Επιχειρησιακή Έρευνα I

Transcript

1 Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis

2 Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός Προγραμματισμός Βελτιστοποίηση δικτύων Μαθηματικός Προγραμματισμός - Ακέραιος Προγραμματισμός Μαθηματικός Προγραμματισμός - Δυναμικός προγραμματισμός Μαθηματικός Προγραμματισμός - Μη γραμμικός προγραμματισμός 2

3 Περιεχόμενα EE 1 Εισαγωγή Γραμμικός Προγραμματισμός Μοντελοποίηση Προβλημάτων Επίλυση Προβλημάτων Γραφική μέθοδος Μέθοδος Simplex Μέθοδος μεγάλου Μ Δυϊκότητα Βελτιστοποίηση δικτύων Πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής Πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου Πρόβλημα μέγιστης ροής Πρόβλημα ροής ελαχίστου κόστους 3

4 Εισαγωγή

5 Τι είναι η Επιχειρησιακή Έρευνα Η ΕΕ είναι μια επιστημονική προσέγγιση που βασίζεται στην επιστήμη των μαθηματικών και χρησιμοποιείται για την λήψη των βέλτιστων αποφάσεων σε σύνθετα πρακτικά επιχειρησιακά προβλήματα και για οποιοδήποτε τομέα εφαρμογής (άμυνα, παραγωγή, μεταφορές, μάρκετινγκ, τηλεπικοινωνίες, χρηματοοικονομικά, υγεία κλπ.) 5

6 Ιστορική Προέλευση της ΕΕ Έρευνα για την αποτελεσματικότητα των στρατιωτικών επιχειρήσεων κατά τη διάρκεια του Β Παγκοσμίου πολέμου ( ). Εφεύρεση της μεθόδου Simplex (1947) από τον Dantzig Υλοποίηση της μεθόδου Simplex στα πρώτα υπολογιστικά συστήματα (ENIAC: Electronical Numerical Integrator and Computer) της εποχής 6

7 Που χρησιμοποιείται η ΕΕ Η ΕΕ έχει μεγάλο εύρος εφαρμογής σε επιχειρήσεις και οργανισμούς Αμυντικές Εφαρμογές (military/defence applications) Συστήματα διανομής εμπορευμάτων (supply chain) Διαχείριση αποθεμάτων (inventory management) Οργάνωση δικτύων (μεταφορές, τηλεπικοινωνίες) Διαχείριση ουρών αναμονής κλπ 7

8 Που χρησιμοποιείται η ΕΕ Παραδείγματα προβλημάτων: Επιλογή της τοποθεσίας μιας παραγωγικής μονάδας για την ελαχιστοποίηση του κόστους του supply chain Που βρίσκονται οι πελάτες; Που βρίσκονται οι προμηθευτές; Που βρίσκονται οι πρώτες ύλες; Εργατική Νομοθεσία (κόστος υπερωριών κλπ) Σειρά επίσκεψης πελατών κατά τη διάρκεια διανομής προϊόντων για την ελαχιστοποίηση του κόστους μεταφοράς Που βρίσκονται οι πελάτες Πόσο φορτίο «χωράει» κάθε όχημα διανομής Ποιες ώρες «δέχεται» κάθε πελάτης Υπάρχει δυνατότητα στάθμευσης του οχήματος έξω από κάθε πελάτη 8

9 Που χρησιμοποιείται η ΕΕ Παραδείγματα προβλημάτων: Κατανομή των διαθέσιμων πόρων (π.χ. εργαζομένων και πλεκτικών μηχανών) με σκοπό την μεγιστοποίηση του κέρδους μιας πλεκτικής βιομηχανικής μονάδας. Γραμμικός Προγραμματισμός (κατανομή των πόρων με τον βέλτιστο τρόπο) Τι κέρδος έχει η βιομηχανική μονάδα για διαφορετικά παραγόμενα προϊόντα (π.χ. Προϊόν Α και προϊόν Β); Πόσο χρόνο χρειάζεται η μηχανή Χ και η μηχανή Υ για την παραγωγή του προϊόντος Α και πόσο για την παραγωγή του προϊόντος Β; Πόσοι εργαζόμενοι χρειάζονται για τον χειρισμό της μηχανής Χ και πόσοι για τον χειρισμό της μηχανής Β; Ποιο είναι το κόστος του εργαζόμενου που χειρίζεται την μηχανή Χ και ποιο το κόστος του εργαζόμενου που χειρίζεται την μηχανή Υ; 9

