ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού
|
|
- Άφροδίτη Τοκατλίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1
2 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι δυσκολότερο να επιλυθεί από ό,τι το αντίστοιχο πρόβλημα που προκύπτει όταν αφαιρεθούν οι περιορισμοί ακεραιότητας. Προβλήματα μη ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού με αρκετές χιλιάδες συνεχείς μεταβλητές μπορούν να επιλυθούν σε ικανοποιητικό χρόνο από εμπορικά πακέτα βελτιστοποίησης, ενώ η λύση προβλημάτων ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού με λιγότερες από 100 μεταβλητές μπορεί σε αρκετές περιπτώσεις να δημιουργήσει πολλές δυσκολίες. 2
3 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Μπορεί να δοθεί αρχικά η εντύπωση ότι τα προβλήματα ακέραιου προγραμματισμού είναι ακόμα πιο εύκολο να λυθούν αφού το σύνολο των εφικτών λύσεων σε αυτή την περίπτωση θα είναι ακόμα πιο περιορισμένο από αυτό του αντίστοιχου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, και μάλιστα πεπερασμένο και μετρήσιμο. Έτσι, ίσως κάποιος να σκεφτεί ότι θα μπορούσε να απαριθμήσει όλες αυτές τις λύσεις και να βρει τη βέλτιστη. Αυτός ο τρόπος σκέψης είναι εσφαλμένος για δύο κυρίως λόγους: Ο πρώτος είναι ότι αν και το σύνολο λύσεων είναι πεπερασμένο και μετρήσιμο, για όλα τα πρακτικά προβλήματα ο συνολικός αριθμός των λύσεων είναι αστρονομικός. Αυτό σημαίνει ότι η απαρίθμησή τους είναι κάτι το απαγορευτικό αφού αυτό θα απαιτούσε υπολογιστικό χρόνο ο οποίος είναι εντελώς ανέφικτος. Ο δεύτερος λόγος είναι ότι η αφαίρεση κάποιων λύσεων (αυτών που δεν είναι ακέραιες) από το σύνολο των εφικτών λύσεων δυσχεραίνει αντί να διευκολύνει την εύρεση της βέλτιστης λύσης. Κατά την επίλυση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού χρησιμοποιούμε τη μέθοδο simplex για να βρούμε τη βέλτιστη λύση. Με την προσθήκη των περιορισμών ακεραιότητας, έχουμε μία επιπλέον «συνθήκη» που πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι πρέπει να ισχύει. Αυτή η συνθήκη δεν ικανοποιείται για τις περισσότερες από τις λύσεις που παίρνουμε με τη μέθοδο simplex και επομένως επιπρόσθετη προσπάθεια απαιτείται για την εύρεση της βέλτιστης λύσης του ακέραιου προβλήματος. 3
4 Παράδειγμα 3.1 Επειδή τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού επιλύονται πολύ πιο εύκολα, κάποιος μπορεί εύκολα να μπει στον «πειρασμό» να λύσει ένα ακέραιο πρόβλημα αφού πρώτα αγνοήσει τους περιορισμούς ακεραιότητας, και μετά να στρογγυλοποιήσει τη λύση που προκύπτει, δίνοντας σε κάθε μεταβλητή την πλησιέστερη ακέραια τιμή. Γενικά αυτή θεωρείται μία κακή τεχνική που δεν αποφέρει το επιθυμητό αποτέλεσμα στις περισσότερες περιπτώσεις, όπως φαίνεται και στα δύο επόμενα παραδείγματα. Έστω το πρόβλημα: Max x 2 s.t. -x 1 + x 2 < 0.5 x 1 + x 2 < 3.5 x 1, x 2 > 0 και ακέραιοι 4
