P ( ) ] 3

14 Άρα p p. Οπότε η ζητούμενη πιθανότητα sk c ω ω sk sk sk P( > ) P( > ) f ( ) d p f ( ) d ω c d d p p d [ p] ω c+. c+ c+ Παράδειγμα c Αν η συνάρτηση πυκνότητας της διάρκειας ζωής δίνεται από τον τύπο : f () c e για, c> υπολογίστε την E ( ), Var ( ), την διάμεσο της και την κορυφή της κατανομής της. Λύση o c e E[ ] c e d. c c E [ ] ce d Var[ ] E[ ] E[ ]. c c c c Για την διάμεσο έχουμε eda( ), τέτοιο ώστε c c c ce d,5 e +,5 l e l c l l l eda( ) c c. Για την κορυφή έχουμε od e( ) ', έτσι ώστε f, (') > f () c 3 c f ' c e <, f '' c e,. Άρα od ( ) () () e, με f (). Εδώ έχουμε τα εξής c..3 Πίνακες Θνησιμότητας (Moraly ables) Ένας πίνακας θνησιμότητας είναι μια στατιστική αναλογιστική μέθοδος για να εκφράσουμε συνοπτικά τις πιθανότητες επιβίωσης (ή αποβίωσης) καθώς επίσης για να περιγράψουμε τον υπολειπόμενο χρόνο ζωής μιας ομάδας ανθρώπων. Στην αναλογιστική πρακτική ο πίνακας θνησιμότητας ή ισοδύναμα ένας πίνακας ζωής (lfe able) κατασκευάζεται αφού εκτιμηθούν πρώτα οι δεσμευμένες πιθανότητες q, για ακέραιες ηλικίες αρχίζοντας από μια συγκεκριμένη ελάχιστη ηλικία (συνήθως από την ηλικία ), με συνέπεια ένας πίνακας ζωής να ορίζει πλήρως την κατανομή της K. Οι πιθανότητες αυτές διακρίνονται για κάθε ακέραια ηλικία. Ο πίνακας θνησιμότητας αποτελεί μια στατιστική τεχνική για την παρουσίαση και τη σύνοψη των στοιχείων θνησιμότητας ενός πληθυσμού σε μια φόρμα που επιτρέπει απαντήσεις σε ερωτήματα όπως : ποια είναι η πιθανότητα ένας άντρας ηλικίας να επιβιώσει (ή αποβιώσει) μέχρι την ηλικία y ; ή ποιος είναι ο μέσος αριθμός ετών απομένουσας ζωής για άτομο που έχει φτάσει στην ηλικία ; Οι πίνακες θνησιμότητας χρησιμοποιούνται για διάφορους σκοπούς, όπως στην δημογραφία για την πρόβλεψη πληθυσμών, στις ασφαλίσεις ζωής για τον υπολογισμό των μαθηματικών ασφαλίστρων καθώς και στον προσδιορισμό των εισφορών σε ένα συνταξιοδοτικό πρόγραμμα. Η μέθοδος ενός πίνακα θνησιμότητας είναι εφαρμόσιμη όχι μόνο στην ανάλυση της θνησιμότητας αλλά και πολλών μετρήσιμων διαδικασιών, 4

15 όπως στην κλινική μελέτη των ανθρώπων ή στις εργαστηριακές μελέτες των ζώων. Η εφαρμογή της μεθόδου μπορεί να γενικευτεί, όπως για παράδειγμα στο να περιγράψεις το ιστορικό ζωής και θανάτου των αυτοκινήτων ή στην μελέτη της διάρκειας ζωής ενός λαμπτήρα. Συνεπώς ο πίνακας θνησιμότητας εξελίχθηκε σε ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για τους αναλογιστές, τους βιολόγους, τους φυσικούς, τους δημογράφους, τους κατασκευαστές, τους ερευνητές δημόσιας υγείας και τους ερευνητές σε πολλά ακόμη πεδία. Οι έρευνες που συνδέθηκαν με την κατασκευή των πινάκων θνησιμότητας ξεκίνησαν τον 7 ο αιώνα. Ο Βρετανός Joh Grau κατασκεύασε το 66 τον πρώτο πίνακα θνησιμότητας για τους κατοίκους του Λονδίνου. Αργότερα ο διάσημος μαθηματικός Wlhel Lebz παρουσίασε στην Βασιλική κοινότητα του Λονδίνου αξιόπιστα στατιστικά