10 Επιστημονική διαδικασία στην ΕΕ 1) Ορισμός του προβλήματος 2) Προσδιορισμός Παραμέτρων βάσει συλλογής πρακτικών δεδομένων 3) Εντοπισμός των Περιορισμών 4) Διατύπωση Μαθηματικού Μοντέλου 5) Ανάπτυξη μεθόδου για την Επίλυση Μαθηματικού Μοντέλου 6) Ανάλυση και Ερμηνεία της Λύσης. Έλεγχος για πιθανά λάθη του μοντέλου 7) Υλοποίηση εντός της επιχείρησης 10

11 Ορισμός του Προβλήματος Μελέτη των Πρακτικών Παραμέτρων του Επιχειρησιακού Προβλήματος και Ξεκάθαρη Λεκτική Διατύπωση του Προβλήματος. Ποσοτικοί περιορισμοί στους διαθέσιμους πόρους Χρονικός περιορισμός για τη λήψη απόφασης Συσχετίσεις μεταξύ διαθέσιμων πόρων 11

12 Ορισμός του Προβλήματος (παράδειγμα) Μια βιομηχανία (π.χ. SATO) κατασκευάζει δυο διαφορετικά μοντέλα κρεβατιών. Το μοντέλο Α και το μοντέλο Β. Η γραμμή παραγωγής περιλαμβάνει δυο τμήματα της εταιρείας (ξυλουργείο και συναρμολόγηση) Για το μοντέλο Α απαιτούνται 2 ώρες στο ξυλουργείο και 2 ώρες στη συναρμολόγηση ενώ για το μοντέλο Β απαιτούνται 7 ώρες στο ξυλουργείο και 2 ώρες στη συναρμολόγηση. Οι διαθέσιμες εργατοώρες ανά μήνα στο ξυλουργείο είναι 2500 και στη συναρμολόγηση Για κάθε μοντέλο Α η επιχείρηση έχει κέρδος 30Ευρώ ενώ για κάθε μοντέλο Β έχει κέρδος 50 Ευρώ. Ποια η παραγωγή σε μοντέλο Α και ποια σε μοντέλο Β ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος της επιχείρησης. 12

13 Εντοπισμός Περιορισμών (παράδειγμα) Έστω Χ 1 μονάδες η παραγωγή του μοντέλου Α και Χ 2 μονάδες η παραγωγή του μοντέλου Β Περιορισμοί: Το ξυλουργείο δεν μπορεί να υπερβεί τις 2500 εργατοώρες τον μήνα. Κάθε μοντέλο Α απαιτεί 2 ώρες στο ξυλουργείο και κάθε μοντέλο Β απαιτεί 7 ώρες στο ξυλουργείο, οπότε 2*Χ 1 +7*Χ Η συναρμολόγηση δεν μπορεί να υπερβεί τις 1000 εργατοώρες τον μήνα. Κάθε μοντέλο Α απαιτεί 2 ώρες συναρμολόγησης και κάθε μοντέλο Β απαιτεί 2 ώρες συναρμολόγησης, οπότε 2*Χ 1 +2*Χ 2 <=1000 Τέλος, Χ 1 και Χ 2 >= Έτσι, το κέρδος είναι Ζ=30*Χ 1 +50*Χ 2 και ψάχνουμε τις τιμές Χ 1 και Χ 2 για την μεγιστοποίηση του κέρδος της SATO για τα μοντέλα αυτά. 13

14 Διατύπωση Μαθηματικού Μοντέλου (παράδειγμα) Μοντέλο = ιδεατή αναπαράσταση ενός προβλήματος με μαθηματικές σχέσεις Παράδειγμα (πρόβλημα βελτιστοποίησης): max Ζ = 30x x 2 Υπό περιορισμούς (subject to): 2x 1 +7x x 1 +2x x 1 0, x 2 0 Το πρόβλημα είναι η εύρεση των τιμών των x 1, x 2 (μεταβλητές απόφασης) για τις οποίες η Ζ λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της 14