5 Παράδειγμα 3.1 Το σύνολο των εφικτών λύσεων του ακέραιου προβλήματος είναι το (x1,x2) = {(1,1), (2,1), (0,0), (1,0), (2,0), (3,0)}. Η βέλτιστη λύση του γραμμικού προβλήματος είναι η (x1,x2) = (1.5, 2) και η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι z* = 2. Οι μόνες λύσεις που προκύπτουν από τη στρογγυλοποίηση αυτής της λύσης είναι οι (2,2) και (1,2), οι οποίες είναι και οι δύο μη εφικτές για το αντίστοιχο ακέραιο πρόβλημα. Το ακέραιο πρόβλημα έχει δύο βέλτιστες λύσεις, την (1,1) και την (2,1) με z* = 1, οι οποίες φυσικά δεν μπορούν να προκύψουν με στρογγυλοποίηση από τη βέλτιστη λύση του γραμμικού προβλήματος. 5
6 Παράδειγμα 3.2 Έστω το πρόβλημα: Max x1 + 5x2 s.t. x1 + 10x2 <= 20 x1 <= 2 x1, x2 >= 0 και ακέραιοι Το σύνολο των εφικτών λύσεων του ακέραιου προβλήματος είναι το (x 1,x 2 ) = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (2,0), (2,1)}. Η βέλτιστη λύση του γραμμικού προβλήματος είναι η (x 1,x 2 ) = (2, 9/5). Η πρώτη λύση που προκύπτει από τη στρογγυλοποίηση αυτής της λύσης είναι η (2,2), η οποία είναι μη εφικτή για το ακέραιο πρόβλημα. Η δεύτερη λύση είναι η (2,1), η οποία αν και εφικτή δίνει την τιμή 7 για την αντικειμενική συνάρτηση, η οποία είναι κατά πολύ χειρότερη από τη βέλτιστη που είναι 10 για (x 1,x 2 ) = (0, 2). Επομένως, και σε αυτή την περίπτωση η στρογγυλοποίηση της βέλτιστης λύσης του γραμμικού προβλήματος δεν οδηγεί στη βέλτιστη λύση του αντίστοιχου ακέραιου προβλήματος. 6
7 Ευρετικοί αλγόριθμοι Λόγω της μεγάλης δυσκολίας που εμφανίζουν τα προβλήματα ακέραιου προγραμματισμού, είναι συνήθης η ανάπτυξη ευρετικών αλγορίθμων (heuristic algorithms) για την επίλυσή τους. Οι αλγόριθμοι αυτοί έχουν το μειονέκτημα ότι δεν βρίσκουν απαραίτητα την ολικά βέλτιστη λύση του προβλήματος αλλά μία «καλή» λύση και το πλεονέκτημα ότι απαιτούν πολύ λιγότερο υπολογιστικό χρόνο από ό,τι οι αντίστοιχοι αναλυτικοί αλγόριθμοι που βρίσκουν την ολικά βέλτιστη λύση. Σε γενικές γραμμές, η αποτελεσματικότητα ενός ευρετικού αλγόριθμου εξαρτάται από την ποιότητα των λύσεων που δίνει (από το πόσο κοντά στη βέλτιστη λύση είναι αυτές) και από το χρόνο που απαιτείται για την εκτέλεσή του. 7
8 Ολικός ακέραιος γραμμικός προγραμματισμός Η μόνη διαφορά μεταξύ των προβλημάτων ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού με αυτά του απλού γραμμικού προγραμματισμού έγκειται στο ότι μερικές από τις μεταβλητές απαιτείται να είναι ακέραιες. Αν όλες οι μεταβλητές πρέπει να είναι ακέραιες τότε μιλάμε για πρόβλημα ολικού ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού (pure integer linear program). Έστω ένα πρόβλημα ολικού ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού: Max 2x1 + 3x2 s.t. 3x1 + 3x2 <= 12 2/3x1 + x2 <= 4 x1 + 2x2 <= 6 x1, x2 >= 0 και ακέραιοι Το πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού που προκύπτει από την αφαίρεση της απαίτησης ότι οι μεταβλητές πρέπει να είναι ακέραιες δηλώνεται ως "γραμμική χαλάρωση" (linear relaxation) του ακέραιου γραμμικού προβλήματος. 8