στοιχεία σχετικά με την πόλη του Wroclaw. Βασιζόμενος σε αυτά τα δεδομένα ο αστρονόμος Edud Halley κατασκεύασε τον πρώτο αξιόπιστο πίνακα θνησιμότητας το 693 χρησιμοποιώντας την μέθοδο που έγινε γνωστή μεταγενέστερα ως η μέθοδος του Halley. Το 76 η μέθοδος του Halley συμπληρώθηκε από τον διάσημο Ελβετό μαθηματικό Leohard Euler. Μεταγενέστερες τροποποιήσεις συμπεριλαμβανομένου της συμβολής των Per Warge (749) και Rchard Prce (783) και έπειτα το 8 ο Γάλλος επιστήμονας Perre Laplace πρότεινε μια μέθοδο για την κατασκευή πίνακα θνησιμότητας με χρήση στατιστικών δεδομένων. Αυτό το πρώτο ιστορικό επίπεδο μπορεί να χαρακτηριστεί ως η περίοδος της περιγραφικής στατιστικής θνησιμότητας παρά ως μοντελοποίηση κάτω από ένα μοντέρνο ύφος. Οι πίνακες θνησιμότητας χρησιμοποιήθηκαν αρχικά στην αναλογιστική επιστήμη για τον υπολογισμό ασφαλίστρων στις ασφαλίσεις ζωής και στην δημογραφία για την μελέτη της δομής του πληθυσμού. Εξαιτίας των εργασιών των βιοστατιστικών (στατιστικοί υγείας στην ιατρική) στις αρχές του 95, οι πίνακες θνησιμότητας άρχισαν να τραβούν την προσοχή των βιοστατιστικών. Τα πλεονεκτήματα στην θεωρία πιθανοτήτων και στατιστικής και οι ομοιότητες των πινάκων θνησιμότητας με την θεωρία της αξιοπιστίας και της ανάλυσης επιβίωσης έκαναν εφικτή την παρουσίαση του πίνακα θνησιμότητας από την καθαρά στοχαστική σκοπιά μέσα σε ένα αυστηρά θεωρητικό πλάνο. Η ανάλυση του πίνακα θνησιμότητας αναδύθηκε σαν μια αυστηρή και ακριβής στατιστική μέθοδος. Ας υποθέσουμε ότι, σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, έχουμε έναν ιδεατό πληθυσμό που τον παρατηρούμε από την στιγμή της γέννησης του, και έστω ότι έχουμε l νεογέννητα άτομα, καθώς και ότι οι l ζωές υπόκεινται στον ίδιο νόμο θνησιμότητας. Με την πάροδο του χρόνου (ζωής) κάποιοι θα επιβιώσουν και κάποιοι όχι. Έστω l να αντιπροσωπεύει τον (αναμενόμενο) αριθμό επιζώντων της ομάδας που φτάνουν στην ακριβής ηλικία, από τους l νεογέννητους. Έτσι έχουμε l νεογέννητα άτομα, και υποθέτουμε ότι οι l ζωές υπόκεινται στον ίδιο νόμο θνησιμότητας, έτσι ώστε P ( > ) P ( > ), όπου η τυχαία μεταβλητή δηλώνει την διάρκεια ζωής του -ατόμου, για,,,. Με την πάροδο του χρόνου (ζωής) κάποιοι θα επιβιώσουν και κάποιοι όχι. Έστω η τυχαία μεταβλητή S( ) νεογέννητων, ηλικίας. Τότε παρατηρούμε ότι να δηλώνει τον αριθμό των επιζώντων, από την γενιά των l S( ) I όπου I η δείκτρια τυχαία μεταβλητή για την επιβίωση της ζωής, για,,,, έτσι ώστε η I θα πάρει την τιμή αν η -ζωή θα επιβιώσει στην ηλικία ή την τιμή αν η -ζωή δεν επιβιώσει στην ηλικία, δηλαδή > I {. Επειδή όμως EI ( έχουμε ) P ( > ) P ( > ) S( ) l E( S( )/ l ) E( I ) l S ( ) l l p, όπου το l αντιπροσωπεύει τον αναμενόμενο 5