15 Ορολογία της Μοντελοποίησης Μεταβλητές Απόφασης: x 1, x 2 Αντικειμενική συνάρτηση: 30x x 2 Περιορισμός: 2x 1 + 7x Ζ = 30x x 2 2x 1 +7x x 1 +2x x 1 0, x 2 0 Παράμετροι: 2, 7 και 2500 στο 2x 1 + 7x

16 Μεθοδολογία Επίλυσης Ανάπτυξη αλγόριθμου (ακριβής ή ευρετικός) για την επίλυση του μοντέλου Για ένα μοντέλο βελτιστοποίησης, ένας ακριβής αλγόριθμος επίλυσης επιτρέπει την ταυτοποίηση μίας τουλάχιστον λύσης: Που ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς (εφικτή) Που αντιστοιχεί στην μεγαλύτερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (για μεγιστοποίηση). Μπορεί να έχουμε μία μοναδική βέλτιστη τιμή αλλά υπάρχει περίπτωση πολλαπλών βέλτιστων λύσεων. Για ένα μοντέλο βελτιστοποίησης, ένας ευρετικός αλγόριθμος επιτρέπει την ταυτοποίηση μίας τουλάχιστον εφικτής λύσης χωρίς την εγγύηση ότι αυτή η λύση είναι και η βέλτιστη 16

17 Μαθηματικός Προγραμματισμός Αριστοποίηση συνάρτησης πολλών μεταβλητών (αντικειμενική συνάρτηση) Περιορισμοί υπό τη μορφή συναρτήσεων των μεταβλητών αυτών (ανισότητες ή/και ισότητες) Οι μεταβλητές αυτές μπορεί να είναι συνεχείς ή/και ακέραιες Οι συναρτήσεις μπορεί να είναι γραμμικές ή μη γραμμικές 17

18 Μαθηματικός Προγραμματισμός Επίλυση προβλημάτων κατανομής περιορισμένων οικονομικών πόρων σε ένα σύνολο δραστηριοτήτων έτσι ώστε να αριστοποιείται μία ή περισσότερες συναρτήσεις στόχου (αντικειμενικές συναρτήσεις). 18

19 Μαθηματικός προγραμματισμός Σύνολο (ανταγωνιστικών) δραστηριοτήτων: παραγωγή προϊόντων, παροχή διαφόρων ειδών υπηρεσιών. Σε κάθε δραστηριότητα j αντιστοιχεί μία μεταβλητή απόφασης x j η τιμή της οποίας προσδιορίζεται από την επίλυση του συγκεκριμένου προβλήματος του μαθηματικού προγραμματισμού. Σύνολο οικονομικών πόρων (περιορισμοί): πρώτες ύλες, εξοπλισμός, εργατοώρες. Σε κάθε συντελεστή παραγωγής i αντιστοιχεί μία περιοριστική σταθερά b i. Αντιστοιχεί ακόμη μία περιοριστική συνάρτηση g(x 1, x 2,, x n ) που συνδέεται με την b i με μία από τις σχέσεις, =,, (τεχνολογικοί περιορισμοί). Υπάρχουν και οι περιορισμοί πολιτικής με τους οποίους εκφράζονται διάφορες αποφάσεις σχετικά με τα επιθυμητά ανώτατα η κατώτατα όρια στις τιμές των μεταβλητών απόφασης. Σύνολο αντικειμενικών συναρτήσεων, η αριστοποίηση των οποίων επιδιώκεται από την επίλυση του προβλήματος του μαθηματικού προγραμματισμού. 19

20 Μαθηματικός Προγραμματισμός Το γενικό πρόβλημα του μαθηματικού προγραμματισμού μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Opt z(x 1,, x n ) με περιορισμούς: g i (x 1,, x n ),=, b i i=1,, m και x 1,, x n 0 20

21 Μαθηματικός Προγραμματισμός 4 βασικές κατηγορίες: 1. Γραμμικός προγραμματισμός: αντικειμενικές & περιοριστικές συναρτήσεις είναι γραμμικές. 2. Μη γραμμικός προγραμματισμός: μία από τις συναρτήσεις είναι μη γραμμική. 3. Αμιγής ακέραιος προγραμματισμός: όλες οι μεταβλητές παίρνουν ακέραιες τιμές. 4. Μικτός ακέραιος προγραμματισμός: μεταβλητές με ακέραιες και μη ακέραιες τιμές 21