9 Μεικτό ακέραιο πρόβλημα Αν μερικές αλλά όχι όλες απαραίτητα οι μεταβλητές απόφασης σε ένα πρόβλημα πρέπει να είναι ακέραιες τότε έχουμε ένα μεικτό ακέραιο πρόβλημα (mixed integer program). Το ακόλουθο πρόβλημα είναι ένα μεικτό ακέραιο γραμμικό πρόβλημα με δύο μεταβλητές: Max 3x1 + 4x2 s.t. -x1 + 2x2 <= 8 x1 + 2x2 <= 12 2x1 + x2 <= 16 x1, x2 >= 0 και x2 ακέραιος 9
10 Παράδειγμα 3.3 Δίνεται το παρακάτω πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού: Max Z = 5x1 + x2 s.t. x1 + 2x2 <= 4 x1 x2 <= 1 4x1 + x2 <= 12 x1, x2 ακέραιοι >= 0 α) Βρείτε γραφικά τη βέλτιστη λύση. β) Βρείτε γραφικά τη βέλτιστη λύση του προβλήματος που προκύπτει όταν αφαιρεθούν οι περιορισμοί ακεραιότητας. Βρείτε όλες τις λύσεις που προκύπτουν από τη στρογγυλοποίηση αυτής της λύσης (δηλαδή από τη στρογγυλοποίηση κάθε μεταβλητής και προς τα πάνω και προς τα κάτω). Ελέγξτε κάθε μια από αυτές τις λύσεις για εφικτότητα και (αν είναι εφικτή) για βελτιστότητα. Είναι κάποια λύση βέλτιστη για το ακέραιο πρόβλημα? 10
11 Λύση Παράδειγμα 3.3 Λύση α) Η βέλτιστη λύση είναι x1 = 2, x2 = 3 και Ζ = 13. β) Η βέλτιστη λύση της γραμμικής χαλάρωσης είναι x1 = 2.6, x2 = 1.6 και Ζ = Από τη στρογγυλοποίηση αυτής της λύσης προκύπτουν οι εξής λύσεις: x 1 x 2 Εφικτή? Ζ Βέλτιστη? 2 1 Ναι 11 Όχι 2 2 Ναι 12 Όχι 3 1 Όχι 3 2 Όχι Επομένως, η στρογγυλοποίηση της βέλτιστης λύσης της γραμμικής χαλάρωσης του προβλήματος δεν οδηγεί στην εύρεση της βέλτιστης λύσης του ακέραιου προβλήματος 11
12 Παράδειγμα 3.4 Η Εταιρεία Ασφαλείς Επενδύσεις Ακινήτων (ΑΕΑ) έχει κεφάλαιο $ που είναι διαθέσιμο για επενδύσεις σε νέα ακίνητα για εκμίσθωση. Μετά από μια αρχική έρευνα η εταιρεία έχει καταλήξει στις εναλλακτικές επενδύσεις. Πρόκειται για μια σειρά διαμερισμάτων και μια ομάδα πολυκατοικιών σε ένα μεγάλο συγκρότημα. Τα διαμερίσματα μπορούν να αγορασθούν σε τριάδες στην τιμή των $ ανά τριάδα αλλά υπάρχουν μόνο 4 τριάδες διαθέσιμες κατά τον παρόντα χρόνο. Κάθε πολυκατοικία περιλαμβάνει 12 οικιστικές μονάδες και πωλείται προς $. Οι ανεξάρτητες πολυκατοικίες μπορούν να αγορασθούν ξεχωριστά και ο κατασκευαστής έχει συμφωνήσει να κατασκευάσει όσες πολυκατοικίες η εταιρεία τυχόν αποφασίσει. Ο διαχειριστής των ακινήτων της εταιρείας μπορεί να διαθέσει 140 ώρες ανά μήνα σε αυτές τις επενδύσεις. Κάθε τριάδα διαμερισμάτων θα απαιτήσει 4 ώρες μηνιαίως από τον χρόνο του διαχειριστή, ενώ κάθε πολυκατοικία θα απαιτήσει 40 ώρες μηνιαίως. Η ετήσια απόδοση (μετά την αφαίρεση των συμβολαιογραφικών και των λειτουργικών εξόδων) εκτιμάται σε 2000$ ανά τριάδα διαμερισμάτων και 3000$ ανά κτιριακό συγκρότημα (πολυκατοικία). Η εταιρεία επιθυμεί να επενδύσει τα διαθέσιμα κεφάλαια έτσι ώστε να μεγιστοποιήσει την ετήσια απόδοση. Βρείτε γραφικά τη βέλτιστη λύση του προβλήματος που προκύπτει όταν αφαιρεθούν οι περιορισμοί ακεραιότητας. Βρείτε όλες τις λύσεις που προκύπτουν από τη στρογγυλοποίηση αυτής της λύσης (δηλαδή από τη στρογγυλοποίηση κάθε μεταβλητής και προς τα πάνω και προς τα κάτω). Ελέγξτε κάθε μια από αυτές τις λύσεις για εφικτότητα και (αν είναι εφικτή) για βελτιστότητα. Είναι κάποια λύση βέλτιστη για το ακέραιο πρόβλημα? 12