16 αριθμό επιζώντων της ομάδας που φτάνουν στην ακριβής ηλικία, από τους έχουμε ότι l l S( ) ή S l ( ). l l νεογέννητους και έτσι Επιπλέον, κάτω από την υπόθεση ότι οι δείκτες I είναι αμοιβαία ανεξάρτητοι (δηλαδή οι ζωές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους ως προς την θνησιμότητα) τότε ο αριθμός των επιζώντων S( ) ακολουθεί μια διωνυμική κατανομή με παραμέτρους τον αριθμό των δοκιμών l και πιθανότητα επιτυχίας p P ( > ) S ( ), δηλαδή S ( ) Boall (, S ( )). Είδαμε ότι η συνάρτηση επιβίωσης S ( ), εφόσον όπως έχουμε ορίσει η S ( ) δηλώνει την πιθανότητα ένα νεογέννητο να επιβιώσει πέρα από την ηλικία, ή ισοδύναμα να δηλώνει την αναμενόμενη αναλογία των μελών ενός πληθυσμού νεογέννητων που επιβιώνουν πέραν της ηλικίας. Επειδή η συνάρτηση επιβίωσης S ( ) είναι πιθανότητα, τότε το l είναι ο αναμενόμενος αριθμός επιζώντων της ομάδας που φτάνουν στην ακριβής ηλικία από τους l νεογέννητους. Η διαφορά μεταξύ των δύο αυτών συναρτήσεων είναι ότι, παρόλο που μαθηματικά είναι ταυτόσημοι και περιέχουν την ίδια πληροφορία, η συνάρτηση επιβίωσης S ( ) είναι πιθανότητα και έτσι έχει πιθανοθεωρητική ερμηνεία, ενώ η συνάρτηση l έχει πιθανοθεωρητική ερμηνεία (αναμενόμενος αριθμός επιζώντων ηλικίας από τους νεογέννητους) καθώς και ντετερμινιστική (deersc) ερμηνεία (αριθμός l επιζώντων ηλικίας από μια γενιά με + l νεογέννητους). Από τα παραπάνω έχουμε ότι S (). Όλες μαζί οι από κοινού τυχαίες μεταβλητές, S (), S (),, S( ω ), δηλαδή όλοι οι αριθμοί των επιζώντων σε κάθε ηλικία,,ω-, ακολουθούν την cha boal dsrbuo, με συνάρτηση πυκνότητας ω l ( l ) + l+ l + PS ( () l, S() l,..., S( ω ) l ) ( p) ( p ) l ω, μαθηματικό μέσο E( S( )) l p, διασπορά Var ( S ( )) l p ( p ) και συνδιακύμανση Cov( S (, S( y)) l y p ( ) για y (Chag, 96). Ομοίως, αν με την τυχαία μεταβλητή Δ δηλώνουμε τον αριθμό των θανάτων μεταξύ ηλικίας και +, από τις l ζωές και με d E( Δ ) τον αναμενόμενο αριθμό θανάτων στο διάστημα μεταξύ ηλικιών και +, τότε Δ l C, όπου η δείκτρια τυχαία μεταβλητή η οποία παίρνει την τιμή αν η -ζωή αποβιώσει μεταξύ ηλικιών και + ή την τιμή αν η -ζωή δεν αποβιώσει < + μεταξύ ηλικιών και +, δηλαδή C {. Έτσι, ο αναμενόμενος αριθμός διαφορετικα θανάτων στο διάστημα μεταξύ ηλικιών και + γίνεται l C d E( Δ ) l EC ( ) P( < + ) l P( < + ) l S ( ) S( + ) l q, εφόσον η ποσότητα l l + S( ) S( + ) q δηλώνει την αδέσμευτη πιθανότητα ότι ένα νεογέννητο θα l [ ] 6

17 αποβιώσει μεταξύ ηλικίας και + (ή την αναλογία των νεογέννητων που θα αποβιώσουν μεταξύ ηλικίας και +). Επιπλέον, κάτω από την υπόθεση ότι οι ζωές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους ως προς την θνησιμότητα, τότε η Δ ακολουθεί μια διωνυμική κατανομή με παραμέτρους l και p P ( < + ) q: Δ Boal( l, q ). Όλες μαζί οι από κοινού (αδέσμευτες) τυχαίες μεταβλητές, Δ, Δ,, Δ ω, δηλαδή όλοι οι αριθμοί των θανάτων για κάθε ηλικία,,,ω-, ακολουθούν την (πολυμεταβλητή) πολυωνυμική κατανομή (uloal dsrbuo), με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας l ( ) ω P( d, d,..., d ) ( q ) Δ Δ Δ ω ω ω d d... d μαθηματικό μέσο E( Δ ) l q, διασπορά Var( Δ ) l q ( q ) και συνδιακύμανση Cov( Δ, Δ ) l q q y. y Τώρα, δεδομένου (codoal) ότι έχουμε l επιζώντες στην ακριβής ηλικία, ο αριθμός των θανάτων μεταξύ ηλικίας και +, Δ / l, ακολουθεί μια διωνυμική κατανομή με παραμέτρους l και p P ( < + / > ) q: Δ / l Boal( l, q) με μέσο d E( Δ / l) l q. d Η υπό εξέταση ομάδα ατόμων, όπως παρουσιάζεται σε ένα πίνακα ζωής έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά : (Ι) Ο πληθυσμός αυτός αποτελείται αρχικά από ζωές ηλικίας ακριβώς (ΙΙ) Τα μέλη του πληθυσμού υπόκεινται σε κάθε ηλικία της ζωής τους σε ένα ετήσιο ρυθμό θνησιμότητας που προσδιορίζεται από τις q τιμές του πίνακα (ΙΙΙ) Ο πληθυσμός αυτός είναι κλειστός. Δεν επιτρέπονται καινούργιοι να μπουν στο πληθυσμό και η μόνη έξοδος από τον πληθυσμό είναι ως αποτέλεσμα του ετήσιου ρυθμού θνησιμότητας. Για την κατασκευή ενός πίνακα θνησιμότητας, στην πρώτη στήλη του πίνακα θνησιμότητας έχουμε τις τιμές (ο αριθμός των επιζώντων σε ακριβή ηλικία ). Ο πίνακας αρχίζει από ένα αυθαίρετο υποθετικό πλήθος ζώντων σε ηλικία και μηδενίζεται σε μία τερματική ηλικία ω ( ω ). Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις όπου ένας πίνακας ζωής αρχίζει από κάποια ηλικία διαφορετική του (όπως για παράδειγμα πίνακες ζωής που αφορούν το συντάξιμο ή ασφαλισμένο πληθυσμό). Σε κάθε περίπτωση η αντίστοιχη τιμή a της νεότερης ηλικίας στον πίνακα ζωής είναι γνωστή ως βάση ή ρίζα (rad) του πίνακα. Συνήθως η τιμή που διαλέγουμε για την βάση είναι μια βολική στρογγυλευμένη τιμή όπως.. ή 5. ή είναι ένας αρκετά μεγάλος αριθμός και είναι μια δύναμη του, με εκθέτη ακέραιο και θετικό δηλαδή.,.. κ.ο.κ. Έτσι υποθέτουμε μια γενιά (cohor) από νεογέννητα άτομα καθώς και ότι δεν παρατηρούμε καινούργιες γεννήσεις ούτε μετανάστευση ή αποχώρηση από αυτό τον ιδεατό πληθυσμό με την πάροδο του χρόνου. Έτσι, στην διάρκεια του χρόνου η γενιά αυτή μειώνεται στο μέγεθος εφόσον κάποια μέλη της αποβιώνουν μέχρι την ολική έκλειψη της γενιάς αυτής σε κάποια ηλικία ω:. ω Στην δεύτερη στήλη του πίνακα ζωής έχουμε τις d τιμές, που αντιπροσωπεύουν τους (αναμενόμενους) θανάτους, από τις αρχικές ζωές, κατά τη διάρκεια του -έτους ηλικίας, δηλαδή από την αρχή της ηλικίας έως την + ακριβώς. Προφανώς d + όπου ο (αναμενόμενος) αριθμός επιζώντων ηλικίας ακριβώς από τους αρχικούς. Θα πρέπει να επισημάνουμε ξανά ότι οι τιμές και d που δίνονται σε ένα πίνακα ζωής δεν έχουν καμία απόλυτη 7