22 Γραμμικός Προγραμματισμός Linear Programming

23 Γραμμικός προγραμματισμός Αριστοποίηση συνάρτησης πολλών μεταβλητών (αντικειμενική συνάρτηση) Περιορισμοί υπό τη μορφή συναρτήσεων των μεταβλητών αυτών (ανισότητες ή/και ισότητες) Οι μεταβλητές αυτές είναι συνεχείς (μη ακέραιες) Οι συναρτήσεις είναι γραμμικές 23

24 Μορφοποίηση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Το γενικό πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να διατυπωθεί : οpt z(x 1,, x n ) = 1 j n c j x j με περιορισμούς: 1 j n a ij x j {,=, } b i, i=1,, m και x 1,, x n 0 24

25 Μορφοποίηση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Opt z(x 1,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n με περιορισμούς: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n (, )b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n (, )b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n (, )b m x 1, x 2,...,x n 0. 25

26 Μορφοποίηση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Με περιορισμούς: Opt z(x 1,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n a 11 a 1n x 1 x n, a m1 a mn b 1 b m x 1, x 2,...,x n 0. 26

27 Ορολογία των λύσεων Εφικτή λύση: λύση όπου όλοι οι περιορισμοί ικανοποιούνται, ανήκουν στην εφικτή περιοχή Μη εφικτή λύση: λύση όπου τουλάχιστον ένας περιορισμός δεν ικανοποιείται, δεν ανήκει στην εφικτή περιοχή Άριστη λύση: λύση που μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. Μοντέλο χωρίς άριστη λύση: Κενή Εφικτή περιοχή Οι περιορισμοί δεν εμποδίζουν την αύξηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Μοντέλο με άπειρες άριστες λύσεις. 27

28 Παράδειγμα γραμμικού προγραμματισμού Αντικειμενική συνάρτηση Περιορισμοί δομής και μη αρνητικότητας Μεταβλητές απόφασης

29 Γραφική επίλυση παραδείγματος x 2 Περιοριστική ευθεία 1 (περιορισμός 1) x 1

30 Γραφική επίλυση παραδείγματος x 2 Περιοριστική ευθεία 2 (περιορισμός 2) Ακραίο σημείο (το σημείο που τέμνονται 2 περιοριστικές ευθείες. Για να το βρω λύνω το σύστημα εξισώσεων των ευθειών) x1+x2 = 6 x1+3x2=12 x1 = 3, x2 =3 x 1

31 Γραφική επίλυση παραδείγματος x 2 Περιοριστική ευθεία 3 (περιορισμός 3) x 1

32 Γραφική επίλυση παραδείγματος x 2 Περιοχή εφικτών λύσεων (οι λύσεις που ικανοποιούν τους περιορισμούς) x 1

33 Γραφική επίλυση παραδείγματος x 2 Z = 2x 1 + 5x 2 Z=20 Βασικές λύσεις (Κορυφές της εφικτής περιοχής) Z=18 Z=10 x 1

34 Παράδειγμα ΙΙ max Ζ = 3x 1 + 5x 2 Υπό περιορισμούς (subject to): x 1 4 2x x 1 +2x 2 18 x 1 0, x

35 Κενή εφικτή περιοχή Max Z = 3x 1 + 5x 2 X 1 <=4 2x 2 <=12 3x 1 +2x 2 <=18 3x 1 +5x 2 >=50 x 1 >=0, x 2 >=0 s.t. 35

37 Μοντέλο με άπειρες άριστες λύσεις Max Z = 3x 1 + 2x 2 X 1 <=4 2x 2 <=12 3x 1 +2x 2 <=18 x 1 >=0, x 2 >=0 s.t. εφικτή περιοχή Οποιοδήποτε σημείο πάνω σ αυτό το τμήμα ευθείας είναι άριστο (C) Copyright Α. Platis. All rights reserved. 37

38 Γεωμετρική ερμηνεία Ακραίο σημείο της εφικτής περιοχής: λύση που αντιστοιχεί σε μία γωνία της εφικτής περιοχής. Σε δύο διαστάσεις, μία γωνία είναι η συνάντηση δύο ή περισσότερων ευθειών που ορίζονται από τα σύνορα των περιορισμών. Θεώρημα: Εάν ένα μοντέλο Γ.Π. έχει μία μη-κενή και περιορισμένη εφικτή περιοχή, τότε υπάρχει τουλάχιστον μία άριστη λύση που αντιστοιχεί σε ένα ακραίο σημείο της εφικτής περιοχής. 38