13 Λύση Παράδειγμα 3.4 Για να δημιουργήσουμε το κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο για αυτό το πρόβλημα ορίζουμε αρχικά τις εξής μεταβλητές απόφασης. x1 = αριθμός τριάδων διαμερισμάτων που θα αγορασθούν x2 = αριθμός πολυκατοικιών που θα αγορασθούν Η αντικειμενική συνάρτηση που αναπαριστά την ετήσια απόδοση (σε χιλιάδες δολλάρια) γράφεται ως εξής : Max 2x1 + 3x2 Υπάρχουν τρεις απαιτήσεις που πρέπει να ικανοποιούνται: 195x x2 < 1365 (διαθέσιμα κεφάλαια σε χιλιάδες δολλάρια) 4x1 + 40x2 < 140 (διαθέσιμος χρόνος διαχειριστή σε ώρες) x1 < 4 (διαθέσιμες τριάδες διαμερισμάτων) 13
14 Λύση Παράδειγμα 3.4 Επιπλέον, οι μεταβλητές πρέπει να είναι θετικές και ακέραιες, εφόσον κλασματικές τιμές για τον αριθμό ομάδων διαμερισμάτων ή πολυκατοικιών που θα αγορασθούν δεν είναι αποδεκτές. Άρα, οι μεταβλητές απόφασης x1 και x2 πρέπει να είναι ακέραιες. Επομένως, το κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο για την εταιρεία είναι το ακόλουθο ολικό-ακέραιο γραμμικό πρόβλημα: Max 2x1 + 3x2 s.t. 195x x2 <= x1 + 40x2 <= 140 x1 <= 4 x1, x2 >= 0 και ακέραιοι 14
15 Λύση Παράδειγμα 3.4 Το χαλαρό γραμμικό πρόβλημα που προκύπτει από την αφαίρεση της απαίτησης ότι οι μεταβλητές πρέπει να είναι ακέραιες (LP relaxation) είναι το εξής: Max 2x 1 + 3x 2 s.t. 195x x 2 < x x 2 < 140 x 1 < 4 x 1, x 2 > 0 Η βέλτιστη λύση για το χαλαρό γραμμικό πρόβλημα είναι x 1 = 2.44 και x 2 = Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για τη λύση αυτή είναι που αντιστοιχεί σε ετήσια απόδοση $. Όμως η λύση αυτή είναι μη αποδεκτή για το ακέραιο γραμμικό πρόβλημα δεδομένου ότι οι μεταβλητές απόφασης έχουν κλασματικές τιμές. 15
16 Λύση Παράδειγμα 3.4 Στρογγυλλοποιώντας τις μεταβλητές στους πλησιέστερους ακέραιους προκύπτει η λύση x1 = 2 και x2 = 3 με τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ίση με 13 ή $ ετήσια απόδοση. Η στρογγυλοποιημένη λύση x1 = 2 και x2 = 3 δεν είναι βέλτιστη για το ακέραιο πρόβλημα. Όπως μπορεί να διαπιστώσει κανείς, η βέλτιστη λύση είναι η x1 = 4 και x2 = 2 με τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ίση με 14 ή 14,000$ ετήσια απόδοση. Για την εταιρεία ΑΕΑ η προσέγγιση της στρογγυλοποίησης της λύσης του γραμμικού προβλήματος στον πλησιέστερο ακέραιο δεν είναι μία καλή στρατηγική, καθώς παρουσιάζει χαμηλότερη απόδοση κατά 1000$ σε ετήσια βάση. 16
17 Παράδειγμα 3.5 Μια εταιρεία μπορεί να επενδύσει τα κεφάλαιά της σε μια σειρά εταιρικών δραστηριοτήτων που έχουν ποικίλες απαιτήσεις σε κεφάλαια κατά τα επόμενα 4 χρόνια. Λόγω των περιορισμένων κεφαλαίων, η εταιρεία πρέπει να επιλέξει τις πιο επικερδείς δραστηριότητες για την επέκταση των κεφαλαιουχικών αγαθών. Το αναμενόμενο κέρδος κάθε δραστηριότητας και οι απαιτήσεις σε χρηματοδότηση παρατίθενται στον παρακάτω πίνακα: 17
18 Παράδειγμα 3.5 Δραστηριότητα (Έργο) Κέρδος ($) Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Επέκταση εγκαταστάσεων Επέκταση αποθηκών Νέος εξοπλισμός Έρευνα για νέα προϊόντα Διαθέσιμα κεφάλαια