18 έννοια, εφόσον εξάρτιουνται από την τιμή που εκλέγουμε για βάση του πίνακα. Όμως οι τιμές αυτές αποκτούν κάποια έννοια όταν σχετίζονται μεταξύ τους. Έτσι, αν είναι και για μια ομάδα ατόμων, τότε ο λόγος p,989 παριστάνει την πιθανότητα όπως άτομο ηλικίας ετών να επιζήσει έτη, δηλαδή να φθάσει στην αρχή της ηλικίας των 3 ετών. Έτσι εφόσον οι τιμές των και d έχουν έννοια μόνον όταν διαιρούνται μεταξύ τους, όλες οι τιμές σε ένα πίνακα θνησιμότητας μπορούν να πολλαπλασιαστούν με ένα παράγοντα και να μην απέλθει αλλαγή στην θνησιμότητα που παρίσταται από τον πίνακα. Στην τρίτη στήλη του πίνακα θνησιμότητας έχουμε τις q τιμές, δηλαδή την αναλογία των ατόμων ηλικίας που θα πεθάνουν μεταξύ ηλικίας και +. Προφανώς q d / ( + )/ με ω ω qω. Επίσης, δημιουργούμε και μια τέταρτη στήλη ή οποία αποτελείται από τιμές, δηλαδή από αναμενόμενους μελλοντικούς χρόνους μέχρι το θάνατο, ατόμων ηλικίας. Για παίρνουμε τον αναμενόμενο μέσο όρο ζωής του συγκεκριμένου πληθυσμού από την γέννηση (προσδόκιμο ζωής). Ο παρακάτω πίνακας θνησιμότητας αφορά γυναικείο πληθυσμό, του γενικού πληθυσμού της Ελλάδος, για την χρονική περίοδο , για κάποιες ενδεικτικές ηλικίες. Για την κατασκευή του έγινε η υπόθεση ότι η ένταση θνησιμότητας είναι σταθερή σε κάθε έτος ηλικίας (Χατζόπουλος, 995). ω Πίνακας.3. : Ελληνικός Πίνακας θνησιμότητας Γυναικών Ηλικία σε έτη Επιζώντες στη αρχή της ηλικίας Θάνατοι κατά το έτος της ηλικίας Πιθανότητα αποβίωσης κατά το έτος της ηλικίας Έτη προσδόκιμης ζωής στην αρχή της ηλικίας e () l d l - l + q d / l e 74, , ,566 75, ,8454 7, ,89 65, ,3897 6, , , , , , , , , , , ,396 3, , , ,5364, , , , , , , , , , , ,366 3, ,336446, ,498797, , ,

19 Οι ασφαλιστικές εταιρίες βασίζονται σε πίνακες ασφαλισμένου πληθυσμού, δηλαδή σε πίνακες θνησιμότητας που κατασκευάζονται από στατιστικά στοιχεία των ασφαλιστικών εταιριών μιας χώρας ή διαφορετικά αν δεν υπάρχει η υποδομή για κάτι τέτοιο τότε βασίζονται σε πίνακες θνησιμότητας που αφορούν τον γενικό πληθυσμό της χώρας με διάφορες προσαρμογές. Το βέλτιστο βέβαια είναι η χρήση ενός πίνακα θνησιμότητας βασισμένο σε ασφαλισμένο πληθυσμό διότι οι ασφαλισμένες ζωές (sured lves) παρουσιάζουν χαμηλότερη θνησιμότητα σε σχέση με τη θνησιμότητα του γενικού πληθυσμού, σε κάθε ηλικία και για τα δύο φύλλα. Ο λόγος είναι ότι ο ασφαλισμένος πληθυσμός προκύπτει για το γενικό πληθυσμό με τη διαδικασία της αυτεπιλογής (συνήθως τα άτομα που ψάχνουν μια ασφάλιση βιώνουν καλύτερες συνθήκες διαβίωσης και επίπεδο ζωής) και την διαδικασία της επιλογής (τη διαδικασία uderwrg από τις ασφαλιστικές εταιρίες σε συνδυασμό με ιατρικές εξετάσεις για να μπουν στο πρόγραμμα ασφάλισης). Οι πίνακες θνησιμότητας χωρίζονται σε δύο κατηγορίες. Στην μία περίπτωση, που είναι και η ποιο συνήθης, ο πίνακας είναι πίνακες περιόδου (perod lfe ables). Δηλαδή τα δεδομένα συλλέγονται ανά έτος. Στη δεύτερη περίπτωση τα δεδομένα συλλέγονται ανά γενιά (cohor lfe ables). Η γενεαλογικοί και οι περιοδικοί πίνακες θνησιμότητας είτε είναι πλήρης (δηλαδή ομαδοποιημένοι για κάθε ηλικία χωριστά) είτε συντετμημένοι (abrdged lfe able). Σε ένα πλήρη πίνακα θνησιμότητας, οι τιμές θνησιμότητας υπολογίζονται για κάθε έτος ζωής, ενώ ένας συντετμημένος πίνακας θνησιμότητας