39 Ακραία σημεία εφικτή περιοχή 39

40 Υποθέσεις ενός μοντέλου ΓΠ Υπόθεση της αναλογικότητας: η αντικειμενική συνάρτηση και όλοι οι περιορισμοί πρέπει να είναι γραμμικές συναρτήσεις. Για παράδειγμα, αύξηση του ανθρώπινου δυναμικού θα φέρει ανάλογη αύξηση στην παραγωγή. Αυτή η υπόθεση δεν ικανοποιείται όταν υπάρχει αυξητική τάση ανά μονάδα 40

41 αυξητική τάση ανά μονάδα Δεν ικανοποιεί την υπόθεση αναλογικότητας ικανοποιεί την υπόθεση αναλογικότητας 41

42 Υποθέσεις ενός μοντέλου ΓΠ Υπόθεση της προσθετικότητας: Οι ποσότητες ενός πόρου που καταναλώνονται από τις διάφορες δραστηριότητες, μπορούν να προστεθούν: αν η δραστηριότητα 1 καταναλώνει a i1 x 1 μονάδες του συντελεστή i, και η δραστηριότητα 2 καταναλώνει a i2 x 2 τότε και οι δύο μαζί καταναλώνουν a i1 x 1 + a i1 x 2 (βλέπε γενικό μοντέλο, σελ 25) (C) Copyright Α. Platis. All rights reserved. 42

43 Υποθέσεις ενός μοντέλου ΓΠ Υπόθεση της διαιρετότητας: θεωρείται ότι οι πόροι και τα προϊόντα μπορούν να χωριστούν σε τμήματα (στην πραγματικότητα αυτά τα τμήματα παραγωγής δεν είναι δυνατόν να πραγματοποιηθούν, όπως π.χ. η παραγωγή του ενός τρίτου ενός κρεβατιού) Κάθε μεταβλητή απόφασης μπορεί να πάρει μη-ακέραιη τιμή (όταν θέλουμε ακέραιες τιμές τότε κάνουμε χρήση ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού) Υπόθεση προσδιοριστικότητας: οι τιμές των παραμέτρων του μοντέλου (δηλαδή τα a ij, b i, c j ) θεωρούνται ότι είναι γνωστές σταθερές (στην πραγματικότητα όμως έχουν κάποιο βαθμό αβεβαιότητας οπότε και πρακτικά, μετά την εύρεση της άριστης λύσης, χρειάζεται και μία ανάλυση ευαισθησίας στις τιμές των παραμέτρων. 43

44 Παραδείγματα Επίλυση με γραφική μέθοδο

45 Παράδειγμα μοντέλου ΓΠ Δεδομένα του προβλήματος: 2 προϊόντα (Π1 και Π2) 3 εργοστάσια (Ε1, Ε2 και Ε3) Παραγωγική δυναμικότητα για κάθε εργοστάσιο (εβδομαδιαία) Κέρδος ανά παρτίδα (20 μονάδες) για κάθε προϊόν. Π1 (δυνατότητα παραγωγής Π2 (δυνατότητα παραγωγής Παραγωγική δυναμικότητα (ώρα) παρτίδας ανά ώρα) παρτίδας ανά ώρα) Ε Ε Ε Κέρδος ( ) /παρτίδα

46 Παράδειγμα μοντέλου ΓΠ Κάθε παρτίδα προϊόντος 1 είναι το αποτέλεσμα του συνδυασμού παραγωγής των εργοστασίων 1 και 3 Κάθε παρτίδα προϊόντος 2 είναι το αποτέλεσμα του συνδυασμού παραγωγής των εργοστασίων 2 και 3 Βρείτε το ποσοστό παραγωγής κάθε προϊόντος (αριθμός παρτίδων /εβδομάδα) έτσι ώστε να μεγιστοποιείται το συνολικό κέρδος. Μεταβλητές απόφασης (decision variables) x 1 = αριθμός παρτίδων προϊόντος 1 x 2 = αριθμός παρτίδων προϊόντος 2 Αντικειμενική συνάρτηση: z = συνολικό κέρδος z= 3x 1 +5x 2 Μεγιστοποίηση z 46