19 Λύση Παράδειγμα 3.5 Λύση Ορίζουμε τις εξής μεταβλητές απόφασης : x 1 = 1 αν η επέκταση εγκαταστάσεων αποφασισθεί και 0 αν όχι x 2 = 1 αν η επέκταση αποθηκών αποφασισθεί και 0 αν όχι x 3 = 1 αν ο νέος μηχανολογικός εξοπλισμός αποφασισθεί και 0 αν όχι x 4 = 1 αν η έρευνα για νέα προϊόντα αποφασισθεί και 0 αν όχι Στη συνέχεια, το πρόβλημα μορφοποιείται ως εξής: (οι μονάδες εκφράζουν χιλιάδες δολλάρια): 19
20 Λύση Παράδειγμα 3.5 Max 90x x x x 4 s.t. 15x x x x 4 < 40 20x x x 4 < x 1-10x 2-10x 3-15x 4 20x x x 4 < 50-35x 1-25x 2-10x 3-25x 4 15x 1 + 5x 2 + 4x x 4 < 85-55x 1-45x 2-10x 3-35x 4 x 1, x 2, x 3, x 4 δυαδικές 20
21 Λύση Παράδειγμα 3.5 Η βέλτιστη λύση αυτού του προβλήματος είναι: x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 1 και x 4 = 1, με ολικό αναμενόμενο κέρδος 47000$. Σημειωτέον ότι η βέλτιστη αυτή λύση δεν προκύπτει από την στρογγυλοποίηση της βέλτιστης λύσης του αντίστοιχου γραμμικού προβλήματος. Πράγματι, η βέλτιστη λύση του αντίστοιχου γραμμικού προβλήματος είναι x 1 = 0.909, x 2 = 0, x 3 = 0 και x 4 = 0, με ολικό αναμενόμενο κέρδος $. Από τις 2 λύσεις που μπορούν να προκύψουν με στρογγυλοποίηση της λύσης αυτής, η πρώτη (x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0 και x 4 = 0) είναι μη εφικτή, ενώ η δεύτερη (x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0 και x 4 = 0) έχει τιμή αντικειμενικής συνάρτησης 0. Η τιμή αυτή είναι σημαντικά κατώτερη από την αντίστοιχη βέλτιστη λύση του ακέραιου προβλήματος που βρήκαμε παραπάνω. 21
22 Παραδείγματος 3.5-β Ας υποθέσουμε ότι αντί του ενός σχεδίου επέκτασης μιας αποθήκης, η εταιρεία του παραδείγματος 3.5 εξετάζει τρία σχέδια επέκτασης αποθηκών. Μία επέκταση θεωρείται αναγκαία λόγω αύξησης της ζήτησης αλλά δεν αιτιολογείται η επέκταση περισσοτέρων της μιας αποθηκών. Οι κατωτέρω μεταβλητές απόφασης και οι περιορισμοί πολλαπλών επιλογών μπορούν να ενσωματωθούν στο προηγούμενο 0-1 ακέραιο γραμμικό πρόβλημα. 22
23 Παραδείγματος 3.5-β Έστω: x 2 = 1 αν η επέκταση της αρχικής αποθήκης αποφασισθεί και 0 αν όχι x 5 = 1 αν η επέκταση της δεύτερης αποθήκης αποφασισθεί και 0 αν όχι x 6 = 1 αν η επέκταση της τρίτης αποθήκης αποφασισθεί και 0 αν όχι Ο περιορισμός που αντιστοιχεί στην απαίτηση ότι το πολύ ένα από τα σχέδια επέκτασης μπορεί να επιλεγεί είναι ο εξής : x 2 + x 5 + x 6 < 1 Ο περιορισμός αυτός περιλαμβάνει και την περίπτωση που δεν έχουμε καμία επέκταση αποθήκης (x 2 = x 5 = x 6 = 0) και ταυτόχρονα δεν επιτρέπει την επέκταση περισσοτέρων της μιας αποθηκών. Οι περιορισμού αυτού του είδους καλούνται περιορισμοί κοινού αποκλεισμού. 23
24 Παραδείγματος 3.5-β Αν υπήρχε η απαίτηση ότι απαραιτήτως μία από τις τρεις αποθήκες πρέπει να επεκταθεί, τότε ο περιορισμός θα μεταβαλλόταν ως εξής: x 2 + x 5 + x 6 = 1 Σημειωτέον ότι αν επιτρέπονταν κλασματικές τιμές στις μεταβλητές (όπως στον γραμμικό προγραμματισμό) τότε ο παραπάνω περιορισμός δεν θα εξασφάλιζε την επιλογή ενός μόνο σχεδίου επέκτασης. 24