πραγματεύεται με ομαδοποιημένα διαστήματα ηλικίας μεγαλύτερα από ένα έτος. Η ομαδοποίηση μπορεί να γίνει και στα έτη στα οποία αναφέρετε ο πίνακας θνησιμότητας. Παράδειγμα Δεδομένου ότι l ( ) για, υπολογίστε την πιθανότητα ότι άτομο ηλικίας θα πεθάνει μετά την ηλικία των 4 αλλά πριν φτάσει στα 57. Λύση Η άσκηση αυτή μας ζητάει την πιθανότητα, δηλαδή την πιθανότητα άτομο ηλικίας να ζήσει 9 7 q 9 χρόνια αλλά να αποβιώσει στα επόμενα 7 χρόνια. Γνωρίζουμε ότι l+ l+ + q + q q p + p. Επομένως στην περίπτωσή μας έχουμε: l l l4 l57 ( 4) ( 57) 9 7q l l.. Άρα η πιθανότητα άτομο ηλικίας ετών να πεθάνει ( ) μετά την ηλικία των 4 ετών αλλά πριν φτάσει στα 57 είναι. Παράδειγμα / Έστω ότι ισχύει (Ι) Μπορεί να θεωρηθεί η παραπάνω συνάρτηση ότι εκφράζει μια συνάρτηση επιβίωσης; Αν ναι τότε προσδιορίστε την οριακή ηλικία. (ΙΙ) Βρείτε τη ακριβή μορφή του μ (ΙΙΙ) Βρείτε τη ακριβή μορφή του (ΙV) Βρείτε τη ακριβή μορφή του f () (V) Βρείτε τη ακριβή μορφή της αναμενόμενης μέσης ηλικίας στον θάνατο ατόμων ηλικίας χ. Λύση 9

20 / (I) Η συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζει μια συνάρτηση επιβίωσης, καθώς παρατηρούμε ότι είναι φθίνουσα καθώς το αυξάνει και επιπλέον είναι συνεχής συνάρτηση της l. Συγκεκριμένα γνωρίζουμε ότι S( ) S( ) (- ) / Μπορούμε εύκολα να l υπολογίσουμε τη οριακή ηλικία ω καθώς γνωρίζουμε ότι ω. / Επομένως ω ω ω. Δηλαδή ω η οριακή ηλικία και επομένως το πεδίο τιμών του είναι. (ΙΙ) d / l d μ - d d / / (ΙΙΙ) + 3 ( ) (99 ) 3/ 3/ d ( ) (99 ) + (IV) Γνωρίζουμε ότι για την συνάρτηση πυκνότητας απομένουσας ζωής ισχύει: + / ( ) + f () () p μ+ μ+ f ( ) / (V) Ξέρουμε ότι ο μέσος αριθμός ετών που αναμένεται να ζήσει άτομο ηλικίας είναι ω p d. Επομένως η αναμενόμενη μέση ηλικία στο θάνατο ατόμων ηλικίας είναι e Επομένως, / + / + ( ) ( ) ( ) p d + d + 3. e +..4 Ασφαλιστικοί Πίνακες Επιλογής Ο ασφαλιστής πριν την έκδοση του ασφαλιστηρίου συμβολαίου, πρέπει να είναι βέβαιος ότι ο υποψήφιος για ασφάλιση πλήρη όλα τα απαιτούμενα κριτήρια, για να επιλεγεί ως συνήθης (sadard) ή κανονικός (oral) για την έκδοση του ασφαλιστηρίου έπειτα από την διαδικασία του uderwrg. Σαν αποτέλεσμα μιας τέτοιας διαδικασίας επιλογής, μια ομάδα ασφαλισμένων ατόμων βάσει κάποιου κριτηρίου δεν συνιστούν μια τυχαία ομάδα, αλλά τουναντίον μια ομάδας επιλογής όλα τα μέλη της οποίας πληρούν αρχικός μερικά κριτήρια ασφαλίσεως. Στη συνέχεια, η θνησιμότητα σε μια τέτοια ομάδα θα μεταβάλλεται όχι μόνο βάσει της ηλικίας, αλλά και βάσει της διάρκειας παραμονής στην ασφάλιση. Για παράδειγμα, μια ομάδα ατόμων, τα οποία μόλις ασφαλίστηκαν βάσει κάποιου κριτηρίου σε ηλικία 3 ετών θα παρουσιάσει μικρότερο δείκτη θνησιμότητας κατά τη διάρκεια του έτους που ακολουθεί, από μια άλλη ομάδα ατόμων ηλικίας 3 ετών τα οποία ασφαλίστηκαν με όμοιο τρόπο πριν ένα χρόνο και βρίσκονται στο δεύτερο χρόνο ασφάλισης. Επιπλέον οι δύο αυτές ομάδες ατόμων θα έχουν μικρότερο δείκτη θνησιμότητας από μια τρίτη ομάδα ατόμων ηλικίας 3 ετών, τα οποία ασφαλίστηκαν πριν έτη, σε ηλικία 8 χρονών. Έτσι, ο αριθμός των θανάτων από. ασφαλισμένους ηλικίας 3 ετών που μόλις έχουν περάσει ιατρικές εξετάσεις αναμένεται να είναι λιγότεροι από τους θανάτους. ατόμων ηλικίας 3 ετών, που πρώτο-ασφαλίστηκαν σε ηλικίες