47 Παράδειγμα μοντέλου ΓΠ Περιορισμοί παραγωγικής δυναμικότητας x 1 4 (εργοστάσιο 1) 2x 2 12 (εργοστάσιο 2) 3x 1 + 2x 2 18 (εργοστάσιο 3) Περιορισμοί μη αρνητικότητας x 1 0, x 2 0 (αριθμός μονάδων που έχουν παραχθεί) Μεγιστοποίηση Ζ = 3x 1 + 5x 2 κάτω από τις συνθήκες: x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x 1 0, x

48 Γραφική επίλυση εφικτή περιοχή 48

50 Γραφική μέθοδο Χαράζουμε ευθείες που αντιστοιχούν σε κάθε περιορισμό Προσδιορισμός της εφικτής περιοχής, ελέγχοντας την κατεύθυνση των ανισοτήτων για κάθε περιορισμό Χαράζουμε ευθείες που αντιστοιχούν στην μεταβολή της αντικειμενικής συνάρτησης. Στο παράδειγμα: Ζ = 3x 1 + 5x 2 x 2 = -(3/5) x 1 +(1/5) Ζ Τιμή του x 2 στο αρχικό σημείο: (1/5) Ζ Κλίση: -3/5 Μεγιστοποίηση = αύξηση του Z 50

51 Άλλα παραδείγματα

52 Πρόβλημα της άριστης επιλογής προϊόντων Έστω ότι παράγουμε τα προϊόντα Π1, Π2 και Π3 το κέρδος κάθε πωλούμενης μονάδας των οποίων είναι ίσο με 5, 11 και 8 νομισματικές μονάδες αντίστοιχα. Η τιμή πώλησης των Π1, Π2 και Π3 είναι 23, 18 και 25 νομισματικές μονάδες αντίστοιχα. Η παραγωγή κάθε μονάδας από τα προϊόντα Π1, Π2 και Π3 απαιτεί ορισμένες εργατοώρες και χρησιμοποιεί τις πρώτες ύλες ΠΥ1, ΠΥ2, ΠΥ3 και ΠΥ4. Εργασίες Π1 Π2 Π3 Διαθέσιμες εργατοώρες Κοπή Συναρμολόγηση Βαφή Πρώτες ύλες Διαθέσιμες ποσότητες ΠΥ ΠΥ ΠΥ ΠΥ

53 Πρόβλημα της άριστης επιλογής προϊόντων Επίσης έρευνα αγοράς έδειξε ότι τα ανώτατα όρια στην προηγούμενη ποσότητα για Π1, Π2, Π3, είναι 95, 110 και 80 μονάδες αντίστοιχα. Επιθυμητά κατώτατα όρια στις πωλήσεις των Π1, Π2 και Π3 είναι 40, 60 και 35 μονάδες αντίστοιχα. Ζητούνται να προσδιοριστούν οι παραγόμενες ποσότητες Π1, Π2 και Π3 έτσι ώστε να μην παραβιάζονται οι περιορισμοί του προβλήματος, να επιτυγχάνεται ένα ελάχιστο κέρδος 50 νομισματικών μονάδων και να μεγιστοποιούνται τα ολικά έσοδα. 53

54 Μορφοποίηση με την μέθοδο της άμεσης προσέγγισης Κατασκευάζουμε το σύνολο των μεταβλητών του προβλήματος. x 1 :ποσότητα Π1 που θα παραχθεί Κατασκευάζουμε το σύνολο των περιορισμών του προβλήματος. Κατασκευάζεται η αντικειμενική συνάρτηση. 54

55 Μορφοποίηση με την μέθοδο της άμεσης προσέγγισης Για την μορφοποίηση ενός προβλήματος σε πρόβλημα ΓΠ γίνονται οι εξής βασικές υποθέσεις: Περιορισμοί παραγωγικής δυναμικότητας (15x x 2 +5x ). Περιορισμοί υλικών και πρώτων υλών παραγωγής. (2x 1 + 5x 2 +3x 3 125) Περιορισμοί αγοράς. (x 1 95, x 2 110, x 3 80) Περιορισμοί πολιτικής. (x 1 40, x 2 65, x 3 35) (C) Copyright Α. Platis. All rights reserved. 55