25 Παραδείγματος 3.5-β Επιλογή κ μεταξύ ν εναλλακτικών Αποτελεί επέκταση των περιορισμών πολλαπλών επιλογών και χρησιμοποιείται για την περιγραφή (μοντελοποίηση) καταστάσεων όπου κ σχέδια-δραστηριότητες πρέπει να επιλεγούν ανάμεσα σε ν εναλλακτικά. Έστω ότι οι μεταβλητές x 2, x 5, x 6, x 7 και x 8 αναπαριστούν πέντε δυνητικές επεκτάσεις αποθηκών και ότι θεωρείται αναγκαίο να υιοθετηθούν δύο από τα πέντε σχέδια. Ο παρακάτω περιορισμός εγγυάται την πραγματοποίηση αυτής της απαίτησης. x 2 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 = 2 Αν απαιτείται η αποδοχή όχι περισσότερων από δύο σχεδίων τότε χρησιμοποιούμε την κατωτέρω ανίσωση: x 2 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 < 2 Επιπλέον, κάθε μία από τις παραπάνω μεταβλητές πρέπει να περιορισθεί στις τιμές
26 Παραδείγματος 3.5-β Υπό συνθήκη και συναπαιτούμενοι περιορισμοί Πολλές φορές η αποδοχή μιας δραστηριότητας εξαρτάται από την αποδοχή μιας άλλης. Για παράδειγμα, έστω ότι η επέκταση αποθήκης εξαρτάται από την πραγματοποίηση του σχεδίου επέκτασης εγκαταστάσεων. Επομένως, η εταιρεία δεν θα μελετήσει την επέκταση αποθήκης αν το σχέδιο επέκτασης εγκαταστάσεων δεν υιοθετηθεί. Με τη μεταβλητή x 1 αναπαριστάνουμε την επέκταση εγκαταστάσεων ενώ με τη μεταβλητή x 2 αναπαριστάνουμε την επέκταση αποθήκης. Οι ακόλουθοι υπό συνθήκη περιορισμοί πρέπει να εισαχθούν για να υποστηρίξουν αυτή την απαίτηση. x 2 < x 1 ή x 2 x 1 < 0. Εφ' όσον και οι δύο μεταβλητές x 1 και x 2 υποχρεούνται να είναι 0 ή 1, παρατηρούμε ότι όταν η x 1 είναι 0 τότε η x 2 αναγκάζεται να είναι κι αυτή 0. Όταν η x 1 είναι 1 τότε η x 2 επιτρέπεται να είναι 1. Άρα και τα δύο σχέδια επέκτασης μπορούν να πραγματοποιηθούν. Όμως παρατηρούμε ότι ο παραπάνω περιορισμός δεν εξαναγκάζει την πραγματοποίηση της επέκτασης αποθηκών όταν το σχέδιο επέκταση εγκαταστάσεων έχει γίνει δεκτό, (x 1 = 1, x 2 = 0). 26
27 Παραδείγματος 3.5-β Αν επιπλέον απαιτούμε η επέκταση αποθηκών να γίνει υποχρεωτικά δεκτή εφ' όσον η επέκταση εγκαταστάσεων υιοθετηθεί και αντίστροφα τότε λέμε ότι οι μεταβλητές x 1 και x 2 είναι συνεπιτακτικές (ταυτόχρονα αποδεκτές ή μη). Για να μοντελοποιήσουμε μια τέτοια κατάσταση γράφουμε τον παραπάνω περιορισμό ως μια ισότητα x 2 = x 1 ή x 2 x 1 = 0 Ο περιορισμός αυτός εξαναγκάζει τις μεταβλητές x 1 και x 2 να πάρουν τις ίδιες τιμές. 27
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018-2019 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός
Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού
Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ολοκληρωμένη μαθηματική τεχνική βελτιστοποίησης Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Εισαγωγή ακέραιων/λογικών/βοηθητικών μεταβλητών Δυνατότητα γραμμικοποίησης με 0-1 μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραmax 17x x 2 υπό 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0.
Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 11 Επίλυση στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 6 Μαΐου 2016 Η μέθοδος κλάδος-φράγμα
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής
Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ακέραιος Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)
Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Η μέθοδος Simplex Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος
Διαβάστε περισσότερα2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ
2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)
Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής
Διαβάστε περισσότεραz = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX
ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ
Συστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Περιεχόμενα 1 Γενικά στοιχεία γραμμικού προγραμματισμού 2 Παράδειγμα γραμμικού προγραμματισμού και γραφικής επίλυσης του 3 Γραμμικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Νοέμβριος 006 Αθήνα Κεφάλαιο ο Ακέραιος και μικτός προγραμματισμός. Εισαγωγή Μια από τις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα
Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χαρακτηριστικά αλγορίθμων τύπου simplex (5) Αν το βασικό σημείο ικανοποιεί ακριβώς n-m ανισότητες
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 3/4/2012. Lecture08 1
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μεθοδολογία αλγορίθμων τύπου simplex (5) Βήμα 0: Αρχικοποίηση (Initialization). Στο βήμα
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Ανάλυση Ευαισθησίας. Έχοντας λύσει ένας πρόβλημα ΓΠ θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν η λύση έχει φυσική σημασία. Είναι επίσης πολύ πιθανό να έχουμε χρησιμοποιήσει δεδομένα για τα οποία δεν είμαστε σίγουροι
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ευαισθησίας. Άσκηση 3 Δίνεται ο παρακάτω τελικός πίνακας Simplex. Επιχειρησιακή Έρευνα Γκόγκος Χρήστος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Άρτα Επιχειρησιακή Έρευνα Γκόγκος Χρήστος Μεταπτυχιακό Μηχανικών Η/Υ και Δικτύων Μεταπτυχιακό Μηχανικών Η/Υ και Δικτύων ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 Ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές Επιχειρησιακής Έρευνας. Δρ. Γεώργιος Κ.Δ. Σαχαρίδης
Εφαρμογές Επιχειρησιακής Έρευνας Δρ. Γεώργιος Κ.Δ. Σαχαρίδης 1 Outline Introduction to mathematical programming Introduction to scheduling Flow shop optimization Scheduling of crude oil Decomposition techniques
Διαβάστε περισσότεραΒασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση
Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότερα1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση προβληµάτων
Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ανάλυση ευαισθησίας Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Παράδειγμα TOYCO Η επιχείρηση TOYCO χρησιμοποιεί
Διαβάστε περισσότεραΜΕΙΚΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΜΕΡΟΣ III ΜΕΙΚΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 45 ΜΕΙΚΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η γενική μορφή των προβλημάτων μικτού ακέραιου προγραμματισμού είναι: mn, (, ) h g (, ) (, ) R n = {,} q Το διάνυσμα
Διαβάστε περισσότεραείναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές
Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς
Διαβάστε περισσότεραΓραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός
Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.