21 μικρότερες των 3 ετών. Οπότε, όσο πάμε πίσω στο χρόνο, από την ηλικία των 3 ετών, όπου πρώτοασφαλίστηκαν τόσο πιο μεγάλη θνησιμότητα θα έχουν οι ζωές αυτές στην ηλικία των 3 ετών, μέχρι ενός σημείου όπου τα άτομα ηλικίας 3 ετών όλοι θα υπακούσουν στην ίδια θνησιμότητα, ανεξάρτητα αν είναι ασφαλισμένοι για r ή περισσότερα χρόνια. Μπορούμε να o δούμε αυτό διαγραμματικά ως εξής Γράφημα : Εξέλιξη της θνησιμότητας με βάση τον παράγοντα έτη ασφάλισης, για σταθερή ηλικία, με περίοδο επιλογής r δείκτης θνησιμότητας για την ηλικία... [-r]+r... r χρόνος σε έτη από την στιγμή της επιλογής-ασφάλισης Έτσι, υπάρχει μια ύστατη θνησιμότητα (ulae oraly) στην ηλικία, όπου η θνησιμότητα βάσει της διάρκειας παραμονής στην ασφάλιση σταθεροποιείται ή ισοδύναμα το αποτέλεσμα της επιλογής λέμε ότι έχει φθαρεί - περάσει (wear off), και είναι σαν να έχουμε μια τυχαία ομάδα ατόμων ηλικίας (φυσικά αυτό συμβαίνει για όσο περνά ο καιρός, από μια αρχική ιατρική επιλογή, μερικές ζωές θα εμφανίσουν προβλήματα υγείας και έπειτα από κάποια χρόνια το αποτέλεσμα της αρχικής επιλογής θα έχει φθαρεί από το χρόνο). Η περίοδος του χρόνου κατά τη διάρκεια κατά της οποίας τα αποτελέσματα της επιλογής είναι ακόμη σημαντικά ονομάζεται περίοδος επιλογής (selec perod) και είναι η χρονική περίοδος όπου η διάρκεια από την στιγμή της ασφάλισης είναι παράγοντας (facor) για την θνησιμότητα. Η διάρκεια της περιόδου επιλογής εξαρτάται από τη φύση των στοιχείων που υπάρχουν και τα αποτελέσματα της επιλογής μπορούν να εξακολουθούν να είναι αξιόλογα για πολλά έτη. Παραδείγματα πινάκων επιλογής έχουμε στους Αμερικάνικους πίνακες, όπου έχουν περίοδο επιλογής 5 έτη, ενώ ο Αγγλικός πίνακας ασφαλίσεων ζωής Α967/7 έχουν περίοδο επιλογής έτη (r). Οι πίνακες θνησιμότητας οι οποίοι δείχνουν τη διαφορά θνησιμότητας βάσει της ηλικίας και συγχρόνως βάσει της διάρκειας παραμονής στην ασφάλιση ονομάζονται ασφαλιστικοί πίνακες επιλογής (selec oraly ables). Θα πρέπει να επισημάνουμε ότι εκτός από τους πίνακες επιλογής υπάρχουν και οι συνθετικοί ή συνενωμένοι (aggregae) πίνακες θνησιμότητας, οι οποίοι κατασκευάζονται βάσει της ηλικίας μόνον, δηλαδή ο παράγοντας διάρκεια ασφάλισης δεν λαμβάνεται υπόψη όσον αφορά τη θνησιμότητα. Συμβολίζουμε τις επίλεκτες τιμές θνησιμότητας, για άτομα ηλικίας, έως εξής : (α) για ζωές που μόλις έχουν επιλεγεί, στην ηλικία, γράφουμε ως q [ ] την πιθανότητα άτομο που όταν έγινε η έναρξη της ασφάλισης ήταν ηλικίας, να αποβιώσει στο έτος ηλικίας ως +.