56 Πρόβλημα της δίαιτας Κλασσικό πρόβλημα ΓΠ. Γάλα Κρέας Πατάτες Όσπρια Αυγά(10) Απαιτούμενες Ποσότητες Βιταμίνη Α Βιταμίνη C Βιταμίνη D Πρωτεΐνες 3,2 12 1, Κόστος

57 Οράριο προσωπικού Κάθε μέρα διαιρείται σε περιόδους Υπάρχει μία εκτίμηση του ελάχιστου προσωπικού (MinEmp) για κάθε περίοδο. Κάθε μέρα διαιρείται επίσης σε διαφορετικά 8ωρα εργασίας Πολλά 8ωρα μοιράζονται σε μία ίδια περίοδο Κάθε 8ωρο απαιτεί ένα συγκεκριμένο μισθό Πόσους υπάλληλους πρέπει να κατανεμηθούν για κάθε διαφορετικό 8ωρο εργασίας ώστε να ελαχιστοποιηθεί το σύνολο των μισθών τηρώντας τον ελάχιστο αριθμό υπαλλήλων για κάθε περίοδο; 57

58 Δεδομένα του προβλήματος περίοδος μισθός 58

59 Μοντέλο x j = αριθμός υπαλλήλων για το τέταρτο j Στόχος: Ελαχιστοποίηση z = 170 x x x x x 5 Για κάθε περίοδο, ο αριθμός υπαλλήλων πρέπει να καλύπτει τον ελάχιστο αριθμό υπαλλήλων για την συγκεκριμένη περίοδο. Πχ: για την περίοδο 14:00 εως 16:00 x 2 + x

60 Μοντέλο (λεπτομερή περιγραφή) Ελαχιστοποίηση: 60

61 Συμπεράσματα x 1 + x 2 79 x 1 + x 2 65 : αυτός ο περιορισμός δεν χρειάζεται διότι είναι σε πλεονασμό x 3 + x 4 82 x 3 + x 4 73 : ίδια παρατήρηση με αυτό το περιορισμό Βέλτιστη λύση (με Excel Solver) δίνει: (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (48, 31, 39, 43, 15) Πρόβλημα: ο αριθμός των υπαλλήλων πρέπει να είναι ακέραιος άρα η υπόθεση διαιρετότητας δεν ικανοποιείται αν και η βέλτιστη λύση είναι ακέραιη 61

62 Δίκτυο διανομής Δύο εργοστάσια (Ερ.1, Ερ.2) Ένα κέντρο διανομής (Κ.Δ.) Δύο αποθήκες (Απ.1, Απ.2) Κάθε εργοστάσιο παράγει ένα αριθμό μονάδων του ίδιου προϊόντος (προσφορά) Κάθε αποθήκη απαιτεί ένα αριθμό μονάδων του ίδιου προϊόντος (ζήτηση) Σε κάθε ακμή του δικτύου υπάρχει ένα κόστος (ανά μονάδα) Σε μερικές ακμές υπάρχει επίσης ένα ανώτατο όριο στον αριθμό μεταφοράς μονάδων Στόχος: ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους μεταφοράς 62

63 Δίκτυο διανομής Παραγωγή 50 μ. Ερ.1 900/μον. Απ.1 Απαίτηση 30 μ. 400/μον. 200/μον. 10 Κ.Δ. 200/μον. 300/μον /μον. 100/μον. Παραγωγή 40 μ. Ερ.2 Απ.2 Απαίτηση 60 μ. 63

64 Μοντέλο x i,j =αριθμός μονάδων που μεταφέρονται στην ακμή (i,j) μεταξύ των κόμβων i και j Στόχος: Ελαχιστοποίηση z = 2 x Ερ1,Ερ2 + 4 x Ερ1,ΚΔ + 9 x Ερ1,Απ1 + 3 x Ερ2,ΚΔ + x ΚΔ,Απ2 +3 x Απ1,Απ2 + 2 x Απ2,Απ1 Διατήρηση της ροής: σε κάθε κόμβο του δικτύου: Ροή εξόδου ροή εισόδου= αρ. Μονάδων που παράχθηκαν (εργοστάσιο) - αρ. Μονάδων που απαιτήθηκαν (αποθήκες) 0 ΚΔ Ανώτατο όριο μεταφοράς (σε μερικές ακμές) Πχ. Για την ακμή (Ερ.1,Ερ.2): x Ερ1,Ερ2 10 Περιορισμοί μη αρνητικότητας 64