Διαβάστε περισσότερα3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex
3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραmax c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m
Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»
Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης
Διαβάστε περισσότεραILP (integer linear programming) βασιζόμενη εξαρτώμενη από τους πόρους μεταγλώττιση
ILP (integer linear programming) βασιζόμενη εξαρτώμενη από τους πόρους μεταγλώττιση Γιατί χρησιμοποιείται μοντελοποίηση των περιορισμών με ακεραίους? Υπάρχουν ήδη εργαλεία για τον υπολογισμό και την χρήση
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Μεταπτυχιακή Εργασία ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗ ΓΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΥΠΟΒΟΛΗ ΠΡΟΣΦΟΡΩΝ ΣΕ ΗΜΕΡΗΣΙΕΣ ΑΓΟΡΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ)
Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Περίληψη Επίλυση δυσδιάστατων προβληµάτων Η µέθοδος simplex Τυπική µορφή Ακέραιος Προγραµµατισµός Προγραµµατισµός Παραγωγής Προϊόν Προϊόν 2 Παραγωγική Δυνατότητα Μηχ. 4 Μηχ.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 13: Μεθοδολογία Αλγορίθμων τύπου Simplex, Αναθεωρημένος Πρωτεύων Αλγόριθμος Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότερασει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.
Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα
Διαβάστε περισσότερα3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2.
Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης... 11 Λίγα λόγια για βιβλίο... 11 Σε ποιους απευθύνεται... 12 Τι αλλάζει στην 5η αναθεωρημένη έκδοση... 12 Το βιβλίο ως διδακτικό εγχειρίδιο... 14 Ευχαριστίες...
Διαβάστε περισσότεραmin f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +
KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης Δ.Π.Θ. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Προβλημάτων 1
Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων Περιγραφή Προβλημάτων Αλγόριθμοι αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αναζήτηση πρώτα σε βάθος Αναζήτηση πρώτα σε πλάτος (ΒFS) Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Βασικός τελικός στόχος κάθε επιστηµονικής τεχνολογικής εφαρµογής είναι: H γενική βελτίωση της ποιότητας του περιβάλλοντος Η βελτίωση της ποιότητας ζωής Τα µέσα µε τα
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα Μεταφοράς
Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 5. Εργοστάσια. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης
Άσκηση Μια μεγάλη εταιρεία σκοπεύει να μπει δυναμικά στην αγορά αναψυκτικών της χώρας διαθέτοντας συνολικά 7 μονάδες κεφαλαίου. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζει είναι αν πρέπει να κατασκευάσει ένα κεντρικό
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex
Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων
Διαβάστε περισσότεραΤο µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα
Ερευνητικό έργο: Εκσυγχρονισµός της εποπτείας και διαχείρισης του συστήµατος των υδατικών πόρων ύδρευσης της Αθήνας Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ανδρέας Ευστρατιάδης και Γιώργος Καραβοκυρός Τοµέας
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 11: Σχέσεις Πρωτεύοντος και Δυϊκού Προβλήματος, Χαρακτηριστικά Αλγορίθμων τύπου Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 2)
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 2) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 1) Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ IΙ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ IΙ Ακαδ. Έτος 2018-2019 Διδάσκων: Β. ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 2271035468
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: Εισαγωγή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 3 η /2017 Γραμμικός προγραμματισμός Είναι μια μεθοδολογία
Διαβάστε περισσότεραISBN:
Ακριβείς και ευρετικοί αλγόριθμοι μεικτού ακέραιου διεπίπεδου προγραμματισμού για βέλτιστη υποβολή προσφορών σε αγορές ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρικής ενέργειας Ευτυχία Κωσταρέλου Τμήμα Μηχανολόγων
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Δυϊκή Θεωρία (1) Θεώρημα : Το δυϊκό πρόβλημα του γραμμικού προβλήματος 0 0 1 1 2 2 0 0 T
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 1 η ενότητα: Εισαγωγή στον Δυναμικό Προγραμματισμό Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014
ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Άμφισσα, 2013 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 5: Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Φουτσιτζή Γεωργία-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 15/10/2016 1 Περιεχόμενα Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Συνδυασμένη χρήση μοντέλων προσομοίωσης βελτιστοποίησης. Η μέθοδος του μητρώου μοναδιαίας απόκρισης Νικόλαος
Διαβάστε περισσότερα1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 9 P vs NP 1 / 13 Δυσκολία επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων Κάποια προβλήματα είναι εύκολα να λυθούν με
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΗθικός Κίνδυνος. Το βασικό υπόδειγμα. Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση.
Ηθικός Κίνδυνος Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση Το βασικό υπόδειγμα Θεωρείστε την περίπτωση κατά την οποία μια επιχείρηση
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 9: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (1o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός
Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραCase 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)
Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός
Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο
Διαβάστε περισσότερα