22 (β) για ζωές που έχουν επιλεγεί στην ηλικία -s, s έτη πριν, για s< r και r η περίοδος επιλογής, γράφουμε ως q[ s] + s την πιθανότητα άτομο που έχει συμπληρώσει στην ασφάλιση s ακέραια έτη, να αποβιώσει στο έτος ηλικίας ως + (το s θα παίρνει τις ακέραιες τιμές s,,.., r- και για s έχουμε φυσικά q [ ] όπως πριν). (γ) για ζωές που έχουν επιλεγεί στην ηλικία -s, s έτη πριν για s r και r η περίοδος επιλογής, γράφουμε απλά ως q να συμβολίζει την ύστατη (ulae) πιθανότητα άτομο ηλικίας, που έχει συμπληρώσει στην ασφάλιση s ακέραια έτη, να αποβιώσει στο έτος ηλικίας ως +. Είναι φανερό από τα προηγούμενα ότι ισχύει q[ ] < q[ ] <... < q [ r ] < q r με τις διαφορές q[ ] q s s [ s ] να φθίνουν γρήγορα και να γίνονται αμελητέες μετά την πάροδο r ετών (όπως s φαίνεται και στο παραπάνω γράφημα). Ο παρακάτω πίνακας μας περιγράφει την διαδικασία (οι τιμές αφορούν ποσά θνησιμότητας, q[ ] +, πολλαπλασιασμένα επί ) s s Πίνακας : Υποθετικές τιμές θνησιμότητας, με περίοδο επιλογής r5 έτη Έτος ασφάλισης Ηλικία στην έκδοση συμβολαίου > 5 5,7,8,88,93,97, 6,7,8,89,96,, ,73,83,9,99,5,,74,84,93,8,,3,74,84,,6,3,44,74,86,,6,3,44 Οι υπογραμμισμένες τιμές θνησιμότητας δείχνουν πως τα ποσοστά θνησιμότητας διαφέρουν ανά διάρκεια ασφάλισης αν και όλες οι τιμές αυτές θεωρούν άτομα με την ίδια ηλικία, 3. Η περίοδος επιλογής εδώ είναι r5 έτη. Από τον παραπάνω πίνακα έχουμε τις εξής τιμές, που αφορούν την ίδια ηλικία: q [ ],74, q 3 [ ] q 3 [ 9 ],84, q + + [ ] q[ ],99, q[ ] q, q q ] q 5 3, [ 6], + 4 [ ] [ Κατασκευή ασφαλιστικού πίνακα επιλογής (selec oraly able) και ύστατου πίνακα θνησιμότητας (ulae oraly able) ο στάδιο : Χρησιμοποιώντας τις ύστατες τιμές των q κατασκευάζουμε έναν πίνακα ζωής όσον αφορά την ύστατη θνησιμότητα, διαλέγοντας μια αυθαίρετη τιμή ως βάση ή ρίζα (rad) για τη νεότερη ηλικία. Το στάδιο αυτό δεν είναι διαφορετικό από την κατασκευή ενός απλού πίνακα ζωής, αλλά έχει αναλυθεί νωρίτερα. ο στάδιο : Αν η περίοδος επιλογής είναι r τότε έχουμε διαθέσιμες τις τιμές q[ ], q[ ],..., q [ ] και + +r από το προηγούμενο στάδιο θα έχουμε διαθέσιμες και τις τιμές, για κάθε ηλικία. Οι τιμές

23 , κ.λ.π. υπολογίζονται κατά αντίστροφη τάξη. Έτσι, έχουμε [ ] [ + ] + r [ ] + r + r [ ] + [ ], [ ], r r [ ]. Οι τιμές των d + + [ ], d[ ],..., d + [ ] + r p[ ] q [ ] q [ ] q + r + r + r [ ] βρίσκονται από τις σχέσεις d [ ] [ ] [ ], d + [ ] [ ] + + [ ] κ.λ.π. + Ως εφαρμογή, αν θέλουμε τις τιμές επιλογής, όταν η ηλικία ετών εισέρχεται στην ασφάλιση και η 4 περίοδος επιλογής είναι r3 έτη, τότε από την q [ ] + υπολογίζουμε την ως [ ] + [ ]. + q[ ] + [ ] + [ ] + Με όμοιο τρόπο υπολογίζουμε την [ ] καθώς και την + [ ]. q[ ] + q[ ] Πίνακας : Ύστατες και επίλεκτες τιμές θνησιμότητας, του Αγγλικού πίνακα θνησιμότητας Α967-7, για επίλεκτες ηλικίες, με περίοδο επιλογής r έτη Ηλικία [] q [ ] q [ + ] q + Ηλικία +,73,68,58,6,63 5,39,4,4 7,3,33,4 5,49,73,55 7,66,737,797 5,47,57, ,437,573, ,6,84, ,6,35, ,74,35, ,86,3888, ,4865,6844, ,6699,97, ,9689,469, ,363,59, ,8748,35, ,53,43997, , , , , , Παράδειγμα Οι ακόλουθες πιθανότητες ισχύουν για έναν πίνακα επιλογής με περίοδο επιλογής r έτη : q [ 85 ], q [ 85 ] + 6, q [ 86 ] 8, [ ] 5 q 86 +, 85 υπολογίστε: l [ 85], l [ 85 ] +, l [ 86], l[ 86 ] +, l86, l87, l88. Λύση q, 86 5 q, q. Αν l 7, 85 3