65 Μοντέλο (λεπτομερή περιγραφή) Ελαχιστοποίηση z = 2 x Ερ1,Ερ2 + 4 x Ερ1,ΚΔ + 9 x Ερ1,Απ1 + 3 x Ερ2,ΚΔ +x ΚΔ,Απ2 + 3 x Απ1,Απ2 + 2x Απ2,Απ1 Κάτω από τις συνθήκες: x Ερ1,Ερ2 + x Ερ1,ΚΔ + x Ερ1,Απ1 = 50 -x Ερ1,Ερ2 + x Ερ2,ΚΔ = 40 - x Ερ1,ΚΔ - x Ερ2,ΚΔ + x ΚΔ,Απ2 = 0 - x Ερ1,Απ1 + x Απ1,Απ2 - x Απ2,Απ1 = x ΚΔ,Απ2 - x Απ1,Απ2 + x Απ2,Απ1 = - 60 x Ερ1,Ερ2 10, x ΚΔ,Απ2 80 x Ερ1,Ερ2 0, x Ερ1,ΚΔ 0, x Ερ1,Απ1 0, x Ερ2,ΚΔ 0, x ΚΔ,Απ2 0 x Απ1,Απ2 0, x Απ2,Απ1 0 65

66 Συμπεράσματα Μοντελοποίηση και επίλυση με Excel Solver Άριστη λύση: (x Ερ1,Ερ2, x Ερ1,ΚΔ, x Ερ1, Απ1, x Ερ2, ΚΔ, x ΚΔ, Απ2, x Απ1, Απ2, x Απ2, Απ1 ) = (0, 40, 10, 40, 80, 0, 20) >> Λάθος; = (10, 0, 40, 50, 50, 10, 0) Ο αριθμός των μονάδων που μεταφέρονται πρέπει να είναι ένας ακέραιος άρα η υπόθεση μη διαιρετότητας δεν ικανοποιείται Σε αυτό το παράδειγμα η λύση είναι ακέραιη Στα προβλήματα ροής με ελάχιστο κόστος (με ακέραιες παραμέτρους), υπάρχει πάντα μία άριστη ακέραιη λύση 66

67 Πρόβλημα της μίξης Η παραγωγή ενός προϊόντος το οποίο θα πρέπει να ζυγίζει 10 κιλά γίνεται με την ανάμιξη των συστατικών Α, Β, Γ. Οι προδιαγραφές είναι οι εξής: Από το συστατικό Α όχι λιγότερο από 1 κιλό και όχι περισσότερο από 3. Από το συστατικό Β όχι λιγότερο από 4 κιλά και όχι περισσότερο από 5. Από το συστατικό Γ όχι λιγότερο από 3 κιλά και όχι περισσότερο από 5. Το κιλό του συστατικού Α κοστίζει 6,00. Το κιλό του συστατικού Β κοστίζει 8,35. Το κιλό του συστατικού Γ κοστίζει 3,80. Να προσδιοριστεί η σύνθεση που ελαχιστοποιεί το ολικό κόστος. 67

68 Γεωμετρική λύση Παράγονται τα προϊόντα Α και Β με τα εξής δεδομένα: Παραγωγή μονάδας του Α Παραγωγή μονάδας του Β Πρώτες ύλες 1 3 Εργασία 1 1 Κεφάλαια 2 1 Κέρδος ανά πωλ. μονάδα 2 5 Ανώτατα όρια διαθ. ποσοτήτων Αν συμβολίσουμε με x 1 και x 2 τις ποσότητες παραγωγής των προϊόντων Α και Β αντίστοιχα. 68

69 Μοντελοποίηση σε ΓΠ Ταυτοποίηση των δεδομένων Προσοχή στις μονάδες Ορισμός των μεταβλητών: Πρέπει να ελεγχθεί ότι η αντικειμενική συνάρτηση και όλες η μεταβλητές μπορούν να αναπαρασταθούν με αυτές τις μεταβλητές. Πρέπει να ελεγχθεί ότι η αντικειμενική συνάρτηση και όλοι οι περιορισμοί είναι γραμμικές συναρτήσεις (αναλογικότητα και προσθετικότητα) Οι περιορισμοί σε πλεονασμό μπορούν να αφαιρεθούν 69